Про випадковi блукання на дискретних абелевих групах
Отриманi необхiднi та достатнi умови рекурентностi випадкових блукань на групах
 p-iчно рацiональних чисел Hp = {m/p^n : n = 1, 2, . . . ;m ∈ Z}. Получены необходимые и достаточные условия возвратности случайных блужданий на
 группах p-ично рациональных чисел Hp = {m/p^n : n = 1, 2,...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96216 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про випадковi блукання на дискретних абелевих групах / М.В. Миронюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 18-22. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860019209784786944 |
|---|---|
| author | Миронюк, М.В. |
| author_facet | Миронюк, М.В. |
| citation_txt | Про випадковi блукання на дискретних абелевих групах / М.В. Миронюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 18-22. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Отриманi необхiднi та достатнi умови рекурентностi випадкових блукань на групах
p-iчно рацiональних чисел Hp = {m/p^n : n = 1, 2, . . . ;m ∈ Z}.
Получены необходимые и достаточные условия возвратности случайных блужданий на
группах p-ично рациональных чисел Hp = {m/p^n : n = 1, 2, . . . ;m ∈ Z}.
We find the necessary and sufficient conditions for the recurrence of random walks on groups of
the form Hp = {m/p^n : n = 1, 2, . . . ;m ∈ Z}.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:46:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.214.7
М. В. Миронюк
Про випадковi блукання на дискретних абелевих групах
(Представлено академiком НАН України Є.Я. Хрусловим)
Отриманi необхiднi та достатнi умови рекурентностi випадкових блукань на групах
p-iчно рацiональних чисел Hp = {m/pn : n = 1, 2, . . . ;m ∈ Z}.
Нехай (Ω,A, P ) — iмовiрнiсний простiр, X — злiченна дискретна абелева група, µ — роз-
подiл на X. Нагадаємо, що випадковим блуканням на групi X, породженим розподiлом µ,
називається послiдовнiсть
Sn = ξ1 + · · ·+ ξn, n = 1, 2, . . . ,
де ξj — незалежнi однаково розподiленi з розподiлом µ випадковi величини, визначенi на
(Ω,A, P ) зi значеннями в X. Випадкове блукання на групi X називається рекурентним,
якщо всi елементи групи X рекурентнi, тобто для будь-якого x ∈ X виконано
P{ω ∈ Ω: Sn(ω) = x для нескiнченної кiлькостi iндексiв n ∈ N} = 1.
Позначимо через Z групу цiлих чисел, через Q — групу рацiональних чисел, що розгля-
дається в дискретнiй топологiї, через Z(k) — циклiчну групу порядку k. Р. Дадлi (див. [1])
довiв, що на злiченнiй групi X iснує рекурентне випадкове блукання тодi i лише тодi, ко-
ли X не мiстить пiдгрупи, iзоморфної Z3. Внаслiдок теореми Р. Дадлi виникає природна
задача знаходження умов рекурентностi випадкових блукань для дискретних груп, якi не
мiстять Z3. Такi умови вивчались:
(a) на слабкому прямому добутку Z(2)ℵ0∗ [2];
(b) на слабкому прямому добутку P∗
i∈NZ(ki) [3];
(c) на фактор-групi Q/Z та її пiдгрупах [3];
(d) на слабкому прямому добутку Z(k)ℵ0∗ [4];
(e) на групах p-iчно рацiональних чисел Hp = {m/pn : n = 1, 2, . . . ;m ∈ Z} [4];
(f) на групi виду Zk × P∗
i∈NZ(ki) [5].
Нехай X — локально компактна абелева група, яка задовольняє другу аксiому злiчен-
ностi, Y = X∗ — група характерiв групи X, (x, y) — значення характеру y ∈ Y на елементi
x ∈ X. Нехай
µ̂(y) =
∫
X
(x, y) dµ(x) —
характеристична функцiя розподiлу µ на X. Позначимо через mX мiру Хаара на групi X.
В роботi [6] С. Кестен та Ф. Спiцер довели такий критерiй рекурентностi випадкового блу-
кання на дискретнiй абелевiй групi:
© М. В. Миронюк, 2015
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
Теорема А [6]. Нехай X — злiченна дискретна абелева група. Нехай µ — розподiл на
групi X. Випадкове блукання, породжене розподiлом µ, рекурентне тодi i лише тодi, коли
∫
Y
Re
1
1− µ̂(y)
dmY = ∞. (1)
У випадках груп виду (b), (c), (d), (f) автори вiдповiдних статей при отриманнi необ-
хiдних та достатнiх умов рекурентностi випадкових блукань використовували теорему А.
У цих випадках групи характерiв вiдповiдних груп мають досить просту структуру.
Випадок (e) бiльш складний. Автори статтi [4] стверджують, що теорема А некорисна
для отримання необхiдних та достатнiх умов рекурентностi випадкових блукань на гру-
пi X, якщо її група характерiв Y має складну структуру, як, наприклад, для групи p-iчно
рацiональних чисел Hp. У цьому випадку група Y — це p-адичний соленоїд. В [4] необ-
хiднi та достатнi умови рекурентностi випадкових блукань на групi Hp були отриманi без
застосування теореми А.
У цiй роботi, застосовуючи теорему А, ми знаходимо необхiднi та достатнi умови реку-
рентностi випадкових блукань на групi p-iчно рацiональних чисел Hp. Цi результати iншим
чином були отриманi в [4].
У роботi використовуються деякi результати теорiї двоїстостi Понтрягiна (див. [7]).
Для того щоб застосовувати теорему А, нагадаємо опис групи характерiв групи Hp.
Нехай ∆p — група цiлих p-адичних чисел. Розглянемо локально компактну абелеву гру-
пу R × ∆p. Нехай u = (1, 0, 0, . . . , 0, . . .) ∈ ∆p, а B — пiдгрупа {(n, nu}∞n=−∞ в R × ∆p.
Фактор-група Σp = R ×∆p/B називається p-адичним соленоїдом. Група Σp компактна та
зв’язна (див. [7, § 10]). Група Σp топологiчно iзоморфна групi характерiв групи Hp (див. [7,
§ 25.3]).
Позначимо через T групу обертiв кола (одновимiрний тор), тобто T = {z ∈ C : |z| = 1}.
Нам в роботi зручно використовувати iншу реалiзацiю p-адичного соленоїда як пiдгрупу
нескiнченновимiрного тора Tℵ0 .
Розглянемо гомоморфiзм f : R ×∆p −→ Tℵ0 , який визначається формулою
f(t,y) 7−→ z = (z1, z2, . . .), zj = exp
(
2πi
pj
(t− (y0 + py1 + · · ·+ pj−1yj−1))
)
,
де t ∈ R, y = (y0, y1, . . .) ∈ ∆p.
Не складно перевiрити, що f — неперервний гомоморфiзм, Ker f = B и G = Imf =
= {z = (z1, z2, . . . , zn, . . .) ∈ Tℵ0 : zpk = zk−1} — замкнена пiдгрупа в нескiнченновимiрному
торi Tℵ0 . Тодi G ∼= Σp.
Реалiзацiя p-адичного соленоїда Σp у виглядi пiдгрупи
G = {z = (z1, z2, . . . , zn, . . .) ∈ Tℵ0 : zpk = zk−1}
дає можливiсть легко перевiрити таке: якщо h = m/pn — довiльний характер групи Σp, то
(z, h) = zmn+1, z = (z1, z2, . . . , zn, . . .) ∈ G.
Розглянемо групу X = Hp. Зазначимо, що числа
e±0 = ±1, e±1 = ±1
p
, e±2 ±
1
p2
, . . . , e±n = ± 1
pn
, . . .
є природними твiрними групи X.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 19
Розглянемо на X розподiл µ виду
µ{e±j} =
qj
2
,
∞∑
j=0
qj = 1, qj > 0, j = 0, 1, 2, . . . (2)
Розподiл µ визначає деяке випадкове блукання на X.
У нижчеподанiй теоремi 1 отриманi достатнi умови рекурентностi випадкового блукан-
ня, породженого розподiлом µ, на групi X = Hp.
Теорема 1. Нехай X = Hp. Нехай µ — розподiл на X виду (2). Умова
∞∑
n=1
1
pn
√
qn + qn+1 + · · · = ∞
достатня для рекурентностi випадкового блукання, породженого розподiлом µ на X.
У наведенiй далi теоремi 2 отриманi необхiднi умови рекурентностi випадкового блукан-
ня, породженого розподiлом µ, на групi X = Hp.
Нам потрiбна така добре вiдома властивiсть характеристичних функцiй (див., наприк-
лад, [8, § 2]):
Лема 1. Нехай X — локально компактна абелева група, яка задовольняє другу аксiому
злiченностi, µ — розподiл на X. Еквiвалентними є такi умови:
(i) носiй розподiлу µ не мiститься в жодному класi сумiжностi групи X за деякою
пiдгрупою;
(ii) {y ∈ Y : |µ̂(y)| = 1} = {0}.
Теорема 2. Нехай X = Hp. Нехай µ — розподiл на X виду (2). Ми будемо передбачати,
що в (2) всi qj > 0. Умова
∞∑
n=1
1
pn
√
qn
= ∞
необхiдна для рекурентностi випадкового блукання, породженого розподiлом µ на X.
Як було зазначено вище, теореми 1 та 2 були доведенi в [4]. Наше доведення принципо-
во вiдрiзняється, тому що ми використовуємо теорему А. Коротко опишемо основну iдею
доведення теорем 1 та 2.
Група характерiв групиX топологiчно iзоморфна групi Σp. Щоб не ускладнювати позна-
чень, будемо вважати, що Y = Σp. Нам зручно розглядати реалiзацiю a-адичного соленоїда
як пiдгрупи в Tℵ0 . Тодi елементами групи Y є послiдовностi y = (y1, y2, . . .), де yn ∈ T,
ypn = yn−1. Покладемо yn = eibn . Таким чином, послiдовностi (y1, y2, . . .) вiдповiдає деяка
послiдовнiсть (b1, b2, . . .). Числа bn визначенi за модулем 2π. Ми будемо брати цi числа або
з iнтервалу [0, 2π), або з iнтервалу [−π, π) залежно вiд того, як нам буде зручно. Неза-
лежно вiд того, в якому iнтервалi ми братимемо точки bn, непорозумiнь виникати не буде.
Зазначимо, що
an+1bn+1 = bn (mod 2π).
Зазначимо також, що (e±j , y) = e±ibj+1 = cos bj+1 ± i sin bj+1. Тодi
µ̂(y) =
∫
X
(x, y)dµ(x) =
1
2
∞∑
j=0
qj(ej , y) +
1
2
∞∑
j=0
qj(e−j , y) =
∞∑
j=0
qj cos bj+1.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
Для компактної групи Y будемо вважати, що мiра Хаара mY нормована так, що
mY (Y ) = 1.
Основна iдея доведення полягає в тому, щоб побудувати в p-адичному соленоїдi Σp сис-
тему множин E0, E1, . . . , En, . . . , якi не перетинаються та для яких
∞∑
n=0
mY (En) = 1.
Покладемо
E0 =
{
y ∈ Y : b1 6∈
[
−π
p
,
π
p
]}
.
Використовуючи iнварiантнiсть мiри Хаара, отримуємо
mY (E0) =
p− 1
p
.
Зазначимо, що
Y \ E0 =
{
y ∈ Y : b1 ∈
[
−π
p
,
π
p
]
, b2 ∈
[
2πk
p
− π
p2
,
2πk
p
+
π
p2
]
(k = 0, 1, . . . , p− 1), . . .
. . . , bn ∈
[
2πk
pn−1
− π
pn
,
2πk
pn−1
+
π
pn
]
(k = 0, 1, . . . , p − 1), . . .
}
.
Покладемо
E1 =
{
y ∈ Y \ E0 : b2 6∈
[
− π
p2
,
π
p2
]}
=
=
{
y ∈ Y \ E0 : b1 ∈
[
−π
p
,
π
p
]
, b2 ∈
[
2πk
p
− π
p2
,
2πk
p
+
π
p2
]
(k = 1, . . . , p− 1)
}
.
Легко бачити, що mY (E1) =
p− 1
p2
.
За iндукцiєю визначаємо послiдовнiсть множин
En =
{
y ∈ Y \
n−1⋃
j=0
Ej : bn+1 6∈
[
− π
pn+1
,
π
pn+1
]}
. (3)
Насправдi множини En можна визначити за допомогою тiльки координати bn+1. Для
кращого розумiння зазначимо, що
En =
{
y ∈ Y : bn+1 ∈
[
2πk
p
− π
pn+1
,
2πk
p
+
π
pn+1
]
(k = 1, . . . , p − 1)
}
=
=
{
y ∈ Y \
n−1⋃
j=0
Ej : b1 ∈
[
−π
p
,
π
p
]
, b2 ∈
[
− π
p2
,
π
p2
]
, . . . , bn ∈
[
− π
pn
,
π
pn
]
,
bn+1 ∈
[
2πk
p
− π
pn+1
,
2πk
p
+
π
pn+1
]
(k = 1, . . . , p − 1)
}
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 21
Використовуючи (3) та iнварiантнiсть мiри Хаара, не складно за iндукцiєю перевiри-
ти, що
mY (En) =
p− 1
pn+1
для всiх n = 0, 1, 2, . . ..
За побудовою ми отримали, що Ei
⋂
Ej = ∅ при i 6= j та
∞∑
n=0
mY (En) = 1.
Далi оцiнюємо на кожнiй з множин En функцiю µ̂(y). Потiм отримаємо оцiнки знизу
та зверху iнтеграла (1).
Зауваження 1. Аналiзуючи доведення теорем 1 та 2, ми вважаємо, що аналогiчнi ре-
зультати можуть бути отриманi також на довiльних пiгрупах групи рацiональних чисел.
1. Dudley R.M. Random walks on abelian groups // Proc. Amer. Math. Soc. – 1962. – 13. – P. 447–450.
2. Darling D.A., Erdos P. On the recurrence of a certain chain // Ibid. – 1968. – 19. – P. 336–338.
3. Flatto L., Pitt J. Recurrence criteria for random walks on countable abelian groups // Ill. J. Math. –
1974. – 18. – P. 1–19.
4. Ферейг Н., Молчанов С.А. О случайных блужданиях на абелевых группах бесконечным числом обра-
зующих // Вестн. Моск. ун-та. Мат., мех. – 1978. – № 5. – С. 22–29.
5. Касымджанова М.А. Возвратность инвариантных цепей Маркова на одном классе абелевых групп //
Там же. – 1981. – № 3. – С. 3–7.
6. Kesten S., Spitzer F. Random walk on countably infinite abelian groups // Acta. Math. – 1965. – 114. –
P. 237–265.
7. Hewitt E., Ross K.A. Abstract harmonic analysis. Vol. 1. – Berlin; Gottingen; Heildelberg: Springer, 1963. –
519 p.
8. Feldman G.M. Functional equations and characterization problems on locally compact Abelian groups. –
Zürich: European Math. Society, 2008. – 256 p. – (Tracts in Mathematics; Vol. 5).
Надiйшло до редакцiї 13.11.2014Фiзико-технiчний iнститут низьких температур
iм. Б. I. Вєркiна НАН України, Харкiв
М.В. Миронюк
О случайных блужданиях на дискретных абелевых группах
Получены необходимые и достаточные условия возвратности случайных блужданий на
группах p-ично рациональных чисел Hp = {m/pn : n = 1, 2, . . . ;m ∈ Z}.
M.V. Myronyuk
Random walks on discrete Abelian groups
We find the necessary and sufficient conditions for the recurrence of random walks on groups of
the form Hp = {m/pn : n = 1, 2, . . . ;m ∈ Z}.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-96216 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:46:52Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Миронюк, М.В. 2016-03-12T15:31:34Z 2016-03-12T15:31:34Z 2015 Про випадковi блукання на дискретних абелевих групах / М.В. Миронюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 18-22. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96216 519.214.7 Отриманi необхiднi та достатнi умови рекурентностi випадкових блукань на групах
 p-iчно рацiональних чисел Hp = {m/p^n : n = 1, 2, . . . ;m ∈ Z}. Получены необходимые и достаточные условия возвратности случайных блужданий на
 группах p-ично рациональных чисел Hp = {m/p^n : n = 1, 2, . . . ;m ∈ Z}. We find the necessary and sufficient conditions for the recurrence of random walks on groups of
 the form Hp = {m/p^n : n = 1, 2, . . . ;m ∈ Z}. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про випадковi блукання на дискретних абелевих групах О случайных блужданиях на дискретных абелевых группах Random walks on discrete Abelian groups Article published earlier |
| spellingShingle | Про випадковi блукання на дискретних абелевих групах Миронюк, М.В. Математика |
| title | Про випадковi блукання на дискретних абелевих групах |
| title_alt | О случайных блужданиях на дискретных абелевых группах Random walks on discrete Abelian groups |
| title_full | Про випадковi блукання на дискретних абелевих групах |
| title_fullStr | Про випадковi блукання на дискретних абелевих групах |
| title_full_unstemmed | Про випадковi блукання на дискретних абелевих групах |
| title_short | Про випадковi блукання на дискретних абелевих групах |
| title_sort | про випадковi блукання на дискретних абелевих групах |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96216 |
| work_keys_str_mv | AT mironûkmv provipadkoviblukannânadiskretnihabelevihgrupah AT mironûkmv oslučainyhbluždaniâhnadiskretnyhabelevyhgruppah AT mironûkmv randomwalksondiscreteabeliangroups |