Динамика неравновесной электрон-фононной системы для полупроводников и металлов в сильном электрическом поле
Изучено формирование нестационарных неравновесных функций распределения (ФР) электронов и фо- нонов при действии на металл сильного импульсного электрического поля. Для конкретности параметры взяты для никеля, имеющего начальную температуру 20 К. Показано: изотропизация электронной ФР про- исходи...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Вопросы атомной науки и техники |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96347 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Динамика неравновесной электрон-фононной системы для полупроводников и металлов в сильном электрическом поле / В.И. Карась, И.Ф. Потапенко // Вопросы атомной науки и техники. — 2009. — № 4. — С. 150-157. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-96347 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Карась, В.И. Потапенко, И.Ф. 2016-03-15T15:23:12Z 2016-03-15T15:23:12Z 2009 Динамика неравновесной электрон-фононной системы для полупроводников и металлов в сильном электрическом поле / В.И. Карась, И.Ф. Потапенко // Вопросы атомной науки и техники. — 2009. — № 4. — С. 150-157. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1562-6016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96347 533.9 Изучено формирование нестационарных неравновесных функций распределения (ФР) электронов и фо- нонов при действии на металл сильного импульсного электрического поля. Для конкретности параметры взяты для никеля, имеющего начальную температуру 20 К. Показано: изотропизация электронной ФР про- исходит в результате соударений с несовершенствами решетки; ФР электронов не становится термодинами- чески равновесной, так как электрон-электронные соударения в данной ситуации дают существенно мень- ший вклад, чем электрон-фононные столкновения, а столкновения с «чужой» подсистемой не приводят к термализации; ФР электронов и фононов имеют высокоэнергетичные «хвосты», так как при электрон- фононных соударениях передается импульс при достаточно малой передаче энергии; рождается много фо- нонов при дебаевской энергии, т.е. ФР фононов обогащается дебаевскими фононами. Вивчено формування нестаціонарних нерівноважних функцій розподілу (ФР) електронів та фононів при дії на метал сильного імпульсного електричного поля. Для конкретності параметри взяті для нікеля, який має початкову температуру 20 К. Показано: ізотропізація електронної ФР відбувається внаслідок зіткнень з дефектами гратки; ФР електронів не стає термодинамічно рівноважною, тому що електрон-електронні зіткнення у даній ситуації дають суттєво менший внесок, ніж електрон-фононні зіткнення, а зіткнення з «чужою» підсистемою не приводять до термалізації; ФР електронів і фононів мають високоенергетичні «хвости», тому що при електрон-фононних зіткненнях передається імпульс при досить малій передачі енергії; народжується багато фононів навколо дебаєвської енергії, тобто ФР фононів збагачується дебаєвськими фононами. Formation of non-stationary nonequilibrium electron and phonon distribution functions (DFs) is investigated at action on metal of a strong pulse electric field. For concreteness parameters are taken for the nickel having reference temperature of 20 K. It is shown: (i) electron distribution function occurs as a result of impacts to imperfections of a lattice; (ii) electron distribution function does not become thermodynamically equilibrium as electron-electron impacts in the given situation give essentially smaller contribution, than electron-phonon collisions, and collisions with a "another's" subsystem do not result to thermalization; (v) electron and phonon distribution functions have highenergy "tails" as at electron-phonon impacts the momentum is transferred by enough small transfer of energy, is born much phonons at Debye energy, i.e. phonon distribution function have maximum for Debye phonons. Авторы благодарны Научно-технологическомуцентру в Украине за частичную финансовую поддержку работы по проекту № 4368. ru Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах Динамика неравновесной электрон-фононной системы для полупроводников и металлов в сильном электрическом поле Динаміка нерівноважної електрон-фононної системи для напівпровідників та металів у сильному електричному полі Dynamics of non equilibrium electron-phonon system for semiconductors and metals in a strong electrical field Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Динамика неравновесной электрон-фононной системы для полупроводников и металлов в сильном электрическом поле |
| spellingShingle |
Динамика неравновесной электрон-фононной системы для полупроводников и металлов в сильном электрическом поле Карась, В.И. Потапенко, И.Ф. Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах |
| title_short |
Динамика неравновесной электрон-фононной системы для полупроводников и металлов в сильном электрическом поле |
| title_full |
Динамика неравновесной электрон-фононной системы для полупроводников и металлов в сильном электрическом поле |
| title_fullStr |
Динамика неравновесной электрон-фононной системы для полупроводников и металлов в сильном электрическом поле |
| title_full_unstemmed |
Динамика неравновесной электрон-фононной системы для полупроводников и металлов в сильном электрическом поле |
| title_sort |
динамика неравновесной электрон-фононной системы для полупроводников и металлов в сильном электрическом поле |
| author |
Карась, В.И. Потапенко, И.Ф. |
| author_facet |
Карась, В.И. Потапенко, И.Ф. |
| topic |
Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах |
| topic_facet |
Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Вопросы атомной науки и техники |
| publisher |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Динаміка нерівноважної електрон-фононної системи для напівпровідників та металів у сильному електричному полі Dynamics of non equilibrium electron-phonon system for semiconductors and metals in a strong electrical field |
| description |
Изучено формирование нестационарных неравновесных функций распределения (ФР) электронов и фо-
нонов при действии на металл сильного импульсного электрического поля. Для конкретности параметры
взяты для никеля, имеющего начальную температуру 20 К. Показано: изотропизация электронной ФР про-
исходит в результате соударений с несовершенствами решетки; ФР электронов не становится термодинами-
чески равновесной, так как электрон-электронные соударения в данной ситуации дают существенно мень-
ший вклад, чем электрон-фононные столкновения, а столкновения с «чужой» подсистемой не приводят к
термализации; ФР электронов и фононов имеют высокоэнергетичные «хвосты», так как при электрон-
фононных соударениях передается импульс при достаточно малой передаче энергии; рождается много фо-
нонов при дебаевской энергии, т.е. ФР фононов обогащается дебаевскими фононами.
Вивчено формування нестаціонарних нерівноважних функцій розподілу (ФР) електронів та фононів при
дії на метал сильного імпульсного електричного поля. Для конкретності параметри взяті для нікеля, який
має початкову температуру 20 К. Показано: ізотропізація електронної ФР відбувається внаслідок зіткнень з
дефектами гратки; ФР електронів не стає термодинамічно рівноважною, тому що електрон-електронні
зіткнення у даній ситуації дають суттєво менший внесок, ніж електрон-фононні зіткнення, а зіткнення з
«чужою» підсистемою не приводять до термалізації; ФР електронів і фононів мають високоенергетичні
«хвости», тому що при електрон-фононних зіткненнях передається імпульс при досить малій передачі
енергії; народжується багато фононів навколо дебаєвської енергії, тобто ФР фононів збагачується
дебаєвськими фононами.
Formation of non-stationary nonequilibrium electron and phonon distribution functions (DFs) is investigated at
action on metal of a strong pulse electric field. For concreteness parameters are taken for the nickel having reference
temperature of 20 K. It is shown: (i) electron distribution function occurs as a result of impacts to imperfections of a
lattice; (ii) electron distribution function does not become thermodynamically equilibrium as electron-electron impacts
in the given situation give essentially smaller contribution, than electron-phonon collisions, and collisions with
a "another's" subsystem do not result to thermalization; (v) electron and phonon distribution functions have highenergy
"tails" as at electron-phonon impacts the momentum is transferred by enough small transfer of energy, is
born much phonons at Debye energy, i.e. phonon distribution function have maximum for Debye phonons.
|
| issn |
1562-6016 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96347 |
| citation_txt |
Динамика неравновесной электрон-фононной системы для полупроводников и металлов в сильном электрическом поле / В.И. Карась, И.Ф. Потапенко // Вопросы атомной науки и техники. — 2009. — № 4. — С. 150-157. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT karasʹvi dinamikaneravnovesnoiélektronfononnoisistemydlâpoluprovodnikovimetallovvsilʹnomélektričeskompole AT potapenkoif dinamikaneravnovesnoiélektronfononnoisistemydlâpoluprovodnikovimetallovvsilʹnomélektričeskompole AT karasʹvi dinamíkanerívnovažnoíelektronfononnoísistemidlânapívprovídnikívtametalívusilʹnomuelektričnomupolí AT potapenkoif dinamíkanerívnovažnoíelektronfononnoísistemidlânapívprovídnikívtametalívusilʹnomuelektričnomupolí AT karasʹvi dynamicsofnonequilibriumelectronphononsystemforsemiconductorsandmetalsinastrongelectricalfield AT potapenkoif dynamicsofnonequilibriumelectronphononsystemforsemiconductorsandmetalsinastrongelectricalfield |
| first_indexed |
2025-11-26T09:41:48Z |
| last_indexed |
2025-11-26T09:41:48Z |
| _version_ |
1850617961401810944 |
| fulltext |
УДК 533.9
ДИНАМИКА НЕРАВНОВЕСНОЙ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЙ
СИСТЕМЫ ДЛЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВ И МЕТАЛЛОВ
В СИЛЬНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
В.И. Карась, И.Ф. Потапенко*
Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт»,
Харьков, Украина;
*Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН,
Москва, Российская Федерация
Изучено формирование нестационарных неравновесных функций распределения (ФР) электронов и фо-
нонов при действии на металл сильного импульсного электрического поля. Для конкретности параметры
взяты для никеля, имеющего начальную температуру 20 К. Показано: изотропизация электронной ФР про-
исходит в результате соударений с несовершенствами решетки; ФР электронов не становится термодинами-
чески равновесной, так как электрон-электронные соударения в данной ситуации дают существенно мень-
ший вклад, чем электрон-фононные столкновения, а столкновения с «чужой» подсистемой не приводят к
термализации; ФР электронов и фононов имеют высокоэнергетичные «хвосты», так как при электрон-
фононных соударениях передается импульс при достаточно малой передаче энергии; рождается много фо-
нонов при дебаевской энергии, т.е. ФР фононов обогащается дебаевскими фононами.
ВВЕДЕНИЕ
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2009. №4-2.
В шестидесятых годах было обнаружено явление
резкого уменьшения сопротивления металлов пла-
стической деформации в случае возбуждения в них
подсистемы электронов проводимости либо облуче-
нием, либо пропусканием электрического тока вы-
сокой плотности =10j 8…109 А/м2. Оно не могло
быть сведено к тривиальному термическому воздей-
ствию (в макроскопическом проявлении) тока, по-
этому возникло предположение о существовании
электрон-дислокационного взаимодействия,
влияющего на механические свойства кристаллов
[1].
Явление было предложено назвать электро-
пластическим эффектом (ЭПЭ). Механизм ЭПЭ свя-
зывался с повышением подвижности дислокации в
области источников, а поэтому с интенсификацией
работы источников. В наиболее чистом виде ЭПЭ
исследовался на металлических монокристаллах Zn,
Cd, Sn, Pb [1]. Если в процессе деформирования об-
разцов этих материалов через них пропускать им-
пульсы тока величиной 102…103 А/мм2 при дли-
тельности последних 10-4 с или облучать их уско-
ренными электронами в направлении скольжения,
то обнаруживается разупрочнение, которое выража-
ется в виде скачкообразных спадов деформирующе-
го напряжения. Осциляции напряжения связаны со
скачками пластической деформации объектов. Ус-
тановлено, что синхронно с прохождением импуль-
сов тока и падением деформирующего усилия появ-
ляются пачки полос скольжения, а также, что скач-
ки деформирующего усилия несоизмеримо меньше
на участке квазиупругой деформации, чем за преде-
лом текучести. Эти осцилляции аномально высоки в
районе предела текучести материала. Скачки де-
формирующего усилия на диаграммах уменьшаются
при испытании в режиме релаксации напряжений.
Применение импульсного тока позволило обеспе-
чить высокие плотности тока при одновременном
исключении доминирующего влияния макроскопи-
ческого разогрева джоулевым теплом. При длитель-
ностях импульсов 100…200 мкс, амплитудах тока
50…1000 А и частоте повторения импульсов
0,1…104 Гц постоянная составляющая тока нена-
много превышала 1 А и не могла обеспечить нагрев
образца более чем на 1…5 ºС. Интенсивность скач-
ков деформации при действии импульсов тока в мо-
нокристаллах с анизотропией скольжения имеет
ярко выраженную ориентационную зависимость.
Так, в Zn максимум эффекта и минимум напряже-
ний, при которых он начинает заметно проявляться,
наблюдается при ориентации деформируемых об-
разцов для легкого базисного скольжения. Эти фак-
ты, очевидно, указывают на дислокационную при-
роду ЭПЭ.
ЭПЭ носит пороговый характер, т.е. начинается
с определенного значения плотности импульсного
тока, которое зависит от сорта деформируемого
кристалла и температурно-скоростных условий. Так,
для цинка при Т=77 К оно составляет
400…500 А/мм2.
Было установлено, что ЭПЭ весьма чувствителен
к внешним факторам. Во-первых, эффект усилива-
ется действием поверхностно-активных сред. На-
пример, удельный кристаллографический сдвиг
амальгамированных монокристаллов цинка при
температуре 300 К и в условиях воздействия токо-
вых импульсов с параметрами: j=600…1000 А/мм2,
частоты повторения импульсов 0,1…0,5 Гц и дли-
тельности импульса 10=pt -4 с увеличивается на
50…60%.
В результате легирования величина скачка мо-
жет при активном нагружении возрастать на десят-
ки процентов (до 100%). В пределах относительно
небольшого содержания примеси замещения вели-
150 Серия: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение (94), с. 150-157.
чина эффекта растет линейно с концентрацией, как
это показано в экспериментах с Zn, легированным
Cd от 10-3 до 10-1 ат.% (содержание остальных при-
месей не превышало 2·10-3 ат.%). В то же время по-
роговое значение напряжения, с которого начинает-
ся эффект, при легировании также увеличивается.
Однако этот факт может быть связан с общим по-
вышением критического напряжения сдвига в леги-
рованных кристаллах.
Рост скорости испытания сначала приводит к
слабому возрастанию величины эффекта, а затем к
падению ее. Увеличение частоты следования им-
пульсов понижает общий уровень деформирую-
щего усилия, но уменьшает и амплитуду скачка на-
пряжений . Рост длительности импульсов тока ΔΠ
при неизменной амплитуде линейно увеличивает
глубину спада напряжений . Последнее явление ΔΠ
зафиксировано как в опытах по релаксации напря-
жений, так и по ползучести. В условиях ползучести
монокристаллов цинка обнаружено уменьшение
порогового значения длительности импульсов, с
которого начинается заметный ЭПЭ. Как уже отме-
чалось, ЭПЭ регистрируется начиная с некоторой
пороговой амплитуды импульсов тока, затем вели-
чина его растет линейно с этой амплитудой. Данное
явление характерно как для активного нагружения,
так и для ползучести. Следует также отметить, что
активизирует электропластическое действие тока и
просто изменение направления тока в соседних им-
пульсах, при котором амплитуда остается постоян-
ной (полярность действия тока).
Характерной особенностью ЭПЭ в монокри-
сталлах является отсутствие температурной зависи-
мости в широком интервале от 77 до 300 К. Это ус-
тановлено при исследовании релаксации напряже-
ний в монокристаллах цинка, где измерялся скачок
деформирующего усилия, стимулированный пер-
вым после остановки нагружающего устройства
импульсом тока.
Анализ всех отмеченных закономерностей пока-
зывает, что ЭПЭ не может быть сведен просто к
тепловому разогреву, а должен быть так или иначе
связан с дислокационной подсистемой деформи-
руемого объекта. Более детальное исследование
ЭПЭ в режимах ползучести и релаксации напряже-
ний позволило установить дополнительные особен-
ности эффекта [1]. Установлено, что ток влияет в
первые секунды после остановки нагружающего
устройства при релаксации, а для электростимули-
рующего воздействия на дне релаксационной ямы
необходима смена направлений тока при той же
амплитуде. После переключения тока наблюдается
время задержки до начала дополнительной пласти-
ческой деформации. Это свидетельствует о том, что
фактор тока эквивалентен появлению эффективных
дополнительных напряжений . возрас-cΔΠ cΔΠ
тает при увеличении и убывает со временем от Π
начала релаксации. Следовательно, он должен быть
связан с наличием подвижных дислокаций в образ-
це. Дальнейшие эксперименты по исследованию
ЭПЭ в режимах ползучести, внутреннего трения и
релаксации напряжений показали, что ЭПЭ обу-
словлен ростом эффективных близкодействующих
напряжении Тг. Наконец, биполярные импульсы
тока, следующие без промежутка, тормозят пласти-
ческую деформацию, и они же ускоряют ее, как ра-
нее уже отмечалось, если между ними интервал по-
рядка 3·10-3 с.
Основные закономерности ЭПЭ, обнаруженные
при деформировании монокристаллов в целом про-
являются и в экспериментах с поликристаллически-
ми материалами. Так, установлено наличие скачко-
образной деформации при растяжении образцов
поликристаллических цинка, кадмия, свинца, индия
и олова при температуре 77 К и под влиянием оди-
ночных импульсов тока величиной ~103 А/мм2. Од-
нако величина эффекта в этом случае была в 5 раз
ниже, чем на монокристаллах в соответствующих
условиях и не превышала 6…8% [1]. В [1] описано
увеличение скорости ползучести проволочных по-
ликристаллических образцов из W, Mo, Zn, а также
сплавов Мо-Re, W-Re, стали и др. за счет действия
постоянного электрического тока плотностью до
5·103 А/мм2. Установлено, что логарифмы скорости
ползучести растут линейно с квадратом плотности
тока и это позволило авторам отказаться от гипоте-
зы чисто теплового воздействия тока, так как обра-
зец охлаждался в процессе эксперимента.
При пропускании импульсов тока во время рас-
тяжения (сжатия) металлических кристаллов про-
цесс деформации из естественно спорадического и
неравномерного превращается в упорядоченный
дискретный. Максимум эффекта наблюдается в об-
ласти предела текучести образцов. У образцов, ле-
гированных небольшим количеством примесей, эф-
фект возрастает. Существует оптимальный интервал
скоростей деформации, в котором электрический
ток в максимальной степени понижает сопротивле-
ние металла пластическому деформированию. В
широком интервале температур (от 80 до 300 К) ве-
личина эффекта практически не зависит от темпера-
туры [2].
Аналогичные явления наблюдаются при облуче-
нии металла пакетами импульсов ускоренных элек-
тронов. Совмещение действия тока и облучения
приводит к интенсификации эффекта снижения
прочности металла. При электронном воздействии
(током и облучением) уменьшается вероятность
хрупкого разрушения образцов на начальных стади-
ях деформации, а кристаллы, деформируемые при
одновременном воздействии током и облучением,
характеризуются снижением критических скалы-
вающих напряжений, уменьшением коэффициента
упрочнения и увеличением скорости ползучести [2].
Показано, что с увеличением энергии электронов
за порогом выбивания атомов (в случае цинка
7,0≈trE МэВ) на радиационное пластифицирование
металла накладывается эффект радиационного уп-
рочнения за счет создания дополнительных стопо-
ров для дислокаций в виде точечных дефектов и их
ансамблей. При увеличении плотности электронов в
одной посылке эффект радиационного пластифици-
рования первоначально усиливается, а затем умень-
шается. Спад эффекта объяснен влиянием возмож-
ного частичного вырождения электронного газа в
151
металле на движение и взаимодействие дислокаций
[2].
Показано, что активационный объем в результа-
те облучения металла электронами существенно не
изменяется, и увеличение скорости ползучести объ-
ясняется уменьшением времени (увеличением час-
тоты) процесса термоактивируемого преодоления
дислокациями препятствий [2].
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Для количественного описания динамики элек-
трон-фононной системы металлической пленки в
работе [3] использовано важное упрощающее пред-
положение о фермиевском виде изотропной части
электронной функции распределения с зависящей от
времени электронной температурой. Хотя авторы
[3] отмечают, что введение электронной температу-
ры, будучи эквивалентно часто используемому
предположению о мгновенной термализации элек-
тронной подсистемы, не всегда может быть строго
обосновано. Так, в области очень низких температур
Те < Т* (температура , - дебаевская FDTT ε/* 2≈ DT
температура), где электрон-электронные столкнове-
ния доминируют над электрон-фононными, элек-
тронная функция распределения термализуется за
характерные времена электрон-электронного взаи-
модействия eeτ . В обычных сравнительно чистых
металлах Т* ~ 1 К, а в специально загрязненных
пленках, где электрон-электронное взаимодействие
усиливается из-за эффектов слабой локализации, Т*
может быть порядка 10 К. При температурах Те > Т*
(но ) термализация электронов в относи-De TT <
тельно толстых пленках происходит вследствие не
прямого электрон-электронного взаимодействия, а
косвенного, осуществляющегося через обмен фоно-
нами. Ранее одним из авторов [3] было показано, что
электронная функция распределения, близкая по
виду к фермиевской, формируется и в относительно
тонких пленках (из которых неравновесные фононы
уходят в подложку без перепоглощения электрона-
ми) в результате лишь процесса излучения фононов
«горячими» электронами. В обоих случаях харак-
терным временем термализации электронов являет-
ся время электрон-фононных столкновений epτ .
Заметим также, что в оптически толстых пленках
однородность электронной температуры по толщи-
не пленки обеспечивается быстрым уходом элек-
тронов из области скин-слоя и высокой электронной
теплопроводностью по сравнению с фононной [3].
Вследствие дополнительного диффузионного
уменьшения плотности «горячих» электронов ско-
рость термализации электронной подсистемы суще-
ственно возрастает, и поэтому в оптически толстых
пленках приближение мгновенной термализации
дает хорошее согласие теории с экспериментом. В
работе [3] рассматривался случай малых ”нагревов”,
мы же при рассмотрении ЭПЭ имеем дело с очень
большими ”нагревами”, поэтому нам необходимо
провести последовательное кинетическое рассмот-
рение как электронной, так и фононной подсистем,
что и составляет основное содержание статьи.
При кинетическом описании поведение электро-
нов подчиняется уравнению Больцмана для функ-
ции распределения электронов ),,( tprf
rr с соответ-
ствующими интегралами столкновений:
edepee III
p
f
dt
pd
r
f
t
f
++=
∂
∂
⋅+
∂
∂
+
∂
∂
r
r
r
r
υ , (1)
[ ]{ }),(,),( trBtrEe
dt
pd rrrrrr
υ+= ,
где - интеграл столкновений электронов с элек-
тронами; - интеграл столкновений электронов с
фононами; - интеграл столкновений электронов
с примесями и дефектами решетки;
eeI
epI
edI
υ
r
- скорость;
r
r
- радиус-вектор; p
r - импульс; - время; t E
r
–
напряженность электрического поля; B
r
- магнитная
индукция. В дальнейшем магнитное поле будем
считать отсутствующим.
Запишем интегралы столкновений:
( ) ( ) ( )
))},(1))((1)(()())(1))((
1)(()({)()()()(,/,
3211
32321321321321
pfpfpfpfpfpf
pfpfppppppppppppwpdpdpdI eeee
rrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrr
−−−−−
−−−+×−−+= ∫ εεεεδδ
( ) ( ) [ ]
( ) [ ]},1)())(1)(()())(1)(({)()()(
)}())(1)((1)())(1()({)()()({
+−−−−−Ω+−++
++−−+−×+Ω−−+= ∫
qNqpfpfqNpfqpfqpqp
qNqpfpfqNpfqpfqpqpqwqdIep
rrrrrrrrr
h
rrr
rrrrrrrrr
h
rrrrr
εεδ
εεδ
( ) ( ){ ,)()()()({ pfpfppppwpdI eded }rrrrrrr
−′−′−′′= ∫ εεδ
mpp 2/)( 2=
r
ε ; υ
r
fj =
Функция распределения фононов также подчи-
няется кинетическому уравнению с интегралами
столкновений:
r
- плотность электрическо-
го тока; под знаком усреднения понимается ум-
ножение на и интегрирование по 3)2/(2
pdpppeq III
r
qN
t
qN
++=
∂
∂
+
∂
∂
r
r
r
r
)()( υ , (2)
hπ pdv ; -
постоянная Планка; - масса электрона;
h
m q
r - им-
пульс фонона.
где - интеграл столкновений фононов с электро-
нами; - интеграл столкновений фононов с фо-
нонами; - интеграл столкновений фононов с
peI
ppI
pdI
152
примесями и дефектами решетки; qq
r
h
r
∂Ω∂= /υ -
скорость.
( ) ( )
[ ] )},())(1)((1)())(1(
)({)()()({
qNqpfpfqNpf
qpfqpqpqwpdI pe
rrrrrr
rrr
h
rrrrr
+−−+−×
×+Ω−−+= ∫ εεδ
( )[ ],)()( qNqNqI Tpppp
rrr
−−= ν
( )[ ],)()( qNqNqI pdpd
rrr
−−= ν
где ( )[ 11/exp)( −−Ω= TqNT h ]r
- термодинамически
равновесная функция распределения фононов –
функция Бозе-Эйнштейна; ∫= dOqNqN )(
4
1)(
r
π
-
усредненная по углам функция распределения фо-
нонов.
Учитывая, что соударения электронов с приме-
сями, фононами и дефектами приводят к изотропи-
зации функции распределения электронов, будем ее
искать в виде
p
ppfpftpf
rrr
))(())((),( 1 εε += . (3)
Учитывая, что при столкновениях электронов с
фононами передача энергии очень мала, упростим
интегралы столкновений электронов с фононами, а
именно разложим изотропную часть функции рас-
пределения электронов по малой передаче энергии
вплоть до квадратичных членов
( ) ( ) ( )
2
)()(
))(())()(()(
2
2
2 Ω
⋅
∂
∂
+Ω
∂
∂
±
±=Ω±≡±
h
h
h
rrr
ε
ε
ε
ε
εε
pfpf
pfqpfqpf
(4)
и подставим это разложение в интегралы столкно-
вений, что позволит их существенно упростить, так
интеграл столкновений электронов с фононами
примет вид:
{ } ( ) [ ] },)()())(1)(()(
2
1)()({2)(
8
0
2
8
0
2
∫∫ Ω−+Ω×⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +
∂
∂
∂
∂
=
εε
εε
εεε
πε
mm
ep qqdqqwffqqNqqdqwfmfI hh
(5)
{ } [ ] ( ) }.)(
2
)()](1)([))(1)(({)(2)( 2
22
8
2
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂Ω
+
∂
∂
Ω−++−= ∫
∞
ε
ε
ε
εεεεεπ fffqNff
q
qwdmqNI
m
q
pe
h
h
(6)
Учитывая конкретный вид зависимости вероятности
перехода , а также частот соударений фононов
с фононами
)(qw
)(qppν
qwqw 0)( = ;
( ) ρπ
ε
hh
3
2
1
0 22
Aw = и ; 2
0)( qq pppp νν =
где
cDc
pp MTa
sT
4
3
0 =ν ; ; sqq =Ω )(h A1ε - константа
деформационного потенциала; T - температура ре-
шетки; - температура Дебая; - постоянная
решетки; - суммарная масса двух атомов;
DT ca
cM s -
скорость звука; ρ - плотность вещества.
В результате конкретизации получим
{ } [ ] )7(;}))(1)((
2
1)({2)(
8
0
3
0
8
0
42
0
2
∫∫ −+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +
∂
∂
∂
∂
=
εε
εε
εεε
πε
mm
ep dqqswffqNdqqswfmfI
{ } [ ] ( ) };)(
2
)()](1)([))(1)(({2)( 2
22
8
0
2
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
−++−= ∫
∞
ε
ε
ε
εεεεεπ fsqfsqfqNffdwmqNI
m
q
pe (8)
[ ];)()(0 qNqNqI Tpppp
rr
−−= ν
(9)
p
pf
p
pfI eded
rrrr
)()( 11 ενε −=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ; (10)
,)()( 11 p
pf
p
pfIep
rrrr
ενε −=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ (11)
где ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ += ∫ 2
1)()(
8
0
3
3
0 qNdqq
m
w mε
ε
π
εν , edν - частота
столкновений электронов с примесями и дефектами
решетки, которая в рассматриваемом случае (низких
температур) является определяющей изотропизацию
электронной функции распределения.
153
=
∂
∂
−
∂
∂
p
pfEe
p
p
t
f
rrrr
ε
υ 01
p
pfed
rr
)(1 εν− . (12)
Считая анизотропную добавку к электронной функ-
ции распределения 1f
r
стационарной и пренебрегая
пространственной дисперсией, получаем оконча-
тельную систему двух уравнений для изотропных
функций распределения электронов и акустиче-
ских фононов , которую и необходимо решить:
f
)(qN
[ ] )13(,}))(1)((
2
1)(
{21
3
2
8
0
3
8
0
0
42
0
2
2/3
2/1
2
2
ee
mm
ed
IdqqswffqNdqqsw
fmfE
m
e
t
f
+×−+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +×
×
∂
∂
∂
∂
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
⋅−
∂
∂
∫∫
εε
εε
εεε
π
ε
ε
εεν
(13)
[ ] .
2
)()(1)())](1)(({[2)(
2
22
8
0
2
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
−++−++=
∂
∂
∫
∞
εε
εεεεπ fsqfsqfqNffdwmII
t
qN
m
q
pdpp
Функции распределения как электронов )(εf ,
так и фононов - безразмерные величины, ко-
торые удовлетворяют таким условиям нормировки
)(qN
ndfm
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∫
∞
εεε
π
)(2
2
1
0
2/1
2/3
22 h
; (14)
где - плотность электронов в валентной зоне (она
же у металлов является и зоной проводимости, так
как заполнена лишь частично).
n
,)(1
2
1
0
2
32 ∞<⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∫ dqqNq
Dq
hπ
(15)
где - дебаевский импульс фонона, который оп-
ределяется из равенства
Dq
DDB sqTk = ,
где эрг/К постоянная Больцмана; -
скорость звука; - дебаевская температура. Кон-
кретно далее все величины приведены для никеля
(для которого можно сравнить расчеты с экспери-
ментальными результатами [4]): =5·10
161038.1 −⋅=Bk s
DT
s 5 см/с,
DT =375 К, откуда максимальный импульс фонона
будет 1·10-19 (г·см)/с, плотность электронов в ва-
лентной зоне =2.5·10n 22 см-3, плотность никеля
9.8=ρ г·см-3, постоянная решетки (расстояние меж-
ду соседними атомами) см. 8105.3 −⋅=a
В состоянии термодинамического равновесия
функция распределения электронов )(εf является
функцией Ферми-Дирака:
1
1exp)(
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
eB
F
Tk
f εεε , (16)
где =5·10Fε
-12 эрг, - температура электронной
компоненты (в экспериментах она составляла 20 и
80 К) совпадала с решеточной (фононной темпера-
турой) первоначально (до включения электрическо-
го поля =0.08 CGSE (24 В/см)). По остаточному
сопротивлению никеля
eT
E
curρ =3·10-6 Ом·см находим
частоту столкновений электронов с примесями и
дефектами решетки edν =3·1013 с-1. Энергию элек-
тронов ε и фононов sq обезразмериваем на ,
время же будем измерять в характерных временах
электрон-фононных соударений
eBTk
( ) 7
2
1
3
3
0 102 −==
A
ep sm επ
ρπτ hh
s.
Тогда система уравнений принимает вид:
[ ] )17(};~~2))~(1)(~(
2
1)~(~~
~{~~~
~
~~
4~
~
~4
0
34
~4
0
2/1
2/3
2/1 ∫∫ −+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +×
∂
∂
∂
∂
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
⋅Δ−
∂
∂ εαεα
εεαεεεεε
εεε
β
ε
ε
εε
ε phphphphph dffNdff
t
f
[ ]∫
∞
++−=
∂
∂
α
ε
εεεεγ
ε
16
~2
1)~([))~(1)(~({~
~
)~(
ph
ph
ph Nffd
t
N ( ) }~
)~(~
~
)~(~2)]~( 2
2
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
−
ε
εε
ε
εεαε fff phph , (18)
где
eBeB Tmk
p~ 2ε
;
eB
ph Tk
sq
=ε~ ;
eBTmk
p~
;
eBTmk
qq
2
~ = ; Tk 2
==ε p
2
=
eBTk
ms 2
=α , ,
6
~ 0
22
eBed
ep
Tkm
Ee
ν
τ
ε =Δ , .. 2/51 )(8 αβ ⋅=− αγ 21 =−
154
Перепишем систему уравнений (16)-(17) с интегрированием по импульсам
[ ] ;}~~1))~(1)(~(
2
1)~(~~
~~
)~({~~
1
~
)~(
~~
1~
~
)~(
~2
0
~2
0
34
2
2
2
∫ ∫⋅−+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +×
∂
∂
∂
∂
=
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
Δ−
∂
∂
p p
qqdpfpfqNqqd
pp
pf
pp
p
pfp
ppt
pf
α
ε
[ ] 1)~([))~(1)(~(1{~~
~
)~(
2/~
++−=
∂
∂
∫
∞
qNffppd
t
qN
q
εε
α
},~~
)~(
~~2
~
~~
)~(~1)]~( 2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
pp
pf
pp
q
pp
pfqf
α
ε (20)
(19)
где ; 85~20 ≤< p 3.0~ =Δε ; 1800~0 ≤< ε ;
18~0 ≤< phε ; ; 5.42~~0 =≤< Dqq
045.0
2
2
==
eBTk
msα .
Интегрирование приведенной системы уравне-
ний проводилось с помощью полностью консерва-
тивных разностных схем. Консервативность схемы
является обязательным требованием, так как она
обеспечивает отсутствие накопления ошибок при
расчетах на больших временах (см., например, [5]).
Суть состоит в удовлетворении нескольким законам
сохранения, в данном случае речь идет об удовле-
творении законов сохранения энергии и частиц.
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
В результате проведенных численных расчетов
были найдены нестационарные функции распреде-
ления электронов и фононов по импуль-
сам. На рис. 1 показана зависимость функции рас-
пределения электронов от безразмерного импульса в
различные моменты времени.
)( pf )(qN
Рис. 1. Зависимость функции распределения элек-
тронов в различные моменты времени ( =0, 0,1,
0.2, 0.3, 0.4, 0.5) от безразмерного импульса, кривые
расположены слева – направо соответственно
t
Крайняя левая кривая соответствует термодина-
мически равновесной функции (16), которая взята в
качестве начальной при решении системы уравне-
ний (19)-(20). Из рисунка видно (кривые с увеличе-
нием промежутка времени смещаются слева – на-
право), что со временем функция распределения
электронов все более отличается от термодинамиче-
ски равновесной, приобретая высокоэнергетичный
«хвост».
Таким образом, установлено, что энергия, полу-
чаемая электронной подсистемой от внешнего элек-
трического поля, в результате электрон-фононных
столкновений частично (малая часть из-за квазиуп-
ругости электрон-фононных столкновений) переда-
ется фононной подсистеме, а большая часть идет не
на установление термодинамически равновесной
функции распределения электронов (как это часто
предполагается (см. [1-4])), а на формирование ин-
тенсивных высокоэнергетичных «хвостов» у элек-
тронной функции распределения.
Рис. 2. Зависимость функции распределения
фононов в различные моменты времени
( =0, 0,1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5) для напряженности
электрического поля
t
24=E В/см от безразмерного
импульса, кривые расположены
155
снизу – вверх соответственно
Рис. 3. Зависимость функции распределения фо-
нонов (в логарифмическом масштабе по оси орди-
нат) в различные моменты времени ( t =0, 100, 125,
150, 175, 200) для малой напряженности электри-
ческого поля В/см от безразмерного импульса,
кривые расположены снизу – вверх соответственно
1=E
Такое кардинальное изменение функции распре-
деления электронов приводит к формированию фо-
нонной функции распределения с очень сильно обо-
гащенной фононами энергией, близкой к дебаевской
(рис.2 и 3), в отличие от работы [4], в которой фо-
нонная функция распределения в этой области им-
пульсов практически соответствует функции Бозе-
Эйн-штейна, но с температурой, соответствующей
температуре электронной подсистемы.
Как показало наше численное моделирование,
«температура» (точнее говорить, средняя энергия
электронов, так как электронная функция распреде-
ления сильно отличается от термодинамически рав-
новесной) электронной функции распределения из-
меняется незначительно, т.е. не происходит терма-
лизация полученной от электрического поля энер-
гии, а формируются высокоэнергетические «хво-
сты», которые и приводят к такому кардинальному
изменению фононной функции распределения.
Далее проведем сравнение зависимостей произ-
ведения функции распределения фононов на куб
безразмерного импульса для термодинамически
равновесной ситуации (функция Бозе-Эйнштейна
(в момент времени =0) рис. 4) и фононной функ-
ции в различные моменты времени после начала
действия электрического поля (рис. 5).
t
Рис. 4. Зависимость произведения
термодинамически равновесной функции
распределения фононов (функция Бозе-Эйнштейна
(в момент времени t =0)) на куб импульса
от безразмерного импульса
Рис. 5. Зависимость произведения функции распределе-
ния фононов (в моменты времени t =0; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4;
0.5) на куб импульса от безразмерного импульса кривые
расположены снизу –
вверх соответственно
Как видно из рис. 5, у функций распределения
фононов со временем формируются все более мощ-
ные высокоэнергетичные «хвосты», так как при
электрон-фононных соударениях передается им-
пульс при достаточно малой передаче энергии, рож-
дается много фононов при дебаевской энергии, т.е.
ФР фононов обогащается дебаевскими фононами.
Проведенный в работе [6] подробный анализ
влияния такого аномального поведения электрон-
фононной системы в сильном электрическом поле
на поведение образцов под механической нагрузкой
позволяет объяснить аномальные электропластиче-
ские свойства металлов и полупроводников, наблю-
даемые в экспериментальных исследованиях.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изучено формирование нестационарных нерав-
новесных функций распределения электронов и фо-
нонов при действии на металл сильного импульсно-
го электрического поля. Для конкретности парамет-
ры взяты для никеля, имеющего начальную темпе-
ратуру 20 К. Показано: изотропизация электронной
ФР происходит в результате соударений с несовер-
шенствами решетки; ФР электронов не становится
156
термодинамически равновесной, так как электрон-
электронные соударения в данной ситуации дают
существенно меньший вклад, чем электрон-
фононные столкновения, а столкновения с «чужой»
подсистемой не приводят к термализации; ФР элек-
тронов и фононов имеют высокоэнергетичные «хво-
сты», так как при электрон-фононных соударениях
передается импульс при достаточно малой передаче
энергии, рождается много фононов при дебаевской
энергии, т.е. ФР фононов обогащается дебаевскими
фононами. Такое поведение электрон-фононной
системы в сильном электрическом поле позволяет
объяснить аномальные электропластические свойст-
ва металлов и полупроводников, наблюдаемые в
экспериментальных исследованиях (более подробно
см. [6]).
Авторы благодарны Научно-технологическому
центру в Украине за частичную финансовую под-
держку работы по проекту № 4368.
ЛИТЕРАТУРА
1. В.Е. Громов, В.Я. Целлермайер, В.И. Базай-
кин. Электростимулированное волочение: анализ
процесса и микроструктура. М.: «Недра», 1996,
166 с.
2. В.И. Спицын, О.А. Троицкий. Исследование
электронного воздействия на пластическую дефор-
мацию металла // Металлофизика. 1974, т. 51, с. 18-
45.
3. А.И. Безуглый, В.А. Шкловский. Кинетика
низкотемпературной электрон-фононной релакса-
ции в металлической пленке после мгновенного на-
грева электронов // ЖЭТФ. 1997, т. 111, в. 6, с. 2106-
2133.
4. N. Perrin and H. Budd. Phonon Generation by
Joule Heating in Metal Films // Phys. Rev. Lett. 1972,
v. 28, #26, p. 1701-1703/
5. В.И. Карась, И.Ф. Потапенко. Квазистациона-
рные функции распределения частиц для уравнений
типа Ландау-Фоккера-Планка при наличии источни-
ков // Журнал вычислительной математики и мате-
матической физики. 2006, т. 46, №2, с. 307-317.
6. В.И. Дубинко, В.И. Карась, В.Ф. Клепиков,
П.Н. Остапчук, И.Ф. Потапенко. Моделирование
повышения пластичности материалов под действи-
ем импульсов электрического тока // Наст. номер,
с. 158-166.
Статья поступила в редакцию 05.09.2008 г.
ДИНАМІКА НЕРІВНОВАЖНОЇ ЕЛЕКТРОН-ФОНОННОЇ СИСТЕМИ
ДЛЯ НАПІВПРОВІДНИКІВ ТА МЕТАЛІВ У СИЛЬНОМУ ЕЛЕКТРИЧНОМУ ПОЛІ
В.І. Карась, І.Ф. Потапенко
Вивчено формування нестаціонарних нерівноважних функцій розподілу (ФР) електронів та фононів при
дії на метал сильного імпульсного електричного поля. Для конкретності параметри взяті для нікеля, який
має початкову температуру 20 К. Показано: ізотропізація електронної ФР відбувається внаслідок зіткнень з
дефектами гратки; ФР електронів не стає термодинамічно рівноважною, тому що електрон-електронні
зіткнення у даній ситуації дають суттєво менший внесок, ніж електрон-фононні зіткнення, а зіткнення з
«чужою» підсистемою не приводять до термалізації; ФР електронів і фононів мають високоенергетичні
«хвости», тому що при електрон-фононних зіткненнях передається імпульс при досить малій передачі
енергії; народжується багато фононів навколо дебаєвської енергії, тобто ФР фононів збагачується
дебаєвськими фононами.
DYNAMICS OF NON EQUILIBRIUM ELECTRON-PHONON SYSTEM FOR SEMICONDUC-
TORS AND METALS IN A STRONG ELECTRICAL FIELD
V.I. Karas`, I.F. Potapenko
Formation of non-stationary nonequilibrium electron and phonon distribution functions (DFs) is investigated at
action on metal of a strong pulse electric field. For concreteness parameters are taken for the nickel having reference
temperature of 20 K. It is shown: (i) electron distribution function occurs as a result of impacts to imperfections of a
lattice; (ii) electron distribution function does not become thermodynamically equilibrium as electron-electron im-
pacts in the given situation give essentially smaller contribution, than electron-phonon collisions, and collisions with
a "another's" subsystem do not result to thermalization; (v) electron and phonon distribution functions have high-
energy "tails" as at electron-phonon impacts the momentum is transferred by enough small transfer of energy, is
born much phonons at Debye energy, i.e. phonon distribution function have maximum for Debye phonons.
157
|