Об определимости свободных триоидов полугруппами эндоморфизмов
Доказано, что полугруппы эндоморфизмов двух свободных триоидов изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие свободные триоиды изоморфны. Доведено, що напiвгрупи ендоморфiзмiв двох вiльних трiоїдiв iзоморфнi тодi й лише тодi, коли вiдповiднi вiльнi трiоїди iзоморфнi. We prove that the endo...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96213 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об определимости свободных триоидов полугруппами эндоморфизмов / Ю.В. Жучок // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859860141858357248 |
|---|---|
| author | Жучок, Ю.В. |
| author_facet | Жучок, Ю.В. |
| citation_txt | Об определимости свободных триоидов полугруппами эндоморфизмов / Ю.В. Жучок // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Доказано, что полугруппы эндоморфизмов двух свободных триоидов изоморфны тогда
и только тогда, когда соответствующие свободные триоиды изоморфны.
Доведено, що напiвгрупи ендоморфiзмiв двох вiльних трiоїдiв iзоморфнi тодi й лише тодi,
коли вiдповiднi вiльнi трiоїди iзоморфнi.
We prove that the endomorphism semigroups of two free trioids are isomorphic if and only if the
corresponding free trioids are isomorphic.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:45:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2015
МАТЕМАТИКА
УДК 512.53+512.57
Ю.В. Жучок
Об определимости свободных триоидов полугруппами
эндоморфизмов
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.А. Дроздом)
Доказано, что полугруппы эндоморфизмов двух свободных триоидов изоморфны тогда
и только тогда, когда соответствующие свободные триоиды изоморфны.
Понятие триоида было введено Ж.-Л. Лодэ и М.О. Ронко в [1] для изучения тернарных
плоских деревьев. Алгебра (T,⊣,⊢,⊥) с тремя бинарными ассоциативными операциями ⊣,
⊢ и ⊥ называется триоидом, если для всех x, y, z ∈ T выполняются следующие условия:
(T1) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊢ z),
(T2) (x ⊢ y) ⊣ z = x ⊢ (y ⊣ z),
(T3) (x ⊣ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z),
(T4) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y⊥z),
(T5) (x⊥y) ⊣ z = x⊥(y ⊣ z),
(T6) (x ⊣ y)⊥z = x⊥(y ⊢ z),
(T7) (x ⊢ y)⊥z = x ⊢ (y⊥z),
(T8) (x⊥y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z).
Триалгебры и триоиды, которые являются основой триалгебр, изучались в различных
работах (см., например, [2–4]). Хорошо известно, что понятие триоида тесно связано с поня-
тием димоноида [5]. Напомним, что непустое множество T с двумя бинарными ассоциатив-
ными операциями ⊣ и ⊢, удовлетворяющими аксиомам (T1)–(T3), называется димоноидом.
Димоноиды играют важную роль при решении актуальных проблем теории алгебр Лейб-
ница. Заметим, что если операции триоида или димоноида совпадают, то он становится
© Ю. В. Жучок, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 7
полугруппой. Таким образом, триоиды и димоноиды являются обобщением полугрупп. Бо-
лее общую информацию о триоидах, димоноидах, а также их различные примеры можно
найти, в частности, в [1, 5–7].
Одной из классических задач алгебры, которую впервые рассматривал Э. Галуа (следуя
словам С. Улама [8]), является проблема определимости математической структуры полу-
группой своих эндоморфизмов. Пусть End(A) — полугруппа эндоморфизмов алгебраичес-
кой системы A. Что можно сказать о системах A и B, если полугруппа End(A) изоморфна
End(B)? Эта проблема изучалась многими авторами. Существует целый ряд алгебраичес-
ких систем, свойства которых определяются их полугруппами эндоморфизмов (см., напри-
мер, [9–11]). Проблема определимости для свободных алгебр в наперед заданном много-
образии была поставлена Б.И. Плоткиным [12] в его лекциях по универсальной алгебраи-
ческой геометрии. Решение этой проблемы для свободных групп было получено Е. Фор-
манеком [13]. Для свободных полугрупп и свободных моноидов проблему определимости
решили Г. Машевицкий и Б.М. Шайн [14]. В данной работе мы доказываем определимость
свободных триоидов своими полугруппами эндоморфизмов.
1. Свободный триоид. Пусть T1 = (T1,⊣1,⊢1,⊥1) и T2 = (T2,⊣2,⊢2,⊥2) — произволь-
ные триоиды. Отображение ϕ : T1 → T2 называется гомоморфизмом T1 в T2, если для всех
x, y ∈ T1
(x ⊣1 y)ϕ = xϕ ⊣2 yϕ, (x ⊢1 y)ϕ = xϕ ⊢2 yϕ, (x ⊥1 y)ϕ = xϕ ⊥2 yϕ.
Биективный гомоморфизм ϕ : T1 → T2 называется изоморфизмом T1 на T2. В этом
случае триоиды T1 и T2 называются изоморфными.
Пусть X — произвольное непустое множество, X = {x | x ∈ X} и Ft+(X) — свободная
полугруппа на множестве X
⋃
X. Через Ft(X) обозначим подмножество из Ft+(X), которое
состоит из слов, содержащих в своей записи по крайней мере один символ x (x ∈ X). Для
каждого w ∈ Ft(X) через w̃ обозначим слово, полученное из w заменой каждого элемента
x, x ∈ X, на x. Допустим, если w = xxxxxyz, то w̃ = xxxxxyz.
На множестве Ft(X) определим три бинарные операции по правилам:
u ⊣ v = uṽ, u ⊢ v = ũv, u ⊥ v = uv.
Предложение 1. Алгебраическая система (Ft(X),⊣,⊢,⊥) является свободным три-
оидом.
Доказательство. Понятно, что операции ⊣, ⊢ и ⊥ являются ассоциативными. Кроме
того, для всех u, v, w ∈ Ft(X) выполняются аксиомы триоида (T1)–(T8):
(u ⊣ v) ⊣ w = uṽw̃ = u˜̃vw = u ⊣ (v ⊢ w),
(u ⊢ v) ⊣ w = ũvw̃ = u ⊢ (v ⊣ w),
(u ⊣ v) ⊢ w = ũṽw = ũṽw = u ⊢ (v ⊢ w),
(u ⊣ v) ⊣ w = uṽw̃ = uṽw = u ⊣ (v⊥w),
(u⊥v) ⊣ w = uvw̃ = u⊥(v ⊣ w),
(u ⊣ v)⊥w = uṽw = u⊥(v ⊢ w),
(u ⊢ v)⊥w = ũvw = u ⊢ (v⊥w),
(u⊥v) ⊢ w = ũvw = ũṽw = u ⊢ (v ⊢ w).
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
Покажем теперь, что триоид (Ft(X),⊣,⊢,⊥) — свободный. Аналогично представлению
элементов свободного триоида ранга 1 (см. лемму 1.10 в [1]), произвольный элемент w ∈
∈ Ft(X) представляется одним из следующих двух способов:
w = u
(0)
1 u
(0)
2 · · · u(0)k0
u
(1)
1 u
(1)
2 · · · u(1)k1
u
(2)
1 u
(2)
2 · · · u(2)k2
· · · u(j−1)
kj−1
u
(j)
1 u
(j)
2 · · · u(j)kj
=
= (u
(0)
1 ⊢ · · · ⊢ u(0)k0
) ⊢ (u
(1)
1 ⊣ · · · ⊣ u(1)k1
) ⊥ · · · ⊥ (u
(j)
1 ⊣ · · · ⊣ u(j)kj
),
где u(i)l ∈ X, 1 6 l 6 ki для всех i ∈ {0, 1, . . . , j}, или
w = u
(1)
1 u
(1)
2 · · · u(1)k1
u
(2)
1 u
(2)
2 · · · u(2)k2
· · · u(j−1)
kj−1
u
(j)
1 u
(j)
2 · · · u(j)kj
=
= (u
(1)
1 ⊣ · · · ⊣ u(1)k1
) ⊥ (u
(2)
1 ⊣ · · · ⊣ u(2)k2
) ⊥ · · · ⊥ (u
(j)
1 ⊣ · · · ⊣ u(j)kj
),
где u(i)l ∈ X, 1 6 l 6 ki для всех i ∈ {1, 2, . . . , j}.
Пусть (T ′,⊣′,⊢′,⊥′) — произвольный триоид. Каждый гомоморфизм Φ свободного
триоида (Ft(X),⊣,⊢,⊥) в триоид (T ′,⊣′,⊢′,⊥′) однозначно определяется отображением
ϕ : X → T ′. Для того чтобы задать Φ, достаточно для указанных выше двух видов w ∈
∈ Ft(X) положить
wΦ = (u
(0)
1 ϕ ⊢′ u
(0)
2 ϕ ⊢′ · · · ⊢′ u
(0)
k0
ϕ) ⊢′ (u
(1)
1 ϕ ⊣′ u
(1)
2 ϕ ⊣′ · · · ⊣′ u
(1)
k1
ϕ) ⊥′⊥′ · · ·
⊥′ (u
(j)
1 ϕ ⊣′ u
(j)
2 ϕ ⊣′ · · · ⊣′ u
(j)
kj
ϕ)
и
wΦ = (u
(1)
1 ϕ ⊣′ u
(1)
2 ϕ ⊣′ · · · ⊣′ u
(1)
k1
ϕ) ⊥′ (u
(2)
1 ϕ ⊣′ u
(2)
2 ϕ ⊣′ · · · ⊣′ u
(2)
k2
ϕ) ⊥′⊥′ · · ·
⊥′ (u
(j)
1 ϕ ⊣′ u
(j)
2 ϕ ⊣′ · · · ⊣′ u
(j)
kj
ϕ).
Далее доказательство этого утверждения является точно таким же, как и доказатель-
ство соответствующего утверждения для свободного триоида ранга 1 (см. предложение 1.9
в [1]).
Элементы из Ft(X) называются словами, а X является порождающим множеством
свободного триоида (Ft(X),⊣,⊢,⊥). Через |ω| мы обозначаем длину слова ω ∈ Ft(X).
В частности, для X = {x} имеем
Ft(X) = {x, xx, xx, xx, xxx, xxx, xxx, xxx, xxx, xxx, xxx, . . .}.
Заметим, что эндоморфизм Φ свободного триоида (Ft(X),⊣,⊢,⊥) на произвольном мно-
жестве X является автоморфизмом тогда и только тогда, когда ограничение Φ на X при-
надлежит симметрической группе S(X) на множестве X. Итак, группа автоморфизмов
Aut(Ft(X),⊣,⊢,⊥) изоморфна группе S(X).
2. Определимость. Говорят, что алгебраическая система A из некоторого класса Ω
определяется с точностью до изоморфизма своей полугруппой эндоморфизмов в классе Ω,
если для любой алгебраической системы B ∈ Ω из того, что End(A) ∼= End(B), следует
A ∼= B. Заметим, справедливость обратной импликации очевидна.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 9
Пусть FX = (Ft(X),⊣,⊢,⊥) — свободный триоид на множестве X и u ∈ Ft(X). Эндо-
морфизм θu ∈ End(FX) назовем константным, если xθu = u для всех x ∈ X.
Лемма 2. (i) Для всех u ∈ Ft(X), f ∈ End(FX) имеем θuf = θuf .
(ii) Эндоморфизм f свободного триоида FX является константным эндоморфизмом
тогда и только тогда, когда ψf = f для всех ψ ∈ Aut(FX).
(iii) Эндоморфизм f свободного триоида FX является константным идемпотентным
эндоморфизмом тогда и только тогда, когда f = θx для некоторого x ∈ X.
Доказательство. (i) Пусть u ∈ Ft(X) и f ∈ End(FX). Тогда для всех x ∈ X получаем
x(θuf) = (xθu)f = uf = xθuf .
(ii) Предположим, что эндоморфизм f ∈ End(FX) константный, и пусть ψ ∈ Aut(FX).
Тогда f = θu для некоторого u ∈ Ft(X), при этом
x(ψθu) = (xψ)θu = u = xθu
для всех x ∈ X . Таким образом, ψθu = θu.
Обратно, допустим ψf = f для всех ψ ∈ Aut(FX) и некоторого f ∈ End(FX). Tогда
для фиксированного x ∈ X получаем xf = x(ψf) = (xψ)f = yf , где y = xψ. Поскольку
{xψ | ψ ∈ Aut(FX)} = X, то af = bf для всех a, b ∈ X. Отсюда следует, что f = θu при
u = xf .
(iii) Пусть f ∈ End(FX) — константный идемпотент. Тогда f = θu, u ∈ Ft(X), и согласно
утверждению (i) данной леммы θu = θuθu = θuθu . Это означает, что u = uθu, откуда следует
|u| = 1, т. е. u ∈ X .
Обратно, для всех w ∈ Ft(X) и x ∈ X имеем
wθ2x = (u
(0)
1 u
(0)
2 · · · u(0)k0
u
(1)
1 u
(1)
2 · · · u(1)k1
u
(2)
1 u
(2)
2 · · · u(2)k2
· · · u(j)1 u
(j)
2 · · · u(j)kj
)θ2x =
= (xx · · · x︸ ︷︷ ︸
k0
xx · · · x︸ ︷︷ ︸
k1
xx · · · x︸ ︷︷ ︸
k2
· · · xx · · · x︸ ︷︷ ︸
kj
)θx = xx · · · x︸ ︷︷ ︸
k0
xx · · · x︸ ︷︷ ︸
k1
xx · · · x︸ ︷︷ ︸
k2
· · · xx · · · x︸ ︷︷ ︸
kj
= wθx,
или
wθ2x = (u
(1)
1 u
(1)
2 · · · u(1)k1
u
(2)
1 u
(2)
2 · · · u(2)k2
· · · u(j)1 u
(j)
2 · · · u(j)kj
)θ2x =
= (xx · · · x︸ ︷︷ ︸
k1
xx · · · x︸ ︷︷ ︸
k2
· · · xx · · · x︸ ︷︷ ︸
kj
)θx = xx · · · x︸ ︷︷ ︸
k1
xx · · · x︸ ︷︷ ︸
k2
· · · xx · · · x︸ ︷︷ ︸
kj
= wθx.
Следовательно, θ2x = θx и лемма доказана.
Основным результатом работы является такая теорема:
Теорема 3. Пусть FX = (Ft(X),⊣,⊢,⊥) и FY = (Ft(Y ),⊣,⊢,⊥) — свободные триоиды
такие, что End(FX) ∼= End(FY ). Тогда триоиды FX и FY изоморфны.
Доказательство. Пусть Ψ — произвольный изоморфизм моноида End(FX) на End(FY ).
Согласно утверждению (ii) леммы 2 для некоторого константного эндоморфизма θx, x ∈ X,
свободного триоида FX и для всех α ∈ Aut(FX) имеем αθx = θx. Учитывая, что Ψ есть
гомоморфизм, получаем
θxΨ = (αθx)Ψ = αΨθxΨ.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
Поскольку Aut(FX)Ψ = Aut(FY ), то по утверждению (ii) леммы 2 приходим к выводу,
что θxΨ — константный эндоморфизм свободного триоида FY , т. е. θxΨ = θv для некоторого
v ∈ FY . При этом понятно, что θv есть идемпотент моноида End(FY ). Тогда по утверждению
(iii) леммы 2 θv = θy для некоторого y ∈ Y .
Определим отображение ξ : X → Y , полагая xξ = y тогда и только тогда, когда θxΨ = θy.
Понятно, что ξ — биекция. Таким образом, триоиды FX и FY изоморфны.
1. Loday J.-L., Ronco M.O. Trialgebras and families of polytopes // Contemp. Math. – 2004. – 346. –
P. 369–398.
2. Novelli J.-C., Thibon J. Y. Construction of dendriform trialgebras // Sci. Paris. – 2006. – 342, No 6. –
P. 365–369.
3. Casas J.M. Trialgebras and Leibniz 3-algebras // Bol. Soc. Mat. Mexicana. – 2006. – 12, No 2. – P. 165–178.
4. Жучок А.В. Напiвретракцiї трiоїдiв // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 2. – С. 195–207.
5. Loday J.-L. Dialgebras // Dialgebras and related operads. – Berlin: Springer, 2001. – P. 7–66.
6. Zhuchok A.V. Some congruences on trioids // J. Math. Sci. – 2012. – 187, No 2. – P. 138–145.
7. Zhuchok Y.V. Representations of ordered dimonoids by binary relations // Asian-Eur. J. Math. – 2014. –
7. – 1450006, 13 p.
8. Ulam S.M. A collection of mathematical problems. – New York; London: Interscience Publishers, 1960. –
150 p. – (Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No 8).
9. Araujo J., Konieczny J. Dense relations are determined by their endomorphism monoids // Semigroup
Forum. – 2005. – 70. – P. 302–306.
10. Глускин Л.М. Идеалы полугрупп // Матем. сб. – 1961. – 55 (97), № 4. – С. 421–448.
11. Бондарь Е.А., Жучок Ю.В. Представления моноида сильных эндоморфизмов конечных n-однород-
ных гиперграфов // Фундамент. и прикл. матем. – 2013. – 18, № 1. – С. 21–34.
12. Plotkin B. I. Seven lectures on the universal algebraic geometry. – Jerusalem: Inst. of Math. of Hebrew
Univ., 2000. – 87 p.
13. Formanek E. A question of B. Plotkin about the semigroup of endomorphisms of a free group // Proc.
Amer. Math. Soc. – 2001. – 130. – P. 935–937.
14. Schein B.M., Mashevitzky G. Automorphisms of the endomorphism semigroup of a free monoid or a free
semigroup // Ibid. – 2003. – 131, No 6. – P. 1655–1660.
Надiйшло до редакцiї 30.10.2014Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
Ю.В. Жучок
Про визначенiсть вiльних трiоїдiв напiвгрупами ендоморфiзмiв
Доведено, що напiвгрупи ендоморфiзмiв двох вiльних трiоїдiв iзоморфнi тодi й лише тодi,
коли вiдповiднi вiльнi трiоїди iзоморфнi.
Yu.V. Zhuchok
On the determinability of free trioids by semigroups of endomorphisms
We prove that the endomorphism semigroups of two free trioids are isomorphic if and only if the
corresponding free trioids are isomorphic.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-96213 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:45:43Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Жучок, Ю.В. 2016-03-12T15:30:55Z 2016-03-12T15:30:55Z 2015 Об определимости свободных триоидов полугруппами эндоморфизмов / Ю.В. Жучок // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96213 512.53+512.57 Доказано, что полугруппы эндоморфизмов двух свободных триоидов изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие свободные триоиды изоморфны. Доведено, що напiвгрупи ендоморфiзмiв двох вiльних трiоїдiв iзоморфнi тодi й лише тодi, коли вiдповiднi вiльнi трiоїди iзоморфнi. We prove that the endomorphism semigroups of two free trioids are isomorphic if and only if the corresponding free trioids are isomorphic. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Об определимости свободных триоидов полугруппами эндоморфизмов Про визначенiсть вiльних трiоїдiв напiвгрупами ендоморфiзмiв On the determinability of free trioids by semigroups of endomorphisms Article published earlier |
| spellingShingle | Об определимости свободных триоидов полугруппами эндоморфизмов Жучок, Ю.В. Математика |
| title | Об определимости свободных триоидов полугруппами эндоморфизмов |
| title_alt | Про визначенiсть вiльних трiоїдiв напiвгрупами ендоморфiзмiв On the determinability of free trioids by semigroups of endomorphisms |
| title_full | Об определимости свободных триоидов полугруппами эндоморфизмов |
| title_fullStr | Об определимости свободных триоидов полугруппами эндоморфизмов |
| title_full_unstemmed | Об определимости свободных триоидов полугруппами эндоморфизмов |
| title_short | Об определимости свободных триоидов полугруппами эндоморфизмов |
| title_sort | об определимости свободных триоидов полугруппами эндоморфизмов |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96213 |
| work_keys_str_mv | AT žučokûv obopredelimostisvobodnyhtrioidovpolugruppamiéndomorfizmov AT žučokûv proviznačenistʹvilʹnihtrioídivnapivgrupamiendomorfizmiv AT žučokûv onthedeterminabilityoffreetrioidsbysemigroupsofendomorphisms |