Конструктивний опис моногенних функцiй у скiнченновимiрних комутативних алгебрах
Отримано конструктивний опис моногенних функцiй зi значеннями в довiльнiй скiнченновимiрнiй комутативнiй асоцiативнiй алгебрi з одиницею за допомогою голоморфних функцiй комплексної змiнної. Получено конструктивное описание моногенных функций со значениями в произвольной конечномерной коммутативной...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96217 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Конструктивний опис моногенних функцiй у скiнченновимiрних комутативних алгебрах / В.С. Шпакiвський // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 23-28. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859860150802710528 |
|---|---|
| author | Шпакiвський, В.С. |
| author_facet | Шпакiвський, В.С. |
| citation_txt | Конструктивний опис моногенних функцiй у скiнченновимiрних комутативних алгебрах / В.С. Шпакiвський // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 23-28. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Отримано конструктивний опис моногенних функцiй зi значеннями в довiльнiй скiнченновимiрнiй комутативнiй асоцiативнiй алгебрi з одиницею за допомогою голоморфних функцiй комплексної змiнної.
Получено конструктивное описание моногенных функций со значениями в произвольной конечномерной коммутативной ассоциативной алгебре с единицей при помощи голоморфных функций комплексной переменной.
We obtain a constructive description of monogenic functions taking values in an arbitrary finitedimensional commutative associative algebra with unity with the help of holomorphic functions of the complex variable.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:45:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.548
В.С. Шпакiвський
Конструктивний опис моногенних функцiй
у скiнченновимiрних комутативних алгебрах
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Ю.А. Дроздом)
Отримано конструктивний опис моногенних функцiй зi значеннями в довiльнiй скiнчен-
новимiрнiй комутативнiй асоцiативнiй алгебрi з одиницею за допомогою голоморфних
функцiй комплексної змiнної.
У. Гамiльтон, побудувавши некомутативну алгебру кватернiонiв над полем дiйсних чисел R,
започаткував розвиток гiперкомплексного аналiзу. В роботi К. Сегре [1] побудовано алгебру
комутативних кватернiонiв над полем R, яка є iзоморфною алгебрi бiкомплексних чисел
над полем комплексних чисел C.
У роботах Ф. Рiнглеба [2] i Дж. Райлi [3] отримано конструктивний опис аналiтичних
функцiй бiкомплексної змiнної, а саме: доведено, що кожну аналiтичну функцiю бiком-
плексної змiнної можна побудувати за допомогою двох голоморфних функцiй комплексної
змiнної.
П. Кетчум [4] вперше використав аналiтичнi функцiї, що набувають значення в кому-
тативнiй алгебрi, вiдмiннiй вiд алгебри комплексних чисел, для побудови розв’язкiв три-
вимiрного рiвняння Лапласа. Вiн показав, що кожна аналiтична функцiя Φ(ζ) змiнної
ζ = xe1 + ye2 + ze3 задовольняє тривимiрне рiвняння Лапласа, якщо лiнiйно незалежнi
елементи e1, e2, e3 комутативної алгебри задовольняють умову
e21 + e22 + e23 = 0, (1)
оскiльки
∆3Φ :=
∂2Φ
∂x2
+
∂2Φ
∂y2
+
∂2Φ
∂z2
≡ Φ′′(ζ)(e21 + e22 + e23) = 0, (2)
де Φ′′ := (Φ′)′ i Φ′(ζ) визначається рiвнiстю dΦ = Φ′(ζ)dζ. П. Кетчум також показав, що
в алгебрi кватернiонiв Сегре iснує така трiйка векторiв e1, e2, e3, що задовольняє рiвнiсть (1).
I. П. Мельниченко [5] запропонував розглядати в рiвностях (2) функцiї Φ, двiчi диферен-
цiйовнi за Гато, при цьому описав усi базиси {e1, e2, e3} тривимiрних комутативних алгебр
з одиницею над полем C, якi задовольняють рiвнiсть (1) (див. [6]).
Для цих тривимiрних комутативних алгебр, асоцiйованих з тривимiрним рiвнянням
Лапласа, в роботах [7–9] отримано конструктивний опис усiх моногенних (тобто неперерв-
них i диференцiйовних за Гато) розв’язкiв рiвняння ∆3Φ = 0 за допомогою трьох вiдпо-
вiдних голоморфних функцiй комплексної змiнної. Отриманi у такий спосiб представлення
моногенних функцiй дали можливiсть встановити нескiченну диференцiйовнiсть за Гато
цих функцiй i довести аналоги класичних iнтегральних теорем для них (див., наприклад,
[10, 11]).
© В. С. Шпакiвський, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 23
В роботах [12, 13] встановлено конструктивний опис моногенних функцiй (зв’язаних
з рiвнянням ∆3Φ = 0) зi значеннями в деяких n-вимiрних комутативних алгебрах за допо-
могою вiдповiдних n голоморфних функцiй комплексної змiнної i, спираючись на одержанi
представлення моногенних функцiй, доведено аналоги ряду класичних результатiв комп-
лексного аналiзу.
У цiй роботi встановлено конструктивний опис моногенних функцiй зi значеннями в до-
вiльнiй скiнченновимiрнiй комутативнiй асоцiативнiй алгебрi з одиницею за допомогою го-
ломорфних функцiй комплексної змiнної.
1. Алгебра Am
n
. Нехай N — множина натуральних чисел i m, n ∈ N такi, що m 6 n.
Нехай Am
n — довiльна комутативна асоцiативна алгебра з одиницею над полем комплексних
чисел C. Е. Картан [14, c. 33] довiв, що в алгебрi Am
n iснує базис {Ik}nk=1, який задовольняє
такi правила множення:
1) ∀ r, s ∈ [1,m]
⋂
N: IrIs =
{
0 при r 6= s,
Ir при r = s;
2) ∀ r, s ∈ [m + 1, n]
⋂
N: IrIs =
n∑
k=max{r,s}+1
Υs
r,kIk;
3) ∀ s ∈ [m+ 1, n]
⋂
N ∃!us ∈ [1,m]
⋂
N ∀ r ∈ [1,m]
⋂
N: IrIs =
{
0 при r 6= us,
Is при r = us.
Крiм того, структурнi константи Υs
r,k ∈ C задовольняють умови асоцiативностi:
(A1) (IrIs)Ip = Ir(IsIp) ∀ r, s, p ∈ [m + 1, n]
⋂
N;
(A2) (IuIs)Ip = Iu(IsIp) ∀u ∈ [1,m]
⋂
N ∀ s, p ∈ [m + 1, n]
⋂
N.
Очевидно, що першi m базисних векторiв {Iu}mu=1 є iдемпотентами i породжують напiвпрос-
ту пiдалгебру алгебри Am
n , а вектори {Ir}nr=m+1 породжують нiльпотентну пiдалгебру цiєї
алгебри. Одиницею алгебри Am
n є елемент 1 =
m∑
u=1
Iu.
Алгебра Am
n мiстить m максимальних iдеалiв
Iu :=
{
n∑
k=1,k 6=u
λkIk : λk ∈ C
}
, u = 1, 2, . . . ,m,
перетином яких є радикал
R :=
{
n∑
k=m+1
λkIk : λk ∈ C
}
.
Визначимо m лiнiйних функцiоналiв fu : A
m
n → C рiвностями
fu(Iu) = 1, fu(ω) = 0 ∀ω ∈ Iu, u = 1, 2, . . . ,m.
Оскiльки ядрами функцiоналiв fu є вiдповiдно максимальнi iдеали Iu, то цi функцiонали
є також неперервними i мультиплiкативними (див. [15, с. 147]).
2. Моногеннi функцiї. Нехай
e1 = 1, e2 =
n∑
r=1
arIr, e3 =
n∑
r=1
brIr
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
при ar, br ∈ C — трiйка векторiв в алгебрi Am
n , якi лiнiйно незалежнi над полем R. Це
означає, що рiвнiсть
α1e1 + α2e2 + α3e3 = 0, α1, α2, α3 ∈ R,
виконується тодi i тiльки тодi, коли α1 = α2 = α3 = 0.
Нехай ζ := xe1 + ye2 + ze3, де x, y, z ∈ R. Очевидно, що ξu := fu(ζ) = x + yau + zbu,
u = 1, 2, . . . ,m. Видiлимо в алгебрi Am
n лiнiйну оболонку E3 := {ζ = xe1+ ye2+ ze3 : x, y, z ∈
∈ R}, породжену векторами e1, e2, e3.
Далi iстотним є припущення: fu(E3) = C при всiх u = 1, 2, . . . ,m, де fu(E3) — образ
множини E3 при вiдображеннi fu. Очевидно, що це має мiсце тодi i тiльки тодi, коли при
кожному фiксованому u = 1, 2, . . . ,m хоча б одне з чисел au чи bu належить C \ R.
Областi Ω тривимiрного простору R3 поставимо у вiдповiднiсть область Ωζ := {ζ =
= xe1 + ye2 + ze3 : (x, y, z) ∈ Ω} в E3.
Неперервну функцiю Φ: Ωζ → Am
n називатимемо моногенною в областi Ωζ ⊂ E3, якщо
Φ диференцiйовна за Гато в кожнiй точцi цiєї областi, тобто якщо для кожного ζ ∈ Ωζ iснує
елемент Φ′(ζ) алгебри Am
n такий, що виконується рiвнiсть
lim
ε→0+0
(Φ(ζ + εh) − Φ(ζ))ε−1 = hΦ′(ζ) ∀h ∈ E3.
Φ′(ζ) називається похiдною Гато функцiї Φ в точцi ζ.
Розглянемо розклад функцiї Φ: Ωζ → Am
n за базисом {Ik}nk=1:
Φ(ζ) =
n∑
k=1
Uk(x, y, z)Ik. (3)
У випадку, коли функцiї Uk : Ω → C є R-диференцiйовними в областi Ω, тобто для
довiльного (x, y, z) ∈ Ω
Uk(x+∆x, y +∆y, z +∆z)− Uk(x, y, z) =
∂Uk
∂x
∆x+
∂Uk
∂y
∆y +
∂Uk
∂z
∆z +
+ o
(√
(∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2
)
, (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 → 0,
функцiя Φ моногенна в областi Ωζ тодi i тольки тодi, коли в кожнiй точцi областi Ωζ ви-
конуються умови
∂Φ
∂y
=
∂Φ
∂x
e2,
∂Φ
∂z
=
∂Φ
∂x
e3. (4)
3. Розклад резольвенти.
Лема. Розклад резольвенти має вигляд
(t− ζ)−1 =
m∑
u=1
1
t− ξu
Iu +
n∑
s=m+1
s−m+1∑
k=2
Qk,s
(t− ξus)
k
Is (5)
∀ t ∈ C : t 6= ξu, u = 1, 2, . . . ,m,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 25
де Qk,s визначаються такими рекурентними спiввiдношеннями:
Q2,s = yas + zbs, Qk,s =
s−1∑
p=k+m−2
Qk−1,pBp,s
i Bp,s :=
s−1∑
r=m+1
(yar+zbr)Υ
r
p,s, s = m+2, . . . , n, а натуральнi числа us визначенi в правилi 3
таблицi множення алгебри Am
n .
З леми випливає, що точки (x, y, z) ∈ R3, якi вiдповiдають необоротним елементам ζ ∈
∈ Am
n , лежать на прямих
Lu :
{
x+ yRe au + zRe bu = 0,
y Im au + z Im bu = 0
в тривимiрному просторi R3.
4. Конструктивний опис моногенних функцiй. Нехай область Ω ⊂ R3 є опуклою
в напрямку прямих Lu, u = 1, 2, . . . ,m. Позначимо через Du область комплексної площи-
ни C, на яку область Ωζ вiдображається функцiоналом fu.
Розглянемо лiнiйнi оператори Au, u = 1, 2, . . . ,m, якi моногеннiй функцiї Φ: Ωζ → Am
n
ставлять у вiдповiднiсть голоморфнi функцiї Fu : Du → C за формулою
Fu(ξu) = fu(Φ(ζ)),
де ξu = fu(ζ) ≡ x+yau+zbu i ζ ∈ Ωζ . Так, як i в лемi 1 з роботи [7], доводиться, що значення
Fu(ξu) не залежить вiд вибору точки ζ, для якої fu(ζ) = ξu.
Теорема. Нехай область Ω ⊂ R3 є опуклою в напрямку прямих Lu i fu(E3) = C при
всiх u = 1, 2, . . . ,m. Тодi кожна моногенна функцiя Φ: Ωζ → Am
n подається у виглядi
Φ(ζ) =
m∑
u=1
Iu
1
2πi
∫
Γu
Fu(t)(t− ζ)−1dt+
n∑
s=m+1
Is
1
2πi
∫
Γus
Gs(t)(t− ζ)−1dt, (6)
де Fu — деяка голоморфна функцiя в областi Du; Gs — деяка голоморфна функцiя в облас-
тi Dus; Γq — замкнена жорданова спрямлювана крива, яка лежить в областi Dq, охоплює
точку ξq i не мiстить точок ξℓ, ℓ = 1, 2, . . . ,m, ℓ 6= q.
Доведення. Покладемо
Fu := AuΦ, u = 1, 2, . . . ,m.
Легко показати, що значення моногенної функцiї
Φ0(ζ) := Φ(ζ)−
m∑
u=1
Iu
1
2πi
∫
Γu
Fu(t)(t− ζ)−1dt
належать радикалу алгебри, тобто Φ0(ζ) ∈ R для всiх ζ ∈ Ωζ . Тому функцiя Φ0 має вигляд
Φ0(ζ) =
n∑
s=m+1
Vs(x, y, z)Is, (7)
де Vs : Ω → C, i задовольняє умови Кошi–Рiмана (4) при Φ = Φ0.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
Пiдставляючи в умови (4) рiвнiсть (7) i враховуючи при цьому умову fum+1
(E3) = C,
отримуємо Vm+1(x, y, z) ≡ Gm+1(ξum+1
), де Gm+1 — довiльна голоморфна функцiя в областi
Dum+1
.
Далi показуємо, що значення моногенної функцiї
Φ1(ζ) := Φ0(ζ)− Im+1
1
2πi
∫
Γum+1
Gm+1(t)(t− ζ)−1dt
належать множинi
{ n∑
k=m+2
αkIk : αk ∈ C
}
. Тому функцiя Φ1 має вигляд
Φ0(ζ) =
n∑
s=m+2
Ṽs(x, y, z)Is,
де Ṽs : Ω → C. Аналогiчно до того, як знайдено функцiю Vm+1, отримуємо Ṽm+2(x, y, z) ≡
≡ Gm+2(ξum+2
), де Gm+2 — довiльна голоморфна функцiя в областi Dum+2
.
Продовжуючи цей процес i розглядаючи послiдовно моногеннi функцiї
Φj(ζ) := Φj−1(ζ)− Im+j
1
2πi
∫
Γum+j
Gm+j(t)(t− ζ)−1dt
при j = 2, 3, . . . , n −m− 1, отримуємо вираз (6) для функцiї Φ. Теорему доведено.
Внаслiдок розкладу (5) рiвнiсть (6) записується в такому виглядi:
Φ(ζ) =
m∑
u=1
Fu(ξu)Iu +
n∑
s=m+1
s−m+1∑
k=2
1
(k − 1)!
Qk,sF
(k−1)
us
(ξus)Is +
n∑
q=m+1
Gq(ξuq)Iq +
+
n∑
q=m+1
n∑
s=m+1
s−m+1∑
k=2
1
(k − 1)!
Qk,sG
(k−1)
q (ξuq)IqIs. (8)
Отже, кожна з рiвностей (6) або (8) дає спосiб явної побудови будь-якої моногенної функ-
цiї Φ: Ωζ → Am
n за допомогою n вiдповiдних голоморфних функцiй комплексної змiнної.
Нижченаведене твердження випливає безпосередньо з рiвностi (8), права частина якої
є моногенною функцiєю в областi Πζ := {ζ ∈ E3 : fu(ζ) = Du, u = 1, 2, . . . ,m}.
Наслiдок 1. Якщо область Ω опукла в напрямку прямих Lu i fu(E3) = C при всiх
u = 1, 2, . . . ,m, то кожна моногенна функцiя Φ: Ωζ → Am
n продовжується до функцiї,
моногенної в областi Πζ .
Принциповим наслiдком рiвностi (6) є таке твердження, яке справедливе для довiльної
областi Ωζ .
Наслiдок 2. Нехай fu(E3) = C при всiх u = 1, 2, . . . ,m. Тодi для кожної моногенної
функцiї Φ: Ωζ → Am
n в довiльнiй областi Ωζ похiднi Гато Φ(r) є моногенними функцiями
в Ωζ для всiх r.
Якщо область Ω опукла в напрямку прямих Lu, u = 1, 2, . . . ,m, то наслiдком виразу (6)
є така формула для похiдної Гато Φ(r):
Φ(r)(ζ)=
m∑
u=1
Iu
r!
2πi
∫
Γu
Fu(t)((t−ζ)−1)r+1dt+
n∑
s=m+1
Is
r!
2πi
∫
Γus
Gs(t)((t− ζ)−1)r+1dt ∀ ζ ∈ Ωζ .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 27
1. Segre C. The real representations of complex elements and extentions to bicomplex systems // Math.
Ann. – 1892. – 40. – P. 413–467.
2. Ringleb F. Beiträge zur funktionentheorie in hyperkomplexen systemen. I // Rend. Circ. Mat. Palermo. –
1933. – 57, No 1. – P. 311–340.
3. Riley J.D. Contributions to the theory of functions of a bicomplex variable // Tohoku Math. J. – 1953. –
5, No 2. – P. 132–165.
4. Ketchum P.W. Analytic functions of hypercomplex variables // Trans. Amer. Math. Soc. – 1928. – 30,
No 4. – P. 641–667.
5. Мельниченко И.П. О представлении моногенными функциями гармонических отображений // Укр.
мат. журн. – 1975. – 27, № 5. – С. 606–613.
6. Мельниченко И.П., Плакса С.А. Коммутативные алгебры и пространственные потенциальные поля. –
Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2008. – 230 с.
7. Плакса С.А., Шпаковский В.С. Конструктивное описание моногенных функций в гармонической
алгебре третьего ранга // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 8. – С. 1078–1091.
8. Плакса С.А., Пухтаевич Р.П. Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармо-
нической алгебре с одномерным радикалом // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 5. – С. 670–680.
9. Pukhtaievych R. P. Monogenic functions in a three-dimensional harmonic semi-simple algebra // Zb. Pr.
Inst. Mat. NAN Ukraine. – 2013. – 10, No 4–5. – P. 352–361.
10. Shpakivskyi V. S., Plaksa S. A. Integral theorems and a Cauchy formula in a commutative three-dimensional
harmonic algebra // Bull. Soc. Sci. Lett. Lódź. – 2010. – 60. – P. 47–54.
11. Plaksa S.A. Commutative algebras associated with classic equations of mathematical physics // Advances
in Applied Analysis, Trends in Mathematics. – Basel: Springer, 2012. – P. 177–223.
12. Plaksa S. A., Shpakivskyi V. S. Monogenic functions in a finite-dimensional algebra with unit and radical
of maximal dimensionality // J. Algerian Math. Soc. – 2014. – 1. – P. 1–13.
13. Plaksa S. A., Pukhtaievych R. P. Constructive description of monogenic functions in n-dimensional semi-
simple algebra // An. Şt. Univ. Ovidius Constanţa. – 2014. – 22, No 1. – P. 221–235.
14. Cartan E. Les groupes bilinéares et les systèmes de nombres complexes // Ann. fac. sci. Toulouse. – 1898. –
12, No 1. – P. 1–64.
15. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. –
829 с.
Надiйшло до редакцiї 04.11.2014Iнститут математики НАН України, Київ
В.С. Шпаковский
Конструктивное описание моногенных функций в конечномерных
коммутативных алгебрах
Получено конструктивное описание моногенных функций со значениями в произвольной ко-
нечномерной коммутативной ассоциативной алгебре с единицей при помощи голоморфных
функций комплексной переменной.
V. S. Shpakivskyi
Constructive description of monogenic functions in finite-dimensional
commutative algebras
We obtain a constructive description of monogenic functions taking values in an arbitrary finite-
dimensional commutative associative algebra with unity with the help of holomorphic functions of
the complex variable.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-96217 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:45:01Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шпакiвський, В.С. 2016-03-12T15:31:43Z 2016-03-12T15:31:43Z 2015 Конструктивний опис моногенних функцiй у скiнченновимiрних комутативних алгебрах / В.С. Шпакiвський // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 23-28. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96217 517.548 Отримано конструктивний опис моногенних функцiй зi значеннями в довiльнiй скiнченновимiрнiй комутативнiй асоцiативнiй алгебрi з одиницею за допомогою голоморфних функцiй комплексної змiнної. Получено конструктивное описание моногенных функций со значениями в произвольной конечномерной коммутативной ассоциативной алгебре с единицей при помощи голоморфных функций комплексной переменной. We obtain a constructive description of monogenic functions taking values in an arbitrary finitedimensional commutative associative algebra with unity with the help of holomorphic functions of the complex variable. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Конструктивний опис моногенних функцiй у скiнченновимiрних комутативних алгебрах Конструктивное описание моногенных функций в конечномерных коммутативных алгебрах Constructive description of monogenic functions in finite-dimensional commutative algebras Article published earlier |
| spellingShingle | Конструктивний опис моногенних функцiй у скiнченновимiрних комутативних алгебрах Шпакiвський, В.С. Математика |
| title | Конструктивний опис моногенних функцiй у скiнченновимiрних комутативних алгебрах |
| title_alt | Конструктивное описание моногенных функций в конечномерных коммутативных алгебрах Constructive description of monogenic functions in finite-dimensional commutative algebras |
| title_full | Конструктивний опис моногенних функцiй у скiнченновимiрних комутативних алгебрах |
| title_fullStr | Конструктивний опис моногенних функцiй у скiнченновимiрних комутативних алгебрах |
| title_full_unstemmed | Конструктивний опис моногенних функцiй у скiнченновимiрних комутативних алгебрах |
| title_short | Конструктивний опис моногенних функцiй у скiнченновимiрних комутативних алгебрах |
| title_sort | конструктивний опис моногенних функцiй у скiнченновимiрних комутативних алгебрах |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96217 |
| work_keys_str_mv | AT špakivsʹkiivs konstruktivniiopismonogennihfunkciiuskinčennovimirnihkomutativnihalgebrah AT špakivsʹkiivs konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkciivkonečnomernyhkommutativnyhalgebrah AT špakivsʹkiivs constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinfinitedimensionalcommutativealgebras |