Плоская задача об образовании шейки в пластине с трещиной
Даны постановка и решение нелинейной задачи об образовании шейки при растяжении
 пластины с трещиной для кусочно-линейной диаграммы деформирования материала.
 Применением преобразования Фурье и дискретизации уравнений задача сведена к системе нелинейных алгебраических уравнений. Иссл...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96791 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Плоская задача об образовании шейки в пластине с трещиной / Л.П. Хорошун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 6. — С. 56-67. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860150852283531264 |
|---|---|
| author | Хорошун, Л.П. |
| author_facet | Хорошун, Л.П. |
| citation_txt | Плоская задача об образовании шейки в пластине с трещиной / Л.П. Хорошун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 6. — С. 56-67. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Даны постановка и решение нелинейной задачи об образовании шейки при растяжении
пластины с трещиной для кусочно-линейной диаграммы деформирования материала.
Применением преобразования Фурье и дискретизации уравнений задача сведена к системе нелинейных алгебраических уравнений. Исследовано влияние нелинейности на распределение глубины шейки и раскрытие трещины возле ее вершины.
Дано постановку i розв’язок нелiнiйної задачi про утворення шийки при розтягу пластини з трiщиною для кусково-лiнiйної дiаграми деформування матерiалу. Застосуванням перетворення Фур’є та дискретизацiї рiвнянь задачу зведено до системи нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Дослiджено вплив нелiнiйностi на розподiл глибини шийки i розкриття трiщини бiля її вершини.
The formulation and the solution of the nonlinear problem of formation of a neck in the cracked
plate under tension for the piecewise linear diagram of deformation of a material are considered.
With the application of the Fourier transformation and the discretization of equations, the problem
is reduced to a system of nonlinear algebraic equations. The influence of a nonlinearity on the crack
opening at the top and on the neck depth distribution is investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:51:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Член-корреспондент НАН Украины Л.П. Хорошун
Плоская задача об образовании шейки в пластине
с трещиной
Даны постановка и решение нелинейной задачи об образовании шейки при растяжении
пластины с трещиной для кусочно-линейной диаграммы деформирования материала.
Применением преобразования Фурье и дискретизации уравнений задача сведена к систе-
ме нелинейных алгебраических уравнений. Исследовано влияние нелинейности на распре-
деление глубины шейки и раскрытие трещины возле ее вершины.
Ключевые слова: диаграмма деформирования, трещина, нелинейная задача, шейка,
дискретизация, глубина шейки, раскрытие трещины.
Исходные уравнения. Будем исходить из физически нелинейного закона деформирова-
ния материала, описываемого соответственно линейными и нелинейными зависимостями
между объемными и девиаторными частями напряжений и деформаций
σrr = 3Kεrr, σ′ij = 2µ(Jε)ε
′
ij , Jε = (ε′ijε
′
ij)
1/2 (i, j, r = 1, 2, 3), (1)
откуда следуют соотношения
σij = 2µ(Jε)
(
ν(Jε)
1− 2ν(Jε)
εrrδij + εij
)
, ν(Jε) =
3K − 2µ(Jε)
6K + 2µ(Jε)
(i, j, r = 1, 2, 3), (2)
где K, µ, ν — соответственно модули объемной деформации, сдвига и коэффициент Пу-
ассона.
Примем, что модуль сдвига определяется функцией
µ(Jε) =
µ0, Jε <
k
2µ0
,
µ′ +
(
1−
µ′
µ0
)
k
2Jε
, Jε >
k
2µ0
,
(3)
где µ0, µ
′, k = σ0
√
2/3 — постоянные; σ0 — предел текучести материала. Для одноосной де-
формации при µ′ > 0, µ′ = 0, µ′ < 0 имеет место соответственно линейное упрочнение, иде-
альное упруго-пластическое деформирование, линейный ниспадающий участок диаграммы
деформирования.
Если ввести замену
σij =
1
kµ
σij, µ =
µ
µ0
, (4)
то соотношения (2) примут вид
σij = 2µ0
(
ν
1− 2ν
εrrδij + εij
)
, µ0 =
µ0
k
(i, j, r = 1, 2, 3). (5)
© Л.П. Хорошун, 2015
56 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №6
Полагая в (5) соответственно ε13 = ε23 = ε33 = 0 и σ13 = σ23 = σ33 = 0, находим
выражения инварианта Jε для плоского деформированного состояния
Jε =
1
2µ0
Jσ, Jσ =
√
2
3
[(1− ν + ν2)(σ11 + σ22)
2 − 3(σ11σ22 − σ212)]
1/2 (6)
и для плоского напряженного состояния
Jε =
1
2µ0
Jσ, Jσ =
√
2
3
(σ211 + σ222 − σ11σ22 + 3σ212)
1/2. (7)
При этом безразмерный модуль сдвига µ, согласно (3), (4), (6), (7), определяется формулой
µ(Jσ) = 1− γ(Jσ); γ(Jσ) =
0, Jσ < 1;
(1− µ′)
(
1−
1
Jσ
)
, Jσ > 1;
(
µ′ =
µ′
µ0
)
. (8)
Из соотношений (5) следуют выражения для деформаций
εij =
1
2µ0
(σij − ν̂σrrδij) (i, j, r = 1, 2), (9)
где ν̂ = ν для плоского деформированного и ν̂ = ν/(1 + ν) — для плоского напряженного
состояний. Согласно (2)–(4), (8), коэффициент ν̂ можно представить в виде суммы ν̂ = ν̂0+
+ ν̂1, где
ν̂ =
ν0
1 + ν0
, ν̂1 =
2
3
δγ(Jσ), ν0 =
3K − 2µ0
6K + 2µ0
, δ =
1− 2ν0
2(1 + ν0)
(10)
для плоского напряженного состояния и
ν̂0 = ν0, ν̂1 =
3δγ(Jσ)
2(1 + δ)[1 + δ + δγ(Jσ)]
(11)
для плоского деформированного состояния.
В случае плоского напряженного состояния, имеющего место в тонкой пластине под
воздействием сил в ее плоскости, в зоне больших напряжений растяжения, превышающих
предел текучести, могут появляться остаточные деформации ε33, обусловленные эффек-
том Пуассона, приводящие к образованию шейки. Для описания этого явления необходимо
вышеприведенные уравнения состояния дополнить дифференциальными уравнениями рав-
новесия относительно усилий sij , действующих в плоскости x1x2 на пластину
sij,j = 0; sij,j = 2hσij (i, j = 1, 2), (12)
где 2h — толщина пластины, зависящая от напряжений, которая, согласно (5), (10), опре-
деляется через исходную постоянную толщину 2h0 и напряжения соотношениями
2h = 2h0(1 + ε33), ε33 = −(ν̂0 + ν̂1)
σ11 + σ22
2µ0
. (13)
С учетом (4) уравнения равновесия (12) приводятся к виду
σij,j + f i = 0, f i =
1
hµ
(hµ),jσij (i, j = 1, 2). (14)
ISSN 1025-6415 Допов. НАН України, 2015, №6 57
Подставляя (9) в уравнение совместности деформаций
ε11,22 + ε22,11 = 2ε12,12, (15)
приходим к уравнению совместности относительно модифицированных напряжений
[(1− ν̂0)σ11 − ν̂0σ22],22 + [(1− ν̂0)σ22 − ν̂0σ11],11 − f3,rr = 2σ12,12,
f3 = ν̂1σrr (r = 1, 2).
(16)
Решение однородных дифференциальных уравнений (14), (16) определяется через функцию
напряжений
σ011 = ϕ,22; σ022 = ϕ,11; σ012 = −ϕ,12, (17)
удовлетворяющую бигармоническому уравнению
ϕ,iijj = 0 (i, j = 1, 2). (18)
Частное решение неоднородных уравнений (14), (16), которое можно построить методом
преобразований Фурье для бесконечной области [1], представляется через интегралы по
области D тела
σ∗11 = −
1
4π(1− ν̂0)
∫
D
(xi − ξj)f j(ξr)
(xi − ξi)(xi − ξi)
dξ1dξ2 −
−
1
2π
∫
D
(x1 − ξ1)
2 − (x2 − ξ2)
2
[(xi − ξi)(xi − ξi)]2
(xj − ξj)f j(ξr) dξ1dξ2 −
−
1− 2ν̂0
2π(1− ν̂0)
∫
D
(x1 − ξ1)(x2 − ξ2)eij(xi − ξi)f j(ξr)
[(xi − ξi)(xi − ξi)]2
dξ1dξ2 +
+
1
2π(1− ν̂0)
∫
D
(x1 − ξ1)
2 − (x2 − ξ2)
2
[(xi − ξi)(xi − ξi)]2
f3(ξr) dξ1dξ2;
σ∗22 = −
1
4π(1− ν̂0)
∫
D
(xj − ξj)f j(ξr)
(xi − ξi)(xi − ξi)
dξ1dξ2 +
+
1
2π
∫
D
(x1 − ξ1)
2 − (x2 − ξ2)
2
[(xi − ξi)(xi − ξi)]2
(xj − ξj)f j(ξr) dξ1dξ2 + (19)
+
1− 2ν̂0
2π(1− ν̂0)
∫
D
(x1 − ξ1)(x2 − ξ2)
[(xi − ξi)(xi − ξi)]2
eij(xi − ξi)f j(ξr)dξ1dξ2 −
−
1
2π(1− ν̂0)
∫
D
(x1 − ξ1)
2 − (x2 − ξ2)
2
[(xi − ξi)(xi − ξi)]2
f3(ξr)dξ1dξ2;
σ∗12 = −
1− 2ν̂0
4π(1− ν̂0)
∫
D
(x1 − ξ1)
2 − (x2 − ξ2)
2
[(xi − ξi)(xi − ξi)]2
eij(xi − ξi)f j(ξr) dξ1dξ2 −
58 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №6
−
1
π
∫
D
(x1 − ξ1)(x2 − ξ2)(xj − ξj)f j(ξr)
[(xi − ξi)(xi − ξi)]2
dξ1dξ2 +
+
1
π(1− ν̂0)
∫
D
(x1 − ξ1)(x2 − ξ2)f3(ξr)
[(xi − ξi)(xi − ξi)]2
dξ1dξ2 (i, j, r = 1, 2),
где e11 = e22 = 0, e12 = −e21 = 1. Постоянные интегрирования определяются из граничных
условий для общего решения σij = σ0ij + σ∗ij , состоящего из суммы (17), (19). Таким обра-
зом приходим к системе нелинейных интегро-дифференциальных уравнений относительно
модифицированных напряжений σ11, σ22, σ12.
Растяжение пластины с трещиной. Рассмотрим плоское напряженное состояние
пластины с внутренней трещиной (−c 6 x 6 c, y = 0) при заданной на бесконечности
нормальной равномерно распределенной растягивающей нагрузке p0, действующей вдоль
оси y. Так как распределение напряжений имеет симметрию относительно осей x и y, то
достаточно ограничиться рассмотрением первого квадранта D1 области тела D. При этом
необходимо учесть влияние остальных квадрантов D2, D3, D4 при построении частного
решения (19). Тогда приходим к соотношениям
σ∗11(x, y) =
∫
D1
{[Pi(x, y; ξ, η) +Qi(x, y; ξ, η)]f i(ξ, η) + P3(x, y; ξ, η)f3(ξ, η)}dξdη;
σ∗22(x, y) =
∫
D1
{[Pi(x, y; ξ, η) −Qi(x, y; ξ, η)]f i(ξ, η)− P3(x, y; ξ, η)f3(ξ, η)}dξdη;
σ∗12(x, y) =
∫
D1
[Si(x, y; ξ, η)f i(ξ, η) + S3(x, y; ξ, η)f3(ξ, η)]dξdη (i, j = 1, 2),
(20)
где функции влияния определяются формулами
P1(x, y; ξ, η) = −
1
4π(1− ν̂0)
(
α1
β1
−
α2
β2
−
α2
β3
+
α1
β4
)
;
P2(x, y; ξ, η) = −
1
4π(1− ν̂0)
(
α3
β1
+
α3
β2
−
α4
β3
−
α4
β4
)
;
P3(x, y; ξ, η) =
1
2π(1− ν̂0)
(
γ1
β21
+
γ2
β22
+
γ3
β23
+
γ4
β24
)
;
Q1(x, y; ξ, η) = −
1− 2ν̂0
2π(1 − ν̂0)
(
α1α
2
3
β21
−
α2α
2
3
β22
−
α2α
2
4
β23
+
α1α
2
4
β24
)
−
−
1
2π
(
α1γ1
β21
−
α2γ2
β22
−
α2γ3
β23
+
α1γ4
β24
)
;
Q2(x, y; ξ, η) = −
1− 2ν̂0
2π(1 − ν̂0)
(
−
α2
1α3
β21
−
α2
2α3
β22
+
α2
2α4
β23
+
α2
1α4
β24
)
−
−
1
2π
(
α3γ1
β21
+
α3γ2
β22
−
α4γ3
β23
−
α4γ4
β24
)
;
ISSN 1025-6415 Допов. НАН України, 2015, №6 59
S1(x, y; ξ, η) = −
1− 2ν̂0
4π(1− ν̂0)
(
−
α3γ1
β21
+
α3γ2
β22
+
α4γ3
β23
−
α4γ4
β24
)
− (21)
−
1
π
(
α2
1α3
β21
−
α2
2α3
β22
−
α2
2α4
β23
+
α2
1α4
β24
)
;
S2(x, y; ξ, η) = −
1− 2ν̂0
4π(1− ν̂0)
(
α1γ1
β21
+
α2γ2
β22
−
α2γ3
β23
−
α1γ4
β24
)
−
−
1
π
(
α1α
2
3
β21
+
α2α
2
3
β22
−
α2α
2
4
β23
−
α1α
2
4
β24
)
;
S3(x, y; ξ, η) =
1
π(1− ν̂0)
(
α1α3
β21
+
α2α3
β22
+
α2α4
β23
+
α1α4
β24
)
;
α1 = x− ξ, α2 = x+ ξ, α3 = y − η, α4 = y + η;
β1 = α2
1 + α2
3, β2 = α2
2 + α2
3, β3 = α2
2 + α2
4, β4 = α2
1 + α2
4,
γ1 = α2
1 − α2
3, γ2 = α2
2 − α2
3, γ3 = α2
2 − α2
4, γ4 = α2
1 − α2
4.
Нагрузку p0 принимаем меньшей предела текучести k, приводящую к образованию нели-
нейной зоны лишь в окрестности трещины, так что на бесконечности, согласно (4), (8),
выполняются граничные условия σ22|∞ = p0, σ11|∞ = σ12|∞ = 0, где p0 = p0/k. На оси
y = 0 граничные условия формулируются в виде σ22(x, 0) = 0 для |x| 6 c, u2(x, 0) = 0 для
|x| > c, σ12(x, 0) = 0 для 0 6 |x| < ∞, где u2(x, 0) — перемещение вдоль оси y.
На основе преобразования Фурье [1] решение сформулированной задачи можно пред-
ставить в виде
σ11(x, y) = σ∗11(x, y)−
2µ0
π(1− ν̂0)k
c∫
0
[R1(x, y, η)− yR2(x, y, η)]u2(η, 0) dη,
σ22(x, y) = p0 + σ∗22(x, y)−
2µ0
π(1− ν̂0)k
c∫
0
[R1(x, y, η) + yR2(x, y, η)]u2(η, 0) dη,
σ12(x, y) = σ∗12(x, y)−
2µ0
π(1− ν̂0)k
c∫
0
R3(x, y, η)u2(η, 0) dη,
(22)
где функция u2(η, 0) удовлетворяет интегральному уравнению
p0 + σ∗22(x, 0) =
2µ0
π(1− ν̂0)k
c∫
0
R(x, η)u2(η, 0) dη, 0 6 x 6 c, (23)
а ядра определяются формулами
R(x, η) =
1
2
∂
∂η
(
1
x+ η
−
1
x− η
)
,
60 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №6
R1(x, y, η) =
1
2
∂
∂η
[
x+ η
(x+ η)2 + y2
−
x− η
(x− η)2 + y2
]
,
R2(x, y, η) =
∂
∂η
{
y(x+ η)
[(x+ η)2 + y2]2
−
y(x− η)
[(x− η)2 + y2]2
}
,
(24)
R3(x, y, η) =
1
2
∂
∂η
{
(x+ η)2 − y2
[(x+ η)2 + y2]2
−
(x− η)2 − y2
[(x− η)2 + y2]2
}
Если ввести безразмерное перемещение
u(η, 0) =
2µ0u2(η, 0)
π(1− ν̂0)kc
, (25)
то соотношения (22) приводятся к виду
σ11(x, y) = σ∗11(x, y)− c
c∫
0
[R1(x, y, η) − yR2(x, y, η)]u(η, 0) dη,
σ22(x, y) = p0 + σ∗22(x, y)− c
c∫
0
[R1(x, y, η) + yR2(x, y, η)]u(η, 0) dη,
σ12(x, y) = σ∗12(x, y)− cy
c∫
0
R3(x, y, η)u(η, 0) dη,
(26)
где функция u(η, 0), как следует из (23), удовлетворяет интегральному уравнению
po + σ∗22(x, 0) = c
c∫
0
R(x, η)u(η, 0) dη, 0 6 x 6 c. (27)
Дискретизация задачи. Решение системы интегро-дифференциальных уравнений
(20), (26), (27) можно осуществить только численными методами, для чего необходимо их
преобразовать из континуальной в дискретную форму. Для этого разобьем интервал (0, c)
на N частей, представив интеграл в (27) суммой
c∫
0
R(x, η)u(η, 0) dη =
N∑
k=1
u(xk, 0)
xk+ak∫
xk−ak
R(x, η) dη,
(
N∑
k=1
2ak = c
)
. (28)
Аналогичное разбиение проводим по координате y с шагом 2bn. Тогда, вводя безразмерные
координаты и величины
xi =
xi
c
; yj =
yj
c
, xk =
xk
c
; yn =
yn
c
; ak =
ak
c
, bn =
bn
c
(i, j = 0, 1, . . . ; k, n = 1, 2, . . .)
(29)
и принимая равномерное разбиение областиD1 с одинаковыми размерами ячеек вдоль обеих
осей
ak = bn = a =
1
2N
, (30)
ISSN 1025-6415 Допов. НАН України, 2015, №6 61
приведем интегральное уравнение (27) к системе алгебраических уравнений
p0 + σ∗22(xi, 0) =
N∑
k=1
Iiku(xk, 0) (i = 1, . . . , N), (31)
а соотношения (24), (26) приводятся к виду
σ11(xi, yj) = σ∗11(xi, yj)−
N∑
k=1
(I
(1)
ijk − I
(2)
ijk)u(xk, 0);
σ22(xi, yj) = p0 + σ∗22(xi, yj)−
N∑
k=1
(I
(1)
ijk + I
(2)
ijk)u(xk, 0);
σ12(xi, yj) = σ∗12(xi, yj)−
N∑
k=1
I
(3)
ijku(xk, 0).
(32)
Здесь матрицы Iik, I
(1)
ijk , I
(2)
ijk , I
(3)
ijk определяются формулами
Iik = −
1
a
[
1
4(i − k)2 − 1
+
1
4(i + k − 1)2 − 1
]
,
I
(1)
ijk =
1
2a
(
s1
s21 + s25
−
s2
s22 + s25
+
s3
s23 + s25
−
s4
s24 + s25
)
,
I
(2)
ijk =
s25
a
[
s1
(s21 + s25)
2
−
s2
(s22 + s25)
2
+
s3
(s23 + s25)
2
−
s4
(s24 + s25
)2
]
,
I
(3)
ijk =
s5
2a
[
s21 − s25
(s21 + s25)
2
−
s22 − s25
(s22 + s25)
2
+
s23 − s25
(s23 + s25)
2
−
s24 − s25
(s24 + s25)
2
]
;
s1 = 2(i + k)− 1, s2 = 2(i+ k)− 3, s3 = 2(i− k) + 1,
s4 = 2(i − k)− 1, s5 = 2j − 1 (i, k = 1, . . . , N).
(33)
Частное решение (20) с учетом (30) принимает вид
σ∗11(xi, yj) =
∞∑
k,n=1
{[P r(i, j; k, n) +Qr(i, j; k, n)]gr(k, n) + P 3(i, j; k, n)g3(k, n)};
σ∗22(xi, yj) =
∞∑
k,n=1
{[P r(i, j; k, n) −Qr(i, j; k, n)]gr(k, n)− P 3(i, j; k, n)g3(k, n)};
σ∗12(xi, yj) =
∞∑
k,n=1
Sr(i, j; k, n)gr(k, n) + S3(i, j; k, n)g3(k, n) (r = 1, 2),
(34)
62 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №6
где приняты обозначения
P 1(i, j; k, n) = −
1
4π(1− ν̂0)
(
α1
β1
−
α2
β2
−
α2
β3
+
α1
β4
)
;
P 2(i, j; k, n) = −
1
4π(1− ν̂0)
(
α3
β1
+
α3
β2
−
α4
β3
−
α4
β4
)
;
P 3(i, j; k, n) =
1
2π(1 − ν̂0)
(
γ1
β21
+
γ2
β22
+
γ3
β23
+
γ4
β24
)
Q1(i, j; k, n) = −
1− 2ν̂0
2π(1− ν̂0)
(
α1α
2
3
β21
−
α2α
2
3
β22
−
α2α
2
4
β23
+
α1α
2
4
β24
)
−
−
1
2π
(
α1γ1
β21
−
α2γ2
β22
−
α2γ3
β23
+
α1γ4
β24
)
;
Q2(i, j; k, n) = −
1− 2ν̂0
2π(1− ν̂0)
(
−
α2
1α3
β21
−
α2
2α3
β22
+
α2
2α4
β23
+
α2
1α4
β24
)
−
−
1
2π
(
α3γ1
β21
+
α3γ2
β22
−
α4γ3
β23
−
α4γ4
β24
)
;
S1(i, j; k, n) = −
1− 2ν̂0
4π(1− ν̂0)
(
−
α3γ1
β21
+
α3γ2
β22
+
α4γ3
β23
−
α4γ4
β24
)
−
−
1
π
(
α2
1α3
β21
−
α2
2α3
β22
−
α2
2α4
β23
+
α2
1α4
β24
)
;
S2(i, j; k, n) = −
1− 2ν̂0
4π(1− ν̂0)
(
α1γ1
β21
+
α2γ2
β22
−
α2γ3
β23
−
α1γ4
β24
)
−
−
1
π
(
α1α
2
3
β21
+
α2α
2
3
β22
−
α2α
2
4
β23
−
α1α
2
4
β24
)
;
S3(i, j; k, n) =
1
π(1− ν̂0)
(
α1α3
β21
+
α2α3
β22
+
α2α4
β23
+
α1α4
β24
)
;
α1 = i− k, α2 = i+ k − 1, α3 = j − n, α4 = j + n− 1,
β1 = α2
1 + α2
3, β2 = α2
2 + α2
3, β3 = α2
2 + α2
4, β4 = α2
1 + α2
4,
γ1 = α2
1 − α2
3, γ2 = α2
2 − α2
3, γ3 = α2
2 − α2
4, γ4 = α2
1 − α2
4,
gr(k, n) = σr1(xk, yn)
[
h(xk+1, yn)µ(xk+1, yn)
h(xk, yn)µ(xk, yn)
− 1
]
+
+ σr2(xk, yn)
[
h(xk, yn+1)µ(xk, yn+1)
h(xk, yn)µ(xk, yn)
− 1
]
,
g3(k, n) = f3(xk, yn) (r = 1, 2).
(35)
Таким образом, при равномерном разбиении области D1 на квадратные ячейки задача
сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений (31), (32), (34) относи-
ISSN 1025-6415 Допов. НАН України, 2015, №6 63
тельно переменных u(xk, 0), σij(xk, yn), σ
∗
ij(xk, yn), где коэффициенты определяются форму-
лами (33), (35), а безразмерный модуль сдвига µ связан с напряжениями σij зависимостями
(7), (8). Полученную систему можно упростить, исключив переменные u(xk, 0), σ
∗
ij(xk, yn).
Для этого представим уравнения (31) в виде
u(xi, 0) =
N∑
k=1
I−1
ik [p0 + σ∗22(xk, 0)] (i = 1, . . . , N), (36)
где I−1
ik — матрица, обратная к Iik, и воспользуемся представлением
σ∗22(xi, 0) =
∞∑
k,n=1
{[
P r
(
i,
1
2
; k, n
)
−Qr
(
i,
1
2
; k, n
)]
gr(k, n)−P 3
(
i,
1
2
; k, n
)
g3(k, n)
}
, (37)
вытекающим из (34), (35). Тогда из (32), (34), (36), (37) следует система нелинейных алгеб-
раических уравнений относительно напряжений σij
σ11(xi, yj) = −p0T11(xi, yj) +
∞∑
k,n=1
[P r(i, j; k, n) +Qr(i, j; k, n) −
− Er(i, j; k, n)]gr(k, n) + [P 3(i, j; k, n) + E3(i, j; k, n)]g3(k, n)};
σ22(xi, yj) = p0[1− T22(xi, yj)] +
∞∑
k,n=1
[P r(i, j; k, n) −Qr(i, j; k, n) −
− Lr(i, j; k, n)]gr(k, n) + [−P 3(i, j; k, n) + L3(i, j; k, n)]g3(k, n);
σ12(xi, yj) = −p0T12(xi, yj) +
∞∑
k,n=1
[Sr(i, j; k, n) −Mr(i, j; k, n)]gr(k, n) +
+ [S3(i, j; k, n) +M3(i, j; k, n)]g3(k, n) (r = 1, 2),
(38)
где обозначено
T11(xi, yj) =
N∑
k,n=1
(I
(1)
ijk − I
(2)
ijk)I
−1
kn ; T22(xi, yj) =
N∑
k,n=1
(I
(1)
ijk + I
(2)
ijk)I
−1
kn ;
T12(xi, yj) =
N∑
k,n=1
I
(3)
ijkI
−1
kn ;
Er(i, j; k, n) =
N∑
p,q=1
(I
(1)
ijp − I
(2)
ijp)I
−1
pq
[
P r
(
q,
1
2
; k, n
)
−Qr
(
q,
1
2
; k, n
)]
;
Lr(i, j; k, n) =
N∑
p,q=1
(I
(1)
ijp + I
(2)
ijp)I
−1
pq
[
P r
(
q,
1
2
; k, n
)
−Qr
(
q,
1
2
; k, n
)]
;
Mr(i, j; k, n) =
N∑
p,q=1
I
(3)
ijpI
−1
pq
[
P r
(
q,
1
2
; k, n
)
−Qr
(
q,
1
2
; k, n
)]
;
(39)
64 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №6
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3
E3(i, j; k, n) =
N∑
p,q=1
(I
(1)
ijp − I
(2)
ijp)I
−1
pq P 3
(
q,
1
2
; k, n
)
;
L3(i, j; k, n) =
N∑
p,q=1
(I
(1)
ijp + I
(2)
ijp)I
−1
pq P 3
(
q,
1
2
; k, n
)
;
M3(i, j; k, n) =
N∑
p,q=1
I
(3)
ijpI
−1
pq P 3
(
q,
1
2
; k, n
)
.
Следует отметить, что в уравнениях (38) суммирование распространяется только на
область нелинейного деформирования материала, где gr(k, n) 6= 0, g3(k, n) 6= 0. При этом
слагаемые −p0T11(xi, yj), p0[1−T22(xi, yj)], −p0T12(xi, yj), представляют собой решение ли-
нейной задачи для случая µ = 1.
Численное решение задачи проведено для пластины из дюралюминия [2] c постоянными
K = 61400 МПа, µ0 = 26720 МПа, σ0 = 330 МПа. Половина длины трещины разбивалась на
ISSN 1025-6415 Допов. НАН України, 2015, №6 65
N = 200 частей. Для покрытия области нелинейного деформирования используется 30×24
квадратных ячеек, что приводит к решению системы 2160 нелинейных алгебраических урав-
нений (30) относительно 2160 неизвестных σ11, σ22, σ12. На рис. 1, 2 представлены зави-
симости глубины шейки d = 1 − h/h0 соответственно при приложенной нагрузке p0 = 0,5
и после ее снятия, т. е. остаточной глубины шейки. Здесь черной линией изображена верши-
на трещины. На рис. 3 приведены, согласно (25), кривые остаточного раскрытия трещины
v(x, 0) = u(x, 0) − u0(x, 0) для нагрузок p0 = 0,3; 0,35; 0,4; 0,45; 0,5, где u0(x, 0) — линей-
но-упругое перемещение берега трещины. Как видим, кривые имеют максимум у вершины
трещины, который удаляется от вершины с увеличением нагрузки. Следует отметить, что
зоны пластических деформаций и кривые зависимостей нормальных напряжений σ22(x, 0)
от координаты x практически не зависят от образования шейки и имеют вид, приведенный
в [3, 4].
Цитированная литература
1. Sneddon J.N., Berry D. S. The classical theory of elasticity. – Berlin: Springer, 1958. – 219 p.
2. Гуляев А.П. Металловедение. – Москва: Металлургия, 1986. – 542 с.
3. Khoroshun L.P. Discretization of the plane problem for a cracked body with nonlinear stress-strain diagram
under tension // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, No 11. – P. 1238–1252.
4. Khoroshun L. P., Levchuk O. I. Distribution around cracks in linear hardening materials subject to tension:
plane problem // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, No 2. – P. 128–140.
References
1. Sneddon J.N., Berry D. S. The classical theory of elasticity, Berlin: Springer, 1958.
2. Gulyaev А. P. Metal science, Мoscow: Metallurgy, 1986 (in Russian).
3. Khoroshun L. P. Int. Appl. Mech., 2010, 46, No 11: 1238–1252.
4. Khoroshun L. P., Levchuk O. I. Int. Appl. Mech., 2014, 50, No 2: 128–140.
Поступило в редакцию 24.12.2014Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Член-кореспондент НАН України Л.П. Хорошун
Плоска задача про утворення шийки в пластинi з трiщиною
Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
Дано постановку i розв’язок нелiнiйної задачi про утворення шийки при розтягу пласти-
ни з трiщиною для кусково-лiнiйної дiаграми деформування матерiалу. Застосуванням пе-
ретворення Фур’є та дискретизацiї рiвнянь задачу зведено до системи нелiнiйних алгеб-
раїчних рiвнянь. Дослiджено вплив нелiнiйностi на розподiл глибини шийки i розкриття
трiщини бiля її вершини.
Ключовi слова: дiаграма деформування, трiщина, нелiнiйна задача, шийка, дискретизацiя,
глибина шийки, розкриття трiщини.
66 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №6
Corresponding Member of the NAS of Ukraine L.P. Khoroshun
The plane problem of formation of a neck in the cracked plate
S. P. Timoshenko Institute of Mechanics NAS of Ukraine, Kiev
The formulation and the solution of the nonlinear problem of formation of a neck in the cracked
plate under tension for the piecewise linear diagram of deformation of a material are considered.
With the application of the Fourier transformation and the discretization of equations, the problem
is reduced to a system of nonlinear algebraic equations. The influence of a nonlinearity on the crack
opening at the top and on the neck depth distribution is investigated.
Keywords: diagram of deformation, nonlinear problem, neck, discretization, depth of neck, crack
opening.
ISSN 1025-6415 Допов. НАН України, 2015, №6 67
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-96791 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:51:48Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Хорошун, Л.П. 2016-03-20T14:30:17Z 2016-03-20T14:30:17Z 2015 Плоская задача об образовании шейки в пластине с трещиной / Л.П. Хорошун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 6. — С. 56-67. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96791 539.3 Даны постановка и решение нелинейной задачи об образовании шейки при растяжении
 пластины с трещиной для кусочно-линейной диаграммы деформирования материала.
 Применением преобразования Фурье и дискретизации уравнений задача сведена к системе нелинейных алгебраических уравнений. Исследовано влияние нелинейности на распределение глубины шейки и раскрытие трещины возле ее вершины. Дано постановку i розв’язок нелiнiйної задачi про утворення шийки при розтягу пластини з трiщиною для кусково-лiнiйної дiаграми деформування матерiалу. Застосуванням перетворення Фур’є та дискретизацiї рiвнянь задачу зведено до системи нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Дослiджено вплив нелiнiйностi на розподiл глибини шийки i розкриття трiщини бiля її вершини. The formulation and the solution of the nonlinear problem of formation of a neck in the cracked
 plate under tension for the piecewise linear diagram of deformation of a material are considered.
 With the application of the Fourier transformation and the discretization of equations, the problem
 is reduced to a system of nonlinear algebraic equations. The influence of a nonlinearity on the crack
 opening at the top and on the neck depth distribution is investigated. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Плоская задача об образовании шейки в пластине с трещиной Плоска задача про утворення шийки в пластинi з трiщиною The plane problem of formation of a neck in the cracked plate Article published earlier |
| spellingShingle | Плоская задача об образовании шейки в пластине с трещиной Хорошун, Л.П. Механіка |
| title | Плоская задача об образовании шейки в пластине с трещиной |
| title_alt | Плоска задача про утворення шийки в пластинi з трiщиною The plane problem of formation of a neck in the cracked plate |
| title_full | Плоская задача об образовании шейки в пластине с трещиной |
| title_fullStr | Плоская задача об образовании шейки в пластине с трещиной |
| title_full_unstemmed | Плоская задача об образовании шейки в пластине с трещиной |
| title_short | Плоская задача об образовании шейки в пластине с трещиной |
| title_sort | плоская задача об образовании шейки в пластине с трещиной |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96791 |
| work_keys_str_mv | AT horošunlp ploskaâzadačaobobrazovaniišeikivplastinestreŝinoi AT horošunlp ploskazadačaproutvorennâšiikivplastiniztriŝinoû AT horošunlp theplaneproblemofformationofaneckinthecrackedplate |