Разработка и исследование агрегированных математических моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами
Представлены результаты по разработке и исследованию агрегированных математических моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами — запаздываниями и опережениями во времени. Рассмотрены системы нелинейных дифференциальных уравнений и поставлена задача Коши. Дан анализ особенностей математичес...
Saved in:
| Published in: | Ядерна та радіаційна безпека |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Державне підприємство "Державний науково-технічний центр з ядерної та радіаційної безпеки" Держатомрегулювання України та НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97219 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Разработка и исследование агрегированных математических моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами / Джамшид Гараханлу, И.В. Казачков // Ядерна та радіаційна безпека. — 2012. — № 2. — С. 36-41. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859546014769217536 |
|---|---|
| author | Джамшид Гараханлу Казачков, И.В. |
| author_facet | Джамшид Гараханлу Казачков, И.В. |
| citation_txt | Разработка и исследование агрегированных математических моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами / Джамшид Гараханлу, И.В. Казачков // Ядерна та радіаційна безпека. — 2012. — № 2. — С. 36-41. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Ядерна та радіаційна безпека |
| description | Представлены результаты по разработке и исследованию агрегированных математических
моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами — запаздываниями
и опережениями во времени. Рассмотрены системы нелинейных дифференциальных
уравнений и поставлена задача Коши. Дан анализ особенностей математической модели
потенциально опасного объекта (ПОО) ядерной енергетики и проведены расчеты на ЭВМ.
Модель рекомендована для исследования особенностей поведения объектов и поиска
аварийных режимов, а также для тактического и стратегического планирования их
развития.
Ключевые слова: агрегированная модель, запаздывание, опережение, критические
режимы, потенциально опасный объект.
Наведено результати розробки та дослідження агрегованих математичних моделей
ядерних об’єктів зі зсувними аргументами — запізненнями та випередженнями в часі.
Розглянуто системи нелінійних диференціальних рівнянь і поставлена задача Коші.
Надано аналіз особливостей математичної моделі потенційно небезпечного об’єкта (ПНО)
ядерної енергетики та проведено розрахунки на ЕОМ. Модель рекомендовано для
дослідження особливостей поведінки об’єктів та пошуку аварійних режимів, а також для
тактичного та стратегічного планування їх розвитку.
Ключові слова: агрегована модель, запізнення, випередження, критичні режими,
потенційно небезпечний об’єкт
The development and investigation of aggregate models for nuclear objects with shift arguments
(time delays and forecasts) are discussed. The nonlinear differential equations of the model are
described and the Cauchy problem is stated. The specific features of the mathematical model for
potentially hazardous nuclear objects are analyzed and computer simulation is presented. The
model is recommended for studying the behavior of objects and identifying emergency modes
and for tactical and strategic planning of their development.
Keywords: aggregate model, delay, forecast, critical modes, potentially hazardous object.
|
| first_indexed | 2025-11-26T01:42:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
36 ßäåðíà òà ðàä³àö³éíà áåçïåêà 2 (54).2012
Ì
îäåëèðîâàíèå ïîòåíöèàëüíî îïàñíîãî îáúåê-
òà (ÏÎÎ) èìååò öåëüþ óñòàíîâëåíèå îáùèõ
çàêîíîìåðíîñòåé èõ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ,
êîòîðûå ïîçâîëÿþò îñóùåñòâëÿòü àíàëèç
êðèòè÷åñêèõ è êàòàñòðîôè÷åñêèõ ñèòóàöèé
è ïàðàìåòðîâ, ñïîñîáíûõ èõ âûçâàòü. Ïîýòîìó ðàçðàáîòêà
è èññëåäîâàíèå àãðåãèðîâàííûõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé ìî-
æåò áûòü ýôôåêòèâíûì èíñòðóìåíòîì ðåøåíèÿ ïîñòàâëåí-
íûõ çàäà÷, ÷åì è îáúÿñíÿåòñÿ àêòóàëüíîñòü äàííîé òåìû.
Èññëåäîâàíèå ïîñòðîåííûõ ìîäåëåé ÏÎÎ ïîìîãàåò òàêæå
îñóùåñòâèòü ñòðàòåãè÷åñêîå è òàêòè÷åñêîå ïëàíèðîâàíèå
ðàçâèòèÿ îáúåêòà ëþáîãî óðîâíÿ (ÀÝÑ, îòðàñëü è ò. ä.) íà
îñíîâå ðåçóëüòàòîâ ñèòóàöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íà ÝÂÌ
â øèðîêîì äèàïàçîíå âàðüèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ äëÿ âñåâîç-
ìîæíûõ ñöåíàðèåâ. Âûÿâëåííûå âîçìîæíûå êðèòè÷åñêèå
ðåæèìû è êàòàñòðîôû äîëæíû áûòü èçó÷åíû ñ öåëüþ èõ
íåäîïóùåíèÿ â ðàáîòå ðåàëüíîãî îáúåêòà, ïðè÷åì íåîáõî-
äèìî èçáåãàòü ïîïàäàíèÿ â êðèòè÷åñêèå óñëîâèÿ, íàéäåí-
íûå â âû÷èñëèòåëüíîì ýêñïåðèìåíòå íà ÝÂÌ, êîíòðîëèðóÿ
ïàðàìåòðû îáúåêòà è çíàÿ îñîáåííîñòè åãî ðàçâèòèÿ.
Ðàçâèòèå äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé ÏÎÎ ïîçâîëèò ñèñòå-
ìàòèçèðîâàòü çíàíèÿ î êðèòè÷åñêèõ ñèòóàöèÿõ è âçàèìî-
âëèÿíèè ïàðàìåòðîâ ñëîæíîé ñèñòåìû, ïðè êîòîðûõ ïî-
äîáíûå íåæåëàòåëüíûå èëè êàòàñòðîôè÷åñêèå ïîñëåäñòâèÿ
âîçìîæíû. Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ
òàêèå ñëîæíûå îáúåêòû íå ïîçâîëÿþò ïîñòðîèòü èõ òî÷-
íûå äåòåðìèíèðîâàííûå ìîäåëè ââèäó íåîáîçðèìîãî êîëè-
÷åñòâà ïàðàìåòðîâ è íåèçâåñòíîñòè ñâÿçåé ìíîãèõ èç íèõ,
èçó÷åíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé ïîçâîëÿåò
âûÿâèòü îïðåäåëÿþùèå ïàðàìåòðû è èõ âçàèìîâëèÿíèå.
Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàþùèìè è îïåðåæà-
þùèìè àðãóìåíòàìè. Òåîðèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïðåä-
ñòàâëÿåò ïîäõîäÿùèé ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòðóìåíò äëÿ
èññëåäîâàíèÿ ÏÎÎ. Ìíîãèå ñâîéñòâà ðåàëüíûõ îáúåêòîâ
îïðåäåëÿþòñÿ ýôôåêòîì ïîñëåäåéñòâèÿ, ñîñòîÿùåãî â òîì,
÷òî äàëüíåéøåå ïîâåäåíèå îáúåêòà çàâèñèò íå òîëüêî îò íà-
ñòîÿùåãî, íî è îò ïðåäûñòîðèè, à èíîãäà òàêæå è îò áóäó-
ùåãî (íàïðèìåð, îðèåíòèðîâàíèå íà ïëàíîâûå ïîêàçàòåëè).
Ìîäåëèðîâàòü òàêèå ñèñòåìû ïîçâîëÿþò ôóíêöèîíàëüíî-
äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, íàçûâàåìûå óðàâíåíèÿìè
ñ îòêëîíÿþùèìèñÿ àðãóìåíòàìè (çàïàçäûâàíèÿìè èëè
îïåðåæåíèÿìè).
Òåîðèþ ñèñòåì ñ ïîñëåäåéñòâèåì ðàçâèâàëè Í. Â. Àçáåëåâ, Â. Àçáåëåâ,Â. Àçáåëåâ, Àçáåëåâ,Àçáåëåâ,
Ã. À. Áî÷àðîâ,Å. Ñ. Æóêîâñêèé,Ã. À. Êàìåíñêèé,Í. Í. Êðà- À. Áî÷àðîâ,Å. Ñ. Æóêîâñêèé,Ã. À. Êàìåíñêèé,Í. Í. Êðà-À. Áî÷àðîâ,Å. Ñ. Æóêîâñêèé,Ã. À. Êàìåíñêèé,Í. Í. Êðà- Áî÷àðîâ,Å. Ñ. Æóêîâñêèé,Ã. À. Êàìåíñêèé,Í. Í. Êðà-Áî÷àðîâ, Å. Ñ. Æóêîâñêèé,Ã. À. Êàìåíñêèé,Í. Í. Êðà- Ñ. Æóêîâñêèé,Ã. À. Êàìåíñêèé,Í. Í. Êðà-Ñ. Æóêîâñêèé,Ã. À. Êàìåíñêèé,Í. Í. Êðà- Æóêîâñêèé,Ã. À. Êàìåíñêèé,Í. Í. Êðà-Æóêîâñêèé, Ã. À. Êàìåíñêèé,Í. Í. Êðà- À. Êàìåíñêèé,Í. Í. Êðà-À. Êàìåíñêèé,Í. Í. Êðà- Êàìåíñêèé,Í. Í. Êðà-Êàìåíñêèé, Í. Í. Êðà- Í. Êðà-Í. Êðà- Êðà-Êðà-
ñîâñêèé, Â. È. Ìàêñèìîâ, Â. Ï. Ìàêñèìîâ, Ã. È. Ìàð÷óê, È. Ìàêñèìîâ, Â. Ï. Ìàêñèìîâ, Ã. È. Ìàð÷óê,È. Ìàêñèìîâ, Â. Ï. Ìàêñèìîâ, Ã. È. Ìàð÷óê, Ìàêñèìîâ, Â. Ï. Ìàêñèìîâ, Ã. È. Ìàð÷óê,Ìàêñèìîâ, Â. Ï. Ìàêñèìîâ, Ã. È. Ìàð÷óê, Ï. Ìàêñèìîâ, Ã. È. Ìàð÷óê,Ï. Ìàêñèìîâ, Ã. È. Ìàð÷óê, Ìàêñèìîâ, Ã. È. Ìàð÷óê,Ìàêñèìîâ, Ã. È. Ìàð÷óê, È. Ìàð÷óê,È. Ìàð÷óê, Ìàð÷óê,Ìàð÷óê,
À. Ä. Ìûøêèñ, Ñ. Á. Íîðêèí, Þ. Ñ. Îñèïîâ, Ë. Ñ. Ïîíòðÿ- Ä. Ìûøêèñ, Ñ. Á. Íîðêèí, Þ. Ñ. Îñèïîâ, Ë. Ñ. Ïîíòðÿ-Ä. Ìûøêèñ, Ñ. Á. Íîðêèí, Þ. Ñ. Îñèïîâ, Ë. Ñ. Ïîíòðÿ- Ìûøêèñ, Ñ. Á. Íîðêèí, Þ. Ñ. Îñèïîâ, Ë. Ñ. Ïîíòðÿ-Ìûøêèñ, Ñ. Á. Íîðêèí, Þ. Ñ. Îñèïîâ, Ë. Ñ. Ïîíòðÿ- Á. Íîðêèí, Þ. Ñ. Îñèïîâ, Ë. Ñ. Ïîíòðÿ-Á. Íîðêèí, Þ. Ñ. Îñèïîâ, Ë. Ñ. Ïîíòðÿ- Íîðêèí, Þ. Ñ. Îñèïîâ, Ë. Ñ. Ïîíòðÿ-Íîðêèí, Þ. Ñ. Îñèïîâ, Ë. Ñ. Ïîíòðÿ- Ñ. Îñèïîâ, Ë. Ñ. Ïîíòðÿ-Ñ. Îñèïîâ, Ë. Ñ. Ïîíòðÿ- Îñèïîâ, Ë. Ñ. Ïîíòðÿ-Îñèïîâ, Ë. Ñ. Ïîíòðÿ- Ñ. Ïîíòðÿ-Ñ. Ïîíòðÿ- Ïîíòðÿ-Ïîíòðÿ-
ãèí, Ë. Ý. Ýëüñãîëüö,C. H. T. Baker,H. T. Banks,R. Bellman, Ý. Ýëüñãîëüö,C. H. T. Baker,H. T. Banks,R. Bellman,Ý. Ýëüñãîëüö,C. H. T. Baker,H. T. Banks,R. Bellman, Ýëüñãîëüö,C. H. T. Baker,H. T. Banks,R. Bellman,Ýëüñãîëüö, C. H. T. Baker,H. T. Banks,R. Bellman,C. H. T. Baker,H. T. Banks,R. Bellman,. H. T. Baker,H. T. Banks,R. Bellman, H. T. Baker,H. T. Banks,R. Bellman,. T. Baker,H. T. Banks,R. Bellman, T. Baker,H. T. Banks,R. Bellman,. Baker,H. T. Banks,R. Bellman, Baker,H. T. Banks,R. Bellman,, H. T. Banks,R. Bellman,H. T. Banks,R. Bellman,. T. Banks,R. Bellman, T. Banks,R. Bellman,. Banks,R. Bellman, Banks,R. Bellman,, R. Bellman,R. Bellman,. Bellman, Bellman,,
K. L. Cooke, V. Lakshmikantam, V. Volterra è äðóãèå ó÷åíûå.. L. Cooke, V. Lakshmikantam, V. Volterra è äðóãèå ó÷åíûå.L. Cooke, V. Lakshmikantam, V. Volterra è äðóãèå ó÷åíûå.. Cooke, V. Lakshmikantam, V. Volterra è äðóãèå ó÷åíûå.Cooke, V. Lakshmikantam, V. Volterra è äðóãèå ó÷åíûå., V. Lakshmikantam, V. Volterra è äðóãèå ó÷åíûå.V. Lakshmikantam, V. Volterra è äðóãèå ó÷åíûå.. Lakshmikantam, V. Volterra è äðóãèå ó÷åíûå.Lakshmikantam, V. Volterra è äðóãèå ó÷åíûå., V. Volterra è äðóãèå ó÷åíûå.V. Volterra è äðóãèå ó÷åíûå.. Volterra è äðóãèå ó÷åíûå.Volterra è äðóãèå ó÷åíûå. è äðóãèå ó÷åíûå.
Ïîëó÷åííûå ôóíäàìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû òåîðèè äèíàìè-
÷åñêèõ ñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåì è îïåðåæåíèåì ñôîðìèðî-
âàëè òåîðèþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ îòêëîíÿþ-
ùèìèñÿ àðãóìåíòàìè. Ýòà òåîðèÿ â ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ
ïðèìåíÿëàñü ê ðàçëè÷íûì ñëîæíûì ñèñòåìàì òåõíèêè
è òåõíîëîãèè, êèáåðíåòèêè, ýêîíîìèêè, ñîöèîëîãèè, ýêî-
ëîãèè è áèîëîãèè è ìíîãèì äðóãèì, ïîçâîëèâ ïîëó÷èòü
íîâûå èíòåðåñíûå çàêîíîìåðíîñòè òàêèõ ñèñòåì è ïðîöåñ-
ñîâ [1—19]. Ðàçðàáîòàíû è óñïåøíî ïðèìåíåíû ðàçëè÷íûå
÷èñëåííûå àëãîðèòìû ðåøåíèÿ çàäà÷ äëÿ íîâûõ îáúåêòîâ
è ñèñòåì [4—6, 11—17]. Óðàâíåíèÿ ñ îïåðåæåíèåì ïðàê-
òè÷åñêè íå èçó÷åíû, èìåþòñÿ òîëüêî ðàáîòû â ñâÿçè ñ èõ
êëàññèôèêàöèåé [2, 4].
Íåëèíåéíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ çàïàçäûâàíèÿ-
ìè è îïåðåæåíèÿìè ðàññìàòðèâàëàñü äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ
ÏÎÎ ÿäåðíîé ýíåðãåòèêè [20—22]. Áûëè ïîïûòêè ðàññìîò-
ðåíèÿ îïåðåæåíèÿ è â ìîäåëÿõ èç äðóãèõ îáëàñòåé, íàïðè-
ìåð â áèîëîãèè ïðè èññëåäîâàíèè äèíàìèêè ïîïóëÿöèé
ßäåðíà òà ðàä³àö³éíà áåçïåêà 2 (54).2012 37
Ðàçðàáîòêà è èññëåäîâàíèå àãðåãèðîâàííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ÿäåðíûõ îáúåêòîâ ñî ñäâèãîâûìè àðãóìåíòàìè
è â ýëåêòðîòåõíèêå ïðè èçó÷åíèè ïåðåäà÷è ýëåêòðè÷åñêèõ
ñèãíàëîâ â âûñîêîâîëüòíûõ ëèíèÿõ ýëåêòðîïåðåäà÷è [7, 23].
À âîò â òåîðèè óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì ñèñòåìàìè ñ çàïàç-
äûâàíèåì ïðèìåíåíèå íåîáõîäèìûõ óñëîâèé îïòèìàëüíîñ-
òè â ôîðìå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà ïðèâîäèò ê ñîïðÿæåííîé
ñèñòåìå ñ îïåðåæåíèåì [3]. Ïîñòàíîâêà îñíîâíûõ êðàåâûõ
çàäà÷, ðàññìàòðèâàåìûõ â ïðèëîæåíèÿõ, ñëåäóþùàÿ:
1 2, , ,dx f t x t x t x t
dt
, a t b , (1)
ãäå nx R , n N , a R , b R , a < b, 1 2, — âåëè÷èíû
çàïàçäûâàíèÿ è îïåðåæåíèÿ, ñîîòâåòñòâåííî; f — íåêî-
òîðàÿ çàäàííàÿ n -ìåðíàÿ ôóíêöèÿ. Ñèñòåìà äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé (1) ñ çàïàçäûâàíèåì è îïåðåæåíèåì
äîïîëíÿåòñÿ òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëüíûìè äàí-
íûìè (çàäà÷à Êîøè).
Ýôôåêòèâíûìè ìåòîäàìè ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèÿìè è îïåðåæåíèÿìè, êðîìå ÷èñ-
ëåííûõ ìåòîäîâ, ÿâëÿþòñÿ òàêæå ìåòîäû óñðåäíåíèÿ äèô-
ôåðåíöèàëüíûõ è èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ
[24, 25]. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè ðàçâè-
òèÿ ÏÎÎ íà îñíîâå äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ âðåìåííûìè
ñäâèãàìè, ïîñòðîåííûõ íà èçâåñòíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàí-
íûõ îá îáúåêòå, ïîçâîëÿåò îöåíèòü óðîâåíü áåçîïàñíîñòè
îáúåêòà è äèíàìèêó åãî ðàçâèòèÿ. Îäíîé èç òàêèõ ìîäåëåé
ÿâëÿåòñÿ ïðåäëîæåííàÿ è èññëåäîâàííàÿ â [20, 21] àãðåãè-
ðîâàííàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü ðàçâèòèÿ ÿäåðíîãî ýíåðãå-
òè÷åñêîãî îáúåêòà (îòäåëüíûõ áëîêîâ ÀÝÑ, ÀÝÑ èëè ãðóïï
ÀÝÑ, ÿäåðíîé îòðàñëè ñòðàíû èëè ãðóïïû ñòðàí è ò. ä.),
ïîñòðîåííàÿ ñ ó÷åòîì çàïàçäûâàþùèõ è îïåðåæàþùèõ àð-
ãóìåíòîâ ñèñòåìû.
Äàííàÿ ìîäåëü ó÷èòûâàåò íåãàòèâíûå âîçäåéñòâèÿ ÏÎÎ
íà îêðóæàþùóþ ñðåäó è èõ îñëàáëåíèå ñ ïîñëåäóþùåé
ëèêâèäàöèåé, äèíàìèêó ðàçâèòèÿ ñàìîãî îáúåêòà, èçìåíå-
íèå êóëüòóðû áåçîïàñíîñòè íà íåì è åå âëèÿíèå íà ïîêà-
çàòåëè, âêëþ÷àÿ óðîâåíü áåçîïàñíîñòè. Ðàçâèòèå äèíàìè-
÷åñêèõ ìîäåëåé ÏÎÎ ïîçâîëèò ñèñòåìàòèçèðîâàòü çíàíèÿ
î êðèòè÷åñêèõ ñèòóàöèÿõ è âçàèìîâëèÿíèè ïàðàìåòðîâ
ñëîæíîé ñèñòåìû, ïðè êîòîðûõ íåæåëàòåëüíûå èëè êàòàñ-
òðîôè÷åñêèå ïîñëåäñòâèÿ âîçìîæíû. È ïîñêîëüêó â áîëü-
øèíñòâå ñëó÷àåâ òàêèå ñëîæíûå îáúåêòû íå ïîçâîëÿþò
ïîñòðîèòü èõ òî÷íûå äåòåðìèíèðîâàííûå ìîäåëè ââèäó
íåîáîçðèìîãî êîëè÷åñòâà ïàðàìåòðîâ è íåèçâåñòíîñòè èõ
ñâÿçåé, èçó÷åíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé
ïîçâîëÿåò âûÿâèòü îïðåäåëÿþùèå ïàðàìåòðû è èõ ñâÿçè.
ÏÎÎ ëþáîé ïðèðîäû ìîæíî ðàññìîòðåòü êàê íåëè-
íåéíóþ äèíàìè÷åñêóþ ìîäåëü, ïðåäñòàâëåííóþ íàáîðîì
âçàèìîñâÿçàííûõ îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ. Â îáùåì
ñëó÷àå àãðåãèðîâàííàÿ ìîäåëü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà
â âèäå [20]
0
0
ni
i i i ij j j
j
dx
N x a a N x
dt
, (2)
ãäå xi — ïàðàìåòðû ìîäåëè; Ni — ïðåäåëüíûå âîçìîæíûå
çíà÷åíèÿ i-ãî ïàðàìåòðà; aij — êîýôôèöèåíòû, ïîäëåæà-
ùèå îïðåäåëåíèþ èç ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ îá îáúåêòå;
n — ÷èñëî ïàðàìåòðîâ, i = 1, 2,…,n. Ñòðîãî ãîâîðÿ, aij ìî-
ãóò áûòü íåêîòîðûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè; Ni ìîãóò âà-
ðüèðîâàòüñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàññìàòðèâàåìîé ïðîáëåìîé
(òàêòè÷åñêîå èëè ñòðàòåãè÷åñêîå ïëàíèðîâàíèå, èññëåäî-
âàíèå êðèòè÷åñêèõ ñèòóàöèé è ò. ï.). Çäåñü ïðåäåëû èçìå-
íåíèÿ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû (2) îïðåäåëÿþòñÿ èõ âçàèìíûì
âëèÿíèåì è áëèçîñòüþ ê ïðåäåëüíî âîçìîæíûì çíà÷åíèÿì
(ñâîéñòâî íàñûùåíèÿ) [1].
Ñèñòåìà íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
(2) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëüíûìè äàííûìè ïîçâîëÿåò
ìîäåëèðîâàòü äèíàìèêó ðàçâèòèÿ ÏÎÎ âî âðåìåíè âïëîòü
äî äîñòèæåíèÿ ïëàíèðóåìûõ ïîêàçàòåëåé èëè ðåæèìîâ,
íàïðèìåð íàñûùåíèÿ, êðèòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ â ðàçâèòèè
îáúåêòà, êàòàñòðîôè÷åñêèõ ñèòóàöèé è ò. ä. Ïåðåìåííûå xi
ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü, íàïðèìåð, ÷èñëåííîñòü ðàáîòàþùåãî
íà îáúåêòå ïåðñîíàëà è óïðàâëåíöåâ, êîëè÷åñòâî ïðîèç-
âîäèìîé ïðîäóêöèè, çàòðàòû íà ðåìîíò è âîññòàíîâëåíèå,
ëèêâèäàöèþ ýêîëîãè÷åñêèõ ïîñëåäñòâèé, óðîâåíü êóëü-
òóðû áåçîïàñíîñòè íà îáúåêòå è ïð. Îíè ìîãóò èçìåíÿòüñÿ
â äèàïàçîíå îò 0 äî Ni (ñèñòåìó ìîæíî íîðìèðîâàòü ïî âû-
áðàííîìó ìàñøòàáó).
Äèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü ïîòåíöèàëüíî îïàñíîãî ÿäåðíîãî
ýíåðãåòè÷åñêîãî îáúåêòà. Ìîäåëèðîâàíèå ÏÎÎ íà÷èíàåòñÿ
ñ âû÷èñëåíèÿ êîíñòàíò ñèñòåìû óðàâíåíèé (2) íà îñíîâå
èçâåñòíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ îá èçó÷àåìîì îáúåêòå.
Çàòåì ïðîâåðÿåòñÿ òî÷íîñòü ïîëó÷åííîé ìîäåëè íà äðóãèõ
ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ðàáîòîñïîñîáíî-
ñòè ìîäåëè. Ê ñîæàëåíèþ, äëÿ ìíîãèõ ÏÎÎ òàêèõ äàííûõ
íåäîñòàòî÷íî, ïîýòîìó èõ ìîäåëèðîâàíèå — äëèòåëüíûé
ïðîöåññ, â õîäå êîòîðîãî ïðîèñõîäèò ïðîâåðêà è óòî÷íå-
íèå ìîäåëè. Ïðè ýòîì ñèñòåìà (2) ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíà
ñ ó÷åòîì îãðàíè÷åíèé, íàëàãàåìûõ ïî ðàçíûì ïðè÷èíàì —
ïðèðîäíûì èëè ïðîèçâîäñòâåííûì è äð.
Ñëåäóÿ [20—22], ðàññìîòðèì ìîäåëü ÿäåðíîãî ýíåðãå-
òè÷åñêîãî îáúåêòà, ââîäÿ òàêèå îïðåäåëÿþùèå âåëè÷èíû:
x1, x2, — ÷èñëåííîñòü ðàáîòíèêîâ è óïðàâëåíöåâ, ñîîò-
âåòñòâåííî; x3 — îáùèé âûõîä ïðîèçâîäèìîãî ïðîäóêòà;
x4 — çàòðàòû íà ðåìîíò è âîññòàíîâëåíèå îáúåêòà; x5 — çà-
òðàòû íà ïðåäîòâðàùåíèå çàãðÿçíåíèÿ îêðóæàþùåé ñðåäû
è ëèêâèäàöèþ ïîñëåäñòâèé îò çàãðÿçíåíèé; x6 — óðîâåíü
êóëüòóðû áåçîïàñíîñòè íà îáúåêòå.
Èñïîëüçóÿ ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå î ðàáîòå ÏÎÎ,
ìîæíî îïðåäåëèòü ñâÿçè ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ ëîãèêîé ôóíêöèîíèðîâàíèÿ îáúåêòà. Òàê, ìîæíî
ïðåäëîæèòü èçìåðÿòü óðîâåíü êóëüòóðû áåçîïàñíîñòè
â äèàïàçîíå [0, 1], ñëåäóÿ èäåå îáùåãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ
ñóáñòàíöèè, êîòîðûé ôîðìèðóåò áèïîëÿðíûé Universum,
ñîñòîÿùèé èç äâóõ ïðîòèâîðå÷èâûõ ÷àñòåé (âûñîêàÿ—íèç-
êàÿ êóëüòóðà) [26, 27]. Çíà÷åíèå x6 = 0 ñîîòâåòñòâóåò íå-
âîçìîæíîìó â ïðàêòèêå ñëó÷àþ ïîëíîãî îòñóòñòâèÿ êóëü-
òóðû áåçîïàñíîñòè, à x6 = 1 îòâå÷àåò ñëó÷àþ íàèâûñøåãî
âîçìîæíîãî óðîâíÿ êóëüòóðû (äàëüíåéøèé ðîñò íåâîçìî-
æåí, òàêæå èäåàëüíûé ñëó÷àé). Åñëè âñå ïàðàìåòðû ñè-
ñòåìû îòíåñåíû ê èõ ïðåäåëüíûì çíà÷åíèÿì, òî, ïðèíÿâ
âî âíèìàíèå âñå èçâåñòíûå èç ïðàêòè÷åñêîãî îïûòà âçàè-
ìîñâÿçè ïàðàìåòðîâ, ìîæíî ïðåäñòàâèòü ìîäåëü ÏÎÎ (2)
â áåçðàçìåðíîì âèäå:
1
10 11 1 12 2 13 3 11 1 1 (1
dy
b b y b y b y y
dt
,
2
20 21 1 22 2 23 3 21 1 1 1
dy
b b y b y b y y
dt
,
3
30 31 1 32 2 33 3
34 4 35 5 36 6 3
1 1 1
1 1 1 1 ,
dy
b b y b y b y
dt
b y b y b y y
38 ßäåðíà òà ðàä³àö³éíà áåçïåêà 2 (54).2012
Äæàìøèä Ãàðàõàíëó, È. Â. Êàçà÷êîâ
4
40 43 3 44 4
45 5 46 6 4
1 1
1 1 1 ,
dy
b b y b y
dt
b y b y y (3)
5
50 53 3 54 4
55 5 56 6 5
1 1
1 1 1 ,
dy
b b y b y
dt
b y b y y
6
60 61 1 62 2 63 3 61 1 1 1 ,
dy
b b y b y b y y
dt
ãäå 0 0 6 6, , ,i i i ij ij j i iy x N b a N b a y x . Çäåñü ïðåäïîëà-
ãàåòñÿ îãðàíè÷åíèå âèäà 4 5 3N N N . Äëÿ áåçðàçìåðíîãî
âðåìåíè t â (3) âûáèðàåòñÿ õàðàêòåðíûé èíòåðâàë Ò.
Áîëüøîå çíà÷åíèå èìååò ïîêàçàòåëü óðîâíÿ áåçîïàñíî-
ñòè ÏÎÎ [20—22]
3 4 61 1 1 2
2 1 2 2 5
1
1
y y yy y
V q
y y y
, (4)
ãäå q — ïàðàìåòð òåêóùåãî óðîâíÿ òåõíîëîãèè; ,i i —
ýìïèðè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû, ïîäëåæàùèå îïðåäåëåíèþ
èç ðåøåíèÿ çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ìîäåëè ïî äàííûì ðå-
àëüíîãî ðàçâèòèÿ îáúåêòà.
Âûðàæåíèå (4) ïîêàçûâàåò, ÷òî 0V ïðè 3 4 6, , 0y y y
è V ïðè 5 0y . Ïðè 1 2, 0y y èíäèêàòîð îáùåãî
óðîâíÿ áåçîïàñíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ íå òîëüêî êîëè÷åñòâîì
ïåðñîíàëà, íî òàêæå óðîâíåì êàê èíäèâèäóàëüíûõ, òàê
è ñîöèàëüíûõ èíòåðåñîâ.
Íåëèíåéíîñòü ìîäåëåé ÏÎÎ è êðèòè÷åñêèå ðåæèìû èõ
ðàáîòû. Íåëèíåéíîñòü ìîäåëåé ÏÎÎ âûçûâàåò íàëè÷èå
ðàçëè÷íûõ îñîáûõ è êðèòè÷åñêèõ ðåæèìîâ èõ ðàáîòû, òî-
÷åê áèôóðêàöèè è àòòðàêòîðîâ, èññëåäîâàíèå êîòîðûõ ïî-
ëåçíî äëÿ ïîíèìàíèÿ îñîáåííîñòåé ñèñòåì. Çíàÿ îñíîâíûå
êðèòè÷åñêèå ðåæèìû è ïàðàìåòðû, óïðàâëÿþùèå èìè,
ìîæíî îïòèìèçèðîâàòü ðàáîòó ÏÎÎ è èçáåæàòü êàòàñò-
ðîô. Ïðè ýòîì îñîáåííî öåííîé äëÿ ëèöà, ïðèíèìàþùåãî
ðåøåíèå (ËÏÐ), ÿâëÿåòñÿ èíôîðìàöèÿ î òàêèõ íàáîðàõ
ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû, ïðè êîòîðûõ ïîëó÷àåòñÿ êðèòè÷å-
ñêèé ðåæèì, âûõîä èç êîòîðîãî çàòðóäíåí èëè íåâîçìîæåí.
Ñëåäóåò ðàññìîòðåòü âîçìîæíûå çàäåðæêè èëè îïåðåæåíèÿ
âî âðåìåíè ïî îòäåëüíûì ïàðàìåòðàì, íàïðèìåð â ñâÿçè
ñ êîíå÷íûì âðåìåíåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ èëè îáðàáîòêè èí-
ôîðìàöèè, à òàêæå çàäàíèåì ïëàíîâûõ îïåðåæàþùèõ ïî-
êàçàòåëåé, íà êîòîðûå òðåáóþò îðèåíòèðîâàòüñÿ â ðàáîòå.
 îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ââåñòè çàäåðæêè âî âðåìåíè ïî êàæ-
äîìó ïàðàìåòðó.  ñâîþ î÷åðåäü, âðåìåííûå çàäåðæêè
ìîãóò áûòü ñàìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè.
Ðåçóëüòàòû âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà, ïðîâåäåí-
íîãî ïî îïèñàííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ÏÎÎ, ïðåä-
ñòàâëåíû íèæå íà ðèñ. 1 è 2.
Ðàññìîòðåííûå ôóíêöèè ïðîíóìåðîâàíû (õ: 1–6), à íà-
÷àëüíûå äàííûå ñëåäóþùèå:
parameter (part = 1.0, omega = 2*pi*0.1, phi = pi/2., x_0 = 0.,
x_max = 60.)
(y1 = 1.-0.8, y2 = 1.-0.9, y3 = 1.-0.8, y4 = 1.-0.7, y5 = 1.-0.2,
y6 = 1.-0.5)
(xN1 = 50000., xN2 = 5000., xN3 = 333333., xN4 = 5000.,
xN5 = 5000., xN6 = 1.)
(A10 = -0.3, A11 = 1.0e-06, A12 = -1.0e-05, A13 = -1.0e-06,
A14 = 1.0e-04, A15 = 1.0e-04, A16 = 0.)
(A20 = -0.2, A21 = 1.0e-06, A22 = -1.0e-05, A23 = -1.0e-06,
A24 = 1.0e-04, A25 = 1.0e-04, A26 = 0.)
(A30 = -0.1, A31 = -1.0e-05, A32 = -1.0e-06, A33 = -1.0e-05,
A34 = 1.0e-04, A35 = 1.0e-04, A36 = -0.1)
(A40 = -0.1, A41 = +0.0e-00, A42 = +0.0e-00, A43 = 1.0e-06,
A44 = -1.0e-04, A45 = -1.0e-04, A46 = -0.3)
(A50 = -0.1, A51 = +0.0e-00, A52 = +0.0e-00, A53 = 1.0e-06,
A54 = -1.0e-04, A55 = -1.0e-04, A56 = -0.3)
(A60 = -0.34, A61 = 1.0e-06, A62 = 1.0e-05, A63 = 1.0e-06,
A64 = +0.0e-00, A65 = +0.0e-00, A66 = 0.).
Ïðè ïðîâåäåíèè òàêèõ âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ,
íåñêîëüêî ðåçóëüòàòîâ êîòîðûõ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 1, 2,
ìîæíî âûÿâèòü èíòåðåñíûå ðåæèìû ïîâåäåíèÿ ñèñòåìû
è â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàòü èõ äëÿ îïòèìèçàöèè ïàðà-
ìåòðîâ ÏÎÎ. Òàê, íà ðèñ. 2, â ïîêàçàí ôðàãìåíò îñöèëëè-
ðóþùåãî ôàçîâîãî ïîðòðåòà äëÿ òðåòüåé ôóíêöèè èç øåñòè
ôóíêöèé, îïèñûâàþùèõ ÏÎÎ. Òàêîãî ðîäà îñîáåííîñòè
ìîãóò ñâèäåòåëüñòâîâàòü î ïîïàäàíèè â ýêñòðåìàëüíóþ îá-
ëàñòü ïàðàìåòðîâ è íà÷àëå êðèòè÷åñêîãî ðåæèìà. Ïîñëå
îïðåäåëåíèÿ êîíñòàíò ìîäåëè ðåàëüíîãî îáúåêòà ðåçóëüòàòû,
ïîäîáíûå ðàññìîòðåííûì, ïîçâîëÿò èçáåãàòü íåæåëàòåëü-
íûõ ðåæèìîâ ðàáîòû è îïòèìèçèðîâàòü ñèñòåìó. Íàïðèìåð,
çíà÷èòåëüíûå îñöèëëÿöèè ôàçîâûõ òðàåêòîðèé ñâèäåòåëü-
ñòâóþò î âîçìîæíîñòè ðåçêèõ èçìåíåíèé ðåæèìîâ ðàáîòû
ñèñòåìû ïðè ñðàâíèòåëüíî ñëàáîì èçìåíåíèè åå äðóãèõ ïà-
ðàìåòðîâ. Ðàçíèöà ìåæäó ïðåäñòàâëåííûìè íà ðèñ. 1 è 2
äàííûìè íåâåëèêà, íî íà ðèñ. 2 âèäíà çíà÷èòåëüíàÿ îñ-
öèëëÿöèÿ ôàçîâîé òðàåêòîðèè òðåòüåé ôóíêöèè (â äàííîé
ìîäåëè — îáúåì ïðîèçâîäèìîãî ïðîäóêòà).
à
á
Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü ïàðàìåòðîâ ÏÎÎ (õ: 1–6)
îò âðåìåíè (à) è èõ ôàçîâûå ïîðòðåòû (á)
ßäåðíà òà ðàä³àö³éíà áåçïåêà 2 (54).2012 39
Ðàçðàáîòêà è èññëåäîâàíèå àãðåãèðîâàííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ÿäåðíûõ îáúåêòîâ ñî ñäâèãîâûìè àðãóìåíòàìè
Êîíñòàíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè îïðåäåëÿþòñÿ íà îñ-
íîâå ñðàâíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ âû÷èñëåíèé ïî ïîñòðîåííîé
ìîäåëè ñ ðåàëüíûìè äàííûìè îäíèì èç èçâåñòíûõ ìåòîäîâ
èäåíòèôèêàöèè. Â ïðîöåññå ñîçäàíèÿ ìîäåëè áîëüøîå ìå-
ñòî çàíèìàåò îïðåäåëåíèå çíà÷åíèé åå ïàðàìåòðîâ (ïàðà-
ìåòðèçàöèÿ, èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ). Îíî ïðîâîäèòñÿ
äëÿ êàæäîé ðàññìàòðèâàåìîé ãèïîòåçû î ñòðóêòóðå ìîäåëè.
×àñòî çàäà÷à ïàðàìåòðèçàöèè ÿâëÿåòñÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâ-
ëåííîé, ïàðàìåòðû ëîêàëüíî íåèäåíòèôèöèðóåìû. Èíûìè
ñëîâàìè, ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.
Ýòî — îòäåëüíàÿ ïðîáëåìà, êîòîðàÿ çäåñü íå ðàññìàòðèâà-
åòñÿ. Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ èäåíòèôèêàöèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìî-
äåëè îáû÷íî ïðåäïîëàãàåò ïîëó÷åíèå îöåíêè åå ïàðàìåòðîâ
è ñîîòâåòñòâóþùåé åé ìåðû ðàñõîæäåíèÿ îòêëèêîâ ìîäåëè
è ýêñïåðèìåíòà. Àäåêâàòíîñòü ïîñòðîåííîé ìàòåìàòè÷å-
ñêîé ìîäåëè îïðåäåëÿþò ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîé ìåðû.
Òàêòè÷åñêîå è ñòðàòåãè÷åñêîå ïëàíèðîâàíèå ðàçâèòèÿ
ÏÎÎ è çàäà÷è óïðàâëåíèÿ. Ðàññìîòðåííàÿ äèíàìè÷åñêàÿ
ìîäåëü ÏÎÎ ìîæåò áûòü ïîëåçíîé äëÿ òàêòè÷åñêîãî è ñòðà-
òåãè÷åñêîãî ïëàíèðîâàíèÿ ðàçâèòèÿ îáúåêòà ëþáîãî óðîâ-
íÿ íà îñíîâå ñèòóàöèîííîãî êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâà-
íèÿ â øèðîêîì äèàïàçîíå âàðüèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ äëÿ
âñåâîçìîæíûõ ñöåíàðèåâ ðàçâèòèÿ. Âûÿâëåííûå èíòåðåñ-
íûå ñîñòîÿíèÿ è ðåæèìû, âêëþ÷àÿ âîçìîæíûå êðèòè÷å-
ñêèå ðåæèìû è êàòàñòðîôû, äîëæíû áûòü èçó÷åíû ñ öåëüþ
ïîëó÷åíèÿ îïòèìàëüíûõ ðåæèìîâ è íåäîïóùåíèÿ êðèòè-
÷åñêèõ ðåæèìîâ, äëÿ ÷åãî íåîáõîäèìî èçáåãàòü ïîïàäàíèÿ
â êðèòè÷åñêèå óñëîâèÿ, íàéäåííûå â âû÷èñëèòåëüíîì ýê-
ñïåðèìåíòå íà ÝÂÌ.
Äàëüíåéøåå ðàññìîòðåíèå ìîäåëè ìîæíî ïðîâîäèòü
ñ ïîçèöèé ïîñòðîåíèÿ òåîðèè óïðàâëåíèÿ ìîäåëèðóåìûì
îáúåêòîì, ãäå óïðàâëÿþùèå ïàðàìåòðû aij(t) âûáèðàþò
îïòèìàëüíûìè èç óñëîâèé ïðèíÿòûõ êðèòåðèåâ. Îáúåêò
ìîæåò âûõîäèòü íà çàäàííûé ðåæèì ïî óñòàíîâëåííûì
êðèòåðèÿì èëè ïî íàáîðó îïðåäåëåííûõ êðèòåðèåâ: ìèíè-
ìàëüíîå âðåìÿ âûõîäà íà çàäàííûé ðåæèì, ìàêñèìàëüíûé
âûõîä ïðîèçâîäèìîãî ïðîäóêòà, ìèíèìàëüíûé âðåä, íà-
íîñèìûé ïðèðîäå è ïåðñîíàëó, è ò. ä. Ìîæíî òàêæå ðàñ-
ñìîòðåòü ïðîáëåìó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÏÎÎ ïî çà-
äàííûì êðèòåðèÿì. Äëÿ ýòîãî ââîäÿòñÿ íîâûå ïåðåìåííûå
zi = 1 –= 1 – 1 –1 – –– yi, êîòîðûå ïîçâîëÿþò óïðîñòèòü ñèñòåìó äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (3) ê ñëåäóþùåìó âèäó:
1
10 11 1 12 2 13 3 1
dz
b b z b z b z z
dt
,
2
20 21 1 22 2 23 3 2
dz
b b z b z b z z
dt
,
3
30 36 31 1 32 2 33 3 34 4 35 5 36 6 3,
dz
b b b z b z b z b z b z b z z
dt
4
40 46 43 3 44 4 45 5 46 6 4
dz
b b b z b z b z b z z
dt
, (5)
5
50 56 53 3 54 4 55 5 56 6 5
dz
b b b z b z b z b z z
dt
,
6
60 61 1 62 2 63 3 6
dz
b b z b z b z z
dt
.
Äëÿ ñèñòåìû (5) çàïèñûâàåòñÿ Ãàìèëüòîíèàí [3]:
6 6
1 0
( , ) i i ij j
i j
H z p p z b z . (6)
 óðàâíåíèè (6) 0 1, iz p îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþùåé
ñèñòåìû óðàâíåíèé:
6 6
0 1
i
i ij j j j ji
j j
dp
p b z p z b
dt
. (7)
Òàêèì îáðàçîì, ñëåäóÿ (7), ïðîáëåìó îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ ÏÎÎ ìîæíî ñâåñòè ê âû÷èñëåíèþ ïàðàìåòðîâ
um(t) (m = 1, 2,…, M) íà îñíîâàíèè óðàâíåíèé
1 6 1 6( ,..., , ,..., ),i
i
dz
f z z u u
dt
(8)
à
á
â
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ïàðàìåòðîâ ÏÎÎ (õ: 1–6)
îò âðåìåíè (à) è èõ ôàçîâûå ïîðòðåòû
(á — ôàçîâûå ïîðòðåòû ïàðàìåòðîâ ÏÎÎ
(õ: 1–6, ñâåõó 1—3, ñíèçó 4—6),
â — ôàçîâûé ïîðòåò õ3 â óâåëè÷åííîì ìàñøòàáå
40 ßäåðíà òà ðàä³àö³éíà áåçïåêà 2 (54).2012
Äæàìøèä Ãàðàõàíëó, È. Â. Êàçà÷êîâ
ãäå ui(t) â (8) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ïîëîæèòåëüíûå
óïðàâëÿþùèå ôóíêöèè (äèñêðåòíîãî âðåìåíè) èëè bij(t).
Ôóíêöèîíàë êà÷åñòâà ìîæíî çàäàòü â âèäå
0
0
,
T
i mI f z u dt , èëè 0 0 0, , 0 0.i mz f z u z� (9)
Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ðåàëèçóåòñÿ, êîãäà um(t) óäîâ-
ëåòâîðÿåò (9) è H(zi, pi, uum,) = 0.
Ïðèíöèï ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà äàåò òîëüêî íåîáõî-
äèìîå óñëîâèå îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, íî íå äîñòàòî÷-
íîå. Ïîýòîìó ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ìíîæåñòâî ðàçíûõ ðå-
øåíèé èëè æå ðåøåíèå ìîæåò îòñóòñòâîâàòü.
Àíàëèç ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ è âðåìåííûõ ñäâèãîâ
â óðàâíåíèÿõ ìîäåëè. Àíàëèç ñèñòåìû (2) ïîêàçûâàåò âîç-
ìîæíûå òèïû ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé: xi = Ni, xi =
*
ix , ãäå
ïåðâîå ÿâëÿåòñÿ òðèâèàëüíûì ðåøåíèåì, à âòîðîå ( *
ix ) —
ðåøåíèåì ñëåäóþùåé ñèñòåìû:
1
0.
n
io j jj
j
a a N xi (10)
Åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (10) îòëè÷åí îò íóëÿ, òî
ðåøåíèå *
i ix x åäèíñòâåííîå. Åñëè îïðåäåëèòåëü ðàâåí
íóëþ, âîçìîæíû ñëåäóþùèå ñëó÷àè:
íåíóëåâûå ìèíîðû (n – 1)-ãî ïîðÿäêà, è çíà÷èò,
*
i ix x — óðàâíåíèÿ, çàäàþùèå (n – 1) ïðÿìóþ, îïðåäåëÿ-
åìóþ ñîîòâåòñòâóþùåé ïåðåìåííîé xi;
ìèíîðû (n – k)-ãî ïîðÿäêà íåíóëåâûå, òîãäà ñóùåñòâóåò
ïîâåðõíîñòü k-ãî ïîðÿäêà *
i ix x â n-ìåðíîì ïàðàìåòðè-
÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå.
Êîýôôèöèåíòû aij cèñòåìû (2) íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòücèñòåìû (2) íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòüèñòåìû (2) íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòü
íà îñíîâå ðåàëüíûõ äàííûõ î ôóíêöèîíèðîâàíèè ìîäåëè-
ðóåìîãî îáúåêòà. Ýòî ïðîáëåìà, ñîñòîÿùàÿ â îïðåäåëåíèè
çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ, êîòîðûå íàèáîëåå òî÷íî îïè-
ñûâàþò ðåàëüíîå ïîâåäåíèå îáúåêòà. Ìîæíî, íàïðèìåð,
îïðåäåëÿòü aij ïî óñëîâèþ ìèíèìóìà ñðåäíåêâàäðàòè÷íî-
ãî îòêëîíåíèÿ ðåøåíèÿ xi(t) îò ðåàëüíûõ äàííûõ îáúåêòà
( )ix t� . Äëÿ ýòîãî âíà÷àëå ïðîâîäÿò àíàëèç îñîáûõ òî÷åê
ñèñòåìû (2), âàæíûé äëÿ ðåøåíèÿ ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ
ÏÎÎ.
Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ìîæíî â êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèáëè-
æåíèÿ äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðåòü ïîñòîÿííûå âðåìåííûå
çàäåðæêè (ïî êðàéíåé ìåðå, íà êîðîòêèõ âðåìåííûõ èí-
òåðâàëàõ ýòî áóäåò ñïðàâåäëèâî), òîãäà îïèñàííàÿ ìîäåëü
ÏÎÎ áóäåò ñëåäóþùåé:
1
10 11 1 11 12 2 12
13 3 13 1 10 ,
dz
b b z t b z t
dt
b z t z t
2
20 21 1 21 22 2 22
23 3 23 2 20 ,
dz
b b z t b z t
dt
b z t z t
3
30 31 1 31 32 2 32 33 3 33
34 4 34 35 5 35 36 6 36 3 30 ,
dz
b b z t b z t b z t
dt
b z t b z t b z t z t (11)
4
40 43 3 43 44 4 44
45 5 45 46 6 46 4 40 ,
dz
b b z t b z t
dt
b z t b z t z t
5
50 53 3 53 54 4 54
55 5 55 56 6 56 5 50 ,
dz
b b z t b z t
dt
b z t b z t z t
6
60 61 1 61 62 2 62
63 3 63 6 60 ,
dz
b b z t b z t
dt
b z t z t
ãäå ij — êîíñòàíòû.
Äàííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü (11) îïèñûâàåò ýâîëþ-
öèþ ÏÎÎ âî âðåìåíè ñ ó÷åòîì åãî êîíêðåòíîé ïðåäûñòî-
ðèè. Ïîëîæèòåëüíûå âðåìåííûå ñäâèãè â ñèñòåìå (11) ìîãóò
áûòü ââåäåíû îòíîñèòåëüíî ïëàíèðóåìûõ óðîâíåé ïàðà-
ìåòðîâ, êîòîðûå äîëæíû áûòü äîñòèãíóòû. Çàïàçäûâàíèÿ
èìåþò ñìûñë êîíå÷íîãî âðåìåíè ðàñïðîñòðàíåíèÿ óïðàâ-
ëÿþùèõ âîçäåéñòâèé â ñèñòåìàõ óïðàâëåíèÿ — îò óïðàâ-
ëåíöà ê èñïîëíèòåëþ — êàê íåïîñðåäñòâåííî ÷åëîâå÷å-
ñêèõ, òàê è àâòîìàòè÷åñêèõ.
Ñèñòåìà (11) â ïðåäñòàâëåííîì îáùåì âèäå ÿâëÿåòñÿ
ñëîæíîé äëÿ êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ èç-çà ìíîæå-
ñòâà ðàçëè÷íûõ çàïàçäûâàíèé (îïåðåæåíèé). Îäíàêî îíà
ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà ê áîëåå ïðîñòîé è óäîáíîé äëÿ
âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ â ìàëîé îêðåñòíîñòè çíà-
÷åíèÿ òåêóùåãî âðåìåíè t ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçëîæåíèé
â ðÿäû Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèé ( )i ijz t íà îñíîâå ïðèìåíå-
íèÿ òåîðåìû Ýëüñãîëüöà [2], ñîãëàñíî êîòîðîé â ðàçëîæå-
íèÿõ ôóíêöèé ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ëèíåéíûìè ÷ëåíàìè:
,i ij i ij iz t z t z� (12)
ïîñêîëüêó îòáðàñûâàåìûå íåëèíåéíûå ÷ëåíû âòîðîãî è áî-
ëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ óõóäøàþò òî÷íîñòü. Òîãäà ñ ó÷åòîì
(12) âñå ïåðåìåííûå â ñèñòåìå (11) áóäóò àïïðîêñèìèðîâàíû
ôóíêöèÿìè òîëüêî îäíîé âðåìåííîé ïåðåìåííîé t, à âðå-
ìåííûå ñäâèãè âîéäóò â âèäå ïàðàìåòðîâ. Çäåñü z dz dt� .
Ðàçâèòèå äàííîé ìîäåëè è åå èñïîëüçîâàíèå äëÿ âû÷èñëè-
òåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ íà ÝÂÌ — îòäåëüíàÿ òåìà, êîòî-
ðàÿ áóäåò ðàññìîòðåíà â ñëåäóþùåé ñòàòüå.
Ðàçðàáîòàíà àãðåãèðîâàííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü
ïîòåíöèàëüíî îïàñíîãî ÿäåðíîãî îáúåêòà, íà îñíîâå êîòî-
ðîé ìîæíî ïðîâîäèòü âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû íà
ÝÂÌ äëÿ ðàçëè÷íûõ óñëîâèé ôóíêöèîíèðîâàíèÿ îáúåêòà,
âêëþ÷àÿ îñîáûå è àâàðèéíûå ðåæèìû. Ïðîâåäåí àíàëèç
âîçìîæíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ïîëó÷åííûõ ñèñòåì äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ îòêëîíÿþùèìèñÿ àðãóìåíòàìè
è ïîêàçàíî, íàñêîëüêî ñóùåñòâåííî îòêëîíÿþùèåñÿ àð-
ãóìåíòû ìåíÿþò òèï ðåøåíèé è îñëîæíÿþò ñàì ïðîöåññ
ðåøåíèÿ.
Ðàçâèòèå äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé ïîòåíöèàëüíî îïàñ-
íûõ îáúåêòîâ ïîçâîëèò ñèñòåìàòèçèðîâàòü çíàíèÿ î êðè-
òè÷åñêèõ ñèòóàöèÿõ è âçàèìîâëèÿíèè ïàðàìåòðîâ ñëîæ-
íîé ñèñòåìû, ïðè êîòîðûõ ïîäîáíûå íåæåëàòåëüíûå èëè
ßäåðíà òà ðàä³àö³éíà áåçïåêà 2 (54).2012 41
Ðàçðàáîòêà è èññëåäîâàíèå àãðåãèðîâàííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ÿäåðíûõ îáúåêòîâ ñî ñäâèãîâûìè àðãóìåíòàìè
êàòàñòðîôè÷åñêèå ïîñëåäñòâèÿ âîçìîæíû. Êðîìå òîãî, ïî-
ñêîëüêó â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ òàêèå ñëîæíûå îáúåêòû
íå ïîçâîëÿþò ïîñòðîèòü èõ òî÷íûå äåòåðìèíèðîâàííûå
ìîäåëè, èçó÷åíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé
ïîçâîëÿåò âûÿâèòü îïðåäåëÿþùèå ïàðàìåòðû è èõ ñâÿçè.
1. Allen P. M. Evolution, Population Dynamics and Stability / Al-
len P. M. // Proceedings of the National Academy of Sciences of the
USA. — 1976, March. — Vol. 73. — No. 3. — P. 665–668.
2. Ýëüñãîëüö Ë. Ý. Ââåäåíèå â òåîðèþ óðàâíåíèé ñ îòêëîíÿ-
þùèìèñÿ àðãóìåíòàìè / Ë. Ý. Ýëüñãîëüö, Ñ. Á. Íîðêèí. — Ì.:
Íàóêà, 1971. — 296 ñ.
3. Ìàòåìàòè÷åñêàÿòåîðèÿîïòèìàëüíûõïðîöåññîâ /Ë. Ñ. Ïîí-Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ïðîöåññîâ / Ë. Ñ. Ïîí-
òðÿãèí, Â. Ã. Áîëòÿíñêèé, Ð. Â. Ãàìêðåëèäçå, Å. Ô. Ìèùåíêî. —
Ì.: Íàóêà, 1976. — 367 ñ.
4. Ïèìåíîâ Â. Ã. Ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíå-
íèÿ: ÷èñëåííûå ìåòîäû / Â. Ã. Ïèìåíîâ. — Åêàòåðèíáóðã: ÓðÃÓ,
1998. — 237 ñ.
5. Àçáåëåâ Í. Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé / Í. Â. Àçáåëåâ, Â. Ï. Ìàêñèìîâ, Ë. Ô. Ðàõ-
ìàòóëëèíà. — Ì.: Íàóêà, 1991. — 297 ñ.
6. Baker C. T. H. Issues in the numerical solution of evolutionary de-
lay differential equations / Baker C. T. H., Paul C. A. H., Wille D. R. //
Advances in Comput. Math . — 1995. — V. 3. — P. 171–196.
7. Yan J. Oscillation of first-order impulsive differential equations
with advanced argument / J. Yan // Computers and Mathematics with
Applications. — 2001. — V. 42. — ¹ 6. — P. 1353–1363.
8. Õóñà³íîâ Ä. ß. Ä. ß.Ä. ß.. ß.ß.. Ðîçâ’ÿçîê îäíîâèì³ðíîãî ð³âíÿííÿ òåïëîïðî-’ÿçîê îäíîâèì³ðíîãî ð³âíÿííÿ òåïëîïðî-ÿçîê îäíîâèì³ðíîãî ð³âíÿííÿ òåïëîïðî- îäíîâèì³ðíîãî ð³âíÿííÿ òåïëîïðî-îäíîâèì³ðíîãî ð³âíÿííÿ òåïëîïðî- ð³âíÿííÿ òåïëîïðî-ð³âíÿííÿ òåïëîïðî- òåïëîïðî-òåïëîïðî-
â³äíîñò³ ³ç çàï³çíåííÿì / Ä. ß. Õóñà³íîâ, ². Â. Êîâàðæ // ³ñíèê ³ç çàï³çíåííÿì / Ä. ß. Õóñà³íîâ, ². Â. Êîâàðæ // ³ñíèê³ç çàï³çíåííÿì / Ä. ß. Õóñà³íîâ, ². Â. Êîâàðæ // ³ñíèê çàï³çíåííÿì / Ä. ß. Õóñà³íîâ, ². Â. Êîâàðæ // ³ñíèêçàï³çíåííÿì / Ä. ß. Õóñà³íîâ, ². Â. Êîâàðæ // ³ñíèê / Ä. ß. Õóñà³íîâ, ². Â. Êîâàðæ // ³ñíèêÄ. ß. Õóñà³íîâ, ². Â. Êîâàðæ // ³ñíèê. ß. Õóñà³íîâ, ². Â. Êîâàðæ // ³ñíèêß. Õóñà³íîâ, ². Â. Êîâàðæ // ³ñíèê. Õóñà³íîâ, ². Â. Êîâàðæ // ³ñíèêÕóñà³íîâ, ². Â. Êîâàðæ // ³ñíèê, ². Â. Êîâàðæ // ³ñíèê². Â. Êîâàðæ // ³ñíèê. Â. Êîâàðæ // ³ñíèêÂ. Êîâàðæ // ³ñíèê. Êîâàðæ // ³ñíèêÊîâàðæ // ³ñíèê // ³ñíèê³ñíèê
Êè¿â. óí-òó. Ñåð³ÿ: ô³çèêî-ìàòåìàòè÷í³ íàóêè. — 2004. — ¹ 2. —. óí-òó. Ñåð³ÿ: ô³çèêî-ìàòåìàòè÷í³ íàóêè. — 2004. — ¹ 2. —óí-òó. Ñåð³ÿ: ô³çèêî-ìàòåìàòè÷í³ íàóêè. — 2004. — ¹ 2. —-òó. Ñåð³ÿ: ô³çèêî-ìàòåìàòè÷í³ íàóêè. — 2004. — ¹ 2. —òó. Ñåð³ÿ: ô³çèêî-ìàòåìàòè÷í³ íàóêè. — 2004. — ¹ 2. —. Ñåð³ÿ: ô³çèêî-ìàòåìàòè÷í³ íàóêè. — 2004. — ¹ 2. —Ñåð³ÿ: ô³çèêî-ìàòåìàòè÷í³ íàóêè. — 2004. — ¹ 2. —: ô³çèêî-ìàòåìàòè÷í³ íàóêè. — 2004. — ¹ 2. —ô³çèêî-ìàòåìàòè÷í³ íàóêè. — 2004. — ¹ 2. —-ìàòåìàòè÷í³ íàóêè. — 2004. — ¹ 2. —ìàòåìàòè÷í³ íàóêè. — 2004. — ¹ 2. — íàóêè. — 2004. — ¹ 2. —íàóêè. — 2004. — ¹ 2. —. — 2004. — ¹ 2. —
Ñ. 362–368.. 362–368.
9. Ñàìîéëåíêî À. Ì. À. Ì.À. Ì.. Ì.Ì.. Ïåð³îäè÷í³ ðîçâ’ÿçêè àâòîíîìíèõ ðîçâ’ÿçêè àâòîíîìíèõðîçâ’ÿçêè àâòîíîìíèõ’ÿçêè àâòîíîìíèõÿçêè àâòîíîìíèõ àâòîíîìíèõàâòîíîìíèõ
äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ³ç çàï³çíåííÿì / À. Ì. Ñàìîéëåíêî, ð³âíÿíü ³ç çàï³çíåííÿì / À. Ì. Ñàìîéëåíêî,ð³âíÿíü ³ç çàï³çíåííÿì / À. Ì. Ñàìîéëåíêî, ³ç çàï³çíåííÿì / À. Ì. Ñàìîéëåíêî,³ç çàï³çíåííÿì / À. Ì. Ñàìîéëåíêî, çàï³çíåííÿì / À. Ì. Ñàìîéëåíêî,çàï³çíåííÿì / À. Ì. Ñàìîéëåíêî, / À. Ì. Ñàìîéëåíêî,À. Ì. Ñàìîéëåíêî,. Ì. Ñàìîéëåíêî,Ì. Ñàìîéëåíêî,. Ñàìîéëåíêî,Ñàìîéëåíêî,,
Ë. Â. Ñòåëüìàùóê // Íåë³í³éí³ êîëèâàííÿ. — 2000. — Ò. 3. —. Â. Ñòåëüìàùóê // Íåë³í³éí³ êîëèâàííÿ. — 2000. — Ò. 3. —Â. Ñòåëüìàùóê // Íåë³í³éí³ êîëèâàííÿ. — 2000. — Ò. 3. —. Ñòåëüìàùóê // Íåë³í³éí³ êîëèâàííÿ. — 2000. — Ò. 3. —Ñòåëüìàùóê // Íåë³í³éí³ êîëèâàííÿ. — 2000. — Ò. 3. — // Íåë³í³éí³ êîëèâàííÿ. — 2000. — Ò. 3. —Íåë³í³éí³ êîëèâàííÿ. — 2000. — Ò. 3. — êîëèâàííÿ. — 2000. — Ò. 3. —êîëèâàííÿ. — 2000. — Ò. 3. —. — 2000. — Ò. 3. —Ò. 3. —. 3. —
¹ 4. — Ñ. 526–534.Ñ. 526–534.. 526–534.
10. Hansheng Wu. Adaptive robust control of uncertain nonlinear
systems with nonlinear delayed state perturbations // Automatica. —
2009. — V. 45. — P. 1979–1984.
11. Yanlai Liang. Almost periodic solutions for Lotka–Volterra sys-
tems with delays / Yanlai Liang, Lijie Li, Lansun Chen. // Commun
Nonlinear Sci Numer Simulat. — 2009. — V. 14. — P. 3660–3669.
12. Svante Björklund. An improved phase method for time-delay es-
timation / Svante Björklund, Lennart Ljung // Automatica. — 2009. —
V. 45. — P. 2467–2470.
13. Guirong Jiang. Complex dynamics in a linear impulsive system /
Guirong Jiang, Qigui Yang // Chaos, Solitons and Fractals. — 2009. —
V. 41. — P. 2341–2353.
14. Yuanliang Zhang. Controller design for nonlinear systems with
time delay using model algorithm control (MAC) / Yuanliang Zhang,
Jae Byung Park, Kil To Chong // Simulation Modelling Practice and
Theory. — 2009. — V. 17. — P. 1723–1733.
15. Jian-Qiao Sun. Control studies of time-delayed dynamical sys-
tems with the method of continuous time approximation / Jian-Qiao
Sun, Bo Song // Commun Nonlinear Sci Numer Simulat. — 2009. —
V. 14. — P. 3933–3944.
16. Lee S. M. Delay-dependent criteria for absolute stabil-
ity of uncertain time-delayed Lur’e dynamical systems / S. M. Lee,
Ju H. Park // Journal of the Franklin Institute. — 2010. — N 347. —
P. 146–153.
17. Liping Wen. Dissipativity and asymptotic stability of nonlinear neu-
tral delay integro-differential equations / Liping Wen, Wansheng Wang,
Yuexin Yu // Nonlinear Analysis. — 2010. — V. 72. — P. 1746–1754.
18. P. Pue-on, S. V. Meleshko. Group classification of second-or-
der delay ordinary differential equations // Communications in Non-
linear Science and Numerical Simulation. — 2010. — V. 15. — N 6. —
P. 1444–1453.
19. Rajeev K. Azad. Information-entropic analysis of chaotic time
series: determination of time-delays and dynamical coupling / Ra-
jeev K. Azad, J. Subba Rao, Ramakrishna Ramaswamy // Chaos, Soli-
tons and Fractals. — 2002. — V. 14. — P. 633–641.
20. Kazachkov I. V. V.V. Modelling of Potentially Hazardous Objects
with Time Shifts / Kazachkov I. V., Chesnokov Ye. V. and Kazachko-Kazachkov I. V., Chesnokov Ye. V. and Kazachko- I. V., Chesnokov Ye. V. and Kazachko-I. V., Chesnokov Ye. V. and Kazachko- V., Chesnokov Ye. V. and Kazachko-V., Chesnokov Ye. V. and Kazachko- Ye. V. and Kazachko-Ye. V. and Kazachko- V. and Kazachko-V. and Kazachko-
va O. M. // WSEAS Trans. on Business & Economics. — 2004. — Is- O. M. // WSEAS Trans. on Business & Economics. — 2004. — Is-WSEAS Trans. on Business & Economics. — 2004. — Is- — 2004. — Is-2004. — Is-. — Is-Is-
sue 3. — ¹ 1. — P. 37–43. 3. — ¹ 1. — P. 37–43.3. — ¹ 1. — P. 37–43.. — ¹ 1. — P. 37–43.1. — P. 37–43.. — P. 37–43.P. 37–43.–43.43.
21. Kazachkov I. V. V.V. Modelling of Potentially Hazardous ObjectsModelling of Potentially Hazardous Objects
with Time Shifts / Kazachkov I. V., Chesnokov Ye. V. and Kazachk-Kazachkov I. V., Chesnokov Ye. V. and Kazachk- I. V., Chesnokov Ye. V. and Kazachk-I. V., Chesnokov Ye. V. and Kazachk- V., Chesnokov Ye. V. and Kazachk-V., Chesnokov Ye. V. and Kazachk- Ye. V. and Kazachk-Ye. V. and Kazachk- V. and Kazachk-V. and Kazachk-
ova O. M. // Abstr. Of WSEAS Conf. on Business & Economics. — O. M. // Abstr. Of WSEAS Conf. on Business & Economics. —O. M. // Abstr. Of WSEAS Conf. on Business & Economics. — M. // Abstr. Of WSEAS Conf. on Business & Economics. —M. // Abstr. Of WSEAS Conf. on Business & Economics. — // Abstr. Of WSEAS Conf. on Business & Economics. —WSEAS Conf. on Business & Economics. — —
2004, Venice, Nov. 18–20, Italy.–20, Italy.20, Italy.
22. Áåãóí Â. Â. Êóëüòóðà áåçîïàñíîñòè íà ÿäåðíûõ îáúåê-
òàõ Óêðàèíû / Áåãóí Â. Â., Áåãóí Ñ. Â., Øèðîêîâ Ñ. Â., Êà-
çà÷êîâ È. Â., Ëèòâèíîâ Â. Â., Ïèñüìåííûé Å. Í. — Ê.: ÍÒÓÓ
«ÊÏÈ», 2009. — 386 ñ.
23. Æèðìóíñêèé A. Â.A. Â.. Â. Êðèòè÷åñêèå óðîâíè â ðaçâèòèèè ïðè-açâèòèèè ïðè-çâèòèèè ïðè-
ðîäíûõ ñèñòåì / Æèðìóíñêèé A. Â., Êóçüìèí Â. È. — Ë.: Íaóêa,A. Â., Êóçüìèí Â. È. — Ë.: Íaóêa,. Â., Êóçüìèí Â. È. — Ë.: Íaóêa,aóêa,óêa,a,,
1990. — 224 ñ.
24. Ïëîòíèêîâ Â. À. Ìåòîä óñðåäíåíèÿ â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ /
Â. À. Ïëîòíèêîâ. — Ê.: Ëèá³äü, 1992. — 188 ñ.
25. Ýôåíäèåâ Â. Â. Óñðåäíåíèå ñèñòåì ñ ìåäëåííûìè ïåðåìåí-
íûìè / Â. Â. Ýôåíäèåâ // Óêð. ìàòåì. æóðíàë. — 2002. — Ò. 54,
¹ 9. — Ñ. 1265–1275.
26. Ñîðîêî Å. Ì. Ñòðóêòóðíàÿ ãàðìîíèÿ ñèñòåì / Å. Ì. Ñîðî-
êî. — Ìèíñê: Íàóêà è òåõíèêà, 1984. — 245 ñ.
27. Ìàññèíãà Â. Çàêîí ñòðóêòóðíîé ãàðìîíèè â èíôîðìàöèîí-
íûõ ñèñòåìàõ / Â. Ìàññèíãà. — Õàðüêîâ: Îñíîâà, 1999. — 40 ñ.
Ïîëó÷åíî 05.03.2012 05.03.2012.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-97219 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2073-6231 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-26T01:42:37Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Державне підприємство "Державний науково-технічний центр з ядерної та радіаційної безпеки" Держатомрегулювання України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Джамшид Гараханлу Казачков, И.В. 2016-03-26T12:25:27Z 2016-03-26T12:25:27Z 2012 Разработка и исследование агрегированных математических моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами / Джамшид Гараханлу, И.В. Казачков // Ядерна та радіаційна безпека. — 2012. — № 2. — С. 36-41. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 2073-6231 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97219 621.039.586+519.7 Представлены результаты по разработке и исследованию агрегированных математических моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами — запаздываниями и опережениями во времени. Рассмотрены системы нелинейных дифференциальных уравнений и поставлена задача Коши. Дан анализ особенностей математической модели потенциально опасного объекта (ПОО) ядерной енергетики и проведены расчеты на ЭВМ. Модель рекомендована для исследования особенностей поведения объектов и поиска аварийных режимов, а также для тактического и стратегического планирования их развития. Ключевые слова: агрегированная модель, запаздывание, опережение, критические режимы, потенциально опасный объект. Наведено результати розробки та дослідження агрегованих математичних моделей ядерних об’єктів зі зсувними аргументами — запізненнями та випередженнями в часі. Розглянуто системи нелінійних диференціальних рівнянь і поставлена задача Коші. Надано аналіз особливостей математичної моделі потенційно небезпечного об’єкта (ПНО) ядерної енергетики та проведено розрахунки на ЕОМ. Модель рекомендовано для дослідження особливостей поведінки об’єктів та пошуку аварійних режимів, а також для тактичного та стратегічного планування їх розвитку. Ключові слова: агрегована модель, запізнення, випередження, критичні режими, потенційно небезпечний об’єкт The development and investigation of aggregate models for nuclear objects with shift arguments (time delays and forecasts) are discussed. The nonlinear differential equations of the model are described and the Cauchy problem is stated. The specific features of the mathematical model for potentially hazardous nuclear objects are analyzed and computer simulation is presented. The model is recommended for studying the behavior of objects and identifying emergency modes and for tactical and strategic planning of their development. Keywords: aggregate model, delay, forecast, critical modes, potentially hazardous object. ru Державне підприємство "Державний науково-технічний центр з ядерної та радіаційної безпеки" Держатомрегулювання України та НАН України Ядерна та радіаційна безпека Разработка и исследование агрегированных математических моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами Розробка та дослідження агрегованих математичних моделей ядерних об’єктів зі зсувними аргументами Development and Investigation of Aggregate Models for Nuclear Objects with Time Shifts Article published earlier |
| spellingShingle | Разработка и исследование агрегированных математических моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами Джамшид Гараханлу Казачков, И.В. |
| title | Разработка и исследование агрегированных математических моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами |
| title_alt | Розробка та дослідження агрегованих математичних моделей ядерних об’єктів зі зсувними аргументами Development and Investigation of Aggregate Models for Nuclear Objects with Time Shifts |
| title_full | Разработка и исследование агрегированных математических моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами |
| title_fullStr | Разработка и исследование агрегированных математических моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами |
| title_full_unstemmed | Разработка и исследование агрегированных математических моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами |
| title_short | Разработка и исследование агрегированных математических моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами |
| title_sort | разработка и исследование агрегированных математических моделей ядерных объектов со сдвиговыми аргументами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97219 |
| work_keys_str_mv | AT džamšidgarahanlu razrabotkaiissledovanieagregirovannyhmatematičeskihmodeleiâdernyhobʺektovsosdvigovymiargumentami AT kazačkoviv razrabotkaiissledovanieagregirovannyhmatematičeskihmodeleiâdernyhobʺektovsosdvigovymiargumentami AT džamšidgarahanlu rozrobkatadoslídžennâagregovanihmatematičnihmodeleiâdernihobêktívzízsuvnimiargumentami AT kazačkoviv rozrobkatadoslídžennâagregovanihmatematičnihmodeleiâdernihobêktívzízsuvnimiargumentami AT džamšidgarahanlu developmentandinvestigationofaggregatemodelsfornuclearobjectswithtimeshifts AT kazačkoviv developmentandinvestigationofaggregatemodelsfornuclearobjectswithtimeshifts |