Об устойчивости плоского гироскопического маятника
Установлены условия устойчивости плоского гироскопического маятника. С использованием специальных замен система дифференциальных уравнений возмущенного движения с импульсным воздействием приводится к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Найдены услов...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96222 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об устойчивости плоского гироскопического маятника / С.И. Голинько // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 42-48. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860166517164867584 |
|---|---|
| author | Голинько, С.И. |
| author_facet | Голинько, С.И. |
| citation_txt | Об устойчивости плоского гироскопического маятника / С.И. Голинько // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 42-48. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Установлены условия устойчивости плоского гироскопического маятника. С использованием специальных замен система дифференциальных уравнений возмущенного движения с импульсным воздействием приводится к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Найдены условия возникновения параметрического резонанса колебаний плоского гироскопического маятника.
Встановлено умови стiйкостi плоского гiроскопiчного маятника. З використанням спецiальних замiн система диференцiальних рiвнянь збуреного руху з iмпульсною дiєю приводиться до лiнiйної системи звичайних диференцiальних рiвнянь з постiйними коефiцiєнтами. Знайдено умови виникнення параметричного резонансу коливань плоского гiроскопiчного маятника.
The stability of a plane gyroscopic pendulum is considered. The system of differential equations of
perturbed motion with impulsive action, using the special changes of variables, is reduced to a linear
system of ordinary differential equations with constant coefficients. The conditions of existence of
the parametric resonance of plane gyroscopic pendulum’s oscillations are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:56:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2015
МЕХАНIКА
УДК 517.36
С.И. Голинько
Об устойчивости плоского гироскопического маятника
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
Установлены условия устойчивости плоского гироскопического маятника. С использо-
ванием специальных замен система дифференциальных уравнений возмущенного движе-
ния с импульсным воздействием приводится к линейной системе обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Найдены условия возникнове-
ния параметрического резонанса колебаний плоского гироскопического маятника.
Теория гироскопических приборов, включая маятник, развита в работах [1–4] и многих
других. Анализ устойчивости импульсных систем со структурными возмущениями приво-
дится в работах [5, 6]. Теория параметрического резонанса в механических системах изло-
жена в [7], некоторое применение теории параметрического резонанса представлено в ра-
ботах [8–10].
В данной работе исследуется устойчивость плоского гироскопического маятника при им-
пульсных и параметрических возмущениях. Система уравнений возмущенного движения
маятника линеаризируется в окрестности положения равновесия в моменты импульсного
воздействия. С применением метода усреднения [11], замены переменных из работы [12]
и замены А.М. Ляпунова линейных переменных из линеаризированной системы уравнений
возмущенного движения исключаются гироскопические силы. При этом система диффе-
ренциальных уравнений возмущенного движения с импульсным воздействием приводится
к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
фициентами. Поведение решений последней полностью определяет свойства устойчивости
состояния равновесия маятника при импульсных воздействиях.
Рассмотрим плоский гироскопический маятник в предположении, что на кожух ги-
роскопа действует специальный момент, создаваемый с помощью асинхронного мотора, и
в фиксированные моменты времени t = kT , k ∈ Z, маятник подвергается импульсному во-
здействию ~p0, направленному вертикально вверх. Пусть α — угол отклонения маятника от
вертикального положения; β — угол поворота кожуха; ω — собственная угловая скорость
гироскопа. Принимаем, что система осуществляет малые колебания в окрестности поло-
© С. И. Голинько, 2015
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
жения равновесия, α = β = 0, α̇ = β̇ = 0. Используя уравнение Лагранжа второго рода,
приходим к уравнениям движения маятника [3]
I0α̈+ γ′α̇− Iωβ̇ + Pl1α = 0, t 6= kT,
I1β̈ + γ′′β̇ + Iωα̇+ cβ = 0, t 6= kT,
и условиям сопряжения в момент импульсного воздействия
I0α̇(t+ 0) = I0α̇(t) − p0lα(t), t = kT,
I1β̇(t+ 0) = I1β̇(t), t = kT,
где I0 — момент инерции маятника относительно оси вращения; I1 — экваториальный мо-
мент инерции гироскопа и кожуха; I — полярный момент инерции гироскопа; l — расстояние
от оси вращения до центра масс гироскопа и кожуха; P — вес всей системы; l1 — расстояние
от оси вращения до центра масс всей системы; c — коэффициент, характеризующий жест-
кость пружины, которой соединены кожух и маятник; γ′ и γ′′ — коэффициенты вязкого
трения; T — период. Определим вектор x = (α, β)T и матрицы
A =
(
I0 0
0 I1
)
, B =
(
γ′ 0
0 γ′′
)
, G = I
(
0 −1
1 0
)
= IJ, C =
(
Pl1 0
0 c
)
,
M =
(
−p0l 0
0 0
)
.
Введем обозначения
G̃ = A−1/2GA−1/2, B̃ = A−1/2BA−1/2, C̃ = A−1/2CA−1/2, M̃ = A−1/2MA−1/2.
Примем
ω =
ω0I√
I0I1
, θ =
ω0IT√
I0I1
и будем предполагать, что
√
I0I1
ω0I
≪ 1. Тогда
B̃ =
γ′
I0
0
0
γ′′
I1
, G̃ = J, C̃ =
Pl1
I0
0
0
c
I1
, M =
−p0l
I0
0
0 0
.
Система уравнений возмущенного движения может быть записана в виде
ẍ+ (B̃ + ωG̃)ẋ+ C̃x = 0, t 6= kT,
x(t+ 0) = x(t), t = kT,
ẋ(t+ 0) = ẋ(t) + M̃x(t), t = kT.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 43
Введем малый параметр ε = 1/ω и τ = ωt, тогда в новых переменных запишем систему
уравнений возмущенного движения, линеаризированную в окрестности положения равно-
весия в момент импульсного воздействия,
x′′ + (G̃ + εB̃)x′ + ε2C̃x = 0, τ 6= kθ,
x(τ + 0) = x(τ), τ = kθ,
x′(τ + 0) = x′(τ) + εM̃x(τ), τ = kθ.
(1)
Для системы (1) рассмотрим замену переменных
z = −G−1e−Gτη2 + η1, z′ = e−Gτη2,
которая является заменой Ляпунова. В новых переменных систему дифференциальных
уравнений можно представить в виде
dη
dτ
=
(
ε
(
D1(τ) +
∞∑
k=1
Fkδ(τ − kθ)
)
+ ε2D2(τ)
)
η(τ). (2)
Исследуем эту систему, применяя классические асимптотические методы, развитые для это-
го класса систем в работе [13]. Находим замену переменных, являющуюся при достаточно
малых ε заменой Ляпунова
ζ(τ) = (I + εR1(τ) + ε2R2(τ) + · · · )η(τ),
приводящую систему уравнений (2) к виду
dζ
dτ
= (εG1 + ε2G2 + · · · )ζ, (3)
где G1 и G2 — постоянные матрицы и . . . обозначает члены порядка ε3. Введем обозначения
a = p0l/I0, b = γ′/I0 + γ′′/I1 и d = γ′/I0 − γ′′/I1. Тогда блочные элементы матриц G1 и G2
имеют вид
g11 =
1
θ
(
0 0
a 0
)
, g12 = 0, g21 = 0, g22 =
1
2
−b a
θ
−a
θ
−b
,
g11 =
−γ
′′a
θI1
− c
I1
Pl1
I0
− a2
2θ
ctg
θ
2
0
, g21 =
−ab
4
− a2
4θ
ctg
θ
2
0
ab
4
ctg
θ
2
− a2
4θ
0
,
g12 =
γ′′b
2I1
− aγ′
2θI0
3aγ′′
2θI1
+
ab
4
ctg
θ
2
+
a2
4θ
b
(
a
4
+
γ′
2I0
)
− a2
4θ
ctg
θ
2
,
g22 =
−3ad
8θ
a
8θ
(b+ a ctg θ) +
cI0 + Pl1I1
2I1I0
a
8θ
(3a ctg θ − b)− cI0 + Pl1I1
2I1I0
a2
4θ
+
ad
8θ
.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
Для этой системы условия устойчивости могут быть выписаны на основе теоремы Рауса–
Гурвица в варианте, предложенном в работе [12].
Приближенное равенство θ ≈ πn, n ∈ N, соответствует параметрическому резонансу
в рассматриваемой системе. Исследуем вопрос об условиях такого резонанса, полагая θ ≈
≈ εδ + πn, ε 6= 0. Далее разложим функции ctg θ, ctg(θ/2) и 1/θ в ряды Маклорена по ε
и подставим в уравнение (3), тогда
dξ
dt
= (εS1 + ε2S2 + · · · )ξ.
Соответствующие элементы матриц S1 и S2 после преобразования при нечетных n будут
представлены таким образом:
s11=
(
0 0
a
πn
0
)
, s22=
1
2
−b a
πn
+
a2
8πnδ
3a2
8πnδ
− a
πn
−b
, s11=
− γ′′a
πnI1
− c
I1
Pl1
I0
− aδ
π2n2
0
,
s12 =
γ′′b
2I1
− aγ′
2πnI0
3aγ′′
2πnI1
+
a2
4πn
b
(
a
4
+
γ′
2I0
)
, s21 =
−ab
4
0
− a2
4πn
0
,
s22 =
− 3ad
8πn
ab
8πn
+
cI0 + Pl1I1
2I1I0
− aδ
2π2n2
− a2
8π2n2
− ab
8πn
− cI0 + Pl1I1
2I1I0
+
aδ
2π2n2
− 3a2
8π2n2
a2
4πn
+
ad
8πn
.
Соответствующие элементы матриц S1 и S2 после преобразования при четных n будут
представлены таким образом:
s11 =
0 0
a
πn
− a2
δπn
0
, s12 =
0 0
ab
2δ
− a2
2δπn
, s21 =
− a2
2δπn
0
ab
2δ
0
,
s22 =
1
2
−b a
πn
+
a2
8πnδ
3a2
8πnδ
− a
πn
−b
, s11 =
− γ′′a
πnI1
− c
I1
Pl1
I0
− aδ
π2n2
+
a2
π2n2
0
,
s12 =
γ′′b
2I1
− aγ′
2πnI0
3aγ′′
2πnI1
+
a2
4πn
b
(
a
4
+
γ′
2I0
)
+
a2
2π2n2
, s21 =
−ab
4
+
a2
2π2n2
0
− a2
4πn
0
,
s22 =
− 3ad
8πn
ab
8πn
+
cI0 + Pl1I1
2I1I0
− aδ
2π2n2
− a2
8π2n2
− ab
8πn
− cI0 + Pl1I1
2I1I0
+
aδ
2π2n2
− 3a2
8π2n2
a2
4πn
+
ad
8πn
.
Условия устойчивости и неустойчивости равновесия по линейному приближению рассмат-
риваемой импульсной системы при достаточно малых значениях параметра ε являются
следствием условий Рауса–Гурвица и теоремы III из работы [12].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 45
При нечетных n для устойчивости достаточным является выполнение условий
a0 = 1 > 0, a1 = 2εb > 0, a2 =
ε2(−3a4 + 64a2δ2 − 16a3δ + 64δ2π2n2b2)
64π2n2δ2
> 0,
a3 =
ε4a(−3a4γ′′ − 16a3δγ′′ + 64a2δ2γ′′ + 128π2n2δ2bc+ 64δ2π2n2b2γ′′)
64I1I0π3n3δ2
> 0,
a4 =
ε5ca(−3a4 + 64a2δ2 − 16a3δ + 64δ2π2n2b2)
64I1π3n3δ2
> 0,
∆3 = a1a2a3 − a0a
2
3 − a21a4 =
ε7baγ′′(−3a4 + 64a2δ2 − 16a3δ + 64δ2π2n2b2)2
2048π5n5δ4I1I0
> 0,
а при четных n
a0 = 1 > 0, a1 = 2εb > 0, a2 =
ε2(−3a4 + 64a2δ2 − 16a3δ + 64δ2π2n2b2)
64π2n2δ2
> 0,
a3 = − ε4a
64I1I20π
3n3δ2
(3a4I0γ
′′ + 16a3I0δγ
′′ − 64a2I0δ
2γ′′ + 2a2n2I0π
2b2γ′′ −
− 128π2n2δ2I0bc− 64δ2π2n2b2I0γ
′′ + 6a4I1γ
′ − 16a3I1δγ
′ + 32a2n2I0π
2bc+
+ 128an2I0π
2bcδ − 16aγ′δn2I1π
2b2) > 0,
a4 =
ε5ca
64I1π3n3δ3
(9a5 − 3a4δ − 80a3δ2 + 64a2δ3 + 2a3n2π2b2 − 16a2n2π2b2δ +
+ 64δ3π2n2b2 − 64an2π2δ2b2) > 0,
∆3 = a1a2a3 − a0a
2
3 − a21a4 = − ε7ba
2048π5n5δ4I1I
2
0
(−9a8I0γ
′′ − 6a6n2I0π
2b2γ′′ −
− 4096δ4n4π4b4I0γ
′′ + 128δ2n4π4b4a2I0γ
′′ − 8192a2δ4n2I0π
2b2γ′′ −
− 32a5δn2I0π
2b2γ′′ + 2048a3δ3n2I0π
2b2γ′′ + 512a4δ2n2I0π
2b2γ′′ − 96a7δI0γ
′′ +
+ 128a6δ2I0γ
′′ + 2048a5δ3I0γ
′′ − 4096a4δ4I0γ
′′ − 18a8I1γ
′ − 1024δ3n4π4b4aI1γ
′ +
+ 48a5δn2I1π
2b2γ′ + 640a4δ2n2I1π
2b2γ′ − 2048a3δ3n2I1π
2b2γ′ − 48a7δI1γ
′ +
+ 640a6δ2I1γ
′ − 1024a5δ3I1γ
′ − 96a6n2I0π
2bc− 8192δ4n4π4b3I0c+
+ 8192b3cn4π4δ4I20 + 1152bcn2π2δI20a
5 + 2048δ2n4π4b3a2I0c+ 8192δ3n4π4b3aI0c−
− 384bcn2π2δ2I20a
4 − 10240bcn2π2δ3I20a
3 + 8192bcn2π2δ4I20a
2 + 256b3cn4π4δI20a
3 −
− 2048b3cn4π4δ2I20a
2 − 8192b3cn4π4δ3I20a− 896a5δn2I0π
2bc+ 384a4δ2n2I0π
2bc+
+ 10240a3δ3n2I0π
2bc− 8192a2δ4n2I0π
2bc) > 0.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
Рис. 1
Из этой же теоремы условия параметрического резонанса при нечетных и четных n
имеют вид
p30l
3
I30
− p20l
2
I20
√
4p20l
2
I20
+ 3π2n2
(
γ′
I0
+
γ′′
I1
)2
8p20l
2
I20
+ 8π2n2
(
γ′
I0
+
γ′′
I1
)2 < ω2T − ωπn <
<
p30l
3
I30
+
p20l
2
I20
√
4p20l
2
I20
+ 3π2n2
(
γ′
I0
+
γ′′
I1
)2
8p20l
2
I20
+ 8π2n2
(
γ′
I0
+
γ′′
I1
)2 . (4)
На рис. 1 представлена область параметрического резонанса для I0 = 0,08 кг · м2, I1 =
= 0,03 кг · м2, l = 0,15 м, γ′ = 0,3, γ′′ = 0,7, n = 1, 2, 3, 4, ω = 500 Гц.
Из полученных результатов следует, что резонанс имеет место в интервале (4). Шири-
на резонансных областей (областей неустойчивости) пропорциональна ω. Параметрический
резонанс приводит к неустойчивости гироскопического маятника, т. е. к нарастанию малых
последующих возмущений. Если параметры рассматриваемой импульсной системы при дос-
таточно малых значениях параметра ε такие, что неравенство (4) выполняется на неогра-
ниченном интервале, то полученные условия являются достаточными для неустойчивости.
Таким образом, в работе получены условия устойчивости положения равновесия плоско-
го гироскопического маятника из условий устойчивости линейного приближения системы
дифференциальных уравнений, которые описывают его поведение. Из условий неустойчи-
вости этого же линейного приближения получены условия параметрического резонанса.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 47
1. Ишлинский А.Ю., Борзов В.И., Степаненко Н.П. Лекции по теории гироскопов. – Москва: Изд-во
Моск. ун-та, 1983. – 248 с.
2. Новицький В.В. Керування гiроскопiчними системами та iншi задачi аналiтичної механiки // Працi
Iн-ту математики НАН України: Т. 78. Математика та її застосування. – Київ, 2008. – 122 с.
3. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. 2-е изд.,
испр. – Москва: Наука, 1987. – 384 с.
4. Koshlyakov V.N. Makarov V. L. The theory of gyroscopic systems with non-conservative forces // J. Appl.
Math. Mech. – 2001. – 65, No 4. – P. 681–687.
5. Мартынюк А.А., Миладжанов В. Г. Об устойчивости импульсных систем при структурных возму-
щениях // Электрон. моделирование. – 1994. – 16, № 3. – С. 3–7.
6. Martynyuk A.A., Stavroulakis I. P. Direct Lyapunov’s matrix-function method for impulsive systems under
structural perturbations // Canadian Appl. Math. Quart. – 1999. – 7, No 2. – P. 159–183.
7. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. – Москва:
Наука, 1987. – 328 с.
8. Очеретнюк Е.В., Слынько В.И. Параметрический резонанс в задачах динамики твердого тела на
длинном струнном подвесе // Механика тв. тела. – 2011. – Вып. 41. – С. 64–84.
9. Kozlov V.V. Gyroscopic stabilization and parametric resonance // J. Appl. Math. Mech. – 2001. – 65,
No 5. – P. 715–721.
10. Ocheretnyuk Ye. V., Slyn’ko V. I. The conditions for loss of stability of the rotation of a dynamically
symmetrical rigid body suspended on a string with parametric perturbations // Ibid. – 2013. – 77, No 2. –
P. 145–150.
11. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. –
Москва: Гостехиздат, 1955. – 448 с.
12. Штокало И. З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных дифференциальных
уравнений с квази-периодическими коэффициентами // Мат. сб. – 1946. – 19, № 61. – Вып. 2. –
С. 263–286.
13. Митропольский Ю.А., Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Метод усреднения в системах с импульс-
ным воздействием // Укр. мат. журн. – 1985. – 37, № 1. – С. 56–64.
Поступило в редакцию 22.10.2014Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
С. I. Голiнько
Про стiйкiсть плоского гiроскопiчного маятника
Встановлено умови стiйкостi плоского гiроскопiчного маятника. З використанням спе-
цiальних замiн система диференцiальних рiвнянь збуреного руху з iмпульсною дiєю при-
водиться до лiнiйної системи звичайних диференцiальних рiвнянь з постiйними коефiцiєн-
тами. Знайдено умови виникнення параметричного резонансу коливань плоского гiроскопiч-
ного маятника.
S. I. Golinko
On the stability of a plane gyroscopic pendulum
The stability of a plane gyroscopic pendulum is considered. The system of differential equations of
perturbed motion with impulsive action, using the special changes of variables, is reduced to a linear
system of ordinary differential equations with constant coefficients. The conditions of existence of
the parametric resonance of plane gyroscopic pendulum’s oscillations are obtained.
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-96222 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:56:42Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Голинько, С.И. 2016-03-12T15:32:38Z 2016-03-12T15:32:38Z 2015 Об устойчивости плоского гироскопического маятника / С.И. Голинько // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 42-48. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96222 517.36 Установлены условия устойчивости плоского гироскопического маятника. С использованием специальных замен система дифференциальных уравнений возмущенного движения с импульсным воздействием приводится к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Найдены условия возникновения параметрического резонанса колебаний плоского гироскопического маятника. Встановлено умови стiйкостi плоского гiроскопiчного маятника. З використанням спецiальних замiн система диференцiальних рiвнянь збуреного руху з iмпульсною дiєю приводиться до лiнiйної системи звичайних диференцiальних рiвнянь з постiйними коефiцiєнтами. Знайдено умови виникнення параметричного резонансу коливань плоского гiроскопiчного маятника. The stability of a plane gyroscopic pendulum is considered. The system of differential equations of
 perturbed motion with impulsive action, using the special changes of variables, is reduced to a linear
 system of ordinary differential equations with constant coefficients. The conditions of existence of
 the parametric resonance of plane gyroscopic pendulum’s oscillations are obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Об устойчивости плоского гироскопического маятника Про стiйкiсть плоского гiроскопiчного маятника On the stability of a plane gyroscopic pendulum Article published earlier |
| spellingShingle | Об устойчивости плоского гироскопического маятника Голинько, С.И. Механіка |
| title | Об устойчивости плоского гироскопического маятника |
| title_alt | Про стiйкiсть плоского гiроскопiчного маятника On the stability of a plane gyroscopic pendulum |
| title_full | Об устойчивости плоского гироскопического маятника |
| title_fullStr | Об устойчивости плоского гироскопического маятника |
| title_full_unstemmed | Об устойчивости плоского гироскопического маятника |
| title_short | Об устойчивости плоского гироскопического маятника |
| title_sort | об устойчивости плоского гироскопического маятника |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96222 |
| work_keys_str_mv | AT golinʹkosi obustoičivostiploskogogiroskopičeskogomaâtnika AT golinʹkosi prostiikistʹploskogogiroskopičnogomaâtnika AT golinʹkosi onthestabilityofaplanegyroscopicpendulum |