Повышение вертикального разрешения низкочастотного индукционного каротажа на основе решения уравнения Фредгольма первого рода типа свертки
Описан алгоритм решения уравнения Фредгольма первого рода типа свертки, который позволяет улучшить вертикальное разрешение метода низкочастотного индукционного каротажа до величины, сопоставимой с шагом записи. Приведены примеры эффективного решения обратной задачи с использованием такого алгоритма...
Saved in:
| Published in: | Геоінформатика |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96459 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Повышение вертикального разрешения низкочастотного индукционного каротажа на основе решения уравнения Фредгольма первого рода типа свертки / Н.Л. Миронцов // Геоінформатика. — 2012. — № 2. — С. 38-43. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-96459 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Миронцов, Н.Л. 2016-03-16T21:13:20Z 2016-03-16T21:13:20Z 2012 Повышение вертикального разрешения низкочастотного индукционного каротажа на основе решения уравнения Фредгольма первого рода типа свертки / Н.Л. Миронцов // Геоінформатика. — 2012. — № 2. — С. 38-43. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1684-2189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96459 550.8, 517.968.21 Описан алгоритм решения уравнения Фредгольма первого рода типа свертки, который позволяет улучшить вертикальное разрешение метода низкочастотного индукционного каротажа до величины, сопоставимой с шагом записи. Приведены примеры эффективного решения обратной задачи с использованием такого алгоритма для случаев тонкослоистых разрезов. Описано алгоритм розв’язання рівняння Фредгольма першого роду типу згортки, який дає змогу поліпшити вертикальну роздільну здатність методу низькочастотного індукційного каротажу до величини, порівнянної з кроком запису. Наведено приклади ефективного розв’язання оберненої задачі з використанням такого алгоритму для тонкошаруватих розрізів. Described in the paper is an algorithm of solving the first kind Fredholm equation of convolution type, which permits to increase vertical resolution for low-frequency induction logging up to the value comparable with a recording step. Some examples of effective inverse solution with using such algorithm for thin-layer cross-sections are given. Работа выполнена при поддержке гранта Президента Украины для молодых ученых (Государственный фонд фундаментальных исследований. Проект GP/F32/033) и гранта Национальной академии наук Украины. Автор выражает благодарность директору Института геофизики им. С. И. Субботина НАН Украины академику В. И. Старостенко за обсуждение материалов работы и высказанные ценные замечания. Одне з них помилкове ru Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України Геоінформатика Геолого-геофізичні та математичні методи і сучасні комп'ютерні технології дослідження літосфери Повышение вертикального разрешения низкочастотного индукционного каротажа на основе решения уравнения Фредгольма первого рода типа свертки Підвищення вертикальної роздільної здатності низькочастотного індукційного каротажу на основі розв'язання рівняння Фредгольма першого роду типу згортки Increase of vertical resolution for low-frequency induction logging on the base of solving the first kind Fredholm equation of convolution type Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Повышение вертикального разрешения низкочастотного индукционного каротажа на основе решения уравнения Фредгольма первого рода типа свертки |
| spellingShingle |
Повышение вертикального разрешения низкочастотного индукционного каротажа на основе решения уравнения Фредгольма первого рода типа свертки Миронцов, Н.Л. Геолого-геофізичні та математичні методи і сучасні комп'ютерні технології дослідження літосфери |
| title_short |
Повышение вертикального разрешения низкочастотного индукционного каротажа на основе решения уравнения Фредгольма первого рода типа свертки |
| title_full |
Повышение вертикального разрешения низкочастотного индукционного каротажа на основе решения уравнения Фредгольма первого рода типа свертки |
| title_fullStr |
Повышение вертикального разрешения низкочастотного индукционного каротажа на основе решения уравнения Фредгольма первого рода типа свертки |
| title_full_unstemmed |
Повышение вертикального разрешения низкочастотного индукционного каротажа на основе решения уравнения Фредгольма первого рода типа свертки |
| title_sort |
повышение вертикального разрешения низкочастотного индукционного каротажа на основе решения уравнения фредгольма первого рода типа свертки |
| author |
Миронцов, Н.Л. |
| author_facet |
Миронцов, Н.Л. |
| topic |
Геолого-геофізичні та математичні методи і сучасні комп'ютерні технології дослідження літосфери |
| topic_facet |
Геолого-геофізичні та математичні методи і сучасні комп'ютерні технології дослідження літосфери |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Геоінформатика |
| publisher |
Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Підвищення вертикальної роздільної здатності низькочастотного індукційного каротажу на основі розв'язання рівняння Фредгольма першого роду типу згортки Increase of vertical resolution for low-frequency induction logging on the base of solving the first kind Fredholm equation of convolution type |
| description |
Описан алгоритм решения уравнения Фредгольма первого рода типа свертки, который позволяет улучшить вертикальное разрешение метода низкочастотного индукционного каротажа до величины, сопоставимой с шагом записи. Приведены примеры эффективного решения обратной задачи с использованием такого алгоритма для случаев тонкослоистых разрезов.
Описано алгоритм розв’язання рівняння Фредгольма першого роду типу згортки, який дає змогу поліпшити вертикальну роздільну здатність методу низькочастотного індукційного каротажу до величини, порівнянної з кроком запису. Наведено приклади ефективного розв’язання оберненої задачі з використанням такого алгоритму для тонкошаруватих розрізів.
Described in the paper is an algorithm of solving the first kind Fredholm equation of convolution type, which permits to increase vertical resolution for low-frequency induction logging up to the value comparable with a recording step. Some examples of effective inverse solution with using such algorithm for thin-layer cross-sections are given.
|
| issn |
1684-2189 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96459 |
| citation_txt |
Повышение вертикального разрешения низкочастотного индукционного каротажа на основе решения уравнения Фредгольма первого рода типа свертки / Н.Л. Миронцов // Геоінформатика. — 2012. — № 2. — С. 38-43. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT mironcovnl povyšenievertikalʹnogorazrešeniânizkočastotnogoindukcionnogokarotažanaosnoverešeniâuravneniâfredgolʹmapervogorodatipasvertki AT mironcovnl pídviŝennâvertikalʹnoírozdílʹnoízdatnostínizʹkočastotnogoíndukcíinogokarotažunaosnovírozvâzannârívnânnâfredgolʹmaperšogorodutipuzgortki AT mironcovnl increaseofverticalresolutionforlowfrequencyinductionloggingonthebaseofsolvingthefirstkindfredholmequationofconvolutiontype |
| first_indexed |
2025-11-27T00:29:59Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:29:59Z |
| _version_ |
1850788679315881984 |
| fulltext |
38 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2012, ¹ 2 (42)
© Í.Ë. Ìèðîíöîâ
Ââåäåíèå. Çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ ãåîýëåêòðè-
÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ (ïðîñòðàíñòâåííîå ïîëîæåíèå
è ñâîéñòâà ýëåêòðè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòè ðàçëè÷-
íûõ îáúåêòîâ) îêîëîñêâàæèííîãî ïðîñòðàíñòâà –
âàæíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ãåîôèçè÷åñêîãî èññëåäîâà-
íèÿ ñêâàæèí, ïîñêîëüêó èõ îïðåäåëåíèå ïîçâîëÿåò
ðàññ÷èòûâàòü íåîáõîäèìûå äëÿ ïðàêòèêè ïàðà-
ìåòðû ïðîäóêòèâíûõ ïëàñòîâ (òèï ôëþèäîíàñû-
ùåíèÿ, òèï ïðîíèêíîâåíèÿ, êîýôôèöèåíò ôëþ-
èäîíàñûùåíèÿ è äð.). Òàê, ðåøåíèå çàäà÷è
âîññòàíîâëåíèÿ âåðòèêàëüíîãî ïðîôèëÿ óäåëüíîé
ýëåêòðè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòè (ÓÝÏ) ïî äàííûì
èíäóêöèîííîãî êàðîòàæà (ÈÊ) îçíà÷àåò âîçìîæ-
íîñòü ó÷åñòü âëèÿíèå ñîñåäíèõ ñ ëþáûì èññëåäó-
åìûì ïëàñòîâ ïðè îïðåäåëåíèè åãî ãåîýëåêòðè-
÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ è òåì ñàìûì ïîçâîëÿåò äëÿ
êàæäîãî îòäåëüíîãî ïëàñòà, íåçàâèñèìî îò äðóãèõ
ïëàñòîâ, ðåøàòü îáðàòíóþ 1D çàäà÷ó [1, 2]. Äëÿ
ýòîé öåëè íà ïðàêòèêå ïðèíÿòî èñïîëüçîâàòü ðàç-
ëè÷íûå ìåòîäû, êîòîðûå, îäíàêî, íå ÿâëÿþòñÿ
ðåãóëÿðèçóþùèìè [1, 2–5].  òî æå âðåìÿ çàäà÷à
âîññòàíîâëåíèÿ âåðòèêàëüíîãî ïðîôèëÿ ÓÝÏ ïî
äàííûì íèçêî÷àñòîòíîãî (âçàèìîäåéñòâèåì òîêîâ
â ñðåäå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü [1, 6]) ÈÊ ïðåäñòàâëÿ-
åò ñîáîé çàäà÷ó ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà
ïåðâîãî ðîäà òèïà ñâåðòêà (ÓÔ), íåêîððåêòíî ïî-
ñòàâëåííóþ, ïî Æ. Àäàìàðó [7]: äëÿ íàõîæäåíèÿ
åå óñòîé÷èâîãî ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî ïðèìåíÿòü
ìåòîäû ðåãóëÿðèçàöèè [8, 9]. Â äàííîé ðàáîòå
îïèñàí íåèòåðàöèîííûé ìåòîä íàõîæäåíèÿ óñòîé-
÷èâîãî ðåøåíèÿ ÓÔ è ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïðè-
ìåíåíèÿ òàêîãî ìåòîäà ê çàäà÷àì ÈÊ. Ïðîâåäåì
àíàëèç äëÿ àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íîé çàäà÷è â íå-
ìàãíèòíîé ñðåäå.
Ìåòîä. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå
( ) ( ) ( )σ σ
L
z g x z x dx= −∫% , (1)
êîòîðîå ñâÿçûâàåò èñêîìóþ ÓÝÏ σ ñ èçìåðåííîé
êàæóùåéñÿ ýëåêòðè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòüþ (ÊÝÏ) σ%
è âåðòèêàëüíûì ãåîìåòðè÷åñêèì ôàêòîðîì çîíäà g
[1]. Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé î ñâåðòêå [10], çàïè-
ñàííîé äëÿ ÓÔ îòíîñèòåëüíî íå èíòåãðàëà Ôóðüå, à
ðÿäà.  ýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèé
( )σ inz
n
n
z e
∞
−
=−∞
= σ∑% % ,
( )σ σ inz inx
n
n
z x e e
∞
−
=−∞
− = ∑ ,
( ) inx
n
n
g x g e
∞
−
=−∞
= ∑
áóäóò ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
*
σσ n
n
ng
=
%
. (2)
Ôóíêöèþ, ïðåäñòàâëåííóþ ðÿäîì Ôóðüå ñ êî-
ýôôèöèåíòàìè, ðàññ÷èòàííûìè ïî (2), îáîçíà÷èì
σ′ , ôóíêöèþ, ïðåäñòàâëåííóþ ðÿäîì Ôóðüå êî-
íå÷íîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ (îò –n äî n), ðàññ÷èòàííûõ
ïî (2), îáîçíà÷èì σn′ .
Ðåçóëüòàòû è àíàëèç. Ïðîäåìîíñòðèðóåì îïè-
ñàííûé ìåòîä íà ïðèìåðå àïïàðàòóðû 4ÈÊ [11],
ñîñòîÿùåé èç ÷åòûðåõ çîíäîâ È0,5; È0,85; È1,25;
È2,05 (öèôðû – ðàññòîÿíèå (â ì) ìåæäó ïðèåì-
íîé è ãåíåðàòîðíîé êàòóøêàìè) (ðèñ. 1). Äëÿ òîãî
÷òîáû îöåíèòü óëó÷øåíèå âåðòèêàëüíîãî ðàçðå-
øåíèÿ ìåòîäà, ðàññìîòðèì ìîäåëü ïà÷êè ïëàñòîâ
ìàëîé ìîùíîñòè (0,3 ì) è ðàçëè÷íîé ÓÝÏ: íà
ðèñ. 2 ïîêàçàíî ðàñïðåäåëåíèå ÓÝÏ, ïîëó÷åííûõ
êàðîòàæíûõ êðèâûõ ÊÝÏ âäîëü ýòîãî ðàçðåçà è
âîññòàíîâëåííîé ïî êàæäîìó çîíäó ïðîâîäèìî-
ñòè. Âûáðàííûå çíà÷åíèÿ ïðîâîäèìîñòè îòíîñÿò-
ñÿ ê ðàáî÷åìó äèàïàçîíó àïïàðàòóðû, îñíîâàííîé
íà ïðèíöèïå ÈÊ [1]. Êðèâûå ÊÝÏ çîíäîâ ïîëó-
÷åíû àâòîðîì ïóòåì ìîäåëèðîâàíèÿ ñ èñïîëüçî-
âàíèåì òî÷íîãî ÷èñëåííîãî ìåòîäà [11].
Ïðèâåäåííûå ïðèìåðû ïîçâîëÿþò ñäåëàòü
âûâîä, ÷òî ïðèìåíåíèå îïèñàííîãî ìåòîäà êà÷å-
ÓÄÊ 550.8, 517.968.21
Í.Ë. Ìèðîíöîâ
ÏÎÂÛØÅÍÈÅ ÂÅÐÒÈÊÀËÜÍÎÃÎ ÐÀÇÐÅØÅÍÈß
ÍÈÇÊÎ×ÀÑÒÎÒÍÎÃÎ ÈÍÄÓÊÖÈÎÍÍÎÃÎ ÊÀÐÎÒÀÆÀ
ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÐÅØÅÍÈß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÔÐÅÄÃÎËÜÌÀ
ÏÅÐÂÎÃÎ ÐÎÄÀ ÒÈÏÀ ÑÂÅÐÒÊÈ
Îïèñàí àëãîðèòì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà ïåðâîãî ðîäà òèïà ñâåðòêè, êîòîðûé ïîçâîëÿåò óëó÷øèòü
âåðòèêàëüíîå ðàçðåøåíèå ìåòîäà íèçêî÷àñòîòíîãî èíäóêöèîííîãî êàðîòàæà äî âåëè÷èíû, ñîïîñòàâèìîé ñ øà-
ãîì çàïèñè. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû ýôôåêòèâíîãî ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è ñ èñïîëüçîâàíèåì òàêîãî àëãîðèòìà
äëÿ ñëó÷àåâ òîíêîñëîèñòûõ ðàçðåçîâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: îáðàòíàÿ çàäà÷à, èíäóêöèîííûé êàðîòàæ, óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà, ÿäðî òèïà ñâåðòêè.
39ISSN 1684-2189 ÃÅβÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2012, ¹ 2 (42)
© Í.Ë. Ìèðîíöîâ
ñòâåííî óëó÷øàåò âåðòèêàëüíîå ðàçðåøåíèå ÈÊ
òàêèì îáðàçîì, ÷òî ðàçðåøåíèå çîíäîâ äëèíîé 0,5
è 2,05 ì ñîâïàäàåò. Îäíàêî ïîëó÷èòü â ðåàëüíûõ
óñëîâèÿõ ñêîëü óãîäíî âûñîêîå âåðòèêàëüíîå
ðàçðåøåíèå íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Òàê,
îãðàíè÷åíèå íà ìîùíîñòü ïëàñòà, äëÿ êîòîðîé öå-
ëåñîîáðàçíî ïðèìåíåíèå äàííîãî ìåòîäà, îáóñëîâ-
ëåíî øàãîì èçìåðåíèÿ âäîëü îñè. Íà ðèñ. 3 ïîêà-
çàíà êðèâàÿ ïðîâîäèìîñòè (3) ïðè íåïðåðûâíîé
çàïèñè âäîëü ïëàñòîâ ìîùíîñòüþ 0,1 è 0,2 ì è
äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðèâåäåíû äâà âîçìîæíûõ íàáîðà
çíà÷åíèé äèñêðåòíîé çàïèñè (êðèâûå 1, 2 ñî ñäâè-
ãîì 0,05 ì) ñ øàãîì 0,1 ì. Ðàçëè÷èÿ â çíà÷åíèÿõ
óêàçûâàþò íà òî, ÷òî äëÿ ïëàñòîâ ìîùíîñòüþ,
ìåíüøåé 0,3 ì (ïðè ïðèíÿòîé íà ïðàêòèêå çàïèñè
ñ øàãîì 0,1 ì), ïîãðåøíîñòü, âíîñèìàÿ âûáîðîì
Ðèñ. 1. Èçìåíåíèå ôóíêöèé âåðòèêàëüíîãî ãåîìåòðè÷å-
ñêîãî ôàêòîðà çîíäîâ: 1 – È0,5; 2 – È0,75; 3 – È1,25; 4 –
È2,05
Ðèñ. 2. Äèàãðàììà èçìåðåííîé σ% (1), ðàññ÷èòàííîé n′σ (2) è çàäàííîé σ (3) ïðîâîäèìîñòè: à – çîíä È0,5; á – çîíä È0,85;
â – çîíä È1,25; ã – çîíä È2,05
à á
á ã
40 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2012, ¹ 2 (42)
© Í.Ë. Ìèðîíöîâ
òî÷åê çàïèñè, ìîæåò äîñòèãàòü ñóùåñòâåííûõ âå-
ëè÷èí (ïîðÿäêà 50 %), è òåì ñàìûì âûäåëåíèå
òàêèõ ïëàñòîâ â îòäåëüíûå îáúåêòû èññëåäîâàíèÿ
íåöåëåñîîáðàçíî.
Îïèñàííûé ìåòîä ïðèìåíèì áåç îãðàíè÷åíèÿ
è äëÿ äðóãèõ çàäà÷ ãåîôèçèêè, êîòîðûå ñâîäÿòñÿ
ê ðåøåíèþ ÓÔ, íàïðèìåð çàäà÷ ãðàâèðàçâåäêè è
ìàãíèòîðàçâåäêè [12, 13].
Ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è. Ïðîäåìîíñòðèðóåì
âîçìîæíîñòè îïèñàííîãî ìåòîäà ïðèìåíèòåëüíî
ê ðåøåíèþ îáðàòíûõ çàäà÷ ÈÊ. Êàê îòìå÷åíî
âûøå, âìåñòî ðåøåíèÿ 2D çàäà÷è äëÿ âñåãî èí-
òåðâàëà èçìåðåíèÿ äîñòàòî÷íî ïîñëå âîññòàíîâëå-
íèÿ âåðòèêàëüíîãî ïðîôèëÿ ïî êàæäîìó çîíäó
ðåøàòü îáðàòíóþ 1D çàäà÷ó.
Ïðèâåäåì ïðèìåð òàêîãî ðåøåíèÿ äëÿ àïïàðà-
òóðû 4ÈÊ. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàññìîòðèì ïëàñ-
òû-êîëëåêòîðû ñ ïàðàìåòðàìè, òèïè÷íûìè äëÿ óñ-
ëîâèé Çàïàäíîé Ñèáèðè [14]: à) âîäîíàñûùåííûé
êîëëåêòîð: ρï = 4,5 Îì · ì, ρç = 20 Îì · ì, D/d = 5;
á) íåôòåíàñûùåííûé êîëëåêòîð: ρï = 8,5 Îì · ì,
ρç = 30 Îì · ì, D/d = 4; â) ãàçîíàñûùåííûé êîë-
ëåêòîð: ρï = 50 Îì · ì, ρç = 30 Îì · ì, D/d = 5.
Çäåñü ρï – óäåëüíîå ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå
(ÓÝÑ) ïëàñòà; ρç – ÓÝÑ çîíû ïðîíèêíîâåíèÿ;
D/d – îòíîøåíèå äèàìåòðà çîíû ïðîíèêíîâåíèÿ
ê íîìèíàëüíîìó äèàìåòðó ñêâàæèíû. Âî âñåõ ñëó-
÷àÿõ ÓÝÑ ñêâàæèíû ðàâíî 2 Îì · ì, ðàäèóñ ñêâà-
æèíû 0,108 ì. Ïàðàìåòðû ïëîòíûõ ïëàñòîâ áåç
ïðîíèêíîâåíèÿ ñëåäóþùèå, Îì · ì: ã) ρï = 3,5;
ä) ρï = 4,5; å) ρï = 8,5; æ) ρï = 50.
Äëÿ óäîáñòâà íà ãðàôèêàõ ïëàñòû îáîçíà÷å-
íû ñîîòâåòñòâóþùèìè áóêâàìè ïðè óñëîâèè, ÷òî
âñå íå îòìå÷åííûå áóêâîé ïëàñòû ñîîòâåòñòâóþò
òèïó ã).
Îñòàíîâèìñÿ íà âîïðîñå ïðèìåíèìîñòè (2)
äëÿ ðàñ÷åòà êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà â ñëó÷àå ðàäè-
àëüíî-íåîäíîðîäíûõ ïëàñòîâ. Íà ðèñ. 4 ïîêàçàíà
ðàññ÷èòàííàÿ êàðîòàæíàÿ êðèâàÿ ÊÝÏ çîíäà È0,5,
ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïà÷êå ïëàñòîâ, à òàêæå êðèâàÿ,
ïîëó÷åííàÿ ïîñëå ïðèìåíåíèÿ îïèñàííîãî ìåòî-
äà. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ïðîâîäèìîñòü èçìåíÿ-
åòñÿ âäîëü ïëàñòà, òî ðåçóëüòàò ìîæåò èñêàçèòüñÿ
âáëèçè ãðàíèöû ýòîãî ïëàñòà. Ïðèâåäåííûå ðå-
çóëüòàòû äëÿ ïëàñòîâ ìîùíîñòüþ 6 è 0,5 ì ïî-
çâîëÿþò ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âåëè÷èíà èíòåðâàëà,
íà êîòîðîì ðåçóëüòàò èñêàæàåòñÿ, çàâèñèò íå îò
ìîùíîñòè ïëàñòà, à îò ñîïðîòèâëåíèÿ âìåùàþ-
ùèõ ïîðîä è âèäà íåîäíîðîäíîñòè.
Ïðèðîäà òàêîãî èñêàæåíèÿ çàëîæåíà â ñàìîì
ìåòîäå. Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå ðàäèàëüíî-íå-
îäíîðîäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîâîäèìîñòè èñõîä-
íîå óðàâíåíèå (1) ñëåäóåò çàìåíèòü óðàâíåíèåì
( ) ( ) ( )
0 0
, , ,
L
z r dr g x r z x r dxdr
∞ ∞
σ = σ −∫ ∫ ∫% ,
ãäå r – ðàññòîÿíèå â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò. Ñîîòâåòñòâåííî, âìåñòî (2) ñëåäóåò
ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèå
( )
0 0
( ) ( )n n nr g r dr r dr
∞ ∞
σ = σ∫ ∫ % . (3)
À âûðàæåíèå
0
0
0
( )
( )
( )
n
n
n
r dr
r dr
g r dr
∞
∞
∞
σ
σ =
∫
∫
∫
%
(4)
ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ òåõ ñëó÷àåâ, äëÿ êîòîðûõ
áû ñòðîãî âûïîëíÿëîñü óñëîâèå
( ) ( )
0 0 0
( ) ( )n n n nr g r dr r dr g r dr
∞ ∞ ∞
σ = σ
∫ ∫ ∫ , (5)
÷òî ÿâëÿåòñÿ íåâåðíûì óòâåðæäåíèåì äëÿ âñåõ
âîçìîæíûõ àêòóàëüíûõ ìîäåëåé ÈÊ.
Ó÷èòûâàÿ èçëîæåííîå, ïåðåéäåì ê ðåøåíèþ
îáðàòíîé çàäà÷è, êîòîðîå áóäåì ñòðîèòü ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì: ïîëîæèâ, ÷òî îïèñàííûé ìåòîä ôàê-
Ðèñ. 3. Ñðàâíåíèå êàæóùåéñÿ ïðîâîäèìîñòè äëÿ ðàçëè÷-
íûõ òî÷åê çàïèñè. Ïîÿñíåíèÿ â òåêñòå
Ðèñ. 4. Âîññòàíîâëåíèå ïðîôèëÿ ïðîâîäèìîñòè äëÿ ïà÷êè
ïëàñòîâ ñ ïðîíèêíîâåíèåì è áåç ïðîíèêíîâåíèÿ. Ïîÿñíå-
íèÿ â òåêñòå
41ISSN 1684-2189 ÃÅβÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2012, ¹ 2 (42)
© Í.Ë. Ìèðîíöîâ
òîðèçóåò çàäà÷ó, ðåøèì îáðàòíóþ 1D çàäà÷ó â
“ïîòî÷å÷íîì” èëè “ïîïëàñòîâîì” ðåæèìå. Äëÿ
íà÷àëà ðàññìîòðèì ïîòî÷å÷íîå ðåøåíèå, à èìåííî
áóäåì ðåøàòü 1D çàäà÷ó â êàæäîé òî÷êå äëÿ ïîêà-
çàíèé çîíäîâ, èñïðàâëåííûõ îïèñàííûì ìåòîäîì.
Êàê è ëþáîé ïîòî÷å÷íûé ìåòîä, òàêîé ïîäõîä
ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííûì ïîãðåøíîñòÿì â îïðå-
äåëåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ íà ãðàíèöå ïëàñòîâ
(ðèñ. 5). Ïîäîáíàÿ ïîãðåøíîñòü âîçíèêàåò âñëåä-
ñòâèå íåîäèíàêîâîñòè ôîðìû êðèâûõ ðàçëè÷íûõ
çîíäîâ ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó ïëàñòîâ.
Ðàññìàòðèâàÿ æå ïîïëàñòîâîå ðåøåíèå, ïðåä-
âàðèòåëüíî îïðåäåëèâ äëÿ êàæäîãî çîíäà â êàæ-
äîì ïëàñòå õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå è èñêëþ÷èâ èí-
òåðâàëû íà ãðàíèöàõ ïëàñòîâ, ïîëó÷àåì ðåøåíèå,
îáëàäàþùåå âûñîêîé òî÷íîñòüþ. Òàê, äëÿ ðåøå-
íèÿ, ïðèâåäåííîãî íà ðèñ. 6, ïîãðåøíîñòü îïðå-
äåëåíèÿ ÓÝÑ ïëàñòà è ÓÝÑ çîíû äëÿ âñåõ ïëàñ-
òîâ îêàçàëàñü ìåíåå 3 %, â òîì ÷èñëå äëÿ ñàìûõ
òîíêèõ (ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ D/d ñîñòàâèëà
â ñðåäíåì 10 %).
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî òî÷íîñòü îïèñàííîãî
ìåòîäà îïðåäåëÿåòñÿ íå òîëüêî ïîãðåøíîñòüþ àï-
ïàðàòóðû, ïîãðåøíîñòüþ, îáóñëîâëåííîé íåòî÷-
íîñòüþ ýêñïåðèìåíòà, èëè ïîãðåøíîñòüþ, âîçíè-
êàþùåé âñëåäñòâèå íå ñòðîãîãî âûïîëíåíèÿ (5),
íî è âîçìîæíîñòüþ ïðèìåíåíèÿ ëèíåéíîé òåî-
ðèè Äîëÿ [15].
Äåéñòâèòåëüíî, äàæå äëÿ ðàäèàëüíî-îäíîðîä-
íûõ ïëàñòîâ óðàâíåíèå (1) – ýòî âñåãî ëèøü ëè-
íåéíîå ïðèáëèæåíèå îáùåãî óðàâíåíèÿ âèäà [6]
( ) ( )( ) ( ),
L
z g x z x z x dxσ = σ − σ −∫% . (6)
Ðåøåíèå (6) äàæå â ñëó÷àå èçâåñòíîãî âèäà
íåëèíåéíîãî ÿäðà g(x, σ) ïðåäñòàâëÿëî áû êðàéíå
íåòðèâèàëüíóþ çàäà÷ó. Äàííîå îãðàíè÷åíèå íå
ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷íûì, òàê êàê ëèíåéíîå ïðèáëè-
æåíèå Äîëÿ ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè îïèñû-
âàåò ìíîãèå àêòóàëüíûå äëÿ ïðàêòèêè ñëó÷àè [1].
Áîëåå òîãî, óìåíüøåíèå ÷àñòîòû àïïàðàòóðû óâå-
ëè÷èâàåò äèàïàçîí ïðèìåíèìîñòè ëèíåéíîé òåî-
ðèè Äîëÿ â îáëàñòè íèçêèõ ñîïðîòèâëåíèé ïîðîä.
Òàêæå ñëåäóåò îòìåòèòü èçâåñòíûå ìåòîäû “ëèíåà-
ðèçàöèè” çàäà÷è ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîé ïî-
ïðàâêè “çà ñêèí-ýôôåêò” [1–5]. Òàêàÿ ïîïðàâêà,
â îáùåì ÿâëÿåòñÿ a priori ïðèáëèæåííîé. Äîñòà-
òî÷íî óêàçàòü, ÷òî “ñêèí-ýôôåêò” ýòî ÿâëåíèå,
ïðè êîòîðîì “ïåðåìåííûé òîê â îòëè÷èå îò ïî-
ñòîÿííîãî íå ðàñïðåäåëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ïî ñå÷å-
íèþ ïðîâîäíèêà, à, âîîáùå ãîâîðÿ, êîíöåíòðèðó-
åòñÿ íà åãî ïîâåðõíîñòè” [16, ñ. 408]. È äàëåå:
“äëÿ êîëè÷åñòâåííîé îöåíêè ýòîãî ÿâëåíèÿ, äàæå
â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî îäíîðîäíîãî
ïðîâîäíèêà, íåîáõîäèìî ñòðîãî ðåøàòü ñèñòåìó
óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà” [òàì æå, ñ. 410]. Äðóãèìè
ñëîâàìè, ââåäåíèå òî÷íîé êîëè÷åñòâåííîé ïî-
ïðàâêè “çà ñêèí-ýôôåêò” ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî óæå
èìååòñÿ òî÷íîå ðåøåíèå. Íî òîãäà âîçíèêàåò ðå-
çîííûé âîïðîñ: çà÷åì ââîäèòü ïîïðàâêè, åñëè
òî÷íîå ðåøåíèå óæå èçâåñòíî? Òàêèì îáðàçîì,
ââåäåíèå ïîïðàâêè “çà ñêèí-ýôôåêò” ýòî âñåãî
ëèøü íåêîòîðîå ïðèáëèæåíèå, êîòîðîå âíîñèò
ñâîþ ïðèíöèïèàëüíî íåóñòðàíèìóþ ïîãðåøíîñòü,
íî ïîçâîëÿåò íàéòè íåêîå çàâåäîìî ïðèáëèæåí-
íîå ðåøåíèå.
Êàê ïîêàçàëè ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû, â ðÿäå
ìîäåëåé, îñîáåííî ïðè ñèëüíî ïðîâîäÿùèõ ðàñòâî-
ðàõ (ÓÝÑ ñêâàæèíû 0,05–0,1 Îì · ì) ââåäåíèå ïî-
ïðàâêè “çà ñêèí-ýôôåêò” ìîæåò ïðèâåñòè ê êà-
÷åñòâåííî íåâåðíîìó ðåçóëüòàòó. Ïîñêîëüêó
âûïîëíèòü ìîäåëèðîâàíèå äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ
ìîäåëåé ñðåä è âñåõ âîçìîæíûõ òèïîâ àïïàðàòóðû
íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì è âî èçáåæàíèå ïî-
ëó÷åíèÿ êà÷åñòâåííî íåïðàâèëüíîãî ðåçóëüòàòà, äëÿ
òîãî ÷òîáû óáåäèòüñÿ â ïðàâèëüíîñòè ïîëó÷åííîãî
ðåçóëüòàòà, äîñòàòî÷íî ñäåëàòü ñëåäóþùåå:
- çàäàòü â êà÷åñòâå èñõîäíûõ ïîëó÷åííûå ãåî-
ýëåêòðè÷åñêèå äàííûå ðàçðåçà è äëÿ íèõ ðå-
øèòü ïðÿìóþ çàäà÷ó (ñ ó÷åòîì âçàèìîäåéñòâèÿ
òîêîâ â ñðåäå, íàïðèìåð ìåòîäîì, îïèñàííûì
â [11, 17]);
Ðèñ. 5. Ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è â ïîòî÷å÷íîì ðåæèìå.
Ïîÿñíåíèÿ â òåêñòå
Ðèñ. 6. Ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è â ïîïëàñòîâîì ðåæèìå.
Ïîÿñíåíèÿ â òåêñòå
42 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2012, ¹ 2 (42)
© Í.Ë. Ìèðîíöîâ
- ðåøèòü îáðàòíóþ çàäà÷ó (ñ ïîìîùüþ èñïîëü-
çóåìûõ ïðèáëèæåíèé) äëÿ ïîëó÷åííûõ â õîäå
ðåøåíèÿ ïðÿìîé çàäà÷è êàðîòàæíûõ äèàãðàìì;
- ñðàâíèòü ðåçóëüòàò ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è ñ
èçíà÷àëüíûìè ãåîýëåêòðè÷åñêèìè äàííûìè
ðàçðåçà.
Âûâîäû. Íåèòåðàöèîííûé ìåòîä ðåøåíèÿ ÓÔ
ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî âîññòàíàâëèâàòü ðàñïðåäå-
ëåíèå ïðîâîäèìîñòè âäîëü îñè ñêâàæèíû ïî äàí-
íûì ÈÊ. Ïðè ýòîì ïðîñòðàíñòâåííîå ðàçðåøåíèå
òàêîãî âîññòàíîâëåíèÿ íå çàâèñèò îò äëèíû çîíäà
è îïðåäåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî óñëîâèÿìè êàðî-
òàæà (âåëè÷èíà äèñêðåòíîãî øàãà çàïèñè, ïîãðåø-
íîñòü àïïàðàòóðû è äð).
Îïèñàííûé ìåòîä ñ äîñòàòî÷íîé äëÿ ïðàêòè-
÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ òî÷íîñòüþ ôàêòîðèçóåò îá-
ðàòíóþ 2D çàäà÷ó è ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ðåøåíèå
îáðàòíîé çàäà÷è äàæå äëÿ òîíêîñëîèñòîãî ðàçðåçà
ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ãðàíòà Ïðå-
çèäåíòà Óêðàèíû äëÿ ìîëîäûõ ó÷åíûõ (Ãîñóäàð-
ñòâåííûé ôîíä ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé.
Ïðîåêò GP/F32/033) è ãðàíòà Íàöèîíàëüíîé àêà-
äåìèè íàóê Óêðàèíû.
Àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü äèðåêòîðó Èí-
ñòèòóòà ãåîôèçèêè èì. Ñ.È. Ñóááîòèíà ÍÀÍ Óê-
ðàèíû àêàäåìèêó Â.È. Ñòàðîñòåíêî çà îáñóæäå-
íèå ìàòåðèàëîâ ðàáîòû è âûñêàçàííûå öåííûå
çàìå÷àíèÿ.
1. Ïëþñíèí Ì.È. Èíäóêöèîííûé êàðîòàæ / Ïëþñ-
íèí Ì.È. – Ì.: Íåäðà, 1968. – 140 ñ.
2. Ïèðñîí Ñ. Äæ. Ñïðàâî÷íèê ïî èíòåðïðåòàöèè äàííûõ
êàðîòàæà / Ïèðñîí Ñ. Äæ. – Ì.: Íåäðà, 1996. – 414 ñ.
3. Anderson B.I. Modeling and inversion methods for the
interpretation of resistivity lodding tool response/
Anderson B.I. – Paris: Schlumberger print, 2001. – 377 p.
4. Anderson B.I. Induction Logging / Anderson B.I.,
Barber T.D. – Paris: Sñhlumberger print. 1996. – 45 ð.
5. Ëàòûøîâà Ì.Ã. Ïðàêòè÷åñêîå ðóêîâîäñòâî ïî èíòåð-
ïðåòàöèè äèàãðàìì ãåîôèçè÷åñêèõ ìåòîäîâ èññëåäî-
âàíèÿ ñêâàæèí / Ëàòûøîâà Ì.Ã. – Ì.: Íåäðà, 1981. –
182 ñ.
6. Êàóôìàí À.À. Òåîðèÿ èíäóêöèîííîãî êàðîòàæà / Êà-
óôìàí À.À. – Ì.: Íàóêà, 1965. – 236 ñ.
7. Ñòàðîñòåíêî Â.È. Íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûå çàäà-
÷è ïî Àäàìàðó è èõ ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ìåòî-
äîì ðåãóëÿðèçàöèè À.Í. Òèõîíîâà / Ñòàðîñòåíêî
Â.È., Îãàíåñÿí Ñ.Ì. // Ãåîôèç. æóðí. – 2001. –
Ò. 23. – C. 3–20.
8. Òèõîíîâ À.Í. Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷ /
Òèõîíîâ À.Í., Àðñåíèí Â.ß. – Ì.: Íàóêà, 1979. –
284 ñ.
9. Òèõîíîâ À.Í. ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêò-
íûõ çàäà÷ / Òèõîíîâ À.Í., Ãîí÷àðñêèé À.Â., Ñòåïà-
íîâ Â.Â., ßãîëà À.Ã. – Ì.: Íàóêà, 1990. – 320 ñ.
10. Ñâåðòêà: [ñá. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ / ïîä ðåä.
È.Ì. Âèíîãðàäîâà] – Ì.: Ñîâ. ýíöèêë., 1984 – T. 4. –
1216 ñ.
11. Ìèðîíöîâ Ì.Ë. Ìåòîä øâèäêîãî ðîçâ’ÿçàííÿ ïðÿìî¿
òà îáåðíåíî¿ çàäà÷³ ³íäóêö³éíîãî êàðîòàæó / Ìèðîí-
öîâ Ì.Ë. // Ãåîôèç. æóðí., – 2007. – Ò. 29, ¹ 5. –
C. 212–214.
12. Ãëàäêèé Ê.Â. Ãðàâèðàçâåäêà è ìàãíèòîðàçâåäêà / Ãëàä-
êèé Ê.Â. – Ì.: Íåäðà, 1967. – 321 ñ.
13. Ñòðàõîâ Â.Í. Î ðåøåíèè íåêîððåêòíûõ çàäà÷ ìàãíè-
òî- è ãðàâèìåòðèè, ïðåäñòàâëÿåìûõ èíòåãðàëüíûì
óðàâíåíèåì òèïà ñâåðòêè. 1. / Ñòðàõîâ Â.Í. // Ôèçèêà
Çåìëè. – 1967. – ¹ 4. – C. 36–54.
14. Ýïîâ Ì.È. Îöåíêà õàðàêòåðèñòèê ïðîñòðàíñòâåííîãî
ðàçðåøåíèÿ ñèñòåì èíäóêöèîííîãî è âûñîêî÷àñòîò-
íîãî êàðîòàæà â òåððèãåííûõ ðàçðåçàõ Çàïàäíîé Ñè-
áèðè / Ýïîâ Ì.È., Ãëèíñêèõ Â.Í., Óëüÿíîâ Â.Í. //
ÍÒÂ Êàðîòàæíèê. – 2001. – Âûï. 81. – C. 19–57.
15. Äîëü Ã.Ã. Òåîðèÿ èíäóêöèîííîãî ìåòîäà èññëåäîâàíèÿ
ðàçðåçîâ ñêâàæèí è åãî ïðèìåíåíèå â ñêâàæèíàõ, ïðî-
áóðåííûõ ñ ãëèíèñòûì ðàñòâîðîì íà íåôòè // Âîïðî-
ñû ïðîìûñëîâîé ãåîôèçèêè / Äîëü Ã.Ã. – Ì.: Ãîñòîï-
òåõèçäàò, 1957. – Âûï. 15. – C. 252–274.
16. Òàìì È.Å. Îñíîâû òåîðèè ýëåêòðè÷åñòâà / Òàìì È.Å. –
Ì.: Íàóêà, 1976. – 616 ñ.
17. Ìèðîíöîâ Ì.Ë. Ìåòîä ðîçâ’ÿçàííÿ ïðÿìî¿ òà îáåðíå-
íî¿ çàäà÷³ ³íäóêö³éíîãî êàðîòàæó / Ìèðîíöîâ Ì.Ë. //
Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. – 2004. – ¹ 9. – C. 130–133.
Èíñòèòóò ãåîôèçèêè èì. Ñ.È. Ñóááîòèíà ÍÀÍ Óêðàèíû,
Êèåâ, Óêðàèíà
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 29.11.2011 ã.
Ì.Ë. Ìèðîíöîâ
ϲÄÂÈÙÅÍÍß ÂÅÐÒÈÊÀËÜÍί ÐÎÇIJËÜÍί ÇÄÀÒÍÎÑÒ²
ÍÈÇÜÊÎ×ÀÑÒÎÒÍÎÃÎ ²ÍÄÓÊÖ²ÉÍÎÃÎ ÊÀÐÎÒÀÆÓ
ÍÀ ÎÑÍβ ÐÎÇÂ'ßÇÀÍÍß Ð²ÂÍßÍÍß ÔÐÅÄÃÎËÜÌÀ ÏÅÐØÎÃÎ ÐÎÄÓ ÒÈÏÓ ÇÃÎÐÒÊÈ
Îïèñàíî àëãîðèòì ðîçâ’ÿçàííÿ ð³âíÿííÿ Ôðåäãîëüìà ïåðøîãî ðîäó òèïó çãîðòêè, ÿêèé äຠçìîãó ïîë³ïøèòè
âåðòèêàëüíó ðîçä³ëüíó çäàòí³ñòü ìåòîäó íèçüêî÷àñòîòíîãî ³íäóêö³éíîãî êàðîòàæó äî âåëè÷èíè, ïîð³âíÿííî¿ ç
êðîêîì çàïèñó. Íàâåäåíî ïðèêëàäè åôåêòèâíîãî ðîçâ’ÿçàííÿ îáåðíåíî¿ çàäà÷³ ç âèêîðèñòàííÿì òàêîãî àëãîðèò-
ìó äëÿ òîíêîøàðóâàòèõ ðîçð³ç³â.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: îáåðíåíà çàäà÷à, ³íäóêö³éíèé êàðîòàæ, ð³âíÿííÿ Ôðåäãîëüìà, ÿäðî òèïó çãîðòêè.
43ISSN 1684-2189 ÃÅβÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2012, ¹ 2 (42)
© Í.Ë. Ìèðîíöîâ
N.L. Mirontsov
INCREASE OF VERTICAL RESOLUTION FOR LOW-FREQUENCY INDUCTION LOGGING
ON THE BASE OF SOLVING THE FIRST KIND FREDHOLM EQUATION OF CONVOLUTION TYPE
Described in the paper is an algorithm of solving the first kind Fredholm equation of convolution type, which permits to
increase vertical resolution for low-frequency induction logging up to the value comparable with a recording step. Some
examples of effective inverse solution with using such algorithm for thin-layer cross-sections are given.
Keywords: inverse problem, induction logging, Fredholm equation, kernel of convolution type.
|