Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа

Розглянуто питання генерації в геосередовищі електромагнітних збурень радіохвильового (кілогерцового) діапазону, що реєструються на земній поверхні. Увагу зосереджено на математичних аспектах проблеми, а власне, аналізі раніше запропонованого нелінійного рівняння генерації типу “реакція — дифузія”,...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Геофизический журнал
Datum:2010
Hauptverfasser: Цифра, И.М., Шуман, В.Н.
Format: Artikel
Sprache:Russisch
Veröffentlicht: Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України 2010
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96413
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа / И.М. Цифра, В.Н. Шуман // Геофизический журнал. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 51-60. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859743081687941120
author Цифра, И.М.
Шуман, В.Н.
author_facet Цифра, И.М.
Шуман, В.Н.
citation_txt Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа / И.М. Цифра, В.Н. Шуман // Геофизический журнал. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 51-60. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Геофизический журнал
description Розглянуто питання генерації в геосередовищі електромагнітних збурень радіохвильового (кілогерцового) діапазону, що реєструються на земній поверхні. Увагу зосереджено на математичних аспектах проблеми, а власне, аналізі раніше запропонованого нелінійного рівняння генерації типу “реакція — дифузія”, яке описує складні режими збудження і поширення електромагнітних збурень у розглядуваній моделі геосередовища — самоподібній структурі, що визначає сейсмічні та електромагнітні процеси в ній. Для спрощення рівняння, що вивчається, запропоновано використати його симетрію. Симетрійний метод дає змогу звести рівняння (або їх систему) в частинних похідних параболічного типу до вивчення систем звичайних диференціальних рівнянь. Для цього може бути використаний як класичний теоретико-груповий підхід, так і його узагальнення — метод умовної інваріантності. The problems of generation within geo-medium of electromagnetic disturbances of radiowave (kilo-hertz) region registered on the Earth’s surface are considered in the paper. Attention is concentrated on mathematical aspects of the problem, namely on the analysis of earlier proposed non-linear equation of generation of the type “reaction — diffusion” which gives a description of the complicated excitation regimes and propagation of electromagnetic disturbances in the considered model of geo-medium — self-similar structure, which determines seismic and electromagnetic processes in it. Review is given on the physical level, and peculiarities of this equation are analyzed and possible ways of its solution. In order to simplify the equation under analysis it is proposed in the work to use its symmetry. Symmetry method allows reducing the equations (or their system) in partial derivatives of parabolic type to the study of a system of ordinary differential equations. For this purpose both classical theory-group approach and its generalization — conditional invariance method can be used. Обсуждаются вопросы генерации в геосреде электромагнитных возмущений радиоволнового (килогерцового) диапазона, регистрируемых на земной поверхности. Внимание концентрируется на математических аспектах проблемы, а именно анализе предложенного ранее нелинейного уравнения генерации типа "реакция-диффузия", которое дает описание сложных режимов возбуждения и распространения электромагнитных возмущений в рассматриваемой модели геосреды - самоподобной структуре, определяющей сейсмические и электромагнитные процессы в ней. На физическом уровне представлен обзор, анализируются особенности этого уравнения, а также возможные пути и методы его решения. С целью упрощения анализируемого уравнения предлагается использовать его симметрию. Симметрийный метод позволяет свести уравнения (или их систему) в частных производных параболического типа к изучению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого может быть использован как классический теоретико-групповой подход, так и его обобщение - метод условной инвариантности.
first_indexed 2025-12-01T19:33:28Z
format Article
fulltext �������� ��� ���� �� ���� �� ����� � ������������ ��� ��������� ��� ��� !"!#�$%!& '()*+, - ./ �� 01/ 1232 .3 �������� ������� ������� �������� ��� ���� �� ���� �� ����� � ��������� ��� ��� ��������� ���� ���� � � ����� � ����������� ��� �� ������������� ������� ������ �� � � ���� � ������� ©©©©© ��� ����� � !"�#�� �� �������� !�� ���� !����������������������������� !����"!�������� #���"��������"�#�$������!����������%���%�����! #�$�����!�&�$'(� &����)�$�� �����*+�*�,������ �)�4$5+6,�*� #,�*�7 )�4%�,,�8!! ��9�� �5+)�$5�*%� -���$*�����)�����*�������./0�"��������1�"�2/��$�����%���/���3��+����'���1/�3"�$'�"��� 4�/$����.�"���5�1/�)�����!�2����6����7�'�*������%�/8�)�"��3�/���"����������19������ %���%���:��3���)����3�)��+$�%�!���"$����!����$/�/����/(����)��)���"��������$/�/8���� �/"�*��*�������./0���)��;����./*�<�1����/*=!�*����)���6���$�1�/���9�%���+�19���*�/ )�(�����*��$�����%���/���3��+����'�������$*1�"��/8�%�1�$/��������1�"�2��<���%�)�1/+�/8 ��������/!�2��"����:�6���8�%/:�/�����$�����%���/��/�)��.����"��/8���$*��)��2���*��/"�*��*! 2��"�":�6�'�*!���)��)���"����"�����������8������%���/7��>�%���/8��8�%���1�1�6��%��� �"������/"�*��*�4�+��03������%�5�"�:�������3�)�3/1��3�)���+�$/:�������)��1��"�":���* �����%��"�:�8��3�1������./�$'��3��/"�*�'���$*�.'����%�9��+����"����������8�*� �$���:��8����������?���)�"�8�)/13/1!�����/�8���������$'����*�<�%���1��%�"��0�/�"�? �/�������/� @AB�CDEFGBHI�EJ�KBLBDMNOEL�PONAOL�KBE?HBQORH�EJ�BGBSNDEHMKLBNOS�QOINRDFMLSBI�EJ�DMQOE? PMTB�4UOGE?ABDNV5�DBKOEL�DBKOINBDBQ�EL�NAB�WMDNAXI�IRDJMSB�MDB�SELIOQBDBQ�OL�NAB�CMCBD��YNNBLNOEL OI�SELSBLNDMNBQ�EL�HMNABHMNOSMG�MICBSNI�EJ�NAB�CDEFGBH!�LMHBGZ�EL�NAB�MLMGZIOI�EJ�BMDGOBD CDECEIBQ�LEL?GOLBMD�B[RMNOEL�EJ�KBLBDMNOEL�EJ�NAB�NZCB�;DBMSNOEL�<�QOJJRIOEL=�PAOSA�KOTBI�M QBISDOCNOEL�EJ�NAB�SEHCGOSMNBQ�B\SONMNOEL�DBKOHBI�MLQ�CDECMKMNOEL�EJ�BGBSNDEHMKLBNOS�QOINRDFMLSBI OL�NAB�SELIOQBDBQ�HEQBG�EJ�KBE?HBQORH�<�IBGJ?IOHOGMD�INDRSNRDB!�PAOSA�QBNBDHOLBI�IBOIHOS�MLQ BGBSNDEHMKLBNOS�CDESBIIBI�OL�ON��]BTOBP�OI�KOTBL�EL�NAB�CAZIOSMG�GBTBG!�MLQ�CBSRGOMDONOBI�EJ�NAOI B[RMNOEL�MDB�MLMGZVBQ�MLQ�CEIIOFGB�PMZI�EJ�ONI�IEGRNOEL��̂ L�EDQBD�NE�IOHCGOJZ�NAB�B[RMNOEL�RLQBD MLMGZIOI�ON�OI�CDECEIBQ�OL�NAB�PEDU�NE�RIB�ONI�IZHHBNDZ��_ZHHBNDZ�HBNAEQ�MGGEPI�DBQRSOLK�NAB B[RMNOELI�4ED�NABOD�IZINBH5�OL�CMDNOMG�QBDOTMNOTBI�EJ�CMDMFEGOS�NZCB�NE�NAB�INRQZ�EJ�M�IZINBH�EJ EDQOLMDZ�QOJJBDBLNOMG�B[RMNOELI��̀ ED�NAOI�CRDCEIB�FENA�SGMIIOSMG�NABEDZ?KDERC�MCCDEMSA�MLQ�ONI KBLBDMGOVMNOEL�<�SELQONOELMG�OLTMDOMLSB�HBNAEQ�SML�FB�RIBQ� $� � �� %�������"�����!������:������ � a$�����%������ ��"�$� �������"�������)��? ��3�91���*!���� "��% �����a$�����%�����? � %�!���2���"�7��"���%��8�����!�������!�" ��%������!����������!�%��������������%�9? )$������8����1��bc�$'�$'%�!�,�����,�� �!�+d� e�%�:����*��3�+�$'(���������+�����f��1�� )������7�����%�9)$������8����1 !�1����� "��+�91�7��*�"�%������������)���"���%�? 1�8��"�����$��:�����"����������%������ % )�$�%�"���%�������"�����$'����������"�8���? ��"�����!�����'��"��+�91�7��*�"�������%� ? %������:����%���g������*2�8�����'�������? 1���:�%�"��%��������)��$�1��3!�)������*���? .������1�����������a$�����%������ 3�)���? %����"�������1 �������$�1�"�����1���%�:��? ��9�� �����/ ��9�� :���� .1 ��� !"!#�$%!& '()*+, - ./ �� 01/ 1232 ��3�)��.����"���%�3����%�"�������.��������? )����������*�a$�����%�������8�a%������$�? ������ � >��$�����a��)���%���� !����� ��)���1 ! �+����72���$��������!��+$�1�7��1"�%*�3� ? ������� %���"�8��"�%���&��"���<�a���1��? ��������'��h��������������������+$���"����? � 3�)���1��$��1������:��������$�1���"��? � 3������������ 3����1����1�����8�4��1�$'? �����8 5����$�:� 3����%���" !�)�1:����� 3 �����3�:����8�)��$�1�"���$'����� ��g����� <�)����*�� ����$�+���$'� ��1"�9���*�a��3 ��1�$'�����8�"�����%��%�1��)������%��(��? +�"���:������4��������$����.�<�1��*��� �*:? � ��1�$�����.������9�f��"���"�*�a%����* ! %������8�% !�)��$�"� ��1"�9���*���1�� 5 b>�1�"���8!�,�� d��&���a��%!�)������*�"�1��? ������8!������3�:�������%�)�1�+��8�������? 1� !� ��%���8�%�:����8�)��.����������:��� �����3�:�����!�1�����������!��"��%�1�$'��? ����b>�1�"���8!�,�� d� >�2���"��� 8�)�������������1 �<�)��? �����"����$7�1�"!�*"$*72�3�*����+�$���)�1? "�9��8������"$*72�8�)$�����������"�2���"� b�����!�,�� d !�)��:�%����+�$������:���$'? � ���3���"��%��� ��)������)�����:�� �� �������:���������"� %����������%���" ��? ��8�)����.��%���'7��������"$���1������$'? ��?��(��:���?+$���" 8�����������"��%��� 3 ���1���%�:����3����$7�1�1���%�:����3�)��? .����"��g���%�1�8��"����$7�1� 3������%�� �������:�������1����%���"���*���)��"�91�? ���*���$���8� %��)��.����%�!�)��:�%��:�? ������$7�1�"��$�9����1��%��������"� 3����? ����"!��)��1�$*72�3���$���8����'�b�%����? �"���8!�g�$�1��!�,��i��,�� d ��g�9��!�:�����? %�����������:����3��"�8��"����1 �"�����? ����8����$���$'��8�)���������"����8��+$��? ���%�9���+ �'��:��'�+ ��� %�4%�3����%�"��? �%�����"��+�91���*f��$7�1� ��)����������? "�����7���������:������)��.��� !���)��$�1? ����)��"�1*�������$���7�%����.����$7�? 1�"5�b�����!�,�� d� ������"�����!�"�����3����1�3�%�3���:��? ����)��.��� �"���1����)��"�91�7��*�4��" ? � "�7��*5�a$�����%������ %�!�:�����)�1�"��? 91����*���)����1��"��� %����+$71���*%� b>����" !�,�����>�1�"���8!�,�� ��c�$'�$'%�! ,�����j�%��!�,���!�,�� d��k�9���)��1)�$�? 9��' !� :�������*�%�1�$'�������1 �1����"�� ? %�9����'�)�1"���������:����7�����"��)�1 a���a����� !����1�.�������������% ����� ��$���8� ���e1����!�3��*�a���%�3���a$���? ��%������ ��4�$����8�%�a$�����%������ �5 a����� ���"���� ������:�7��*���������$' ? ���1�"��!�����������������"�$��'�����+��? ��9����������:�������$���8� 3��"�8��"����? ��8�)���1 ��#�$�������!�)�$���$��'!�:���$�? ��8�����*� ���")�$���1������:���1$*�)���? %���*�����"� 3�������%�������8�a��3�)��? �+����"���8!�"����"��%*�������$���8����� ��"�1�$��'���$'�1�"����!����:�*72����1���? $��)��.������&����+����'�" 3�1�����)��1�? $ ����������1�.���� 3�)��1���"$���8��1��' ���+������:�"�1�� f��������:���������$�1�? "���*�����3������%�$�9���"���"��%�9�����8 %�3�������)$�(� 3�$���8��?�)����3 !��)��? ��?)$����:����3�%�1�$�8����1����$����:��? ��8�a$�����1���%�����)$�(� 3�)����"� 3 ���1 ��l�����"��������9���:����'!�:����)���? ����%�3���:����3�"�+��.�8���a$�����%�����? ������������"��%�9���+����:������������? � 3��"�8��"����1 ��e1�������$'����)��$�? 2�����%������8�%�:����3��!����+����!�a$��? ���%������ 3�"�$����1��"�$��"����1��)���? ���"���%��8������)���91������"���� ��)��? +$�% ��g�:��������!��+����9�����)�������"�* " ����:������ 3��)����3�"�$������ "������ ��!�:������!�"���*���!���������7��*�������? 1���:����"������"������+m�%��$������� �)�1 1�8��"��%���������8�"��(��8�)��:�� ��&� %����7�k�����>�1�"�����!��:�� "�*�1������? ����'�������1 !�������"������:����'������$�? +���*�"����$�:� 3��+$���*3��)��������+��"��? � %�� ��$�+���*%�� �����"$*72�3� ������1� ��1�$'�����8���������%��(��+�!�����$�+���* ��1$���%��"�$�!������ %��3���������%�����? %���� +$���"!� ����3�7�� ���:���$'��� �$�+�� "�$�!�1$��������� 3�����"�!�:���"�+$���3��� %�����"�������'����*:���"�$� !�������"�*����? 1��"�1�����+*�)�1�+�����+��������������" b>�1�"���8!�,�� !���� �d��n��%��+m*��*���* )�*"$�������:��$�"��" ��9��� 3�%����%�? %�"���+$71��� 3��)�����"����:������3� =kf kLc= !��1�� kL �<�)���%�2���"��� 8����? %�����1�$'� 3�+$���"!���<��������'��"����" ��%��>$�1�"���$'��!�%�9���)��1)�$�9��'!�:�� �1��'�)����3�1���1�$���$���"��� 8�%��(��+? ��?��"������� 8�)��.���� o����������*�a$�����%����������(�%�!��� �1��'���+$71�7��*���%��� ����$�:�*��g�?)��? " 3!��:�"�1��!�a�������"%����%���'�%��(��? +�"�)��*"$���*�a������"�a$�����%��������� ��$�:���*���$���$'� %�3��������%��3�"�� ? +�91���*!�������%�������)�:����%�3��������% "��%�2���8!����)�������*72�3�*�"�������? 1��1��������� %��+����%!���$���$'��8�4;��? 1����������8=5�)����1�8��3�������.����g�? "��� 3!�a����+m*�����������:�������%�3����? %���3����)����������*����%��������91���* �������� ��� ���� �� ���� �� ����� � ������������ ��� ��������� ��� ��� !"!#�$%!& '()*+, - ./ �� 01/ 1232 .0 1��)�����"���������.��������%��8�)�"��3��? �����$����1���7� ������"�����!�a$�����%������ ��"��%�2�? ��*���$����.�"������" (��1��)�����"��� ������3����)����������*�:�����)��"�1*2�� �$���p�%$����) � "�7����$'��������3���� 4�.�����)���� "�7��bc�3+������1��!��� �!��� �,< �d!�:���1$*������ ����1�$'��8�)��"�1�? %���'7�)���1� ��� −≈σ �>% q %����:������3 �� <��i�c.���a���.���������3���*�)��" ? (������,<�� ��+q�%5��!�����"����"����!�����:? ��������*��$����:����3�)��1���"$���8���� ���%�����" 8�������+$����8�������.��!���$� �$�+�����3���$�����*�)��" (����3�������? � 8�%��(��+����1 �4%�2����'�����?�$�*5!���? ���"$*72�8�"�����%����"��%�%��$�:�����? ���$'���1��*���"�<�������%����"��-���%��? ����7�:���� 3���)����"���%�:��� 3�)��+$�%! "�:���������$���$'�����3������������%�$�8 "�)$����"�a$�����%������������$�:���*��� )�"��3������p�%$�� ������; �"��31�$'���� = ���)����������*!�)��"*2����*1�)��1 1�2�3 ��+���bj�%��!�,���!�,�� ��j�%��!�#��1���"! ,�� �!�+d��g������*2�8�����'�������1���:�% "��%��������%���%���:����3���)����3�)��? +$�% !����%��������$������$���8��������"? ����*�������.���a$�����%����������(�%��" " ����:�������8� 4 ��$����.�"�8 5� :�������8 �+$���� !�)��1$�9��� 3�"���+���3�bj�%��! ,���!�,�� d ��n���������"�)����"�)���+������ �����$'����'����9��"��"*�������"�8�)��+$�? %�8!����*2�8�)���1����a$�������8�<������? +����8�a$�����1���%��������"� 3�4"��+�1�? % 35����1 !����$���������� 3!��:�"�1�� !�%�? 9���+ �'���������������$'��*�������1�� & ��� ���� ��� ��� �� � � �����% �����9����%�:�$��'!�������� ���������� � "�)��� !������*2���*���%�3����%��%�3���? a$�����%������ 3�)���+����"���8�4)���+��? ��"���8�a�������1"�9���*�)���1�������1 �" a�����7�a$�����%������������$�:���*5�"�(�? ����%�1��)������:�����!����������������+��? ����*%�)���������"����������)��1�$���*���? �����"��������$�:���*!�"����2������7��*�1��? �������� %�������+�7��1�$'��8(�������:�? ��*�bj�%��!�,�� ��j�%��!�#��1���" !�,�� � #��1���"!�,�� d��e�����"�%�*�"��:�$�����$�? ��8� 3�%�1�$*3�������.������%����������(�? %���-���%����"�*���%��7����������)������7 "$������ 2����7����1�!��+$�1�72�7�%�����? ��8����������8�����3�1*2�7�*�"�)����*���% %�������%�)�$����%�����*1�� !����g��c�$'�$'? %��)��1$�9�����$�1�72���1������:����+2�� $���8�������"������������.��!��1����+���? ����)�� "�72���"��+�91�����%����������)�? $*� )( t!xB �"�����$'�����1�8��"�*�:�� ��3�%�? 3����%�"�<�)'���%���������!���1��.�������! 1����%�.��������������.�������!��:�� "�* ����"� ��a$�%��� ����%�3�����f����������! �������'!�1����%�.�7�����)�*9�����bc�$'? �$'%�!�,���df ( ) ( ) ( ) ,,, 4 , 2 2 tt c t t xCxB xB ×∇=∇ σπ − ∂ ∂ 4�5 �1�� σ�<� )��"�1�%���'� ���� 3� )���1!� ��< �������'��"����"�"����%�!� ×+α= vAxC ),( t MEB ×∇+θβ+× �� !� t∂ ∂ = v A �<�������? �������� 3�)���1!���<��������'!�α�<���a�? ��.�����%�3���%�������8���������%�.��! UU !! ∇=θ θ∂ σ∂ =β ln �<�)�$���%�2���8!���< %������ 8�%�%�����1���. ��+m�%��������? 1 !� jjijiIIi BPPM �, )( γ+δγ= !� IIP �<�:�"? ��"���$'����'�1�"$���*�"���)��"$����!�)�? ��$$�$'��%����"�8���������� &��1)�$������*!�:���)��"�1�%���'����� 3 )���1�σ!�)���%��� �%�3���%�������8������? ���%�.��� �!! γβα ��� ,γ !������9����������� a$�����:������ �E ���%��������� �B �)�$*��1? ����1������)��1�$�� �"�)���������"������ ��"��*�����"��%���������9�$���7!��1����!�a�� )���%��� ���%��*7��*�"�(�����%�1��)����� ���:���8!������1�%�)�11�7��*���%�����7��$� �.����%���)��"*��� !�"��+2����"��*!�������? �����%���������� e:�"�1�� !����"������4�5��$�1������(��' )�����1����%�1"�9��������1 �����1��� 3 �����:� 3���$�"�*3��e1�����.������'�����? �����(���*�1$*������)����.����������� 3 ��%�����8�+�1�����"�$����1����3�)��!�)�? �������)��1�$�� ����:���*�����%���$���? :����3�)���%����"����1 ��&��������)����? .��������� 3���+$71���8����+3�1�%�!�"��+? 2����"��*!�����'�"��'���+���)���%����"����? ���1 �"���������������:�����+$71���*�bc�$'? �$'%�!�,���d��e��71��1�$����*�" "�1���.�$�? ���+����������1�����8�%�%����������)�$�? ����!�)��1�����:�������1$*�)������"����)�? .��$'� 3�a��)���%����"!����������"��� 3 ����)��1�$�������"���)������)���%����"!��� ����� 3���"�����a������"����'�%�3���a$���? ��%������ 3�)���+����"���8��e1���������? .��������%�*����1����%���)�����)��+$�% � >�2���"����!�:���"���$��$���8���������"��? ��*�4�5 !�1�8��"������$�:� 3�%�3����%�"���? ����.���%�9������:��'�����"���%��1������ 1���������$�1 "��'�)�$�:��� ������$'��� bc�$'�$'%�!�,���!�,�� d� ��9�� �����/ ��9�� :���� .; ��� !"!#�$%!& '()*+, - ./ �� 01/ 1232 >���)�$'��"����%����"����*�4�5�" )�$��� ���"����$'� 8����$�����������$'��8�a����? ��"�������)�%*��� 3�%�3����%�"�������.��! "�:�����������1��.�������!��"*����������1"�? 9����%�)��"�1*2�3���$2���%��8���� !����? 1�� ������.�*�%���������� )�$*� �+��$�"$��� �1"���" %���:����%��$7�1��"�)���3������? 2���3���������$'������$���������8�)���1 � ������"$������2���"�"����������:����8�:�? ���� !����������8��+��%�3����%���1�����"� a������"� !�)���a��%����%��'(�3�:������3 1�%����������1��.���� 8�%�3����%!������+�$'? (�3�<�����.���� 8� p�%���%!�:������"������4�5�)�$�:����"��"�? �����.�������%�)��+$�9����!����1����%���? ��*������*��*������% �)����+��9�%��%�$ ���"��%���3!��������� �������$�)��3�1������? ���*���� �R ��������:�����1����:����������? )����������*����$�"���)��%���%�����a���� )��+$�9���*�)������)�����������������$� "�"����%�� TcR ��� !��1����<�3�������� 8 )����1���%�����8����)��%���!�1$*�����c.���? $�"����"������.�����������" )�$�*���*��� ������*��*3����+�$��������%!�1$*�:����������c. <����������*��*3����+�$������%��������:��? ����l�$�������$����)�������*���*�"�������? 1�!����a�������$'��� �1�8��"���$'� �1$*�1��? )������:�����!�"�������%�����?�$�+����1����? ��:���"�$�����!�����"����"����!�a�����)�"��? %�2���8�" 3�1������)�"��3����'�����+$��? ��8�������.�������$�+�����o����������*���? 1����$�:���*����:������3�"�1��*����������� ��$����.��$��1�9��kc.!���!�����$��'�+ !���� ���%�9���" 3�1��'�����$�+��� 3��:���"��� ? ����.����g�)�"��3������%�9���$���%�2���? �'7���<����%!�����"����"�72�%�����?�$�+�? ��!�"��'%��)��+$�%���:�����8���1������:��� ��$�:���"������:����"���1����$�:���*����2� ���1�����"*���'���������8�%�:����%��:���% �$��1���%�:����%��)��.����%�!�)��"�1*2�? %����������$�:���7�b>����"!�,���d� g�a��%����������!��:�"�1��!���(�������1�? :��������.���a$�����%����������(�%����1��? "�$��"����1��)������������;���%�$'���1�$'? ����=����)����������*���9���*�+�$�������? ��"��� %������'�"���%��3���$���8� 3�%�1�? $�8�������1 ����:���%�a%)���:����3�������? %�������8!��"�1���$'��"�72�3����"*������ �"�8��"���3�������������������������8���1�? ��%���8���������%��r���!�:���"�a��%��$�:�� ���)���1��8�)$���" ���)�7��������8:�" � �����% ���"��+�1�% ��4����"� �5����1 !�1�? %��������72��!�������"�����!�+�$'(������? ���+��������)�"�1���%�:�������)�"�1���*�� ��%���������.���b��" 1�"���1��!�����d� ������"�����!����)��1�$����*�"��+�1�%�* ���1��������������"*���� 3�$���$'���1����� 1����%�����"� 3�a$�%����"!��)���+� 3����? %���"��'�a$�����%������ 8��%)�$'��"���"�� ���)��3�1�"��(�����%�3���:������������$�� �%)�$'� !����)�������*72���*�"�"��+�? 1�% 3����1�3 !�:�������� "�7���"��"�$��%�! )�1:����"�*���%���% %���������!�:����3�3�? �������������4���%�!��������'����)������? ����*5��)��1�$*7��*!�"�����"��%!�)���%��? ��%�����1 ���)�����:����������"��*�������? :�$'� 3���$�"�8��e+2�8������������"� 3����1 ���1��� 8�%�%���������2���"��� !�����91 8 1������:���)�1��+������$�1�"��� 8�)��%�� ����3����1 !�����)��"�$� !�)���� "������" � ��) ��3�1���%��������%���������.���b��? " 1�"���1�� !�����d�����������"���8�)��1)�? $����'!�:���������)��%�� �*"$*7��*������$'? � %�� >��$������%�72�%�*�)��1���"$���*%!���? 2���"����%��9���"��%�3����%�"�%�3���a$��? ���%������ 3�)���+����"���8��g�:��������! ����%�����+ �'��"*��� �����$'���.���� % )�������%�)���"�����$7�1�������������� ? 3"�:����8�"�$� !����%���"����%�����%+$* %�������2��!���)��"�91��% %����1�$����% ���*1�" !�"��1�8��"��%�"����.�8���)�*9��? ����������*��*����1 ����1�%����7��������? ���������%������ 3�%�����$�"���1����%� �������%��bh�"(����!�������>����"!�,���d��o�� �������*��)���+�"����%���"���*�a$�����%��? ��������(�%������%����"��%����:��������� 1��)�����!����)��1)�$����% ����)���� �%�? ����+ �'��+m�1���� �"�1"�����$�:� �����)? ) ��e:�"�1��!���)��"�8��$�1��������������? ����.��!��"*���� ������$����.��8����*1�"�" ����$'�����a$�����:�������)��+�*!�)������? ���%������)�����'7����2��!�a%����7�a$���? ����"�b>����" !�,��� d ��g���*���!���a��8�9� ���))��%�9�������������)���3�1������$�:�? ����4)���3�1����������"����5�bc���+���!�s ? ��"�:!��� d� ������"�����!���$�:�����a�������)��"��? �������)���1"�9��������*1����$7+�8������? ��'7!���$��1�a$�����:����*�)����.��%���' ����9�72�8��������1 ���%��*���*�"�)����? �����"���$��"��"��%�����&���3�1������$�:�? �����%����%�����1�9��1$*���)�1"�9�������? �*1�!���$��1�a$�����:����*�)����.��%���'�4�! �$�1�"���$'��!�����"�*��������'��"���5���"�? �������"��%�����r��� !�:�������� �������� ? �� �������2���)���)��3�91�������3"�:��? ��8�"�$� !���%��������+m�%��)�����!���$'�? ��.���� 8�)�������)���"�����$7�1�!�1��? ����*"$���*!���)����"�72������)��3�91���7! �������� ��� ���� �� ���� �� ����� � ������������ ��� ��������� ��� ��� !"!#�$%!& '()*+, - ./ �� 01/ 1232 .. %��������1��'����+3�1�% ��1$*�)�*"$���*�a��? �����$�:���*���$�"�*� g�9�����"�8��"��)���3�1�������$�:���*�< ����������$�"�*���)��"$������' !�:����$�1��� ��)����1��"��������)���� 3�����%���:����3 ���+��9���8�bc���+���!�s ��"�:!��� d� ���"����8����))��%�9����������!����$��? �����+����b>����"!�,���d!�������� "��% ��"�? +��.���� ��%�3����% �������.��!��"*���� � ����%������%�a$�����:�������%�%���������? %���"�"(�3�*�1�)�$'� 3�����:����"�"���? ��$'�����������:����3���$�+���8� >��$�����%��9���"��������%�3����%�"���? ����.���a$�����%������ 3�"��%�2���8!�"���? +����bj�%��!�,���d�)��1)���*���)�) �����:�? �����%%�������a�������"���������%�������? �����%)$������������"�������.���)���%�""�? 1���*�"�)��"�7�:���'����"����*�c�$'�$'%��< h�"(�����4�5���$���8��8�����.��!���1�72�8 �������"����'�)��.����"�%�3���a$�����%��? ���� 3�)���+����"���8!�)������72�3�"�a$�? %�������%��+m�%��"��+�1�%�8����1 �4����? ��8:�"�8������% �$�������� 3�+$���"5��&�� a��%��:�� "����*�����+���*��$'��"�!�:����+? 2�)���*� %��)������%����$'� 3�"��+�1�% 3 ���1�*"$*7��*�)���+�$�:���������"����*�4�$� �3������% 5���)��;����.�*�<�1������*=�b��? " 1�"���1��!�����df ( ) ,2 UFU U +∇α= ∂ ∂ t 4,5 �1����<�"�����������*��*�a$�%�����������+m�? %��"��+�1�%�8����1 !�α�<�%����.��4��a���? .����5�1��������� )(UF �<���$���8��*�"��? �����*�����.�*!���1�72�*��������"����'�%�? 3���a$�����%������ 3�)���+����"���8� &��$���1�$��� 3���%�:���8������:���%�$�? ��8��������"����*�������.���a$�����%�����? � 3������$�"�4�5�4)���" "�1�������������%? ��*����������%����"�$��'��"����%������)���? �����"$������ 2��������$�!��+$�1�72���%��? �����8����������8���)�%�2������"�)����*�? ����%���������)�$����%�����*1��5�)�) ���%? �*�" )����'��+�+2��������$���8�������"��? �����3�������.���"������%��$�������� 3�+$�? ��"�"��$�1�72�%�"�1�f ( ) ,2 Bijji i FB t B +∇α= ∂ ∂ 4 5 �1�� jiα �<�%����.��1��������� jB �<���1��? .�*�� )(BiF �<���$���8��*�����.�*!��)��1�? $*�%�*�1���%�:����'7�)��.����"�1����%�? ��"���*�"��+�1�%�8�4%�9+$���"�85����1 �� 3����������72�*�*���+���%�%�3����%�"�%�? 3���a$�����%������ 3�)���+����"���8� &���a��%�3��������������a$�����%�����? � 3�"��%�2���8�4�%)�$'��"��$���"��"�$�5��)? ��1�$*7��*�)���%����%�����1 !���"�$�:��� %�������8���1��.�����<���%�����*%����? )�*9������������*��*�"������%��$�������? � 3�+$���"!�3����������72����*����:���$'? � %�����1�����%���e:�"�1��!�)$������'���"�? 1������������"�$���$'��8��+$���������8����? 1 �%�9����)��1�$*�'�*������$'�����)�*9��? ����'7�a$�����:�������)�$*�"���1����8���:��! �������%!�����+ �����������%��*���*������:�� ����:����g��������"*�'�%�91������%�������)�*? 9������'7�a$�����:�������)�$*���)����%��� "�1�b#��1�"���1��!��� �d , k j kjijjii x E Ej ∂ ∂ ξ+σ= 4 5 �1��)��)�"���*72�%�*���1����%�)����"�1���* ��%%���"����������1�� ��r���!�:�������%���? $���:������)���%��� ���"����"��4 5��)��1�? $*7��*���"���)����'7��������"!����1������? � 3�%�����+ �'��)�%*��� �"�$7:���*���a$���? �����8��$�������8�)��"�1�%���'7!����$���? :����*�����$�������'����1 !������)�*9����� �����*���!���%)������� 8����$7�1� 8���9�? % ����!������"�1���$'��"�����%�72�8�*��) � �)�����*�"��+�1�% 3�4����"� 35����1!�����"? � ��������%���������+����"���*��"��"�$��? " 3����������%�����+ �'�"��)����"�1�� ��9� "���%��3�1"�3?���3��%)�������8������% !�b��? " 1�"���1��!�����d!�������7!����:���%�4 5!�"�)��? ���8(�%��$�:���%�9���)��1���"��'�"��$�1�7? 2�8����%�f ( ) ,,2 GBijji i FB t B +∇α= ∂ ∂ ( ) ,,2 GBijji i PG t G ε+∇β= ∂ ∂ 4�5 �1������.�*����)��1�$*����������"����'�1�? ��%�:����3�����:����"�"���%��8�������t��? �.�*� )( GB !iP !�"�)���.�)�!�%�9���+ �'�%�? �������8��$��1�9��$���8��8�b��" 1�"���1��! ����d!�"����"��%*���������.�*� )( GB !iF ��+ :? �����1����*�)�$���%�%���$������:��?$���8? � %������.�*%��b��" 1�"���1��!�����d��&��? 1�$'� 8��$�:�8!����1� �=ε ! ����"����"�����1? ����%)�������8������%�� ' ���� � �� ����(���������� ������� ���� �� ����� ��� )*+%����"����*�4�5�)��1? ���"$*7����+�8��$�9��7���$���8��7������? ��9�� �����/ ��9�� :���� .< ��� !"!#�$%!& '()*+, - ./ �� 01/ 1232 %�����"����8�"�:���� 3�)����"�1� 3�"����? ���)��*1�����$*��)��2���*�a��8������% �)��1? $������*���)�$'��"��'������%%����7��>�)� ? %�2'7�%���1�� ��%%����8��8���1��.����� ? 3�1��*������%���"�1���*��������%�����"��? ��8���%��'(�%�:��$�%�����"���% 3�)��� ? %��� 3 !�"�:����������������%���+ ���"��? � 3�1�������.��$'� 3����"����8����$'(� %�9��� ��)�$'��"��'� %���1 � ��:���"������ ���$���� �+ ���"��� 3� 1�������.��$'� 3 ���"����8!������9��:��$��� ��%���1 ��l�$� 9��)�$�:����7���1�.���"����7������%���1�? ���*�)�����������"��'!����)�$�:��%�������� ? "��% ����"������� ����(���*!������ ��*"$*? 7��*������%�%�1�$����)�1"�9� %����:��%� ������� 3�)���+����"���8���"���% 3�����? ��"���% 3�)���%��� 3!��+����72�3����))� h�� �$����:����%� )��%���%� ��)�$'��"���* ��%%���������"����*�*"$*���*�)���%!���)�$'? ���% 8�)���)������������(���8���)��+���? 2�8�"�$� �4 "���%�:��$����$����� 3���(�? ��85!������ 8���������"��$�1�72�%��g����"? ������"�:���� 3�)����"�1� 3�"��1����1��8 ���1��""�1���*�)���%����*� tVx �+−=ζ �� )��1)�$������* !�:�������%�����(�������"�? ������$'������)���%����8�ζ ��g�a��%��$�:�� �����%�����"����8� "�:���� 3�)����"�1� 3 �"�1���*��������%���+ ���"��� 3�1�������? .��$'� 3����"����8��&���a��%�)��������� ��*"��� + $�� ��)�$'��"���� ��"����������' ���$�1��%�8������% ����"����8���������$'? ���)���+����"���8������$*.�8 f� att +=′ ! bxx += !��1�� ba ! �<�)����"�$'� ��)����? *�� �����8��"���$'��!�)���%����*�ζ�*"$*��? �*� ��"�������%� ���)) �h�� �� ����������% txX ∂β+∂α= !�)����$'��� �=ζX !���$��)�? ���*�� ��α���β��1�"$��"��*7��������(���� �� =α−βV ��r���%�)��%���%���)�$'��"���* a�����)�13�1��*"$*���*����9��)�����������"? ��%�1�$'� 3���(���8!�+�����72�3�*������? "������������ ��������$'��� )���+����"���8 1�$���.���4����*9���85� e:�"�1��!�:�%�(�������))����"��������? �������"����*!���%�+�$'(��"��%�9������)�? �������*���"������� 3���(���8��e��� "�? ���*!�1$*�)��������*���1�.���"��������+ �? ��"�������1�������.��$'��������"����*!���? ��"����"�72�������"����7�"�:���� 3�)����? "�1� 3!�%�9�����)�$'��"��'������$'�������? ����� ��$����:����8���%%������h�!�������? 9�����)������ ���$�"��8���%%������buGRHML! vEGB!���i���`RIASAOSA!�@IOJDM!��� �d��&���a��% �)������ ( ) ( ) ,,, 1 ux n i i uxuxX i ∂η+∂ζ= ∑ = 4i5 �1�� nRx ∈ �<��)������ ��$����:����8���%? %���������"����*! ( ) ,0,...,,,, )()()( 21 =kuuuuxV 4�5 ��$� 0)( =VX k 4 5 ���%�����+����� .0=V 4�5 p1��'� ��%"�$�%� )( ku � �+����:���� ��"���) ? ����'�:���� 3�)����"�1� 3�����.�����)��)�? ��%��� %� nix i �!! = � 1�� )��*1��� � �� )( kX <�)��1�$9��� 8�����������%�$'� 8��)�? ������4)�1��+�����%��be"�*�����"!���� ��e$? "��!��� �d5� l�$��9����*"$*���*��)�������%���$�"��8 ��%%�����!������"����"��4 5�1�$9���" )�$? �*�'�*����%�����+�����!���1����%����"����? �%�4�5���1�)�$����$'������"�����% ( ) ( )ux x u ux i n i i ,, 1 η= ∂ ∂ ζ∑ = 4��5 ��"��3�����1�������.��$'� 3��$�1��"�8�1� )��*1��� �−k �"�$7:���$'���b`RIASAOSA!�@IOJ? DM!��� ���wAQMLET�BN�MG�!�����d����+���a��3����"? ����8��+����:�%���%"�$�%�b��d��&�a��%�����? ����8���$�"��8���"��������������)�(���*�" ����%�"�1��bwAQMLET�BN�MG�!�����df ( ) .0 ][ ,0 = = XD V VX k 4��5 >�����(�������4��5�+�$����$�+��!�:�%���$�? "����$����:����8���"������������4 5!�4�5����9? 1 8��)��������$����:����8���%%�������1�"? $��"��*�����4��5!���)�a��%��*"$*���*����)���? ����%���$�"��8���%%�������e+���������"��? 91�������"�������$*�)��%��������%����%���? $���8�������"��������)$�)��"�1�����f ( ) .const,3 =λ+λ=+ uuuu xxt 4�,5 h�����)��"����'!�:�� ( ) uxt uuuQ ∂+λ+∂λ−∂= 3 2 3 2 2 3 4� 5 *"$*���*��)�������%���$�"��8���%%�����!��� < �������� ��� ���� �� ���� �� ����� � ������������ ��� ��������� ��� ��� !"!#�$%!& '()*+, - ./ �� 01/ 1232 .= ���*"$*���*��)�������%��$����:����8���%? %�������n�����)�������)���91��������8���? ��.!���1�72�8���*"��� )( xtu ! f ( ) ,2arctg2 ωϕ=λ− xu ,3 1 1ln 2 t u λ−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−=ω 4� 5 �1�� )(ωϕ �<�����"�����*�����.�*� ����.�4 � 5���1�.���������"������4 �, 5�� �+ ���"����%��1�������.��$'��%�����"��? ��7 ( ) .2 3ϕ′+ϕ′=ϕ ′′ e+2�����(�����a��������"����*��%����"�1 ,1arctg2 21 cec +−=ϕ ω 4��5 �1�� const=,� ! cc ��&�1���"$**�4��5�"�4� 5!�)�? $�:��%���$�"��?��"������������(��������"? ����*�4�,5��e:�"�1��!�"��'%���)�.���:����% �$�:��%������% �4�5�*"$*���*����"������4�,5� �����%��+�+2����%�%���1���$����:����8 ��%%������*"$*���*�)��������������.� !��� ? 1�.���72������3�1�������"������"�:���� 3 )����"�1� 3��������%���+ ���"��� 3�1��? �����.��$'� 3����"����8���)�%�2'7��)�? ������"���%%������h��<�#a�$��1���g���+��� b_TODIASABTIUOO!�����d�)��1$�9���%���1���1��? .�����$���8� 3�a"�$7.���� 3����"����8�� 1"�%*�����"���% %��)���%��� %�!������ 8 +��������*������%%������h��<�#a�$��1���+ �? ��"��� 3�$���8� 3�1�������.��$'� 3����"? ����8��g���+����b@IZJDM !�,�� ��s����!�,��id a����%���1��+�+2����*������$���8� ���+ �? ��"��� ��1�������.��$'� �����"����*���)�? ��� "���!�:�������%�9���)��%��*�'������$'�� �����"����*%�a"�$7.����������)�!��!�"��+2� ��"��*!�����)����"�$'��%��1�������.��$'��? %�����"����7� -���%����%�1�������.��$'�������"����� .0,...,,,, 1 2 1 2 1 = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ m m x u x u x u uxH 4�i5 &���'��+2�����(��������"����*�4�i5�%�? 9���+ �'�)��1���"$����4)�����8��8�%���!�$�? ��$'��5�"�"�1� ( ) ,...,,,, 21 mCCCxFu = 4��5 �1� mCCC !���!! ,� �<�)����"�$'� ������.�� ��� �−n �)���%��� 3� nxxx !���!! , ��g���+�? ��3�b@IZJDM!�,�� ��s����!�,��id�)�������!�:�� ��$�� uVQ ∂= �<��)���������%%������h��< #a�$��1�����"����*�4�i5!��������. ( )mxFu ϕϕϕ= ,...,,, 21 4� 5 ��1�.������4�5��������%�����+�$���:�%� �1��? �����.��$'� 3����"����8�1$*�����"���� 3 ����.�8� )(( nmn xxxx !���!!���!5!���! ,,� ϕϕ ��l�? $����3�1��*������%��*"$*���*������%�8���1"�? %*�����"���% %��)���%��� %�!������1�.�? ��"����*������%��+�1��������%�8��+ ���"��? � 3�1�������.��$'� 3����"����8��e�%���%! :���"��+2�%��$�:�����1�.���"����*������%� ��1��9�������"���� ������.��� mkk �!! =ϕ ! �3�)����"�1� ��������"���%�7�)���%����7! ������7��+����:�%� )( xγ ��&�a��%��"��+2�% �$�:����������"����%��*�������2���"�"���� 3��*�+ ��1������)����������%%����������1�? .���"����8������% ( ) ( ) k m k m kQ ϕ = γ ∂γϕϕη+∂γα= ∑ 1 1 ,,..., ~ )��"�$*���)�������'���%����)���%��� 3 ( ) ,,...,, 1 mtt ϕϕγ= ( ) ,,...,, 1 m ii VV ϕϕγ= ,,1 mi = �1�"$��"��*72�3����"����7 .0 ~ ,1 ~ == iVQtQ g���" 3�)���%��� 3������%�������1��9�� "�*"��%�"�1������"���%�7�)���%����7�γ���*"? $*���*��"����%��8� >$�1������%����'��������� !�:���1$*�+�$'? (����"����$���8� 3������%��+ ���"��� 3 1�������.��$'� 3����"����8�)�:�����:��� ����1����*��1�$��' !����%���+2�3���"��91� ? ��8 ��&�a��%���:��'�"�9����� ����'����.��? ���� ����(���*�4��)�1"�9� ����:��5������? :��'�)�"�1�������(���8���$���8��8������% "+$������)�1"�9��8���:����t��1�%����$'��* �����%��x���%����<�c��+%����bc����3�8%��! x�$%�!�,��,d�����������1���%�:����3������% )��"�1�����$�"�� !����1�����$�1�"�����)�"�? 1���*���(���8���$���8��8������% ��"�1��? �*������$���:��8���1�:��1$*�$��������"�� ? ��8������% !�������*!�"��"�7��:���1'!������? 1��)��2�� < ��9�� �����/ ��9�� :���� .> ��� !"!#�$%!& '()*+, - ./ �� 01/ 1232 g�9� %����9��*"$*���*�" 1�$��������(�? ��������$�������$���8� 3������%�4�5���3!���? ��� ���+$�1�7��3��'�����8?��������"��$'��8 ��%%�����8��y��!���)��%��!���"�����!�:������"? ��������)$�)��"�1����� uu t Δ λ = 1 4��5 ��"�����������������$'������)) �c�$�$�*�� ����������%� .3,1,2 =∂λ−∂= auxtQ uaxa a 4,�5 l�$����1��)�������'���$���8�������"��? ��� ( ) ,1 uFuu t +Δ λ = 4,�5 ��3���*72�����$�$��"�7���%%����7!�������? � "����*!�:�������.�*� )(uF �%�9���+ �'���$'? ���$���8��8!����%����� const)( =αα= !uuF � g����9��"��%*�1$*������% �4�5!���$� , 1 , 1 jijijiji δ λ =βδ λ =α �1�� jiδ �<���%"�$���������� !���2���"�7� ����.��� iF ��� iP �"�1� , 22 ii BfF ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = GB GB , 22 ii GpP ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = GB GB 4,,5 �1�� pf ! �<�)����"�$'� ���$�1��������.��! ��"��*2�������1���������%����!������ ����? "%�������������%�8�4�5��+����7����$�$�8?��? "��������7���$���8��7������%���c�������? � ����)) �c�$�$�*� aQ �"�a��%��$�:����%�7� "�1 −∂= axa tQ 2 ( ) . 3 1 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂+∂λ− ∑ =k GkEka kk GEx , 5 ����. !������ 8�*"$*���*��+2�%�"�1�%���$�? $�8?��"�������������(���*!�)�������� 8�� )�%�2'7��)�������"�4, 5!��%����"�1 ( ) ( ) ., 4/4/ 22 tete t�t� gGbB xx −− == 4, 5 &�1���"$**�4, 5�"������%��4�5 !�4,,5 !�)�$�:��% ��1�.���"����7������%���+ ���"��� 3�1��? �����.��$'� 3����"����8f ( ) , 2 3 22 b bg gb b ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +−=′ f t tb ( ) . 2 3 22 g bg gb g ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +−=′ p t tg 4,�5 g�:�����%��$�:�� !����1�� ��! == pf !��� �����% �4,�5�)�$�:��%�3���(����"��������$��? ��:���������1�%����$'������(��������"��? ��*���)$�)��"�1������4��5��&�?"�1�%�%�!��$�? 1����" 1�$��'�"������%��4�5��$�:�8!����1�� =iF iB)( ,, GB +α= ! ii GP )( ,, GB +β= ! =βα! const= !������ �!�)�����8��8�%�������%�$'? ��!�����.����7��*�����+�:����%���$���8� % ���"�����%�j��1������!�����������% %�%�? ��1�%��+�����8���1�:�������*��*� ,���- �� %������"�1���$'��"����a��)�? ��%��� !���%��*������*"$*���*�a$�����1��� ? %�:���������"��8����1�8!��)���+��8�������? ��"��'�a$�����%������ ��"�$� �"�(�����% 1��)������:�������n������� "������" ��"��? %�9�������3���)�$'��"���*�1$*�)�$�:���* 1�)�$����$'��8������%�.����+�����������? �����1���%�����������"$���!�:�����%��*����� �+$�1����" ��9��� %����$���8� %���)��? ��%���"�8��"�%�!�%�9���)�����)�"��'�+ ��? � ��"��%��� ����%�����*�"��"*�������%���? ���%���)�*9������������*��*���"��1�8��"�* �$7�1�"��e���"�����"�8��"���$7�1�"�<�a�� + ������� )�������� ���:���$'� 3� �+m�%�" a����������)���+����'�������.�����.���"���? ������$'���$���$���"��� 3��+$���*3�)����? �����"���r���!�:���"�a��%��$�:������)���1��8 )$���" ���)�7��������8:�" �������% ���"��? +�1�% �����1 ��&��:�%�"�(�����%�)���%�? ��������$7�1�1���%�����3"�� "����(�����8 �)��������$���:����3�%�1�$�8����������:��? ��3�)�$�8��e:�"�1��!�������8:�"���'�����3 �����%�)��"�1�����+������.�����" +����% a���������"�2���"���g�����3����1�3�%�3���? :������)��.��� � "���1�� ��)��"�91�7��*� 4 � " � "�7��* 5�a$�����%������ %��)��.����? %���g�:��������!�+���2���"1�$'�������:$���? ��*�+$���"�4"1�$'����$�%�"5�$���$���"��� � ����"��"��� ���+$����!���)��"�91��% ��+ ? ��� %���%������%�)���"����1�"$���*�����$'? ���.���� %�)�������%�)���"�����$7�1�!����? �� ���%������� ���%����2�� !���%������% ( ) . 3 1 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂+∂λ− ∑ =k GkBka kk GBx , 5 ( ) , 2 3 22 b bg gb bb ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +−=′ f t t ( ) . 2 3 22 g bg gb gg ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +−=′ p t t 4,�5 �������� ��� ���� �� ���� �� ����� � ������������ ��� ��������� ��� ��� !"!#�$%!& '()*+, - ./ �� 01/ 1232 .? �+m�%��)�����!��)���+��"�7��%�3���a$�����? %������ %�)���+����"���*%!�"�������"���7 %��������1��1���%�:����3���a$�����������? :����3�a������"!���������8:�"���'����$'9�? ��*�"1�$'����$�%�"�"�1�����������8:�"�����1�? ���%�.���������1 � ������"�����!��+2�)���*��8�%���%���:��? ��8� %�1�$'7� �)�����*� )�1�+� 3� ����"� 3 4"��+�1�% 35����1 !�1�%��������72�3�+�$'? (���������+��������)�"�1���%�:�������)�? "�1���*�����%���������.��!�*"$*7��*�)���? +�$�:���������"����*��$���3������% ���)� ; ����.�*�<�1������* = !��%�72���"��+2�% �$�:���)���������"����?$���$���"��� �!���? )�1"�9� �����$�9���1"�9�2���*���(���* b����$$�3���"���1�� !�,���d ��>��:���%��%�7? 2�3�*��������:����3�)��1���"$���8���)�$�? "����a��)���%����!�"���+����bj�%��!�,���d + $��)��1$�9����1������:����+2�����$���8? �������"������������.����)������ 3�a$���? ��%������ 3������$�" ��&���a��%��)�.���? :������"��+�1�% ���"�8��"��������1 ����:�? ��%�%��9���"������������:����3�%�3���� ? %�"��3�������.����)��1�$*7��*����%�8���? $���8��8�����.�� !��������$'���3��������? ��72�8�4��1�72�85��������"����'�%�3��� ? a$�����%������ 3�)���+����"���8���������? :����%����"���1����*��+���������$�����7�? �*� ���+�������� a����� ���"����*��� "��%�9 ? � ��)������%���1 �������(���* ������9�$� ? ��7!��1����!�%���%���:����*���������)��+$�? % �"�1����%��$�:���*"$*���*����8����$�9? ��8������)��"�$�!���$���8� �����"����*��$� �3������% ��%�7��+�$���:�%��1�����)���(�? ��8������)��" 8�)$����1��'��+ :���" 3�1*� ��:���"��� ��%���1 ����$�1�"���*��>�.�$'7 �)��2���*����$������%�8������% �"�����'� )��1$������*���)�$'��"��'������%%����7f�� )�%�2'7�%���1����%%����8��8���1��.�����? 3�1��*������%���"�1���*��������%�����"����8 ��%��'(�%�:��$�%�����"���% 3�)���%��� 3! "�:����������������%���+ ���"��� 3�1����? ���.��$'� 3����"����8� y���%��+����%!���%%����8� 8�%���1�)��? "�$*����"�������1�:�����$�1�"���*������% ���"����8�"�:���� 3�)����"�1� 3�)���+�? $�:���������)�������:���7������% ��+ ���? "��� 3�1�������.��$'� 3����"����8!�)��1? ���"$*72�8� ����:��%����7� 1���%�:����7 �����%����$*�a�����%�9���+ �'���)�$'��"�� �����$����:����8����������?���))�"�8�)�1? 3�1 !������������+�+2�����<�%���1���$�"��8 ��"�������������&���a��%���$��)��%��*���* %���1���:�:��8���%%�����!������1�.���"��? ��*������%����1��9������$'���9�����"����8! ���$'�������3�1��*������%����)��; ����.�� <�1�������= ��&�����)�$'��"�����9����%? %������h��<�#a�$��1��)�$�:����*���1�.�? ��"����*������%�!�"�������8�:��$�����"��? ��8�+�$'(�!�:�%�:��$�����"����8���3�1��8 �����% ��g����9��"��%*��$�1������%����'!�:�� )�$�:����*������%�����+�1���)����)��1�$��? ��8!�������:��$�����"����8�"���1�.���"����8 �����%�����+�1���)��"��3�1��'�:��$������"�? ��� 3�����.�8� e:�"�1��!��1����!�:�����3�91�����1�9����? :���"���������(���*�4)��������)��1�$�� �"�? $�:�� �����%���$���:����3�)���%����"����? 1 5�%�9���������'�*��$�(��%���$'� %����+�? "����%!����)���1�$����*����)���%�����)�"�? 1���*����$�1��%�8������% ��e1���������+�9? � 8�"�1����8������.������)��.��%�%�9���+ �' ��%�������$�+$��!���$��)���*�'�"��"��%���� �)�����$'� ��"��%�9���������$������%�8���? ���% ��g�a��%�����������)���.�)��$'�������? :�����)���+����7��" :��$���$'� 8�a��)���? %������)�$�" ����+$71���*� p�%���%����9� !�:���)���.�)���%%����� %�9�����)�$'��"��'�"���:���"��)��"�$����+�? �������.�8� iF ��� iP �"������%��4�5� .����� ��� ������ �5+(,,+@+*�6 ��9��/ ��A+*�6 �9��/ ��)�"�6+ ��9��/ :*�,B C� C�/ )7+%�6+ � ��/ �(5D,!* �� ��/ �+!%!* �� ���>$�9� ����9�% ����)������? ����*�"��+�91���*�����%���������.���"�%�? 1�$���"��� "���*����"��qq���)�3������������ <�,�����<�!//!�z����<�>�� �<�� � ��84+*�6 E� ��� �� )��+$�%������ ���)������? ����*� "��%�2���8� "� ���$���:����3� ���1�3f ������8��+���������$'� 3�����:����"������? �������"� �����+��9���*�qq�c�������9���� <�,�� ��<�01!�z����<�>���i<���� �)�4�6 �� �� / �(7F*G�6 �� �� / ��H5D8!* �� �� �$����:����*� a$�����1���%�����<�k���"� f �����!��� ���<� ����� �!*"A()8 ��9��/ �D5�6!# ��9���&���3�1������$�? :�������)���3�1���������*�����<�k���"�f���? ���!��� ��<� i���� ��9�� �����/ ��9�� :���� <2 ��� !"!#�$%!& '()*+, - ./ �� 01/ 1232 ��@A�)8 �� ��/ �( �,B4 �� ��/ ��)I�*"�* �� �� n$�����%������ ��a����� �)��������(���� ��%��8���� �qq���"�����>>>-��t������p�%? $���<��� ���<�z����<�>���,< �� �(,B�,B7! �� �������.���� ��a����� �"����� ��"�%��������������%$��qq�t������p�%$���< ,�� ���<�z����<�>����<�i� �(,B�,B7! ��9�����$���8����'����a$�����%�����? � 3�"�$��qq�c����������$�1�"���*��<�,�� +� <�2!�z� ��<�>���i<, � �(,B�,B7! �� ��� �$'��������:������ �� "�$� "� ����� �� "� %������������ p�%$�� q q� ��)�3� �����������<�,�����<�!//!�z��,��<�>���,��< �,�i� �(%�*@�&7�) �'�/ J�,7$ �����$���8� ����$�? +���*!� 1���%�:�����������% ���+�����.�� "������ 3� )�$�8��<�k���"����9�"��f���? ���������%)'7���� 3����$�1�"���8!�,��,��< �i���� �+6D4�6 ��9��/ �D%�6 ��9��/ �!@+&,�6 ��9�������? %�������"��"�$��" 3����������"�"��+�1�% 3 ���1�3�qq���)�3�������������<�������<�!3!! z� ��<�>�� �< i� �7!5)!�6$%!& �� �� / ��,�4!* �� ����"����$�? ���� ��%�3����% �1�����.���p�%$��qq�����? ��.�*�p�%$�f����1���%���!�����$7�1 !�����'! �������3�)���������� ��k������g������������ 4,,<,���)��$*�,�� ���!�k���"�5 ��<�k���"�f cle>!�,�� ��<�>����,<�� � �7!5)!�6$%!& �� �� / ��,�4!* �� ���t��%���? "�������1���%����a���������"� 3�����"����? $���:����8����1��qq����$��-����<�,��i��< 4!!!�z� ��<�>�� ��< ��� �!$!* ��9���r"$�������%���������.���)���"��? �%�1�8��"����$7�1� 3� )�����"������1���? %�:����3�)��.����"�"���%��8�������c����? �����xx^����$���*f�,�������qq�>+������1�"*� 3 ��������:����8��%��g��g��t�1 �������4 �< %�����,������!�k���"�5��<�y"��'f�eee�;��1? "��cl->=!�,�� ��<�>�� ,< � ��6I�*%� ��9��� >"��3�����:������ ��a$�����? %������ �������$ �$������������)����3�9? 1���*f��"�������1��������1?�������?%��������� <�k���"�f�e�tp�-��!������<� i��� �6$F**!%�6 ��9���c��))�"�8����$���1�������? .��$'� 3����"����8��<�k���"�f������!���� � <� ����� �,6�) ���&��$�9���*����)) �h����1�������? .��$'� %����"����*%��<�k���"�f�k��!��� �� <�i ���� �+4�6$%!& �� ��� c������������������"�� "�� ��+�������q�e�"����1��g�{g���1�(�����<�k���"�f �����!�,�� ��<� ���� �()%�6 ��9���n$�����%������ ��a����� �)�����%? $���*����*3� �� "�� "�3 ��<�k���"�f���1?"� k�������9�?�������?��!�,�����<�, ��� �! )+ K� ��� >�%���/8��� ��1��./*� 1������./? �$'��3��/"�*�'�"�:�������3�)�3/1��3���1"�%� ����$�9��%���%/���%��qq�p+��)��.'�|������? ���%���%��������������0����<�,��i��<�0 ! z�,��<�>�� ��< ��� :(7+* ��9������"������������.����)������ 3 a$�����%������ 3������$�"�"� �����%��$���? ����� 3�+$���"�qq�c�������9�����<�,�� ��< 01!�z����<�>�� ,< � :(7+* ��9���n$�����%������ �������$ �$���? ���������)����3�91���*�"���"��%��� 3���? ��%� 3���1�����.���� 3����1���72�3����? ��%�3�qq�c�������9�����<�,�����<�#2 !�z�,� <�>�� <�i� :(7+* ��9�� / ��84+*�6 E�9����%)�$'�����a$���? ��%�����������$�:�����$������� f��)��� � "�)��� ����������)�$�"�8�a��)���%��� qq c��? �����9�����<�,�� ���<�01 !�z�,��<�>�� ,< �� :(7+* ��9��/ ��84+*�6 E�9���n$�����%�������* a%����*�$������� f�)���������"����*������? �������"��%�9� ��%�3����% �������.���qq c�������9�����<�,�� +��<�01!�z�i��<�>�� �< ��� LMNOPQ R� S� / TUMV W� X��@AB�KBLBDMG�IOHOGMDONZ IEGRNOEL�EJ�NAB�ABMN�B[RMNOEL�qq�}��~MNA��~BSA� <���i���<�!5!�z�����<������,�<�� ,� YNZ[\[]\[ S� ^ � / _Z]`aP ^ � b���L�M�DBQRSNOEL�MLQ IEGRNOELI�EJ�NAB�LELGOLBMD�PMTB�B[RMNOELI�PONA FDEUBL�IZHHBNDZ�qq�}���AZI��Yf�~MNA���BL��< �� ���<�#1��<����� �<� � cd]aZ[\[VdZe]] c�9f���OB�<�uMSUGRLQ�IZHHBNDOBI�EJ GOLBMD���WXI�MLQ�KBLBDMGOVBQ�IBCMDMNOEL�EJ�TMDOM? FGBI�OL�LELGOLBMD�B[RMNOELI�qq��AZI���BNN��Y��< ������<�!22��<���� < � _Zg`aP ^ � b�� _ZHHBNDZ� DBQRSNOEL� EJ� LELGOLBMD QOJJBDBLNOMG�B[RMNOELI�qq��DES��^LIN��~MNA���Y_ EJ��UDMOLB��<��ZOT��<�,�� ��<�����<����,ii< ,��� h[iPQUd f�9h�/ _Zg`aP ̂ �9b�/ jUkUdg\[ f�9l��Y�CDBSOIB QBJOLONOEL�EJ�DBQRSNOEL�EJ�CMDNOMG�QOJJBDBLNOMG�B[RM? NOELI�qq� }��~MNA��YLMG��YCCG��<�������<�#05� <���� ���<�, �
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-96413
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0203-3100
language Russian
last_indexed 2025-12-01T19:33:28Z
publishDate 2010
publisher Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
record_format dspace
spelling Цифра, И.М.
Шуман, В.Н.
2016-03-16T19:26:48Z
2016-03-16T19:26:48Z
2010
Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа / И.М. Цифра, В.Н. Шуман // Геофизический журнал. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 51-60. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.
0203-3100
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96413
550.837; 550.344; 517.9
Розглянуто питання генерації в геосередовищі електромагнітних збурень радіохвильового (кілогерцового) діапазону, що реєструються на земній поверхні. Увагу зосереджено на математичних аспектах проблеми, а власне, аналізі раніше запропонованого нелінійного рівняння генерації типу “реакція — дифузія”, яке описує складні режими збудження і поширення електромагнітних збурень у розглядуваній моделі геосередовища — самоподібній структурі, що визначає сейсмічні та електромагнітні процеси в ній. Для спрощення рівняння, що вивчається, запропоновано використати його симетрію. Симетрійний метод дає змогу звести рівняння (або їх систему) в частинних похідних параболічного типу до вивчення систем звичайних диференціальних рівнянь. Для цього може бути використаний як класичний теоретико-груповий підхід, так і його узагальнення — метод умовної інваріантності.
The problems of generation within geo-medium of electromagnetic disturbances of radiowave (kilo-hertz) region registered on the Earth’s surface are considered in the paper. Attention is concentrated on mathematical aspects of the problem, namely on the analysis of earlier proposed non-linear equation of generation of the type “reaction — diffusion” which gives a description of the complicated excitation regimes and propagation of electromagnetic disturbances in the considered model of geo-medium — self-similar structure, which determines seismic and electromagnetic processes in it. Review is given on the physical level, and peculiarities of this equation are analyzed and possible ways of its solution. In order to simplify the equation under analysis it is proposed in the work to use its symmetry. Symmetry method allows reducing the equations (or their system) in partial derivatives of parabolic type to the study of a system of ordinary differential equations. For this purpose both classical theory-group approach and its generalization — conditional invariance method can be used.
Обсуждаются вопросы генерации в геосреде электромагнитных возмущений радиоволнового (килогерцового) диапазона, регистрируемых на земной поверхности. Внимание концентрируется на математических аспектах проблемы, а именно анализе предложенного ранее нелинейного уравнения генерации типа "реакция-диффузия", которое дает описание сложных режимов возбуждения и распространения электромагнитных возмущений в рассматриваемой модели геосреды - самоподобной структуре, определяющей сейсмические и электромагнитные процессы в ней. На физическом уровне представлен обзор, анализируются особенности этого уравнения, а также возможные пути и методы его решения. С целью упрощения анализируемого уравнения предлагается использовать его симметрию. Симметрийный метод позволяет свести уравнения (или их систему) в частных производных параболического типа к изучению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого может быть использован как классический теоретико-групповой подход, так и его обобщение - метод условной инвариантности.
ru
Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
Геофизический журнал
Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа
Параболічні системи типу “реакція — дифузія” у моделюванні процесів генерації та поширення електромагнітної емісії літосфери і методи їх аналізу
Parabolic systems of “reaction — diffusion” type in case of modeling the processes of generation and propagation of electromagnetic emission of lithosphere and methods of their analysis
Article
published earlier
spellingShingle Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа
Цифра, И.М.
Шуман, В.Н.
title Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа
title_alt Параболічні системи типу “реакція — дифузія” у моделюванні процесів генерації та поширення електромагнітної емісії літосфери і методи їх аналізу
Parabolic systems of “reaction — diffusion” type in case of modeling the processes of generation and propagation of electromagnetic emission of lithosphere and methods of their analysis
title_full Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа
title_fullStr Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа
title_full_unstemmed Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа
title_short Параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа
title_sort параболические системы типа "реакция — диффузия" при моделировании процессов генерации и распространения электромагнитной эмиссии литосферы и методы их анализа
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96413
work_keys_str_mv AT cifraim paraboličeskiesistemytipareakciâdiffuziâprimodelirovaniiprocessovgeneraciiirasprostraneniâélektromagnitnoiémissiilitosferyimetodyihanaliza
AT šumanvn paraboličeskiesistemytipareakciâdiffuziâprimodelirovaniiprocessovgeneraciiirasprostraneniâélektromagnitnoiémissiilitosferyimetodyihanaliza
AT cifraim parabolíčnísistemitipureakcíâdifuzíâumodelûvanníprocesívgeneracíítapoširennâelektromagnítnoíemísíílítosferiímetodiíhanalízu
AT šumanvn parabolíčnísistemitipureakcíâdifuzíâumodelûvanníprocesívgeneracíítapoširennâelektromagnítnoíemísíílítosferiímetodiíhanalízu
AT cifraim parabolicsystemsofreactiondiffusiontypeincaseofmodelingtheprocessesofgenerationandpropagationofelectromagneticemissionoflithosphereandmethodsoftheiranalysis
AT šumanvn parabolicsystemsofreactiondiffusiontypeincaseofmodelingtheprocessesofgenerationandpropagationofelectromagneticemissionoflithosphereandmethodsoftheiranalysis