О дисперсии волн в упругом слое, несущем вязкий жидкий слой
На основе трехмерных линеаризованных уравнений Навье–Стокса для вязкой жидкости и линейных уравнений классической теории упругости для упругого слоя построены дисперсионные кривые и исследовано распространение акустических волн в широком диапазоне частот. Проанализировано влияние вязкости жидкости,...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96595 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О дисперсии волн в упругом слое, несущем вязкий жидкий слой / А.М. Багно // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 5. — С. 40-46. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859658948310728704 |
|---|---|
| author | Багно, А.М. |
| author_facet | Багно, А.М. |
| citation_txt | О дисперсии волн в упругом слое, несущем вязкий жидкий слой / А.М. Багно // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 5. — С. 40-46. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | На основе трехмерных линеаризованных уравнений Навье–Стокса для вязкой жидкости и линейных уравнений классической теории упругости для упругого слоя построены дисперсионные кривые и исследовано распространение акустических волн в широком
диапазоне частот. Проанализировано влияние вязкости жидкости, толщин упругого
и жидкого слоев на фазовые скорости и коэффициенты затухания мод как для тонкого, так и для толстого упругих слоев.
На основi тривимiрних лiнеаризованих рiвнянь Нав’є–Стокса для в’язкої рiдини та лiнiйних рiвнянь класичної теорiї пружностi для пружного шару побудовано дисперсiйнi кривi
та дослiджено поширення акустичних хвиль у широкому дiапазонi частот. Проаналiзовано вплив в’язкостi рiдини, товщини пружного та рiдкого шарiв на фазовi швидкостi та коефiцiєнти згасання мод як для тонкого, так i для товстого пружних шарiв.
On the base of the three-dimensional linearized Navier–Stokes equations for a viscous fluid and
the linear equations of classical theory of elasticity for an elastic layer, the dispersion curves are
constructed, and the propagation of acoustic waves within the wide range of frequencies is studied.
An effect of the viscosity of a fluid, the thicknesses of elastic and fluid layers on the phase velocities
and the attenuation coefficients of modes are analyzed for both thin and thick elastic layers.
|
| first_indexed | 2025-11-30T09:38:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2015
МЕХАНIКА
УДК 539.3
А.М. Багно
О дисперсии волн в упругом слое, несущем вязкий
жидкий слой
(Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем)
На основе трехмерных линеаризованных уравнений Навье–Стокса для вязкой жидкос-
ти и линейных уравнений классической теории упругости для упругого слоя построе-
ны дисперсионные кривые и исследовано распространение акустических волн в широком
диапазоне частот. Проанализировано влияние вязкости жидкости, толщин упругого
и жидкого слоев на фазовые скорости и коэффициенты затухания мод как для тонкого,
так и для толстого упругих слоев.
Ключевые слова: дисперсия волн, упругий слой, вязкий жидкий слой.
Волны, распространяющиеся вдоль границы контакта упругого слоя и слоя жидкости, отно-
сятся к числу обобщений основательно исследованных основных типов поверхностных волн
Рэлея, Стоунли, Лява и Лэмба. Обзор работ и анализ результатов, полученных в рам-
ках классической теории упругости и модели идеальной сжимаемой жидкости, приведены
в [1, 2]. Вместе с тем, значительное практическое использование акустических волн требует
учета свойств, которые присущи реальным средам. К числу таких факторов относится вяз-
кость жидкости. Рассмотренные задачи и результаты, полученные с учетом этого свойства
жидкости, приведены в [3–9]. В настоящей работе для исследования распространения волн
в слое жидкости, взаимодействующем с упругим слоем, применяется модель вязкой сжима-
емой ньютоновской жидкости. При этом используются трехмерные линеаризованные урав-
нения Навье–Стокса для жидкости и линейные уравнения классической теории упругости
для твердого тела. Предполагается, что жидкость находится в состоянии покоя и тепловые
эффекты не учитываются. В качестве подхода выбраны постановки задач и метод, основан-
ные на применении представлений общих решений уравнений движения вязкой сжимаемой
жидкости и упругого тела, полученные в работах [4, 6–8, 10–12].
Постановка задачи. Рассмотрим задачу о распространении акустических волн в гид-
роупругой системе, состоящей из упругого слоя и слоя вязкой сжимаемой жидкости. Ре-
шение получим с привлечением трехмерных линейных уравнений классической теории
© А.М. Багно, 2015
40 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №5
упругости для твердого тела и линеаризованных уравнений Навье–Стокса для жидкости,
находящейся в состоянии покоя. В рамках принятых моделей основные соотношения для
системы упругое тело — вязкая сжимаемая жидкость будут иметь вид:
µ△~u+ (λ+ µ)~∇(~∇ · ~u)− ρ
∂2~u
∂t2
= 0, σij = µ
(
∂ui
∂uj
+
∂uj
∂ui
)
+ λδij(~∇ · ~u); (1)
∂~v
∂t
− ν∗△~v + 1
ρ0
~∇p− 1
3
ν∗~∇(~∇ · ~v) = 0,
1
ρ0
∂ρ∗
∂t
+ ~∇ · ~v = 0,
∂p
∂ρ∗
= a20, a0 = const;
(2)
pij = −pδij + λ∗δij(~∇ · ~v) + µ∗
(
∂vi
∂vj
+
∂vj
∂vi
)
, λ∗ = −2
3
µ∗. (3)
Здесь введены следующие обозначения: ui — компоненты вектора перемещений упругого
тела; ρ — плотность материала упругого слоя; λ и µ — константы Ламе материала твердого
тела; vi — составляющие вектора возмущений скорости жидкости; ρ∗ и p — возмущения
плотности и давления в жидкости; ν∗ и µ∗ — кинематический и динамический коэффи-
циенты вязкости жидкости; ρ0 и a0 — плотность и скорость звука в жидкости в состоянии
покоя; pij и σij — составляющие напряжений соответственно в жидкости и упругом теле.
Равенства (1) описывают поведение упругого тела. Малые колебания вязкой сжимаемой
жидкости, находящейся в состоянии покоя и без учета тепловых эффектов, описывают
соотношения (2), (3).
Далее предположим, что упругий слой заполняет объем −∞ < z1 < ∞, −h2 6 z2 6 0,
−∞ < z3 < ∞ и контактирует со слоем вязкой сжимаемой жидкости, занимающим объем
−∞ < z1 < ∞, 0 6 z2 6 h1, −∞ < z3 < ∞. Будем считать, что внешние силы, дей-
ствующие на указанные среды, распределены равномерно вдоль оси 0z3. Поскольку в этом
случае волна, бегущая в направлении оси 0z1, и возмущения, ее вызывающие, не зависят от
переменной z3, то задача будет плоской и можно ограничиться изучением процесса распро-
странения волн в плоскости 0z1z2. Следовательно, указанная задача сводится к решению
системы уравнений (1)–(3) при таких граничных условиях:
p21
∣∣
z2=0
= σ21
∣∣
z2=0
, p22
∣∣
z2=0
= σ22
∣∣
z2=0
, v1
∣∣
z2=0
=
∂u1
∂t
∣∣∣∣
z2=0
, v2
∣∣
z2=0
=
∂u2
∂t
∣∣∣∣
z2=0
; (4)
σ21
∣∣
z2=−h
= 0, σ22
∣∣
z2=−h
= 0, p21
∣∣
z2=h
= 0, p22
∣∣
z2=h
= 0. (5)
В дальнейшем для решения задачи гидроупругости воспользуемся представлениями об-
щих решений для упругих тел и вязкой сжимаемой жидкости, предложенными в работах [4,
6–8, 10–12]
u1 = − ∂2χ1
∂z1∂z2
, u2 =
(
λ+ 2µ
λ+ µ
∂2
∂z21
+
µ
λ+ µ
∂2
∂z22
− ρ
λ+ µ
∂2
∂t2
)
χ1; (6)
v1 =
∂2χ2
∂z1∂t
+
∂2χ3
∂z2∂t
, v2 =
∂2χ2
∂z2∂t
− ∂2χ3
∂z1∂t
, (7)
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2015, №5 41
где введенные потенциалы χi являются решениями следующих уравнений:
[(
∂2
∂z21
+
µ
λ+ 2µ
∂2
∂z22
− ρ
λ+ 2µ
∂2
∂t2
)(
∂2
∂z21
+
λ+ 2µ
µ
∂2
∂z22
− ρ
µ
∂2
∂t2
)
−
− (λ+ µ)2
µ(λ+ 2µ)
∂4
∂z21∂z
2
2
]
χ1 = 0; (8)
[(
1 +
4ν∗
3a20
∂
∂t
)(
∂2
∂z21
+
∂2
∂z22
)
− 1
a20
∂2
∂t2
]
χ2 = 0,
[
∂
∂t
− ν∗
(
∂2
∂z21
+
∂2
∂z22
)]
χ3 = 0. (9)
Для анализа распространения возмущений, гармонично изменяющихся во времени, ре-
шения системы уравнений разыскиваются в классе бегущих волн
χj = Xj(z2) exp[i(kz1 − ωt)], j = 1, 3, (10)
где k (k = (β + iγ) — волновое число; γ — коэффициент затухания волны; ω — круговая
частота.
Заметим, что выбранный в данной работе класс гармонических волн, являясь наибо-
лее простым и удобным в теоретических исследованиях, не ограничивает общности полу-
ченных результатов, поскольку линейная волна произвольной формы, как известно, мо-
жет быть представлена набором гармонических составляющих. Далее решаются две за-
дачи Штурма–Лиувилля на собственные значения для уравнений движения упругого тела
и жидкости, а также находятся соответствующие собственные функции. После подстановки
решений в граничные условия (4) и (5) получаем однородную систему линейных алгебра-
ических уравнений относительно постоянных интегрирования. Исходя из условия сущест-
вования нетривиального решения, приравнивая определитель системы к нулю, получаем
дисперсионное уравнение
det
∥∥∥∥emn
(
c, γ, λ, µ, ρ, ρ0, a0, µ
∗,
ωh1
cs
,
ωh2
cs
)∥∥∥∥ = 0, m, n = 1, 8, (11)
где c — фазовая скорость мод в гидроупругой системе; h1 — толщина слоя жидкости; h2 —
толщина упругого слоя; cs (c2s = µ/ρ) — скорость волны сдвига в упругом теле.
Как известно, в неограниченном сжимаемом упругом теле существуют продольная и по-
перечная волны. В идеальной сжимаемой жидкой среде распространяется только про-
дольная волна. В вязкой сжимаемой жидкости существует как продольная волна, так
и волна сдвига. Именно эти волны, взаимодействуя между собой на свободных грани-
чных поверхностях, а также на поверхностях контакта сред, порождают сложное волно-
вое поле в гидроупругой системе. Заметим, что особенность распространения возмуще-
ний в гидроупругом волноводе указанной структуры обусловлена наличием в упругом теле
и жидкости граничных поверхностей. Это значительно усложняет картину волнового по-
ля в нем. Причиной этого является то, что в формировании поля в гидроупругой системе
существенную роль играет не только наличие жидкости и взаимодействие волн с поверх-
ностью упругого тела, контактирующего с жидкой средой, но и наличие свободных гра-
ниц и их взаимовлияние. Взаимодействие продольных и сдвиговых волн на граничных
поверхностях приводит к возникновению в гидроупругом волноводе довольно сложного
спектра мод.
42 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №5
Рис. 1
Заметим, что полученное дисперсионное уравнение (11) является наиболее общим и из
него можно получить соотношения для ряда частных случаев, которые рассмотрены в рабо-
тах [1–3, 5]. В частности, если a0 устремить к бесконечности, то (11) переходит в уравнение
для определения параметров мод в случае взаимодействия с вязкой несжимаемой жид-
костью. Если µ∗ положить равным нулю, то из (11) получим результаты для гидроупругой
системы с идеальной жидкостью. При ρ0 = 0 равенство (11) перейдет в уравнение для опре-
деления скоростей волн Лэмба [1, 2]. Если дополнительно устремить h2 к бесконечности,
получим соотношение для определения скоростей поверхностных волн Рэлея [1, 2]. При
ρ0 6= 0 и h1 → ∞ равенство перейдет в уравнение Стоунли [1, 2].
Анализ численных результатов. В дальнейшем дисперсионное уравнение (11) реша-
лось численно. При этом расчеты проводились для системы органическое стекло — вода,
которая характеризовалась следующими параметрами: упругий слой — ρ = 1160 кг/м3,
λ = 3,96 · 109 Па, µ = 1,86 · 109 Па; слой жидкости — ρ0 = 1000 кг/м3, a0 = 1459,5 м/c,
µ∗ = 0,001.
Результаты вычислений представлены на рис. 1–3.
На рис. 1, a для упругого слоя, не взаимодействующего с жидкостью, приведены зави-
симости безразмерных величин фазовых скоростей нормальных волн Лэмба c (c = c/cs) от
безразмерной величины толщины упругого слоя h2 (h2 = ωh2/cs). Номерами na обозначены
антисимметричные моды, а ns — соответственно симметричные.
На рис. 1, б представлены дисперсионные кривые для гидроупругого волновода, отра-
жающие зависимости безразмерных величин фазовых скоростей мод c (c = c/cs) от без-
размерной величины толщины слоя вязкой сжимаемой жидкости h1 (h1 = ωh1/cs) для
тонкого упругого слоя толщиной h2 = 2.
Из графиков, представленных на рис. 1, a, следует, что скорость нулевой антисиммет-
ричной моды Лэмба при росте толщины упругого слоя (частоты) стремится к скорости
волны Рэлея снизу, а скорость нулевой симметричной моды стремится к скорости волны
Рэлея сверху. Скорости всех высших мод Лэмба при увеличении толщины упругого слоя
(частоты) стремятся к скорости волны сдвига в материале упругого тела [1, 2].
Графики, приведенные на рис. 1, б, показывают, что при росте толщины вязкого жид-
кого слоя h1 скорость нулевой антисимметричной моды 0a стремится к величине, кото-
рая меньше скорости волны Стоунли. Скорости нулевой симметричной моды 0s и всех
высших мод 1–5, порождаемых слоем жидкости, стремятся к скорости распространения
звука в жидкой среде.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2015, №5 43
Рис. 2
Рис. 3
На рис. 2, a приведены зависимости безразмерных величин коэффициентов затухания
мод γ (γ = γ/ks, ks — волновое число волны сдвига в материале упругого слоя) от безраз-
мерной величины толщины слоя вязкой жидкости h1 для упругого слоя толщиной h2 = 2.
Дисперсионные кривые для гидроупругого волновода, отражающие зависимости безраз-
мерных величин фазовых скоростей мод c от безразмерной величины толщины слоя вязкой
сжимаемой жидкости h1 для толстого упругого слоя толщиной h2 = 10 представлены на
рис. 2, б.
Из графического материала рис. 2, a непосредственно следует, что для всех мод су-
ществуют жидкие слои определенной толщины и определенные частоты, при которых моды
распространяются как с наименьшим, так и с наибольшим затуханием.
Графики для гидроупругой системы, которые приведены на рис. 2, б для случая толс-
того упругого слоя с h2 = 10, показывают, что при росте толщины жидкого вязкого слоя
скорость нулевой антисимметричной моды стремится к скорости волны Стоунли, распро-
страняющейся вдоль границы контакта сред, а скорость нулевой симметричной моды —
к скорости волны Рэлея на свободной поверхности упругого слоя. При увеличении толщи-
ны жидкого слоя скорость первой антисимметричной моды стремится к скорости волны,
величина которой меньше скорости распространения звука в жидкости. Фазовые скорости
всех мод высокого порядка стремятся к скорости распространения звука в жидкой среде.
На рис. 3, a, б приведены зависимости безразмерных величин коэффициентов затухания
мод γ от безразмерной величины толщины слоя вязкой жидкости h1 для толстого упругого
слоя толщиной h2 = 10, откуда следует существование для всех мод жидких слоев опреде-
44 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №5
ленной толщины и определенных частот, при которых величины коэффициентов затухания
мод принимают как минимальное, так и максимальное значение. Вместе с тем, в отличие от
тонкого упругого слоя для гидроупругого волновода с толстым упругим слоем для мод 3–7,
порождаемых жидкой средой, существуют не только определенные частоты, но и интерва-
лы частот, при которых моды распространяются как с наименьшим, так и наибольшим
затуханием.
Приведенный графический материал непосредственно свидетельствует о том, что в гид-
роупругом волноводе с выбранными механическими параметрами системы [3] и твердым
слоем произвольной заданной фиксированной толщины h2 при увеличении толщины жид-
кого слоя h1 все моды локализируются и распространяются в упругом слое.
Цитируемая литература
1. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. – Москва: Наука, 1981. – 288 с.
2. Кузнецов С.В. Волны Лэмба в анизотропных пластинах (обзор) // Акустич. журн. – 2014. – 60,
№ 1. – С. 90–100.
3. Волькенштейн М.М., Левин В.М. Структура волны Стоунли на границе вязкой жидкости и твердого
тела // Там же. – 1988. – 34, № 4. – С. 608–615.
4. Гузь А.Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости. – Киев: А.С.К., 1998. – 350 с.
5. Bagno A.M., Guz A.N. Elastic waves in pre-stressed bodies interacting with a fluid (survey) // Int. Appl.
Mech. – 1997. – 33, No 6. – P. 435–463.
6. Guz A.N. Compressible, viscous fluid dynamics (review). Part 1 // Ibid. – 2000. – 36, No 1. – P. 14–39.
7. Guz A.N. The dynamics of a compressible viscous liquid (review). Part II // Ibid. – 2000. – 36, No 3. –
P. 281–302.
8. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid. – London: Cambridge Sci. Publ., 2009. – 428 p.
9. Ottenio M., Destrade M., Ogden R.W. Acoustic waves at the interface of a pre-stressed incompressible
elastic solid and a viscous fluid // Int. J. of Nonelinear Mech. – 2007. – 42, No 2. – P. 310–320.
10. Guz A.N. Aerohydroelasticity problems for bodies with initial stresses // Int. Appl. Mech. – 1980. – 16,
No 3. – P. 175–190.
11. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. В 2-х томах. – Киев: Наук. думка,
1986.
12. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. – Киев: А.С. К.,
2004. – 672 с.
References
1. Viktorov I.A. Sound surface waves in solids, Moscow: Nauka, 1981 (in Russian).
2. Kuznetsov S. V. Acoustic J., 2014, 60, No 1: 90–100 (in Russian).
3. Volkenstein M.M., Levin V.M. Acoustic J., 1988, 34, No 4: 608–615 (in Russian).
4. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid, Kiev: A.C. K., 1998 (in Russian).
5. Bagno A.M., Guz A.N. Int. Appl. Mech., 1997, 33, No 6: 435–463.
6. Guz A.N. Int. Appl. Mech., 2000, 36, No 1: 14–39.
7. Guz A.N. Int. Appl. Mech, 2000, 36, No 3: 281–302.
8. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid, Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2009.
9. Ottenio M., Destrade M., Ogden R.W. Int. J. of Non-Linear Mech, 2007, 42, No 2: 310–320.
10. Guz A.N. Int. Appl. Mech., 1980, 16, No 3: 175–190.
11. Guz A.N. Elastic waves in bodies with initial stresses. In 2 vols., Kiev: Naukova Dumka (in Russian).
12. Guz A.N. Elastic waves in bodies with initial (residual) stresses, Kiev: A.C. K., 2004 (in Russian).
Поступило в редакцию 15.12.2014Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2015, №5 45
О.М. Багно
Про дисперсiю хвиль у пружному шарi, який несе в’язкий рiдкий
шар
Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
На основi тривимiрних лiнеаризованих рiвнянь Нав’є–Стокса для в’язкої рiдини та лiнiй-
них рiвнянь класичної теорiї пружностi для пружного шару побудовано дисперсiйнi кривi
та дослiджено поширення акустичних хвиль у широкому дiапазонi частот. Проаналiзова-
но вплив в’язкостi рiдини, товщини пружного та рiдкого шарiв на фазовi швидкостi та
коефiцiєнти згасання мод як для тонкого, так i для товстого пружних шарiв.
Ключовi слова: дисперсiя хвиль, пружний шар, в’язкий рiдкий шар.
O.M. Bahno
On the dispersion of waves in an elastic layer carrying the layer of a
viscous fluid
S. P. Tymoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
On the base of the three-dimensional linearized Navier–Stokes equations for a viscous fluid and
the linear equations of classical theory of elasticity for an elastic layer, the dispersion curves are
constructed, and the propagation of acoustic waves within the wide range of frequencies is studied.
An effect of the viscosity of a fluid, the thicknesses of elastic and fluid layers on the phase velocities
and the attenuation coefficients of modes are analyzed for both thin and thick elastic layers.
Keywords: dispersion of waves, elastic layer, viscous fluid layer.
46 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-96595 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T09:38:55Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Багно, А.М. 2016-03-18T15:55:58Z 2016-03-18T15:55:58Z 2015 О дисперсии волн в упругом слое, несущем вязкий жидкий слой / А.М. Багно // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 5. — С. 40-46. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96595 539.3 На основе трехмерных линеаризованных уравнений Навье–Стокса для вязкой жидкости и линейных уравнений классической теории упругости для упругого слоя построены дисперсионные кривые и исследовано распространение акустических волн в широком диапазоне частот. Проанализировано влияние вязкости жидкости, толщин упругого и жидкого слоев на фазовые скорости и коэффициенты затухания мод как для тонкого, так и для толстого упругих слоев. На основi тривимiрних лiнеаризованих рiвнянь Нав’є–Стокса для в’язкої рiдини та лiнiйних рiвнянь класичної теорiї пружностi для пружного шару побудовано дисперсiйнi кривi та дослiджено поширення акустичних хвиль у широкому дiапазонi частот. Проаналiзовано вплив в’язкостi рiдини, товщини пружного та рiдкого шарiв на фазовi швидкостi та коефiцiєнти згасання мод як для тонкого, так i для товстого пружних шарiв. On the base of the three-dimensional linearized Navier–Stokes equations for a viscous fluid and the linear equations of classical theory of elasticity for an elastic layer, the dispersion curves are constructed, and the propagation of acoustic waves within the wide range of frequencies is studied. An effect of the viscosity of a fluid, the thicknesses of elastic and fluid layers on the phase velocities and the attenuation coefficients of modes are analyzed for both thin and thick elastic layers. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О дисперсии волн в упругом слое, несущем вязкий жидкий слой Про дисперсiю хвиль у пружному шарi, який несе в’язкий рiдкий шар On the dispersion of waves in an elastic layer carrying the layer of a viscous fluid Article published earlier |
| spellingShingle | О дисперсии волн в упругом слое, несущем вязкий жидкий слой Багно, А.М. Механіка |
| title | О дисперсии волн в упругом слое, несущем вязкий жидкий слой |
| title_alt | Про дисперсiю хвиль у пружному шарi, який несе в’язкий рiдкий шар On the dispersion of waves in an elastic layer carrying the layer of a viscous fluid |
| title_full | О дисперсии волн в упругом слое, несущем вязкий жидкий слой |
| title_fullStr | О дисперсии волн в упругом слое, несущем вязкий жидкий слой |
| title_full_unstemmed | О дисперсии волн в упругом слое, несущем вязкий жидкий слой |
| title_short | О дисперсии волн в упругом слое, несущем вязкий жидкий слой |
| title_sort | о дисперсии волн в упругом слое, несущем вязкий жидкий слой |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96595 |
| work_keys_str_mv | AT bagnoam odispersiivolnvuprugomsloenesuŝemvâzkiižidkiisloi AT bagnoam prodispersiûhvilʹupružnomušariâkiinesevâzkiiridkiišar AT bagnoam onthedispersionofwavesinanelasticlayercarryingthelayerofaviscousfluid |