H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi
Розглянуто задачу оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi з ваговою функцiєю потенцiального типу, що входить до диференцiального оператора. Доведено розв’язнiсть задачi оптимального керування в класi так званих H-допустимих розв’язкiв. Встановлено властивiсть замкне...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97278 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi / Н.В. Задоянчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 21-27. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-97278 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Задоянчук, Н.В. 2016-03-26T17:24:06Z 2016-03-26T17:24:06Z 2015 H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi / Н.В. Задоянчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 21-27. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97278 517.9 Розглянуто задачу оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi з ваговою функцiєю потенцiального типу, що входить до диференцiального оператора. Доведено розв’язнiсть задачi оптимального керування в класi так званих H-допустимих розв’язкiв. Встановлено властивiсть замкненостi множини H-допустимих пар у добутку топологiй простору керувань та простору станiв. Рассмотрена задача оптимального управления для вырожденного эллиптического вариационного неравенства с весовой функцией потенциального типа, которая входит в дифференциальный оператор. Доказана разрешимость задачи оптимального управления в классе так называемых H-допустимых решений. Обосновано свойство замкнутости множества H-допустимых пар в произведении топологий пространства управлений и пространства состояний. We consider the optimal control problem for a degenerate elliptic variational inequality with weight function of potential type, which is in a differential operator. We prove the solvability of the optimal control problem in the class of the so-called H-admissible solutions. We justify the property of closureness for the set of H-admissible pairs in the product of topologies of the control space and the space of states. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi H-разрешимость задачи оптимального управления для вырожденного эллиптического вариационного неравенства H-solvability of the optimal control problem for a degenerate elliptic variational inequality Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi |
| spellingShingle |
H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi Задоянчук, Н.В. Математика |
| title_short |
H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi |
| title_full |
H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi |
| title_fullStr |
H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi |
| title_full_unstemmed |
H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi |
| title_sort |
h-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi |
| author |
Задоянчук, Н.В. |
| author_facet |
Задоянчук, Н.В. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2015 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
H-разрешимость задачи оптимального управления для вырожденного эллиптического вариационного неравенства H-solvability of the optimal control problem for a degenerate elliptic variational inequality |
| description |
Розглянуто задачу оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi з ваговою функцiєю потенцiального типу, що входить до диференцiального
оператора. Доведено розв’язнiсть задачi оптимального керування в класi так званих
H-допустимих розв’язкiв. Встановлено властивiсть замкненостi множини H-допустимих пар у добутку топологiй простору керувань та простору станiв.
Рассмотрена задача оптимального управления для вырожденного эллиптического вариационного неравенства с весовой функцией потенциального типа, которая входит в дифференциальный оператор. Доказана разрешимость задачи оптимального управления в классе
так называемых H-допустимых решений. Обосновано свойство замкнутости множества
H-допустимых пар в произведении топологий пространства управлений и пространства состояний.
We consider the optimal control problem for a degenerate elliptic variational inequality with weight
function of potential type, which is in a differential operator. We prove the solvability of the optimal
control problem in the class of the so-called H-admissible solutions. We justify the property of
closureness for the set of H-admissible pairs in the product of topologies of the control space and the space of states.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97278 |
| citation_txt |
H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi / Н.В. Задоянчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 21-27. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT zadoânčuknv hrozvâznistʹzadačioptimalʹnogokeruvannâdlâvirodženoíeliptičnoívariaciinoínerivnosti AT zadoânčuknv hrazrešimostʹzadačioptimalʹnogoupravleniâdlâvyroždennogoélliptičeskogovariacionnogoneravenstva AT zadoânčuknv hsolvabilityoftheoptimalcontrolproblemforadegenerateellipticvariationalinequality |
| first_indexed |
2025-11-25T23:35:08Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:35:08Z |
| _version_ |
1850583353362743296 |
| fulltext |
УДК 517.9
Н.В. Задоянчук
H-розв’язнiсть задачi оптимального керування
для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Розглянуто задачу оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної не-
рiвностi з ваговою функцiєю потенцiального типу, що входить до диференцiального
оператора. Доведено розв’язнiсть задачi оптимального керування в класi так званих
H-допустимих розв’язкiв. Встановлено властивiсть замкненостi множини H-допу-
стимих пар у добутку топологiй простору керувань та простору станiв.
Ключовi слова: задача оптимального керування, елiптична варiацiйна нерiвнiсть, ви-
роджена вагова функцiя потенцiального типу, H-допустимий розв’язок, H-оптимальний
розв’язок.
У роботi дослiджується задача оптимального керування для виродженої елiптичної варiа-
цiйної нерiвностi. Як вiдомо, при вивченнi оптимiзацiйних задач з таким об’єктом керування
можуть виникати такi проблеми, як ефект Лаврентьєва, неєдинiсть визначення розв’язку
варiацiйної нерiвностi i, як наслiдок, неєдинiсть визначення оптимального розв’язку. У ро-
ботi [1] вихiдна вироджена задача зведена до еквiвалентної в певному сенсi задачi в “кла-
сичному” соболєвському просторi i обгрунтована її розв’язнiсть у випадку, коли вагова
функцiя є функцiєю потенцiального типу. Аналогiчним чином ця проблема вирiшується
i в роботах [2, 3] для виродженої параболiчної варiацiйної нерiвностi. В межах даного до-
слiдження пропонується альтернативний пiдхiд до вивчення проблеми розв’язностi згаданої
задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi. А саме,
аналогiчно [4], де дослiджено оптимiзацiйну задачу для виродженої нелiнiйної монотонної
варiацiйної нерiвностi з керуванням у коефiцiєнтах, вводиться до розгляду клас так зва-
них H-допустимих розв’язкiв. Вiдтак, в роботi за допомогою прямого варiацiйного методу
обгрунтовано H-розв’язнiсть оптимiзацiйної задачi для виродженого об’єкта керування.
1. Основнi означення та допомiжнi факти. Нехай Ω ⊂ R
N (N > 3) — вiдкрита
обмежена область з достатньо регулярною межею ∂Ω така, що 0 ∈ R
N є внутрiшньою
точкою множини Ω. Всюди далi будемо позначати через C∞
0 (Ω) локально опуклий простiр
усiх нескiнченно диференцiйовних функцiй з носiями в Ω.
Нехай є заданою функцiя ρ : Ω → R така, що ρ(x) > 0 майже скрiзь (м. с.) на Ω,
ρ ∈ L1(Ω), ρ−1 ∈ L1(Ω), ∇ ln ρ ∈ L2(Ω;RN ) i ρ+ ρ−1 /∈ L∞(Ω). (1)
Всюди далi будемо вважати, що iснує замкнена пiдмножина O множини Ω така, що
dist(O, ∂Ω) = ε, ρ > ε м.с. в Ω \ O i ρ ∈ L∞(Ω \ O) (2)
для деякого ε > 0. Iнакше кажучи, припускається, що умови (1) не є характерними для
примежового шару множини Ω.
© Н.В. Задоянчук, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 21
Ваговi простори. Надалi невiд’ємну функцiю ρ з властивостями (1), (2) називатиме-
мо виродженою ваговою функцiєю i пов’язуватимемо з нею ваговi гiльбертовi простори
L2(Ω, ρ dx), L2(Ω, ρ−1 dx), для яких f ∈ L2(Ω, ρ dx), якщо ‖f‖2L2(Ω,ρ dx) =
∫
Ω
f2ρ dx < +∞, та
g ∈ L2(Ω, ρ−1dx), якщо ‖g‖2L2(Ω,ρ−1 dx) =
∫
Ω
g2ρ−1 dx < +∞. Поруч з ваговими гiльбертовими
просторами розглянемо ваговий простiр Соболєва H(Ω; ρ dx) — замикання простору C∞
0 (Ω)
вiдносно норми
‖y‖H(Ω;ρ dx) :=
(∫
Ω
y2ρ dx+
∫
Ω
|∇y|2
RNρ dx
)1/2
.
Зауваження 1. У випадку, коли вага ρ−1 ∈ L1(Ω), простiр H(Ω, ρ dx) неперервно вкла-
дається в простiр W 1,1
0 (Ω).
Доведення. Дiйсно, скориставшись нерiвностями Гельдера i Єнсена, отримаємо
‖y‖2
W 1,1
0 (Ω)
= (‖y‖L1(Ω) + ‖∇y‖L1(Ω)N )
2
6 C
(∫
Ω
y2ρ dx+
∫
Ω
|∇y|2
RNρ dx
)
= C‖y‖2H(Ω,ρ dx).
Введемо до розгляду таке поняття (див. [1]).
Означення 1. Будемо казати, що ρ : Ω → R є ваговою функцiєю потенцiального типу,
якщо ρ задовольняє умови (1), (2) та iснує така стала Ĉ(Ω) > 0, що виконується нерiвнiсть
−Ĉ(Ω) 6 −△ ln ρ(x)− 1
2
|∇ ln ρ|2
RN <
2λ∗
|x|2
RN
=
(N − 2)2
2|x|2
RN
в Ω. (3)
У цьому випадку функцiю V (x) = −△ ln ρ(x) − 1
2
|∇ ln ρ|2
RN будемо називати потенцiалом
Хардi для вагової функцiї ρ.
2. Постановка задачi. Нехай K — непорожня опукла пiдмножина простору
W 1,2
0 (Ω; ρ dx), яка є секвенцiйно замкненою вiдносно збiжностi за нормою
‖y‖2ρ :=
∫
Ω
y2ρ dx+
∫
Ω
∣∣∣∣∇y +
y
2
∇ ln ρ
∣∣∣∣
2
RN
ρ dx. (4)
Нехай yad ∈ L2(Ω, ρ dx), f ∈ L2(Ω, ρ−1dx) та u0 ∈ L2(Ω, ρ−1dx) — заданi розподiлення,
а U∂ — непорожня опукла замкнена пiдмножина в L2(Ω, ρ−1dx) така, що
U∂ = {u ∈ L2(Ω, ρ−1dx) : ‖u− u0‖L2(Ω,ρ−1dx) 6 R}. (5)
Всюди далi функцiї u ∈ U∂ розглядаються як допустимi керування.
Розглянемо таку задачу оптимального керування для варiацiйної нерiвностi з керуван-
ням у правiй частинi:
I(u, y) =
1
2
‖y − yad‖2L2(Ω,ρ dx) → inf, (6)
u ∈ U∂ , y ∈ K, (7)
22 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
∫
Ω
(∇y,∇v −∇y)RNρ dx >
∫
Ω
(f + u)(v − y) dx, ∀v ∈ K. (8)
Пов’яжемо з варiацiйною нерiвнiстю (8) лiнiйний оператор
A : H(Ω; ρ dx)→ (H(Ω; ρ dx))∗,
скориставшись правилом
〈Ay, v〉H(Ω;ρ dx) =
∫
Ω
(∇y,∇v)RN ρ dx ∀v ∈ K.
Тут
〈·, ·〉H(Ω;ρ dx) : (H(Ω; ρ dx))∗ ×H(Ω; ρ dx)→ R
є операцiєю дуального спарювання елементiв з просторiв (H(Ω; ρ dx))∗ та H(Ω; ρ dx) вiдпо-
вiдно. Тодi ясно, що Ay = − div(ρ(x)∇y).
Розглянемо поняття H-розв’язку.
Означення 2. Будемо казати, що функцiя y = y(u, f) ∈ K є H-розв’язком виродженої
варiацiйної нерiвностi (7), (8), якщо нерiвнiсть
〈− div(ρ(x)∇y), v − y〉H(Ω;ρ dx) > 〈f, v − y〉H(Ω;ρ dx) (9)
виконується для довiльного v ∈ K.
Зауважимо, що у випадку, коли функцiя ρ є ваговою функцiєю потенцiального ти-
пу в сенсi означення 1, вдається показати iснування i єдинiсть H-розв’язку для нерiвно-
стi (7), (8), а саме має мiсце такий результат:
Теорема 1 [1, теорема 2]. Нехай ρ : Ω→ R+ є ваговою функцiєю потенцiального типу.
Тодi при заданих f ∈ L2(Ω, ρ−1dx) та u ∈ U∂ варiацiйна нерiвнiсть (7), (8) має єдиний
розв’язок y = y(u, f) ∈ K такий, що y = z/
√
ρ i z ∈ H1
0 (Ω).
Розглянемо поняття H-оптимального розв’язку.
Означення 3. Будемо казати, що пара (u0, y0) ∈ L2(Ω; ρ−1dx) × H(Ω; ρ dx) є H-опти-
мальним розв’язком задачi (6)–(8), якщо (u0, y0) ∈ ΞH i I(u0, y0) = inf
(u,y)∈ΞH
I(u, y), де че-
рез ΞH позначено множину H-допустимих пар задачi (6)–(8), що визначається таким чином:
ΞH = {(u, y) ∈ U∂ ×H(Ω; ρ dx) | y ∈ K, (u, y) пов’язанi спiввiдношенням (9)}.
3. Iснування H-оптимальних розв’язкiв. У даному пунктi зосередимося на доведен-
нi iснування H-оптимального розв’язку задачi (6)–(8). Для початку встановимо важливу
топологiчну властивiсть множини H-допустимих розв’язкiв. Насамперед введемо поняття
слабкої топологiї в просторi H(Ω, ρ dx).
Означення 4. Будемо казати, що послiдовнiсть {yk}k>1 ⊂ H(Ω, ρ dx) слабко збiгається
до елемента y ∈ H(Ω, ρ dx) при k →∞, якщо дана послiдовнiсть обмежена та yk → y слабко
в L2(Ω, ρ dx) та ∇yk → ∇y слабко в L2(Ω, ρ dx)N , k → ∞.
Зауваження 2. Розглянемо простiр X2
ρ , що є замиканням множини M = {(y,∇y), y ∈
∈ C∞
0 (Ω)} в L2(Ω, ρ dx) × L2(Ω, ρ dx)N . Його елементами є пари (y, v), де y ∈ H(Ω, ρ dx)
i v = ∇y — його градiєнт. Згiдно з [5], простiр X2
ρ є замкненим з L2(Ω, ρ dx)×L2(Ω, ρ dx)N .
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 23
Означення 5. Надалi добуток слабкої топологiї в L2(Ω, ρ−1dx) та слабкої топологiї
в H(Ω, ρ dx) будемо позначати через τ .
Теорема 2. Нехай ρ(x) > 0 — вироджена вагова функцiя потенцiального типу. Тодi
для кожного f ∈ L2(Ω; ρ−1dx) множина ΞH є секвенцiйно τ -замкненою.
Доведення. Нехай {(uk, yk)}k∈N ⊂ ΞH –довiльна τ -збiжна послiдовнiсть допустимих
пар задачi (6)–(8) (внаслiдок теореми 1 такий вибiр завжди можливий). Нехай {(u0, y0)} —
її τ -границя. Покажемо, що {(u0, y0)} ∈ ΞH .
Оскiльки K та U∂ — опуклi замкненi множини в H(Ω; ρ dx) та L2(Ω; ρ−1dx) вiдповiдно,
то за лемою Мазура вони є також слабко замкненими. Тому u0 ∈ U∂ , y0 ∈ K. Покажемо, що
гранична пара пов’язана спiввiдношенням (9). Оскiльки пара {(uk, yk)}k∈N є допустимою
для задачi (6)–(8), то
〈−div(ρ(x)∇yk), yk − v〉H(Ω;ρ dx) 6 〈f + uk, yk − v〉H(Ω;ρ dx) ∀v ∈ K. (10)
Далi розглянемо спiввiдношення
∫
Ω
(f + uk)(yk − v) dx =
∫
Ω
fykdx−
∫
Ω
fvdx+
∫
Ω
ukykdx−
∫
Ω
ukvdx = I1 + I2 + I3 + I4.
Проаналiзуємо I3, записавши в такому виглядi:
I3 =
∫
Ω
ukykdx±
∫
Ω
uky0dx =
∫
Ω
uk(yk − y0) dx+
∫
Ω
uky0dx.
Розглянемо перший доданок в I3. З урахуванням зауваження 1 та компактного вкладення
W 1,1
0 (Ω) в L1(Ω), отримаємо, що yk → y0 в L1(Ω). Тому з точнiстю до пiдпослiдовностi
yk → y0 м. с. в Ω. Отже,
∫
Ω
uk(yk − y0)dx → 0, k → ∞. Внаслiдок τ -збiжностi послiдовностi
{uk, yk}k∈N та того факту, що L2(Ω, ρ−1dx) є спряженим простором до L2(Ω, ρ dx) (див. [6]),
отримаємо, що I1 →
∫
Ω
fy0dx, I4 → −
∫
Ω
u0vdx,
∫
Ω
uky0dx→
∫
Ω
u0y0dx при k →∞. Тому
lim
k→∞
∫
Ω
(f + uk)(yk − v) dx =
∫
Ω
(f + u0)(y0 − v) dx. (11)
Тепер перейдемо у спiввiдношеннi (10) до границi при k →∞, скориставшись властивi-
стю напiвнеперервностi знизу в просторi L2(Ω; ρ dx)N вiдносно слабкої збiжностi (див. [4])
та спiввiдношенням (11). У результатi отримаємо
〈−div(ρ(x)∇y0), y0 − v〉H(Ω;ρ dx) =
∫
Ω
(∇y0,∇y0 −∇v)RN ρ dx =
=
∫
Ω
(∇y0,∇y0)RNρ dx−
∫
Ω
(∇y0,∇v)RNρ dx 6
6 lim
k→∞
∫
Ω
(∇yk,∇yk)RNρ dx− lim
k→∞
∫
Ω
(∇yk,∇v)RNρ dx 6
24 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
6 lim
k→∞
(∫
Ω
(∇yk,∇yk)RNρ dx−
∫
Ω
(∇yk,∇v)RN ρ dx
)
6
6 lim
k→∞
∫
Ω
(f + uk)(yk − v) dx = lim
k→∞
∫
Ω
(f + uk)(yk − v) dx =
=
∫
Ω
(f + u0)(y0 − v) dx = 〈f + u0, y0 − v〉H(Ω;ρ dx) ∀v ∈ K.
Отже, τ -гранична пара (u0, y0) є H-допустимою для задачi (6)–(8), а тому (u0, y0) ∈ ΞH .
Теорема 3. Нехай ρ(x) > 0 — вироджена вагова функцiя потенцiального типу. Тодi
множина H-оптимальних розв’язкiв задачi (6)–(8) є непорожньою ∀f ∈ L2(Ω; ρ−1dx).
Доведення. Зауважимо спочатку, що функцiонал вартостi (6) є τ -напiвнеперервним
знизу на ΞH . Нехай {uk, yk}k∈N ⊂ ΞH — H–мiнiмiзуюча послiдовнiсть задачi (6)–(8), тобто
lim
k→∞
I(uk, yk) = inf
(u,y)∈ΞH
I(u, y) < +∞. З означення множини U∂ отримуємо, що послiдов-
нiсть {uk}k∈N — обмежена в L2(Ω; ρ−1dx). Отже, з точнiстю до пiдпослiдовностi, iснує еле-
мент u∗ ∈ U∂ такий, що uk → u∗ слабко в L2(Ω; ρ−1dx) при k →∞. Доведемо обмеженiсть
послiдовностi {yk = y(uk)}k∈N у просторi H(Ω; ρ dx). З [1] вiдомо, що y ∈ K може бути
поданий як y = z/
√
ρ, де z ∈ H1
0 (Ω), та
‖z‖2H1
0 (Ω) =
∫
Ω
y2ρ dx+
∫
Ω
|∇ (
√
ρy) |2
RN dx. (12)
Крiм того, в ходi доведення теореми 4 iз [1] було отримано, що послiдовнiсть {zk}k∈RN
є обмеженою в просторi H1
0 (Ω). Внаслiдок (12) отримуємо, зокрема, обмеженiсть послiдов-
ностi {yk}k∈N у просторi L2(Ω; ρ dx). Тепер доведемо обмеженiсть послiдовностi {∇yk}k∈N
у просторi L2(Ω; ρ dx)N .
Спочатку встановимо таку властивiсть оператора A:
〈Ay, y − v0〉H(Ω;ρ dx)
‖∇y‖L2(Ω;ρ dx)N
→ +∞. (13)
Дiйсно, з означення оператора A отримаємо
〈Ay, y − v0〉H(Ω;ρ dx) > ‖∇y‖2L2(Ω;ρ dx)N − ‖∇y‖L2(Ω;ρ dx)N ‖∇v0‖L2(Ω;ρ dx)N , (14)
оскiльки
|〈Ay, v0〉H(Ω;ρ dx)| 6
(∫
Ω
|∇y|2
RNρ dx
)1/2(∫
Ω
|∇v0|2RNρ dx
)1/2
=
= ‖∇y‖L2(Ω;ρ dx)N ‖∇v0‖L2(Ω;ρ dx)N . (15)
Враховуючи (14) та (15), одержимо (13).
Далi, припустимо, що iснує пiдпослiдовнiсть {∇ykn}n∈N ⊂ {∇yk}k∈N така, що
‖∇ykn‖H(Ω;ρ dx) →∞ при n→∞, i, скориставшись властивiстю (13) оператора A, отримаємо
+∞←
〈Aykn , ykn − v0〉H(Ω;ρ dx)
‖∇ykn‖L2(Ω;ρ dx)N
6
∫
Ω
(f + ukn)(ykn − v0) dx
‖∇ykn‖L2(Ω;ρ dx)N
6
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 25
6
‖f + ukn‖L2(Ω;ρ−1dx)‖ykn − v0‖L2(Ω;ρ dx)
‖∇ykn‖L2(Ω;ρ dx)N
6
6
(‖f‖L2(Ω;ρ−1dx) + ‖ukn‖L2(Ω;ρ−1dx))(‖ykn‖L2(Ω;ρ dx) + ‖v0‖L2(Ω;ρ dx))
‖∇ykn‖L2(Ω;ρ dx)N
6
6
(‖f‖L2(Ω;ρ−1dx)+‖ukn‖L2(Ω;ρ−1dx))(‖ykn‖L2(Ω;ρdx)+‖∇ykn‖L2(Ω;ρdx)N +‖v0‖L2(Ω;ρdx))
‖∇ykn‖L2(Ω;ρdx)N
=
= (‖f‖L2(Ω;ρ−1dx) + ‖ukn‖L2(Ω;ρ−1dx))
( ‖ykn‖L2(Ω;ρ dx)
‖∇ykn‖L2(Ω;ρ dx)N
+ 1 +
‖v0‖L2(Ω;ρ dx)
‖∇ykn‖L2(Ω;ρ dx)N
)
6 C
для довiльного фiксованого елемента v0 ∈ H(Ω; ρ dx), оскiльки множина U∂ є обмеже-
ною в просторi L2(Ω; ρ−1dx). Отримали протирiччя, що доводить обмеженiсть послiдов-
ностi {∇yk}k>1 у просторi L2(Ω, ρ dx)N . Тому, з точнiстю до пiдпослiдовностi, iснує елемент
y∗ ∈ H(Ω, ρ dx) такий, що yk → y∗ слабко в L2(Ω; ρ dx) та ∇yk → ∇y∗ слабко в L2(Ω, ρ dx)N
(див. зауваження 2) при k → ∞. Оскiльки внаслiдок теореми 2 множина ΞH є секвенцiй-
но τ -замкненою, то пара (u∗, y∗) є H-допустимою для задачi (6)–(8). З τ -напiвнеперервно-
стi знизу функцiонала I отримуємо, що I(u∗, y∗) 6 lim
k→∞
I(uk, yk) = inf
(u,y)∈ΞH
I(u, y). Отже,
(u∗, y∗) є H-оптимальною парою.
Таким чином, у роботi за допомогою прямого варiацiйного методу обгрунтовано iснува-
ння H-оптимального розв’язку для оптимiзацiйної задачi (6)–(8), об’єктом керування в якiй
виступає вироджена елiптична варiацiйна нерiвнiсть. Також показано виконання важливої
топологiчної властивостi множини H-допустимих пар — замкненiсть у добутку топологiй
простору керувань i простору станiв, адже саме серед її елементiв шукається розв’язок
задачi. Загалом, пiдхiд, що базується на введеннi H-допустимих розв’язкiв, є корисним
при дослiдженнi досяжностi H-оптимальних розв’язкiв вироджених задач оптимальними
розв’язками невироджених задач.
Цитована лiтература
1. Задоянчук Н.В., Купенко О.П. Про розв’язнiсть одного класу задач оптимального керування для
вироджених елiптичних варiацiйних нерiвностей // Журн. обчисл. та прикл. математики. – 2013. –
№ 4(114). – С. 10–23.
2. Задоянчук Н.В. Задача оптимального керування для виродженої параболiчної варiацiйної нерiвностi:
теорема iснування // Журн. обчисл. та прикл. математики. – 2014. – № 1(115). – С. 17–38.
3. Задоянчук Н.В. Розв’язнiсть одного класу задач оптимального керування для виродженої параболi-
чної варiацiйної нерiвностi // Вiсн. КНУ iм. Тараса Шевченка. Сер. фiз.-мат. науки. – 2014. – Вип. 3. –
С. 36–41.
4. Kupenko O. P. Optimal Control Problems in Coefficients for Degenerate Variational inequalities of Mono-
tone Type. I. Existence of Optimal Solutions // Журн. обчисл. та прикл. математики. – 2011. –
No 3(106). – P. 88–103.
5. Жиков В. В. Замечание о соболевских пространствах // Соврем. математика и ее приложения. –
2003. – 10, № 4. – С. 77–79.
6. Drabek P., Nicolosi F. Solvability of degenerate elliptic problems of higher order via Leray-Lions theorem //
Hiroshima Math. J. – 1996. – 26. – P. 79–90.
26 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
References
1. Zadoianchuk N.V., Kupenko O.P. J. obchisluvalnoi ta prikladnoi matematiki, 2013, No 4 (114): 10–23 (in
Ukrainian).
2. Zadoianchuk N.V. J. obchisluvalnoi ta prikladnoi matematiki, 2014, No 1(115): 17–38 (in Ukrainian).
3. Zadoianchuk N.V. Visnik KNU im. Tarasa Shevchenka, Ser.: fiziko-matematichni nauki, 2014, Iss. 3: 36–41
(in Ukrainian).
4. Kupenko O.P. J. obchisluvalnoi ta prikladnoi matematiki, 2011, No 3(106): 88–103.
5. Zhikov V.V. Sovremennaya matematika i prilozheniya, 2003, 10, No 4: 77–79 (in Russian).
6. Drabek P., Nicolosi F. Hiroshima Math. J, 1996, 26: 79–90.
Надiйшло до редакцiї 19.03.2015Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
Н.В. Задоянчук
H-разрешимость задачи оптимального управления
для вырожденного эллиптического вариационного неравенства
Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко
Рассмотрена задача оптимального управления для вырожденного эллиптического вариаци-
онного неравенства с весовой функцией потенциального типа, которая входит в диффе-
ренциальный оператор. Доказана разрешимость задачи оптимального управления в классе
так называемых H-допустимых решений. Обосновано свойство замкнутости множества
H-допустимых пар в произведении топологий пространства управлений и пространства
состояний.
Ключевые слова: задача оптимального управления, эллиптическое вариационное неравен-
ство, вырожденная весовая функция потенциального типа, H-допустимое решение, H-опти-
мальное решение.
N.V. Zadoianchuk
H-solvability of the optimal control problem for a degenerate elliptic
variational inequality
Taras Shevchenko National University of Kiev
We consider the optimal control problem for a degenerate elliptic variational inequality with weight
function of potential type, which is in a differential operator. We prove the solvability of the optimal
control problem in the class of the so-called H-admissible solutions. We justify the property of
closureness for the set of H-admissible pairs in the product of topologies of the control space and
the space of states.
Keywords: optimal control problem, elliptic variational inequality, degenerate weight function of
potential type, H-admissible solution, H-optimal solution.
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 27
|