Об определении погрешностей гравиметрических трансформаций
Аналітичне продовження сили тяжіння в регіональному масштабі визначає розв’язок нелінійної межової задачі Алексідзе для рівняння сили тяжіння. Оцінено похибку її заміни на відповідну задачу для рівняння Лапласа. Точність розв’язку істотно залежить від міри обумовленості задачі, наближень напрямку шу...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Геофизический журнал |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
2011
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96847 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об определении погрешностей гравиметрических трансформаций / Ю.И. Дубовенко // Геофизический журнал. — 2011. — Т. 33, № 1. — С. 136-146.. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860128177336090624 |
|---|---|
| author | Дубовенко, Ю.И. |
| author_facet | Дубовенко, Ю.И. |
| citation_txt | Об определении погрешностей гравиметрических трансформаций / Ю.И. Дубовенко // Геофизический журнал. — 2011. — Т. 33, № 1. — С. 136-146.. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Геофизический журнал |
| description | Аналітичне продовження сили тяжіння в регіональному масштабі визначає розв’язок нелінійної межової задачі Алексідзе для рівняння сили тяжіння. Оцінено похибку її заміни на відповідну задачу для рівняння Лапласа. Точність розв’язку істотно залежить від міри обумовленості задачі, наближень напрямку шуканого градієнта, параметрів чисельного методу, напрямку зовнішньої нормалі, вздовж якої обчислюють похідні у граничних умовах.
Exact gravity transforms in the regional studies are determined by the solution of nonlinear boundary-value Alexidze problem for the gravity potential. The errors of its substitution by the appropriate problem for the Laplace’s equation have been estimated. The accuracy of its solution extremely depends on the problem’s conditioning, approximations of the required gradient direction, parameters of numerical calculus and direction of the external normal, along which the proper derivatives are calculated.
Аналитическое продолжение силы тяжести в региональном масштабе определяет решение нелинейной граничной задачи Алексидзе для уравнения силы тяжести. Дана оценка погрешностей ее замены на соответствующую задачу для уравнения Лапласа. Точность ее решения существенно зависит от меры обусловленности задачи, приближений направления искомого градиента, параметров численного метода, направления внешней нормали, вдоль которой вычисляют производные в граничных условиях.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:42:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
��������
��
�
��� ������������������ !�"��#�$����#�%&��
��������
��
������� �
�������
����������
���������������
�������������
���������
��
�
������
��������������������������������������������
����!�"���#�$���%�&�'��(���
'��(�) *!�����!���+���(��!!�,���������-) ���)����
���")��*���!��$��+���&���"���&+)��&������)���",��-��-��.��%)������*�/�����0&���
��")�)1��2�-�+���2���$�*)��"���)$���$"&��)��&��&���"���&+)��&��34)�����!�5�%���22���-)��
����)$!��)$�����$�*��$"&��)��&��&�6�!"�����7�*�)��,�����0&����)���������"�+��,��)$�-)��
�%�-��"�����)���$�*)����%"�+��,���!�&-���.�����������$)/�����!���-���)��*���",�����-�8
��$�����!�&-�������).�,�2����-�")����$��+�&��2��%*��"99�,�!�5)$�)��������*��5��-���5�
:;<=>�?@<AB>C�>@<DEFG@HE�BD�>IJ�@J?BGD<K�E>LMBJE�<@J�MJ>J@HBDJM�NC�>IJ�EGKL>BGD�GF�DGDKBDJ<@
NGLDM<@C8A<KLJ�OKJ;BMPJ�Q@GNKJH�FG@�>IJ�?@<AB>C�QG>JD>B<K��RIJ�J@@G@E�GF�B>E�ELNE>B>L>BGD�NC�>IJ
<QQ@GQ@B<>J�Q@GNKJH�FG@�>IJ�S<QK<=J0E�JTL<>BGD�I<AJ�NJJD�JE>BH<>JM��RIJ�<==L@<=C�GF�B>E�EGKL8
>BGD�J;>@JHJKC�MJQJDME�GD�>IJ�Q@GNKJH0E�=GDMB>BGDBD?��<QQ@G;BH<>BGDE�GF�>IJ�@JTLB@JM�?@<MB8
JD>�MB@J=>BGD��Q<@<HJ>J@E�GF�DLHJ@B=<K�=<K=LKLE�<DM�MB@J=>BGD�GF�>IJ�J;>J@D<K�DG@H<K��<KGD?
UIB=I�>IJ�Q@GQJ@�MJ@BA<>BAJE�<@J�=<K=LK<>JM�
����������������
�����������V�$�*�����������"���&�!����4��"����"���&+�������%�",8
.�5��%"���&5�������"���W�������$�5��"������������5����������&�����$��������$�����������
�%������"�������-����9������������ ��"�$�9W�����%����X������� ����������Y�"�$�������
�����"��!��,������.���&�����$���-�.����1������*��1���$�*��$"&���������&�6�!"�����
�8��
!��%"�+�������������*��5���"���1�Z�����$�*���������������$��"��������",��9���*����,���8
*��"���1�!����4��"����",�����"���",��5��%"���&5�[-�"�1�-���\�]^��-*����'���_�
�����1�!��,���*��"���1�!����4��"���������������-��*�������"�������%����]`�����(
#_�
���-�"�����"���&+������*���9����!����-�!��%"�+��������*���&-��[�������",��1\�!����8
��$��1�Z��1����-�"�������������",�������*���&���"���&+�������-���������-���*����1�����8
4��1� zV ��a���!����"�"�����%����������������-���*����5�����4�1������������9��������*��8
��9���$����1��������-����1������-����������!����.����,�����1���-���������������������8
%����]^��-*����'���_�����+���������������-���-���%"����������$���*���&����-�",��5�-����
b�"�$�����������������$"&���$�+��������������"���&�!����4��"��!����������",��5����"�8
$�����&5��"�$�������!�",�����,�&����-��-���$�-�����!��-���]��%��������'��(_�
c����-����*����&��d�-����!��$�"&�����%������*���1�-�$�"&����$������!����4��"������8
"���&+�����eYc X7f� )(�gradg Su
SS
������������1�� +���)���$�����1�!����5��������
������&�4�"���-��5����������&����9W���-��������%"�������!��������������-��� �� �&-�&
������������-�4�&�����-��������.���&���"���1��-������*��-���$�*�-�-���-���*����1���8
�������&�"&���&���������",��1���$�*�1���8������������������!���"���&���������
S
g �� ��
!��%"�+����-���.�����Z��1���$�*����������*����$������-�+�����$����,��������-�����1�
���$���",���%�",.�1�!����5������]�"����$�����(#�_�
7�������-�4�9����*���1��������4��������!�"&��!��$�"&9��!���-���.���&������*��1
��$�*����!����$��������$"&���"���1�����$�������4��",������!����������������"���&+����
���%"�������$���&�
S
g �]g����1���(h�_i
,,2
iiii xvxgxgaxggA � ,3,1, iGx e�f,,2
iiii xvxgxgaxggA �� ,3,1, iGx e�f
�
'.���/�
���'
�.�0
-$�1��.2��3�$.�4�-��5�$.2
-6
.327�1
������������������ !�"��#�$����#�%&�� ��8
�$��
�
�
�
'
' �
i j i
j
i
iii g
g
x
xga coscos �j����-����*����1��������!�"&
�&+���� �� )(grad)( ii xxv k �j���$����&�����4�&����!��$�"���&�-��� �� i �j����"
-�+$����!���"����-���������
S
g ����81�����$������1���,9��a��������������*����������8
!���"�������"���&+��������"�+���$"&���*��"���1��l�"���������
S
g ���"9%�1���*���!����8
����������!���"������$��������+����*���
���� ixP i )( �e�$�",����-�"����!����5������Z"8
"�!���$�f������������e�f��!��W����&�]�"����$����c�"�.��"���������"�.��"����(h'_i
.,2
3
1
202
i
iiiii xxrxvrxgxg e'f
�����*�������!���%��!������*�������*���1���"���&+�����j�!��������������.��������8
��*��1���$�*����!����$��������$"&����*���1�Yc X7�]�"����$�����( �_�"�%����.�������!�9
����������.��1������*��1���$�*���"����$���$"&�!����4��"����"���&+����i
,
,0
,4
Gx
Gxxf
xu i
i ���
,0u
���
,�ggrad
3
1
2
S
x
u
u
S
S
i i
S
.3,1i e
f
6��������4�&���$�*��e
f����-�+�����!��$!�"�+�����������",�����!���"���&�Yc X7���
!����5���������������������������*���",����!����.����������!��$�"�������!���"���&���"�
�&+�����j����-��$��&���$�*����������!��$�"�����Yc X7���"&����.��1��&����9W�1���*��
!�"�*��������������]�"����$�����$�����(h'_
,0cos
cos
cos
3
1i
i
i
i
xi g
x
gg
i
��� ,3,1i
�!��$�"&9W���-�$�",���"���&+�������!����������-����!��$�"���&-���"��� i ���!�������8
�������e�"�������������"��� i �!����������-����*���&-������������!��$�"������,9� iacos ���
%������*�����f�
b�!���������.�-��������$���������������$�*��e
f�$"&�!����4��"����"���&+�����!���4�8
!��"����������-�����i�����*��������-�+���"����������*�����(���� ������!��$�"�������"�
�&+�����������.��-�!������������!����*��-��%��"9���-����*���&-���"���&+����������-�8
����1�!����5���������4�"���-��5������9W�1�����-����������������+���-���-�",����$�!�"8
����",����$�������b�*��"�������"���&+�����������.��-�!������������!�����"���&5��$��8
���-��������!��$�"���&����!����5������������%��"9���5����*���1�����!���"���&����"�+8
�������$��������$�"����&���$���
m�.�9����$�*��e
f�!���-�!��"�$�����",��5�!��%"�+���1��b�!"����-��"�*���e�����*���
���*���&� �����������4�&��������&�����$��5�!���-����5f���$�*���!��$�"���&����-���*��1
����4����-�$�",����$������������1���$��������-�����-���������
,,0 Gxxu ii ��� ,0u ��� ,�grad
2 2
1
S
x
u
u
S
i i
S
��� ,2,1i ekf
�
�
��������
��
�
��: ������������������ !�"��#�$����#�%&��
����-�����$��������������.���&�]�"����$�����( �_��l�"�� )()()( ii xvixuzf �� '��i ��j
!������",��&���"�-�����&���������4�&��$�1������",��&�*���,������� ��������1����!�$��������8
.����-������*��1���$�*��ekf�����-��-�&�*���,�� ���� ��) ����&�"&���&���.����-�]�"����$���
�( �_���$�*��ekf ��3���.�������.��j�m�-���� �'� kk �j���"�����!��!��$���"&������
���$����������
���$��
�'
�� x
u
x
u
k tg ���
�'
'' x
v
x
v
k tg �j���"�������Z���8
4������������",��5��$�",����$�����������4�1�����
�e � �� ' �j���"��-�+$��!�"�+���",��-
��!���"����-�����������
f�
b�����*��1� 8��������������!���"���&������$������
l
u
Ugrad ��$����������.���1����8
��*��1���$�*��ekf������W��������$���������.���&���$�*��ekf������������$��5���.���1���$�*�
ekf����!���"���&����$�������������5�������"&"��%�����"�-��,.�� �e���"�-�+$�����$�����-�
$��5���.���1�ekf�j� n'����.���&�����"�*�9W���&�!����&���1��j���+$��������f�� �������
Z�����!��$!�"�+���&����W����"����!���-�*��"���������.���&�-���$�-�]�"����$�� ���(h _
�����*��1���$�*��ekf���!�-�W,9������4�1
,,0
2
1
1
i i
k
ii
k S
x
u
uxu ��� ,2,1i e�f
�$����Z���4�����
2
1
211
1
i i
k
i
k
k
i x
u
x
u
u
��!���"&9W�5�����������!�"�*�������-������1������*��5���"���1���$�*��ekf�� ku �j��8�
!��%"�+����������.���&�
��
������������������������ ����.����,� ���-������������&�e'f��������������6�!8
"���� �)( ixg �j��������,���.���1��������������$�����
������*��5���$�*�$"&���������1
��"���&+����� �' 'rxgxg ii /)()( ���� �� ����6�!"���� �)( ixg ���� �� �����$�������-
�����*��-���"����-� )(�g S
S
��b������
S
g ���!���"������$��������+����*���
�� �� �� � �
����.����,��$��"�����&��������*��1���$�*�� '' rxg i /)( ���� �������$����$��-�������*8
��-��$����-�� �
S
��!��*�-��� � � �
��l�"����*�"������$��������!�$������4�����-������
����������*��� 3���� ix i ���-��-
,66 1
2
2
2 aa e#f
��!�����"������*����%"���,����������&�!����5������V�-"������-�",�����������4�������!�"�
%�$��������
,
6360
0009812
minmax22max
2
2
2 rxgrxg
Gx
i
Gx
i
Gx
i
iii
.
6380
3000009782
maxmin22min
2
2
2
2
a
a
rxgrxg
Gx
i
Gx
i
Gx iii
3��9$������"�����e#f��!���
��������-�!�"�*��-�h#� � � � ��-c�"��b�!������*������"���&+������
���%�$��-�!������������!�����-�"�� ��������!����.����,�-�+���$����*,�����-c�"����%�",8
.�5�!"�W�$&5���-��1�!����5������
,
6360
0009812
minmax22max
2
2
2 rxgrxg
Gx
i
Gx
i
Gx
i
iii
.
6380
3000009782
maxmin22min
2
2
2
2
a
a
rxgrxg
Gx
i
Gx
i
Gx iii
�
'.���/�
���'
�.�0
-$�1��.2��3�$.�4�-��5�$.2
-6
.327�1
������������������ !�"��#�$����#�%&�� ��;
b� !"����-� �"�*��� kk
'
�
''
�
'
�
''
'
i
i
i
i xaxa � !��� 3���� ix i �
$������� � � ��k�-c�"�
X��"�����e#f�� �gg ��!�Z��-��$�1������",�������*�������"���&+���������$��+��<=��
*�-�!�"�*��������!��$!�"�+�����������-���*������e���Z��������������� �� ���j���"�������8
���������!����5�����f�
l�"���������������"�*���� '' r/ �!����&���&�����!����.����,� � �&�"&���&���.����-����8
��*��1���$�*�� Grrrg ,''
�� ��' �� �$�� �r �j����$�������*����� ������������
b���+����� ���
#
h�
'
#
�
'
�
'' g
xa
i
i �-�+�������� � ��!�Z��-�� � � �'���-c�"����!���
�
������-�j� � ���-c�"��7���-��%����-��*"����!�����������������e'f�!�*���!����&�����X���8
�����������������9W�5�!����.�����1������������*���������������"���&+�����"�*.���!!���8
��-������,����������-�e'f��*�-����������-�6�!"����
������������"���&+�����e'f�!������� �r �%��������5�$���&����!���-�"�-�
� �r �!����.����,
Z��1���-����
�
�
'
' �' rxaxg
i
i ��-����Z�����-�-�� �'� xx ��
/ax �
��������4�������-�",��1��%"������� �' ��������
�
'
��k ragmax ������$��!���
��
�������-� ' �����-c�"��b�Z��5��4����5�!����.��������-������������&�e'f����������-�6�!"�8
���!��$!�"�+�����*��������-�����1������4�������������)���>�����*���&���"���&+����o�!��8
%"�+���������*���&�
S
g ������",������"�*�����"�*����!����.�����1�
b�!�������������-������!���!������*����������.��-�!��������������.�9������������8
�99������*��9���$�*��������.�99�e������$&������.���9����������5������*��5���$�*�]�"�8
���$�����(#�_f�� ����.����,�!������*����������.��-�!��������������e��-�������.��1����8
��*��1���$�*�� �'rxgxg ii /)(2)( �������.�99���$�*�� �� )( ixg �!����$�������5
�����*��5���"���&5� �� g)(�g S
ar
f������� rra
a
c
/1/ ' ���$���������-����8
-�-�����%"�������!�����"����� k
'
/)(ag
ar
���$�����
��j����*�������"���&+��������!�8
���5������������$��� ��$!�"�+��������-���*��������"���&+�������!������*�������������
#�����-�$����!����.����,� �'k��c�"�
m�$��",��&���-!�������
'
'''
'
'
'
� ' cos
cos
rr
rM
xxx
M
r
Vr
���-�"��� ))((/)( '
'
'
'
� xxxMxV i �����$����$��1�������-����1�����4�����-��
��*������������ � �#
h����-����!����.����,�!������*���� rV
r
c
� ���$����j�!������",��&�!�8
���&���&��b���*��5�����
��� �����!����.����,������� ])(/[ rVraaM '
� �������-����8
-�-�!���"9%�-�������������-�����W���������� ��������������&����p ���������$���
��
x ��
�!�$����������4���",��-��-����-�-������*���������� ������������"9�����*�������
��l�"��-����
'��� )(aM �����-�"�&���%"�+��1���*���!����5������e������
f�����������-c�"o�!���
���#
h��
���#
#��������#
��� � �-c�"�
��� ����������-�4�9���%"9$��������"�����-�",�����!�"&���"���&+�����������.��-
!������������-�+������W����"&�,�!���-���.���&�-���$�-�]�"����$�����(h _������*��1���$�8
*��$"&���������&���"���&+�����e'f��������������!�����������������$"&������5��������48
!����5�����1�]�"����$�����( �_����"�*�����-�����Z""�!���$�����W���&�e��$������*���-�"�-
�+����-f������������9����W������������"�*��5�����",������%"���V�-"��
��������
��
�
�?& ������������������ !�"��#�$����#�%&��
���%5�$�-�����*��"����-�-�$�"���������&��������"���*����������+���&����$�-��8
��",��5���.���1���������&���"���&+�����e'f�!�"�*�������%W�-���$��]g����1���( '_���"&
��*��"���1���+���!��$����"&�,������������9W����������"����Z"�-�������5�����4�&5�
������*���[���-�"��\���"���&+����� ����������p� �����e������������-�",���������%"9$��8
�����!�"&���"���&+����f��-����������9�����]��%��������'���_��b!��*�-������*����,9��� � �
����k�-c�"����-�"�����"���&+����������������&�"&9��&����*���&-���������",��1�������"&8
9W�1�!����!���"���9�-�$�"&����$������
������*�������+����!�"�!��������������������1�!"�������� �����������������e'f����"�8
+����b�!���������������",��1������-������!���!������*��������������-��������$������!�8
���5������������������������",��������������
xW / ����-�"������!�$�!����5����,9����8
-�",����-��������!�"�+�����������������-�������&��������������"�$�������-���*����
!��$�"+��,�
xW / �����������-������%"�+�1.�-����%�-���*��-�!�"&��V�$�*����!�$�%��1
!������������@��)*�������������)� �e�-����%������*����-��+��������.���1�]�"����$���
�( �_f�
�!"
#����������
������g��"�������.����]�"����$�����(h _���"���1��&������*��&���8
$�*��e
f�$"&�!������������������"�*�&���!�-�W,9������4��������!��4����
,0nu ��� ,2
1
1 S
x
u
u
S
i i
n
ni
ehf
�$�� nu ��� �nu �j��8����e��p��f8��!��%"�+������ )( �ni u �j��81���!���"&9W�1������������8
$������e��p��f8���!��%"�+���&� �nu ��X�4�",9�!���������5�$�-����������4��������!��4����
ehf���.�������������.���������*������$�*�i
,0u ��� ,grad
2
3
2
2
2
1 xxx
h
u
S
e f
,0u ��� ,grad
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1 xxhx
h
xxhx
h
u
S
e(f
,0u ���
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1 32
grad
xxhxxxhx
xxx
hu
S
,
22
32
3
2
2
2
1
3
31
2
2
2
1
32
3
2
2
2
1
3
31
2
2
2
1
xxhx
xxhxx
xxhx
xxhxx
e��f
�$���������� �
x ��-����j����������",��&�!"������,��7�*������.����������*��5���$�*�e f��
e��f�������i
�
'.���/�
���'
�.�0
-$�1��.2��3�$.�4�-��5�$.2
-6
.327�1
������������������ !�"��#�$����#�%&�� �?�
2
3
2
2
2
1 xxx
h
u ����� ,
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1 xxhx
h
xxhx
h
u
�������*��&���$�*��e(f���*�������.���&�����-�����m�������""9�������������",�������.���&
����������4�1���$�*��e f���
����*��5�!����5����������������-����1���������.���-� ��ix �-
���%"�����p'�� � 'x � �'���-��p'�� � �x � �����-�e��-���4�&���"���j������ 1x �!�������������� 2x f �
������!��%"�+�������!���"���&����%���j� ��� �
�'�� )()()( uuu ��b�$����-
�����������.���&���&��� ��#���� � �
�'�� )()()( uuu �������$����� nu ���!����&
*���,������*�������"���&�e f����!�"������*����,9�$�� �����p#����#������4�1��Y�$�"����*����
��!��%"�+����������$����������!�$�9������*����,9���ph�
c����*������$�*��e fje��f���.�"��$"&������5�!����5�!��%"�+���1���!�"�+���&���!�8
-�����",��5���*���]�"����$�� ���(h _ ���!��$�"&9W�5����$�-����",������.���& ��b��"�*��
���������!�-�����",������*�����&������!"�������� �
x ��g��"�������4�1�����������5����,�8
����"�������*���",���e���%�"�����f ���� ����>���� ����A���*��5���!��%"�+����5����$���8
�������!�$�9������*����,9� �����ph��������-�����!�$�9����-��,.�1���*����,9���8���B!�C��
�D��!�*!�����)����$�*���!������$��-���������*��5���"���&5�e$"&���5 ������"�*��������$�*�
����5"������!����$"���!���4�!�-����-�-�f��a������%������,�������&�����9�����5�$�-���,9
�����4�1���"�$�����*������,���!�����*����-�-�$�"���������
b��!��$�"�����!����.��������.���&���$�*��e f���$�1���������
#����$�-����",��5���8
.���1�������-��������!�"�+����5����!"�������� �
x �������4����j�!"������,� �
x ��6�8
��&���!����&�*����������*��5���"���1�e f�!��"��*�������1������4������!�"������*����,9� ��
����p#����������",��&�!����.����,���.���&���j����q���%��"9���&�j���p�o���!������$��5
!����.������$������9�� ��q�����"�*�����*��"������8
4�1�$��k(������"��!����.����,���.���&����!������$8
��5�j�$��
j��q��
xu / �j�$��'��q������W������
�5�*��"��$��#k����"�*�"��!����.����,���.���&��
!������$��5�$��h��q��5��&�!����&���"���&�*��������8
��*�������"���&�e f�!��"�����,-�������4�1����!�"�
����*����,9� �����p���a����Z�������%d&��&9��]�"��8
��$�����( �_���-���-�",����,9������-����$�-����",8
��5���.���1���-�"���,9�$����-�������-����4����8
Z���4�������$"&����$�-����",��5���.���1�
7�*��� �
'� xxx �����$�9W�&�!�"������$�*�
e f��j��$��������!�-�����",��5�]�"����$�����(h _���!8
��$�"&9W�5����$�-����",������.���& ��a��-��%d8
&��&�-���-�"�9���*����,��!��$�"���&�!������$��5
ixu / �!��!��%"�+����-����.���9��l�"��������
�5�$��������������!�-�����",��5���*������*����,��!8
��$�"���&�!������$��5�5�+������%�����$"&�
xu / �
l�"�� ��!���"����� ���$������ ��� *���� �����4�� �
�%������������������1����-�",9���)�>���,�!�����.8
�&&������*��&���$�*��e
f���.����&����$��"��������",8
��1���*����,9���!����.����,��%��"��"�������!"�5�1
�5�$�-���,9������4�1�ehf�e*��"���5�-�"�f����B!�C��
�D��!�*!�����)<E������*��1���$�*��������1�!����8
��$��1�
b��%W�-��"�*���������*��&���$�*��������1�!����8
��$��1��$�",���!���"���&��
����������������� ,0u � S
l
u
S
e��f
!�����"������*�����!���"��������.��1����-�"���
m����� ��m�.��������.��1������*��1
��$�*���"����$���e f�������-��������8
�������9W�1���%"�4��$����5�e ���
f�
��������
��
�
�?% ������������������ !�"��#�$����#�%&��
����)�,�� !<�����!���"���9���e��������$��1���*��������4����������!�$������������",��1f
0,inf
2
lN
Sx
e�'f
����-������.���&����"�*��������!����&������]r�4�$�����(##_��b������*��5���$�*�5�e fje��f
Z�����"�������!�"�&���&����"9%�1����������� �)��!"�������������������!�"�����$������*�*8
��-�����*����-�������*����%������*��1�!"��������j�������%����%������*����$�"����1���*��
!"���������� �
'x
lN ),( ���"&����������1������*��1���$�*��e��f�����*�*���������*����
�������%"���������"�����e�'f �$"&�$������*����"�$��1������4����*>B�!��+� ��������������$�
%�$�����W��������,���*�����������������1������������*�"�-�������������"��������-�"���g�8
�"������Z��!���-�����������������%����+�"��!"�5�9��%��"��"������,������*��1���$�*�
e��f��5��&������*������"���&��$��"�����&9��&�5���.�����*��"����������*�������*���&����8
$��������������!������$��5���@��)*������ ��>��
m�.��������������1������*��1���$�*��e f�$"&��$���*�������%����e���.�&&����-�",��-���
.���,������5���!���"���1����*�"������$�����e�������f����!�"�+�������������&������'������+8
��1����-�����%�������'k���!�-�����",������*�����&��������%������������1���kf����"�����ehf
!��� ��� �
�'�� )()()( uuu �������i�!��"��!&��1������4��������*�������*���&��$��8
"���������e � ���qf�����!��%"�+�������������!������$��������-�9����*�����%W��������*��-
��.����-� '
'
'
'
� xxxhU �������!������$��-�o����"�*�����*��"�������4�1�$��'k���
���"�*�"����*����,�!��%"�+���1��b���%" ������*�����5���*��5������4��e��*�����""���4��f
$������*������!��%"�+���������*���&����$��������!������$��5�e��$����5���*��5�������8��
��--���������!�$�9�����$��-����!����$����5�����%"���f����%�����'�8�����$�-����",������8
.�����e�������!�"������*��-���.����-���$�*��e ff��!��"��*�������1������4��������*������8
"���& ����.�������!������$�������"���$��"�����&�,�����*����,9� �����p
��g��%�����$�"��,
�"�&����������1*������������*��1���$�*��e��f������--����9�!����.����,���.���&������*8
��1���$�*��e f ��$"&�����4��� '
'
'
'
� xxxhU ���.���������*��&���$�*��e��f �� ��"�$8
�������"%4����%" ����$�9����.����� u ������*��1���$�*��e��f�����5�+����*��5i�!����.����,
�%��"��"����������1*�����,9���$�*��e��f�������-�$"����1��5�$�-���,9������4�1�ehf�
X5�$�-���,������4�1�e�f���!"����-��"�*����-�������%�������i���*����,���.���&����.��1
�����*��1���$�*��ekf��������*��-���"����-� �� '
'
'
�
S
xxS )( �����*��-���.���8
�-� '
'
'
� xxu ln � $"&� �$���*����� ������ �� 4�����-� �� ��*�"�� ����$����� !��� ��*�",��-
��!���"������ )(cos t�
� �� )(sin t�
� �e��j�4�����",��1����"�� �j����-�W�������8
*�",�������!���"���&f� ����������� ������ b� ��%"�� '�!����$������"�*�����������4�1��� $�
��"���&��5����������� �
� ���kugrad ��-����-�",����!����.��������.���1
����*��5���""���4���!��"����+$�1������4���$"&�!������$��5�j� k
� �� ����-�+$����*��-�
������
������� $ �� ���������"��������
���������!� ����%&'���!� �����������
����!�� ����%$$'�
��� ������
���"��
���
���
�
�x
u
'x
u
x
u
nu
�x
u n
'x
u n
x
u n
u
�x
u
'x
u
x
u
� �
�
�
� � �
�� �� �� ��
� � � � � � � � � � �
� �� �� � �� �� �� � �
�� � ��
�
� � �� �� � � �� � �
�
�
'.���/�
���'
�.�0
-$�1��.2��3�$.�4�-��5�$.2
-6
.327�1
������������������ !�"��#�$����#�%&�� �?�
��""���4���������*��-���.����� k
' �� ���$��
iii x
u
x
u
x
u )(
max
'�
'�
�
�
�
m�.��������������1������*��1���$�*����!���%"���!��&���5���"���&5��!��$�"&���&��
��*����,9�$��!����&���1�e!�Z��-��������������-���*������!��%"�+��������.���&f��������
e!��� ��� �!����&������4�&��$��"�����&��������*��1���$�*�f�
m�.������$�*�� ek f� ����$����-������� ����'�����!���"����-� ���$������ ''�
'
�
� /
e���!�"���!�&-�1� '� xx f ��a�����!���"������%������������-�",9����"�(� �����*��5������
'
'
�
'
'
�M ���
'
'
�
'
'
'M �������������!�"�&���&���"�����e�'f��7�*������.����
��$�*��������#(
���������*������"����� ������������b�!��%"�+����-���.�������$�*��ekf�e�����'�j
����",����$��&��������4�1���$�� �x �� 'x �j�����$�����������*��5���*�����""���4��f����$���8
���!��%"�+�����������*�������.���&�%"����������-����.���&����5�!������$������@��)*��9
���� ��>�����������!��%"�+����� ''�
'
�
� / �����%��!�*��������"���&�e�'f�
�"&��5�$�-����������4�1�e�f����%5�$�-�������",����*��%��)��������=������(�*!�)*��A!�
��!�*�E�e�'f���������%�����*�",��5�!��%"�+���1��$"&�������5��������4�&5�e�f����*����� !�
D>���F���G���)>� k
i ������%��!�*���9W�����"���&�e�'f�
m�.�����!�������4�&-�e�f�*��)������������*��1���$�*��$"&��$���*�������������4�����-
����*�"������$�����������*��-���"����-� '
'
'
� ��� xxS )( �!�����!���"�8
������
������� ( �� �������������������
��������������
���������!� ����%)'
��� ������
����"
�
� � � � � �
����� ��� ��� � � ��
� ��
� ����
� ����� � � �������� ����
� � �������� ���
���
�������
��
��� �������� ��������
m����'��m�.��������.��1������*��1���$�*��ekf�$"&�������������'�!��� ''�
'
�
� / �
��������
��
�
�?? ������������������ !�"��#�$����#�%&��
�������$������ ��
���
� �� �����#�
' �e����"9%���!����&�������!���"������Z�������%��!�8
*��������!�"����&���"���&�e�'f f��""9������������ ��
�e�� �� ������4�1f ��7�*������.����
'
'
'
� �� xxu ln �����-!"�����8��!�&+����&�e ��������
�j���"�-�����&�����8
4�&f�����-�����4�&�
�!��������.���9���.��j�m�-�������+���$��"�����&9��Z��1���$�*��
��� �
i ������4���e�f�����-&��&��������*��-����.���9�� ��������-!"�����8��!�&+����1
����4���
�
*����
����������
�������!����������������9�����!����4��"���������
���"���&+�������
!����4��"������-�"�����"���&+�����e!����4��"����-�",��1���"���&+�����
���������f��b�!�9
����>C�!��%"�+���&5������*��5���$�*������8���-������-������!���5�$������-�"��������9
+��A�)������",�����������&���������$��!�������������*��5���"���1�]
����!����4�&�� � � �
�(('_�����%5�$�-��"�.,�����*�����������*��1�����4��� �������&�,����-�"�9���"���&+�����
b���"���1��5������*��5���$�*�5�!���5�$������-�"�����-��&���"���9�*���,������*��5
��"���1�e
f��ekf�����������!���4�&���*��"���&�-�$�"&����$���������$�����%������i� wgrad
vu gradgrad ��l�"�������*��&�����4�&� �����j�-�$�",����$������!����4��"������"�
�&+������$"&�!����4��"�����-�"�����!�"�*��-���"���1��9������*��9���$�*�i
,0u �� ,,grad2
22
3
1
23
1
vuvS
x
u
x
v
x
u
i iii i
e�
f
�����*�������*���&�������1�!�����"���-�!����4��"�����-�",��1���"���&+��������!�$�9�
�������*��-����"���&-��e
f��m�.�9��Z�����$�*���$��-����!��"�$�����",��5�!��%"�+���1
e��"���&���� ��!�W���fi
,01nu
�
,
grad
grad
2
2
3
1
1
S
v
S
uv
x
u
x
u
x
v
S
n
i i
n
i
n
i
m����
��m�.��������������1������*��1���$�*��ekf�$"&��$���*�����������
�
'.���/�
���'
�.�0
-$�1��.2��3�$.�4�-��5�$.2
-6
.327�1
������������������ !�"��#�$����#�%&�� �?H
,01nu � ,
grad
2
2
3
1
1
S
v
S
S
x
u
x
u
x
v
S
i i
n
i
n
i
e�kf
,01nu � .grad2
22
3
1
1
vS
x
u
x
u
x
v
Si i
n
i
n
i
3!��$�"�����*��"����1�����������5�$�-����������4�1�e �k f��-����!�����*����1�����8
��� ���������������+$�1������4�����.����&������*��&���$�*�����"�%��5�$&W���&�!��4��8
�����W����������5�$.�9��Z��!"����4�9��"�����-����X5�$�-���,�e�kf���*��"�������-�$�"�
'
'
'
'
� xxx
h
U ��
'
'
'
'
�
�
hxxx
V �� )(grad)( VUS ���������4�
��e!"������,� �
x ����
#���"�5���""���4�������*��5�� �x ���p'��������� 'x ���p'������ ���
x ��������
�������' ��
��k ��� f�$"&�
#����$�-����",��5���.���1��!�"9���������5���5�$&��&�!�$���"�-�
��""���4������!"�������� �
x f�$����!�"����&���"���&� )()(gradmax Suv n
S
�
��� �����p
�!����1������4�����1�!��4���������.�"�&�������������4���������1�j�
#��!�8
�"�$��1�j���
������4���e!��� �����pk�j����k��h ����k#���������������f�
�"&����5������4�1�e�kf�!����1���.���������*��&���$�*����!������$��1��$�",�
x �������8
��4���b�!�-�����",������*���$"&����$�-����",��5���.���1���&������!"�������� �
x �
��%"�+�������.���&�������!������$��5�������5������4�1�5���.�����!�$�9��-�+$����%�1
e!��� �����p
�����*����,9���p'��!��� �����pk�����*����,9���p
f�����$�"���������*��5��
5����$8
�����$����*�������*���&�����"�5���""���4���e�81����"%�4f���������$����-�+$����-��e'81
���"%�4f�$������%"��
���������������9W���!����.������$"&������5� �����p��e�������'��������f�����j
��%"��k�
��"�$�&&���%"�4��!�����������*����*�!�������)�����)�� BB�����+ G��������*��5���"�8
��1�����"���5���*��5���""���4���%������"�*���&���"�*��������"���5���*���e���"�*���&�*��8
"������4�1������"�+����f����*!�A�)����!����.����,�e��*���&�������'f��a���������������"�8
��1��-�!���$�����!����.�����1���.���&������*��5���$�*���!������$��-����!�%�+$������8
�"�$����,�!����.��������.���1���+$�1����������1���$�*��
*��� ���7�������-�4�9����*���1�!�"&���"���&+�����������.��-�!������������-�+��
���W������,�!���-���.���&������*��1���$�*��e
f�$"&���������&���"���&+�����e'f���������8
��1���$�����������������������%�����1�-�$�"��V�-"���b�!"����-��"�*���Z����!���4�&����8
$���&�����.���9������*��1���$�*��ekf�!�������4�&-�e�f ��7�*����,������.���&���W��������
�����������-�����%��"��"����������$�*� ��!��%"�+���1���!���"���&�����-�������$����� �
!���-������*��"�������-���$��]�"����$�����(h _�e*��"����!�"�+���&����$�-����",��5���8
������
������� + �� ����
������������������
��������
���������!� ����%$)'
����
�������
����� � � ��� �� � ��� � � ��� ��
�� ��
�
��
� ���
��� � ���
��� � ��� � �����
�� ����
����� ���� ��� � ���� ��� � ����� ���
�
� � ����� ����� ����� ���� ����� ���� ����� �����
��������
��
�
�?� ������������������ !�"��#�$����#�%&��
������
������� ) �� ��
�������������������
��������
���������!� ����%$)'
����
��������������!������������
� ���� �� � �� ��� �� � ��� � � �� � ��� ��� �
� �� �� ���
����
����� ����
����� ���
���
� ��
���
� ����� ����
����� ����
����� ����� ���
�
� ���
����
����� ����� ����� ����� ��� � ����� ��
� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� �����
� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ��� � ��� � � �
��� � ��� � ����� ����� ����� ����� ����� �����
� ����
����� ����� ����� ����� ����� ���� ����
.���1f����!���"���&����.��1����-�"����$�",�������1���*��"&9��!������$�����������*��5
��"���&5�e��!�"��������"���&�e�'f f ���������&����Z�� �������.��������!�����5�-�$�"&5�!��
�!��$�"����5�������*���&5���!�.����3������������*��������$�����*��������.���1���$�8
*��j�����*�����������",���������.�������.���1�����$�������1���%���-�$�"����$�*������8
*�",��5�!��%"�+���1���.���&�
! ,�( �E� � (�+�� �������-) ���)������ �G���>��� +�� ��A�� � )�!<�������B�����) )<��
,������
������"��
2!����(���3��2��m�$��4�&���"���&+������j�7%�"���i�
�$8������cXXm���(#���j�'�#���
2!����(���3��2�� m�.����� �����*��5� ��$�*� -���$�-� ���"�+���&� !�� ����������",��-�����4�8
&-��j�Y�����i���������(h ��j�
�����
2!����(���3��2��m�.�������������5��������5���$�*������-�������j�7%�"���i�Y�4�����%����( ��
j�k�'���
2!����(���3��2�����! =*�!��3��-�#�� �)*�!�=*�!�����3��
��"�$���������������5���!�����������8
���-�4���!����4��",��5�!�"�1��j�7%�"���i�
�$8������cXXm���(h'��j�' k���
�G (���2���������������$�*��$"&�Z""�!��*����5���������1���������!��&$����j�Y�����i����8
�����(##��j�
� ���
��D�*��������I��V�$�*���"���)$���$"&��)$���"���&�!����4)�"����"���&+)��&�nn�c�������+�����j
'��(��j�+$��s�#��j�X���
'j�
(�
��)��B��) G�A��������4�����5���-�������5�!�"�1i�X%�����*�����$���n�3������$��b�t���X���5���
b�t
��X������������j�����i�������$�-�����(('��j�'k ���
4���>��2�t���3%�������������"���&+�����nn������XXm��X����r��j��(h���j�s�'��j�X���k�j�k(�
4���>��2�����3!��������������4�����5����-�"�1�nn����"������XXm��X����r��j��( '��j�s�k��j
X�� � j'��
��,����c����-����*������-���$��!���"�$��1�����������nn� ���"�������������j�Y�����o�6�8
������$i�3�7
���(
#��j�b�!�����j�X���
j'�k�
J��+����2�tI�� c����*��� ��$�*�� �)$���"���&�!����4)�"�� ��� ���*���&-��-�$�"&�1���� ���$)/���i���8
�������$�����������$������8-���������i��k����''�n���2�o�ucv���������2����'�����j��#���
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-96847 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0203-3100 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:42:44Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дубовенко, Ю.И. 2016-03-21T14:55:52Z 2016-03-21T14:55:52Z 2011 Об определении погрешностей гравиметрических трансформаций / Ю.И. Дубовенко // Геофизический журнал. — 2011. — Т. 33, № 1. — С. 136-146.. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0203-3100 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96847 550.831+838 Аналітичне продовження сили тяжіння в регіональному масштабі визначає розв’язок нелінійної межової задачі Алексідзе для рівняння сили тяжіння. Оцінено похибку її заміни на відповідну задачу для рівняння Лапласа. Точність розв’язку істотно залежить від міри обумовленості задачі, наближень напрямку шуканого градієнта, параметрів чисельного методу, напрямку зовнішньої нормалі, вздовж якої обчислюють похідні у граничних умовах. Exact gravity transforms in the regional studies are determined by the solution of nonlinear boundary-value Alexidze problem for the gravity potential. The errors of its substitution by the appropriate problem for the Laplace’s equation have been estimated. The accuracy of its solution extremely depends on the problem’s conditioning, approximations of the required gradient direction, parameters of numerical calculus and direction of the external normal, along which the proper derivatives are calculated. Аналитическое продолжение силы тяжести в региональном масштабе определяет решение нелинейной граничной задачи Алексидзе для уравнения силы тяжести. Дана оценка погрешностей ее замены на соответствующую задачу для уравнения Лапласа. Точность ее решения существенно зависит от меры обусловленности задачи, приближений направления искомого градиента, параметров численного метода, направления внешней нормали, вдоль которой вычисляют производные в граничных условиях. Благодарю академика В.И. Старостенко за ценные замечания касательно рукописи статьи. ru Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України Геофизический журнал Об определении погрешностей гравиметрических трансформаций Про визначення похибок гравіметричних трансформацій On determination of errors of gravimetric transformations Article published earlier |
| spellingShingle | Об определении погрешностей гравиметрических трансформаций Дубовенко, Ю.И. |
| title | Об определении погрешностей гравиметрических трансформаций |
| title_alt | Про визначення похибок гравіметричних трансформацій On determination of errors of gravimetric transformations |
| title_full | Об определении погрешностей гравиметрических трансформаций |
| title_fullStr | Об определении погрешностей гравиметрических трансформаций |
| title_full_unstemmed | Об определении погрешностей гравиметрических трансформаций |
| title_short | Об определении погрешностей гравиметрических трансформаций |
| title_sort | об определении погрешностей гравиметрических трансформаций |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/96847 |
| work_keys_str_mv | AT dubovenkoûi obopredeleniipogrešnosteigravimetričeskihtransformacii AT dubovenkoûi proviznačennâpohibokgravímetričnihtransformacíi AT dubovenkoûi ondeterminationoferrorsofgravimetrictransformations |