Вынужденные колебания анизотропной прямоугольной пластины с пьезосенсорами при учете сдвиговых деформаций
Представлена уточненная модель типа Тимошенко для моделирования вынужденных
 колебаний тонких вязкоупругих анизотропных пластин с распределенными трансверсально-изотропными сенсорами. Получена простая формула для показаний сенсора. Исследовано влияние сдвиговых деформаций на эти показания. Н...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95891 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Вынужденные колебания анизотропной прямоугольной пластины с пьезосенсорами при учете сдвиговых деформаций / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 3. — С. 45-49. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860140665425362944 |
|---|---|
| author | Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. |
| author_facet | Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. |
| citation_txt | Вынужденные колебания анизотропной прямоугольной пластины с пьезосенсорами при учете сдвиговых деформаций / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 3. — С. 45-49. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Представлена уточненная модель типа Тимошенко для моделирования вынужденных
колебаний тонких вязкоупругих анизотропных пластин с распределенными трансверсально-изотропными сенсорами. Получена простая формула для показаний сенсора. Исследовано влияние сдвиговых деформаций на эти показания.
Наведено уточнену модель типу Тимошенка для моделювання вимушених коливань тонких в’язкопружних анiзотропних пластин з розподiленими трансверсально-iзотропними сенсорами. Одержано просту формулу для показникiв сенсора. Дослiджено вплив зсувних
деформацiй на цi показники.
Refined Timoshenko’ model of vibrations of thin-walled viscoelastic anisotropic plates with distributed transversally isotropic sensors is presented. The simple formula for the sensor indications is obtained. The influence of the shear deformations on the indicators is investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:49:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
В.Г. Карнаухов, В. И. Козлов, Т. В. Карнаухова
Вынужденные колебания анизотропной прямоугольной
пластины с пьезосенсорами при учете сдвиговых
деформаций
(Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко)
Представлена уточненная модель типа Тимошенко для моделирования вынужденных
колебаний тонких вязкоупругих анизотропных пластин с распределенными трансвер-
сально-изотропными сенсорами. Получена простая формула для показаний сенсора. Ис-
следовано влияние сдвиговых деформаций на эти показания.
Пьезоэлектрические сенсоры широко используются при исследовании колебаний тонкостен-
ных элементов конструкций [1, 9, 12, 13]. В частности, они применяются при активном дем-
пфировании колебаний тонких пластин и оболочек при помощи пьезоэлектрических сенсо-
ров и актуаторов [4, 5, 7–13], когда к актуатору подводится разность потенциалов, пропор-
циональная скорости изменения показаний пьезосенсора. При этом в элементе появляется
дополнительное затухание, пропорциональное скорости изменения поперечного перемеще-
ния тела. Показания пьезосенсора зависят от многих факторов: механических граничных
условий, размещения и размеров пьезосенсора, электромеханических характеристик и т. п.
Обзор исследований по этому вопросу представлен в работах [7–13].
Для моделирования колебаний тонкостенных элементов с пьезосенсорами используются
различного рода гипотезы: Кирхгоффа–Лява, С.П. Тимошенко, А.С. Амбрацумяна и др.
Необходимость в привлечении уточненных гипотез возникает при исследовании колеба-
ний анизотропных тонкостенных элементов при немалом отношении толщины к размерам
элемента или при существенной разнице в механических характеристиках анизотропного
материала, из которого изготовлена пластина.
В настоящей работе получено аналитическое решение задачи о колебаниях ортотропной
прямоугольной пластины с пьезосенсорами при учете деформаций сдвига. Представлено
простое выражение для показаний сенсора для трансверсально-изотропной пластины, ко-
торое позволяет проанализировать влияние деформаций сдвига на эффективность работы
пьезосенсора при вынужденных колебаниях пластины.
Постановка задачи. Рассмотрим ортотропную пластину толщиной h0 и размером a×b.
Края пластины шарнирно оперты, а на ее внешние поверхности нанесены пьезослои толщи-
ной h1 с противоположной поляризацией. На эти слои нанесены бесконечно тонкие электро-
ды. На пластину действует равномерно распределенное гармоническое во времени давление
p = P0e
iωt с частотой, близкой к резонансной. Для моделирования вынужденных колебаний
пластины применяются гипотезы С.П. Тимошенко. Основные соотношения, описывающие
колебания указанной пластины, представлены, например, в [6]. Для короткозамкнутых эле-
ктродов снимаемый с них заряд Q рассчитывается по формуле [12, 13]:
Q = γ31(h0 + h1)
x
(s)
(χ1 + χ2) dxdy. (1)
© В. Г. Карнаухов, В. И. Козлов, Т.В. Карнаухова, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №3 45
Здесь
χ1 =
∂ϕ1
∂x
, χ2 =
∂ϕ2
∂y
, (2)
где ϕ1, ϕ2 характеризуют сдвиг в формуле для сдвиговых деформаций
ξ13 =
∂w
∂x
+ ϕ1, ξ23 =
∂w
∂y
+ ϕ2. (3)
Уравнения движения таковы [6]:
∂T13
∂x
+
∂T23
∂y
+ p(t) = ρ̃
∂2w
∂t2
,
∂M11
∂x
+
∂H
∂y
− T13 = 0,
∂H
∂x
+
∂M22
∂y
− T23 = 0. (4)
Уравнения состояния для ортотропного материала имеют вид
M11 = D11(χ1 + ν21χ2), M22 = D22(ν12χ1 + χ2),
H = D12χ12, T13 = B13ε13, T23 = B23η23.
(5)
Подставляя (2), (3), (5) в (4), получим три уравнения движения относительно w, ϕ1, ϕ2:
B13
(
∂2w
∂x2
+
∂ϕ1
∂x
)
+B23
(
∂2w
∂y2
+
∂ϕ2
∂y
)
+ p = ρ̃
∂2ω
∂t2
,
D11
(
∂2ϕ1
∂x2
+ ν21
∂2ϕ2
∂x∂y
)
+D12
(
∂2ϕ2
∂x∂y
+
∂2ϕ2
∂y2
)
−B13
(
∂w
∂x
+ ϕ1
)
= 0,
D22
(
∂2ϕ1
∂y2
+ ν12
∂2ϕ1
∂x∂y
)
+D12
(
∂2ϕ1
∂x∂y
+
∂2ϕ2
∂x2
)
−B23
(
∂w
∂y
+ ϕ2
)
= 0.
(6)
Решение задачи и анализ полученных результатов. Для шарнирного опирания
торцов пластины решение ищется в виде
w = wmn sin kmx sin pmy,
ϕ1 = ϕ1mn cos kmx sin pny, ϕ2 = ϕ2mn sin kmx sin pny.
(7)
При этом
p = Pmn sin kmx sin pmy, Pmn =
16
abkmpn
, km =
mπ
a
, pn =
nπ
b
. (8)
Подставляя (7) и (8) в (6), получим три алгебраических уравнения относительно wmn,
ϕ1mn, ϕ2mn. Эти уравнения представлены в статье [4]. Для сенсора в них следует положить
Mmn = 0. Тогда
ϕ1mn =
∆13∆22 −∆23∆12
∆11∆22 −∆2
12
wmn, ϕ2mn =
∆23∆11 −∆13∆21
∆11∆22 −∆2
12
wmn. (9)
Выражения для ∆ij приведены в [4]. При их использовании получим следующие фор-
мулы для случая трансверсально-изотропной пластины:
ϕ1mn = − km
1 + c(k2m + p2n)
wmn,
ϕ2mn = − pn
1 + c(k2m + p2n)
wmn
(
c =
D
B′
)
.
(10)
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №3
Из (1) получим следующее выражения для снимаемого с сенсора заряда Q:
Qmn = −4(h0 + h1)γ31
(
ϕ1mn
pn
+
ϕ2mn
km
)
. (11)
Тогда из (10) и (11) находим
Qmn = −4(h0 + h1)γ31
(
km
pn
+
pn
km
)
wmn
1 + c(k2m + p2n)
. (12)
Из (6) с использованием (7)–(9) приходим к обыкновенному дифференциальному урав-
нению относительно wmn:
ρ̃ẅmn +A1
mnwmn − pmn = 0. (13)
Выражение для A1
mn представлено в [4]. Для трансверсально-изотропного материала
A1
mn = D
(k2m + p2n)
2
1 + c(k2m + p2n)
. (14)
Для периодического во времени движения
A1
mn = Ãmne
iωt. (15)
Из (13) имеем
w̃mn =
p̃mn
△̃mn − ρ̃ω2
. (16)
Подставляя (16) в (12), находим
Q̃mn = (h0 + h1)γ31
(
km
pn
+
pn
km
)
× qmn
�mn
. (17)
Здесь
qmn = 4(h0 + h1)
(
km
pn
+
pn
km
)
pmn, �mn = D(k2m + p2n)
2 − ρ̂mn, (18)
где
ρ̂mn = ρ̃[1 + c(k2m + p2n)]. (19)
В дальнейшем будем считать c вещественным, так что D и B′ имеют один и тот же тан-
генс угла потерь. Формально выражение для снимаемого с сенсора заряда совпадает с выра-
жением для заряда, полученного с использованием гипотез Киргоффа–Лява, но с заменой
плотности ρ̃ на большую плотность ρ̂.
Для вязко-упругого материала
�mn = �′mn +�′′mn, (20)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №3 47
где
�′mn = D′(k2m + p2n)
2 − ρ̂ω2, �′′mn = D′′(k2m + p2n)
2. (21)
Из (21) имеем
�′mn = D′(k2m + p2n)
2 − ρ̃ω2 − ρ̃c(k2m + p2n), (22)
так что
�′утmn = �′клmn − ρ̃c(k2m + p2n).
Поэтому
�′клmn ≻ �′утmn , �′′клmn = �′′утmn . (23)
Из (17) находим
|Q| = |qmn|
1√
(�′утmn )2 + (�′′утmn )2
. (24)
Из (23) и (24) следует, что заряд, вычисленный с учетом сдвига, больше заряда, вычис-
ленного по классической теории с использованием гипотез Кирхгоффа–Лява.
На резонансе �′mn = 0 при этом
ωpmn =
√
D′
ρ̂
(k2m + p2n). (25)
Таким образом, на резонансной частоте на величину заряда сдвиг не влияет, а частота
уменьшается, поскольку ρ̂ > ρ̃.
1. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Резонанснi електромеханiчнi коливання п’єзоелектричних пластин. –
Київ: Наук. думка, 1989. – 290 с.
2. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций.
Электроупругость. – Т. 5. – Киев: Наук. думка, 1989. – 290 с.
3. Карнаухов В. Г., Киричок И.Ф. Механика связанных полей в элементах конструкций. Электротер-
мовязкоупругость. – Т. 4. – Киев: Наук. думка, 1988. – 320 с.
4. Карнаухов В. Г., Козлов В.И., Карнаухова Т. В. Влияние деформаций сдвига на эффективность рабо-
ты пьзоактуаторов при активном демпфировании колебаний прямоугольной пластины // Доп. НАН
України. – 2015. – № 2. – С. 50–54
5. Карнаухов В. Г., Жук Я.А., Карнаухова Т.В. Уточнена термомеханiчна модель вимушених гармо-
нiчних коливань фiзично нелiнiйної оболонки з розподiленими трансверсально-iзотропними сенсора-
ми // Там само. – 2007. – № 5. – С. 70–75.
6. Луговой П.З., Мейш В.Ф., Штанцель Э.А. Нестационарная динамика неоднородных оболочечных
конструкций. – Киев: Изд.-полиграф. центр “Киев. ун-т”, 2005. – 536 с.
7. Batra R.C., Porfiri M. and Spinello D. Review of modeling electrostatically actuated microelectromecha-
nical systems // Smart Mater. Struct. – 2007. – 16. – P. R23-R31.
8. Gabbert U., Tzou H. S. Smart structures and structronic systems. – Dordrecht: Kluver, 2001. – 384 p.
9. Encycloedia of smart materials (by Mel Schwartz). – New York: Wiley, 2002. – 1176 p.
10. Rao S. S., Sunar M. Piezoelectricity and its use in disturbance sensing and control of structure: A survey //
Appl. Mech. Rev. – 1994. – 47, No 44. – P. 113–123.
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №3
11. Tani J., Takagi T., Qiu J. Intelligent material systems: Applications of functional materials // Ibid. –
1998. – 51, No 8. – P. 505–521.
12. Tzou H. S., Bergman L.A. Dynamics and control of distributed systems. – Cambridge: Cambridge Univ.
Press, 1998. – 400 p.
13. Tzou H. S. Piezoelectric shells (distributed sensing and control of сontinua). – Dordrecht: Kluwer, 1993. –
400 p.
Поступило в редакцию 01.10.2014Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
НТУ Украины “Киевский политехнический институт”
В. Г. Карнаухов, В. I. Козлов, Т. В. Карнаухова
Вимушенi коливання анiзотропної прямокутної пластини з
п’єзосенсорами при врахуваннi зсувних деформацiй
Наведено уточнену модель типу Тимошенка для моделювання вимушених коливань тон-
ких в’язкопружних анiзотропних пластин з розподiленими трансверсально-iзотропними
сенсорами. Одержано просту формулу для показникiв сенсора. Дослiджено вплив зсувних
деформацiй на цi показники.
V.G. Karnaukhov, V. I. Kozlov, T.V. Karnaukhova
Forced vibrations of an anisotropic rectangular plate with piezosensors
with account for shear deformations
Refined Timoshenko’ model of vibrations of thin-walled viscoelastic anisotropic plates with distri-
buted transversally isotropic sensors is presented. The simple formula for the sensor indications is
obtained. The influence of the shear deformations on the indicators is investigated.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №3 49
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95891 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:49:21Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. 2016-03-07T14:40:00Z 2016-03-07T14:40:00Z 2015 Вынужденные колебания анизотропной прямоугольной пластины с пьезосенсорами при учете сдвиговых деформаций / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 3. — С. 45-49. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95891 539.3 Представлена уточненная модель типа Тимошенко для моделирования вынужденных
 колебаний тонких вязкоупругих анизотропных пластин с распределенными трансверсально-изотропными сенсорами. Получена простая формула для показаний сенсора. Исследовано влияние сдвиговых деформаций на эти показания. Наведено уточнену модель типу Тимошенка для моделювання вимушених коливань тонких в’язкопружних анiзотропних пластин з розподiленими трансверсально-iзотропними сенсорами. Одержано просту формулу для показникiв сенсора. Дослiджено вплив зсувних
 деформацiй на цi показники. Refined Timoshenko’ model of vibrations of thin-walled viscoelastic anisotropic plates with distributed transversally isotropic sensors is presented. The simple formula for the sensor indications is obtained. The influence of the shear deformations on the indicators is investigated. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Вынужденные колебания анизотропной прямоугольной пластины с пьезосенсорами при учете сдвиговых деформаций Вимушенi коливання анiзотропної прямокутної пластини з п’єзосенсорами при врахуваннi зсувних деформацiй Forced vibrations of an anisotropic rectangular plate with piezosensors with account for shear deformations Article published earlier |
| spellingShingle | Вынужденные колебания анизотропной прямоугольной пластины с пьезосенсорами при учете сдвиговых деформаций Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. Механіка |
| title | Вынужденные колебания анизотропной прямоугольной пластины с пьезосенсорами при учете сдвиговых деформаций |
| title_alt | Вимушенi коливання анiзотропної прямокутної пластини з п’єзосенсорами при врахуваннi зсувних деформацiй Forced vibrations of an anisotropic rectangular plate with piezosensors with account for shear deformations |
| title_full | Вынужденные колебания анизотропной прямоугольной пластины с пьезосенсорами при учете сдвиговых деформаций |
| title_fullStr | Вынужденные колебания анизотропной прямоугольной пластины с пьезосенсорами при учете сдвиговых деформаций |
| title_full_unstemmed | Вынужденные колебания анизотропной прямоугольной пластины с пьезосенсорами при учете сдвиговых деформаций |
| title_short | Вынужденные колебания анизотропной прямоугольной пластины с пьезосенсорами при учете сдвиговых деформаций |
| title_sort | вынужденные колебания анизотропной прямоугольной пластины с пьезосенсорами при учете сдвиговых деформаций |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95891 |
| work_keys_str_mv | AT karnauhovvg vynuždennyekolebaniâanizotropnoiprâmougolʹnoiplastinyspʹezosensoramipriučetesdvigovyhdeformacii AT kozlovvi vynuždennyekolebaniâanizotropnoiprâmougolʹnoiplastinyspʹezosensoramipriučetesdvigovyhdeformacii AT karnauhovatv vynuždennyekolebaniâanizotropnoiprâmougolʹnoiplastinyspʹezosensoramipriučetesdvigovyhdeformacii AT karnauhovvg vimušenikolivannâanizotropnoíprâmokutnoíplastinizpêzosensoramiprivrahuvannizsuvnihdeformacii AT kozlovvi vimušenikolivannâanizotropnoíprâmokutnoíplastinizpêzosensoramiprivrahuvannizsuvnihdeformacii AT karnauhovatv vimušenikolivannâanizotropnoíprâmokutnoíplastinizpêzosensoramiprivrahuvannizsuvnihdeformacii AT karnauhovvg forcedvibrationsofananisotropicrectangularplatewithpiezosensorswithaccountforsheardeformations AT kozlovvi forcedvibrationsofananisotropicrectangularplatewithpiezosensorswithaccountforsheardeformations AT karnauhovatv forcedvibrationsofananisotropicrectangularplatewithpiezosensorswithaccountforsheardeformations |