Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин с помощью распределенных пьезоэлектрических включений

Дана постановка задачи об активном демпфировании стационарных и нестационарных изгибных колебаний тонких вязкоупругих пластин с использованием распределенных пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов. Рассмотрены случаи программного управления колебаниями пластины без обратной связи и управления коле...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2002
Main Authors:	Карнаухов, В.Г., Козлов, А.В., Пятецкая, Е.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2002
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/972
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин с помощью распределенных пьезоэлектрических включений / В.Г. Карнаухов, А.В. Козлов, Е.В. Пятецкая // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 4. — С. 15-32. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860082115793649664
author	Карнаухов, В.Г. Козлов, А.В. Пятецкая, Е.В.
author_facet	Карнаухов, В.Г. Козлов, А.В. Пятецкая, Е.В.
citation_txt	Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин с помощью распределенных пьезоэлектрических включений / В.Г. Карнаухов, А.В. Козлов, Е.В. Пятецкая // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 4. — С. 15-32. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	Дана постановка задачи об активном демпфировании стационарных и нестационарных изгибных колебаний тонких вязкоупругих пластин с использованием распределенных пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов. Рассмотрены случаи программного управления колебаниями пластины без обратной связи и управления колебаниями с использованием обратной связи. Представлено несколько вариантов уравнений обратной связи, обеспечивающих изменение жесткостных, диссипативных и инерционных характеристик пластины. Основные соотношения получены на основе гипотез Кирхгофа-Лява, дополненных гипотезами о распределении электрических полевых величин. Для прямоугольной пластины с шарнирным закреплением торцов получены аналитические выражения для потенциала, демпфирующего любую из мод колебаний, возбуждаемых гармонической во времени поперечной нагрузкой. Аналогичные выражения получены и для заряда сенсора. Для других типов граничных условий и геометрии пластины при решении использован метод конечных элементов. На основе аналитических и конечно-элементных решений получены численные результаты, иллюстрирующие эффективность активного контроля стационарных и нестационарных колебаний пластины. Дано постановку задачі про активне демпфування стаціонарних і нестаціонарних коливань тонких в'язкопружних пластин з використанням розподілених п'єзоелектричних сенсорів та актуаторів. Розглянуті випадки програмного керування коливаннями пластини без оберненого зв'язку і керування коливаннями з використанням оберненого зв'язку. Представлені декілька варіантів рівнянь оберненого зв'язку, які забезпечують зміну жорсткістних, дисипативних та інерційних характеристик пластини. Основні співвідношення одержано на основі гіпотез Кірхгофа-Лява, доповнених гіпотезами про розподіл електричних польових величин. Для прямокутної пластини з шарнірним закріпленням торців одержано аналітичний вираз для потенціалу, який демпфує кожну з мод коливань, які збуджуються гармонічним за часом поперечним навантаженням. Аналогічний вираз одержано і для заряду сенсора. Для інших типів граничних умов і геометрії пластини при розв'язку використано метод скінченних елементів. На основі аналітичних та скінченно-елементних розв'язків одержані числові результати, які ілюструють ефективність активного контролю стаціонарних та нестаціонарних коливань пластини. The problem of active damping of steady and unsteady vibrations of thin viscoelastic plates by distributed piezoelectric sensors and actuators is studied. The program control of the plate's oscillations both without feedback control and with such control are considered. Several variants of equations of the feedback control, which provide changes of the stiffness, dissipative and inertial characteristics of the plate, are presented. Principal equations are obtained on the basis of the Kirchhoff-Love mechanical hypothesis complemented with adequate assumptions about distribution of electric fields. For rectangular plate with pin joint support of edges the analytical expression for the electric potential is obtained. Mentioned potential is expressed as a damping factor for each mode of vibrations excited by the transverse loading. Analogous expression is obtained for the charge of the sensors. For other boundary conditions and geometry of plates the method of finite elements is used in the solution procedure. On the basis of the analytical and the finite element solutions the numerical results are obtained that illustrate the effectiveness of active damping of steady and unsteady vibrations of plates.
first_indexed	2025-12-07T17:17:13Z
format	Article
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 УДК 539.374 ДЕМПФИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН С ПОМОЩЬЮ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ В. Г. КА Р НАУ Х ОВ∗, А. В. КО ЗЛО В∗∗, Е. В. ПЯТ ЕЦКА Я∗∗∗ ∗Институт механики НАН Украины имени С. П. Тимошенко, Киев ∗∗Национальный транспортный университет, Киев ∗∗∗Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко Получено 26.07.2002 � Пересмотрено 5.12.2002 Дана постановка задачи об активном демпфировании стационарных и нестационарных изгибных колебаний тонких вязкоупругих пластин с использованием распределенных пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов. Рассмотрены случаи программного управления колебаниями пластины без обратной связи и управления колебаниями с исполь- зованием обратной связи. Представлено несколько вариантов уравнений обратной связи, обеспечивающих измене- ние жесткостных, диссипативных и инерционных характеристик пластины. Основные соотношения получены на основе гипотез Кирхгофа –Лява, дополненных гипотезами о распределении электрических полевых величин. Для прямоугольной пластины с шарнирным закреплением торцов получены аналитические выражения для потенциала, демпфирующего любую из мод колебаний, возбуждаемых гармонической во времени поперечной нагрузкой. Анало- гичные выражения получены и для заряда сенсора. Для других типов граничных условий и геометрии пластины при решении использован метод конечных элементов. На основе аналитических и конечно-элементных решений получе- ны численные результаты, иллюстрирующие эффективность активного контроля стационарных и нестационарных колебаний пластины. Дано постановку задачi про активне демпфування стацiонарних i нестацiонарних коливань тонких в’язкопружних пластин з використанням розподiлених п’єзоелектричних сенсорiв та актуаторiв. Розглянутi випадки програмно- го керування коливаннями пластини без оберненого зв’язку i керування коливаннями з використанням оберненого зв’язку. Представленi декiлька варiантiв рiвнянь оберненого зв’язку, якi забезпечують змiну жорсткiстних, дисипа- тивних та iнерцiйних характеристик пластини. Основнi спiввiдношення одержано на основi гiпотез Кiрхгофа –Лява, доповнених гiпотезами про розподiл електричних польових величин. Для прямокутної пластини з шарнiрним закрi- пленням торцiв одержано аналiтичний вираз для потенцiалу, який демпфує кожну з мод коливань, якi збуджуються гармонiчним за часом поперечним навантаженням. Аналогiчний вираз одержано i для заряду сенсора. Для iнших типiв граничних умов i геометрiї пластини при розв’язку використано метод скiнченних елементiв. На основi ана- лiтичних та скiнченно-елементних розв’язкiв одержанi числовi результати, якi iлюструють ефективнiсть активного контролю стацiонарних та нестацiонарних коливань пластини. The problem of active damping of steady and unsteady vibrations of thin viscoelastic plates by distributed piezoelectric sensors and actuators is studied. The program control of the plate’s oscillations both without feedback control and with such control are considered. Several variants of equations of the feedback control, which provide changes of the stiffness, dissipative and inertial characteristics of the plate, are presented. Principal equations are obtained on the basis of the Kirchhoff –Love mechanical hypothesis complemented with adequate assumptions about distribution of electric fields. For rectangular plate with pin joint support of edges the analytical expression for the electric potential is obtained. Mentioned potential is expressed as a damping factor for each mode of vibrations excited by the transverse loading. Analogous expression is obtained for the charge of the sensors. For other boundary conditions and geometry of plates the method of finite elements is used in the solution procedure. On the basis of the analytical and the finite element solutions the numerical results are obtained that illustrate the effectiveness of active damping of steady and unsteady vibrations of plates. ВВЕДЕНИЕ Тонкие пластины широко используются в ка- честве конструктивных элементов в технических устройствах различного назначения, эксплуатация которых обычно проходит в режиме стационар- ного или нестационарного динамического нагру- жения. При этом зачастую возникает потребность в снижении уровней перемещений и напряжений. Наиболее часто для этого применяются пассив- ные методы демпфирования, когда в структуру элемента вводятся неупругие (вязкоупругие либо вязкоупругопластические) включения с высоки- ми демпфирующими характеристиками. Подроб- ное описание технологии пассивного контроля ко- лебаний изложено в работах [1 –3] и в специаль- ной литературе, ссылки на которую можно найти в [3]. Указанный подход дает хорошие результаты в высокочастотной области. К современным достижениям в области дем- пфирования колебаний пластин следует отнести методы активного контроля, в том числе методы c© В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая, 2002 15 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 демпфирования колебаний с использованием пье- зоэлектрических включений. Суть подобных мето- дик заключается в том, что одни включения (сен- соры) дают информацию о механическом состоя- нии пластины, а другие (актуаторы) подводят к пьезоактивным включениям разность электриче- ских потенциалов, связанную определенными со- отношениями (уравнениями обратной связи) с по- казаниями сенсоров. Если разность потенциалов актуатора пропорциональна разности потенциа- лов сенсора, то изменяются интегральные жест- костные характеристики пластины. Если же раз- ность потенциалов пропорциональна току или его производной, то изменяются соответственно хара- ктеристики демпфирования или инерционные ха- рактеристики пластины. Это позволяет корректи- ровать динамическое поведение пластины, в част- ности, уходить с резонанса и существенно уве- личивать демпфирование колебаний объекта. С практической точки зрения ситуация выглядит следующим образом: когда известна действующая на пластину нагрузка, демпфирование колебаний достигается путем подвода к актуатору разности потенциалов с определенными амплитудой и фа- зой, которая бы компенсировала действие внешней механической нагрузки. Методы активного контроля дают хорошие ре- зультаты в низкочастотной области. Для расшире- ния диапазона частот эффективного контроля ко- лебаний следует разрабатывать комбинированные методики демпфирования колебаний с применени- ем как пассивных, так и активных методов контро- ля. При использовании активного демпфирования колебаний наиболее часто используются два под- хода: 1. Пьезоэлектрические слои полностью по- крывают пассивный слой, а демпфирование осуществляется путем подвода к бесконечно тонким электродам, имеющим определен- ную геометрию, разности потенциалов с необходимыми амплитудой и фазой; 2. Пьезоэлектрические слои покрывают пассив- ные слои лишь частично; на пьезослои нано- сятся электроды, к которым подводится раз- ность потенциалов с амплитудой и фазой, не- обходимыми для компенсации механического нагружения. Форма электродов, сенсоров и актуаторов, их тол- щина, тип поляризации и расположение в теле выбираются из условия наиболее эффективного контроля колебаний. Например, если выбрать гео- метрию электродов, сенсоров и актуаторов со- гласно суперпозиции определенных колебатель- ных мод, то будут восприниматься и подавляться только такие моды. Этот тип контроля известен как модальный. Формирование модальных сенсо- ров и актуаторов достигается путем изменения следующих параметров: • структуры пластины по ее толщине; • геометрий электродов, сенсоров и актуаторов; • поляризации пьезослоев; • угла между главными направлениями анизо- тропии пассивной пластины и главными на- правлениями анизотропии пьезоэлементов; • толщины пьезоэлемента (для формирования модального сенсора или актуатора она может быть выбрана переменной); • свойств пьезоматериалов. Новейшие результаты в этой области отражены в публикациях [4 –8]. В целом задача выбора конкретной методики контроля колебаний путем их активного демпфи- рованиия достаточно сложна. Однако ее реше- ние существенно упрощается в случае примене- ния первого из указанных подходов, а также если пренебречь влиянием пьезовключений на жест- костные характеристики пассивной пластины в случае применения второго подхода. При таких ограничениях в некоторых случаях удается по- лучить аналитические решения, дающие возмож- ность выбрать размеры и расположение электро- дов и пьезослоев, исходя из условий наиболее эф- фективного демпфирования колебаний. В качестве сенсоров и актуаторов активно используются пьезополимеры. Они обладают уни- кальными свойствами: таким материалам легко придать необходимую форму; к тому же они не вносят существенных изменений в жесткостные характеристики пассивной конструкции. Необхо- димо отметить, что в современной литературе по контролю колебаний не учитывается реальное вяз- коупругое поведение материалов, широко исполь- зуемых как для изготовления пассивных пластин- чатых элементов, так и для контроля колебаний с помощью полимерных материалов с пьезоэф- фектом. Между тем, в механике тонкостенных элементов накоплен большой опыт использования вязкоупругих моделей интегрального типа, доста- точно хорошо описывающих диссипативные свой- ства полимерных материалов. 16 В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 В данной статье рассматривается демпфиро- вание колебаний пластин с помощью введения в их структуру вязкоупругих слоев (пассивное демпфирование) и пьезоэлектрических включе- ний (активное демпфирование). Для описания вязкоупругих свойств пассивных и пьезоактив- ных компонент используются линейные модели вязкоупругости интегрального типа, являющиеся наиболее эффективными для описания диссипа- тивных свойств материалов в линейной области. Дается постановка задач демпфирования стацио- нарных и нестационарных колебаний пластинча- тых вязкоупругих элементов. При использовании второго подхода к контролю колебаний рассма- тривается структурно неоднородная в своей пло- скости пластина, состоящая из набора идеально соединенных между собой пластинчатых пассив- ных и пьезоактивных элементов. В свою очередь, каждый такой элемент может состоять из произ- вольного числа пассивных и пьезоактивных сло- ев. Для описания механического поведения этих пластинчатых элементов используются гипотезы Кирхгофа – Лява для всего пакета в целом, допол- ненные адекватными им гипотезами о распреде- лении электрических полевых величин [9]. Пред- ставлены основные соотношения для пластинча- тых актуаторов и сенсоров. Приведены уравне- ния обратной связи между потенциалами актуа- тора и сенсора, их первыми (током) и вторыми производными. Именно через параметры, входя- щие в эти уравнения, осуществляется влияние на жесткостные, диссипативные и инерционные ха- рактеристики пассивной пластины. Подробно рас- сматривается частный случай многослойного пла- стинчатого элемента, составленного из среднего пассивного пакета упругих и вязкоупругих слоев, а также двух пьезоактивных слоев, поляризован- ных в противоположных направлениях. Механи- ческое поведение среднего пакета описывается мо- делью ортотропного слоя с усредненными по то- лщине жесткостными характеристиками, получен- ными с использованием гипотез Кирхгофа – Лява. В простейшем случае, когда влиянием пьезосло- ев на жесткостные характеристики пассивной пла- стины можно пренебречь (или когда структурная неоднородность в плоскости пластины отсутству- ет), при шарнирном закреплении торцов получе- ны точные аналитические решения, дающие воз- можность определить наиболее рациональное раз- мещение пьезовключений в плоскости пластины и их размеры. Для решения интегро-дифференциального уравнения, которое получается при учете вяз- коупругих свойств материалов, используется классический метод усреднения. В случае учета влияния пьезовключений на жесткостные хара- ктеристики пассивной пластины, а также при других типах граничных условий для решения задачи демпфирования применяется метод ко- нечных элементов (МКЭ). С использованием как аналитических, так и численных (конечно- элементных) методов решены конкретные задачи о демпфировании стационарных колебаний пластин для двух случаев граничных условий: шарнирного и жесткого закрепления торцов. Сравнение численных и аналитических результа- тов для шарнирного закрепления свидетельствует о высокой точности и эффективности разработан- ного варианта конечно-элементного метода для расчета демпфирования колебаний пластинчатых элементов. Представлены числовые данные о демпфировании колебаний пассивной пластины с использованием пьезовключений, размеры и размещение которых выбраны в соответствии с полученными аналитическими формулами. Представлены примеры расчета демпфирования нестационарных колебаний пассивной пластины из изотропного вязкоупругого материала Фойгта для двух случаев граничных условий: шарнир- ного и жесткого закрепления торцов. Показано, что даже использование одного актутора приво- дит к существенному уменьшению амплитуды поперечных колебаний. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим ортотропную вязкоупругую пла- стину, находящуюся под действием динамической поверхностной стационарной или нестационарной нагрузки. Пластина состоит из произвольного чис- ла пакетов металлических, полимерных или ком- позитных пассивных (без пьезоэффекта) слоев. На верхней и нижней поверхностях пассивной пла- стины размещены вязкоупругие пьезоэлектриче- ские слои произвольной в плане конфигурации, одни из которых выполняют функции сенсора, а другие – актуатора. Количество пьезослоев и их конфигурация выбираются из соображений наибо- лее эффективного демпфирования стационарных или нестационарных колебаний пассивного паке- та. В частности, при использовании первого из указанных во введении подходов эти слои могут покрывать всю поверхность пластины. При этом демпфирование осуществляется за счет выбора той или иной конфигурации электродов и подво- да к ним разности потенциалов с необходимыми фазой и амплитудой. При контроле нестационар- ных колебаний с применением модального контро- В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая 17 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 ля конфигурация электродов и пьезослоев выби- рается в виде суперпозиции мод колебаний, внося- щих основной вклад в вибродеформации поверх- ности [4,7,8]. Использование второго подхода приводит к сло- жной конструктивно-неоднородной как по толщи- не, так и в плане пластине. Необходимо иметь в виду, что представленные ниже уравнения опи- сывают не пластину в целом, а каждый ее пла- стинчатый элемент конечных размеров (включе- ние, пятно) в отдельности. Такой элемент может быть активным или пассивным. Заметим также, что направления поляризации пьезоактивных сло- ев могут быть разными. Для описания геометрии сенсоров и актуаторов, а также направления по- ляризации можно по аналогии с [4, 7, 8] ввести функции формы и символы (функции поляриза- ции) sign . При этом каждый элемент структурно- неоднородной пластины будет характеризоваться своими функциями формы и функциями поляри- зации [4,7,8]. Будем считать, что между элемента- ми выполнены условия идеального механического и электрического контакта. Основные соотношения для пластинчатых эле- ментов получены на основе гипотез Кирхгофа – Лява и дополнительных гипотез относительно эле- ктрических полевых величин [9 –11]. В данной ра- боте пьезоэлектрические слои считаются постоян- ными по толщине, хотя, как указано выше, за счет выбора переменной толщины можно формировать модальные сенсоры и актуаторы. Определяющие уравнения для усилий и моментов содержат сум- мы составляющих, порождаемых пассивным па- кетом, пьезоэлектрическими сенсорами и актуа- торами. Используется несколько видов уравнений обратной связи [4,7,8]. Пластина отнесена к декартовой системе коор- динат (x, y, z). Главные оси анизотропии совпада- ют с осями координат. Используются геометриче- ски линейные кинематические соотношения. Ко- ординатная поверхность выбирается из условий наиболее простой записи определяющих соотно- шений для пластины, связывающих усилия и мо- менты с деформациями и электрическими поле- выми величинами. Считается, что деформации ма- лы. Кинематические соотношения теории пластин, уравнения движения и граничные условия являю- тся универсальными соотношениями и имеют оди- наковый вид независимо от свойств материала. Для геометрически линейного случая они пред- ставлены, например, в [10, 11]. Основываясь на этих результатах, напомним вкратце упомянутые универсальные соотношения. Компоненты перемещений и деформаций имеют вид ux = u(x, y) + zθx(x, y), uy = v(x, y) + zθy(x, y), uz = w(x, y), εxx = ε1 + zκ1, εyy = ε2 + zκ2, εxy = ε12 + zκ12, (1) где u(x, y), v(x, y), w(x, y) – перемещения коорди- натной поверхности в направлениях x, y, z соо- тветственно; углы поворота составляют θx = −∂w ∂x , θy = −∂w ∂y . (2) В соотношениях (1), (2) введены следующие обо- значения для компонент тензора деформаций и изгиба: ε1 = ∂u ∂x , ε12 = 1 2 ( ∂u ∂y + ∂v ∂x ) , κ1 = ∂θx ∂x , 2κ12 = ∂θy ∂x + ∂θx ∂y , (1 ↔ 2, u ↔ v, x↔ y). (3) Уравнения движения и граничные условия на тор- цах пластины имеют стандартный вид [10, 11] и здесь не приводятся. Определяющие уравнения для составляющих усилий и моментов, которые вносятся в выра- жения для полных усилий и моментов пассив- ными ортотропными вязкоупругими слоями, име- ют вид [11] 0 N1 = 0 C11 ⊗ ε1 + 0 C12 ⊗ ε2 + + 0 K11 ⊗ κ1 + 0 K12 ⊗ κ2, 0 N2 = 0 C12 ⊗ ε1 + 0 C22 ⊗ ε2 + + 0 K12 ⊗ κ1 + 0 K22 ⊗ κ2, 0 S = 0 C66 ⊗ ε12 + 0 K66 ⊗ κ12, 0 M1 = 0 K11 ⊗ ε1 + 0 K12 ⊗ ε2 + + 0 D11 ⊗ κ1 + 0 D12 ⊗ κ2, 0 M2 = 0 K12 ⊗ ε1 + 0 K22 ⊗ ε2 + + 0 D12 ⊗ κ1 + 0 D22 ⊗ κ2, 0 H = 0 K66 ⊗ ε12 + 0 D66 ⊗ κ12. (4) 18 В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 Здесь симоволом ⊗ обозначен интегро- дифференциальный оператор вида F ⊗ G = t∫ −∞ F (t− τ ) dG(τ ). (5) Выражения для 0 Ckm, 0 Kkm, 0 Dkm можно по- лучить в соответствии с принципом Вольтерра и техникой расшифровки операторных выраже- ний [12, 13]. Например, произведение и частное операторов с ядрами Ю. Н. Работнова расшифро- вываются по следующим правилам: 1 1 − µЭ∗ α(λ) = 1 − µЭ∗ α(λ − µ), Э∗ α(x)Э∗ α(y) = 1 x− y [ Э∗ α(x) − Э∗ α(y) ] . (6) Здесь α, µ, λ – параметры ядер, определяемые эк- спериментально [12]. При моногармоническом де- формировании символ ⊗ заменяется алгебраиче- ским комплексным выражением, а для упругого случая – операцией умножения. Рассмотрим пьезоактивные слои. Будем счи- тать, что они изготовлены из вязкоупругого пьезо- электрического материала и поляризованы по то- лщине. При этом упрощенные в соответствии с ди- намической гипотезой Кирхгофа – Лява уравнения состояния для них имеют вид [9,11] k σα = k B11(γ) ⊗ (ε1 + γκ1) + + k B12(γ) ⊗ (ε2 + γκ2) − k γ31(γ) ⊗ k Eγ , k σβ = k B12(γ) ⊗ (ε1 + γκ1) + + k B22(γ) ⊗ (ε2 + γκ2) − k γ31(γ) ⊗ k Eγ , k σαβ = k B66(γ) ⊗ (ε12 + γκ12), k Dγ = k γ33(γ) ⊗ k Eγ + + k γ31(γ) ⊗ [(ε1 + ε2) + γ(κ1 + κ2)], k = 1, 2. (7) Здесь и в дальнейшем индекс k=1 относится к актуатору, а k=2 – к сенсору; k B11(γ) = k B22(γ) = 1 k S11 E (γ)[1− k ν 2(γ)] ; k B12(γ) = k ν(γ) k B11(γ); k B66(γ) = 1 2 [1− k ν(γ)] k B11(γ); k γ33 = k ε33 T [1 − k kp 2(γ)]; k γ31 = k d31(γ) k S11 E (γ)[1 − k ν2(γ)] ; k ν = − k S12 E k S11 E ; k kp 2 = 2 k d31 2(γ) k ε33 T (γ) k S11 E [1 − k ν(γ)] . (8) В этих соотношениях использованы обозначения, принятые в работах [9,11]. Пусть между пассивным пакетом и пьезоактив- ными слоями нанесены бесконечно тонкие эле- ктроды. Такие же электроды имеются и на вне- шних поверхностях пьезослоев. К этим электродам приложена разность потенциалов 0 V k, k=1, 2. Со- гласно [9,11], индукция k Dγ постоянна по толщине пьезослоя, так что k Dγ = k C (α, β). (9) При этом k Eγ = 1 k γ33(γ) ⊗ k C − − k γ31(γ) k γ33(γ) ⊗ [(ε1 + ε2) + γ(κ1 + κ2)]. (10) Интегрируя выражение (10) по толщине пьезосло- ев, имеем k C = 1 k v0 ⊗ [− k V 0 + k v1 ⊗ (ε1 + ε2) + + k v2 ⊗ (κ1 + κ2)], k = 1, 2. (11) Подставив соотношение (11) в формулу (10), а по- лученное выражение для k Eγ – в уравнения состо- В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая 19 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 яния (7), получим k σα = k B11(γ) ⊗ (ε1 + γκ1) + + k B12(γ) ⊗ (ε2 + γκ2) + k σ0, k σβ = k B12(γ) ⊗ (ε1 + γκ1) + + k B22(γ) ⊗ (ε2 + γκ2) + k σ0, k σαβ = k B66(γ) ⊗ (ε12 + γκ12), k σ0 =   k γ2 31(γ) k γ33(γ) − k γ31(γ) k v1 k γ33(γ) k v0  ⊗ (ε1 + ε2) + +   k γ2 31(γ) k γ33(γ) γ − k γ31(γ) k v2 k γ33(γ) k v0   ⊗ (κ1 + κ2) + + k γ31(γ) k γ33(γ) k v0 ⊗ k V 0. (12) Проинтегрировав соотношения (12) по толщине пластины и учтя расположение электродов, полу- чим определяющие уравнения для активного пье- зослоя: k N1 = k C11 ⊗ ε1 + k C12 ⊗ ε2 + + k K11 ⊗ κ1 + k K12 ⊗ κ2 + k N0, k N2 = k C12 ⊗ ε1 + k C22 ⊗ ε2 + + k K12 ⊗ κ1 + k K22 ⊗ κ2 + k N0, k S = k C66 ⊗ ε12 + k K66 ⊗ κ12, k M1 = k K11 ⊗ ε1 + k K12 ⊗ ε2 + + k D11 ⊗ κ1 + k D12 ⊗ κ2 + k M0, k M2 = k K12 ⊗ ε1 + k K22 ⊗ ε2 + + k D12 ⊗ κ1 + k D22 ⊗ κ2 + k M0, k H = k K66 ⊗ ε12 + k D66 ⊗ κ12. (13) Здесь введены следующие обозначения: ( k Cij, k Kij , k Dij ) = ∫ (h) k Bij(γ)(1, γ, γ 2)dγ+ + k ν(3,4,5) − ( ( k v1) 2, ( k v1 k v2), ( k v2) 2 ) k v0 , ( k C66, k K66, k D66 ) = ∫ (h) k B66(γ)(1, γ, γ 2)dγ, k N0 = k v1 k v0 k V 0, k M0 = k v2 k v0 k V 0, (k = 1, 2), (14) где k v0 = ∫ (hk ) 1 k γ33 dγ; k v(1,2) = ∫ (hk) k γ31(1, γ) k γ33 dγ; k v(3,4,5) = ∫ (hk) k γ 2 31(1, γ, γ 2) k γ33 dγ. (15) При этом для сенсора (k=2) справедливо 2 Dγ = 0. Тогда 2 Eγ = − 2 γ31 2 γ33 ⊗ [(ε1 + ε2) + γ(κ1 + κ2)], (16) а во введенных выше жесткостных характеристи- ках необходимо положить 2 v1= k ν2≡0. Ненулевые величины 2 v3,4,5 определяются по формулам (15). Общие усилия и моменты равны сумме усилий и моментов, вносимых пассивными и пьезоактив- ными слоями: N1 = 0 N1 + 1 N1 + 1 N1, . . . , M1 = 0 M1 + 1 M1 + 1 M1, . . . (17) Учитывая полученные выше соотношения, найдем выражения для общих усилий и моментов в пла- 20 В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 стине: N1 = C11 ⊗ ε1 + C12 ⊗ ε2 + K11 ⊗ κ1 + +K12 ⊗ κ2 + 0 N, N2 = C12 ⊗ ε1 + C22 ⊗ ε2 +K12 ⊗ κ1 + +K22 ⊗ κ2 + 0 N, S = C66 ⊗ ε12 +K66 ⊗ κ12, M1 = K11 ⊗ ε1 +K12 ⊗ ε2 +D11 ⊗ κ1 + +D12 ⊗ κ2 + 0 M, M2 = K12 ⊗ ε1 +K22 ⊗ ε2 +D12 ⊗ κ1 + +D22 ⊗ κ2 + 0 M, H = K66 ⊗ ε12 +D66 ⊗ κ12. (18) Здесь C11 = 0 C11 + 1 C11 + 2 C11, . . . , K11 = 0 K11 + 1 K11 + 2 K11, . . . , D11 = 0 D11 + 1 D11 + 2 D11, . . . , 0 N = 1 N0 + 2 N0, 0 M = 1 M0 + 2 M0. (19) Разность потенциалов на сенсоре получаем пу- тем интегрирования соотношения (16) по толщине h1 и по площади актуатора S1. В случае вязкоу- пругого материала она имеет вид 2 V 0 = 1 S2 ∫ (h2) ∫ (S2) 2 γ31 2 γ33 ⊗ [(ε1 + ε2) + + γ(κ1 + κ2)]AB dαdβ dγ. (20) Эта величина легко измеряется и дает усреднен- ную информацию о деформированном состоянии пластины [4, 7, 8]. Для малых размеров сенсоров можно получить локальные значения потенциа- лов: 2 V 0 = ∫ (h2) 2 γ31 2 γ33 ⊗ dγ(ε1 + ε2) + + ∫ (h2) 2 γ31 2 γ33 ⊗ dγ(κ1 + κ2). (21) Как следует из соотношений (20), (21), измеря- емая сенсором разность потенциалов зависит как от тангенциальных, так и от изгибных деформа- ций. Необходимо отметить, что в отличие от чисто упругого случая, показания сенсора зависят от ре- лаксационных свойств материала. В случае отсутствия обратной связи пьезослой, отвечающий индексу k=2, заменяется дополни- тельным актуатором. При демпфировании изгиб- ных колебаний пластины направления поляриза- ции актуаторов выбираются противоположными. Выражения для жесткостных характеристик та- кой структурной неоднородности представлены в [15]. Соотношения (20) и (21) играют основную роль при контроле колебаний пластин, так как имен- но через показания сенсора формулируются ал- горитмы обратной связи [4, 7, 8], передаваемые на актуатор через цепь обратной связи. Существует много различных вариантов алгоритмов обратной связи [4, 7, 8]. В данной работе управление коле- баниями пластины будем осуществлять согласно следующим ее алгоритмам [4,7,8]: 1 V 0 = G1 2 V 0, (22) 1 V 0 = −G2 ∂ 2 V 0 ∂t , (23) 1 V 0 = −G3 ∂2 2 V 0 ∂t2 , (24) 1 V 0 = −G4 sign ∂ 1 V 0 ∂t . (25) Здесь Gi – управляющие параметры, влияющие на жесткостные, диссипативные и инерционные хара- ктеристики пластины. Для одновременного влия- ния на все указанные характеристики пластины зададим следующий вид обратной связи: 1 V 0 = ( G1 −G2 ∂ ∂t −G3 ∂2 ∂t2 −G4 sign ∂ ∂t ) 2 V 0. (26) Естественно, при этом задача выбора управляю- щих параметров существенно усложняется. Подставив выражения (22) – (25) (или (26)) в определяющие уравнения (18) и приняв во внима- ние соотношения (1) – (3), получим линейную сис- тему интегро-дифференциальных уравнений отно- сительно перемещений структурно-неоднородной В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая 21 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 как по толщине, так и по поверхности пластины: L1(u, v, w,Gk) = ρ̃ ∂2u ∂t2 + F1, L2(u, v, w,Gk) = ρ̃ ∂2v ∂t2 + F2, L3(u, v, w,Gk) = ρ̃ ∂2w ∂t2 + F3. (27) Ее коэффициенты зависят от параметров обра- тной связи. 2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ Для решения полученных интегро- дифференциальных уравнений используем вариационные методы в сочетании с мето- дом усреднения. При этом решение интегро- дифференциальных уравнений представляется в виде разложения в ряд Фурье по собственным функциям Ui(α, β) линейной упругой пьезопла- стины: u = ∑ i ui1(t)Ui(α, β), v = ∑ i ui2(t)Ui(α, β), w = ∑ i ui3(t)Ui(α, β). (28) После использования, например, метода Бубно- ва – Галеркина по пространственным координа- там, приходим к линейной системе интегро- дифференциальных уравнений по времени: d2uij dt2 + ∞∑ l=1 (Mil ⊗ ul1 + Nil ⊗ ul2 + +Ril ⊗ ul3) = fij(t), i = 1, 2, 3, . . ., j = 1, 2, 3, (29) где Mil⊗ – линейные интегральные операторы ви- да Mil ⊗ ( ) = 0 M il[( ) − t∫ −∞ 1 M il(t− τ )( )(τ ) dτ ]. Считая вязкость материалов малой, для решения системы уравнений (29) используем метод усре- днения, подробно изложенный в монографии [12] применительно к задачам вязкоупругости. Полу- ченное решение зависит от управляющих параме- тров Gi, которые выбираются из условия наиболее эффективного контроля колебаний пластины (на- пример, из условия минимальности ее поперечного прогиба). Для решения линейной системы (29) мож- но использовать и быстрое преобразование Фу- рье [14]. В этом случае операторы Mil⊗ заменя- ются комплексными алгебраическими выражени- ями, соответствующими комплексным характери- стикам вязкоупругих материалов [11,14]. Следует отметить, что вместо глобальных па- раметров управления можно ввести модальные параметры управления, когда для каждой мо- ды колебаний выбирается свой параметр управле- ния [4,7,8]. Рассмотрим наиболее простой случай грани- чных условий – шарнирное закрепление торцов пластины. Будем считать, что пластина имеет симметричную по толщине структуру и нагруже- на известной стационарной или нестационарной поверхностной нагрузкой. Демпфирование коле- баний пластины будем осуществлять прямоуголь- ными в плане пьезоэлектрическими актуаторами. Требуется выбрать наиболее эффективное разме- щение актуаторов (электродов) и их размеры. Для случая, когда пьезослои имеют одинаковые эле- ктромеханические свойства и противоположные направления поляризации, выражения для жес- ткостных характеристик зависят от наличия или отсутствия электродов между пассивными и пье- зоактивными слоями (подробнее см. в [15]). При этом движение пластины описывается решением следующей краевой задачи: D11 ⊗ ∂4w ∂x4 + 2(D12 +D66) ⊗ ∂4w ∂x2∂y2 + +D22 ⊗ ∂4w ∂x4 + ρ̃ ∂2w ∂t2 − ∂2 0 M ∂x2 − ∂2 0 M ∂y2 + + q(x, y, t) = 0, w = 0, D11 ⊗ ∂2w ∂x2 = 0 M (x = 0, x = a), w = 0, D22 ⊗ ∂2w ∂y2 = 0 M (y = 0, y = a) (30) при нулевых начальных условиях. Решение краевой задачи (30) ищем в виде w = ∑ m ∑ n wmn(t) sin kmx sin pny. (31) Для прямоугольного в плане включения, имею- щего размеры (c, d) и координаты центра (ξ, η), 22 В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 выражение для вызываемого актуатором момента представим в форме 0 M = ∑ p ∑ q 0 Mmn(t) sin kmx sin pny, (32) где 0 Mmn(t) = 16 0 M(t) abkmpn sinkmξ sinpnη× × sin kmc 2 sin pnd 2 , (33) а момент 0 M (t) пропорционален приложенной к актуатору разности потенциалов. Приложенная к поверхности нагрузка представляется в такой же форме: q(x, y, t) = ∑∑ qmn(t)sin kmx sin pny. (34) Подставив выражения (31) – (34) в соотноше- ния (30), получаем интегро-дифференциальное уравнение по времени d2wmn dt2 +∆mn ⊗ wmn+pmn(t)−Mmn(t)=0 (35) с нулевыми начальными условиями. Здесь ∆mn = ( D11k 4 mn+ +2(D12 +D66)k 2 mnp 2 mn + D22p 4 mn ) /ρ̃; Mmn = 0 Mmn/ρ̃; pmn = qmn/ρ̃. (36) Пусть pmn(t) = 0 pmnH(t), Mmn(t) = 0 mmnH(t), (37) где H(t) – функция Хевисайда. Применение мето- да усреднения позволяет получить решение урав- нения (35) в виде [12]: wmn(t)= 0 pmn− 0 mmn 0 ∆ 2 mn −exp ( − 0 ∆mn 0 Amn 2 t ) × × [ 0 Amn (0 pmn− 0 mmn ) 0 ∆ 2 mn ( 2− 0 Bmn ) sin ( 0 Bmn 2 −1 ) 0 ∆mn t− − (0 pmn − 0 mmn ) 0 ∆ 2 mn cos ( 0 Bmn 2 −1 ) 0 ∆mn t ] , (38) где 0 Amn, 0 Bmn соответственно синус- и косинус- преобразования Фурье ядер 0 ∆mn(t). Как следует из решения (38), при 0 pmn = 0 mmn со- ответствующая мода не возбуждается. Поэтому, разместив на поверхности пластины s актуаторов, можно компенсировать s мод колебаний и суще- ственно уменьшить амплитуду колебаний объек- та. Для оптимального выбора координат центра актуатора и его размеров c целью компенсации со- ответствующей моды необходимо рассмотреть за- дачу о вынужденных колебаниях пластины, когда pmn(t) = 0 pmn cos ωt. (39) Если пластина не контролируется, т. е. к актуа- тору не прикладывается разность потенциалов, то решение уравнения (35) имеет вид wmn = − 0 pmn/∆mn , (40) где ∆mn = ∆′ mn + i∆′′ mn − ρ̃ω2 mn = = (D′ 11 + iD′′ 11)k 4 mn + 2[ (D′ 12 + iD′′ 12) + +2(D′ 66 + iD′′ 66) ]k2 mnp 2 mn + + (D′ 22 + iD′′ 22)p 4 mn − ρ̃ω2 mn. (41) Для шарнирного закрепления резонансная часто- та определяется соотношением ρ̃ω2 mn = ∆′ mn. (42) При этом wmn = i 0 pmn/∆ ′′ mn . (43) Если D′′ mn =D′ mn tg δ, то wmn = i 0 pmn/(∆ ′ mn tg δ) . (44) При tg δ�1 прогиб будет очень большим, хотя и конечным. С увеличением тангенса угла потерь прогиб будет уменьшаться. Теперь приложим к актуатору разность потен- циалов, изменяющуюся по гармоническому закону с частотой поверхностной силы. В этом случае на резонансе имеем wmn = i 0 pmn − (k2 mn + p2 mn) 0 mmn ∆′ mn tg δ . (45) Так как на каждом из актуаторов разность по- тенциалов постоянна, то мы можем выбрать в выражении (45) произвольно только одно значение разности потенциалов на каждом из актуаторов. В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая 23 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 Рис. 1. Зависимость величины 0 M/ 0 m от координат центра актуатора для моды колебаний с частотой ω11 Поэтому если на поверхность пластины нанесен один актуатор, он может компенсировать только одну составляющую нагрузки в выражениях (34) и (36). Как правило, максимальная составляю- щая нагрузки соответствует индексам m=n=1. При необходимости компенсации нескольких сла- гаемых следует увеличивать количество актуато- ров. Для компенсации любой из гармоник необхо- димо разность потенциалов выбирать из условия равенства нулю числителя выражения (45), т. е. 0 pmn − (k2 mn + p2 mn) 0 mmn = 0. (46) Тогда решение приобретает вид w = ∑ r 6=m ∑ s6=n [0 prs − (k2 mn + p2 mn) 0 mmn ] ∆rs × × sin krx sin psy, (47) где ∆rs = ∆′ rs + i∆′′ rs − ρ̃ω2 mn. (48) Величина прогиба резко падает из-за отсутствия резонансного члена в выражении (47), что обеспе- чивает быструю сходимость ряда Фурье. Разность потенциалов рассчитывается по фор- муле, следующей из соотношений (33), (46): 0 M = ab 16 0 pmnkmpn k2 m + p2 n × × 1 sin kmξ sin pnη sin knc/2 sin pnd/2 . (49) Величина 0 M пропорциональна подводимой к актуатору разности потенциалов. Центр актуато- ра и его размеры выбираются из условия мини- мальности этой разности. Как следует из форму- лы (49), минимум разности потенциалов наблюда- ется при выполнении следующих равенств: sin km ξ = 1, sin pn η = 1, sin km c 2 = 1, sin pn d 2 = 1. (50) Рассмотрим моды колебаний, соответствующие частотам ω11, ω21, ω13, ω22. Для моды ω11 центр актуатора должен выбираться из условий sin k1 ξ = 1, sin pn η = 1, так что его координаты равны ζ=a/2, η=b/2, (центр актуатора совпадает с центром пластины). При другом выборе центра актуатора имеем по- верхность, описываемую выражением 0 M 0 m = 1 sin k1ξ sin p1η , (51) где 0 m – некоторая константа. На рис. 1 представлена поверхность, изобража- ющая зависимость величины 0 M/ 0 m, пропорцио- нальной разности потенциалов, от координат цен- тра актуатора. Здесь ξ̄=ξ/a, η̄=η/b. Как следу- ет из рисунка и формулы (51), при приближении центра актуатора к торцам пластины подводимая к нему разность потенциалов стремится к бесконе- чности. В окрестности точки (a/2; b/2) существует достаточно большая область, в которой потенци- ал мало отличается от своего минимального зна- чения. Поэтому центр актуатора также можно ра- змещать в этой области. Для моды ω21 из условия (50) при m=2, n=1 минимальная разность потенциалов достигается при размещении центров актуаторов в точках (a/4; b/2), (3a/4; b/2). При этом разность потенци- алов в зависимости от координат центра актуато- ра определяется соотношением 0 M 0 m = 1 sin k2ξ sin p1η . Поверхность, изображающая зависимость 0 M/ 0 m от координат центра актуатора, имеет такой же вид, что и поверхность на рис. 1, но с тем отличием, что она размещена над прямоугольником 0≤x≤a/2, 0≤y≤b/2 с диагональю, длину которой обозначим через l. 24 В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 Для моды ω13 центры актуаторов должны быть размещены в точках (a/2; b/2), (a/2; b/6), (a/2; 5b/6). При этом пластина разбивается на три полосы шириной b/3 и длиной a. Над каждой из этих полос поверхность имеет вид, показанный на рис. 1. Разность потенциалов будет стремиться к бесконечности при подходе к краям указанных полос. Для моды ω22 центры актуаторов, соответству- ющие минимальной разности потенциалов, распо- ложены в точках (a/4; b/4), (a/4; 3b/4), (3a/4; b/4), (3a/4; 3b/4). Поэтому пластину следует разбить на четыре равных прямоугольника с центрами в этих точках. Над каждым из прямоугольников поверх- ность, изображающая зависимость разности по- тенциалов от координат центра актуатора, имеет вид, показанный на рис. 1. Потенциал стремится к бесконечности при при- ближении центра актуатора к краям прямоуголь- ника. Таким образом, при неудачном выборе ко- ординат центров актуаторов для каждой из мод потенциал может достичь критических значений, при которых наступит электрический или тепло- вой пробой. Теперь рассмотрим, как изменяется разность по- тенциалов в зависимости от размера актуатора, размещенного в центре пластины (или упомяну- тых выше прямоугольников). Площадь актуато- ров будем изменять путем изменения размеров l их диагоналей. Для моды ω11 имеем 0 M 0 m1 = 1 sin2(πl/2L) , где l и L – длины диагоналей актуатора и пласти- ны соответственно. Характер зависимости вели- чины потенциала от размера диагонали актуато- ра представлен на рис. 2. Вначале при изменении длины диагонали актуатора наблюдается резкое уменьшение потенциала, а затем – лишь незначи- тельное его изменение. Для моды ω21 при выборе центра актуатора в точке (a/4; b/2) имеем такое же соотношение, в котором L – длина диагонали пря- моугольника с центром в (a/4; b/2). Аналогичная формула справедлива и для моды ω22 при выборе центра актуатора в точке (a/4; b/4). При этом L – длина диагонали прямоугольника. Для моды ω13 при выборе координат центра актуатора в точке (a/2; b/2) зависимость разно- сти потенциалов от размера диагонали актуатора представлена на рис. 3. Заметим, однако, что если пластину разбить на три полосы, как было указа- но выше, и отнести длину диагонали актуатора к Рис. 2. Зависимость величины 0 M/ 0 m от длины диагонали актуатора для моды колебаний с частотой ω11 Рис. 3. Зависимость величины 0 M/ 0 m от длины диагонали актуатора для моды колебаний с частотой ω13 длине диагонали полосы, то зависимость потенци- ала от размера диагонали актуатора будет иметь такой же характер, что и представленная на рис. 2. Указанные выше формулы и графики иллю- стрируют возможность компенсации нескольких мод колебаний с помощью актуаторов или разре- В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая 25 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 0 b/6 b/3 b/2 b a/6 a/3 a/2 a Рис. 4. Размещение актуаторов для компенсации четырех мод колебаний зных электродов. На рис. 4 представлен один из возможных вариантов размещения четырех акту- аторов (или разрезных электродов) при необходи- мости компенсации четырех мод колебаний. Есте- ственно, при этом разность потенциалов на ка- ждом актуаторе не будет минимальной. Если функция 0 M пропорциональна некоторой форме колебаний, то прогиб пластины, соответ- ствующий этой форме, будет нулевым. Как отме- чено выше, этот эффект может быть достигнут за счет изменения формы электродов, толщины пье- зоактуатора, углов поворота главных направлений анизотропии и изменения направления поляриза- ции. Если геометрическая конфигурация актуато- ра (или разрезного электрода) соответствует су- перпозиции нескольких мод, то актуатор будет демпфировать все эти моды при должном выбо- ре разности потенциалов. Аналогичные соображения имеют место при ра- счете сенсоров. Пусть на пластину действует гар- моническое во времени нагружение, распределен- ное по одной из форм колебаний. Тогда прогиб рас- считывается по формуле w = 0 wmn sinkmx sin pny exp(iωt). (52) Эта форма колебаний будет выдерживаться с большой точностью, если частота нагружения рав- на резонансной. В этом случае величина, обратная заряду Q, определяется по формуле 1 Q = A sin kmξ sin pnη sin kmc/2 sin pnd/2 , (53) где A – константа, не зависящая от координат цен- тра и размеров актуатора. Основной принцип работы сенсора состоит в том, что заряд должен быть максимальным при заданном прогибе. Тогда величина (53) будет ми- нимальной. Сравнение формул (49) и (53) показывает, что координаты центра сенсора и его размеры опреде- ляются одинаковыми соотношениями. Представ- ленные выше соображения о положении и разме- рах актуатора для разных мод колебаний сохраня- ются без изменений и для сенсора. Если геометрия сенсора имеет вид некоторой моды колебаний, сен- сор будет реагировать только на эту моду (играть роль фильтра). Представленные рассуждения носят общий ха- рактер, независимо от вида граничных условий. Пусть в результате анализа частот и мод колеба- ний упругой пластины установлено, что при не- стационарном нагружении основной вклад в де- формирование вносят несколько мод (например, указанные выше четыре). Тогда при соответству- ющем выборе координат центров и размеров че- тырех актуаторов можно, согласно представлен- ным выше формулам, устранить действие этих мод на пластину. При этом следует иметь в ви- ду, что электроды актуаторов должны быть отде- лены друг от друга, т. е. необходимо использовать четыре разрезных электрода прямоугольной фор- мы. Подводя к этим электродам разности потенци- алов, рассчитанные по представленным выше фор- мулам, можно существенно уменьшить прогиб в результате подавления четырех основных мод. 3. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ РЕШЕНИЕ При учете влияния пьезослоев на жесткостные характеристики пластины и при граничных усло- виях, отличных от шарнирного опирания, полу- чаем сложную задачу для пластины, структурно- неоднородной как по толщине, так и в плане. В этом случае найти какие-либо аналитические ре- шения достаточно трудно. Задачу можно существенно упростить, если использовать, например, трехслойную пластину, состоящую из пассивного среднего слоя и двух пье- зоактивных слоев противоположной поляризации, покрывающих всю поверхность пластины. При использовании такого подхода компенсация внеш- ней нагрузки производится нанесением на пьезо- слои бесконечно тонких электродов необходимой конфигурации, к которым подводится разность потенциалов, выбранная из соображений, приве- денных в предыдущем разделе. Для решения задачи активного демпфирования стационарных и нестационарных колебаний мож- но использовать численные методы, в частности, метод конечных элементов. Подробности исполь- зуемого варианта метода конечных элементов при вынужденных одночастотных колебаниях пред- ставлены в работах [16 –18]. Результаты расче- та амплитудно-частотных характеристик для тре- хслойной шарнирно опертой и жестко защемлен- 26 В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристика для шарнирно опертой пластины ной квадратной пластины представлены на рис. 5 и 6 соответственно. На средний пассивный слой из дюралюминия нанесены пьезослои одинако- вой толщины и с одинаковыми электромехани- ческими свойствами, но с противоположной по- ляризацией. Электромеханические свойства ма- териалов пассивного и пьезоактивных слоев ма- териалов выбирались такими же, как и в рабо- те [15], а размеры пластины полагались следую- щими: длина стороны a=0.1 м, толщина пассив- ного слоя h=0.0098 м, толщина каждого из пьезо- активных слоев h1=0.0001 м. Заметим, что на ри- сунках представлены амплитудно-частотные хара- ктеристики вязкоупругой пластины при действии на нее изменяющегося по гармоническому закону внешнего давления без использования активного демпфирования. Далее, по указанной выше мето- дике рассчитывалась необходимая для компенса- ции первой моды разность потенциалов. В резуль- тате ее действия прогибы пластин уменьшались на четыре порядка (в силу своей малости на графи- ках они не представлены). На рис. 7 представле- на зависимость разности потенциалов, необходи- мой для компенсации механической нагрузки, от размера стороны квадратного электрода в случае жесткого защемления торцов. Кратко рассмотрим технику использования ме- тода конечных элементов (МКЭ) для случая дем- пфирования нестационарных колебаний, когда по- ведение изотропного материала описывается про- Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика для жестко защемленной пластины Рис. 7. Зависимость разности потенциалов от размеров актуатора для жестко защемленной пластины стейшей моделью Фойгта, а поверхностная нагруз- ка изменяется во времени по закону q=q0H(t), где H(t) – функция Хевисайда. При этом все операто- ры в выражениях (18) принимают форму Dkl = 0 Dkl + 1 Dkl ∂ ∂t . (54) В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая 27 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 Для изотропного пассивного материала выраже- ния для жесткостных характеристик трехслойной пластины указанной выше структуры имеют вид 0 D11 = 2 3SE 11(1 − ν2 1) [( h1 + h2 2 )3 − − ( h2 2 )3 + 1 + ν1 8 k2 p 1 − k2 p h3 1 ] + + E2 h 3 2 12(1− ν2 2) , 0 D12 = 2 3SE 11(1 − ν2 1) [ ν1 ( h1 + h2 2 )3 − − ν1 ( h2 2 )3 + 1 + ν1 8 k2 p 1 − k2 p h3 1 ] + + ν2E2 h 3 2 12(1− ν2 2) , 0 D66 = 2 3SE 11(1 + ν1) [( h1 + h2 2 )3 − − ( h2 2 )3] + E2 h 3 2 12(1 + ν2) , 1 D11 = 2C1 3(1 − ν2 1) [( h1 + h2 2 )3 − − ( h2 2 )3 + 1 + ν1 8 k2 p 1 − k2 p h3 1 ] + + C2 h 3 2 12(1− ν2 2) , 1 D12 = 2C1 3(1 − ν2 1) [ ν1 ( h1 + h2 2 )3 − − ν1 ( h2 2 )3 + 1 + ν1 8 k2 p 1 − k2 p h3 1 ] + + C2 ν2 h 3 2 12(1− ν2 2) , 1 D66 = 2C1 3(1 + ν1) [( h1 + h2 2 )3 − − ( h2 2 )3] + C2 h 3 2 12(1 + ν2) . (55) Для выбранной механической нагрузки разность потенциалов должна изменяться во времени по за- кону V (t)= 0 V H(t). Тогда 0 M0 = 1 2 γ11(h1 + h2)V0H(t). (56) В соотношениях (55), (56) введены следующие обо- значения: γ11 = d31(1 + ν1) SE 11(1 − ν2 1) ; γ33 = εT 33(1 − k2 p); ν1 = −S E 12 SE 11 ; k2 p = 2d2 31 SE 11(1 − ν1)εT 33 . (57) Константы C1, C2, ν1, ν2 характеризуют упругие и диссипативные свойства пассивного материала. При шарнирном закреплении краев пластины уравнение (35) приобретает вид d2wmn dt2 + 2µmn dwmn dt + ω2 mnwmn = FmnH(t), (58) где ω2 mn = D11 ρ̃ (k2 m + p2 n)2; µmn = 1 D11 2 0 D11 ω2 mn; Fmn = 16 a b kmpnρ̃ [ p0 −M0(k 2 m + p2 n) ] . (59) Решение уравнения (53) должно удовлетворять нулевым начальным условиям. Необходимо отме- тить, что для модели Фойгта это уравнение являе- тся точным, а при использовании метода усредне- ния для уравнений состояния интегрального типа оно дает лишь приближенное решение. Для ука- занного типа нагружения точное решение получа- ем в форме w = 16 a bD11 ∞∑ m ∞∑ n p0 − (k2 m + p2 n)M0 kmpn(k2 m + p2 n)2 × × [ 1 − e−µmnt ( cosωµt+ µmn ωµ sinωµt )] , (60) где m = 1, 3, . . . ; n = 1, 3, . . . ; ωµ = √ ω2 mn − µ2 mn. (61) Как и в общем случае, выбрав разность потен- циалов в соответствии с зависимостью V0 = 2p0 γ11(h1 + h2)(k2 m + p2 n) , (62) 28 В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 можно исключить любую из гармоник в соотно- шении (60). Скомпенсировав основную гармонику, мы существенно уменьшим прогиб пластины. Аналитическое решение (60) может служить эталоном при разработке численных методов моде- лирования демпфирования колебаний с помощью пьезоэлектрических включений (в частности, при моделировании МКЭ). Для модели Фойгта вариационное уравнение в пространстве изображений по Лапласу имеет вид δЭ̄ (x, y, z) = 0, (63) где Э̄ = 1 2 ∫ F {( 0 D11 + s 1 D11 )( ∂2w̄ ∂x2 )2 + + 2 ( 0 D12 + s 1 D12 ) ∂2w̄ ∂x2 ∂2w̄ ∂y2 + + ( 0 D22 + s 1 D22 )( ∂2w̄ ∂y2 )2 + + 2 ( 0 D66 + s 1 D66 )( ∂2w̄ ∂x∂y )2 + + ρ̃s2w̄ − 2p0 s w̄− − 2 s M0 ( ∂2w̄ ∂x2 + ∂2w̄ ∂y2 )} dxdy. (64) Для решения задачи (63), (64) срединная по- верхность пластины делится n∗ узловыми точка- ми на m∗ четырехугольных изопараметрических элементов. При этом в пределах элемента прогиб пластины аппроксимируется полиномами Эрмита: w̄ = 4∑ i=1 Liw̄i + 4∑ i=1 Li+4 ( ∂w̄ ∂x ) i + + 4∑ i=1 Li+8 ( ∂w̄ ∂y ) i + 4∑ i=1 Li+12 ( ∂2w̄ ∂x∂y ) i , (65) где w̄i; (∂w̄/∂x)i; (∂w̄/∂y)i; (∂2w̄/∂x∂y)i – изобра- жения по Лапласу узловых значений прогиба и производных в вершинах четырехугольника; Li, i=1÷16 – бикубические полиномы Эрмита. Из со- отношений (65) следует, что рассматриваемый эле- мент имеет 16 степеней свободы. Аппроксимируя механическую нагрузку и разность потенциалов полиномами Эрмита и выполняя обычную проце- дуру МКЭ, для определения изображений проги- ба и его производных получаем систему линейных алгебраических уравнений. В области оригинала ей соответствует система линейных дифференци- альных уравнений второго порядка относительно функций времени: MÜ (t) + CU̇(t) +KU (t) = Q(t) (66) с нулевыми начальными условиями U (t) = 0, U̇(t) = 0, при t = 0, (67) где M , C, K – соответственно матрицы масс, дем- пфирования и жесткости; Q(t) – узловые значения вектора электромеханической нагрузки. Для решения системы (66) использован неявный метод, согласно которому на каждом временном шаге ∆t необходимо решать систему линейных ал- гебраических уравнений [ a0M + a1C + (1 + α)K ] UK+1 = = QK+1 + αK UK + + (a0UK + a2U̇K + a3ÜK )M + + (a1UK + a4U̇K + a5ÜK )C, ÜK+1 = a0(UK+1 − UK) − a2U̇K − a3ÜK , U̇K+1 = U̇K + a6ÜK + a7ÜK+1. (68) Здесь α = [ −1 3 ; 0 ] ; β = (1 − α)2 4 ; γ = 1 2 − α; a0 = 1 β∆t2 ; a1 = γ β∆t ; a2 = 1 β∆t ; a3 = 1 2β − 1; a4 = γ β − 1; a5 = ∆t 2 ( γ β − 2 ) ; a6 = ∆t(1− γ); a7 = γ∆t. Полагая в соотношениях (68) α=0, получаем ал- горитм Ньюмарка [19]. На основе указанного выше подхода реализо- ваны алгоритмы решения динамических задач с полностью или частично электродированными по- верхностями. Конкретные расчеты проведены для пластины, составленной из противоположно поля- ризованных внешних слоев пьезокерамики типа ЦТСтБС-2 [11,21,22] и внутреннего дюралюмини- евого слоя со следующими характеристиками ма- В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая 29 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 Рис. 8. Зависимость прогиба от времени для шарнирно закрепленной пластины териалов [20], размерами и параметрами нагруже- ния: d31 = −1.6 · 10−10 К/Н, SE 11 = 12.5 · 10−12 м2/Н, SE 12 = 4.2 · 10−12 м2/Н, εT 33 = 2100 ε033, ε033 = 8.854 · 10−12 Ф/м, η1 = 1.7 · 105 Н · м · с, E2 = 7.3 · 1010 Н/м2, η2 = 1.47 · 105 Н · м · с, ρ2 = 0.279 · 104 кг/м3, ν2 = 0.34, H = 2h1 + h2 = 0.005 м, h2 = 0.004 м, a = b = 0.1 м, p0 = 0.1, V0 = 11 В. В таблице приведены максимальные значения прогиба в центре пластины для различных момен- тов времени, вычисленные с использованием ана- литического (60) и конечно-элементного решений. Расчеты проводились как при раздельном, так и при совместном действии механической и электри- ческой нагрузок. Разность потенциалов, позволя- ющая исключить в решении (60) первую гармони- ку, определялась в соответствии с условием (62). На рис. 8 показана временная зависимость про- гиба в центре шарнирно опертой пластины. Кри- вые 1 и 2 отвечают решению упругой и вязкоу- пругой задач соответственно при действии только механической нагрузки, а кривая 3 – решению вяз- коупругой задачи при совместном электрическом и механическом нагружении. Рис. 9. Зависимость прогиба от времени для жестко защемленной пластины В качестве второго примера использования пре- длагаемого подхода рассмотрим задачу о нестаци- онарных колебаниях слоистой пластины с жестко защемленными краями. В этом случае демпфиро- вания нестационарных колебаний можно достичь только при использовании частично электродиро- ванных поверхностей. Разность потенциалов, ко- торую необходимо приложить к электродам для демпфирования первой моды, определяется в той же последовательности, что и раньше. Сначала ре- шается задача на собственные колебания и вычи- сляется первая собственная частота изгибных ко- лебаний жестко защемленной пластины. Затем определяется разность потенциалов, необходимая для демпфирования первой моды при действии на- грузки p(t) = p0 cosωt. Вычисленная таким образом разность потенциа- лов в зависимости от размеров электродированной области, дана на рис. 7. На рис. 9 представлены кривые изменения про- гиба в центре жестко защемленной пластины в зависимости от времени. Кривые 1 и 2 соответ- ствуют решению упругой и вязкоупругой задач при действии механической нагрузки, а кривая 3 – при совместном действии электрической и механи- ческой нагрузок. Как следует из полученных ре- зультатов, резкое уменьшение амплитуды колеба- ний пластины достигается даже при использова- нии одного актуатора. 30 В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 Таблица. Сравнение аналитического и численного (конечно-элементного) решений Аналитическое решение Решение МКЭ 106 × w, [м] 106 × w, [м] 102 × t, [с] P = P0H(t), P = 0, P = P0H(t), P = P0H(t), P = 0, P = P0H(t), V = 0 V = V0H(t) V = V0H(t) V = 0 V = V0H(t) V = V0H(t) 0.023 0.885 0.822 0.063 0.885 0.821 0.064 0.114 0.856 0.817 0.039 0.857 0.818 0.038 0.206 0.820 0.784 0.036 0.823 0.788 0.036 0.296 0.794 0.759 0.035 0.793 0.757 0.036 0.387 0.767 0.731 0.036 0.766 0.728 0.036 0.478 0.739 0.704 0.035 0.737 0.701 0.036 0.615 0.706 0.671 0.035 0.703 0.667 0.036 0.752 0.676 0.640 0.036 0.673 0.637 0.036 0.888 0.649 0.615 0.034 0.646 0.617 0.035 0.980 0.632 0.596 0.036 0.629 0.593 0.036 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В статье представлена постановка задачи о дем- пфировании стационарных и нестационарных ко- лебаний пластин с помощью включения в их стру- ктуру слоев вязкоупругих материалов и пьезо- электрических включений, выполняющих функ- ции сенсоров и актуаторов. Представлены возмо- жные типы уравнений обратной связи, влияющей на жесткостные, диссипативные и инерционные характеристики пластины. Показано, что за счет использования обратной связи достигается суще- ственное уменьшение амплитуд колебаний пласти- ны. Рассмотрен метод демпфирования колебаний, при котором к пьезоактуатору подводится раз- ность потенциалов с амплитудой и фазой, необ- ходимыми для компенсации внешней механиче- ской нагрузки. Подробно рассмотрен случай на- гружения пластины давлением, изменяющимся по гармоническому закону. Для шарнирного закре- пления торцов пластины получено аналитическое решение задачи о демпфировании ее колебаний. Представлены простые формулы, дающие воз- можность рассчитать координаты центра прямо- угольного пьезовключения и его размеры из усло- вия минимальности подводимой к пьезоактуатору разности потенциалов. Аналогичные соотношения получены и для сенсоров. Представленные результаты расчета амплитудно-частотных характеристик для различных видов граничных условий свиде- тельствуют об эффективности рассмотренного способа демпфирования колебаний. Указаны возможные подходы к проблеме демпфирова- ния нестационарных колебаний, когда за счет компенсации определенного количества мод мож- но существенно уменьшить уровень вибраций объекта. Указан один из возможных вариантов размещения электродов для демпфирования четырех мод колебаний. В качестве примера использования одного актуатора решена задача об активном демпфировании изотропной пласти- ны, изготовленной из вязкоупругого материала Фойгта. Рассмотрены два типа граничных усло- вий: шарнирного и жесткого защемления торцов пластины. Для первого типа получено точное решение задачи о демпфировании колебаний, которое служит эталоном при оценке точности решения аналогичной задачи с помощью метода конечных элементов. Приведенные результаты ра- счета временных зависимостей прогиба в случаях пассивного и активного демпфирования свиде- тельствуют об эффективности использования активных методов. 1. Дубенец В. Г., Хильчевский В. В. Колебания дем- пфируемых композитных конструкций. Т. 1.– К.: Вища школа, 1995.– 226 с. 2. Матвеев В. В. Демпфирование колебаний дефор- мируемых тел.– К.: Наук. думка, 1985.– 264 с. 3. Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфи- рование колебаний.– М.: Мир, 1988.– 448 с. 4. Gabbert U. and Tzou H. S. Smart structures and structronic systems.– Dordrecht –Boston –London: Kluver Academic Pub., 2001.– 384 p. 5. Rao S. S., Sunar M. Piezoelectricity and its use in disturbance sensing and control of structure: A В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая 31 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 15 – 32 survey // Appl. Mech. Reviews.– 1994.– 47, N 44.– P. 113–123. 6. Tani J., Takagi T., Qiu J. Intelligent material systems: Applications of functional materials // Appl. Mech. Reviews.– 1998.– 51, N 8.– P. 505–521. 7. Tzou H. S., Bergman L. A. Dynamics and control of distributed systems.– Cambridge: Cambridge Uni- versity Press, 1998.– 400 p. 8. Tzou H. S. Piezoelectric shells (distributed sensi- ng and control of сontinua).– Dordrecht – Boston – London: Kluver Academic Pub., 1993.– 400 p. 9. Механика связанных полей в элементах констру- кций: в пяти томах. Том 5. Электроупругость / Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А.– К.: Наук. думка, 1989.– 280 с. 10. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек.– М.: Наука, 1974.– 446 с. 11. Механика связанных полей в элементах констру- кций: в пяти томах. Том 4. Электротермовязкоу- пругость / Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф.– К.: Наук. думка, 1988.– 320 с. 12. Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математи- ческой теории термовязкоупругости.– М.: Наука, 1970.– 280 с. 13. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной меха- ники твердых тел.– М.: Наука, 1977.– 384 с. 14. Барканов Е., Рикардс Р., Хольсте К., Тегер О. Вынужденные колебания вязкоупругой балки, пластины и оболочки типа сандвич под ударной нагрузкой // Мех. композит. материалов.– 2001.– 36, N 3.– С. 367–377. 15. Карнаухова О. В., Козлов В. И., Рассказов О. А. Параметрические колебания трехслойных пьезо- электрических оболочек вращения // Акуст. вiсн.– 2001.– 4, N 1.– С. 31–43. 16. Рассказов А. О., Козлов А. В. Численное ис- следование неосесимметричных колебаний оболоч- ки вращения при нестационарном нагружении // Прикл. мех.– 1998.– 34, N 5.– С. 68–75. 17. Bhimaraddi A., Carr A. J., Moss P. T. A shear deformable finite element for the analysis of general shells of revolution // Comput. Struct.– 1989.– 31, N 3.– P. 299–308. 18. Huang-Sying Ying, Ming-Liang Liao Partial hybrid stress element for transient analysis of thick lami- nated composite plates // Int. J. Numer. Methods in Engng.– 1990.– 29, N 8.– P. 1787–1796. 19. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов.– М.: Стройиздат, 1982.– 448 с. 20. Bank H. T., Rosario R., Smith R. C. Reduced- order model feedback control design: Numerical implementation in a thin shell model // IEEE Trans. Automat. Control.– 2000.– 45, N 7.– P. 1312–1324. 21. Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Вынужденные гармонические колебания и диссипативный ра- зогрев вязкоупругих тонкостенных элементов // Прикл. мех.– 2000.– 36, N 2.– С. 39–63. 22. Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф., Козлов В. И. Электромеханические колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих тонкостенных элементов с пьезоэффектом // Прикл. мех.– 2001.– 37, N 2.– С. 45–77. 32 В. Г. Карнаухов, А. В. Козлов, Е. В. Пятецкая
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-972
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-7507
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T17:17:13Z
publishDate	2002
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Карнаухов, В.Г. Козлов, А.В. Пятецкая, Е.В. 2008-07-09T14:07:05Z 2008-07-09T14:07:05Z 2002 Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин с помощью распределенных пьезоэлектрических включений / В.Г. Карнаухов, А.В. Козлов, Е.В. Пятецкая // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 4. — С. 15-32. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/972 539.374 Дана постановка задачи об активном демпфировании стационарных и нестационарных изгибных колебаний тонких вязкоупругих пластин с использованием распределенных пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов. Рассмотрены случаи программного управления колебаниями пластины без обратной связи и управления колебаниями с использованием обратной связи. Представлено несколько вариантов уравнений обратной связи, обеспечивающих изменение жесткостных, диссипативных и инерционных характеристик пластины. Основные соотношения получены на основе гипотез Кирхгофа-Лява, дополненных гипотезами о распределении электрических полевых величин. Для прямоугольной пластины с шарнирным закреплением торцов получены аналитические выражения для потенциала, демпфирующего любую из мод колебаний, возбуждаемых гармонической во времени поперечной нагрузкой. Аналогичные выражения получены и для заряда сенсора. Для других типов граничных условий и геометрии пластины при решении использован метод конечных элементов. На основе аналитических и конечно-элементных решений получены численные результаты, иллюстрирующие эффективность активного контроля стационарных и нестационарных колебаний пластины. Дано постановку задачі про активне демпфування стаціонарних і нестаціонарних коливань тонких в'язкопружних пластин з використанням розподілених п'єзоелектричних сенсорів та актуаторів. Розглянуті випадки програмного керування коливаннями пластини без оберненого зв'язку і керування коливаннями з використанням оберненого зв'язку. Представлені декілька варіантів рівнянь оберненого зв'язку, які забезпечують зміну жорсткістних, дисипативних та інерційних характеристик пластини. Основні співвідношення одержано на основі гіпотез Кірхгофа-Лява, доповнених гіпотезами про розподіл електричних польових величин. Для прямокутної пластини з шарнірним закріпленням торців одержано аналітичний вираз для потенціалу, який демпфує кожну з мод коливань, які збуджуються гармонічним за часом поперечним навантаженням. Аналогічний вираз одержано і для заряду сенсора. Для інших типів граничних умов і геометрії пластини при розв'язку використано метод скінченних елементів. На основі аналітичних та скінченно-елементних розв'язків одержані числові результати, які ілюструють ефективність активного контролю стаціонарних та нестаціонарних коливань пластини. The problem of active damping of steady and unsteady vibrations of thin viscoelastic plates by distributed piezoelectric sensors and actuators is studied. The program control of the plate's oscillations both without feedback control and with such control are considered. Several variants of equations of the feedback control, which provide changes of the stiffness, dissipative and inertial characteristics of the plate, are presented. Principal equations are obtained on the basis of the Kirchhoff-Love mechanical hypothesis complemented with adequate assumptions about distribution of electric fields. For rectangular plate with pin joint support of edges the analytical expression for the electric potential is obtained. Mentioned potential is expressed as a damping factor for each mode of vibrations excited by the transverse loading. Analogous expression is obtained for the charge of the sensors. For other boundary conditions and geometry of plates the method of finite elements is used in the solution procedure. On the basis of the analytical and the finite element solutions the numerical results are obtained that illustrate the effectiveness of active damping of steady and unsteady vibrations of plates. ru Інститут гідромеханіки НАН України Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин с помощью распределенных пьезоэлектрических включений Damping of vibration of visco-elastic plates by distributed piezoelectric inclusions Article published earlier
spellingShingle	Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин с помощью распределенных пьезоэлектрических включений Карнаухов, В.Г. Козлов, А.В. Пятецкая, Е.В.
title	Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин с помощью распределенных пьезоэлектрических включений
title_alt	Damping of vibration of visco-elastic plates by distributed piezoelectric inclusions
title_full	Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин с помощью распределенных пьезоэлектрических включений
title_fullStr	Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин с помощью распределенных пьезоэлектрических включений
title_full_unstemmed	Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин с помощью распределенных пьезоэлектрических включений
title_short	Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин с помощью распределенных пьезоэлектрических включений
title_sort	демпфирование колебаний вязкоупругих пластин с помощью распределенных пьезоэлектрических включений
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/972
work_keys_str_mv	AT karnauhovvg dempfirovaniekolebaniivâzkouprugihplastinspomoŝʹûraspredelennyhpʹezoélektričeskihvklûčenii AT kozlovav dempfirovaniekolebaniivâzkouprugihplastinspomoŝʹûraspredelennyhpʹezoélektričeskihvklûčenii AT pâteckaâev dempfirovaniekolebaniivâzkouprugihplastinspomoŝʹûraspredelennyhpʹezoélektričeskihvklûčenii AT karnauhovvg dampingofvibrationofviscoelasticplatesbydistributedpiezoelectricinclusions AT kozlovav dampingofvibrationofviscoelasticplatesbydistributedpiezoelectricinclusions AT pâteckaâev dampingofvibrationofviscoelasticplatesbydistributedpiezoelectricinclusions

Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин с помощью распределенных пьезоэлектрических включений

Institution

Similar Items