Слабкi розв’язки i збiжнiсть методу Гальоркiна для дробового рiвняння дифузiї
Побудовано напiвдискретний метод Гальоркiна для дробового за часом рiвняння дифузiї.
 Доведено слабку збiжнiсть цього методу у випадку правої частини зi значеннями у негативному просторi за просторовою змiнною. Також доведено неперервнiсть розв’язку задачi зi значеннями у просторi iнтегровни...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95889 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Слабкi розв’язки i збiжнiсть методу Гальоркiна для дробового рiвняння дифузiї / А.Л. Гуляницький // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 3. — С. 32-39. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860011591705034752 |
|---|---|
| author | Гуляницький, А.Л. |
| author_facet | Гуляницький, А.Л. |
| citation_txt | Слабкi розв’язки i збiжнiсть методу Гальоркiна для дробового рiвняння дифузiї / А.Л. Гуляницький // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 3. — С. 32-39. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Побудовано напiвдискретний метод Гальоркiна для дробового за часом рiвняння дифузiї.
Доведено слабку збiжнiсть цього методу у випадку правої частини зi значеннями у негативному просторi за просторовою змiнною. Також доведено неперервнiсть розв’язку задачi зi значеннями у просторi iнтегровних з квадратом функцiй.
Построен полудискретный метод Галеркина для дробного по времени уравнения диффузии. Доказана слабая сходимость этого метода в случае правой части со значениями
в негативном пространстве по пространственной переменной. Также доказана непрерывность решения задачи со значениями в пространстве интегрируемых с квадратом функций.
We construct a semidiscrete Galerkin method for the time-fractional diffusion equation. We prove
the weak convergence of the method in the case of the right-hand side from a negative space with
respect to the space variable. The continuity of the solution with values in a space of squareintegrable functions is proven.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:41:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2015
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 517.9
А.Л. Гуляницький
Слабкi розв’язки i збiжнiсть методу Гальоркiна
для дробового рiвняння дифузiї
(Представлено членом-кореспондентом НАН України С. I. Ляшком)
Побудовано напiвдискретний метод Гальоркiна для дробового за часом рiвняння дифузiї.
Доведено слабку збiжнiсть цього методу у випадку правої частини зi значеннями у не-
гативному просторi за просторовою змiнною. Також доведено неперервнiсть розв’язку
задачi зi значеннями у просторi iнтегровних з квадратом функцiй.
Диференцiальнi рiвняння у частинних похiдних з дробовою похiдною за часом використо-
вуються для опису ряду фiзичних процесiв, серед яких можна назвати дифузiю у пористих
i трiщинуватих середовищах [1, 2], перенесення носiїв заряду в аморфних напiвпровiдни-
ках [3], а також внутрiшньоклiтинну дифузiю [4]. Цi рiвняння одержуються з моделей ви-
падкових блукань з неперервним часом зi степеневою щiльнiстю часу очiкування.
Абстрактнi теореми розв’язностi для дробових еволюцiйних рiвнянь з похiдною Рiмана–
Лiувiлля одержано у [5]. Проте застосований метод не пов’язаний з побудовою послiдовностi
наближень, яка збiгається до розв’язку початково-крайової задачi, тому проблема побудови
й обгрунтування чисельних методiв залишається вiдкритою. Цiй проблемi присвячено ряд
публiкацiй, наприклад, [6], а також [7] (для опуклих многогранних областей).
У данiй статтi обгрунтовано слабку збiжнiсть гальоркiнських наближень для слабкої
постановки початково-крайової задачi для рiвняння дифузiї з похiдною Капуто, а також
встановлено, що розв’язок задачi неперервний за часом зi значеннями у просторi iнтегров-
них з квадратом функцiй.
Основнi позначення. Розглянемо задачу
∗Dα
0 u+Au = f, (1)
u|t=0 = 0. (2)
Тут u : [0, T ] → H — невiдома функцiя зi значеннями у гiльбертовому просторi функцiй
змiнної x ∈ Ω ⊂ R
N ; ∗Dα
0 — похiдна Капуто порядку α за часом з початком у точ-
© А.Л. Гуляницький, 2015
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №3
цi 0; α ∈ (0, 1); A — елiптичний диференцiальний оператор другого порядку, що дiє за
змiнною x:
(Aϕ)(x) = −
N∑
i,j=1
(aij(x)ϕxi
)xj
+
N∑
i=1
ai(x)ϕxi
+ a(x)ϕ.
Припустимо, що оператор A визначений на просторi H1
0 (Ω) i задається коерцитивною
бiлiнiйною формою a(·, ·). Через 〈·, ·〉 позначимо двоїстiсть мiж H−10 (Ω) i H1
0 (Ω).
Введемо еволюцiйнi дробовi за часом соболєвськi простори
Wα,p
0 ([0, T ],H) = {u ∈ Lp([0, T ],H) | ∗Dα
0 u ∈ Lp([0, T ],H), u(0) = 0},
де H — гiльбертiв простiр, з нормою ‖u‖Wα,p
0
([0,T ],H) = ‖∗Dα
0 u‖Lp([0,T ],H).
Слабка розв’язнiсть i гальоркiнськi наближення. Розглянемо випадок негладкої
правої частини рiвняння.
Означення 1. Слабким розв’язком задачi (1)–(2) з правою частиною f ∈ Lp([0, T ],
H−10 (Ω)) назвемо елемент u ∈ Lp([0, T ],H
1
0 (Ω))
⋂
Wα,p
0 ([0, T ],H−10 (Ω)), що задовольняє то-
тожнiсть
〈∗Dα
0 u(t), v〉 + a(u(t), v) = 〈f(t), v〉 (3)
для довiльного v ∈ C∞0 (Ω) та майже всiх t ∈ [0, T ], а також початкову умову u(0) = 0.
Зауважимо, що завдяки однорiдностi початкової умови похiдна Капуто збiгається з по-
хiдної Рiмана–Лiувiлля. Крiм того, сформульоване означення слабкої розв’язностi рiвно-
сильне строгiй Lp-розв’язностi [5] у просторi H−10 (Ω). Тому при зроблених припущеннях
щодо оператора A cправедлива теорема iснування та єдиностi розв’язку.
Теорема 1. Для довiльного f ∈ Lp([0, T ],H
−1
0 (Ω)) iснує i єдиний слабкий розв’язок
задачi (1)–(2).
Надалi припускатимемо, що p > 2/α. Нехай q — таке число, для якого 2/p + 1/q = 1.
Побудуємо для задачi (1) нестацiонарний проекцiйний метод. Виберемо базис {wi}∞i=1
у просторi H1
0 (Ω). Задля простоти викладення припустимо, що цей базис ортонормований
у просторi L2(Ω). Розглянемо проекцiйнi задачi
〈∗Dα
0 um(t), wj〉+ a(um(t), wj) = 〈f(t), wj〉, j = 1, . . . ,m, (4)
з однорiдними початковими умовами
um|t=0 = 0.
Цi елементи шукатимемо у виглядi um(t) =
m∑
i=1
ψim(t)·wi; тодi (4) перeтворюється на систему
звичайних диференцiальних рiвнянь дробового порядку з невiдомими ψim(t), i = 1, . . . ,m,
t ∈ [0, T ]:
∗Dα
0ψjm(t) +
m∑
i=1
a(wi, wj)ψim(t) = 〈f(t), wj〉, j = 1, . . . ,m,
ψjm|t=0 = 0.
(5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №3 33
Розв’язнiсть цiєї системи з правою частиною F (t) = (〈f(t), wj〉)mj=1 ∈ L2([0, T ])
m можна
встановити, використавши вираз для розв’язання системи з гладкою правою частиною [8]
i безпосередньо довiвши апрiорнi нерiвностi, якi дають змогу розширити оператор системи
до вiдображення на L2([0, T ])
m.
Лема 1. Для u ∈ L2([0, T ],H
1
0 (Ω))
⋂
Wα,2
0 ([0, T ],H−10 (Ω)), для яких вiдображення t →
→ ‖u(t)‖2L2(Ω) абсолютно неперервне на [0, T ], cправедлива нерiвнiсть
∗Dα
0 ‖u(t)‖2L2(Ω) 6 2〈∗Dα
0 u(t), u(t)〉.
Ця лема узагaлюнює нерiвнiсть для скалярнозначних функцiй, доведену А. Алiхано-
вим [9]. Доведення в цiлому повторюють мiркування для цього випадку.
Теорема 2. Якщо для функцiй um справедлива нерiвнiсть з леми 1, то послiдов-
нiсть (um) збiгається до розв’язку задачi (1)–(2) слабко в L2([0, T ],H
1
0 (Ω)) i* — слабко
в L∞([0, T ], L2(Ω)).
Доведення. Домножуючи (5) на ψjm(t), просумовуючи за j = 1, . . . ,m i використовуючи
нерiвнiсть Алiханова, одержимо
1
2
∗Dα
0 ‖um(t)‖2L2(Ω) + a(um(t), um(t)) 6 〈∗Dα
0 um(t), um(t)〉+ a(um(t), um(t)) =
= 〈f(t), um(t)〉 6 ‖f(t)‖H−1
0
(Ω)‖um(t)‖H1
0
(Ω) 6
6
1
2
(
1
ǫ2
‖f(t)‖2
H−1
0
(Ω)
+ ǫ2‖um(t)‖2H1
0
(Ω)
)
, ǫ > 0.
Перегруповуючи доданки з урахуванням коерцитивностi оператора A, тобто нерiвностi
a(um(t), um(t)) > c0‖um(t)‖2H1
0
(Ω), маємо
1
2
∗Dα
0 ‖um(t)‖2L2(Ω) +
(
c0 −
ǫ2
2
)
‖um(t)‖2H1
0
(Ω) 6
1
2ǫ2
‖f(t)‖2
H−1
0
(Ω)
.
Дiючи дробово-iнтегральним оператором порядку α, вибираючи ǫ з умови c0 − ǫ2/2 > 0
i застосовуючи нерiвнiсть Юнга для дiйсних чисел, одержимо оцiнку
‖um(t)‖2L2(Ω) +
t∫
0
(2c0 − ǫ2)‖um(t)‖2
H1
0
(Ω)
(t− s)1−α ds 6
t∫
0
‖f(s)‖2
H−1
0
(Ω)
ǫ2(t− s)1−α ds 6
6
t∫
0
‖f(s)‖p
H−1
0
(Ω)
ǫ2p
ds+
t∫
0
1
(t− s)q(1−α) ds 6M
(обмеженiсть останнього iнтеграла випливає з припущення p > 2/α). Таким чином, для
деякого M = M(ǫ) > 0 i майже всiх t ∈ [0, T ]
‖um(t)‖2L2(Ω) 6M,
t∫
0
‖um(t)‖2
H1
0
(Ω)
(t− s)1−α ds 6
M
2c0 − ǫ2
.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №3
З цих двох оцiнок випливає обмeженiсть (um)∞m=1 у просторах L∞([0, T ], L2(Ω))
i L2([0, T ],H
1
0 (Ω)). Справдi,
2c0 − ǫ2
T 1−α
t∫
0
‖um(t)‖2H1
0
(Ω)ds 6
t∫
0
(2c0 − ǫ2)‖um(t)‖2
H1
0
(Ω)
(t− s)1−α 6M.
Покладаючи t = T , одержуємо
2c0 − ǫ2
T 1−α
T∫
0
‖um(t)‖2H1
0
(Ω)ds 6
t∫
0
(2c0 − ǫ2)‖um(t)‖2
H1
0
(Ω)
(T − s)1−α 6M. (6)
Tому iснують пiдпослiдовiнсть (umk
) й елемент u ∈ L∞([0, T ], L2(Ω))
⋂
L2([0, T ],H
1
0 (Ω)),
для яких umk
⇀ u у L2([0, T ],H
1
0 (Ω)) i umk
∗
⇀ u у L∞([0, T ], L2(Ω)).
Помноживши перший доданок (4) на ϕ ∈ C∞([0, T ]), таке, що (T I
1−αϕ)(t)|t=T = 0
(T I
1−α — iнтегральний оператор Рiмана–Лiувiлля з кiнцем у точцi T ), проiнтегрувавши
по [0, T ] i застосувавши формулу дробового iнтегрування частинами, а також здiйснивши
граничний перехiд (k → ∞), можна показати, що u є слабким розв’язком задачi (1)–(2).
Оскiльки такий розв’язок єдиний, звiдси випливає збiжнiсть усiєї послiдовностi (um)∞m=1.
Неперервнiсть розв’язку. Дослiдимо розв’язок початково-крайової задачi на непе-
рервнiсть.
Терема 3. Розв’язок u задачi (1)–(2) належить простору C([0, T ], L2(Ω)).
Доведення. Доведення здiйснимо методом згладжень (усереднень). Для ǫ > 0 покладемо
uǫ = ηǫ ∗ u,
де
η(x) =
C exp
(
1
|x|2 − 1
)
, |x| < 1,
0, |x| > 1,
ηǫ(t) =
1
ǫn
η
(
t
ǫ
)
,
а стала C вибираєтся з умови
∫
η(t) dt = 1.
Доозначимо u нулем на вiдрiзках [−θ, 0) i (T, T + θ]. Вiдомо [10], що для u ∈ Lp([a, b],H)
uǫ → u за нормою простору Lp([a, b],H), а самi усереднення належать класу C∞([a, b],X).
Тому можна застосувати нерiвнiсть Алiханова:
∗Dα
0 ‖uǫ(t)− uδ(t)‖2L2(Ω) 6 2(∗Dα
0 uǫ(t)− ∗Dα
0 uδ(t), uǫ(t)− uδ(t))L2(Ω),
де t ∈ [0, T ].
Iнтегруючи (з показником α), маємо
‖uǫ(t)−uδ(t)‖2L2(Ω)=‖uǫ(0)−uδ(0)‖2L2(Ω)+2
t∫
0
〈∗Dα
0 uǫ(τ)−∗Dα
0 uδ(τ), uǫ(τ)−uδ(τ)〉
|t− τ |1−α dτ.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №3 35
Оскiльки u ∈ L∞([0, T ], L2(Ω)), множина {uǫ(0)|ǫ > 0} обмежена в нормi L2(Ω). Дiйсно,
uǫ(0) =
T∫
0
ηǫ(s)u(s) dt. Оскiльки
∫
ηǫ(t) dt = 1, за нерiвнiстю Бохнера маємо
‖uǫ(0)‖L2(Ω) =
∥∥∥∥∥
T∫
0
ηǫ(t)uǫ(t) dt
∥∥∥∥∥
L2(Ω)
6
T∫
0
|ηǫ(t)|‖uǫ(t)‖L2(Ω) dt 6
6 ‖u‖L∞([0,T ],L2(Ω)
T∫
0
|ηǫ(t)| dt = ‖u‖L∞([0,T ],L2(Ω).
Тому якщо вибрати послiдовнiсть (ǫn)
∞
n=1: ǫn → 0, то вiдповiдно до властивостi Банаха–
Сакса знайдеться пiдпослiдовнiсть (nk)
∞
k=1, така, що
∥∥∥∥∥
∑m
k=1 uǫnk
(0)
m
− u(0)
∥∥∥∥∥
L2(Ω)
→ 0, m→∞.
З iншого боку, як легко бачити,
∥∥∥∥∥
∑m
k=1 uǫnk
m
− u
∥∥∥∥∥
Lp([0,T ],H1
0
(Ω))
→ 0, m→∞,
∥∥∥∥∥
∑m
k=1
∗Dα
0 uǫnk
m
− ∗Dα
0 u
∥∥∥∥∥
Lp([0,T ],H−1
0
(Ω))
→ 0, m→∞.
Позначимо через un uǫnk
. Тодi можна записати
‖un(t)− um(t)‖2L2(Ω) = ‖un(0)− um(0)‖2L2(Ω) +
+ 2
t∫
0
〈∗Dα
0 un(τ)− ∗Dα
0 um(τ), uǫ(τ)− um(τ)〉
|t− τ |1−α dτ 6 ‖un(0) − um(s)‖2L2(Ω) +
+ 2
t∫
0
‖∗Dα
0 un(τ)− ∗Dα
0 um(τ)‖H−1
0
(Ω)‖un(τ)− um(τ)‖H1
0
(Ω)
|t− τ |1−α dτ 6
6 ‖un(0) − um(s)‖2L2(Ω) +
t∫
0
‖∗Dα
0 un(τ)− ∗Dα
0 um(τ)‖2
H−1
0
(Ω)
|t− τ |1−α dτ +
+
t∫
0
‖un(τ)− um(τ)‖2
H1
0
(Ω)
|t− τ |1−α dτ (7)
(в останньому переходi використано нерiвнiсть 2ab 6 a2 + b2). Оцiнимо окремо кожний
з iнтегралiв:
t∫
0
‖∗Dα
0 un(τ)− ∗Dα
0 um(τ)‖2
H−1
0
(Ω)
|t− τ |1−α dτ 6
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №3
6
( t∫
0
‖∗Dα
0 un(τ)− ∗Dα
0 um(τ)‖p
H−1
0
(Ω)
dτ
)2/p( t∫
0
1
|t− τ |q(1−α) dτ
)1/q
,
де останнiй iнтеграл збiжний при q(1 − α) < 1, тобто p > 2/α. Неважко переконатися, що
J(t, s) =
t∫
s
dτ/|t − τ |q(1−α) є обмеженою функцiєю. З iншого боку,
t∫
0
‖∗Dα
0 un(τ)− ∗Dα
0 um(τ)‖p
H−1
0
(Ω)
dτ 6
T∫
0
‖∗Dα
0 un(τ)− ∗Dα
0 um(τ)‖p
H−1
0
(Ω)
dτ.
Аналогiчно дослiдимо другий доданок з (7):
t∫
0
‖un(τ)− um(τ)‖2
H1
0
(Ω)
|t− τ |1−α dτ 6
( t∫
s
‖un(τ)− um(τ)‖p
H1
0
(Ω)
dτ
)2/p( t∫
s
1
|t− τ |q(1−α) dτ
)1/q
6
6
( T∫
0
‖un(τ)− um(τ)‖p
H1
0
(Ω)
dτ
)2/p( t∫
s
1
|t− τ |q(1−α) dτ
)1/q
6
6M
( T∫
0
‖un(τ)− um(τ)‖p
H1
0
(Ω)
dτ
)2/p
.
Отже,
‖un(t)− um(t)‖2L2(Ω) 6 ‖un(0)− um(0)‖2L2(Ω) +
+M
[( T∫
0
‖∗Dα
0 un(τ)−∗Dα
0 um(τ)‖p
H−1
0
(Ω)
dτ
)2/p
+
( T∫
0
‖un(τ)− um(τ)‖p
H1
0
(Ω)
dτ
)2/p]
.
Переходячи до границi, одержуємо
lim
m,n→∞
sup
t∈[0,T ]
‖un(t)− um(t)‖2L2(Ω) 6
6 lim
m,n→∞
‖un(0)−um(0)‖2L2(Ω) lim
m,n→∞
M
( T∫
0
‖∗Dα
0 un(τ)−∗Dα
0 um(τ)‖p
H−1
0
(Ω)
dτ
)2/p
+
+ lim
m,n→∞
M
( T∫
0
‖un(τ)− um(τ)‖p
H1
0
(Ω)
dτ
)2/p
= 0,
тобто u можна ототожнити (з точнiстю до множини мiри 0) з границею послiдовностi (un)
за нормою ‖ · ‖C([0,T ],L2(Ω)).
Зауваження 1. Неперервнiсть розв’язку дає змогу розглядати задачi оптимального ке-
рування з критерiями якостi вигляду J(u) = max
t∈[0,T ]
‖u(t) − ũ(t)‖L2(Ω), J = ‖u(T ) − ω‖L2(Ω)
тощо.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №3 37
Отже, у роботi дослiджено питання збiжностi методу Гальоркiна (з дискретизацiєю за
простором) для розв’язку дробового за часом рiвняння у частинних похiдних. На вiдмi-
ну вiд випадку рiвняння цiлого порядку, доведення уже використовує iснування i єдинiсть
розв’язку, а не дає змогу обгрунтувати їх. Крiм того, предметом подальших дослiджень
є уточнення класу функцiй, для яких застосовна нерiвнiсть Алiханова. Також доведено
неперервнiсть розв’язку зi значеннями у просторi iнтегровних з квадратом функцiй, причо-
му мiркування загалом подiбнi до доведення аналогiчного твердження у випадку похiдної
першого порядку.
1. Metzler R., Klafter J. The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the
description of anomalous transport by fractional dynamics // J. Phys. A: Math. Gen. – 2004. – 37. –
R161–R208.
2. Учайкин В.В. Метод дробных производных. – Ульяновск: Артишок, 2008. – 512 с.
3. Сибатов Р.Т., Учайкин В.В. Дробно-дифференциальный подход к описанию дисперсионного пере-
носа в полупроводниках // Усп. физ. наук. – 2009. – 179, № 10. – С. 1079–1104.
4. Sokolov I.M. Models of anomalous diffusion in crowded environments // Soft Matter. – 2012. – 42, No 8. –
P. 9043–9052.
5. Bazhlekova E. Fractional evolution equations in Banach spaces, PhD Thesis. – Eindhoven Univ. of Tech-
nology, 2001.
6. Ford N., Xiao J., Yan Y. A finite element method for the time-fractional partial differential equations //
Fract. Calc. Appl. An. – 2011. – 14, No 3. – P. 454–474.
7. Jin B., Lazarov R., Pasciak J., Zhou Z. Error analysis of semidiscrete finite element methods for inhomo-
geneous time-fractional diffusion // IMA J. Numer Anal. – to appear. – doi:10.1093/imanum/dru018.
8. Чикрий А.А., Матичин И.И. Представление решений линейных систем с дробными производными
Римана–Лиувилля, Капуто и Миллера–Росса // Пробл. управления и информатики. – 2008. – № 3. –
С. 133–142.
9. Alikhanov A.A. A priori estimates for solutions of boundary value problems for fractional-order equations //
Dif. Equations. – 2010. – 46, No 5. – P. 660–666.
10. Evans L. C. Partial differential equations. – Providence: Amer. Math. Soc., 1998. – 662 p.
Надiйшло до редакцiї 17.11.2014Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
А.Л. Гуляницкий
Слабые решения и сходимость метода Галеркина для дробного
уравнения диффузии
Построен полудискретный метод Галеркина для дробного по времени уравнения диффу-
зии. Доказана слабая сходимость этого метода в случае правой части со значениями
в негативном пространстве по пространственной переменной. Также доказана непрерыв-
ность решения задачи со значениями в пространстве интегрируемых с квадратом фун-
кций.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №3
A.L. Hulianytskyi
Weak solutions and convergence of the Galerkin method for the
fractional diffusion equation
We construct a semidiscrete Galerkin method for the time-fractional diffusion equation. We prove
the weak convergence of the method in the case of the right-hand side from a negative space with
respect to the space variable. The continuity of the solution with values in a space of square-
integrable functions is proven.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №3 39
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95889 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:41:58Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гуляницький, А.Л. 2016-03-07T14:39:31Z 2016-03-07T14:39:31Z 2015 Слабкi розв’язки i збiжнiсть методу Гальоркiна для дробового рiвняння дифузiї / А.Л. Гуляницький // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 3. — С. 32-39. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95889 517.9 Побудовано напiвдискретний метод Гальоркiна для дробового за часом рiвняння дифузiї.
 Доведено слабку збiжнiсть цього методу у випадку правої частини зi значеннями у негативному просторi за просторовою змiнною. Також доведено неперервнiсть розв’язку задачi зi значеннями у просторi iнтегровних з квадратом функцiй. Построен полудискретный метод Галеркина для дробного по времени уравнения диффузии. Доказана слабая сходимость этого метода в случае правой части со значениями
 в негативном пространстве по пространственной переменной. Также доказана непрерывность решения задачи со значениями в пространстве интегрируемых с квадратом функций. We construct a semidiscrete Galerkin method for the time-fractional diffusion equation. We prove
 the weak convergence of the method in the case of the right-hand side from a negative space with
 respect to the space variable. The continuity of the solution with values in a space of squareintegrable functions is proven. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Слабкi розв’язки i збiжнiсть методу Гальоркiна для дробового рiвняння дифузiї Слабые решения и сходимость метода Галеркина для дробного уравнения диффузии Weak solutions and convergence of the Galerkin method for the fractional diffusion equation Article published earlier |
| spellingShingle | Слабкi розв’язки i збiжнiсть методу Гальоркiна для дробового рiвняння дифузiї Гуляницький, А.Л. Інформатика та кібернетика |
| title | Слабкi розв’язки i збiжнiсть методу Гальоркiна для дробового рiвняння дифузiї |
| title_alt | Слабые решения и сходимость метода Галеркина для дробного уравнения диффузии Weak solutions and convergence of the Galerkin method for the fractional diffusion equation |
| title_full | Слабкi розв’язки i збiжнiсть методу Гальоркiна для дробового рiвняння дифузiї |
| title_fullStr | Слабкi розв’язки i збiжнiсть методу Гальоркiна для дробового рiвняння дифузiї |
| title_full_unstemmed | Слабкi розв’язки i збiжнiсть методу Гальоркiна для дробового рiвняння дифузiї |
| title_short | Слабкi розв’язки i збiжнiсть методу Гальоркiна для дробового рiвняння дифузiї |
| title_sort | слабкi розв’язки i збiжнiсть методу гальоркiна для дробового рiвняння дифузiї |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95889 |
| work_keys_str_mv | AT gulânicʹkiial slabkirozvâzkiizbižnistʹmetodugalʹorkinadlâdrobovogorivnânnâdifuzií AT gulânicʹkiial slabyerešeniâishodimostʹmetodagalerkinadlâdrobnogouravneniâdiffuzii AT gulânicʹkiial weaksolutionsandconvergenceofthegalerkinmethodforthefractionaldiffusionequation |