Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища

З використанням нульового наближення променевого методу розв'язана задача про перебудову фронтів квазіпоздовжніх і квазіпоперечних хвиль сильного розриву, які формуються при взаємодії неплоскої нестаціонарної хвилі з вільною параболічною поверхнею пружного трансверсально-ізотропного середовища....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2003
Автор:	Іванченко, Г.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2003
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/968
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища / Г.М. Іванченко // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 2. — С. 43-49. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860014906288373760
author	Іванченко, Г.М.
author_facet	Іванченко, Г.М.
citation_txt	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища / Г.М. Іванченко // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 2. — С. 43-49. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
collection	DSpace DC
description	З використанням нульового наближення променевого методу розв'язана задача про перебудову фронтів квазіпоздовжніх і квазіпоперечних хвиль сильного розриву, які формуються при взаємодії неплоскої нестаціонарної хвилі з вільною параболічною поверхнею пружного трансверсально-ізотропного середовища. Для рішення нелінійних рівнянь Снелліуса застосовувався синтез методу продовження рішення по параметру й алгоритму Ньютона. Проаналізовані ефекти розсіювання і фокусування нестаціонарних хвиль як окремі випадки біфуркації фронтів і утворення каустик. С использованием нулевого приближения лучевого метода решена задача о перестройке фронтов квазипродольных и квазипоперечных волн сильного разрыва, формирующихся при взаимодействии неплоской нестационарной волны со свободной параболической поверхностью упругой трансверсально-изотропной среды. Для решения нелинейных уравнений Снеллиуса применялся синтез метода продолжения решения по параметру и алгоритма Ньютона. Проанализированы эффекты рассеяния и фокусирования нестационарных волн как частные случаи бифуркации фронтов и образования каустик. The problem of reorganization of fronts of quasi-primary and quasi-secondary waves of strong discontinuity formed by interaction of a non-planar non-stationary wave with a free parabolic surface of elastic transversally isotropic medium is solved with the use of zero approximation of the ray method. For solution of the nonlinear Snell's equations a synthesis of the method of continuation of solution on the parameter and the Newton's algorithm was used. The effects of scattering and focussing of non-stationary waves as special cases of the front bifurcation and formation of caustics are analyzed.
first_indexed	2025-12-07T16:44:25Z
format	Article
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 43 – 49 УДК 539.3:532.593 ФОКУСУВАННЯ ПРОМЕНIВ НЕПЛОСКОЇ РОЗРИВНОЇ ХВИЛI ВIЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ ПРУЖНОГО АНIЗОТРОПНОГО СЕРЕДОВИЩА Г. М. IВ АН Ч Е Н К О Київський нацiональний унiверситет будiвництва i архiтектури Одержано 27.03.2003 З використанням нульового наближення променевого методу розв’язана задача про перебудову фронтiв квазiпо- здовжнiх i квазiпоперечних хвиль сильного розриву, якi формуються при взаємодiї неплоскої нестацiонарної хвилi з вiльною параболiчною поверхнею пружного трансверсально-iзотропного середовища. Для рiшення нелiнiйних рiв- нянь Снеллiуса застосовувався синтез методу продовження рiшення по параметру й алгоритму Ньютона. Проаналi- зованi ефекти розсiювання i фокусування нестацiонарних хвиль як окремi випадки бiфуркацiї фронтiв i утворення каустик. С использованием нулевого приближения лучевого метода решена задача о перестройке фронтов квазипродольных и квазипоперечных волн сильного разрыва, формирующихся при взаимодействии неплоской нестационарной волны со свободной параболической поверхностью упругой трансверсально-изотропной среды. Для решения нелинейных уравнений Снеллиуса применялся синтез метода продолжения решения по параметру и алгоритма Ньютона. Проана- лизированы эффекты рассеяния и фокусирования нестационарных волн как частные случаи бифуркации фронтов и образования каустик. The problem of reorganization of fronts of quasi-primary and quasi-secondary waves of strong discontinuity formed by interaction of a non-planar non-stationary wave with a free parabolic surface of elastic transversally isotropic medium is solved with the use of zero approximation of the ray method. For solution of the nonlinear Snell’s equations a synthesis of the method of continuation of solution on the parameter and the Newton’s algorithm was used. The effects of scattering and focussing of non-stationary waves as special cases of the front bifurcation and formation of caustics are analyzed. ВСТУП Питання математичного моделювання явищ фо- кусування i розсiювання нестацiонарних розрив- них хвиль поверхнями та межами роздiлу середо- вищ з рiзними механiчними властивостями вини- кають у сейсмологiї та сейсморозвiдцi. Вони осо- бливо актуальнi у тих випадках, коли необхiдно аналiзувати напружено-деформований стан зем- них порiд поблизу вiльних поверхонь. У гiрничiй справi такi ситуацiї виникають при дослiдженнi мi- цностi та стiйкостi гiрських виробок, у будiвниц- твi – при визначеннi динамiки поведiнки наземних i пiдземних споруд пiд впливом сейсмiчних i вибу- хових хвиль. Характерна особливiсть згаданих явищ полягає у тому, що вони можуть супроводжуватися кон- центрацiєю механiчної енергiї (кiнетичної й потен- цiйної) у зонах фокусування фронтiв розривних хвиль на криволiнiйних дiлянках вiльних повер- хонь гiрських порiд та на межах порiд з рiзни- ми механiчними властивостями. Це призводить до посилення дiї таких хвиль. В оптичних системах концентрацiя свiтлової енергiї вiдбувається у фо- кусних точках дзеркальних вiдбивачiв i лiнз. У те- орiї нестацiонарних хвиль у пружних середовищах явища концентрацiї енергiї є значно складнiшими, тому що тут польовi функцiї є векторними, а при вiдбиттi й заломленнi променiв формуються новi фронти хвиль, якi вiдрiзняються за своєю поляри- зацiєю й фазами. Зазначимо, що оскiльки практично неможли- во прогнозувати час i мiсце настання землетрусу (тим бiльше, запобiгти йому), то надзвичайно ва- жливо визначити для обраних регiонiв найбiльш небезпечнi зони, у яких сейсмiчна (розривна) хви- ля може фокусуватися, а її енергiя – концентрува- тися. Нестацiонарнi розривнi хвилi можуть пород- жуватися короткочасним високоiнтенсивним по- лем тиску, зосередженим у малiй областi – джерелi хвилi. Якщо в iзотропних середовищах фронти та- ких хвиль по вiддаленнi вiд джерела стають сфе- ричними, то фронти нестацiонарних хвиль в анi- зотропних середовищах можуть мати досить скла- дну конфiгурацiю. Окрiм того, в анiзотропних се- редовищах iнтенсивнiсть iмпульсу, який переноси- ться розривною хвилею, на її фронтах розподiля- ється нерiвномiрно. Оскiльки межа видiленої для розрахунку областi середовища еволюцiонує з роз- повсюдженням хвильового фронту, то для аналiзу таких швидкоплинних процесiв виявляються ма- лоефективними традицiйнi аналiтичнi й чисель- нi методи (зокрема, метод скiнченних елементiв). Для розв’язання таких задач рацiонально засто- c© Г. М. Iванченко, 2003 43 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 43 – 49 совувати променевi методи [1 – 9], якi дозволяють, використовуючи променевий ряд, одержувати до- сить точний розв’язок у прифронтових зонах хви- лi. У цьому разi рiвняння ейконалу описує еволю- цiю поверхнi фронту хвилi, нульовий член ряду визначає величину розриву польової функцiї на поверхнi фронту, а iншi члени описують змiну по- ля за фронтом. Якщо для нестацiонарної розрив- ної хвилi обмежитись урахуванням лише нульово- го члена, то можна визначати iмпульс, отриманий хвилею. Тодi можливо спростити задачу i застосу- вати прийоми стереомеханiчної теорiї удару [10], якi базуються на загальних теоремах механiки. Та- ку методику можна використовувати для дослiд- ження взаємодiї розривних хвиль з неоднорiдни- ми включеннями в грунтах i гiрських породах, а також для дослiдження перебудов фронтiв неста- цiонарних розривних хвиль на вiльних поверхнях анiзотропних середовищ. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI Нехай вiсь пружної симетрiї нескiнченно висо- кого порядку трансверсально-iзотропного середо- вища спiвпадає з вiссю Ox2 правої декартової си- стеми координат Ox1x2x3. З огляду на властивос- тi симетрiї, компоненти тензора пружних постiй- них середовища cik,pq можна подати у формi ква- дратної матрицi (Cα,β), встановивши вiдповiднiсть мiж компонентами тензора й матрицi за схемою [5] (11) ↔ 1, (22) ↔ 2, (33) ↔ 3, (23) = (32) ↔ 4, (31) = (13) ↔ 5, (12) = (21) ↔ 6. (1) Виходячи з того, що пружнi властивостi трансверсально-iзотропного середовища характе- ризуються п’ятьма параметрами, матрицю Cα,β у вибранiй системi координат запишемо у виглядi [5] (Cα,β) =        λ+2µ λ λ−l 0 0 0 λ λ+2µ−p λ−l 0 0 0 λ−l λ−l λ+2µ 0 0 0 0 0 0 µ−m 0 0 0 0 0 0 µ 0 0 0 0 0 0 µ−m        , (2) де λ i µ – параметри Ламе; l, m, p – пружнi пара- метри анiзотропiї. Нехай у деякiй точцi пружного середовища, яка належить осi симетрiї, породжена нестацiонарна хвиля сильного розриву. Розглянемо дифракцiю фронту такої хвилi при його взаємодiї з вiльною криволiнiйною осесиметричною поверхнею G, вiсь симетрiї якої також спiвпадає з вiссю Ox2. Рух частинок пружного середовища визнача- ється диференцiальними рiвняннями 3 ∑ k,p,q=1 λik,pq ∂2uq ∂xk∂xp − ∂2ui ∂t2 = 0, i = 1, 2, 3, (3) де λik,pq =cik,pq/ρ – зведенi параметри пружностi; ρ=const – щiльнiсть середовища; u1, u2, u3 – ком- поненти вектора пружних змiщень; t – час. Розв’я- зок системи (3) у формi сильного розриву [5], для якого на фронтi хвилi мають розриви першi похiд- нi функцiй u1, u2, u3, будуватимемо з використан- ням променевого методу [5]. В анiзотропних середовищах променi, уздовж яких поширюється хвильова енергiя, в загально- му випадку не ортогональнi до поверхонь хви- льових фронтiв. Тому розрiзнятимемо вектори фазової v й променевої ξ швидкостей, вважаю- чи, що фронтом хвилi є поверхня постiйної фази n·r−vt=const, елементарна площинка якої в око- лi деякої точки M з радiус-вектором r рухається уздовж мiсцевої одиничної нормалi n зi швидкiстю v. Для довiльно вибраного напрямку n iснує три величини фазових швидкостей v(r)(n) (r=1, 2, 3), квадрати яких є власними числами матрицi ко- ефiцiєнтiв однорiдної системи алгебраїчних рiв- нянь [5, 11] 3 ∑ k,p,q=1 λik,pqnknpAq − v2Ai = 0, i = 1, 2, 3. (4) Власнi вектори A (r) цiєї матрицi визначають по- ляризацiю кожної з трьох хвиль. Впорядкованi за величинами фазовi швидкостi будуть визначати рух квазiпоздовжньої (r=1) i двох квазiпопере- чних (r=2, 3) хвиль: v(1)(n) > v(2)(n) ≥ v(3)(n) > 0. Фронт кожної нестацiонарної розривної хвилi – поверхня постiйної фази – задовольняє спiввiдно- шення τ (x1, x2, x3) − t = 0, (5) де функцiя τ є розв’язком диференцiального рiв- няння [5] 3 ∑ i,k,p,q=1 λik,pqpkppA (r) q A (r) i = 1, (6) в якому через pk ≡ ∂τ ∂xk = nk v(r)(n) , k = 1, 2, 3 44 Г. М. Iванченко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 43 – 49 позначено компоненти вектора рефракцiї. Для побудови хвильового фронту (5) розривної хвилi в однорiдному анiзотропному середовищi не- обхiдно знайти розв’язок рiвнянь (6), якi за допо- могою методу характеристик зводяться до системи звичайних диференцiальних рiвнянь dxk/dτ = ξk = 3 ∑ i,p,q=1 λik,pqppA (r) q A (r) i , dpk/dτ = 0, k = 1, 2, 3. (7) Першi три рiвняння з формули (7) визначають закон розповсюдження фронту розривної хвилi уздовж променя зi швидкiстю ξ=ξ(r)(n, xk), а дру- га трiйка пiдтверджує прямолiнiйнiсть променiв в однорiдних (ρ=const) середовищах. Побудована за допомогою останньої системи сi- тка променiв i фронтiв дозволяє визначити змiну iнтенсивностi хвилi при переходi через фронт за допомогою ряду [5] uq = ∞ ∑ m=0 u(m) q (x1, x2, x3)× ×fm[t − τ (x1, x2, x3)], q = 1, 2, 3. (8) Поведiнку розривної хвилi в малому околi фрон- ту можна дослiджувати, утримуючи в розкладi (8) лише один член m=0. Вектор iнтенсивностi хви- льового поля u(0) в цьому випадку обчислюється з однорiдної системи рiвнянь 3 ∑ k,p,q=1 λik,pqpkppu (0) q − u (0) i = 0, i = 1, 2, 3, (9) розв’язок якої в променевiй системi координат τ , α, β має вигляд [5] u(0) q = c0(α, β)A (r) q (τ, α, β) √ J(τ, α, β) × ×f0[t − τ (x1, x2, x3)], q = 1, 2, 3, (10) де J =∂(x1, x2, x3)/∂(τ, α, β) – функцiональний ви- значник перетворення променевих координат у де- картовi. За допомогою спiввiдношень (7), (10) будується сiмейство прямолiнiйних променiв i послiдовностi фронту нестацiонарної розривної хвилi в однорiд- ному анiзотропному середовищi, а також обчислю- ються значення розриву польових функцiй на по- верхнi фронту, яка еволюцiонує. Рис. 1. Орiєнтацiя векторiв фазових швидкостей падаючої та вiдбитих хвиль 2. КIНЕМАТИЧНI Й ДИНАМIЧНI УМОВИ ВЗАЄМОДIЇ ХВИЛI З ВIЛЬНОЮ ПОВЕРХ- НЕЮ Розв’язуючи поставлену осесиметричну задачу, досить обмежитись вивченням перебудови слiдiв фронтiв розривних хвиль на однiй з площин, якiй належить вiсь симетрiї (наприклад, x3 =0). Приймемо “локально-плоске наближення” [5], вiд- повiдно до якого у мiсцi падiння променя на еле- ментарну площинку вiльної поверхнi G у площи- нi падiння x3 =0 променi усiх породжених хвиль також будуть належати цiй площинi, тобто тре- тi компоненти векторiв поляризацiї усiх хвиль до- рiвнюють нулю. Кути Θν , (ν =1, 2), з якими вiд- битi квазiпоздовжня i квазiпоперечна хвилi вiд- ходять вiд вiльної поверхнi G, пiдпорядковуються узагальненому закону Снеллiуса. Останнiй визна- чається рiвностями [5, 11] sin(Θ− + γ) v−(Θ−) = sin(Θν − γ) vν(Θν ) , ν = 1, 2, (11) де γ – кут мiж напрямком осi Ox2 та нормаллю до поверхнi G у точцi падiння променя; Θ−, Θν , (ν =1, 2) – кути мiж напрямками хвильових нор- малей падаючої та вiдбитих у середовище хвиль i вiссю симетрiї – Ox2 (рис. 1). Значення iндекса ν =1 вiдповiдає квазiпоздовжнiй qP -хвилi, а ν =2 – квазiпоперечнiй qS-хвилi. У нижньому iндексi зна- ками “−” i “+” позначатимемо параметри хвиль до перебудови на поверхнi G i пiсля неї. Вiдмiннiсть спiввiдношень (11) вiд звичайного закону Снеллiуса полягає в залежностi знамен- никiв v−(Θ−) i vν(Θν) вiд вiдповiдних кутiв Θ−, Θν , та (неявно) вiд кута γ. Величини кутiв вiд- Г. М. Iванченко 45 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 43 – 49 Рис. 2. Орiєнтацiя векторiв променевих швидкостей та швидкостей змiщень частинок середовища биття променiв Θν (ν =1, 2) у кожнiй точцi вiль- ної поверхнi G визначаються розв’язком нелiнiй- ної системи рiвнянь (11). Для одержання конкре- тних числових результатiв використовувались ме- тоди Ньютона i продовження розв’язку по пара- метру [3]. За параметр, якому надається приро- щення, зручно вибрати величину кута γ. Так, для деякого вiдомого стану γ=γi, (Θν)i малому при- росту ведучого параметра ∆γi будуть вiдповiда- ти змiни направляючих кутiв фазових швидкостей вiдбитих хвиль: ∆Θi ν = f1∆Θi − − f2∆γ f3 + R, (12) де f1 = sin(Θi ν − γ)[∂vi − (Θi − )/∂Θ−] − cos(Θi − + γ)vi ν ; f2 = cos(Θi ν − γ)vi − (Θi − ) + cos(Θi − + γ)vi ν ; f3 = sin(Θi − + γ)[∂vi ν (Θi ν)/∂Θν ] − cos(Θi ν − γ)v−. Тут через R = sin(Θi ν − γ)v−(Θi − ) − sin(Θi − + γ)vi ν(Θi ν) позначено нев’язку на i-му кроцi побудови розв’яз- ку. Продовження розв’язку по параметру розпо- чинається зi стартового стану Θ=0, γ=0, в якому система (11) має тривiальний розв’язок. Рiвнiсть нулю знаменника у спiввiдношеннi (12) свiдчить про неоднозначнiсть розв’язку систе- ми (11) i вiдповiдає ефекту сходження (доторка- ння) й перетину вiдбитих променiв пiсля взаємодiї падаючих променiв з поверхнею G [12]. Нескiнчен- на кiлькiсть таких критичних ситуацiй обумовлює утворення огинаючої сiмейства променiв – каусти- ки. У випадках анiзотропних середовищ каусти- ки можуть призводити до формування геометрич- них особливостей на поверхнях вiдбитих хвильо- вих фронтiв, навiть при взаємодiї регулярного па- даючого хвильового фронту з плоскою вiльною по- верхнею G [13,14]. Особливостi хвильового фронту проявляються на каустиках, де вiдбувається його фокусування, яке супроводжується значним зро- станням iнтенсивностi хвильового поля в мiсцях геометричних особливостей. Динамiка взаємодiї нестацiонарної хвилi з вiль- ною поверхнею анiзотропного пружного середови- ща вивчається з використанням природної крайо- вої умови: рiвностi нулю вектора напружень на цiй поверхнi. Оскiльки дослiдження проводиться в рамках нульового наближення променевого ме- тоду, розв’язок задачi зручнiше сформулювати в термiнах розривiв швидкостей елементiв пружно- го середовища, а при формуваннi умов взаємодiї хвилi з вiльною поверхнею – скористатись iнте- гральним пiдходом до опису динамiчних проце- сiв на фронтах взаємодiючих хвиль i застосову- вати методи теорiї стереомеханiчного удару [10]. Крiм того, при розглядi взаємодiї хвиль, якi мають криволiнiйнi фронти, з криволiнiйною поверхнею G будемо використовувати концепцiю локально- плоскої постановки. Нехай промiнь квазiпоздовжньої нестацiонарної qP−-хвилi поширюється в пружному середовищi з фазовою швидкiстю v−, вектор якої утворює кут Θ− з вiссю симетрiї. У площинi x3 =0, перпенди- кулярнiй до площини фронту й поверхнi G, за до- помогою двох променiв l1 i l2 видiлимо в середо- вищi за фронтом хвилi елемент з товщиною v−∆t, де ∆t – малий вiдрiзок часу, який дозволяє нехту- вати змiною розривних компонентiв функцiй по- ля за фронтом i вважати їх сталими (рис. 2). Це припущення не суперечить нульовому наближен- ню променевого метода. Променi l1 i l2 падають на поверхню G пiд кутом Ψ− i спираються на нiй на кiнцi вiдрiзка одиничної довжини. Вiдстань мiж променями становить cosΨ−. Падiння розривної хвилi на вiльну поверхню G породжує в середовищi вiдбитi хвилi qP+ i qS+, якi також поляризованi в площинi падiння. Видi- леному за допомогою двох променiв елементу за фронтом падаючої хвилi будуть вiдповiдати еле- менти мiж вiдповiдними променями за фронтами утворених хвиль (див. рис. 2). Виходячи з iнте- грального пiдходу в теорiї розривних хвиль, який розглядає умови кiнематичної сумiсностi й дина- мiчного збереження на фронтi хвилi [5], формулю- вання динамiчної взаємодiї всiх згаданих хвиль з вiльною поверхнею G будемо проводити на базi за- кону збереження кiлькостi руху вiдносно елемен- 46 Г. М. Iванченко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 43 – 49 тiв середовища, залучених до руху. При визначеннi вектора кiлькостi руху ∆Q − ви- дiленого в падаючiй хвилi елемента прийнято, що розмiр усiх елементiв уздовж координати x3 дорiв- нює одиницi, а маса одного елемента середовища становить ρξ−∆t cosΨ−. Тому вектор кiлькостi ру- ху буде ∆Q − = ρξ−∆t cosΨ−u̇−. Пiсля взаємодiї падаючої хвилi з малою площин- кою на поверхнi G утворюються двi локально- плоскi вiдбитi хвилi. При цьому в шарах з товщи- нами vi∆t (i=1, 2) за фронтами компоненти фун- кцiй поля, якi набули розриву (для похiдних вiд u по нормалi i t, а також для напружень), залиша- ються сталими. В елементах цих шарiв, утворених взаємодiєю з видiленим елементом падаючої хви- лi (див. рис. 2), невiдомi значення швидкостей ча- стинок середовища мають позначення u̇ (1) + , u̇ (2) + (у вiдбитих qP+ i qS+ хвилях), а їхнi вектори кiлько- стi руху становлять ∆Q (r) + = ρ cos Ψ (r) + ξ (r) + ∆tu̇ (r) + , r = 1, 2. (13) Вектор змiщення частинок середовища за фронтом хвилi можна подати у виглядi [5] u(r) =u(r)A (r). З урахуванням цiєї рiвностi i спiв- вiдношень виду (13) одержимо ∆Q − = ρ cos Ψ−ξ−∆tu̇−(A1−i1 + A2−i2), (14) ∆Q (r) + = ρ cos Ψ (r) + ξ (r) + ∆tu̇+(A (r) 1+i1 + A (r) 2+i2). (15) Тут A (r) 1+, A (r) 2+ – проекцiї вектора поляризацiї вiд- битої хвилi типу (r) вiдповiдно на осi Ox1 i Ox2. Оскiльки кiлькiсть руху елементiв середовища, залучених до руху при взаємодiї падаючої хви- лi з вiльною поверхнею G, не змiнюється в ре- зультатi цiєї взаємодiї, умову динамiчної сумiсно- стi розв’язку на площинi G запишемо у виглядi ∆Q − = ∆Q (1) + + ∆Q (2) + . (16) Вважаючи значення u̇− для падаючої хвилi вiдо- мим, пiсля проектування векторного рiвняння (16) на осi Ox1, Ox2 одержимо два скалярнi рiвняння для визначення невiдомих швидкостей змiщення частинок середовища на фронтах хвиль обох по- ляризацiй u̇ (1) + , u̇ (2) + поблизу вiльної поверхнi пiсля взаємодiї з нею. Цi рiвняння можна записати у ма- тричнiй формi: ( ρ cos Ψ (1) + ξ (1) + A1 1+ ρ cos Ψ (2) + ξ (2) + A2 1+ ρ cos Ψ (1) + ξ (1) + A1 2+ ρ cos Ψ (2) + ξ (2) + A2 2+ ) × × ( u̇ (1) + u̇ (2) + ) = ( ρ cos Ψ−ξ−A1− ρ cos Ψ−ξ−A2− ) u̇−. (17) Рис. 3. Фокусування променiв вiдбитих квазiпоздовжньої (2) i квазiпоперечної (3) хвиль при падiннi неплоскої квазiпоздовжньої хвилi (1) на вiльну поверхню G При обчисленнi елементiв матрицi i коефiцiєнтiв лiвої частини (17) враховується такий взаємозв’я- зок мiж компонентами векторiв поляризацiї пада- ючої i вiдбитих хвиль: A (1) 1+ =A (1) 1−, A (2) 1+ =A (2) 1−. Визначенi з системи (17) величини швидкостей частинок середовища надалi вiдiграють роль по- чаткових умов u̇ (0) q (α, β, 0) i використовуються у формулах (10) для обчислення значень розривiв швидкостей на фронтах еволюцiонуючих вiдбитих у пружне середовище хвиль. 3. ЧИСЕЛЬНА РЕАЛIЗАЦIЯ ТА АНАЛIЗ РЕ- ЗУЛЬТАТIВ За допомогою розробленого алгоритму розв’яза- но задачу про дифракцiю на вiльнiй параболiчнiй поверхнi G трансверсально-iзотропного пружно- го середовища фронту квазiпоздовжньої нестацiо- нарної хвилi, яка поширюється вiд точкового дже- рела, розмiщеного на осi симетрiї поверхнi G, що спiвпадає з вiссю симетрiї пружних властивостей середовища. Розглядались середовища, пружнi власти- востi яких визначаються механiчними кон- стантами λ=3.409·109 Па, µ=1.364·1010 Па, ρ=2.760·103 кг/м 3 . Значення параметрiв анiзо- тропiї були вибранi такими: l=0.1λ, m=0.2µ, p=0.1(λ+2µ). Лiнiї перетину вiльної поверхнi Г. М. Iванченко 47 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 43 – 49 Рис. 4. Розсiювання променiв вiдбитих квазiпоздовжньої (2) й квазiпоперечної (3) хвиль при падiннi неплоскої квазiпоздовжньої хвилi (1) на вiльну поверхню G Рис. 5. Епюри полiв швидкостей змiщення на фронтах падаючої поздовжньої (1) й вiдбитих квазiпоздовжньої (2) та квазiпоперечної (3) хвиль з площиною x3 =0 вважались параболiчними: x2 =±0.055x2 1+4. Джерело розривної хвилi в усiх випадках розмiщувалось на початку координат. При взаємодiї розривної хвилi з опуклою вiль- ною поверхнею G (рис. 3) розглянутого середови- ща падаюча квазiпоздовжня хвиля (1) породжує вiдбитi квазiпоздовжню (2) i квазiпоперечну (3) хвилi. При цьому променi квазiпоздовжньої хви- лi фокусуються, а квазiпоперечної – утворюють каустики i формують зону фокусування поза по- лем рисунка. При певних геометричних i механiч- них умовах квазiпоперечна хвиля може розсiюва- тись такою поверхнею. Змiна параметрiв анiзотро- пiї призводить до перебудови геометрiї променiв – фокусування може проявлятись не так чiтко. На- явнiсть зон фокусування вiдбитих променiв i вели- чина фокусної вiдстанi залежать не лише вiд па- раметрiв пружностi середовища, а й вiд геометрiї поверхнi G. Зазначимо, що термiн “фокусна вiд- стань” тут можна використовувати лише умовно, оскiльки точного фокусування променiв у загаль- ному випадку немає. Увiгнута вiльна поверхня (рис. 4) трансверсально-iзотропного середовища з ти- ми ж механiчними характеристиками у випадку падiння квазiпоздовжньої хвилi (1) не фокусує променi вiдбитої квазiпоздовжньої хвилi (2), а розсiює їх. Однак квазiпоперечна хвиля (3) i в цьому випадку має особливiсть, яка проявляється на променях поблизу осi симетрiї. Iнтенсивнiсть розривних хвиль у пружному середовищi характеризується миттєвою змiною швидкостi змiщення частинок середовища при пе- реходi через поверхню фронту. На рис. 5 вона по- казана у виглядi побудованих в одному масшта- бi епюр на фронтах вiдбитих квазiпоздовжньої (2) i квазiпоперечної (3) хвиль, зафiксованих в один момент часу. Для порiвняння, iнтенсивнiсть па- даючої квазiпоздовжньої хвилi стиску (1) пока- зана для фронту, який досяг би вершини умов- ної поверхнi G у безмежному середовищi. Вiдбита квазiпоперечна хвиля (2) змiнює свою фазу на про- тилежну i при наближеннi до зони фокусування набуває такої швидкостi змiщення частинок сере- довища, модуль якої значно перевищує величину iнтенсивностi падаючої хвилi. У той же час, ква- зiпоперечна хвиля (3) виявляється кососиметри- чною, причому її iнтенсивнiсть зростає з вiддале- нням вiд осi симетрiї. В мiсцях фокусування про- менiв чи утворення каустик iнтенсивнiсть розрив- них хвиль (у межах прийнятої iдеалiзацiї) повинна стрiмко зростати. ВИСНОВКИ Фронти нестацiонарних розривних хвиль, по- роджених точковим джерелом у трансверсально- iзотропних середовищах, мають складну конфi- гурацiю. Iнтенсивнiсть iмпульсу, який переноси- ться ними, розподiляється по фронту нерiвномiр- но. Взаємодiя розривної хвилi з вiльною поверх- нею середовища спричиняє виникнення вiдбитих квазiпоздовжньої та квазiпоперечної хвиль. Опу- кла вiльна поверхня середовища фокусує або роз- сiює вiдбитi квазiпоздовжнi хвилi. При цьому роз- ташування й величина зони фокусування зале- жать вiд механiчних параметрiв середовища, гео- метрiї вiльної поверхнi й розмiщення джерела хви- лi. Квазiпоперечна хвиля на опуклiй поверхнi має особливостi i також може розсiюватись. Увiгнута поверхня трансверсально-iзотропного середовища 48 Г. М. Iванченко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 43 – 49 завжди розсiює як квазiпоздовжнi, так i квазiпо- перечнi хвилi. В мiсцях фокусування променiв та на каустиках iнтенсивнiсть iмпульсу хвилi значно зростає за рахунок її концентрацiї. 1. Гуляев В. И., Иванченко Г. М. Фокусировка и рассеивание плоских ударных волн на поверхно- сти границы раздела упругих сред // Прикл. мех. техн. физ.– 2000.– 41, N 1.– С. 21–27. 2. Гуляев В. И., Иванченко Г. М., Яковенко Е. В. Динамическое взаимодействие плоской ударной волны с плоскостью раздела трансверсально- изотропных упругих сред // Акуст. вiсн.– 2001.– 4, N 2.– С. 29–37. 3. Гуляев В. И., Луговой П. З., Иванченко Г. М., Яко- венко Е. В. Дифракция ударной волны на кри- волинейной поверхности раздела трансверсально- изотропных упругих сред // Прикл. мат. мех.– 2000.– 64, N 3.– С. 394–402. 4. Иванченко Г. М. Излучение нестационарных волн от эллиптической полости в трансверсально- изотропной упругой среде // Прикл. мех.– 2002.– 38, N 4.– С. 30–36. 5. Петрашень Г. И. Распространение волн в анизо- тропных упругих средах.– Л.: Наука, 1980.– 280 с. 6. Подильчук Ю. Н., Рубцов Ю. К. Лучевые методы в теории распространения и рассеяния волн.– К.: Наукова думка, 1988.– 220 с. 7. Gulyayev V. I., Ivanchenko G. M. Discontinuous wave interaction with interfaces between anisotropic elastic media // Int. J. Solids Struct.– 2003.– 40, N 4.– P. 237–247. 8. Hanyda A., Seredynska M. Asymptotic ray theory in poro- and viscoelastic media // Wave Motion.– 1999.– 30.– P. 175–195. 9. Shuvalov A. L., Gorkunova A. S. Cutting-of at reflection-transmission of acoustic waves in ani- sotropic media with sliding-contact interface // Wave Motion.– 1999.– 30.– P. 345–365. 10. Гольдсмит В. Удар. Теория и механические свойства.– М.: Наука, 1965.– 456 с. 11. Федоров Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах.– М.: Наука, 1965.– 386 с. 12. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвле- ния решений нелинейных уравнений.– М.: Наука, 1969.– 527 с. 13. Арнольд В. И. Критические точки функций и классификация каустик // Успехи мат. наук.– 1974.– 29,3.– С. 243–244. 14. Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред.– М.: Наука, 1980.– 304 с. Г. М. Iванченко 49
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-968
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-7507
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T16:44:25Z
publishDate	2003
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Іванченко, Г.М. 2008-07-09T14:02:43Z 2008-07-09T14:02:43Z 2003 Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища / Г.М. Іванченко // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 2. — С. 43-49. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/968 539.3:532.593 З використанням нульового наближення променевого методу розв'язана задача про перебудову фронтів квазіпоздовжніх і квазіпоперечних хвиль сильного розриву, які формуються при взаємодії неплоскої нестаціонарної хвилі з вільною параболічною поверхнею пружного трансверсально-ізотропного середовища. Для рішення нелінійних рівнянь Снелліуса застосовувався синтез методу продовження рішення по параметру й алгоритму Ньютона. Проаналізовані ефекти розсіювання і фокусування нестаціонарних хвиль як окремі випадки біфуркації фронтів і утворення каустик. С использованием нулевого приближения лучевого метода решена задача о перестройке фронтов квазипродольных и квазипоперечных волн сильного разрыва, формирующихся при взаимодействии неплоской нестационарной волны со свободной параболической поверхностью упругой трансверсально-изотропной среды. Для решения нелинейных уравнений Снеллиуса применялся синтез метода продолжения решения по параметру и алгоритма Ньютона. Проанализированы эффекты рассеяния и фокусирования нестационарных волн как частные случаи бифуркации фронтов и образования каустик. The problem of reorganization of fronts of quasi-primary and quasi-secondary waves of strong discontinuity formed by interaction of a non-planar non-stationary wave with a free parabolic surface of elastic transversally isotropic medium is solved with the use of zero approximation of the ray method. For solution of the nonlinear Snell's equations a synthesis of the method of continuation of solution on the parameter and the Newton's algorithm was used. The effects of scattering and focussing of non-stationary waves as special cases of the front bifurcation and formation of caustics are analyzed. uk Інститут гідромеханіки НАН України Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища Focussing of rays of non-plane discontinuity wave on the free boundary of transversally isotropic elastic medium Article published earlier
spellingShingle	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища Іванченко, Г.М.
title	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища
title_alt	Focussing of rays of non-plane discontinuity wave on the free boundary of transversally isotropic elastic medium
title_full	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища
title_fullStr	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища
title_full_unstemmed	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища
title_short	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища
title_sort	фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/968
work_keys_str_mv	AT ívančenkogm fokusuvannâpromenívneploskoírozrivnoíhvilívílʹnoûpoverhneûpružnogoanízotropnogoseredoviŝa AT ívančenkogm focussingofraysofnonplanediscontinuitywaveonthefreeboundaryoftransversallyisotropicelasticmedium

Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища

Репозитарії

Схожі ресурси