Математичне моделювання дисперсії і розсіювання сейсмічних хвиль в складнопобудованих колекторах нафти і газу
Запропонований новий метод математичного моделювання динамічних ефективних пружних постійних геологічного середовища ґрунтується на теорії методу умовних моментів. У результаті моделювання встановлено суттєву різницю між значеннями фазової і групової швидкості пружних хвиль тріщинуватого середовища,...
Saved in:
| Published in: | Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97136 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математичне моделювання дисперсії і розсіювання сейсмічних хвиль в складнопобудованих колекторах нафти і газу / Г.Т. Продайвода, Г.К. Хірнова // Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики: Зб. наук. пр. — 2010. — Вип. 7. — С. 261-272. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859911609519964160 |
|---|---|
| author | Продайвода, Г.Т. Хірнова, Г.К. |
| author_facet | Продайвода, Г.Т. Хірнова, Г.К. |
| citation_txt | Математичне моделювання дисперсії і розсіювання сейсмічних хвиль в складнопобудованих колекторах нафти і газу / Г.Т. Продайвода, Г.К. Хірнова // Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики: Зб. наук. пр. — 2010. — Вип. 7. — С. 261-272. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики |
| description | Запропонований новий метод математичного моделювання динамічних ефективних пружних постійних геологічного середовища ґрунтується на теорії методу умовних моментів. У результаті моделювання встановлено суттєву різницю між значеннями фазової і групової швидкості пружних хвиль тріщинуватого середовища, що залежить від формату тріщин і частоти. Встановлено дисперсію значень фазової і групової швидкості, що залежить від концентрації і формату мікротріщин. Коефіцієнти затухання повздовжньої та поперечної хвиль залежать не лише від ефективного розміру тріщин, але і від їх формату.
Предложенный новый метод математического моделирования динамических эффективных упругих постоянных геологической среды основан на теории метода условных моментов. В результате моделирования установлена существенная разница между значениями фазовой и групповой скорости упругих волн трещиноватой среды, которая зависит от формата трещин и частоты. Определена дисперсия фазовой и групповой скорости, зависящая от концентрации и формата микротрещин. Коэффициенты затухания продольной и поперечной волн зависят не только от эффективного размера трещин, но и от их формата.
A new method of mathematical modeling of effective dynamic elastic constants of a geologic medium based on a theory of the method of relative moments is proposed. The modeling revealed notable differences between phase and group velocities of elastic waves of a cracked medium which depends on the crack format and frequency. Phase and group velocity dispersion depending on microcrack concentration and format has been established. The longitudinal and transverse wave attenuation coefficients depend not only on the effective size of cracks but also on their format.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:02:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
261
Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2010
УДК 550
© Г.Т. Продайвода, Г.К. Хірнова, 2010
Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
м. Київ
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИСПЕРСІЇ
І РОЗСІЮВАННЯ СЕЙСМІЧНИХ ХВИЛЬ
В СКЛАДНОПОБУДОВАНИХ КОЛЕКТОРАХ
НАФТИ І ГАЗУ
Запропонований новий метод математичного моделювання динамічних ефектив-
них пружних постійних геологічного середовища ґрунтується на теорії методу
умовних моментів. У результаті моделювання встановлено суттєву різницю між
значеннями фазової і групової швидкості пружних хвиль тріщинуватого середо-
вища, що залежить від формату тріщин і частоти. Встановлено дисперсію значень
фазової і групової швидкості, що залежить від концентрації і формату мікротрі-
щин. Коефіцієнти затухання повздовжньої та поперечної хвиль залежать не лише
від ефективного розміру тріщин, але і від їх формату.
Ключові слова: динамічні пружні постійні, пружні хвилі, розсіювання, диспер-
сія, неоднорідне середовище, тріщини, флюїд.
Дослідження дисперсії і розсіювання пружних хвиль на мікро- і мак-
ронеоднорідностях геологічного середовища представляє інтерес у зв’яз-
ку з розробкою сейсмоакустичних методів пошуку та розвідки складно-
побудованих порід-колекторів, моніторингом відпрацювання родовищ наф-
ти, газу, вугілля.
Затухання сейсмічних хвиль у геологічному середовищі обумовлено
поглинанням і розсіюванням пружної енергії. У дослідженнях використову-
ють три діапазони частот, що не перекриваються: сейсмічний (10–100 Гц),
звуковий (1–10 КГц) і ультразвуковий (0,1–1 МГц). Питання про мож-
ливість переносу експериментальних даних з одного діапазону частот у
інший є проблематичним. Факт збільшення поглинання і дисперсії пруж-
них хвиль зі зменшенням довжини хвилі свідчить, що у реальному геоло-
гічному середовищі наявні неоднорідності різного розміру. Якщо в акус-
тичному і ультразвуковому діапазоні розсіювання пружних хвиль виклика-
но мікротріщинами, зернами мінералів, мікрошаруватістю, то у сейсмічно-
му – макротріщинами, зонами розущільнення, тонкошаруватістю тощо.
У зв’язку з цим привертає увагу розробка чисельних методів мате-
матичного моделювання дисперсії та розсіювання пружних хвиль на
структурних неоднорідностях геологічного середовища. Застосування
262
Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2010
методів, що існують для чисельних розрахунків розсіювання пружних
хвиль у реальному середовищі, обмежено невеликими концентраціями
мікротріщин.
К. Енг і Р. Труелл [1] розглядали розсіяння пружних хвиль на сферич-
них включеннях. Запропонований П. Уотерманом матричний Т-метод [2],
використовували В.К. Вардан, В.В Вардан і І-Синг Пао [3] з метою дос-
лідження розсіювання пружних хвиль на неоднорідностях циліндричної
форми.
А. Мєл і Л. Кнопов [4], І. Хадсон [5] вивчали розсіяння пружних хвиль
на мікротріщинах, які мають форму шайби, за обмеженої їх концентрації.
У цій статті розглянуто новий метод математичного моделювання
дисперсії і розсіювання пружних хвиль на неоднорідностях без обмежень,
пов’язаних з їхньою формою, властивостями, концентрацією, і який ба-
зується на методах теорії статистичного осереднення з використанням
методу умовних ймовірностей.
Статистичні ефективні модулі пружності. Рівняння руху запи-
шемо з врахуванням тензору напруги Коші лінійної теорії пружності [1]:
, ρ 0ij i jUσ − =&& , (1)
де σij – тензор напруги, ρ – щільність, jU&& – вектор зміщень. У даному
випадку індекс після коми означає диференціювання по відповідній про-
сторовій змінній, а точки над буквою символізують диференціювання по
змінній часу.
Будемо досліджувати гармонічний хвильовий рух типу :
( ) ( ) ( ), expA
i iU x t U x i t= ω , (2)
де ( )A
iU x – діюча амплітуда пружних зміщень, ω – кругова частота.
Використаємо закон зв’язку між напругами σij і деформаціями εα,β в
формі
ijij C αβ αβσ ε= , (3)
де Cijαβ – тензор пружних постійних геологічного середовища. Дефор-
мації зв’язані з вектором пружних зміщень співвідношенням
( ), ,
1
2
U Uαβ α β β αε = − . (4)
263
Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2010
Підставляючи вирази (3), (4) у рівняння (1), одержимо
( ) 2 0A A
ij ji
C U Uαβ αβ + ω = . (5)
Якщо геологічне середовище, в якому розповсюджується хвиля, нео-
днорідне, то тензор пружних постійних Cijαβ і щільність ρ є випадковими
функціями просторових координат. Припустимо, що ці функції статис-
тично однорідні в межах деякого приведення об’єму V, лінійні розміри
якого значно менші довжини хвилі [6].
Виділимо в лівій частині рівняння (5) диференціальний оператор з
постійними коефіцієнтами, тоді одержимо:
0 2
0
A
ij i j jC U U qαβ αβ + ω ρ = −% % (6)
де
0
0 0
2
0
0
0
0
( )
; ( ), ;
; ;
; ;
;
ij ij i j ji i
j j j j ij ij j
ij ij ij ij
j j j ij ij ij
C
U U U q i
C C
U U C C C
αβ αβ β α β α
αβ αβ αβ αβ
αβ αβ αβ
= λ δ δ + µ δ δ + δ δ
= − < > = σ + ψ + ω θ
σ = δ ε ψ = < ε >
θ = δρ+ < > ρ =< > +
δρ = ρ − ρ
%
% (7)
кутові дужки символізують операцію статистичного усереднення, кое-
фіцієнти λ0, µ, ρ0 мають постійні значення в межах об’єму приведення,
індекс амплітуди для скорочення опустимо.
Вирішенням рівняння (6) за допомогою функції Гріна в операторній
формі:
2, ( )U G q q= ∗ = ∇ σ + ψ + ω θ% , (8)
де ∇ – оператор диференціювання, зірочкою позначена операція інтег-
ральної згортки. Після диференціювання аргументу лівої частини рівнян-
ня (8) отримуємо:
2*( ) *E Г Н= σ + ψ + ω θ% , (9)
де Г і Н – інтегральні оператори типу згортка, дія яких виконується згідно
формул
264
Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2010
( , ) ( , )
( , )
* * * ,
* * .
ij i j i j
ij i j
Г G dV G N dS
H G dV
αβ αβ α αβ α αβ β
α α α β αβ
σ + σ + σ
θ = θ
∫ ∫
∫
Ñ (10)
Виконавши статистичне осереднення рівняння (9) за умови, що ко-
ордината – аргумент лівої частини – позначає точку, яка належить до
об’єму V1n, який заповнений сфероїдальними включеннями, орієнтовани-
ми в n-напрямку, запишемо рівняння:
1
1 2 1
1
1 * ,1 * ,1
m
n n
i i
i
Е n E Г i n w H i n w
+
=
= + σ + ω θ ∑ . (11)
Введемо позначення умовних статистичних функцій:
1,1 ( ) ,i nf i n f x x V y V= ∈ ∈ ,
( )1
1
n
i i nw p x V y V= ∈ ∈ – умовна щільність.
Використаємо умову про однорідність напружено-деформованого
стану в межах множини включень, орієнтованих в одному напрямку, тобто
будемо вважати
,1Е i n E i= , (і = 1, 2, … , m + 1). (12)
При обчисленні результату дії оператора Н можемо знехтувати також
флуктуаціями вектора пружних зміщень. Позначимо через ϕ кореляційну
функцію поля щільності і пружних постійних включень, орієнтованих в
n-напрямку. Тоді, згідно з методикою, що її використовують для розрахун-
ку ефективних пружних сталих стохастичних матеріалів, отримаємо
( )( ) ( ) ( )1 1
1 1 1 2
1 1 2 2 1
1 1 , 1 , 1 ,
/ , / , .
n n
i ni i ni i i i
i n i
w p p p w
V V V V V UV
= δ + ξ − − δ = ξ + − ξ ϕ = ξ − ϕ
ξ = ξ = =
(13)
Для визначення статичних ефективних пружних постійних неоднорід-
ного геологічного середовища підставимо в рівняння (11) ω = 0 і викори-
стаємо співвідношення (12), (13). Після інтегрування:
( )1 1 2 2
0
1 1 1 2 ,
* , .r r
E n E g C E n E C E
G Г С C C
= + δ − ξ − ξ δ
= ϕ δ = −
(14)
265
Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2010
Для осереднення цього виразу по множині Ω імовірних орієнтацій вклю-
чень отримаємо рівняння для визначення середніх деформацій компо-
ненти 2:
( ) ( ) 1
1 1 1
1 2 1 1 0
2 , , ,
, ,
I w E E w Zd Z I gf g
d C C f C C
−+ ξ = = = + ξ Ω
= − = −
(15)
де І – одиничний тензор четвертого рангу, кутові дужки з індексом Ω
символізують осереднення по орієнтаціям включень.
Вирішивши рівняння (15), отримаємо формули, що пов’язують середні
деформації компонентів і макроскопічні деформації об’єму:
( ) ( ) 1
1 2 2 1, , .rE r A E A A I w A I w
−
= = + = + ξ (16)
Статистичне осереднення закону Гука (3) з врахуванням виразу (16)
дає можливість записати співвідношення для обчислення тензору ефек-
тивних пружних постійних СЕ:
2
1 2 2 1 1 2 2, , , .E M MC C d q g ZA C C C= + ξ ξ = ξ ξ = = ξ = ξ (17)
Якщо kr, µr – модулі об’ємного стиснення і зсуву r компоненти, а
включення мають сферичну форму з співвідношенням півосей æ, то для
розрахунку ефективних пружних постійних Кe, µe геологічного середови-
ща зі сфероїдальними включеннями отримаємо наступні формули:
, .E M d A E M d AK K K S P= + ξ µ = µ + ξµ (18)
Тут прийняті такі позначення:
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2, , , ,d d М МK K K К К К= + µ = µ − µ = ξ + ξ µ = ξ µ + ξ µ
( ) ( )1 1, , / 1 , / 1 ,A q d A q d q z d q z dS S S P P P S S S P P P= = = + ξ = − ξ
Д, , 3 , 2 ,w z d w z d d dS S S P P P S K P ∆= = = = µ
( ) ( )1 1
2 2 2 , 2 2 2 6 6 ,
3 15z T z Tz z
S t l l n P t l l n v w= + + + = − − + + +
( ) ( ) ( )2 , , ,z c g c g z c g c g zt c g ct gz z z
T n t l l C l n t l n C l t l l t C= − = − = −
( ) ( )2 , / , / , 2 ,z c g ct g z g c z g c n Tz
N t n l l C v v v w w w C t ll C= − = = = −
266
Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2010
( ) ( ) ( ) ( )2 3, 3, 3, 2 3,c c ct ccl cl ct ct
t S p l S p l S p n S p= + = − = − = +
1 1 1 11 , 1 , 1 , 1 ,cl F gl ct F gt cl F gl ct F gtS S S S S S P P P P P P= − = − = − = −
( ) ( )1 1 1 1 0 1 1 01 , 1 , 3 , 2 ,c F g c F g F FV P V W P W S K K P= − = − = − = µ −µ
( ) ( ) ( ) ( )1 3, 2 , , 2 , ,gl gt g gl gtg g g gS l t S n l l g r P t l P n l= + = + = − = − = −
( ) ( )1 2 3 1 1 3 0 2
1
, 2 , ,
2g g g gt g j r n g j r V g j t= + = + = +
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 0 12 , 1 , , 1 2 ,gl gt g g gg gP t l P n t g j r W g j l= − = − = + = + −
( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3
3 11 4 , 1 2 , , / ,
34
g g n n K r K j = − µ = − = + µ = µ +
( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 3 1æ r 1 , 1 , 1 2æ 1 2 , æ 1,j j r j j j j r r = − = − = + − = −
0 2 2 1 1 2 1 2 2 1
ln( ), якщо 1 , /( ),
arcsin( ),якщо 1
rj K K K K K K
r
+ >= = + +
<
χ χ ξ ξ ξ ξ
χ
0 2 2 1 1 2 1 2 2 1/( ).µ = ξ µ + ξ µ µ ξ µ + ξ µ (19)
Вираз (19) можна використовувати як за наявності твердих вклю-
чень сфероїдальної форми, так і для розрахунку ефективних пружних по-
стійних геологічного середовища, що містять пори і мікротріщіни.
Ефективні динамічні пружні модулі. З метою визначення ефек-
тивних динамічних пружних модулів геологічного середовища в довго-
хвильовому наближенні розкладемо функцію Гріна рівняння (6) в ряд за
параметром, пов’язаним з коловою частотою і розглянемо перші чотири
члена:
2 3
(0) (1) (2) (3)( ) ( ) ( ) ( ) ( ).mn mn mn mn mnG X G X i G X G X i G X= + ω + ω + ω (20)
Введемо наступні позначення:
1
( )
0 0 0
( ), / , ,
( 3 ) ( )1, ,
( ) 8 ( )
n
kl n n ij n i j i i
e e e e
e e e e
G X a b X X X X
a b b
−= δ + γ γ γ = =
λ + µ λ + µ
= =
λ + µ π η µ
267
Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2010
1 23 3 4 4
0 0
2 2
0 0 0 1 1 2 2
1 2 1 1 3 1, ,
12 32
2/ , / , 2 , , .
3
T L T L
T e L e e e e et e e
a a
C C C C
C C K
= − + = − + πρ πρ
= µ ρ = η ρ η = λ + µ λ = − µ ρ = ξ ρ + ξ ρ
(21)
Будемо апроксимувати функції, що залежать від частоти хвилі, лише
першими членами рядів розкладання, а саме:
3cos( ) 1 / 2, / , sin( ) / 6,
2, , .
m mkx x v c kx
x x k kv k
c
= − α α = ω γ = α − α
ω π
= γ = = =
λ
(22)
У цьому випадку дію оператора Г і Н в рівнянні (11) можна записати
так:
* ,
* ( ).
ij ij g ij g ij g ij g ij
ij ij b H ij H ij
g Г l p I a I b k
h H v l p I
αβ αβ αβ αβ αβ αβ
α α αβ αβ
= ϕ = δ δ + + +
= ϕ = δ δ +
(23)
Тут прийняті позначення:
( )
2 3 2 3 2
0 2 3 2 0 3 2
2 2
2 2 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 2 2 1 2 2 2 12 2
3 3 2 3 3 3 2 2
, , , ,
8 4, , , 5 ,
15 15
74 23 , 2 , 5 3 ,
15 7 15 14
2, (2 ) ,
35
g g g g H H g g g H H
H H H H g g
g g g g g
g g g
l l l i l a a p p i p b b
l l p p l b p b a
b a bS l p l b I p a b I
c c
l b I p a b I a
= + ω + ω = ω = + ω = ω
π π
= ω = ω = = − +
− = + = − = + +
= = + = ( )
( )
0 1 2 0 0 12 2
2 3
2 0 1 2 0 0 1 1 2
1, 7 3 ,
70
2 2, 5 , 4 , 8 ,
15 15
g
H H
b I l a b I
c c
l b I p a b I I D I D
= +
= − = + = π = π
(24)
D – середній діаметр розсіяння включень.
Умовні математичні очікування тензорів деформації компонентів E r
визначається за допомогою операторів g*h та статистичних середніх:
2 3
0 2 3, ,r r r r rE r A E A A A i A= = + ω + ω (r = 1,2). (25)
268
Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2010
Врахуємо члени, що містять частоту не більше третьої степені.
Підставляючи вираз (25) в співвідношення між тензорами напруги і де-
формацій (3), отримаємо
,EC Eσ = (26)
де СЕ – ефективний динамічний тензор пружних постійних, який у випад-
ку розоріентованих включень має вигляд
332 3 2 2
0 2 3 0 2 3 2
12 ,
3
, , .
E E E E
ij ij ij ij i j
E E E E E E E E E E
C k I v v
k k k i k i
αβ αβ αβ αβ αβ
= δ δ + µ − δ δ + γ δ
= + ω + ω µ = µ + ω µ + ω µ γ = ω γ
(27)
Використовуючи вирішення (16) та (25) запишемо вираз для розра-
хунку ефективних пружних постійних (27):
0 0 2 2 3 3 2 2
3 3 2 2 0 0 0 2 0 2 0 2 0
3 0 3 0 3 2 0 2 0 2 0
3 0 3 0 3 0 2 0 2 0
, , , , ,
, 2 , / , ( / / ),
( / / ), ( / / ),
( / / ), ( /
E E E E E
e e D A D A D A
E E
D A D A A y x A A y y x x
A A y y x xo A A y y x x
A A y y x x A A y y x
k k k k s k k s p
p s s s s s s s s s
s s s s s s p p p p p p
p p p p p p p
= µ = µ = ξ = ξ µ = ξµ
µ = ξµ γ = ξµ γ = = −
= − = −
= − γ = γ γ − γ
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 0
0 0 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2 2 3 3
0 0 2 2 2 2 2
3 3 2 2 2 2 2
1 2 2 1
/ ),
1 , (3 ) , (3 ) ,
, ,
1 , ,
, 5 2 2 ,
3( )
x
x F g x x
x F g g F g g F H x F g F g
x F g x F g g g F H
x f g x F g g F g g
F e
s s s s l p x s l p x
l l s a p l a l l l s p l
p p p p p p a b p
p p p l a b p a b
s k k k
γ
= − = + + γ = +
= + + + + ρ = − +
= − = − + + + ρ
= − γ = − + + +
= ξ + ξ − ( )
( )
1 2 2 1
1 2 2 1 0 0 0 2 3 32
2 2 2 2 2 2 3 3 3
0 0 2 2 2 2 2 2 3 3
2 2 2
, ( ) / 3 , 2 ,
, , 3 , (3 ) ,
( ) ( ) , ,
, ( ) , ,
(5 2
F F F F e
F y D g y y yy
y D g g D g g D H y D g D g
y D g y d g g g D H g y D g
y D g g
l s p s p
s s s s l p s l p
l l s a p l a l l l s p l
p p p p p p a b p a p p p
l a b
= − = ξ µ + ξ µ − µ
ρ = ξ ρ + ξ ρ −ρ = = + + γ = +
= + + + + ρ = +
= = + + + ρ + =
γ = + 2 2 1 2
1 2 1 2
) (2 ), 3( ), ( ) / 3,
/ 3, 2( ), .
d g g D D D D
d D D D
p a b s k k l s p
k s p
+ + = − = −
= = µ − µ ρ = ρ − ρ
(28)
269
Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2010
Ефективні динамічні модулі пружності ізотропного неоднорідного гео-
логічного середовища є функціями частоти хвилі, що поширюється. На-
ведені формули (27), (28) отримані без обмежень на величину флукту-
ацій пружних властивостей компонент геологічного середовища. Вони
справедливі для дослідження динамічної поведінки таких середовищ з
пустотами і тріщинами.
Коефіцієнт поглинання і дисперсія пружних хвиль. Запишемо макро-
скопічне рівняння руху в такому вигляді:
0E
ij ijC u uαβ α β
− ρ =&& (29)
і розглянемо поширення плоскої гармонічної хвилі в неоднорідному гео-
логічному середовищі
( ) ( )exp .j ju a k i t kx= ω − (30)
Враховуючи ефективні динамічні модулі пружності (27), використо-
вуючи рівняння (29), (30), отримаємо
2 21 0.
3
E
E
i j i i ik k k a k a a + µ + γ µ − ω ρ =
(31)
Система (31) визначає комплексні хвильові вектори:
( )
1
2/ ,E
T Tk k= = ω ρ µ ( )
1
2/ ,E
L Lk k n= = ω ρ 4 .
3
E
En k = + µ + γ
(32)
Уявні частини хвильового вектора є коефіцієнтами поглинання:
4
3 0
1
/( ),
2
E E
m T TI k c− = ω µ µ 4
3 0
1
/( ),
2
E E
m L TI k n n c− = ω
1
2
0( / ) ,E
Tc = µ ρ
1
2
0( / ) ,E
Lc n= ρ
3 3 3
4
3
E E En k= + µ , 0 0 0
4
.
3
E E En k= + µ
Вирази для фазової і групової швидкості можна записати так:
( ) ( )1 ,PT Tc c zω = + ( )( ) 1 3 ,GT Tc c zω = + ( )
1(1 ),PL Lc c zω = + 1(1 3 ),GL Lc c z= +
2
2 0/(2 ),E Ez = ω µ µ 2
1 2 0/(2 ),E Ez n n= ω 2 2 2 2
4
.
3
E E E En k= + µ + γ
270
Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2010
Результати математичного моделювання. З метою досліджен-
ня дисперсії фазової та групової швидкості в тріщинуватому геологічно-
му середовищі проведені чисельні розрахунки для моделі тріщинуватого
вапняку, що містить пустоти різної форми. Прийняті наступні пружні мо-
дулі та щільність твердого скелету вапняку: К2 = 75 ГПа, µ2 = 45 ГПа,
ρ2 = 2,70 г/см3. Для пустот і мікротріщин були прийняті наступні пара-
метри: для сферичних пор – æ = 1, для сфероїдальних æ = 10–1, æ = 10–2,
для мікротріщин æ = 10–4, для каверн æ = 104.
Розглянемо залежності частотно незалежної (статистичної) СL та
динамічної СPL фазової швидкості повздовжньої хвилі від концентрації пор,
мікротріщин та каверн для частоти f = 0,3 МГц і діаметру розсіювача
0,2 см. Спостерігається додатня дисперсія (СL < СPL) фазової швидкості
для сферичних пор практично у всьому діапазоні концентрацій, але при
ξ1 = 0,475 дісперсія швидкості зникає, а за подальшого збільшення їх
концентрації спостерігається вже від’ємна дисперсія СL > СPL. Аналогіч-
на залежність для каверн та сфероїдальних пор.
Для моделі тріщинуватого вапняку æ = 10 спостерігається від’ємна
дисперсія СL > СPL. Остання зростає також зі збільшенням розміру мікро-
тріщин. Тріщинуватий вапняк є ефективним акустичним фільтром. Ці вла-
стивості різко проявлені за збільшення розміру мікротріщин навіть за
відносно невеликої їх концентрації. Співвідношення СGL/СPL спочатку зро-
стає, потім, за збільшення концентрації пустот різного формату, знов змен-
шується. Причому групова швидкість повздовжньої хвилі стає менше
від фазової швидкості.
Коефіцієнт розсіяння пружних хвиль обчислюється із співвідношення
, , ,( ) 4 ( ) / ( ) .P T m L T L TI k k α = π − (33)
Розсіяння повздовжніх і поперечних хвиль достатньо швидко зростає
за збільшення концентрації пор, каверн та мікротріщин. За однакової кон-
центрації затухання зростає в такій послідовності: сферичні пори, голчаті
каверни, сфероїдальні пори, мікротріщини. У мікротріщинуватих вапня-
ках коефіцієнти розсіяння повздовжних та поперечних хвиль дуже швид-
ко збільшуються навіть за невеликої концентрації мікротріщин. Наприк-
лад, за концентрації мікротріщин близько одного відсотка тріщинуватий
вапняк можна розглядати як акустичний фільтр. Розсіяння пружних хвиль
зростає також зі збільшенням частоти.
Таким чином, пористі, кавернозні та мікротріщинуваті вапняки при
розповсюдженні пружних хвиль поводяться як пружні середовища. Час-
271
Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2010
тоту, за якої енергія пружної хвилі повністю розсіюється тріщинуватим
геологічним середовищем, можна називати граничною частотою про-
пускання пружних хвиль. Зазначимо, що розглянуто затухання, обумов-
лене геометричною дисперсією або розсіянням. У цьому випадку диси-
пація пружної енергії за рахунок поглинання середовища відсутня. За низь-
кої концентрації та частоти розсіяння є майже зайвою функцією концент-
рації, оскільки пори, каверни та мікротріщини поводяться як одиничні
розсіювачі пружної енергії.
Висновки. Розроблено новій метод та алгоритм математичного мо-
делювання пружних хвиль у тріщинуватих геологічних середовищах. Його
переваги полягають у тому, що він не накладає жодних обмежень на
концентрацію тріщин, а також враховує реальну структуру тріщинно-по-
рового простору.
Розсіяння пружних хвиль у пористих, кавернозних, мікротріщинува-
тих вапняках залежить від частоти, форми та розміру розсіювача, а та-
кож його концентрації.
Поведінка тріщинно-порового геологічного середовища під час роз-
повсюдження пружних хвиль подібніша до поведінки дискретного сере-
довища, що підтверджує дисперсія фазових і групових швидкостей та
характер затухання.
Затухання пружних хвиль реального тріщинно-порового геологічного
середовища обумовлено не тільки в’язкопружними властивостями ске-
лету та флюїду, що заповнює тріщинно-поровий простір середовища.
Велике значення має пружне розсіяння енергії на локальних неоднорід-
ностях середовища.
Таким чином, отримані результати розширюють наші уявлення щодо
закономірностей розповсюдження пружних хвиль у геологічному сере-
довищі, мають велике значення для інтерпретації результатів сейсмо-
акустичних досліджень у процесі пошуків та розвідки нафти та газу в
складних геологічних умовах.
1. Труэлл Р., Эльбаум Ч., Чик Б. Ультразвукове методы в физике твердого тела. – М.:
Мир, 1972. – 308 с.
2. Waterman P.C. New formulation of acustic scattering // J. Acoust. Soc. Amer. – 1968. – 45,
№ 6. – P. 1417–1429.
3. Vardam V.K. Multiple scattering of elasic waves by cylinders, of arbitrary Cross section //
Ibid. – 1978. – 63, № 5. – P. 1310–1319.
4. Mal A.H. and Knopoff L. Elasic wave velocities in two–component systems // J.Inst.
Math. Apllics. – 1967. – 3. – P. 76–387.
272
Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2010
5. Hadson I.A. Wave speeds and attenuation of elasic waves in material containing cracs //
Geophys. J. R. Astr. Soc. – 1981. – 64. – P. 133–150.
6. Маслов Б.П. Формирование структуры композиционных материалов и их свойства. –
М.: Научный мир, 2006.
Математическое моделирование дисперсии и рассеивание сейсмических
волн в сложнопостроенных коллекторах нефти и газа Г.Т. Продайвода,
А.К. Хирнова
РЕЗЮМЕ. Предложенный новый метод математического моделирования динами-
ческих эффективных упругих постоянных геологической среды основан на теории
метода условных моментов. В результате моделирования установлена существен-
ная разница между значениями фазовой и групповой скорости упругих волн тре-
щиноватой среды, которая зависит от формата трещин и частоты. Определена
дисперсия фазовой и групповой скорости, зависящая от концентрации и формата
микротрещин. Коэффициенты затухания продольной и поперечной волн зависят
не только от эффективного размера трещин, но и от их формата.
Ключевые слова: динамические упругие постоянные, упругие волны, рассея-
ние, дисперсия, неоднородная среда, трещины, флюид.
Mathematical modeling of dispersion of seismic waves of composite rock-resrvoirs
of oil and gas G.Т. Prodaivoda, G.К. Hirnova
SUMMARY. A new method of mathematical modeling of effective dynamic elastic
constants of a geologic medium based on a theory of the method of relative moments is
proposed. The modeling revealed notable differences between phase and group velocities
of elastic waves of a cracked medium which depends on the crack format and frequency.
Phase and group velocity dispersion depending on microcrack concentration and format
has been established. The longitudinal and transverse wave attenuation coefficients
depend not only on the effective size of cracks but also on their format.
Keywords: dynamic elastic constant, elastic waves, dispersion, inhomogeneous media,
cracks, fluid.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-97136 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2409-9430 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:02:28Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Продайвода, Г.Т. Хірнова, Г.К. 2016-03-25T16:26:59Z 2016-03-25T16:26:59Z 2010 Математичне моделювання дисперсії і розсіювання сейсмічних хвиль в складнопобудованих колекторах нафти і газу / Г.Т. Продайвода, Г.К. Хірнова // Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики: Зб. наук. пр. — 2010. — Вип. 7. — С. 261-272. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 2409-9430 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97136 550 Запропонований новий метод математичного моделювання динамічних ефективних пружних постійних геологічного середовища ґрунтується на теорії методу умовних моментів. У результаті моделювання встановлено суттєву різницю між значеннями фазової і групової швидкості пружних хвиль тріщинуватого середовища, що залежить від формату тріщин і частоти. Встановлено дисперсію значень фазової і групової швидкості, що залежить від концентрації і формату мікротріщин. Коефіцієнти затухання повздовжньої та поперечної хвиль залежать не лише від ефективного розміру тріщин, але і від їх формату. Предложенный новый метод математического моделирования динамических эффективных упругих постоянных геологической среды основан на теории метода условных моментов. В результате моделирования установлена существенная разница между значениями фазовой и групповой скорости упругих волн трещиноватой среды, которая зависит от формата трещин и частоты. Определена дисперсия фазовой и групповой скорости, зависящая от концентрации и формата микротрещин. Коэффициенты затухания продольной и поперечной волн зависят не только от эффективного размера трещин, но и от их формата. A new method of mathematical modeling of effective dynamic elastic constants of a geologic medium based on a theory of the method of relative moments is proposed. The modeling revealed notable differences between phase and group velocities of elastic waves of a cracked medium which depends on the crack format and frequency. Phase and group velocity dispersion depending on microcrack concentration and format has been established. The longitudinal and transverse wave attenuation coefficients depend not only on the effective size of cracks but also on their format. uk Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики Комплексні методи інформаційного забезпечення ресурсних питань Математичне моделювання дисперсії і розсіювання сейсмічних хвиль в складнопобудованих колекторах нафти і газу Математическое моделирование дисперсии и рассеивание сейсмических волн в сложнопостроенных коллекторах нефти и газа Mathematical modeling of dispersion of seismic waves of composite rock-resrvoirs of oil and gas Article published earlier |
| spellingShingle | Математичне моделювання дисперсії і розсіювання сейсмічних хвиль в складнопобудованих колекторах нафти і газу Продайвода, Г.Т. Хірнова, Г.К. Комплексні методи інформаційного забезпечення ресурсних питань |
| title | Математичне моделювання дисперсії і розсіювання сейсмічних хвиль в складнопобудованих колекторах нафти і газу |
| title_alt | Математическое моделирование дисперсии и рассеивание сейсмических волн в сложнопостроенных коллекторах нефти и газа Mathematical modeling of dispersion of seismic waves of composite rock-resrvoirs of oil and gas |
| title_full | Математичне моделювання дисперсії і розсіювання сейсмічних хвиль в складнопобудованих колекторах нафти і газу |
| title_fullStr | Математичне моделювання дисперсії і розсіювання сейсмічних хвиль в складнопобудованих колекторах нафти і газу |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання дисперсії і розсіювання сейсмічних хвиль в складнопобудованих колекторах нафти і газу |
| title_short | Математичне моделювання дисперсії і розсіювання сейсмічних хвиль в складнопобудованих колекторах нафти і газу |
| title_sort | математичне моделювання дисперсії і розсіювання сейсмічних хвиль в складнопобудованих колекторах нафти і газу |
| topic | Комплексні методи інформаційного забезпечення ресурсних питань |
| topic_facet | Комплексні методи інформаційного забезпечення ресурсних питань |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97136 |
| work_keys_str_mv | AT prodaivodagt matematičnemodelûvannâdispersííírozsíûvannâseismíčnihhvilʹvskladnopobudovanihkolektorahnaftiígazu AT hírnovagk matematičnemodelûvannâdispersííírozsíûvannâseismíčnihhvilʹvskladnopobudovanihkolektorahnaftiígazu AT prodaivodagt matematičeskoemodelirovaniedispersiiirasseivanieseismičeskihvolnvsložnopostroennyhkollektorahneftiigaza AT hírnovagk matematičeskoemodelirovaniedispersiiirasseivanieseismičeskihvolnvsložnopostroennyhkollektorahneftiigaza AT prodaivodagt mathematicalmodelingofdispersionofseismicwavesofcompositerockresrvoirsofoilandgas AT hírnovagk mathematicalmodelingofdispersionofseismicwavesofcompositerockresrvoirsofoilandgas |