Задача о тени
Получено полное решение проблемы о тени, что эквивалентно нахождению условий принадлежности точки обобщенно выпуклой оболочке семьи компактных множеств. Отримано повний розв’язок проблеми про тiнь, що еквiвалентно знаходженню умов належностi точки узагальнено опуклiй оболонцi сiм’ї компактних множин...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96612 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задача о тени / Ю.Б. Зелинский, И.Ю. Выговская, М.В. Стефанчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 5. — С. 15-20. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860259634061770752 |
|---|---|
| author | Зелинский, Ю.Б. Выговская, И.Ю. Стефанчук, М.В. |
| author_facet | Зелинский, Ю.Б. Выговская, И.Ю. Стефанчук, М.В. |
| citation_txt | Задача о тени / Ю.Б. Зелинский, И.Ю. Выговская, М.В. Стефанчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 5. — С. 15-20. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Получено полное решение проблемы о тени, что эквивалентно нахождению условий принадлежности точки обобщенно выпуклой оболочке семьи компактных множеств.
Отримано повний розв’язок проблеми про тiнь, що еквiвалентно знаходженню умов належностi точки узагальнено опуклiй оболонцi сiм’ї компактних множин.
The problem of shadow is solved. It is equivalent to the condition for a point to be in the generalized
convex hull of a family of compact sets.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:54:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 513.83;517.5
Ю.Б. Зелинский, И.Ю. Выговская, М. В. Стефанчук
Задача о тени
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Ю. Трохимчуком)
Получено полное решение проблемы о тени, что эквивалентно нахождению условий при-
надлежности точки обобщенно выпуклой оболочке семьи компактных множеств.
Ключевые слова : m-выпуклое множество, m-оболочка множества, задача о тени, симп-
лекс, m-полувыпуклое множество, m-полувыпуклая оболочка множества.
Главная цель работы — решение задачи о тени, которую можно рассматривать как на-
хождение условий, обеспечивающих принадлежность точки обобщенно выпуклой оболочке
некоторого семейства множеств.
Определение 1. Скажем, что множество E ⊂ R
n m-выпукло относительно точки x ∈
∈ R
n \ E, если найдется m-мерная плоскость L такая, что x ∈ L и L
⋂
E = ∅.
Определение 2. Скажем, что множество E ⊂ R
n m-выпукло, если оно m-выпукло
относительно каждой точки x ∈ R
n \ E.
Легко убедиться, что оба приведенные определения удовлетворяют известной аксиоме
выпуклости: пересечение каждого подсемейства таких множеств тоже удовлетворяет опре-
делению. Для произвольного множества E ⊂ R
n мы можем рассматривать минимальное
m-выпуклое множество, содержащее E, и назвать его m-оболочкой множества E.
Как частный случай принадлежности точки 1-оболочке объединения некоторого на-
бора шаров можно привести следующую задачу о тени, рассмотренную Г. Худайбергано-
вым [1–3].
Задача (о тени). Какое минимальное число попарно непересекающихся замкнутых ша-
ров с центрами на сфере Sn−1 и радиуса, меньшего радиуса сферы, достаточно, чтобы
любая прямая, проходящая через центр сферы, пересекала хотя бы один из этих шаров?
Другими словами эту задачу можно переформулировать так. Сколько замкнутых ша-
ров радиуса, меньшего радиуса сферы, с центрами на сфере (минимальное количество)
обеспечит принадлежность центра сферы 1-оболочке семейства шаров?
Если в сферу вписать правильный n-мерный симплекс и разместить шары радиуса,
равного половине длины ребра симплекса, в его вершинах, то очевидно, что эта система
шаров создает тень для центра сферы. Однако при этом мы нарушим одно условие — ша-
ры попарно касаются друг друга. Пусть a — половина длины ребра правильного симплекса.
Рассмотрим семейство из n+1 шаров радиусов a+ε, a−ε/2, a−ε/22, . . . , a−ε/2n для доста-
точно малого числа ε. Разместим эти шары так, чтобы они попарно касались друг друга,
а их центры образовывали симплекс, мало отличающийся от правильного. Через центры
этих шаров проходит единственная сфера, центр которой принадлежит 1-оболочке семей-
ства шаров. Внутренности этого семейства шаров образуют семейство из n + 1 открытого
шара, для которого центр сферы принадлежит 1-оболочке этого семейства. Если же исход-
ные замкнутые шары немного уменьшить, то в силу непрерывности очевидно, что n + 1
замкнутого шара достаточно для создания тени.
© Ю. Б. Зелинский, И.Ю. Выговская, М. В. Стефанчук, 2015
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2015, №5 15
Лемма 1. Если множество E =
n⋃
i=1
Ei ⊂ R
n представляет собой объединение из n− 1
выпуклого множества, то E — 1-выпуклое множество.
Из этой леммы следует, что произвольной совокупности из n − 1 шаров для создания
тени мало. Поэтому точное значение необходимого количества шаров n или n+ 1.
Следствие 1. Если множество E =
m−1⋃
i=1
Ei ⊂ R
n представляет собой объединение из
m− 1 выпуклого множества, где m < n, то E — (n −m)-выпуклое множество.
Задача о тени была решена Г. Худайбергановым для n = 2 (показано, что двух шаров
достаточно). Им же было предложено решение при n > 2, которое оказалось ошибочным,
и, насколько известно авторам, точное значение количества шаров остается открытой проб-
лемой. Дальнейшие рассуждения позволят дать полный ответ на эту проблему.
Теорема 1. Существует два замкнутых (открытых) шара с центрами на единичной
окружности и радиуса меньше 1, которые обеспечивают принадлежность центра окруж-
ности 1-оболочке семейства шаров.
Следствие 2. Существует два замкнутых (открытых) шара с центрами на сфе-
ре Sn−1 и радиуса, меньшего радиуса сферы, которые обеспечивают принадлежность цент-
ра сферы (n − 1)-оболочке семейства шаров.
Покажем, что в случае двумерной сферы трех шаров недостаточно. Точки пространства
будем обозначать координатами (x, y, z). Не нарушая общности, предположим, что сфера
с центром в начале координат имеет радиус 1 и что трех открытых шаров достаточно для
создания тени в центре сферы. Предположим, что имеют место неравенства для радиусов
шаров 1 > r1 > r2 > r3. Мы можем считать, что шары попарно касаются друг друга, иначе
мы могли бы их увеличить с тем же эффектом для тени. Расположим центр шара макси-
мального радиуса в точке (0, 0, 1). Проведем двумерную плоскость L через центры шаров
B1, B2 и начало координат. Каждый из этих шаров порождает круговой конус с центром
в начале координат такой, что произвольная прямая, лежащая внутри конуса, пересекает
этот шар. Этот конус пересекает сферу по двум окружностям, которые можно задать парой
параллельных плоскостей. Им в плоскости L соответствуют две прямые GB и CA. Поло-
са между этими плоскостями вырезает из сферы часть тех точек, для которых каждая
прямая проходит через центр сферы, и такую точку не пересекает соответственный шар.
Аналогично для второго шара получим две прямые CG и AB в плоскости L.
Пересечение двух полос, соответствующих двум шарам, представляет собой цилиндр,
в основании которого лежит параллелограмм ABGC. Этот цилиндр вырезает на сфере
множество тех точек, для которых каждая прямая, которая проходит через центр сфе-
ры и такую точку, не пересекает оба шара. Теперь очевидно, что радиус третьего шара,
необходимого для создания тени, не может быть меньше половины диагонали BC этого
параллелограмма. Несложно показать, что это равно
√
2− r21 − r22 − 2
√
1− r21
√
1− r22 cos(2 arcsin((r1 + r2)/2))
sin 2(arcsin((r1 + r2)/2))
. (1)
Произведем числовые оценки. Поскольку из вписанных в окружность треугольников
максимальный периметр имеет правильный треугольник, то сумма радиусов шаров не пре-
восходит полупериметра правильного треугольника, вписанного в единичную окружность
r1 + r2 + r3 6 1,5
√
3 ≈ 2,598. (2)
16 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №5
Радиус шара B2 не может быть меньше
√
2/2, иначе в силу неравенства r2 > r3 шары B2
и B3 не смогут обеспечить пересечение с ними произвольной прямой, проходящей через
начало координат и лежащей в плоскости xOy, а шар B1 с этой плоскостью не пересекается.
С помощью программы Derive из (1) находим, что если r2 < 0,77, то r3 > 0,77. Следо-
вательно, не выполнено неравенство r2 > r3. Если же r2 > 0,85, то также с использованием
программы Derive получаем неравенство r1+r2+r3 > 2,6, что противоречит (2). Для суммы
радиусов шаров имеем неравенства 1,54 < 2r2 < r1 + r2 6 1 + r2 < 1,85.
Используя эти оценки, получаем, что каждую окружность, по которым шары B2 и B3
пересекают плоскость xOy, видно из начала координат под углом, не превышающим 1,4472.
Эти две окружности суммарно закрывают угол, который не превышает 2,8945, что мень-
ше развернутого угла размера π. Поэтому в плоскости xOy существует прямая через на-
чало координат, не пересекающая ни один из трех шаров. Следовательно, для создания
тени в центре сферы при n = 3 необходимо четыре шарa. При n > 3 оценка получа-
ется с применением математической индукции. Рассмотрим гиперплоскость через центр
сферы, которая не пересекает один из шаров. Для создания тени в начале координат
этой гиперплоскости, согласно предположению индукции, необходимо n шаров. Поэтому,
прибавляя шар, который не пересекает выбранную гиперплоскость, получаем необходи-
мость (n+ 1)-го шара. Получили следующее утверждение, полностью решающее проблему
тени.
Теорема 2. Для того чтобы центр (n−1)-сферы в n-мерном евклидовом пространстве
при n > 2 принадлежал 1-оболочке семейства открытых (замкнутых) шаров радиуса, не
превышающего (меньшего) радиуса сферы, и с центрами на сфере, необходимо и доста-
точно (n + 1)-го шара.
Рассмотрим более общие по отношению к предыдущим определениям объекты.
Определение 3. Скажем, что множество E ⊂ R
n m-полувыпукло относительно точки
x ∈ R
n \ E, если найдется m-мерная полуплоскость P такая, что x ∈ P и P
⋂
E = ∅.
Определение 4. Скажем, что множество E ⊂ R
n m-полувыпукло, если оно m-полу-
выпукло относительно каждой точки x ∈ R
n \ E.
Легко убедиться, что и эти определения удовлетворяют аксиоме выпуклости, и мы мо-
жем строить m-полувыпуклые оболочки множеств тоже согласно этим определениям.
Рассмотрим аналог задачи о тени для полувыпуклости. Какое минимальное число по-
парно непересекающихся замкнутых (открытых) шаров с центрами на сфере Sn−1 и радиу-
са, меньшего (не превышающего) радиуса сферы, достаточно, чтобы любой луч из центра
сферы пересекал хотя бы один из этих шаров?
Задача проста в плоском случае n = 2. Если мы впишем в окружность остроугольный
треугольник с неравными сторонами a > b > c, а в его вершинах разместим три замкнутых
круга радиусов p−a, p−b, p−c соответственно, где p = (a+b+c)/2, то очевидно, что полу-
выпуклая оболочка объединения этих кругов состоит из кругов и внутренности треуголь-
ника. Если центр окружности не принадлежит объединению кругов, то такая конструкция
обеспечит тень и в этой точке. Теперь, как и выше, пользуясь непрерывностью, если чуть
уменьшить радиусы кругов, то получим, что при n = 2 три замкнутых (открытых) круга
решают задачу. Исследуем соотношение сторон треугольника, которые обеспечивают ре-
шение. Из неравенств p − a < p − b < p − c следует, что радиус описанной окружности
должен превышать p− c. Не нарушая общности, будем считать, что сторона c = 1 и спра-
ведливы неравенства a > b > 1. Другие треугольники с нужным свойством получаются
преобразованием подобия. Из формулы для радиуса описанной окружности, заменяя сто-
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2015, №5 17
роны треугольника переменными x = a, y = b, получим, что координаты нужных сторон
должны находиться внутри криволинейного треугольника, две стороны которого прямые
x = y, y = 1, а третья — кривая, заданная неявным уравнением:
x+ y − 1 =
2xy√
(x+ y + 1)(−x+ y + 1)(x− y + 1)(x+ y − 1)
.
Построив график в Derive, убеждаемся, что множество таких точек непустое. Следователь-
но, справедливо утверждение.
Теорема 3. Для того чтобы центр окружности S1 ⊂ R
2 принадлежал 1-полувыпук-
лой оболочке семейства открытых (замкнутых) кругов радиуса, не превышающего (мень-
шего) радиуса окружности, и с центрами на этой окружности, необходимо и достаточно
трех кругов.
С увеличением размерности задача усложняется. Покажем сначала, что существуют
семейства выпуклых множеств, 1-полувыпуклая оболочка которых совпадает с таким се-
мейством.
Лемма 2. Если множество K =
n⋃
i=1
Ki, где все множества Ki — выпуклые компакты,
то Hk(K) = 0, k > n− 1 при n > 1 (Hk(K) — группы когомологий компакта K [5]).
Теорема 4. Каждое множество K =
n⋃
i=1
Ki в R
n, где все множества Ki — выпуклые
компакты, является 1-полувыпуклым.
Замечание. Из множества (n − 1)-мерных граней n-мерного симплекса легко составить
множество, которое 1-полувыпуклым не будет.
Усложним задачу, наложив на множество дополнительные условия. Исследуем, когда
семейство шаров с центрами на фиксированной сфере обеспечит принадлежность центра
сферы 1-полувыпуклой оболочке семейства.
Пусть S2 ⊂ R
3 — единичная сфера. Выберем два открытых шара единичного радиуса
в точках (0, 0, 1) и (0, 0,−1). Теперь лучи, которые не пересекают эти два шара, должны
лежать в плоскости xOy. Открытый шар радиуса
√
2−1 в точке (1, 0, 0) касается заданных
двух шаров и виден из начала координат в плоскости xOy под углом α, синус половины
которого равен
√
2 − 1. Следовательно, α/2 = arcsin(
√
2 − 1), α = 0,8542. Поскольку этот
угол помещается 7,35 раз в развернутом угле 2π, то заполним окружность в плоскости xOy
четырьмя шарами радиуса
√
2− 1 с центрами в точках (1, 0, 0), (0, 1, 0), (−1, 0, 0), (0,−1, 0)
соответственно. После этого между ними можно поместить четыре шара радиусов 3− 2
√
2
с центрами в точках пересечения единичной окружности плоскости xOy с биссектрисами
координатных углов. Эти шары касаются двух соседних из предыдущих четырех. В силу
разности радиусов соседних шаров с центрами в плоскости xOy этот набор из 10 шаров
обеспечит принадлежность центра сферы 1-полувыпуклой оболочке их объединения. Как
и выше, чуть уменьшая радиусы шаров, видим, что существует набор замкнутых 10 шаров
с теми же свойствами. Получаем следующее утверждение.
Теорема 5. Для того чтобы центр двумерной сферы в трехмерном евклидовом про-
странстве принадлежал 1-полувыпуклой оболочке семейства открытых (замкнутых) ша-
ров радиуса, не превышающего (меньшего) радиуса сферы, и с центрами на сфере, доста-
точно 10 шаров.
Следствие 3. Для того чтобы центр (n − 1)-мерной сферы в евклидовом пространс-
тве R
n принадлежал (n − 2)-полувыпуклой оболочке семейства открытых (замкнутых)
18 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №5
шаров радиуса, не превышающего (меньшего) радиуса сферы, и с центрами на сфере, до-
статочно 10 шаров.
Следующие вопросы остаются открытыми.
Вопрос 1. Какое минимальное количество шаров в трехмерном евклидовом пространстве
обеспечит принадлежность центра сферы их 1-полувыпуклой оболочке?
В размерностях выше трех неясно даже существование конечного необходимого мно-
жества шаров.
Вопрос 2. Существует ли конечное количество шаров с перечисленными выше условиями
в евклидовом пространстве R
n, n > 3, которое обеспечит принадлежность центра сферы
их 1-полувыпуклой оболочке?
Если разрешить центрам шаров находиться на двух концентричных сферах, то, исполь-
зуя конструкцию для 1-выпуклости в R
n, шары и радиус второй сферы получим гомотетией
относительно центра первой сферы. Коэффициент гомотетии выберем с отрицательным
знаком так, чтобы образ гомотетии не пересекался с исходным множеством. Очевидно, что
центр сферы будет принадлежать 1-полувыпуклой оболочке шаров. Поэтому 2n+ 2 шаров
для этого достаточно.
Цитируемая литература
1. Зелинский Ю.Б. Многозначные отображения в анализе. – Kиев: Наук. думка, 1993. – 264 с.
2. Зелинский Ю.Б. Выпуклость. Избранные главы. – Kиїв, 2012. – 280 с. – (Працi Iнституту математики
НАН України, Т. 92).
3. Худайберганов Г. Об однородно-полиномиально выпуклой оболочке объединения шаров. – Москва,
1982. – Деп. в ВИНИТИ 21.02.1982, No 1772-85.
4. Шеффер Х. Топологические векторные пространства. – Москва: Мир, 1971. – 360 с.
5. Спеньер Э. Алгебраическая топология. – Москва: Мир, 1971. – 680 с.
6. Зелинский Ю.Б. Теорема Хелли и смежные вопросы // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, No 1. – С. 125–
128.
7. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. – Москва: Наука, 1985. – 336 с.
References
1. Zelinskii Yu. B. Multivalued mappings in the analysis, Kiev: Naukova Dumka, 1993 (in Russian).
2. Zelinskii Yu. B. Convexity. Selected topics. Proc. of Institute of Mathematics NASU, Kiev, 2012, Vol. 92
(in Russian).
3. Khudaiberganov G. On uniformly polynomially convex hull of the union of balls, Moscow, 1982, Manuscript
Dep. VINITI 02.21.1982, № 1772–85 (in Russian).
4. Schaefer H. Topological vector spaces. – Graduate Texts in Mathematics, Vol. 3, New York, Berlin: Springer,
1971.
5. Spanier E. Algebraic topology, New York, Berlin: Springer, 1981.
6. Zelinskii Yu. B. Ukr. Math. J., 2002, 54, No 1: 149–153.
7. Leichtweiss K. Konvexe Mengen, Berlin, New York: Springer, 1980.
Поступило в редакцию 16.12.2014Институт математики НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2015, №5 19
Ю.Б. Зелiнський, I. Ю. Виговська, М. В. Стефанчук
Задача про тiнь
Iнститут математики НАН України, Київ
Отримано повний розв’язок проблеми про тiнь, що еквiвалентно знаходженню умов на-
лежностi точки узагальнено опуклiй оболонцi сiм’ї компактних множин.
Ключовi слова: m-опукла множина,m-оболонка множини, задача про тiнь, симплекс, m-на-
пiвопукла множина, m-напiвопукла оболонка множини.
Yu.B. Zelinskii, I. Yu. Vyhovs’ka, M.V. Stefanchuk
Shadow’s problem
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev
The problem of shadow is solved. It is equivalent to the condition for a point to be in the generalized
convex hull of a family of compact sets.
Keywords: m-convex set, m-hull of a set, problem of shadow, simplex, m-semiconvex set, m-semi-
convex hull of a set.
20 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-96612 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:54:00Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зелинский, Ю.Б. Выговская, И.Ю. Стефанчук, М.В. 2016-03-18T16:02:08Z 2016-03-18T16:02:08Z 2015 Задача о тени / Ю.Б. Зелинский, И.Ю. Выговская, М.В. Стефанчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 5. — С. 15-20. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96612 513.83;517.5 Получено полное решение проблемы о тени, что эквивалентно нахождению условий принадлежности точки обобщенно выпуклой оболочке семьи компактных множеств. Отримано повний розв’язок проблеми про тiнь, що еквiвалентно знаходженню умов належностi точки узагальнено опуклiй оболонцi сiм’ї компактних множин. The problem of shadow is solved. It is equivalent to the condition for a point to be in the generalized
 convex hull of a family of compact sets. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Задача о тени Задача про тiнь Shadow’s problem Article published earlier |
| spellingShingle | Задача о тени Зелинский, Ю.Б. Выговская, И.Ю. Стефанчук, М.В. Математика |
| title | Задача о тени |
| title_alt | Задача про тiнь Shadow’s problem |
| title_full | Задача о тени |
| title_fullStr | Задача о тени |
| title_full_unstemmed | Задача о тени |
| title_short | Задача о тени |
| title_sort | задача о тени |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96612 |
| work_keys_str_mv | AT zelinskiiûb zadačaoteni AT vygovskaâiû zadačaoteni AT stefančukmv zadačaoteni AT zelinskiiûb zadačaprotinʹ AT vygovskaâiû zadačaprotinʹ AT stefančukmv zadačaprotinʹ AT zelinskiiûb shadowsproblem AT vygovskaâiû shadowsproblem AT stefančukmv shadowsproblem |