Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа
Розглянуто питання генерації в геосередовищі електромагнітних збурень радіохвильового (кілогерцового) діапазону, що реєструються на земній поверхні. Увагу зосереджено на математичних аспектах проблеми, а власне, аналізі раніше запропонованого нелінійного рівняння генерації типу “реакція — дифузія”,...
Saved in:
| Published in: | Геофизический журнал |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96413 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа / И.М. Цифра, В.Н. Шуман // Геофизический журнал. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 51-60. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859743081687941120 |
|---|---|
| author | Цифра, И.М. Шуман, В.Н. |
| author_facet | Цифра, И.М. Шуман, В.Н. |
| citation_txt | Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа / И.М. Цифра, В.Н. Шуман // Геофизический журнал. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 51-60. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Геофизический журнал |
| description | Розглянуто питання генерації в геосередовищі електромагнітних збурень радіохвильового (кілогерцового) діапазону, що реєструються на земній поверхні. Увагу зосереджено на математичних аспектах проблеми, а власне, аналізі раніше запропонованого нелінійного рівняння генерації типу “реакція — дифузія”, яке описує складні режими збудження і поширення електромагнітних збурень у розглядуваній моделі геосередовища — самоподібній структурі, що визначає сейсмічні та електромагнітні процеси в ній. Для спрощення рівняння, що вивчається, запропоновано використати його симетрію. Симетрійний метод дає змогу звести рівняння (або їх систему) в частинних похідних параболічного типу до вивчення систем звичайних диференціальних рівнянь. Для цього може бути використаний як класичний теоретико-груповий підхід, так і його узагальнення — метод умовної інваріантності.
The problems of generation within geo-medium of electromagnetic disturbances of radiowave (kilo-hertz) region registered on the Earth’s surface are considered in the paper. Attention is concentrated on mathematical aspects of the problem, namely on the analysis of earlier proposed non-linear equation of generation of the type “reaction — diffusion” which gives a
description of the complicated excitation regimes and propagation of electromagnetic disturbances in the considered model of geo-medium — self-similar structure, which determines seismic and electromagnetic processes in it. Review is given on the physical level, and peculiarities of this equation are analyzed and possible ways of its solution. In order to simplify the equation under analysis it is proposed in the work to use its symmetry. Symmetry method allows reducing the equations (or their system) in partial derivatives of parabolic type to the study of a system of ordinary differential equations. For this purpose both classical theory-group approach and its generalization — conditional invariance method can be used.
Обсуждаются вопросы генерации в геосреде электромагнитных возмущений радиоволнового (килогерцового) диапазона, регистрируемых на земной поверхности. Внимание концентрируется на математических аспектах проблемы, а именно анализе предложенного ранее нелинейного уравнения генерации типа "реакция-диффузия", которое дает описание сложных режимов возбуждения и распространения электромагнитных возмущений в рассматриваемой модели геосреды - самоподобной структуре, определяющей сейсмические и электромагнитные процессы в ней. На физическом уровне представлен обзор, анализируются особенности этого уравнения, а также возможные пути и методы его решения. С целью упрощения анализируемого уравнения предлагается использовать его симметрию. Симметрийный метод позволяет свести уравнения (или их систему) в частных производных параболического типа к изучению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого может быть использован как классический теоретико-групповой подход, так и его обобщение - метод условной инвариантности.
|
| first_indexed | 2025-12-01T19:33:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
��������
���
����
��
����
��
�����
�
������������
���
���������
���
��� !"!#�$%!&
'()*+,
-
./
��
01/
1232 .3
��������
�������
�������
��������
���
����
��
����
��
�����
�
���������
���
���
���������
����
����
�
�
�����
�
�����������
���
��
�������������
�������
������
��
�
�
����
�
�������
©©©©©
��� �����
� !"�#��
�� �������� !�� ����
!����������������������������� !����"!��������
#���"��������"�#�$������!����������%���%�����!
#�$�����!�&�$'(�
&����)�$��
�����*+�*�,������
�)�4$5+6,�*�
#,�*�7
)�4%�,,�8!!
��9��
�5+)�$5�*%�
-���$*�����)�����*�������./0�"��������1�"�2/��$�����%���/���3��+����'���1/�3"�$'�"���
4�/$����.�"���5�1/�)�����!�2����6����7�'�*������%�/8�)�"��3�/���"����������19������
%���%���:��3���)����3�)��+$�%�!���"$����!����$/�/����/(����)��)���"��������$/�/8����
�/"�*��*�������./0���)��;����./*�<�1����/*=!�*����)���6���$�1�/���9�%���+�19���*�/
)�(�����*��$�����%���/���3��+����'�������$*1�"��/8�%�1�$/��������1�"�2��<���%�)�1/+�/8
��������/!�2��"����:�6���8�%/:�/�����$�����%���/��/�)��.����"��/8���$*��)��2���*��/"�*��*!
2��"�":�6�'�*!���)��)���"����"�����������8������%���/7��>�%���/8��8�%���1�1�6��%���
�"������/"�*��*�4�+��03������%�5�"�:�������3�)�3/1��3�)���+�$/:�������)��1��"�":���*
�����%��"�:�8��3�1������./�$'��3��/"�*�'���$*�.'����%�9��+����"����������8�*�
�$���:��8����������?���)�"�8�)/13/1!�����/�8���������$'����*�<�%���1��%�"��0�/�"�?
�/�������/�
@AB�CDEFGBHI�EJ�KBLBDMNOEL�PONAOL�KBE?HBQORH�EJ�BGBSNDEHMKLBNOS�QOINRDFMLSBI�EJ�DMQOE?
PMTB�4UOGE?ABDNV5�DBKOEL�DBKOINBDBQ�EL�NAB�WMDNAXI�IRDJMSB�MDB�SELIOQBDBQ�OL�NAB�CMCBD��YNNBLNOEL
OI�SELSBLNDMNBQ�EL�HMNABHMNOSMG�MICBSNI�EJ�NAB�CDEFGBH!�LMHBGZ�EL�NAB�MLMGZIOI�EJ�BMDGOBD
CDECEIBQ�LEL?GOLBMD�B[RMNOEL�EJ�KBLBDMNOEL�EJ�NAB�NZCB�;DBMSNOEL�<�QOJJRIOEL=�PAOSA�KOTBI�M
QBISDOCNOEL�EJ�NAB�SEHCGOSMNBQ�B\SONMNOEL�DBKOHBI�MLQ�CDECMKMNOEL�EJ�BGBSNDEHMKLBNOS�QOINRDFMLSBI
OL�NAB�SELIOQBDBQ�HEQBG�EJ�KBE?HBQORH�<�IBGJ?IOHOGMD�INDRSNRDB!�PAOSA�QBNBDHOLBI�IBOIHOS�MLQ
BGBSNDEHMKLBNOS�CDESBIIBI�OL�ON��]BTOBP�OI�KOTBL�EL�NAB�CAZIOSMG�GBTBG!�MLQ�CBSRGOMDONOBI�EJ�NAOI
B[RMNOEL�MDB�MLMGZVBQ�MLQ�CEIIOFGB�PMZI�EJ�ONI�IEGRNOEL��̂ L�EDQBD�NE�IOHCGOJZ�NAB�B[RMNOEL�RLQBD
MLMGZIOI�ON�OI�CDECEIBQ�OL�NAB�PEDU�NE�RIB�ONI�IZHHBNDZ��_ZHHBNDZ�HBNAEQ�MGGEPI�DBQRSOLK�NAB
B[RMNOELI�4ED�NABOD�IZINBH5�OL�CMDNOMG�QBDOTMNOTBI�EJ�CMDMFEGOS�NZCB�NE�NAB�INRQZ�EJ�M�IZINBH�EJ
EDQOLMDZ�QOJJBDBLNOMG�B[RMNOELI��̀ ED�NAOI�CRDCEIB�FENA�SGMIIOSMG�NABEDZ?KDERC�MCCDEMSA�MLQ�ONI
KBLBDMGOVMNOEL�<�SELQONOELMG�OLTMDOMLSB�HBNAEQ�SML�FB�RIBQ�
$�
�
��
%�������"�����!������:������ �
a$�����%������ ��"�$� �������"�������)��?
��3�91���*!���� "��% �����a$�����%�����?
� %�!���2���"�7��"���%��8�����!�������!�"
��%������!����������!�%��������������%�9?
)$������8����1��bc�$'�$'%�!�,�����,�� �!�+d�
e�%�:����*��3�+�$'(���������+�����f��1��
)������7�����%�9)$������8����1 !�1�����
"��+�91�7��*�"�%������������)���"���%�?
1�8��"�����$��:�����"����������%������ %
)�$�%�"���%�������"�����$'����������"�8���?
��"�����!�����'��"��+�91�7��*�"�������%� ?
%������:����%���g������*2�8�����'�������?
1���:�%�"��%��������)��$�1��3!�)������*���?
.������1�����������a$�����%������ 3�)���?
%����"�������1 �������$�1�"�����1���%�:��?
��9��
�����/
��9��
:����
.1 ��� !"!#�$%!&
'()*+,
-
./
��
01/
1232
��3�)��.����"���%�3����%�"�������.��������?
)����������*�a$�����%�������8�a%������$�?
������ �
>��$�����a��)���%���� !����� ��)���1 !
�+����72���$��������!��+$�1�7��1"�%*�3� ?
������� %���"�8��"�%���&��"���<�a���1��?
��������'��h��������������������+$���"����?
� 3�)���1��$��1������:��������$�1���"��?
� 3������������ 3����1����1�����8�4��1�$'?
�����8 5����$�:� 3����%���" !�)�1:����� 3
�����3�:����8�)��$�1�"���$'����� ��g�����
<�)����*�� ����$�+���$'� ��1"�9���*�a��3
��1�$'�����8�"�����%��%�1��)������%��(��?
+�"���:������4��������$����.�<�1��*��� �*:?
� ��1�$�����.������9�f��"���"�*�a%����* !
%������8�% !�)��$�"� ��1"�9���*���1�� 5
b>�1�"���8!�,��
d��&���a��%!�)������*�"�1��?
������8!������3�:�������%�)�1�+��8�������?
1� !� ��%���8�%�:����8�)��.����������:���
�����3�:�����!�1�����������!��"��%�1�$'��?
����b>�1�"���8!�,��
d�
>�2���"��� 8�)�������������1 �<�)��?
�����"����$7�1�"!�*"$*72�3�*����+�$���)�1?
"�9��8������"$*72�8�)$�����������"�2���"�
b�����!�,�� d !�)��:�%����+�$������:���$'?
� ���3���"��%��� ��)������)�����:�� ��
�������:���������"� %����������%���" ��?
��8�)����.��%���'7��������"$���1������$'?
��?��(��:���?+$���" 8�����������"��%��� 3
���1���%�:����3����$7�1�1���%�:����3�)��?
.����"��g���%�1�8��"����$7�1� 3������%��
�������:�������1����%���"���*���)��"�91�?
���*���$���8� %��)��.����%�!�)��:�%��:�?
������$7�1�"��$�9����1��%��������"� 3����?
����"!��)��1�$*72�3���$���8����'�b�%����?
�"���8!�g�$�1��!�,��i��,�� d ��g�9��!�:�����?
%�����������:����3��"�8��"����1 �"�����?
����8����$���$'��8�)���������"����8��+$��?
���%�9���+ �'��:��'�+ ��� %�4%�3����%�"��?
�%�����"��+�91���*f��$7�1� ��)����������?
"�����7���������:������)��.��� !���)��$�1?
����)��"�1*�������$���7�%����.����$7�?
1�"5�b�����!�,�� d�
������"�����!�"�����3����1�3�%�3���:��?
����)��.��� �"���1����)��"�91�7��*�4��" ?
� "�7��*5�a$�����%������ %�!�:�����)�1�"��?
91����*���)����1��"��� %����+$71���*%�
b>����" !�,�����>�1�"���8!�,��
��c�$'�$'%�!
,�����j�%��!�,���!�,�� d��k�9���)��1)�$�?
9��' !� :�������*�%�1�$'�������1 �1����"�� ?
%�9����'�)�1"���������:����7�����"��)�1
a���a����� !����1�.�������������% �����
��$���8� ���e1����!�3��*�a���%�3���a$���?
��%������ ��4�$����8�%�a$�����%������ �5
a����� ���"���� ������:�7��*���������$' ?
���1�"��!�����������������"�$��'�����+��?
��9����������:�������$���8� 3��"�8��"����?
��8�)���1 ��#�$�������!�)�$���$��'!�:���$�?
��8�����*� ���")�$���1������:���1$*�)���?
%���*�����"� 3�������%�������8�a��3�)��?
�+����"���8!�"����"��%*�������$���8�����
��"�1�$��'���$'�1�"����!����:�*72����1���?
$��)��.������&����+����'�" 3�1�����)��1�?
$ ����������1�.���� 3�)��1���"$���8��1��'
���+������:�"�1�� f��������:���������$�1�?
"���*�����3������%�$�9���"���"��%�9�����8
%�3�������)$�(� 3�$���8��?�)����3 !��)��?
��?)$����:����3�%�1�$�8����1����$����:��?
��8�a$�����1���%�����)$�(� 3�)����"� 3
���1 ��l�����"��������9���:����'!�:����)���?
����%�3���:����3�"�+��.�8���a$�����%�����?
������������"��%�9���+����:������������?
� 3��"�8��"����1 ��e1�������$'����)��$�?
2�����%������8�%�:����3��!����+����!�a$��?
���%������ 3�"�$����1��"�$��"����1��)���?
���"���%��8������)���91������"���� ��)��?
+$�% ��g�:��������!��+����9�����)�������"�*
" ����:������ 3��)����3�"�$������ "������
��!�:������!�"���*���!���������7��*�������?
1���:����"������"������+m�%��$������� �)�1
1�8��"��%���������8�"��(��8�)��:�� ��&�
%����7�k�����>�1�"�����!��:�� "�*�1������?
����'�������1 !�������"������:����'������$�?
+���*�"����$�:� 3��+$���*3��)��������+��"��?
� %�� ��$�+���*%�� �����"$*72�3� ������1�
��1�$'�����8���������%��(��+�!�����$�+���*
��1$���%��"�$�!������ %��3���������%�����?
%���� +$���"!� ����3�7�� ���:���$'��� �$�+��
"�$�!�1$��������� 3�����"�!�:���"�+$���3���
%�����"�������'����*:���"�$� !�������"�*����?
1��"�1�����+*�)�1�+�����+��������������"
b>�1�"���8!�,��
!����
�d��n��%��+m*��*���*
)�*"$�������:��$�"��" ��9��� 3�%����%�?
%�"���+$71��� 3��)�����"����:������3� =kf
kLc= !��1�� kL �<�)���%�2���"��� 8����?
%�����1�$'� 3�+$���"!���<��������'��"����"
��%��>$�1�"���$'��!�%�9���)��1)�$�9��'!�:��
�1��'�)����3�1���1�$���$���"��� 8�%��(��+?
��?��"������� 8�)��.����
o����������*�a$�����%����������(�%�!���
�1��'���+$71�7��*���%��� ����$�:�*��g�?)��?
" 3!��:�"�1��!�a�������"%����%���'�%��(��?
+�"�)��*"$���*�a������"�a$�����%���������
��$�:���*���$���$'� %�3��������%��3�"�� ?
+�91���*!�������%�������)�:����%�3��������%
"��%�2���8!����)�������*72�3�*�"�������?
1��1��������� %��+����%!���$���$'��8�4;��?
1����������8=5�)����1�8��3�������.����g�?
"��� 3!�a����+m*�����������:�������%�3����?
%���3����)����������*����%��������91���*
��������
���
����
��
����
��
�����
�
������������
���
���������
���
��� !"!#�$%!&
'()*+,
-
./
��
01/
1232 .0
1��)�����"���������.��������%��8�)�"��3��?
�����$����1���7�
������"�����!�a$�����%������ ��"��%�2�?
��*���$����.�"������" (��1��)�����"���
������3����)����������*�:�����)��"�1*2��
�$���p�%$����) � "�7����$'��������3����
4�.�����)���� "�7��bc�3+������1��!��� �!���
�,< �d!�:���1$*������ ����1�$'��8�)��"�1�?
%���'7�)���1� ��� −≈σ �>% q %����:������3
��
<��i�c.���a���.���������3���*�)��" ?
(������,<��
��+q�%5��!�����"����"����!�����:?
��������*��$����:����3�)��1���"$���8����
���%�����" 8�������+$����8�������.��!���$�
�$�+�����3���$�����*�)��" (����3�������?
� 8�%��(��+����1 �4%�2����'�����?�$�*5!���?
���"$*72�8�"�����%����"��%�%��$�:�����?
���$'���1��*���"�<�������%����"��-���%��?
����7�:���� 3���)����"���%�:��� 3�)��+$�%!
"�:���������$���$'�����3������������%�$�8
"�)$����"�a$�����%������������$�:���*���
)�"��3������p�%$�� ������; �"��31�$'���� =
���)����������*!�)��"*2����*1�)��1 1�2�3
��+���bj�%��!�,���!�,�� ��j�%��!�#��1���"!
,�� �!�+d��g������*2�8�����'�������1���:�%
"��%��������%���%���:����3���)����3�)��?
+$�% !����%��������$������$���8��������"?
����*�������.���a$�����%����������(�%��"
" ����:�������8� 4 ��$����.�"�8 5� :�������8
�+$���� !�)��1$�9��� 3�"���+���3�bj�%��!
,���!�,�� d ��n���������"�)����"�)���+������
�����$'����'����9��"��"*�������"�8�)��+$�?
%�8!����*2�8�)���1����a$�������8�<������?
+����8�a$�����1���%��������"� 3�4"��+�1�?
% 35����1 !����$���������� 3!��:�"�1�� !�%�?
9���+ �'���������������$'��*�������1��
&
���
����
���
���
��
�
�
�����%
�����9����%�:�$��'!�������� ���������� �
"�)��� !������*2���*���%�3����%��%�3���?
a$�����%������ 3�)���+����"���8�4)���+��?
��"���8�a�������1"�9���*�)���1�������1 �"
a�����7�a$�����%������������$�:���*5�"�(�?
����%�1��)������:�����!����������������+��?
����*%�)���������"����������)��1�$���*���?
�����"��������$�:���*!�"����2������7��*�1��?
�������� %�������+�7��1�$'��8(�������:�?
��*�bj�%��!�,�� ��j�%��!�#��1���" !�,�� �
#��1���"!�,�� d��e�����"�%�*�"��:�$�����$�?
��8� 3�%�1�$*3�������.������%����������(�?
%���-���%����"�*���%��7����������)������7
"$������ 2����7����1�!��+$�1�72�7�%�����?
��8����������8�����3�1*2�7�*�"�)����*���%
%�������%�)�$����%�����*1�� !����g��c�$'�$'?
%��)��1$�9�����$�1�72���1������:����+2��
$���8�������"������������.��!��1����+���?
����)�� "�72���"��+�91�����%����������)�?
$*� )( t!xB �"�����$'�����1�8��"�*�:�� ��3�%�?
3����%�"�<�)'���%���������!���1��.�������!
1����%�.��������������.�������!��:�� "�*
����"� ��a$�%��� ����%�3�����f����������!
�������'!�1����%�.�7�����)�*9�����bc�$'?
�$'%�!�,���df
( ) ( ) ( ) ,,,
4
, 2
2
tt
c
t
t
xCxB
xB
×∇=∇
σπ
−
∂
∂
4�5
�1�� σ�<� )��"�1�%���'� ���� 3� )���1!� ��<
�������'��"����"�"����%�!� ×+α= vAxC ),( t
MEB ×∇+θβ+× �� !�
t∂
∂
=
v
A �<�������?
�������� 3�)���1!���<��������'!�α�<���a�?
��.�����%�3���%�������8���������%�.��!
UU !! ∇=θ
θ∂
σ∂
=β
ln
�<�)�$���%�2���8!���<
%������ 8�%�%�����1���. ��+m�%��������?
1 !� jjijiIIi BPPM �, )( γ+δγ= !� IIP �<�:�"?
��"���$'����'�1�"$���*�"���)��"$����!�)�?
��$$�$'��%����"�8����������
&��1)�$������*!�:���)��"�1�%���'����� 3
)���1�σ!�)���%��� �%�3���%�������8������?
���%�.��� �!! γβα ��� ,γ !������9�����������
a$�����:������ �E ���%��������� �B �)�$*��1?
����1������)��1�$�� �"�)���������"������
��"��*�����"��%���������9�$���7!��1����!�a��
)���%��� ���%��*7��*�"�(�����%�1��)�����
���:���8!������1�%�)�11�7��*���%�����7��$�
�.����%���)��"*��� !�"��+2����"��*!�������?
�����%����������
e:�"�1�� !����"������4�5��$�1������(��'
)�����1����%�1"�9��������1 �����1��� 3
�����:� 3���$�"�*3��e1�����.������'�����?
�����(���*�1$*������)����.����������� 3
��%�����8�+�1�����"�$����1����3�)��!�)�?
�������)��1�$�� ����:���*�����%���$���?
:����3�)���%����"����1 ��&��������)����?
.��������� 3���+$71���8����+3�1�%�!�"��+?
2����"��*!�����'�"��'���+���)���%����"����?
���1 �"���������������:�����+$71���*�bc�$'?
�$'%�!�,���d��e��71��1�$����*�" "�1���.�$�?
���+����������1�����8�%�%����������)�$�?
����!�)��1�����:�������1$*�)������"����)�?
.��$'� 3�a��)���%����"!����������"��� 3
����)��1�$�������"���)������)���%����"!���
����� 3���"�����a������"����'�%�3���a$���?
��%������ 3�)���+����"���8��e1���������?
.��������%�*����1����%���)�����)��+$�% �
>�2���"����!�:���"���$��$���8���������"��?
��*�4�5 !�1�8��"������$�:� 3�%�3����%�"���?
����.���%�9������:��'�����"���%��1������
1���������$�1 "��'�)�$�:��� ������$'���
bc�$'�$'%�!�,���!�,�� d�
��9��
�����/
��9��
:����
.; ��� !"!#�$%!&
'()*+,
-
./
��
01/
1232
>���)�$'��"����%����"����*�4�5�" )�$���
���"����$'� 8����$�����������$'��8�a����?
��"�������)�%*��� 3�%�3����%�"�������.��!
"�:�����������1��.�������!��"*����������1"�?
9����%�)��"�1*2�3���$2���%��8���� !����?
1�� ������.�*�%���������� )�$*� �+��$�"$���
�1"���" %���:����%��$7�1��"�)���3������?
2���3���������$'������$���������8�)���1 �
������"$������2���"�"����������:����8�:�?
���� !����������8��+��%�3����%���1�����"�
a������"� !�)���a��%����%��'(�3�:������3
1�%����������1��.���� 8�%�3����%!������+�$'?
(�3�<�����.���� 8�
p�%���%!�:������"������4�5�)�$�:����"��"�?
�����.�������%�)��+$�9����!����1����%���?
��*������*��*������% �)����+��9�%��%�$
���"��%���3!��������� �������$�)��3�1������?
���*���� �R ��������:�����1����:����������?
)����������*����$�"���)��%���%�����a����
)��+$�9���*�)������)�����������������$�
"�"����%�� TcR ��� !��1����<�3�������� 8
)����1���%�����8����)��%���!�1$*�����c.���?
$�"����"������.�����������" )�$�*���*���
������*��*3����+�$��������%!�1$*�:����������c.
<����������*��*3����+�$������%��������:��?
����l�$�������$����)�������*���*�"�������?
1�!����a�������$'��� �1�8��"���$'� �1$*�1��?
)������:�����!�"�������%�����?�$�+����1����?
��:���"�$�����!�����"����"����!�a�����)�"��?
%�2���8�" 3�1������)�"��3����'�����+$��?
��8�������.�������$�+�����o����������*���?
1����$�:���*����:������3�"�1��*�����������
��$����.��$��1�9��kc.!���!�����$��'�+ !����
���%�9���" 3�1��'�����$�+��� 3��:���"��� ?
����.����g�)�"��3������%�9���$���%�2���?
�'7���<����%!�����"����"�72�%�����?�$�+�?
��!�"��'%��)��+$�%���:�����8���1������:���
��$�:���"������:����"���1����$�:���*����2�
���1�����"*���'���������8�%�:����%��:���%
�$��1���%�:����%��)��.����%�!�)��"�1*2�?
%����������$�:���7�b>����"!�,���d�
g�a��%����������!��:�"�1��!���(�������1�?
:��������.���a$�����%����������(�%����1��?
"�$��"����1��)������������;���%�$'���1�$'?
����=����)����������*���9���*�+�$�������?
��"��� %������'�"���%��3���$���8� 3�%�1�?
$�8�������1 ����:���%�a%)���:����3�������?
%�������8!��"�1���$'��"�72�3����"*������
�"�8��"���3�������������������������8���1�?
��%���8���������%��r���!�:���"�a��%��$�:��
���)���1��8�)$���" ���)�7��������8:�" �
�����% ���"��+�1�% ��4����"� �5����1 !�1�?
%��������72��!�������"�����!�+�$'(������?
���+��������)�"�1���%�:�������)�"�1���*��
��%���������.���b��" 1�"���1��!�����d�
������"�����!����)��1�$����*�"��+�1�%�*
���1��������������"*���� 3�$���$'���1�����
1����%�����"� 3�a$�%����"!��)���+� 3����?
%���"��'�a$�����%������ 8��%)�$'��"���"��
���)��3�1�"��(�����%�3���:������������$��
�%)�$'� !����)�������*72���*�"�"��+�?
1�% 3����1�3 !�:�������� "�7���"��"�$��%�!
)�1:����"�*���%���% %���������!�:����3�3�?
�������������4���%�!��������'����)������?
����*5��)��1�$*7��*!�"�����"��%!�)���%��?
��%�����1 ���)�����:����������"��*�������?
:�$'� 3���$�"�8��e+2�8������������"� 3����1
���1��� 8�%�%���������2���"��� !�����91 8
1������:���)�1��+������$�1�"��� 8�)��%��
����3����1 !�����)��"�$� !�)���� "������" �
��) ��3�1���%��������%���������.���b��?
" 1�"���1�� !�����d�����������"���8�)��1)�?
$����'!�:���������)��%�� �*"$*7��*������$'?
� %��
>��$������%�72�%�*�)��1���"$���*%!���?
2���"����%��9���"��%�3����%�"�%�3���a$��?
���%������ 3�)���+����"���8��g�:��������!
����%�����+ �'��"*��� �����$'���.���� %
)�������%�)���"�����$7�1�������������� ?
3"�:����8�"�$� !����%���"����%�����%+$*
%�������2��!���)��"�91��% %����1�$����%
���*1�" !�"��1�8��"��%�"����.�8���)�*9��?
����������*��*����1 ����1�%����7��������?
���������%������ 3�%�����$�"���1����%�
�������%��bh�"(����!�������>����"!�,���d��o��
�������*��)���+�"����%���"���*�a$�����%��?
��������(�%������%����"��%����:���������
1��)�����!����)��1)�$����% ����)���� �%�?
����+ �'��+m�1���� �"�1"�����$�:� �����)?
) ��e:�"�1��!���)��"�8��$�1��������������?
����.��!��"*���� ������$����.��8����*1�"�"
����$'�����a$�����:�������)��+�*!�)������?
���%������)�����'7����2��!�a%����7�a$���?
����"�b>����" !�,��� d ��g���*���!���a��8�9�
���))��%�9�������������)���3�1������$�:�?
����4)���3�1����������"����5�bc���+���!�s ?
��"�:!���
d�
������"�����!���$�:�����a�������)��"��?
�������)���1"�9��������*1����$7+�8������?
��'7!���$��1�a$�����:����*�)����.��%���'
����9�72�8��������1 ���%��*���*�"�)����?
�����"���$��"��"��%�����&���3�1������$�:�?
�����%����%�����1�9��1$*���)�1"�9�������?
�*1�!���$��1�a$�����:����*�)����.��%���'�4�!
�$�1�"���$'��!�����"�*��������'��"���5���"�?
�������"��%�����r��� !�:�������� �������� ?
�� �������2���)���)��3�91�������3"�:��?
��8�"�$� !���%��������+m�%��)�����!���$'�?
��.���� 8�)�������)���"�����$7�1�!�1��?
����*"$���*!���)����"�72������)��3�91���7!
��������
���
����
��
����
��
�����
�
������������
���
���������
���
��� !"!#�$%!&
'()*+,
-
./
��
01/
1232 ..
%��������1��'����+3�1�% ��1$*�)�*"$���*�a��?
�����$�:���*���$�"�*�
g�9�����"�8��"��)���3�1�������$�:���*�<
����������$�"�*���)��"$������' !�:����$�1���
��)����1��"��������)���� 3�����%���:����3
���+��9���8�bc���+���!�s ��"�:!���
d�
���"����8����))��%�9����������!����$��?
�����+����b>����"!�,���d!�������� "��% ��"�?
+��.���� ��%�3����% �������.��!��"*���� �
����%������%�a$�����:�������%�%���������?
%���"�"(�3�*�1�)�$'� 3�����:����"�"���?
��$'�����������:����3���$�+���8�
>��$�����%��9���"��������%�3����%�"���?
����.���a$�����%������ 3�"��%�2���8!�"���?
+����bj�%��!�,���d�)��1)���*���)�) �����:�?
�����%%�������a�������"���������%�������?
�����%)$������������"�������.���)���%�""�?
1���*�"�)��"�7�:���'����"����*�c�$'�$'%��<
h�"(�����4�5���$���8��8�����.��!���1�72�8
�������"����'�)��.����"�%�3���a$�����%��?
���� 3�)���+����"���8!�)������72�3�"�a$�?
%�������%��+m�%��"��+�1�%�8����1 �4����?
��8:�"�8������% �$�������� 3�+$���"5��&��
a��%��:�� "����*�����+���*��$'��"�!�:����+?
2�)���*� %��)������%����$'� 3�"��+�1�% 3
���1�*"$*7��*�)���+�$�:���������"����*�4�$�
�3������% 5���)��;����.�*�<�1������*=�b��?
" 1�"���1��!�����df
( ) ,2 UFU
U
+∇α=
∂
∂
t
4,5
�1����<�"�����������*��*�a$�%�����������+m�?
%��"��+�1�%�8����1 !�α�<�%����.��4��a���?
.����5�1��������� )(UF �<���$���8��*�"��?
�����*�����.�*!���1�72�*��������"����'�%�?
3���a$�����%������ 3�)���+����"���8�
&��$���1�$��� 3���%�:���8������:���%�$�?
��8��������"����*�������.���a$�����%�����?
� 3������$�"�4�5�4)���" "�1�������������%?
��*����������%����"�$��'��"����%������)���?
�����"$������ 2��������$�!��+$�1�72���%��?
�����8����������8���)�%�2������"�)����*�?
����%���������)�$����%�����*1��5�)�) ���%?
�*�" )����'��+�+2��������$���8�������"��?
�����3�������.���"������%��$�������� 3�+$�?
��"�"��$�1�72�%�"�1�f
( ) ,2 Bijji
i FB
t
B
+∇α=
∂
∂
4
5
�1�� jiα �<�%����.��1��������� jB �<���1��?
.�*�� )(BiF �<���$���8��*�����.�*!��)��1�?
$*�%�*�1���%�:����'7�)��.����"�1����%�?
��"���*�"��+�1�%�8�4%�9+$���"�85����1 ��
3����������72�*�*���+���%�%�3����%�"�%�?
3���a$�����%������ 3�)���+����"���8�
&���a��%�3��������������a$�����%�����?
� 3�"��%�2���8�4�%)�$'��"��$���"��"�$�5��)?
��1�$*7��*�)���%����%�����1 !���"�$�:���
%�������8���1��.�����<���%�����*%����?
)�*9������������*��*�"������%��$�������?
� 3�+$���"!�3����������72����*����:���$'?
� %�����1�����%���e:�"�1��!�)$������'���"�?
1������������"�$���$'��8��+$���������8����?
1 �%�9����)��1�$*�'�*������$'�����)�*9��?
����'7�a$�����:�������)�$*�"���1����8���:��!
�������%!�����+ �����������%��*���*������:��
����:����g��������"*�'�%�91������%�������)�*?
9������'7�a$�����:�������)�$*���)����%���
"�1�b#��1�"���1��!��� �d
,
k
j
kjijjii x
E
Ej
∂
∂
ξ+σ= 4
5
�1��)��)�"���*72�%�*���1����%�)����"�1���*
��%%���"����������1��
��r���!�:�������%���?
$���:������)���%��� ���"����"��4
5��)��1�?
$*7��*���"���)����'7��������"!����1������?
� 3�%�����+ �'��)�%*��� �"�$7:���*���a$���?
�����8��$�������8�)��"�1�%���'7!����$���?
:����*�����$�������'����1 !������)�*9�����
�����*���!���%)������� 8����$7�1� 8���9�?
% ����!������"�1���$'��"�����%�72�8�*��) �
�)�����*�"��+�1�% 3�4����"� 35����1!�����"?
� ��������%���������+����"���*��"��"�$��?
" 3����������%�����+ �'�"��)����"�1�� ��9�
"���%��3�1"�3?���3��%)�������8������% !�b��?
" 1�"���1��!�����d!�������7!����:���%�4
5!�"�)��?
���8(�%��$�:���%�9���)��1���"��'�"��$�1�7?
2�8����%�f
( ) ,,2 GBijji
i FB
t
B
+∇α=
∂
∂
( ) ,,2 GBijji
i PG
t
G
ε+∇β=
∂
∂
4�5
�1������.�*����)��1�$*����������"����'�1�?
��%�:����3�����:����"�"���%��8�������t��?
�.�*� )( GB !iP !�"�)���.�)�!�%�9���+ �'�%�?
�������8��$��1�9��$���8��8�b��" 1�"���1��!
����d!�"����"��%*���������.�*� )( GB !iF ��+ :?
�����1����*�)�$���%�%���$������:��?$���8?
� %������.�*%��b��" 1�"���1��!�����d��&��?
1�$'� 8��$�:�8!����1� �=ε ! ����"����"�����1?
����%)�������8������%��
'
����
�
��
����(����������
�������
����
��
�����
���
)*+%����"����*�4�5�)��1?
���"$*7����+�8��$�9��7���$���8��7������?
��9��
�����/
��9��
:����
.< ��� !"!#�$%!&
'()*+,
-
./
��
01/
1232
%�����"����8�"�:���� 3�)����"�1� 3�"����?
���)��*1�����$*��)��2���*�a��8������% �)��1?
$������*���)�$'��"��'������%%����7��>�)� ?
%�2'7�%���1�� ��%%����8��8���1��.����� ?
3�1��*������%���"�1���*��������%�����"��?
��8���%��'(�%�:��$�%�����"���% 3�)��� ?
%��� 3 !�"�:����������������%���+ ���"��?
� 3�1�������.��$'� 3����"����8����$'(�
%�9��� ��)�$'��"��'� %���1 � ��:���"������
���$���� �+ ���"��� 3� 1�������.��$'� 3
���"����8!������9��:��$��� ��%���1 ��l�$�
9��)�$�:����7���1�.���"����7������%���1�?
���*�)�����������"��'!����)�$�:��%�������� ?
"��% ����"������� ����(���*!������ ��*"$*?
7��*������%�%�1�$����)�1"�9� %����:��%�
������� 3�)���+����"���8���"���% 3�����?
��"���% 3�)���%��� 3!��+����72�3����))�
h��
�$����:����%� )��%���%� ��)�$'��"���*
��%%���������"����*�*"$*���*�)���%!���)�$'?
���% 8�)���)������������(���8���)��+���?
2�8�"�$� �4 "���%�:��$����$����� 3���(�?
��85!������ 8���������"��$�1�72�%��g����"?
������"�:���� 3�)����"�1� 3�"��1����1��8
���1��""�1���*�)���%����*� tVx �+−=ζ ��
)��1)�$������* !�:�������%�����(�������"�?
������$'������)���%����8�ζ ��g�a��%��$�:��
�����%�����"����8� "�:���� 3�)����"�1� 3
�"�1���*��������%���+ ���"��� 3�1�������?
.��$'� 3����"����8��&���a��%�)���������
��*"��� + $�� ��)�$'��"���� ��"����������'
���$�1��%�8������% ����"����8���������$'?
���)���+����"���8������$*.�8 f� att +=′ !
bxx += !��1�� ba ! �<�)����"�$'� ��)����?
*�� �����8��"���$'��!�)���%����*�ζ�*"$*��?
�*� ��"�������%� ���)) �h�� �� ����������%
txX ∂β+∂α= !�)����$'��� �=ζX !���$��)�?
���*�� �����1�"$��"��*7��������(����
�� =α−βV ��r���%�)��%���%���)�$'��"���*
a�����)�13�1��*"$*���*����9��)�����������"?
��%�1�$'� 3���(���8!�+�����72�3�*������?
"������������ ��������$'��� )���+����"���8
1�$���.���4����*9���85�
e:�"�1��!�:�%�(�������))����"��������?
�������"����*!���%�+�$'(��"��%�9������)�?
�������*���"������� 3���(���8��e��� "�?
���*!�1$*�)��������*���1�.���"��������+ �?
��"�������1�������.��$'��������"����*!���?
��"����"�72�������"����7�"�:���� 3�)����?
"�1� 3!�%�9�����)�$'��"��'������$'�������?
����� ��$����:����8���%%������h�!�������?
9�����)������ ���$�"��8���%%������buGRHML!
vEGB!���i���`RIASAOSA!�@IOJDM!��� �d��&���a��%
�)������
( ) ( ) ,,,
1
ux
n
i
i uxuxX
i
∂η+∂ζ= ∑
=
4i5
�1�� nRx ∈ �<��)������ ��$����:����8���%?
%���������"����*!
( ) ,0,...,,,, )()()( 21 =kuuuuxV 4�5
��$�
0)( =VX k 4 5
���%�����+�����
.0=V 4�5
p1��'� ��%"�$�%� )( ku � �+����:���� ��"���) ?
����'�:���� 3�)����"�1� 3�����.�����)��)�?
��%��� %� nix i �!! = � 1�� )��*1��� � �� )( kX
<�)��1�$9��� 8�����������%�$'� 8��)�?
������4)�1��+�����%��be"�*�����"!���� ��e$?
"��!��� �d5�
l�$��9����*"$*���*��)�������%���$�"��8
��%%�����!������"����"��4 5�1�$9���" )�$?
�*�'�*����%�����+�����!���1����%����"����?
�%�4�5���1�)�$����$'������"�����%
( ) ( )ux
x
u
ux
i
n
i
i ,,
1
η=
∂
∂
ζ∑
=
4��5
��"��3�����1�������.��$'� 3��$�1��"�8�1�
)��*1��� �−k �"�$7:���$'���b`RIASAOSA!�@IOJ?
DM!��� ���wAQMLET�BN�MG�!�����d����+���a��3����"?
����8��+����:�%���%"�$�%�b��d��&�a��%�����?
����8���$�"��8���"��������������)�(���*�"
����%�"�1��bwAQMLET�BN�MG�!�����df
( ) .0
][
,0
=
=
XD
V
VX k 4��5
>�����(�������4��5�+�$����$�+��!�:�%���$�?
"����$����:����8���"������������4 5!�4�5����9?
1 8��)��������$����:����8���%%�������1�"?
$��"��*�����4��5!���)�a��%��*"$*���*����)���?
����%���$�"��8���%%�������e+���������"��?
91�������"�������$*�)��%��������%����%���?
$���8�������"��������)$�)��"�1�����f
( ) .const,3 =λ+λ=+ uuuu xxt 4�,5
h�����)��"����'!�:��
( ) uxt uuuQ ∂+λ+∂λ−∂= 3
2
3
2
2
3
4�
5
*"$*���*��)�������%���$�"��8���%%�����!���
<
��������
���
����
��
����
��
�����
�
������������
���
���������
���
��� !"!#�$%!&
'()*+,
-
./
��
01/
1232 .=
���*"$*���*��)�������%��$����:����8���%?
%�������n�����)�������)���91��������8���?
��.!���1�72�8���*"��� )( xtu ! f
( ) ,2arctg2 ωϕ=λ− xu
,3
1
1ln
2
t
u
λ−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−=ω 4�
5
�1�� )(ωϕ �<�����"�����*�����.�*�
����.�4 �
5���1�.���������"������4 �, 5��
�+ ���"����%��1�������.��$'��%�����"��?
��7
( ) .2 3ϕ′+ϕ′=ϕ ′′
e+2�����(�����a��������"����*��%����"�1
,1arctg2 21 cec +−=ϕ ω 4��5
�1�� const=,� ! cc ��&�1���"$**�4��5�"�4�
5!�)�?
$�:��%���$�"��?��"������������(��������"?
����*�4�,5��e:�"�1��!�"��'%���)�.���:����%
�$�:��%������% �4�5�*"$*���*����"������4�,5�
�����%��+�+2����%�%���1���$����:����8
��%%������*"$*���*�)��������������.� !��� ?
1�.���72������3�1�������"������"�:���� 3
)����"�1� 3��������%���+ ���"��� 3�1��?
�����.��$'� 3����"����8���)�%�2'7��)�?
������"���%%������h��<�#a�$��1���g���+���
b_TODIASABTIUOO!�����d�)��1$�9���%���1���1��?
.�����$���8� 3�a"�$7.���� 3����"����8��
1"�%*�����"���% %��)���%��� %�!������ 8
+��������*������%%������h��<�#a�$��1���+ �?
��"��� 3�$���8� 3�1�������.��$'� 3����"?
����8��g���+����b@IZJDM !�,��
��s����!�,��id
a����%���1��+�+2����*������$���8� ���+ �?
��"��� ��1�������.��$'� �����"����*���)�?
��� "���!�:�������%�9���)��%��*�'������$'��
�����"����*%�a"�$7.����������)�!��!�"��+2�
��"��*!�����)����"�$'��%��1�������.��$'��?
%�����"����7�
-���%����%�1�������.��$'�������"�����
.0,...,,,,
1
2
1
2
1
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
m
m
x
u
x
u
x
u
uxH 4�i5
&���'��+2�����(��������"����*�4�i5�%�?
9���+ �'�)��1���"$����4)�����8��8�%���!�$�?
��$'��5�"�"�1�
( ) ,...,,,, 21 mCCCxFu = 4��5
�1� mCCC !���!! ,� �<�)����"�$'� ������.��
��� �−n �)���%��� 3� nxxx !���!!
, ��g���+�?
��3�b@IZJDM!�,��
��s����!�,��id�)�������!�:��
��$�� uVQ ∂= �<��)���������%%������h��<
#a�$��1�����"����*�4�i5!��������.
( )mxFu ϕϕϕ= ,...,,, 21 4� 5
��1�.������4�5��������%�����+�$���:�%� �1��?
�����.��$'� 3����"����8�1$*�����"���� 3
����.�8� )(( nmn xxxx !���!!���!5!���! ,,� ϕϕ ��l�?
$����3�1��*������%��*"$*���*������%�8���1"�?
%*�����"���% %��)���%��� %�!������1�.�?
��"����*������%��+�1��������%�8��+ ���"��?
� 3�1�������.��$'� 3����"����8��e�%���%!
:���"��+2�%��$�:�����1�.���"����*������%�
��1��9�������"���� ������.��� mkk �!! =ϕ !
�3�)����"�1� ��������"���%�7�)���%����7!
������7��+����:�%� )( xγ ��&�a��%��"��+2�%
�$�:����������"����%��*�������2���"�"����
3��*�+ ��1������)����������%%����������1�?
.���"����8������%
( ) ( )
k
m
k
m
kQ ϕ
=
γ ∂γϕϕη+∂γα= ∑
1
1 ,,...,
~
)��"�$*���)�������'���%����)���%��� 3
( ) ,,...,, 1 mtt ϕϕγ=
( ) ,,...,, 1 m
ii VV ϕϕγ=
,,1 mi =
�1�"$��"��*72�3����"����7
.0
~
,1
~ == iVQtQ
g���" 3�)���%��� 3������%�������1��9��
"�*"��%�"�1������"���%�7�)���%����7���*"?
$*���*��"����%��8�
>$�1������%����'��������� !�:���1$*�+�$'?
(����"����$���8� 3������%��+ ���"��� 3
1�������.��$'� 3����"����8�)�:�����:���
����1����*��1�$��' !����%���+2�3���"��91� ?
��8 ��&�a��%���:��'�"�9����� ����'����.��?
���� ����(���*�4��)�1"�9� ����:��5������?
:��'�)�"�1�������(���8���$���8��8������%
"+$������)�1"�9��8���:����t��1�%����$'��*
�����%��x���%����<�c��+%����bc����3�8%��!
x�$%�!�,��,d�����������1���%�:����3������%
)��"�1�����$�"�� !����1�����$�1�"�����)�"�?
1���*���(���8���$���8��8������% ��"�1��?
�*������$���:��8���1�:��1$*�$��������"�� ?
��8������% !�������*!�"��"�7��:���1'!������?
1��)��2��
<
��9��
�����/
��9��
:����
.> ��� !"!#�$%!&
'()*+,
-
./
��
01/
1232
g�9� %����9��*"$*���*�" 1�$��������(�?
��������$�������$���8� 3������%�4�5���3!���?
��� ���+$�1�7��3��'�����8?��������"��$'��8
��%%�����8��y��!���)��%��!���"�����!�:������"?
��������)$�)��"�1�����
uu t Δ
λ
= 1
4��5
��"�����������������$'������)) �c�$�$�*��
����������%�
.3,1,2 =∂λ−∂= auxtQ uaxa a
4,�5
l�$����1��)�������'���$���8�������"��?
���
( ) ,1
uFuu t +Δ
λ
= 4,�5
��3���*72�����$�$��"�7���%%����7!�������?
� "����*!�:�������.�*� )(uF �%�9���+ �'���$'?
���$���8��8!����%����� const)( =αα= !uuF �
g����9��"��%*�1$*������% �4�5!���$�
,
1
,
1
jijijiji δ
λ
=βδ
λ
=α
�1�� jiδ �<���%"�$���������� !���2���"�7�
����.��� iF ��� iP �"�1�
,
22
ii BfF ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
=
GB
GB
,
22
ii GpP ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
=
GB
GB
4,,5
�1�� pf ! �<�)����"�$'� ���$�1��������.��!
��"��*2�������1���������%����!������ ����?
"%�������������%�8�4�5��+����7����$�$�8?��?
"��������7���$���8��7������%���c�������?
� ����)) �c�$�$�*� aQ �"�a��%��$�:����%�7�
"�1
−∂=
axa tQ 2
( ) .
3
1 ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
∂+∂λ− ∑
=k
GkEka kk
GEx ,
5
����. !������ 8�*"$*���*��+2�%�"�1�%���$�?
$�8?��"�������������(���*!�)�������� 8��
)�%�2'7��)�������"�4,
5!��%����"�1
( ) ( ) ., 4/4/ 22
tete t�t� gGbB xx −− == 4,
5
&�1���"$**�4,
5�"������%��4�5 !�4,,5 !�)�$�:��%
��1�.���"����7������%���+ ���"��� 3�1��?
�����.��$'� 3����"����8f
( ) ,
2
3 22
b
bg
gb
b ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+−=′ f
t
tb
( ) .
2
3
22
g
bg
gb
g ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+−=′ p
t
tg 4,�5
g�:�����%��$�:�� !����1�� ��! == pf !���
�����% �4,�5�)�$�:��%�3���(����"��������$��?
��:���������1�%����$'������(��������"��?
��*���)$�)��"�1������4��5��&�?"�1�%�%�!��$�?
1����" 1�$��'�"������%��4�5��$�:�8!����1�� =iF
iB)( ,, GB +α= ! ii GP )( ,, GB +β= ! =βα!
const= !������ �!�)�����8��8�%�������%�$'?
��!�����.����7��*�����+�:����%���$���8� %
���"�����%�j��1������!�����������% %�%�?
��1�%��+�����8���1�:�������*��*�
,���-
��
%������"�1���$'��"����a��)�?
��%��� !���%��*������*"$*���*�a$�����1��� ?
%�:���������"��8����1�8!��)���+��8�������?
��"��'�a$�����%������ ��"�$� �"�(�����%
1��)������:�������n������� "������" ��"��?
%�9�������3���)�$'��"���*�1$*�)�$�:���*
1�)�$����$'��8������%�.����+�����������?
�����1���%�����������"$���!�:�����%��*�����
�+$�1����" ��9��� %����$���8� %���)��?
��%���"�8��"�%�!�%�9���)�����)�"��'�+ ��?
� ��"��%��� ����%�����*�"��"*�������%���?
���%���)�*9������������*��*���"��1�8��"�*
�$7�1�"��e���"�����"�8��"���$7�1�"�<�a��
+ ������� )�������� ���:���$'� 3� �+m�%�"
a����������)���+����'�������.�����.���"���?
������$'���$���$���"��� 3��+$���*3�)����?
�����"���r���!�:���"�a��%��$�:������)���1��8
)$���" ���)�7��������8:�" �������% ���"��?
+�1�% �����1 ��&��:�%�"�(�����%�)���%�?
��������$7�1�1���%�����3"�� "����(�����8
�)��������$���:����3�%�1�$�8����������:��?
��3�)�$�8��e:�"�1��!�������8:�"���'�����3
�����%�)��"�1�����+������.�����" +����%
a���������"�2���"���g�����3����1�3�%�3���?
:������)��.��� � "���1�� ��)��"�91�7��*� 4 �
" � "�7��* 5�a$�����%������ %��)��.����?
%���g�:��������!�+���2���"1�$'�������:$���?
��*�+$���"�4"1�$'����$�%�"5�$���$���"��� �
����"��"��� ���+$����!���)��"�91��% ��+ ?
��� %���%������%�)���"����1�"$���*�����$'?
���.���� %�)�������%�)���"�����$7�1�!����?
�� ���%������� ���%����2�� !���%������%
( ) .
3
1 ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
∂+∂λ− ∑
=k
GkBka kk
GBx ,
5
( ) ,
2
3
22
b
bg
gb
bb ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+−=′ f
t
t
( ) .
2
3
22
g
bg
gb
gg ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+−=′ p
t
t 4,�5
��������
���
����
��
����
��
�����
�
������������
���
���������
���
��� !"!#�$%!&
'()*+,
-
./
��
01/
1232 .?
�+m�%��)�����!��)���+��"�7��%�3���a$�����?
%������ %�)���+����"���*%!�"�������"���7
%��������1��1���%�:����3���a$�����������?
:����3�a������"!���������8:�"���'����$'9�?
��*�"1�$'����$�%�"�"�1�����������8:�"�����1�?
���%�.���������1 �
������"�����!��+2�)���*��8�%���%���:��?
��8� %�1�$'7� �)�����*� )�1�+� 3� ����"� 3
4"��+�1�% 35����1 !�1�%��������72�3�+�$'?
(���������+��������)�"�1���%�:�������)�?
"�1���*�����%���������.��!�*"$*7��*�)���?
+�$�:���������"����*��$���3������% ���)�
; ����.�*�<�1������* = !��%�72���"��+2�%
�$�:���)���������"����?$���$���"��� �!���?
)�1"�9� �����$�9���1"�9�2���*���(���*
b����$$�3���"���1�� !�,���d ��>��:���%��%�7?
2�3�*��������:����3�)��1���"$���8���)�$�?
"����a��)���%����!�"���+����bj�%��!�,���d
+ $��)��1$�9����1������:����+2�����$���8?
�������"������������.����)������ 3�a$���?
��%������ 3������$�" ��&���a��%��)�.���?
:������"��+�1�% ���"�8��"��������1 ����:�?
��%�%��9���"������������:����3�%�3���� ?
%�"��3�������.����)��1�$*7��*����%�8���?
$���8��8�����.�� !��������$'���3��������?
��72�8�4��1�72�85��������"����'�%�3��� ?
a$�����%������ 3�)���+����"���8���������?
:����%����"���1����*��+���������$�����7�?
�*� ���+�������� a����� ���"����*��� "��%�9 ?
� ��)������%���1 �������(���* ������9�$� ?
��7!��1����!�%���%���:����*���������)��+$�?
% �"�1����%��$�:���*"$*���*����8����$�9?
��8������)��"�$�!���$���8� �����"����*��$�
�3������% ��%�7��+�$���:�%��1�����)���(�?
��8������)��" 8�)$����1��'��+ :���" 3�1*�
��:���"��� ��%���1 ����$�1�"���*��>�.�$'7
�)��2���*����$������%�8������% �"�����'�
)��1$������*���)�$'��"��'������%%����7f��
)�%�2'7�%���1����%%����8��8���1��.�����?
3�1��*������%���"�1���*��������%�����"����8
��%��'(�%�:��$�%�����"���% 3�)���%��� 3!
"�:����������������%���+ ���"��� 3�1����?
���.��$'� 3����"����8�
y���%��+����%!���%%����8� 8�%���1�)��?
"�$*����"�������1�:�����$�1�"���*������%
���"����8�"�:���� 3�)����"�1� 3�)���+�?
$�:���������)�������:���7������% ��+ ���?
"��� 3�1�������.��$'� 3����"����8!�)��1?
���"$*72�8� ����:��%����7� 1���%�:����7
�����%����$*�a�����%�9���+ �'���)�$'��"��
�����$����:����8����������?���))�"�8�)�1?
3�1 !������������+�+2�����<�%���1���$�"��8
��"�������������&���a��%���$��)��%��*���*
%���1���:�:��8���%%�����!������1�.���"��?
��*������%����1��9������$'���9�����"����8!
���$'�������3�1��*������%����)��; ����.��
<�1�������= ��&�����)�$'��"�����9����%?
%������h��<�#a�$��1��)�$�:����*���1�.�?
��"����*������%�!�"�������8�:��$�����"��?
��8�+�$'(�!�:�%�:��$�����"����8���3�1��8
�����% ��g����9��"��%*��$�1������%����'!�:��
)�$�:����*������%�����+�1���)����)��1�$��?
��8!�������:��$�����"����8�"���1�.���"����8
�����%�����+�1���)��"��3�1��'�:��$������"�?
��� 3�����.�8�
e:�"�1��!��1����!�:�����3�91�����1�9����?
:���"���������(���*�4)��������)��1�$�� �"�?
$�:�� �����%���$���:����3�)���%����"����?
1 5�%�9���������'�*��$�(��%���$'� %����+�?
"����%!����)���1�$����*����)���%�����)�"�?
1���*����$�1��%�8������% ��e1���������+�9?
� 8�"�1����8������.������)��.��%�%�9���+ �'
��%�������$�+$��!���$��)���*�'�"��"��%����
�)�����$'� ��"��%�9���������$������%�8���?
���% ��g�a��%�����������)���.�)��$'�������?
:�����)���+����7��" :��$���$'� 8�a��)���?
%������)�$�" ����+$71���*�
p�%���%����9� !�:���)���.�)���%%�����
%�9�����)�$'��"��'�"���:���"��)��"�$����+�?
�������.�8� iF ��� iP �"������%��4�5�
.�����
���
������
�5+(,,+@+*�6
��9��/
��A+*�6
�9��/
��)�"�6+
��9��/
:*�,B
C�
C�/
)7+%�6+
�
��/
�(5D,!*
��
��/
�+!%!*
��
���>$�9� ����9�% ����)������?
����*�"��+�91���*�����%���������.���"�%�?
1�$���"��� "���*����"��qq���)�3������������
<�,�����<�!//!�z����<�>�� �<��
�
��84+*�6
E�
��� �� )��+$�%������ ���)������?
����*� "��%�2���8� "� ���$���:����3� ���1�3f
������8��+���������$'� 3�����:����"������?
�������"� �����+��9���*�qq�c�������9����
<�,�� ��<�01!�z����<�>���i<����
�)�4�6
��
�� /
�(7F*G�6
��
�� /
��H5D8!*
��
��
�$����:����*� a$�����1���%�����<�k���"� f
�����!��� ���<�
�����
�!*"A()8
��9��/
�D5�6!#
��9���&���3�1������$�?
:�������)���3�1���������*�����<�k���"�f���?
���!���
��<�
i����
��9��
�����/
��9��
:����
<2 ��� !"!#�$%!&
'()*+,
-
./
��
01/
1232
��@A�)8
��
��/
�( �,B4
��
��/
��)I�*"�*
��
��
n$�����%������ ��a����� �)��������(����
��%��8���� �qq���"�����>>>-��t������p�%?
$���<��� ���<�z����<�>���,< ��
�(,B�,B7!
��
�������.���� ��a����� �"�����
��"�%��������������%$��qq�t������p�%$���<
,�� ���<�z����<�>����<�i�
�(,B�,B7!
��9�����$���8����'����a$�����%�����?
� 3�"�$��qq�c����������$�1�"���*��<�,�� +�
<�2!�z�
��<�>���i<,
�
�(,B�,B7!
��
��� �$'��������:������ �� "�$�
"� ����� �� "� %������������ p�%$�� q q� ��)�3�
�����������<�,�����<�!//!�z��,��<�>���,��<
�,�i�
�(%�*@�&7�)
�'�/
J�,7$
�����$���8� ����$�?
+���*!� 1���%�:�����������% ���+�����.��
"������ 3� )�$�8��<�k���"����9�"��f���?
���������%)'7���� 3����$�1�"���8!�,��,��<
�i����
�+6D4�6
��9��/
�D%�6
��9��/
�!@+&,�6
��9�������?
%�������"��"�$��" 3����������"�"��+�1�% 3
���1�3�qq���)�3�������������<�������<�!3!!
z� ��<�>��
�< i�
�7!5)!�6$%!&
��
�� /
��,�4!*
��
����"����$�?
���� ��%�3����% �1�����.���p�%$��qq�����?
��.�*�p�%$�f����1���%���!�����$7�1 !�����'!
�������3�)���������� ��k������g������������
4,,<,���)��$*�,�� ���!�k���"�5 ��<�k���"�f
cle>!�,�� ��<�>����,<��
�
�7!5)!�6$%!&
��
�� /
��,�4!*
��
���t��%���?
"�������1���%����a���������"� 3�����"����?
$���:����8����1��qq����$��-����<�,��i��<
4!!!�z�
��<�>��
��<
���
�!$!*
��9���r"$�������%���������.���)���"��?
�%�1�8��"����$7�1� 3� )�����"������1���?
%�:����3�)��.����"�"���%��8�������c����?
�����xx^����$���*f�,�������qq�>+������1�"*� 3
��������:����8��%��g��g��t�1 �������4 �<
%�����,������!�k���"�5��<�y"��'f�eee�;��1?
"��cl->=!�,�� ��<�>�� ,< �
��6I�*%�
��9��� >"��3�����:������ ��a$�����?
%������ �������$ �$������������)����3�9?
1���*f��"�������1��������1?�������?%���������
<�k���"�f�e�tp�-��!������<�
i���
�6$F**!%�6
��9���c��))�"�8����$���1�������?
.��$'� 3����"����8��<�k���"�f������!���� �
<�
�����
�,6�)
���&��$�9���*����)) �h����1�������?
.��$'� %����"����*%��<�k���"�f�k��!��� ��
<�i
����
�+4�6$%!&
��
��� c������������������"�� "��
��+�������q�e�"����1��g�{g���1�(�����<�k���"�f
�����!�,��
��<�
����
�()%�6
��9���n$�����%������ ��a����� �)�����%?
$���*����*3� �� "�� "�3 ��<�k���"�f���1?"�
k�������9�?�������?��!�,�����<�,
���
�! )+
K�
��� >�%���/8��� ��1��./*� 1������./?
�$'��3��/"�*�'�"�:�������3�)�3/1��3���1"�%�
����$�9��%���%/���%��qq�p+��)��.'�|������?
���%���%��������������0����<�,��i��<�0 !
z�,��<�>��
��<
���
:(7+*
��9������"������������.����)������ 3
a$�����%������ 3������$�"�"� �����%��$���?
����� 3�+$���"�qq�c�������9�����<�,�� ��<
01!�z����<�>��
,<
�
:(7+*
��9���n$�����%������ �������$ �$���?
���������)����3�91���*�"���"��%��� 3���?
��%� 3���1�����.���� 3����1���72�3����?
��%�3�qq�c�������9�����<�,�����<�#2 !�z�,�
<�>��
<�i�
:(7+*
��9�� /
��84+*�6
E�9����%)�$'�����a$���?
��%�����������$�:�����$������� f��)��� �
"�)��� ����������)�$�"�8�a��)���%��� qq c��?
�����9�����<�,�� ���<�01 !�z�,��<�>��
,<
��
:(7+*
��9��/
��84+*�6
E�9���n$�����%�������*
a%����*�$������� f�)���������"����*������?
�������"��%�9� ��%�3����% �������.���qq
c�������9�����<�,�� +��<�01!�z�i��<�>��
�<
���
LMNOPQ
R�
S� /
TUMV
W�
X��@AB�KBLBDMG�IOHOGMDONZ
IEGRNOEL�EJ�NAB�ABMN�B[RMNOEL�qq�}��~MNA��~BSA�
<���i���<�!5!�z�����<������,�<��
,�
YNZ[\[]\[
S�
^ � /
_Z]`aP
^ �
b���L�M�DBQRSNOEL�MLQ
IEGRNOELI�EJ�NAB�LELGOLBMD�PMTB�B[RMNOELI�PONA
FDEUBL�IZHHBNDZ�qq�}���AZI��Yf�~MNA���BL��<
�� ���<�#1��<�����
�<�
�
cd]aZ[\[VdZe]]
c�9f���OB�<�uMSUGRLQ�IZHHBNDOBI�EJ
GOLBMD���WXI�MLQ�KBLBDMGOVBQ�IBCMDMNOEL�EJ�TMDOM?
FGBI�OL�LELGOLBMD�B[RMNOELI�qq��AZI���BNN��Y��<
������<�!22��<����
<
�
_Zg`aP
^ �
b�� _ZHHBNDZ� DBQRSNOEL� EJ� LELGOLBMD
QOJJBDBLNOMG�B[RMNOELI�qq��DES��^LIN��~MNA���Y_
EJ��UDMOLB��<��ZOT��<�,��
��<�����<����,ii<
,���
h[iPQUd
f�9h�/
_Zg`aP
̂ �9b�/
jUkUdg\[
f�9l��Y�CDBSOIB
QBJOLONOEL�EJ�DBQRSNOEL�EJ�CMDNOMG�QOJJBDBLNOMG�B[RM?
NOELI�qq� }��~MNA��YLMG��YCCG��<�������<�#05�
<���� ���<�,
�
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-96413 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0203-3100 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T19:33:28Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Цифра, И.М. Шуман, В.Н. 2016-03-16T19:26:48Z 2016-03-16T19:26:48Z 2010 Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа / И.М. Цифра, В.Н. Шуман // Геофизический журнал. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 51-60. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 0203-3100 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96413 550.837; 550.344; 517.9 Розглянуто питання генерації в геосередовищі електромагнітних збурень радіохвильового (кілогерцового) діапазону, що реєструються на земній поверхні. Увагу зосереджено на математичних аспектах проблеми, а власне, аналізі раніше запропонованого нелінійного рівняння генерації типу “реакція — дифузія”, яке описує складні режими збудження і поширення електромагнітних збурень у розглядуваній моделі геосередовища — самоподібній структурі, що визначає сейсмічні та електромагнітні процеси в ній. Для спрощення рівняння, що вивчається, запропоновано використати його симетрію. Симетрійний метод дає змогу звести рівняння (або їх систему) в частинних похідних параболічного типу до вивчення систем звичайних диференціальних рівнянь. Для цього може бути використаний як класичний теоретико-груповий підхід, так і його узагальнення — метод умовної інваріантності. The problems of generation within geo-medium of electromagnetic disturbances of radiowave (kilo-hertz) region registered on the Earth’s surface are considered in the paper. Attention is concentrated on mathematical aspects of the problem, namely on the analysis of earlier proposed non-linear equation of generation of the type “reaction — diffusion” which gives a description of the complicated excitation regimes and propagation of electromagnetic disturbances in the considered model of geo-medium — self-similar structure, which determines seismic and electromagnetic processes in it. Review is given on the physical level, and peculiarities of this equation are analyzed and possible ways of its solution. In order to simplify the equation under analysis it is proposed in the work to use its symmetry. Symmetry method allows reducing the equations (or their system) in partial derivatives of parabolic type to the study of a system of ordinary differential equations. For this purpose both classical theory-group approach and its generalization — conditional invariance method can be used. Обсуждаются вопросы генерации в геосреде электромагнитных возмущений радиоволнового (килогерцового) диапазона, регистрируемых на земной поверхности. Внимание концентрируется на математических аспектах проблемы, а именно анализе предложенного ранее нелинейного уравнения генерации типа "реакция-диффузия", которое дает описание сложных режимов возбуждения и распространения электромагнитных возмущений в рассматриваемой модели геосреды - самоподобной структуре, определяющей сейсмические и электромагнитные процессы в ней. На физическом уровне представлен обзор, анализируются особенности этого уравнения, а также возможные пути и методы его решения. С целью упрощения анализируемого уравнения предлагается использовать его симметрию. Симметрийный метод позволяет свести уравнения (или их систему) в частных производных параболического типа к изучению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого может быть использован как классический теоретико-групповой подход, так и его обобщение - метод условной инвариантности. ru Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України Геофизический журнал Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа Параболічні системи типу “реакція — дифузія” у моделюванні процесів генерації та поширення електромагнітної емісії літосфери і методи їх аналізу Parabolic systems of “reaction — diffusion” type in case of modeling the processes of generation and propagation of electromagnetic emission of lithosphere and methods of their analysis Article published earlier |
| spellingShingle | Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа Цифра, И.М. Шуман, В.Н. |
| title | Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа |
| title_alt | Параболічні системи типу “реакція — дифузія” у моделюванні процесів генерації та поширення електромагнітної емісії літосфери і методи їх аналізу Parabolic systems of “reaction — diffusion” type in case of modeling the processes of generation and propagation of electromagnetic emission of lithosphere and methods of their analysis |
| title_full | Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа |
| title_fullStr | Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа |
| title_full_unstemmed | Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа |
| title_short | Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа |
| title_sort | параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96413 |
| work_keys_str_mv | AT cifraim paraboličeskiesistemytipareakciâdiffuziâprimodelirovaniiprocessovgeneraciiirasprostraneniâélektromagnitnoiémissiilitosferyimetodyihanaliza AT šumanvn paraboličeskiesistemytipareakciâdiffuziâprimodelirovaniiprocessovgeneraciiirasprostraneniâélektromagnitnoiémissiilitosferyimetodyihanaliza AT cifraim parabolíčnísistemitipureakcíâdifuzíâumodelûvanníprocesívgeneracíítapoširennâelektromagnítnoíemísíílítosferiímetodiíhanalízu AT šumanvn parabolíčnísistemitipureakcíâdifuzíâumodelûvanníprocesívgeneracíítapoširennâelektromagnítnoíemísíílítosferiímetodiíhanalízu AT cifraim parabolicsystemsofreactiondiffusiontypeincaseofmodelingtheprocessesofgenerationandpropagationofelectromagneticemissionoflithosphereandmethodsoftheiranalysis AT šumanvn parabolicsystemsofreactiondiffusiontypeincaseofmodelingtheprocessesofgenerationandpropagationofelectromagneticemissionoflithosphereandmethodsoftheiranalysis |