Поширення сейсмічних хвиль в анізотропних середовищах. Пряма задача. I
Розроблено модифікацію матричного методу для побудови хвильових полів на вільній поверхні шаруватого анізотропного середовища. Наведено теорію для матричного пропагатора в однорідному анізотропному середовищі введенням “хвильового пропагатора”. Виконано порівняльний аналіз із сейсмічними записами в...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Геоінформатика |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96593 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Поширення сейсмічних хвиль в анізотропних середовищах. Пряма задача. I / Д.В. Малицький, А.Ю. Павлова // Геоінформатика. — 2013. — № 1. — С. 25-30. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859796602790608896 |
|---|---|
| author | Малицький, Д.В. Павлова, А.Ю. |
| author_facet | Малицький, Д.В. Павлова, А.Ю. |
| citation_txt | Поширення сейсмічних хвиль в анізотропних середовищах. Пряма задача. I / Д.В. Малицький, А.Ю. Павлова // Геоінформатика. — 2013. — № 1. — С. 25-30. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Геоінформатика |
| description | Розроблено модифікацію матричного методу для побудови хвильових полів на вільній поверхні шаруватого анізотропного середовища. Наведено теорію для матричного пропагатора в однорідному анізотропному середовищі введенням “хвильового пропагатора”. Виконано порівняльний аналіз із сейсмічними записами в ізотропних середовищах.
Разработана модификация матричного метода для построения волновых полей на свободной поверхности слоистой анизотропной среды. Представлена теория для матричного пропагатора в однородной анизотропной среде путем введения “волнового пропагатора”. Выполнен сравнительный анализ с сейсмическими записями в изотропных средах.
A modified matrix method for constructing wave fields at the free surface of a layered anisotropic medium is developed. The theory for matrix propagator in a homogeneous anisotropic medium by introducing a “wave propagator” is presented. The comparative analysis of seismic records in isotropic media is performed.
|
| first_indexed | 2025-12-02T14:12:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
25ISSN 1684-2189 ÃÅβÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2013, ¹ 1 (45)
© Ä.Â. Ìàëèöüêèé, À.Þ. Ïàâëîâà
Âñòóï. Çà îñòàíí³ ðîêè ñïîñòåð³ãàºòüñÿ âåëè-
êèé ³íòåðåñ äî äîñë³äæåíü ïîøèðåííÿ ñåéñì³÷íèõ
õâèëü â àí³çîòðîïíèõ ñåðåäîâèùàõ. Ñï³ââ³äíî-
øåííÿ, ÿêèìè ìîäåëþþòü ÿâèùà ïîøèðåííÿ
ôðîíò³â õâèëü â àí³çîòðîïíèõ ñåðåäîâèùàõ, äà-
þòü çìîãó äîñë³äæóâàòè çàãàëüí³ çàêîíîì³ðíîñò³
âïëèâó íåîäíîð³äíîñòåé ô³çè÷íèõ âëàñòèâîñòåé
ñåðåäîâèù íà õâèëüîâ³ ïîëÿ, ùî çàðåºñòðîâàí³ íà
â³ëüí³é ïîâåðõí³ øàðóâàòîãî ï³âïðîñòîðó. Çà äî-
ïîìîãîþ ðåçóëüòàò³â òàêèõ äîñë³äæåíü ìîæíà
ïðîãíîçóâàòè äèíàì³÷í³ âëàñòèâîñò³ ïðóæíèõ ñå-
ðåäîâèù, à òàêîæ óðàõîâóâàòè âïëèâ àí³çîòðîﳿ â
çàäà÷àõ ³íâåðñ³¿ íà âèçíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â äæåðå-
ëà. Òîìó çàäà÷³ ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ ïî-
øèðåííÿ ñåéñì³÷íèõ õâèëü â àí³çîòðîïíîìó ñåðå-
äîâèù³ çàëèøàþòüñÿ àêòóàëüíèìè. ²ñíóº
äîñòàòíüî áàãàòî ìåòîä³â äëÿ âèçíà÷åííÿ ïîëÿ ïå-
ðåì³ùåííÿ ó äîâ³ëüí³é òî÷ö³ àí³çîòðîïíîãî ñåðå-
äîâèùà [3, 5–7], ñåðåä ÿêèõ âåëèêèé ³íòåðåñ ñòà-
íîâèòü ìàòðè÷íèé ìåòîä.
Ìàòðè÷íèé ìåòîä Òîìïñîíà–Õàñêåëëà òà éîãî
ìîäèô³êàö³¿ óñï³øíî âèêîðèñòîâóþòü ó ñåéñìîëî㳿
äëÿ âèçíà÷åííÿ ñåéñì³÷íèõ ïîë³â [4]. Äëÿ îäíî-
ð³äíèõ ³çîòðîïíèõ ïðóæíèõ ñåðåäîâèù, â ÿêèõ
øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ õâèë³ â óñ³õ íàïðÿìêàõ îä-
íàêîâà, ïðîìåí³ ïðÿìîë³í³éí³, à ôðîíòè ïåðïåíäè-
êóëÿðí³ äî íèõ. Ñêëàäí³øîþ º ñ³òêà ôðîíò³â ³ ïðî-
ìåí³â â àí³çîòðîïíèõ ïðóæíèõ ñåðåäîâèùàõ.
Óíàñë³äîê ð³çíî¿ ïîëÿðèçîâàíîñò³ õâèëü, ôàçîâ³
øâèäêîñò³ ÿêèõ çàëåæàòü â³ä íàïðÿìêó ðóõó, çíè-
êຠîðòîãîíàëüí³ñòü ïðîìåí³â ôðîíòàì, à â íå-
îäíîð³äíèõ ñåðåäîâèù – ùå é ¿õ ïðÿìîë³í³éíà ãåî-
ìåòð³ÿ. Çàçíà÷èìî, ùî ö³ ñóäæåííÿ º ñóòòºâèìè çà
âèêîðèñòàííÿ ïðîìåíåâîãî ìåòîäó: õî÷à ïîáóäîâà-
íà ñèñòåìà ïðîìåí³â ³ ôðîíò³â ³ íå äຠçìîãè âè-
çíà÷èòè ô³çè÷í³ ïàðàìåòðè ñåðåäîâèùà, àëå çà éîãî
äîïîìîãîþ ìîæíà ïðîñë³äêóâàòè çà ïåðåá³ãîì åâî-
ëþö³¿ ôðîíò³â íàïðóæåíü òà âèÿâèòè çîíè ¿õ êîí-
öåíòðàö³¿. Ìàòðè÷íèé ìåòîä òà éîãî ìîäèô³êàö³¿,
ùî âèêîðèñòîâóþòü äëÿ ìîäåëþâàííÿ ïðîöåñ³â ïî-
øèðåííÿ ñåéñì³÷íèõ õâèëü â ³çîòðîïíèõ ³ àí³-
çîòðîïíèõ ñåðåäîâèùàõ, º äîñòàòíüî çðó÷íèìè ³
ìàþòü ïåðåâàãè ïåðåä ³íøèìè ï³äõîäàìè. ßê ïå-
ðåâàãè, òàê ³ íåäîë³êè ìàòðè÷íîãî ìåòîäó äîáðå
îïèñàíî ó ðîáîòàõ [1, 2, 4, 5].
Ó ö³é ñòàòò³ ðîçãëÿíóòî ïîøèðåííÿ ñåéñì³÷-
íèõ õâèëü â àí³çîòðîïíîìó íåîäíîð³äíîìó ñåðå-
äîâèù³, ÿêå çìîäåëüîâàíî ñèñòåìîþ îäíîð³äíèõ
àí³çîòðîïíèõ øàð³â (ðèñ. 1) – êîæåí øàð õàðàêòå-
ðèçóºòüñÿ øâèäêîñòÿìè ïîøèðåííÿ P- i S-õâèëü,
à òàêîæ ãóñòèíîþ σ. Íà ìåæàõ ì³æ øàðàìè âèêî-
íóºòüñÿ óìîâà æîðñòêîãî êîíòàêòó, êð³ì ìåæ³, äå
ðîçì³ùåíå äæåðåëî ñåéñì³÷íèõ õâèëü. Áóäåìî ìî-
äåëþâàòè âîãíèùå çåìëåòðóñó ÷åðåç äåâ’ÿòü ïàð
ñèë, ÿêå ïðåäñòàâëåíî òåíçîðîì ñåéñì³÷íîãî ìî-
ìåíòó. Òàêèé îïèñ òî÷êîâîãî äæåðåëà äîñòàòíüî
â³äîìèé ³ º åôåêòèâíèì äëÿ ìîäåëþâàííÿ ïîøè-
ðåííÿ ñåéñì³÷íèõ õâèëü ó øàðóâàòîìó ï³âïðî-
ñòîð³ [2]. Çàãàëîì ââàæàòèìåìî òàêîæ, ùî äæåðå-
ГЕОЛОГО-ГЕОФІЗИЧНІ ТА МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ
І СУЧАСНІ КОМП'ЮТЕРНІ ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ ЛІТОСФЕРИ
ÓÄÊ 550.344
Ä.Â. Ìàëèöüêèé, À.Þ. Ïàâëîâà
ÏÎØÈÐÅÍÍß ÑÅÉÑ̲×ÍÈÕ ÕÂÈËÜ Â ÀͲÇÎÒÐÎÏÍÈÕ ÑÅÐÅÄÎÂÈÙÀÕ.
ÏÐßÌÀ ÇÀÄÀ×À. ²
Ðîçðîáëåíî ìîäèô³êàö³þ ìàòðè÷íîãî ìåòîäó äëÿ ïîáóäîâè õâèëüîâèõ ïîë³â íà â³ëüí³é ïîâåðõí³ øàðóâàòîãî
àí³çîòðîïíîãî ñåðåäîâèùà. Íàâåäåíî òåîð³þ äëÿ ìàòðè÷íîãî ïðîïàãàòîðà â îäíîð³äíîìó àí³çîòðîïíîìó ñåðåäî-
âèù³ ââåäåííÿì “õâèëüîâîãî ïðîïàãàòîðà”. Âèêîíàíî ïîð³âíÿëüíèé àíàë³ç ³ç ñåéñì³÷íèìè çàïèñàìè â ³çî-
òðîïíèõ ñåðåäîâèùàõ.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: àí³çîòðîï³ÿ, òðàíñâåðñàëüíî-³çîòðîïíà ñèìåòð³ÿ, òåíçîð ñåéñì³÷íîãî ìîìåíòó, “õâèëüîâèé ïðî-
ïàãàòîð”.
Ðèñ. 1. Ìîäåëü âåðòèêàëüíî-íåîäíîð³äíîãî ñåðåäîâèùà
26 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2013, ¹ 1 (45)
© Ä.Â. Ìàëèöüêèé, À.Þ. Ïàâëîâà
ëî º ðîçïîä³ëåíèì ó ÷àñ³, òîáòî ñåéñì³÷íèé ìî-
ìåíò M0(t) º ôóíêö³ºþ ÷àñó. Öå îçíà÷àº, ùî
ô³çè÷íèé ïðîöåñ ó âîãíèù³ â³äáóâàºòüñÿ íå ìèò-
òºâî, à ïðîòÿãîì ïåâíîãî â³äë³êó ÷àñó. ³äîìî, ùî
÷àñ ñåéñì³÷íî¿ ïî䳿 ç Mw ~2–3 ìîæå ñòàíîâèòè
0,5–0,7 ñ. Íà íàøó äóìêó, âèçíà÷åííÿ öüîãî ÷àñó,
à òàêîæ â³äøóêàííÿ ÷àñîâî¿ ôóíêö³¿ âîãíèùà º
âàæëèâîþ ñåéñìîëîã³÷íîþ çàäà÷åþ. Òàêèì ÷èíîì,
ó ñòàòò³ ïîêàçàíî ðîçâ’ÿçàííÿ ïðÿìî¿ çàäà÷³, êîëè
íà äîâ³ëüí³é ìåæ³ øàðóâàòîãî àí³çîòðîïíîãî ñå-
ðåäîâèùà çàäàíî òî÷êîâå äæåðåëî ó ïðîñòîð³, àëå
ðîçïîä³ëåíå â ÷àñ³.
1. Òåîð³ÿ. Âèâåäåìî ìàòðè÷í³ ñï³ââ³äíîøåííÿ
äëÿ ïîëÿ ïåðåì³ùåíü íà â³ëüí³é ïîâåðõí³ àí³çî-
òðîïíîãî ñåðåäîâèùà, âèêîðèñòîâóþ÷è ìåòîä ìàò-
ðè÷íîãî ïðîïàãàòîðà, êîëè ô³çè÷í³ ïàðàìåòðè
çì³íþþòüñÿ ò³ëüêè â íàïðÿìêó îñ³ z.
³äîìî, ùî ë³í³éíå ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ òåí-
çîðîì íàïðóæåíü τij ³ äåôîðìàö³¿ ekl ìຠâèãëÿä
τ ,l
ij ijkl kl ijkl
k
C e C
x
∂
= ⋅ =
∂
u
(1)
äå u = (ux, uy, uz)
T – âåêòîð ïåðåì³ùåíü.
гâíÿííÿ ðóõó çà â³äñóòíîñò³ îá’ºìíèõ ñèë çà-
ïèøåìî, ÿê
2 2
2ρ .i l
ijkl
i k
u uC
t x x
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂
(2)
ßêùî âèêîðèñòîâóâàòè òðèâèì³ðíå ïåðåòâî-
ðåííÿ Ôóð’º
1 1 2 2ω( )
1 2 1 2 1 2( , ,ω) ( , , )e j t x p x pf p p f x x t dx dx dt− − −
−∞
= ∫∫∫
äî âèðàç³â (1) ³ (2), äå px, py – ãîðèçîíòàëüí³ ïî-
â³ëüíîñò³, òî îòðèìàºìî äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ
[6]
ω ( ) ( ).j A z z
z
∂
=
∂
b b (3)
Òóò
=
u
b
τ
;
1τ (τ , τ , τ )
ω
T
xz yz zzj
= − ; T
T C
A
S T
=
;
T, S, C – ìàòðèö³ 3×3; C i S – ñèìåòðè÷í³ ìàòðèö³.
Çàçíà÷èìî, ùî ìîäèô³êàö³ÿ ìàòðè÷íîãî ìåòî-
äó â ö³é ñòàòò³ º îêðåìèì âèãëÿäîì ìåòîäó ìàò-
ðè÷íîãî ïðîïàãàòîðà, ÿêèé ââåäåíèé â ñåðåäèí³
ÕÕ ñò. óëüáåðòîì ³ Áåêóñîì ³ ðîçâèíóòèé Òîìï-
ñîíîì ³ Õàñêåëëîì. Ñóòü çàïðîïîíîâàíîãî ï³äõî-
äó ïîëÿãຠâ òîìó, ùî ìàòðè÷íèé ïðîïàãàòîð
P(z, z0) çàäîâîëüíÿº äèôåðåíö³àëüíîìó ð³âíÿííþ
(3) ³ âèçíà÷àºòüñÿ, ÿê
0 0
0 1 1 1 1 2 2 1( , ) (ξ ) ξ (ξ ) (ξ ) (ξ ) ξ ξ ...
z z
z z
P z z I A d A A A d d= + + +∫ ∫ ∫ ,(4)
äå ² – îäèíè÷íà ìàòðèöÿ n-ãî ïîðÿäêó.
²ç (4) âèïëèâàº, ùî P(z, z0) = ² òà
0 0( ) ( , ) ( )z P z z z=b b . (5)
Ñï³ââ³äíîøåííÿ (5) îçíà÷àº, ùî ìàòðè÷íèé
ïðîïàãàòîð P(z, z0) ïîðîäæóº âåêòîð ïåðåì³ùåíü-
íàïðóæåíü b(z) íà ãëèáèí³ z, ä³þ÷è íà öåé âåêòîð
íà ãëèáèí³ z0. Çâ³äñè îòðèìóºìî îñíîâí³ àíàë³-
òè÷í³ âèðàçè äëÿ ïîëÿ ïåðåì³ùåíü-íàïðóæåíü,
íàïðèêëàä, íà â³ëüí³é ïîâåðõí³ øàðóâàòîãî ñåðå-
äîâèùà, êîëè â³äîì³ P(z, z0 = 0) òà óìîâà âèïðî-
ì³íþâàííÿ, ùî ïîêàçàíî íèæ÷å. Ôàêòè÷íî ïðÿìà
çàäà÷à çâîäèòüñÿ äî âèçíà÷åííÿ ïðîïàãàòîðà
P(z, z0), ÿêèé äëÿ øàðóâàòîãî ï³âïðîñòîðó (ðèñ. 1)
ìຠâèãëÿä
1 1 2 1( , 0) ( , ) ( , ) ( ,0)n n n n nP z P z z P z z P z− − −= ⋅⋅⋅ . (6)
Îäíîð³äíå àí³çîòðîïíå ñåðåäîâèùå. Ùîá îòðè-
ìàòè ôîðìóëè äëÿ ìàòðè÷íîãî ïðîïàãàòîðà (6),
ïîòð³áíî ïîêàçàòè éîãî âèçíà÷åííÿ â îäíîð³äíî-
ìó àí³çîòðîïíîìó ñåðåäîâèù³. Äëÿ öüîãî çâåäåìî
ìàòðèöþ À äî ä³àãîíàëüíîãî âèãëÿäó, à ñàìå
1D AD−Λ = , (7)
äå Λ – ä³àãîíàëüíà ìàòðèöÿ, åëåìåíòàìè ÿêî¿ º
âëàñí³ çíà÷åííÿ ìàòðèö³ À, ìàòðèöÿ D – ìàòðèöÿ
âëàñíèõ âåêòîð³â ìàòðèö³ À:
1 2 1 2
diag[ , , , , , ]U U U D D D
p s s p s sq q q q q qΛ = . (8)
Âåëè÷èíè
2
,...,U D
p sq q – âåðòèêàëüí³ ïîâ³ëüíîñò³,
äå ñèìâîëè U i D ïîçíà÷àþòü ïîøèðåííÿ õâèëü
âãîðó ³ âíèç â³äïîâ³äíî; ñèìâîë ð – êâàç³-P õâè-
ëÿ; s1, s2 – äâ³ êâàç³-S õâèë³. Äëÿ ³çîòðîïíîãî
ñåðåäîâèùà qU = –qD. Ìàòðèöÿ âëàñíèõ âåêòîð³â D
çàäîâîëüíÿº ð³âíÿííÿ[2]
.D=b v (9)
Äëÿ ³çîòðîïíîãî âèïàäêó âåêòîð v âèçíà÷à-
þòü, ÿê [6]
[ , ] [ ,ψ ,χ , ,ψ ,χ ] ,T T
u D u u u D D Dv v= = ϕ ϕv (10)
äå ϕ, ψ, χ – ñêàëÿðí³ é âåêòîðí³ ïîòåíö³àëè äëÿ
ïîçäîâæíüî¿ P- ³ ïîïåðå÷íèõ SV- i SH-õâèëü.
ßêùî ïðóæí³ ïàðàìåòðè º êîíñòàíòàìè, òîä³
ìàòðèöÿ D íåçàëåæíà â³ä z, ³ ï³äñòàíîâêîþ (9) òà
(7) â (3) îäåðæóºìî:
ωD j AD
z
∂
=
∂
v v
àáî
1ωj D AD
z
−∂
=
∂
v v
.j
z
∂
= ωΛ
∂
v v
(11)
Ðîçâ’ÿçîê äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ (11) ìàº
âèãëÿä
1ω ( )
1 1 1( ) ( ) ( , ) ( ),j z zz e z Q z z zΛ −= ⋅ = ⋅v v v (12)
äå z1 – â³äîìà ãëèáèíà.
Ïîð³âíÿâøè (10)–(12) ³ç (3)–(5), ïðèõîäèìî
äî ³íòåðïðåòàö³¿ ìàòðèö³ Q(z, z1) ÿê “õâèëüîâîãî
27ISSN 1684-2189 ÃÅβÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2013, ¹ 1 (45)
© Ä.Â. Ìàëèöüêèé, À.Þ. Ïàâëîâà
ïðîïàãàòîðà”, ÿêèé çàäîâîëüíÿº äèôåðåíö³àëüíî-
ìó ð³âíÿííþ
1
1
( , ) ω ( , )Q z z j Q z z
z
∂
= Λ
∂
,
êîëè Q(z1, z1) = ².
Âðàõóâàâøè (8) òà (12), ïðåäñòàâèìî “õâèëüî-
âèé ïðîïàãàòîð” Q(z1, z1) ó âèãëÿä³
1
0
( , )
0
u
D
E
Q z z
E
=
, (13)
äå
1 11 1 2
( ) ( )( )diag[ , , ]
u uu s sp j z z q j z z qj z z q
uE e e e
ω − ω −ω −= ,
1 11 1 2
( ) ( )( )diag[ , , ].
D DD s sp j z z q j z z qj z z q
DE e e e
ω − ω −ω −=
(14)
Òîä³ ³ç (9) òà (12) îòðèìóºìî
1
1 1 1( ) ( , ) ( ) ( )z D D Q z z v z DQD z−= = ⋅ = ⋅b v b ,
1
1 1 1 1( ) v( ) ( ) ( )z D z z D z−= ⇒ =b v b . (15)
1
1 1( ) ( , ) ( )z DQ z z D z−=b b .
Ïîð³âíÿâøè (5) ³ (15), çàïèøåìî ìàòðè÷íèé
ïðîïàãàòîð äëÿ îäíîð³äíîãî àí³çîòðîïíîãî ñåðå-
äîâèùà P(z, z1) ÷åðåç ìàòðèö³ D i Q:
1
1 1( , ) ( , )P z z DQ z z D−= .
Îòæå, ùîá âèçíà÷èòè ìàòðè÷íèé ïðîïàãàòîð
â îäíîð³äíîìó àí³çîòðîïíîìó ñåðåäîâèù³, ïî-
òð³áíî çíàéòè âëàñí³ çíà÷åííÿ ìàòðèö³ À, òîáòî
âåðòèêàëüí³ ïîâ³ëüíîñò³ äëÿ ïîáóäîâè ìàòðèö³ Q
çã³äíî ³ç (13), (14), à òàêîæ âëàñí³ âåêòîðè À äëÿ
ïîáóäîâè ìàòðèö³ D ³ îáåðíåíî¿ D–1.
Øàðóâàòå àí³çîòðîïíå ñåðåäîâèùå. Ðîçãëÿíå-
ìî øàðóâàòå àí³çîòðîïíå ñåðåäîâèùå äëÿ 0 < z < zn
³ç â³ëüíîþ ïîâåðõíåþ íà z = 0 òà àí³çîòðîïíèé
ï³âïðîñò³ð äëÿ z > zn (ðèñ. 1). Î÷åâèäíî, ùî âåê-
òîðè ïåðåì³ùåíü-íàïðóæåíü íà â³ëüí³é ïîâåðõí³
³ íèæíüîìó ï³âïðîñòîð³ ïîâ’ÿçàí³ ìàòðè÷íèì
ð³âíÿííÿì
( ) ( ,0) (0)L Lz P z=b b . (16)
Äëÿ çðó÷íîñò³ ïåðåïèøåìî ð³âíÿííÿ (16):
1 ,0 0n nP+ =b b , (17)
äå, çã³äíî ç (6):
,0 1 1 2 1 0
1
1 1
1
1 0 1 1 1 0 1
( , ) ( , ) ( , ),
( , ) ( , ) ,
................................................................
( , ) ( , ) .
n n n n n
n n n n n n n
P P z z P z z P z z
P z z D Q z z D
P z z D Q z z D
− − −
−
− −
−
= ⋅⋅ ⋅
=
= ⋅
(18)
Îñê³ëüêè 1
n n
n nz z z z+ = =
=b b – óìîâà æîðñòêîñò³
êîíòàêòó íà ìåæ³ z = zn, ð³âíÿííÿ (17) ç óðàõóâàí-
íÿì 1 1 1n n nb D v+ + += ³ (18) ìàòèìå âèãëÿä
1 1 1 1
1 1 2 1 1 1 0n n n n nv D D Q D D D Q D b− − − −
+ += ⋅⋅⋅
àáî
1 0n G+ =v b ,
äå 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2 1 1 1n n n n s s sG D D Q D D Q D D D Q D− − − − −
+ + + += ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ – õà-
ðàêòåðèñòè÷íà ìàòðèöÿ øàðóâàòîãî àí³çîòðîïíîãî
ñåðåäîâèùà.
Äëÿ ïðîñòîòè çàïèñó ìàòðèö³ Qi,i–1 (i = n, … , 1)
çàïèøåìî ó âèãëÿä³ Qi òà ³íòåðïðåòóâàòèìåìî ÿê
“õâèëüîâèé ïðîïàãàòîð” â ³-ìó øàð³. Òàêèì ÷è-
íîì, õàðàêòåðèñòè÷íà ìàòðèöÿ G ìຠâèãëÿä
1 1 1 1 1
1 1 1 1 2 1 1 1n n n n s s sG D D Q D D Q D D D Q D− − − − −
+ + + += ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ .
ßêùî ââàæàòè, ùî íà s-é ìåæ³ ðîçì³ùåíå
äæåðåëî F ó âèãëÿä³ ñòðèáêà ïåðåì³ùåíü-íàïðó-
æåíü, à ñàìå 1s sb b+ − = F (ðèñ.1), òî íàñòóïí³ ìàò-
ðè÷í³ ð³âíÿííÿ ñë³ä çàïèñàòè òàê:
1 , 1
s
n n s s z z
b P b+ + =
= ,
1 1 1
1 1 1 1 1 1
s
n n n n n s s s s z zv D D Q D D Q D b− − −
+ + + + + + =
= ⋅⋅⋅ ⋅ ,
1 1
, 1 1, 2 2,1 1,0 0 1 1 1 0
s
s s s s s s s sz z
b P P P P D Q D D Q D− −
− − −=
= ⋅⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅⋅ ⋅b b ,
1 1
1 1 1 1
1, 1 1, 1 1, 1
,1 0 ,1 0
1, 1
0
( )
( )
,
n n n n s s s s
n s n s n s
s s
n s
v D Q D D Q D
G G b G G b G
Gb G
− −
+ + + +
+ + + + + +
+ +
= ⋅⋅⋅ ⋅ + =
= + = + ⋅ =
= + ⋅
b F
F F
F
1 1
1 0 ,1 0 ,1 0( ) ( )n s sG G G G G G− −
+ = + ⋅ = + ⋅ = +v b b F b F% , (19)
äå 1
,1sG−= ⋅F F% , 1, 1
,1
n s
sG G G+ += ⋅ .
²ç (19), âðàõóâàâøè óìîâó âèïðîì³íþâàííÿ
(õâèë³ ³ç (n + 1) øàðó íå ïîâåðòàþòüñÿ), à òàêîæ
òîé ôàêò, ùî íàïðóæåííÿ íà â³ëüí³é ïîâåðõí³ äî-
ð³âíþº íóëþ, ìàºìî
1
2
(0)
1
11 12 13 14 15 16
(0)
221 22 23 24 25 26
(0)
31 32 33 34 35 36 3
41 42 43 44 45 46 4
51 52 53 54 55 56 5
61 62 63 64 65 66
6
0
0
0
x
y
z
P
D
S
D
S
D
FG G G G G G
FG G G G G G
G G G G G G F
v G G G G G G F
G G G G G Gv F
G G G G G Gv F
+
+
+ =
u
u
u
%
%
%
%
%
%
àáî
(0) (0) (0)
11 12 13
11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 16 6
(0) (0) (0)
21 22 23
21 1 22 2 23 3 24 4 25 5 26 6
(0) (0) (0)
31 32 33
31 1 32 2 33 3 34
( ),
( ),
(
x y z
x y z
x y z
G U G U G U
G F G F G F G F G F G F
G U G U G U
G F G F G F G F G F G F
G U G U G U
G F G F G F G
+ + =
= − + + + + +
+ + =
= − + + + + +
+ + =
= − + + +
% % % % % %
% % % % % %
% % %
4 35 5 36 6 ).F G F G F
+ + % % %
ßê ðåçóëüòàò îòðèìàºìî ïîëå ïåðåì³ùåíü íà
â³ëüí³é ïîâåðõí³ àí³çîòðîïíîãî ñåðåäîâèùà:
28 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2013, ¹ 1 (45)
© Ä.Â. Ìàëèöüêèé, À.Þ. Ïàâëîâà
0
0 13 1
0
( )
x
y
z
u
u G
u
−
= = ⋅
U y ,
äå
11 12 13
13
21 22 23
31 32 33
G G G
G G G G
G G G
=
, ( , , )Ta b c=y ,
11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 16 6( )a G F G F G F G F G F G F= − + + + + +% % % % % % ,
21 1 22 2 23 3 24 4 25 5 26 6( )b G F G F G F G F G F G F= − + + + + +% % % % % % ,
31 1 32 2 33 3 34 4 35 5 36 6( )c G F G F G F G F G F G F= − + + + + +% % % % % % .
2. Òåñòîâ³ ïðèêëàäè. Ðîçãëÿíåìî ìîäåëþâàí-
íÿ õâèëüîâèõ ïîë³â äëÿ òðàíñâåðñàëüíî-³çîòðîï-
íîãî ñåðåäîâèùà ³ ïîð³âíÿºìî îòðèìàí³ ðåçóëüòà-
òè ïðÿìî¿ çàäà÷³ ³ç ñåéñìîãðàìàìè äëÿ àíàëîã³÷íî¿
çàäà÷³ ó âèïàäêó ³çîòðîïíîãî ñåðåäîâèùà. ³çüìå-
ìî äâ³ ð³çí³ ìîäåë³ ñåðåäîâèùà: à) àí³çîòðîïíèé
ï³âïðîñò³ð ³ç òðàíñâåðñàëüíî-³çîòðîïíîþ ñèìåò-
ð³ºþ; á) àí³çîòðîïíèé øàð (ïîòóæí³ñòþ 23 000 ì)
íà àí³çîòðîïíîìó ï³âïðîñòîð³. Ââàæàòèìåìî, ùî
äæåðåëî ñåéñì³÷íèõ õâèëü â îáîõ ìîäåëÿõ ðîçòà-
øîâàíå íà ãëèáèí³ 20 êì.
Äëÿ òðàíñâåðñàëüíî-³çîòðîïíîãî ñåðåäîâèùà ç
ìåòîþ ïîâíîãî îïèñó ïðóæíèõ õàðàêòåðèñòèê ââå-
äåìî ï’ÿòü íåçàëåæíèõ ïàðàìåòð³â (λ1, λ2, µ1, µ2, ν),
à òàêîæ çíà÷åííÿ ãóñòèíè σ äëÿ êîæíîãî øàðó
(òàáë. 1, 2).
Âîãíèùå ñåéñì³÷íèõ õâèëü îïèñàíî òåíçîðîì
ñåéñì³÷íîãî ìîìåíòó. Ðîçãëÿíåìî äâà âèïàäêè 䳿
äæåðåëà (ðèñ. 2, 3):
1) âñ³ êîìïîíåíòè òåíçîðà ñåéñì³÷íîãî ìîìåíòó
äîð³âíþþòü íóëþ, êð³ì Mzz = 1,73·1012;
2) âñ³ êîìïîíåíòè òåíçîðà ñåéñì³÷íîãî ìîìåíòó
â³äì³íí³ â³ä íóëÿ: Mxx = –1,73·1012;
Mzz = 1,73·1012; Mxz = –2,53·1012; Mzx = –2,53·1012;
Myz = –8,1·1012; Myx = –2,88·1012.
Òàáëèöÿ 1. Ïàðàìåòðè àí³çîòðîïíîãî ñåðåäîâèùà äëÿ ï³âïðîñòîðó
Òàáëèöÿ 2. Ïàðàìåòðè ³çîòðîïíîãî ñåðåäîâèùà äëÿ ï³âïðîñòîðó
λ1, ×1011, Па λ2, ×1011, Па μ1, ×1011, Па μ2, ×1011, Па ν, ×1011, Па σ, кг/м3
0,04887 0,05173 0,07232 0,05129 0,04495 2300
λ, ×1011, Па μ, ×1011, Па σ, кг/м3
0,04887 0,05129 2300
Ðèñ. 2. Ïîð³âíÿííÿ ñèíòåòè÷íèõ ñåéñìîãðàì äëÿ ñåðåäîâèù, ïàðàìåòðè ÿêèõ ïîäàíî â òàáë. 1, 2, ÿêùî âñ³ êîìïîíåíòè
ñåéñì³÷íîãî òåíçîðà äîð³âíþþòü íóëþ, êð³ì Mzz = 1,73·1012. Ñåðåäîâèùå: 1 – òðàíñâåðñàëüíî-³çîòðîïíå, 2 – ³çîòðîïíå
Ðèñ. 3. Ïîð³âíÿííÿ ñèíòåòè÷íèõ ñåéñìîãðàì äëÿ ñåðåäîâèù, ïàðàìåòðè ÿêèõ ïîäàíî â òàáë. 1, 2, ÿêùî âñ³ êîìïîíåíòè
ñåéñì³÷íîãî òåíçîðà â³äì³íí³ â³ä íóëÿ. Ñåðåäîâèùå: 1 – òðàíñâåðñàëüíî-³çîòðîïíå, 2 – ³çîòðîïíå
29ISSN 1684-2189 ÃÅβÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2013, ¹ 1 (45)
© Ä.Â. Ìàëèöüêèé, À.Þ. Ïàâëîâà
Ðîçãëÿíåìî ñêëàäí³øó ìîäåëü ñåðåäîâèùà
(àí³çîòðîïíèé øàð íà ï³âïðîñòîð³) òà ïîð³âíÿºìî
îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè ³ç ñèíòåòè÷íèìè ñåéñìîãðà-
ìàìè äëÿ ³çîòðîïíîãî ñåðåäîâèùà (òàáë. 3, 4,
ðèñ. 4, 5).
Âèñíîâêè. Ðîçðîáëåíî ìîäèô³êàö³þ ìàòðè÷íî-
ãî ìåòîäó äëÿ ïîáóäîâè õâèëüîâèõ ïîë³â íà
â³ëüí³é ïîâåðõí³ àí³çîòðîïíîãî ñåðåäîâèùà. Íà-
âåäåíî òåîð³þ äëÿ ìàòðè÷íîãî ïðîïàãàòîðà â îä-
íîð³äíîìó àí³çîòðîïíîìó ñåðåäîâèù³ ââåäåííÿì
Модель λ1, ×1011, Па λ2, ×1011, Па μ1, ×1011,Па μ2, ×1011,Па ν, ×1011, Па σ, кг/м3
Шар 1 0,04887 0,05173 0,07232 0,05129 0,04495 2300
Півпростір 0,0122 0,0122 0,2352 0,2352 0,0096 2500
Òàáëèöÿ 3. Ïàðàìåòðè àí³çîòðîïíîãî ñåðåäîâèùà
Òàáëèöÿ 4. Ïàðàìåòðè ³çîòðîïíîãî ñåðåäîâèùà
Модель λ, ×1011, Па μ, ×1011, Па σ, кг/м3
Шар 1 0,04887 0,05129 2300
Півпростір 0,0122 0,2352 2500
Ðèñ. 4. Ïîð³âíÿííÿ ñèíòåòè÷íèõ ñåéñìîãðàì äëÿ ñåðåäîâèù, ïàðàìåòðè ÿêèõ ïîäàíî â òàáë. 3, 4, ÿêùî âñ³ êîìïîíåíòè
ñåéñì³÷íîãî òåíçîðà äîð³âíþþòü íóëþ, êð³ì Mzz = 1,73·1012. Óìîâí³ ïîçíà÷åííÿ äèâ. íà ðèñ. 3
“õâèëüîâîãî ïðîïàãàòîðà”. Ïîêàçàíî, ùî äëÿ àí³-
çîòðîïíîãî øàðóâàòîãî ñåðåäîâèùà ìàòðè÷íèé
ïðîïàãàòîð ìîæå áóòè ââåäåíèé ÷åðåç “õâèëüî-
âèé ïðîïàãàòîð” â êîæíîìó øàð³. Âèêîíàíî ïî-
ð³âíÿëüíèé àíàë³ç ³ç ñåéñì³÷íèìè çàïèñàìè â ³çî-
òðîïíèõ ñåðåäîâèùàõ. Âèêîðèñòàííÿ òåîð³¿
ìàòðè÷íîãî ìåòîäó äëÿ àí³çîòðîïíèõ ñåðåäîâèù ç
ìåòîþ ðîçâ’ÿçàííÿ îáåðíåíî¿ çàäà÷³ ùîäî òåíçîðà
ñåéñì³÷íîãî ìîìåíòó áóäå ïîêàçàíî ó íàñòóïí³é
ñòàòò³.
Ðèñ. 5. Ïîð³âíÿííÿ ñèíòåòè÷íèõ ñåéñìîãðàì äëÿ ñåðåäîâèù, ïàðàìåòðè ÿêèõ ïîäàíî â òàáë. 1, 2, ÿêùî âñ³ êîìïîíåíòè
ñåéñì³÷íîãî òåíçîðà â³äì³íí³ â³ä íóëÿ. Óìîâí³ ïîçíà÷åííÿ äèâ. íà ðèñ. 2
30 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2013, ¹ 1 (45)
© Ä.Â. Ìàëèöüêèé, À.Þ. Ïàâëîâà
1. Àêè Ê. Êîëè÷åñòâåííàÿ ñåéñìîëîãèÿ. Òåîðèÿ è ìåòî-
äû:  2 ò. / Ê. Àêè, Ï. Ðè÷àðäñ. – Ì.: Ìèð, 1983. –
520 ñ.
2. Ìàëèöüêèé Ä.Â. Ïðèìåíåíèå ìîäèôèêàöèé ìàòðè÷íî-
ãî ìåòîäà äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âîëíîâûõ ïðîöåññîâ â
ñëîèñòîì ïîëóïðîñòðàíñòâå / Ä.Â. Ìàëèöêèé,
Î.È. Õèòðÿê // Ãåîôèç. æóðí. – 2012. – Ò. 34, ¹ 1.
3. Ìàëèöüêèé Ä.Â. Ïðî äåÿê³ âèïàäêè ìàòåìàòè÷íîãî ìî-
äåëþâàííÿ õâèëüîâèõ ïîë³â â øàðóâàòèõ ñåðåäîâè-
ùàõ ³ç äîäàòêîâèìè íàïðóæåííÿìè /Ä.Â. Ìàëèöüêèé,
À.Þ. Ïàâëîâà, Â.Ô. ×åêóð³í // Ãåîäèíàì³êà. – 2011. –
Ò. 2. – Ñ. 196–198.
4. Ìîëîòêîâ Ë.À. Ìàòðè÷íûé ìåòîä â òåîðèè ðàñïðî-
ñòðàíåíèÿ âîëí â ñëîèñòûõ óïðóãèõ è æèäêèõ ñðå-
äàõ. – Ëåíèíãðàä: Íàóêà, 1984. – 204 ñ.
5. Chapman C.H. Fundamentals of seismic wave propagation. –
Cambridge: Cambr. univ. press, 2004. – 608 p.
6. Fryer G.J. Seismic waves in stratified anisotropic media. II.
Elastodynamic eigensolutions for some anisotropic systems /
G.J. Fryer, L.N. Frazer // Geophys. J. Roy. and Soc. –
1987. –Vol. 91. – P. 73–101.
7. Fryer G.J. Seismic waves in stratified anisotropic media /
G.J. Fryer, L.N. Frazer // Ibid. – 1984. – Vol. 78. –
P. 691–710.
Ä.Â. Ìàëèöêèé, À.Þ. Ïàâëîâà
ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈÅ ÑÅÉÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÂÎËÍ Â ÀÍÈÇÎÒÐÎÏÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ. ÏÐßÌÀß ÇÀÄÀ×À. ²
Ðàçðàáîòàíà ìîäèôèêàöèÿ ìàòðè÷íîãî ìåòîäà äëÿ ïîñòðîåíèÿ âîëíîâûõ ïîëåé íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè ñëî-
èñòîé àíèçîòðîïíîé ñðåäû. Ïðåäñòàâëåíà òåîðèÿ äëÿ ìàòðè÷íîãî ïðîïàãàòîðà â îäíîðîäíîé àíèçîòðîïíîé
ñðåäå ïóòåì ââåäåíèÿ “âîëíîâîãî ïðîïàãàòîðà”. Âûïîëíåí ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ñ ñåéñìè÷åñêèìè çàïèñÿìè â
èçîòðîïíûõ ñðåäàõ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: àíèçîòðîïèÿ, òðàíñâåðñàëüíî-èçîòðîïíàÿ ñèììåòðèÿ, òåíçîð ñåéñìè÷åñêîãî ìîìåíòà, “âîëíî-
âîé ïðîïàãàòîð”.
D.V. Malytskiy, A.Yu. Pavlova
SEISMIC WAVE PROPAGATION IN ANISOTROPIC MEDIA. DIRECT PROBLEM. I
A modified matrix method for constructing wave fields at the free surface of a layered anisotropic medium is developed.
The theory for matrix propagator in a homogeneous anisotropic medium by introducing a “wave propagator” is presented.
The comparative analysis of seismic records in isotropic media is performed.
Keywords: anisotropy, transversal-isotropic symmetry, the moment tensor, “wave propagator”.
Êàðïàòñüêå â³ää³ëåííÿ ²íñòèòóòó ãåîô³çèêè
³ì. Ñ.². Ñóááîò³íà ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â, Óêðà¿íà,
E-mail: susyinet@gmail.com
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 19.11.2012 ð.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-96593 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1684-2189 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T14:12:10Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Малицький, Д.В. Павлова, А.Ю. 2016-03-18T14:39:26Z 2016-03-18T14:39:26Z 2013 Поширення сейсмічних хвиль в анізотропних середовищах. Пряма задача. I / Д.В. Малицький, А.Ю. Павлова // Геоінформатика. — 2013. — № 1. — С. 25-30. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1684-2189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96593 550.344 Розроблено модифікацію матричного методу для побудови хвильових полів на вільній поверхні шаруватого анізотропного середовища. Наведено теорію для матричного пропагатора в однорідному анізотропному середовищі введенням “хвильового пропагатора”. Виконано порівняльний аналіз із сейсмічними записами в ізотропних середовищах. Разработана модификация матричного метода для построения волновых полей на свободной поверхности слоистой анизотропной среды. Представлена теория для матричного пропагатора в однородной анизотропной среде путем введения “волнового пропагатора”. Выполнен сравнительный анализ с сейсмическими записями в изотропных средах. A modified matrix method for constructing wave fields at the free surface of a layered anisotropic medium is developed. The theory for matrix propagator in a homogeneous anisotropic medium by introducing a “wave propagator” is presented. The comparative analysis of seismic records in isotropic media is performed. uk Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України Геоінформатика Геолого-геофізичні та математичні методи і сучасні комп'ютерні технології дослідження літосфери Поширення сейсмічних хвиль в анізотропних середовищах. Пряма задача. I Распространение сейсмических волн в анизотропных средах. Прямая задача. I Seismic wave propagation in anisotropic media. Direct problem. I Article published earlier |
| spellingShingle | Поширення сейсмічних хвиль в анізотропних середовищах. Пряма задача. I Малицький, Д.В. Павлова, А.Ю. Геолого-геофізичні та математичні методи і сучасні комп'ютерні технології дослідження літосфери |
| title | Поширення сейсмічних хвиль в анізотропних середовищах. Пряма задача. I |
| title_alt | Распространение сейсмических волн в анизотропных средах. Прямая задача. I Seismic wave propagation in anisotropic media. Direct problem. I |
| title_full | Поширення сейсмічних хвиль в анізотропних середовищах. Пряма задача. I |
| title_fullStr | Поширення сейсмічних хвиль в анізотропних середовищах. Пряма задача. I |
| title_full_unstemmed | Поширення сейсмічних хвиль в анізотропних середовищах. Пряма задача. I |
| title_short | Поширення сейсмічних хвиль в анізотропних середовищах. Пряма задача. I |
| title_sort | поширення сейсмічних хвиль в анізотропних середовищах. пряма задача. i |
| topic | Геолого-геофізичні та математичні методи і сучасні комп'ютерні технології дослідження літосфери |
| topic_facet | Геолого-геофізичні та математичні методи і сучасні комп'ютерні технології дослідження літосфери |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96593 |
| work_keys_str_mv | AT malicʹkiidv poširennâseismíčnihhvilʹvanízotropnihseredoviŝahprâmazadačai AT pavlovaaû poširennâseismíčnihhvilʹvanízotropnihseredoviŝahprâmazadačai AT malicʹkiidv rasprostranenieseismičeskihvolnvanizotropnyhsredahprâmaâzadačai AT pavlovaaû rasprostranenieseismičeskihvolnvanizotropnyhsredahprâmaâzadačai AT malicʹkiidv seismicwavepropagationinanisotropicmediadirectproblemi AT pavlovaaû seismicwavepropagationinanisotropicmediadirectproblemi |