Визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик матерiалу, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження у неоднорiдному вздовж радiуса довгому порожнистому цилiндрi
Запропоновано метод визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження по товщинi довгого порожнистого неоднорiдного вздовж радiуса цилiндра. Розв’язування вiдповiдної некласичної незв’язаної стацiонарної задачi термопружностi зведено до ро...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96790 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик матерiалу, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження у неоднорiдному вздовж радiуса довгому порожнистому цилiндрi / Б.М. Калиняк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 6. — С. 46-55. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860131490488123392 |
|---|---|
| author | Калиняк, Б.М. |
| author_facet | Калиняк, Б.М. |
| citation_txt | Визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик матерiалу, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження у неоднорiдному вздовж радiуса довгому порожнистому цилiндрi / Б.М. Калиняк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 6. — С. 46-55. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Запропоновано метод визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження по товщинi довгого порожнистого неоднорiдного вздовж радiуса цилiндра. Розв’язування вiдповiдної некласичної незв’язаної стацiонарної задачi термопружностi зведено до розв’язування iнтегрального
рiвняння Фредгольма другого роду вiдносно температури. Отримано точнi аналiтичнi
вирази для температурного поля та концентрацiї однiєї зi складових двокомпонентного
функцiонально-градiєнтного матерiалу, якi в рамках моделi простої сумiшi характеристик матерiалу забезпечують нульовi радiальнi та коловi напруження при вiдсутностi масових сил i осьового навантаження. Проведено розрахунки вiдповiдних температурних полiв та термомеханiчних характеристик для реально iснуючого матерiалу.
Предложен метод определения температурного поля и термомеханических характеристик,
обеспечивающих нулевые радиальные напряжения по толщине длинного полого неоднородного вдоль радиуса цилиндра. Решение соответствующей неклассической несвязанной стационарной задачи термоупругости сведено к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно температуры. Получены точные аналитические выражения
для температурного поля в цилиндре и концентрации одной из составляющих двухкомпонентного функционально-градиентного материала, обеспечивающей в модели простой смеси нулевые радиальные и окружные напряжения в случае отсутствия массовых сил и осевой нагрузки. Проведены расчеты соответствующих температурных полей и термомеханических характеристик для реально существующих материалов.
A method to determine the temperature field and thermo-mechanical characteristics of a material,
providing zero radial stresses along a radius in the inhomogeneous long hollow cylinder is proposed.
The solution of the corresponding nonclassical steady uncoupled thermoelasticity problem is reduced
to solving a Fredholm integral equation of the second kind relative to the temperature. Exact analytical expressions for the temperature field and the concentration of one ingredient of a two-component functionally graded material providing the zero radial and hoop stresses in limits of a simple-mixture model in the absence of mass forces and the axial loading are obtained. The numerical calculations
of temperature fields and thermo-mechanical characteristics for real materials are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:44:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Б.М. Калиняк
Визначення температурного поля та термомеханiчних
характеристик матерiалу, якi забезпечують нульовi
радiальнi напруження у неоднорiдному вздовж радiуса
довгому порожнистому цилiндрi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Г.С. Кiтом)
Запропоновано метод визначення температурного поля та термомеханiчних характе-
ристик, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження по товщинi довгого порожнис-
того неоднорiдного вздовж радiуса цилiндра. Розв’язування вiдповiдної некласичної не-
зв’язаної стацiонарної задачi термопружностi зведено до розв’язування iнтегрального
рiвняння Фредгольма другого роду вiдносно температури. Отримано точнi аналiтичнi
вирази для температурного поля та концентрацiї однiєї зi складових двокомпонентного
функцiонально-градiєнтного матерiалу, якi в рамках моделi простої сумiшi характерис-
тик матерiалу забезпечують нульовi радiальнi та коловi напруження при вiдсутностi
масових сил i осьового навантаження. Проведено розрахунки вiдповiдних температур-
них полiв та термомеханiчних характеристик для реально iснуючого матерiалу.
Ключовi слова: термопружнiсть, функцiонально-градiєнтнi матерiали, обернена зада-
ча, термомеханiчнi характеристики матерiалiв, порожнистий цилiндр, вiдсутнiсть напру-
жень, iнтегральнi рiвняння, точнi розв’язки.
Сучаснi технологiї дозволяють виготовляти матерiали з заданими характеристиками для
продовження термiну експлуатацiї виробiв у специфiчних умовах при теплових та силових
навантаженнях. Це, зокрема, композити та функцiонально градiєнтнi матерiали, якi виго-
товляються з ефективними характеристиками для забезпечення мiцностi конструкцiй [1–3].
Тому виникає проблема пiдбору такого температурного поля при заданiй залежностi
характеристик матерiалу вiд координати, яке б мiнiмiзувало або забезпечувало вiдсутнiсть
однiєї iз складових напружень або перемiщень. Не менш актуальною задачею є пiдбiр таких
характеристик неоднорiдного матерiалу, який би забезпечував вiдсутнiсть перемiщень або
напружень при заданих теплових i, можливо, силових навантаженнях. Задача визначення
умов вiдсутностi температурних напружень в оболонках розв’язана в роботi [4].
У нашiй роботi пропонується спосiб визначення температурних полiв та характеристик
матерiалу у довгому неоднорiдному порожнистому цилiндрi, виготовленому з двокомпонен-
тного функцiонально градiєнтного матерiалу, шляхом зведення вiдповiдної оберненої зада-
чi некласичної стацiонарної незв’язаної задачi термопружностi до iнтегрального рiвняння
Фредгольма другого роду вiдносно однiєї з компонент тензора напружень. Оберненi задачi
термопружностi виникають також i при розв’язуваннi задач iдентифiкацiї термопружних
полiв при неповнiй iнформацiї про тепловi навантаження на поверхнях або задач оптималь-
ного за швидкодiєю нагрiвання при обмеженнях на напруження або температуру [5, 6].
Постановка задачi. Розглянемо довгий неоднорiдний вздовж радiальної змiнної r по-
рожнистий цилiндр з внутрiшнiм R1 та зовнiшнiм R2 радiусами. Цилiндр знаходиться пiд
дiєю залежного вiд радiльної координати температурного поля T (r), яке може бути визна-
© Б. М. Калиняк, 2015
46 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №6
чене експериментально або як розв’язок вiдповiдної задачi теплопровiдностi, та рiвномiрно
розподiлених силових навантажень на внутрiшнiй p1 та зовнiшнiй p2 поверхнях. Осьовi
деформацiї вважаються сталими (ez = const). Завданням є визначити стацiонарне темпера-
турне поле, яке забезпечує нульовi компоненти напруження при вiдомих характеристиках
матерiалу, та характеристики матерiалу, якi б зумовили рiвнiсть нулю однiєї або декiлькох
компонент тензора напружень при заданому стацiонарному тепловому навантаженнi.
Математично проблема зводиться до розв’язування системи лiнiйних диференцiальних
рiвнянь незв’язаної термопружностi (температурне поле визначається з рiвнянь теплопро-
вiдностi). Вiдповiднi рiвняння зi змiнними коефiцiєнтами i умови на межах мають вигляд [7]:
рiвняння рiвноваги
d
dρ
(ρ2σr) = ρσ + ρ2F, (1)
зв’язки мiж деформацiями i напруженнями
er =
1 + ν
E
σr −
ν(1 + ν)
E
σ − νez + (1 + ν)Φ(T ),
eϕ = −
1 + ν
E
σr +
1− ν2
E
σ − νez + (1 + ν)Φ(T ),
ez =
1
E
σz −
ν
E
σ +Φ(T ),
(2)
рiвняння суцiльностi у напруженнях
d
dρ
[
1− ν2
E
σ − νez + (1 + ν)αT
]
= σr
d
dρ
(
1 + ν
E
)
+
1 + ν
E
ρF, (3)
умови на межах
σr(ρ1) = −p1, σr(1) = −p2,
1∫
ρ1
ησz(η) dη =
1∫
ρ1
η[eEz + νσ − EΦ(T )]dη = p. (4)
У рiвняннях та виразах (1)–(4) ρ = r/R2 — радiальна координата; σ = σ+r σϕ — сумарнi
напруження; E(ρ) — модуль пружностi матерiалу; ν(ρ) — коефiцiєнт Пуассона; F (ρ) —
густина масових сил; Φ(ρ) = αt(ρ)[T (ρ) − T0]; T (ρ) — задане температурне поле; αt(ρ) —
коефiцiєнт лiнiйного температурного розширення; T0 — вiдлiкова температура, при якiй за
вiдсутностi деформацiй напруження дорiвнюють нулю; p1, p2, p — вiдомi навантаження.
Отже задача полягає у визначеннi змiнних коефiцiєнтiв диференцiального рiвняння,
якщо вiдомий його розв’язок i умови на межах. Оскiльки потрiбна також перевiрка отри-
маних результатiв, то запропоновано згаданi двi задачi (пряму i обернену) звести до єди-
ного iнтегрального рiвняння вiдносно однiєї зi змiнних (наприклад, радiальних напружень)
i трактувати його як рiвняння вiдносно характеристик матерiалу, напружень, температур-
ного поля залежно вiд постановки задачi, а також використовувати його для перевiрки
отриманих результатiв.
Зведення розв’язування задачi до розв’язування iнтегрального рiвняння
Фредгольма вiдносно радiальних напружень. Якщо диференцiальнi рiвняння рiвнова-
ги (1) та сумiсностi (3) проiнтегрувати за радiальною змiнною, виключити з них сумарнi
ISSN 1025-6415 Допов. НАН України, 2015, №6 47
напруження, використати умови на межах, iнтегральну умову (4) i зв’язки мiж деформа-
цiями та напруженнями (3), то вiдповiдну задачу термопружностi (1)–(4) можна звести
до розв’язування iнтегрального рiвняння Фредгольма другого роду вiдносно радiальних
напруження σr(ρ) [7]:
σr(ρ) +
1∫
ρ1
K(ρ, η)σr(η) dη = Q(ρ), (5)
де
K(ρ, η) =
{
K1(ρ, η), η < ρ,
K2(ρ, η), η > ρ,
K1(ρ, η) =
1
ρ2
[V (η) − V (η)Z1(ρ) +W (η)Z2(ρ)]
d
dη
(
1 + ν
E
)
,
K2(ρ, η) =
1
ρ2
[V (ρ)− V (η)Z1(ρ) +W (η)Z2(ρ)]
d
dη
(
1 + ν
E
)
,
Z1(ρ) =
V (1)V (ρ)−W (1)W (ρ)
[V 2(1) −W 2(1)]
, Z2(ρ) =
W (1)V (ρ)− V (1)W (ρ)
V 2(1)−W 2(1)
,
Q(ρ) =
V (ρ)
ρ2
dV1 (1)− dW2 (1)
V 2(1) −W 2(1)
+
W (ρ)
ρ2
dV2 (1) − dW1 (1)
V 2(1) −W 2(1)
+ f(ρ),
f(ρ) = −
1
ρ2
ρ∫
ρ1
Eη
1− ν2
(1 + ν)Φ(T (η)) dη −
1
ρ2
ρ∫
ρ1
[V (ρ)− V (η)]
1 + ν
E
ηFdη −
−
1
ρ2
ρ∫
ρ1
η2Fdη −
1
ρ2
ρ21p1,
V (ρ) =
ρ∫
ρ1
ηE
1− ν2
dη, W (ρ) =
ρ∫
ρ1
ηEν
1− ν2
dη, d1 = −p2 − f(1),
d2 = p+
1∫
ρ1
ηEΦ(T )dη +
1∫
ρ1
[W (1) −W (η)]
1 + ν
E
ηFdη +
1∫
ρ1
ηEν
1− ν2
(1 + ν)Φ(T ) dη.
(6)
Як випливає з (6), ядро iнтегрального рiвняння (5) є неперервним. Iнтегральне рiвнян-
ня (5) є рiвнянням Фредгольма другого роду i дозволяє визначити радiальнi напруження
з урахуванням умов на поверхнях. Тодi сумарнi напруження можна визначити з рiвняння,
отриманого iнтегруванням рiвняння суцiльностi (3) з урахуванням умов на межах (4) [7]:
σ =
E
1− ν2
ρ∫
ρ1
σr
d
dη
(
1 + ν
E
)
dη +A
E
1− ν2
+ ez
E
1− ν2
ν −
E
1− ν2
ρ∫
ρ1
η
1 + ν
E
F dη −
−
E
1− ν2
(1 + ν)Φ(T ),
48 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №6
де
A =
d1V (1) − d2W (1)
V 2(1) −W 2(1)
−
1∫
ρ1
σr(η)
d
dη
(
1 + ν
E
){
1−
V (1)V (η)−W (1)W (η)
V 2(1)−W 2(1)
}
dη,
ez =
d2V (1)− d1W (1)
V 2(1)−W 2(1)
−
1∫
ρ1
σr(η)
d
dη
(
1 + ν
E
)
W (1)V (η) − V (1)W (η)
V 2(1)−W 2(1)
dη,
коловi напруження — з формули σϕ(ρ) = σ(ρ)−σr(ρ), деформацiї — з формул (2), радiальне
перемiщення — з виразу Кошi для деформацiй та перемiщень у цилiндричнiй системi коор-
динат ur(ρ) = ρeϕ. Тут ur(ρ) = ur(ρR2)/R2 — перемiщення розмiрностi зовнiшнього радiуса;
ur(r) = ur(ρR2) — перемiщення, осьовi напруження — зi зв’язкiв мiж деформацiями та на-
пруженнями (2) при використаннi формул (7).
Умова рiвностi нулю радiальних напружень — це рiвнiсть правої сторони нулю
iнтегрального рiвняння, тобто Q(ρ) = 0. Припустимо, що масовi сили вiдсутнi, тодi
1
ρ2[V 2(1) −W 2(1)]
{V (ρ)[dV1 (1)− dW2 (1)] +W (ρ)[dV2 (1)− dW1 (1)]} + f(ρ) = 0. (7)
Якщо використати вирази для V (ρ) iW (ρ) (6), то з (7) отримаємо таке iнтегральне рiвняння,
яке зв’язує температурне поле, навантаження i фiзико-механiчнi характеристики матерiалу:
(1 + ν(ρ))Φ(T (ρ)) −
(1 + ν(ρ))
V (1) +W (1)
1∫
ρ1
dV (η)
dη
(1 + ν(η))Φ(T (η))dη =
= −p
W (1)− V (1)ν(ρ)
V 2(1)−W 2(1)
. (8)
Це рiвняння є необхiдною умовою iснування нульових радiальних напружень у неоднорiдно-
му порожнистому цилiндрi. Його розв’язком, як рiвняння з виродженим ядром i власним
значенням ядра, є [8]:
(1 + ν(ρ))Φ(T (ρ)) = C̃
(1 + ν(ρ))
V (1) +W (1)
− p
W (1)− V (1)ν(ρ)
V 2(1) −W 2(1)
,
звiдки
T (ρ) = C̃
1
α(ρ)[V (1) +W (1)]
− p
W (1)− V (1)ν(ρ)
α(ρ)[V 2(1)−W 2(1)](1 + ν(ρ))
+ T0. (9)
У випадку p = 0 або ν(ρ) = const вираз для температури (9) спрощується
T (ρ) =
C
α(ρ)
+ T0, (10)
де C = C̃/[V (1) +W (1)]. Вирази (9) i (10) є умовами рiвностi нулю радiальних напружень.
ISSN 1025-6415 Допов. НАН України, 2015, №6 49
Стацiонарнi температурнi поля, якi приводять до вiдсутностi радiальних на-
пружень. Розподiли температури (9) або (10) повиннi бути розв’язком неоднорiдного рiв-
няння теплопровiдностi
1
ρ
d
dρ
(
ρλ(ρ)
dT (ρ)
dρ
)
+ qv(ρ) = 0 (11)
з класичними умовами на поверхнях ρ = ρ1 i ρ = 1
λ(ρ1)
dT (ρ1)
dρ
+ β1[T (ρ1)− T1] = 0,
λ(1)
dT (1)
dρ
+ β2[T (1) − T2] = 0,
(12)
де β1, β2 — коефiцiєнти теплоообмiну з середовищами, якi мають температури T1, T2 вiд-
повiдно. З рiвностей (12) i (10) бачимо, що умови на поверхнях цилiндра повиннi бути
залежними, оскiльки
−λ(ρ1)
C
α(ρ1)2
dα(ρ1)
dρ
+ β1
C
α(ρ1)
= β1T1 − β1T0,
−λ(1)
C
α(1)2
dα(1)
dρ
+ β2
C
α(1)
= β2T2 − β2T0. (13)
Мiж ними повинен бути такий зв’язок:
λ(ρ1)
dT (ρ1)
dρ
+ β1[T (ρ1)− T1] = λ(1)
dT (1)
dρ
+ β2[T (1)− T2],
або, з урахуванням виразiв (13),
T2
T1
=
[
1
α(1)
−
λ(1)
β2α2(1)
dα(1)
dρ
][
1
α(ρ1)
−
λ(ρ1)
β1α2(ρ1)
dα(ρ1)
dρ
]−1
. (14)
Аналогiчнi виразу (14) простiшi формули можна записати для умов першого i другого роду
на межах. Якщо вираз для температури (10) пiдставити в (11), то для теплових джерел,
якi забезпечують потрiбне температурне поле, отримаємо вираз
qv(ρ) = −C
λ(ρ)
α2(ρ)
[
1
ρ
dα(ρ)
dρ
− 2
(
dα(ρ)
dρ
)2 1
α(ρ)
+
d2α(ρ)
dρ2
]
− C
1
α2(ρ)
dλ(ρ)
dρ
dα(ρ)
dρ
. (15)
Характеристики матерiалiв, якi забезпечують нульовi радiальнi напружен-
ня при заданих умовах теплообмiну з поверхонь. Важливим є випадок вiдсутнос-
тi об’ємних теплових джерел, оскiльки їх створення пов’язано з практичними технiчними
труднощами. Отже, у випадку рiвностi нулюi iнтенсивностi теплових джерел з виразу (15)
матимемо диференцiальне рiвняння, яке пов’язує питому теплоємнiсть та коефiцєнт лi-
нiйного температурного розширення, тобто зв’язок мiж характеристиками матерiалiв, якi
забезпечують нулю радiальнi напруження:
dλ(ρ)
dρ
+ λ(ρ)
[
1
dα(ρ)
dρ
d2α(ρ)
dρ2
− 2
(
dα(ρ)
dρ
)
1
α(ρ)
+
1
ρ
]
= 0. (16)
50 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №6
Воно має точнi розв’язки вiдносно λ(ρ), α(ρ):
λ(ρ) = λ(ρ1) exp
(
−
ρ∫
ρ1
ψ(η) dη
)
, (17)
α(ρ) = −
1
2
ln
(
−2C1
∫
1
ρλ(ρ)
dρ− 2C2
)
, (18)
де C1, C2 — довiльнi сталi,
ψ(ρ) =
d
dρ
ln
{
1
[α(ρ)]2
dα(ρ)
dρ
}
+
1
ρ
. (19)
Оскiльки проблема створення матерiалу з довiльними наперед заданими механiчни-
ми i теплофiзичними характеристиками, взагалi кажучи, не вирiшена, то скористаємося
найпростiшою моделлю характеристик двокомпонентного матерiалу Фойгта, яка дозволяє
виразити характеристики двокомпонентного матерiалу через характеристики його складо-
вих [9]:
D(ρ) = D1S1(ρ) +D2S2(ρ), (20)
де D1, D2 — характеристики складових матерiалу; S1(ρ) — концентрацiя першого матерiалу
в другому; S2(ρ) — концентрацiя другого матерiалу в першому, S1(ρ) + S2(ρ) = 1. Якщо
врахувати, що вiд концентрацiї матерiалiв у двокомпонентному ФГМ залежать як темпера-
тура, так i напруження, то умова рiвностi нулю радiальних напружень, яка повинна бути
одночасно i розв’язком рiвняння теплопровiдностi, приводить до такого рiвняння вiдносно
концентрацiї матерiалу:
C1
ρ∫
ρ1
dη
η[λ2 + (λ−1 λ2)S1(η)]
+C2 =
C
α2 + (α1 − α2)S1(ρ)
+ T0. (21)
Розв’язком iнтегрального рiвняння (21) пiсля його диференцiювання з наступним розв’язу-
ванням отриманого вiдповiдного нелiнiйного диференцiального рiвняння першого порядку є
S1(ρ) =
α1λ2 − α2λ1 − α2WL(z)(λ1 − λ2)
(α1 − α2)(λ1 − λ2)WL(z)
, z =
(α1λ2 − α2λ1)ρ
αλeBαλ
(λ1 − λ2)
, (22)
де αλ = B(α1−α2)
2/(λ1−λ2); B = C1/(C(α−
1 α2)); B — довiльна стала; WL(z) — W -функцiя
Лямберта [10].
Приклади. Розглянемо двокомпонентний цилiндр при вiдсутностi масових сил i поз-
довжнiх навантажень (p = 0), виготовлений з функцiонально-градiєнтного матерiалу з та-
ким характеристиками його складових (керамiка з iндексом c i сталь з iндексом m): νm =
= 0,32, νc = ν1 = 0,24, λc = λ1 = 10,12 Вт/(мК), λm = λ2 = 12,14 Вт/(мК), Ec = E1 =
= 3,22 · 1011 Па, Em = E2 = 3,2 · 1011 Па, αm = 15,32 · 10−6 1/K, αc = 7,47 · 10−6 1/K.
Температура, при якiй напруження вiдсутнi, −T0 = 300 K.
1. Нехай характеристики описуються формулою (20) з S1(ρ) = ((ρ − ρ1)/(1 − ρ1))
s, де
s — стала, яка набуває значень s = si, i = 1, 3, s1 = 1, s2 = 2, s3 = 4. Тодi вiдповiдне тем-
пературне поле та тепловi джерела, обчисленi за формулами (10), (15), якi задовольняють
ISSN 1025-6415 Допов. НАН України, 2015, №6 51
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3
рiвняння теплопровiдностi (11) з заданими температурами на поверхнях, що вiдповiдають
перепаду температур 200 K мiж поверхнями i приводять до нульових радiальних напру-
жень, зображенi на рис. 1, 2.
2. Вважаємо, що концентрацiя S1(ρ) невiдома. Задамо її значення на межах цилiндра
S1(ρ1) = 1, S1(1) = 0. Оскiльки вона також впливає на коефiцiєнт теплопровiдностi, а вiдпо-
вiдне температурне поле повинно задовольняти однорiдне рiвняння стацiонарної теплопро-
вiдностi з заданими температурами на поверхнi, то використання формул (21) дає залеж-
ностi концентрацiї та температури вiд радiальної змiнної (рис. 3). Використання формули
(20) дозволяє обчислити характеристики матерiалу. Результати вiдповiдних значень коефi-
цiєнтiв теплопровiдностi та теплового лiнiйного розширення зображенi на рис. 4.
Таким чином, зведення задачi термопружностi до розв’язування iнтегрального рiвняння
Фредгольма другого роду вiдносно однiєї з компонент тензора напружень дозволило
52 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №6
Рис. 4
використовувати однi i тi ж запропонованi iнтегральнi рiвняння для розв’язання прямих
задач визначення термонапруженого стану порожнистого неоднорiдного цилiндра i обер-
нених задач керування напруженнями пiдбором теплових джерел або характеристиками
матерiалу неоднорiдних тiл;
отримати точний аналiтичний вираз, який пов’язує навантаження, температурне поле,
характеристики матерiалу так, що забезпечують нульовi радiальнi напруження у цилiндрi;
отримати точнi аналiтичнi вирази для розподiлу температури, концентрацiї, характе-
ристик матерiалу, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження у довгому неоднорiдному
порожнистому цилiндрi в реально iснуючому матерiалi;
як наслiдок, одночасно забезпечити нульовi коловi напруження при вiдсутностi масових
сил на основi виконання рiвняння рiвноваги.
Запропонований пiдхiд дозволяє також пiдбирати неоднорiднiсть характеристик мате-
рiалу для забезпечення нульових напружень i у випадку рiзних типiв умов для температури
на поверхнях порожнистого цилiндра.
Цитована лiтература
1. Abrinia K., Naee H., Sadeghi F., Djavanroodi F. New analysis for the FGM thick cylinders under combined
pressure and temperature loading // Amer. J. Appl. Sci. – 2008. – 5, No 7. – P. 852–859.
2. Bohidar S.K., Sharma R., Mishra P.R. Functionally graded materials: a critical review // Intern. J. Re-
search (IJR). – 2014. – 1, No 7. – P. 289–301.
3. Functionally graded materials in the 21 st cent.: a workshop on trends and forecasts / Ed. by Kiyoshi
Ichikawa. – 2001. – Vol. 16. – 242 p.
4. Пiдстригач Я.С. Вибранi працi. – Київ: Наук. думка, 1995. – 460 с.
5. Вигак В.М. Управление температурными напряжениями и перемещениями. – Киев: Наук. думка,
1988. – 312 с.
6. Кушнiр Р.М., Попович В.С., Ясiнський А.В. Оптимiзацiя та iдентифiкацiя в термомеханiцi неодно-
рiдних тiл. – Львiв: СПОЛОМ, 2011. – 256 с. – (Моделювання та оптимiзацiя в термомеханiцi еле-
ктропровiдних неоднорiдних тiл / Пiд заг. ред. Я.И. Бурака, Р.М. Кушнiра: В 5 т. – Т. 5.).
7. Калиняк Б.М. Рiвняння Фредгольма 2-го роду вiдносно радiальних напружень для визначення тер-
мопружного стану неоднорiдного порожнистого довгого цилiндра // Мат. методи та фiз.-мех. поля. –
2013. – 56, № 3. – С. 141–147.
8. Kanwal R.P. Linear integral equations: theory and technique. – New York: Academic Press. – 1971. –
298 p.
ISSN 1025-6415 Допов. НАН України, 2015, №6 53
9. Shen H.-S. Functionally graded materials: nonlinear analysis of plates and shells. – Boca Raton: CRC
Press, 2009. – 280 p.
10. Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D.E.G., Jeffrey D. J., Knuth D. E. On the Lambert W function //
Advances in Comput. Math. – 1996. – 5. – P. 329–359.
References
1. Abrinia K., Naee H., Sadeghi F., Djavanroodi F. Amer. J. oAppl. Sci., 2008, 5, No 7: 852–859.
2. Bohidar S.K., Sharma R., Mishra P.R. Intern. J. Research (IJR), 2014, 1, No 7: 289–301.
3. Functionally graded materials in the 21 st cent.: a workshop on trends and forecasts, ed. by Kiyoshi
Ichikawa, 2001, 16.
4. Pidstryhach Ya. S. Selected works, Kiev: Naukova Dumka, 1995 (in Ukrainian).
5. Vihak V.M. Optimal control of thermal stresses and displacements, Kiev: Naukova Dumka, 1988 (in Rus-
sian).
6. Kushnir R.M., Popovych V. S., Yasinskyy A.V. Optimization and identification in thermo-mechanics of
inhomogeneous bodies, L’viv: SPOLOM, 2011 (in Ukrainian).
7. Kalynyak B.M. J. of Math. Sciences, 2015, No 3: 659–666.
8. Kanwal R. P. Linear integral equations: theory and technique, New York, London, Toronto, Sydney, San-
Francisco: Academic Press, 1971.
9. Shen H.-S. Functionally graded materials: nonlinear analysis of plates and shells, Boca Raton: CRC Press,
2009.
10. Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D. E.G., Jeffrey D. J., Knuth D. E. Advances in Comput. Math., 1996,
5: 329–359.
Надiйшло до редакцiї 21.01.2015Iнститут прикладних проблем механiки
i математики iм. Я.С. Пiдстригача
НАН України, Львiв
Б.Н. Калыняк
Определение температурного поля и термомеханических
характеристик материала, обеспечивающих нулевые радиальные
напряжения в неоднородном вдоль радиуса длинном полом
цилиндре
Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН
Украины, Львов
Предложен метод определения температурного поля и термомеханических характеристик,
обеспечивающих нулевые радиальные напряжения по толщине длинного полого неоднородно-
го вдоль радиуса цилиндра. Решение соответствующей неклассической несвязанной стаци-
онарной задачи термоупругости сведено к решению интегрального уравнения Фредгольма
второго рода относительно температуры. Получены точные аналитические выражения
для температурного поля в цилиндре и концентрации одной из составляющих двухкомпо-
нентного функционально-градиентного материала, обеспечивающей в модели простой смеси
нулевые радиальные и окружные напряжения в случае отсутствия массовых сил и осевой
нагрузки. Проведены расчеты соответствующих температурных полей и термомеханичес-
ких характеристик для реально существующих материалов.
Ключевые слова: термоупругость, функционально-градиентные материалы, обратная зада-
ча, термомеханические характеристики материалов, полый цилиндр, отсутствие напряжений,
интегральные уравнения, точные решения.
54 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №6
B.M. Kalynyak
Determining the temperature field and thermomechanical
characteristics of a material, which ensure zero radial stresses in a long
hollow cylinder inhomogeneous in the radial direction
Ya. S. Pidstryhach Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics of the
NAS of Ukraine, Lviv
A method to determine the temperature field and thermo-mechanical characteristics of a material,
providing zero radial stresses along a radius in the inhomogeneous long hollow cylinder is proposed.
The solution of the corresponding nonclassical steady uncoupled thermoelasticity problem is reduced
to solving a Fredholm integral equation of the second kind relative to the temperature. Exact analyti-
cal expressions for the temperature field and the concentration of one ingredient of a two-component
functionally graded material providing the zero radial and hoop stresses in limits of a simple-mixture
model in the absence of mass forces and the axial loading are obtained. The numerical calculations
of temperature fields and thermo-mechanical characteristics for real materials are presented.
Keywords: thermo-elasticity, functional-graded materials, inverse problem, thermo-mechanical
characteristics of materials, hollow cylinder, absence of stresses, integral equations, exact solutions.
ISSN 1025-6415 Допов. НАН України, 2015, №6 55
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-96790 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:44:45Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Калиняк, Б.М. 2016-03-20T14:30:00Z 2016-03-20T14:30:00Z 2015 Визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик матерiалу, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження у неоднорiдному вздовж радiуса довгому порожнистому цилiндрi / Б.М. Калиняк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 6. — С. 46-55. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96790 539.3 Запропоновано метод визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження по товщинi довгого порожнистого неоднорiдного вздовж радiуса цилiндра. Розв’язування вiдповiдної некласичної незв’язаної стацiонарної задачi термопружностi зведено до розв’язування iнтегрального
 рiвняння Фредгольма другого роду вiдносно температури. Отримано точнi аналiтичнi
 вирази для температурного поля та концентрацiї однiєї зi складових двокомпонентного
 функцiонально-градiєнтного матерiалу, якi в рамках моделi простої сумiшi характеристик матерiалу забезпечують нульовi радiальнi та коловi напруження при вiдсутностi масових сил i осьового навантаження. Проведено розрахунки вiдповiдних температурних полiв та термомеханiчних характеристик для реально iснуючого матерiалу. Предложен метод определения температурного поля и термомеханических характеристик,
 обеспечивающих нулевые радиальные напряжения по толщине длинного полого неоднородного вдоль радиуса цилиндра. Решение соответствующей неклассической несвязанной стационарной задачи термоупругости сведено к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно температуры. Получены точные аналитические выражения
 для температурного поля в цилиндре и концентрации одной из составляющих двухкомпонентного функционально-градиентного материала, обеспечивающей в модели простой смеси нулевые радиальные и окружные напряжения в случае отсутствия массовых сил и осевой нагрузки. Проведены расчеты соответствующих температурных полей и термомеханических характеристик для реально существующих материалов. A method to determine the temperature field and thermo-mechanical characteristics of a material,
 providing zero radial stresses along a radius in the inhomogeneous long hollow cylinder is proposed.
 The solution of the corresponding nonclassical steady uncoupled thermoelasticity problem is reduced
 to solving a Fredholm integral equation of the second kind relative to the temperature. Exact analytical expressions for the temperature field and the concentration of one ingredient of a two-component functionally graded material providing the zero radial and hoop stresses in limits of a simple-mixture model in the absence of mass forces and the axial loading are obtained. The numerical calculations
 of temperature fields and thermo-mechanical characteristics for real materials are presented. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик матерiалу, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження у неоднорiдному вздовж радiуса довгому порожнистому цилiндрi Определение температурного поля и термомеханических характеристик материала, обеспечивающих нулевые радиальные напряжения в неоднородном вдоль радиуса длинном полом цилиндре Determining the temperature field and thermomechanical characteristics of a material, which ensure zero radial stresses in a long hollow cylinder inhomogeneous in the radial direction Article published earlier |
| spellingShingle | Визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик матерiалу, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження у неоднорiдному вздовж радiуса довгому порожнистому цилiндрi Калиняк, Б.М. Механіка |
| title | Визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик матерiалу, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження у неоднорiдному вздовж радiуса довгому порожнистому цилiндрi |
| title_alt | Определение температурного поля и термомеханических характеристик материала, обеспечивающих нулевые радиальные напряжения в неоднородном вдоль радиуса длинном полом цилиндре Determining the temperature field and thermomechanical characteristics of a material, which ensure zero radial stresses in a long hollow cylinder inhomogeneous in the radial direction |
| title_full | Визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик матерiалу, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження у неоднорiдному вздовж радiуса довгому порожнистому цилiндрi |
| title_fullStr | Визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик матерiалу, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження у неоднорiдному вздовж радiуса довгому порожнистому цилiндрi |
| title_full_unstemmed | Визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик матерiалу, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження у неоднорiдному вздовж радiуса довгому порожнистому цилiндрi |
| title_short | Визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик матерiалу, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження у неоднорiдному вздовж радiуса довгому порожнистому цилiндрi |
| title_sort | визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик матерiалу, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження у неоднорiдному вздовж радiуса довгому порожнистому цилiндрi |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96790 |
| work_keys_str_mv | AT kalinâkbm viznačennâtemperaturnogopolâtatermomehaničnihharakteristikmaterialuâkizabezpečuûtʹnulʹoviradialʹninapružennâuneodnoridnomuvzdovžradiusadovgomuporožnistomucilindri AT kalinâkbm opredelenietemperaturnogopolâitermomehaničeskihharakteristikmaterialaobespečivaûŝihnulevyeradialʹnyenaprâženiâvneodnorodnomvdolʹradiusadlinnompolomcilindre AT kalinâkbm determiningthetemperaturefieldandthermomechanicalcharacteristicsofamaterialwhichensurezeroradialstressesinalonghollowcylinderinhomogeneousintheradialdirection |