H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi

Розглянуто задачу оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi з ваговою функцiєю потенцiального типу, що входить до диференцiального оператора. Доведено розв’язнiсть задачi оптимального керування в класi так званих H-допустимих розв’язкiв. Встановлено властивiсть замкне...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
1. Verfasser:	Задоянчук, Н.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2015
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97278
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi / Н.В. Задоянчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 21-27. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-97278
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-972782025-02-09T12:19:06Z H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi H-разрешимость задачи оптимального управления для вырожденного эллиптического вариационного неравенства H-solvability of the optimal control problem for a degenerate elliptic variational inequality Задоянчук, Н.В. Математика Розглянуто задачу оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi з ваговою функцiєю потенцiального типу, що входить до диференцiального оператора. Доведено розв’язнiсть задачi оптимального керування в класi так званих H-допустимих розв’язкiв. Встановлено властивiсть замкненостi множини H-допустимих пар у добутку топологiй простору керувань та простору станiв. Рассмотрена задача оптимального управления для вырожденного эллиптического вариационного неравенства с весовой функцией потенциального типа, которая входит в дифференциальный оператор. Доказана разрешимость задачи оптимального управления в классе так называемых H-допустимых решений. Обосновано свойство замкнутости множества H-допустимых пар в произведении топологий пространства управлений и пространства состояний. We consider the optimal control problem for a degenerate elliptic variational inequality with weight function of potential type, which is in a differential operator. We prove the solvability of the optimal control problem in the class of the so-called H-admissible solutions. We justify the property of closureness for the set of H-admissible pairs in the product of topologies of the control space and the space of states. 2015 Article H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi / Н.В. Задоянчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 21-27. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97278 517.9 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Задоянчук, Н.В. H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi Доповіді НАН України
description	Розглянуто задачу оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi з ваговою функцiєю потенцiального типу, що входить до диференцiального оператора. Доведено розв’язнiсть задачi оптимального керування в класi так званих H-допустимих розв’язкiв. Встановлено властивiсть замкненостi множини H-допустимих пар у добутку топологiй простору керувань та простору станiв.
format	Article
author	Задоянчук, Н.В.
author_facet	Задоянчук, Н.В.
author_sort	Задоянчук, Н.В.
title	H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi
title_short	H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi
title_full	H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi
title_fullStr	H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi
title_full_unstemmed	H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi
title_sort	h-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Математика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97278
citation_txt	H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi / Н.В. Задоянчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 21-27. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT zadoânčuknv hrozvâznistʹzadačioptimalʹnogokeruvannâdlâvirodženoíeliptičnoívariacijnoínerivnosti AT zadoânčuknv hrazrešimostʹzadačioptimalʹnogoupravleniâdlâvyroždennogoélliptičeskogovariacionnogoneravenstva AT zadoânčuknv hsolvabilityoftheoptimalcontrolproblemforadegenerateellipticvariationalinequality
first_indexed	2025-11-25T23:35:08Z
last_indexed	2025-11-25T23:35:08Z
_version_	1849807302539870208
fulltext	УДК 517.9 Н.В. Задоянчук H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi (Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком) Розглянуто задачу оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної не- рiвностi з ваговою функцiєю потенцiального типу, що входить до диференцiального оператора. Доведено розв’язнiсть задачi оптимального керування в класi так званих H-допустимих розв’язкiв. Встановлено властивiсть замкненостi множини H-допу- стимих пар у добутку топологiй простору керувань та простору станiв. Ключовi слова: задача оптимального керування, елiптична варiацiйна нерiвнiсть, ви- роджена вагова функцiя потенцiального типу, H-допустимий розв’язок, H-оптимальний розв’язок. У роботi дослiджується задача оптимального керування для виродженої елiптичної варiа- цiйної нерiвностi. Як вiдомо, при вивченнi оптимiзацiйних задач з таким об’єктом керування можуть виникати такi проблеми, як ефект Лаврентьєва, неєдинiсть визначення розв’язку варiацiйної нерiвностi i, як наслiдок, неєдинiсть визначення оптимального розв’язку. У ро- ботi [1] вихiдна вироджена задача зведена до еквiвалентної в певному сенсi задачi в “кла- сичному” соболєвському просторi i обгрунтована її розв’язнiсть у випадку, коли вагова функцiя є функцiєю потенцiального типу. Аналогiчним чином ця проблема вирiшується i в роботах [2, 3] для виродженої параболiчної варiацiйної нерiвностi. В межах даного до- слiдження пропонується альтернативний пiдхiд до вивчення проблеми розв’язностi згаданої задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi. А саме, аналогiчно [4], де дослiджено оптимiзацiйну задачу для виродженої нелiнiйної монотонної варiацiйної нерiвностi з керуванням у коефiцiєнтах, вводиться до розгляду клас так зва- них H-допустимих розв’язкiв. Вiдтак, в роботi за допомогою прямого варiацiйного методу обгрунтовано H-розв’язнiсть оптимiзацiйної задачi для виродженого об’єкта керування. 1. Основнi означення та допомiжнi факти. Нехай Ω ⊂ R N (N > 3) — вiдкрита обмежена область з достатньо регулярною межею ∂Ω така, що 0 ∈ R N є внутрiшньою точкою множини Ω. Всюди далi будемо позначати через C∞ 0 (Ω) локально опуклий простiр усiх нескiнченно диференцiйовних функцiй з носiями в Ω. Нехай є заданою функцiя ρ : Ω → R така, що ρ(x) > 0 майже скрiзь (м. с.) на Ω, ρ ∈ L1(Ω), ρ−1 ∈ L1(Ω), ∇ ln ρ ∈ L2(Ω;RN ) i ρ+ ρ−1 /∈ L∞(Ω). (1) Всюди далi будемо вважати, що iснує замкнена пiдмножина O множини Ω така, що dist(O, ∂Ω) = ε, ρ > ε м.с. в Ω \ O i ρ ∈ L∞(Ω \ O) (2) для деякого ε > 0. Iнакше кажучи, припускається, що умови (1) не є характерними для примежового шару множини Ω. © Н.В. Задоянчук, 2015 ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 21 Ваговi простори. Надалi невiд’ємну функцiю ρ з властивостями (1), (2) називатиме- мо виродженою ваговою функцiєю i пов’язуватимемо з нею ваговi гiльбертовi простори L2(Ω, ρ dx), L2(Ω, ρ−1 dx), для яких f ∈ L2(Ω, ρ dx), якщо ‖f‖2L2(Ω,ρ dx) = ∫ Ω f2ρ dx < +∞, та g ∈ L2(Ω, ρ−1dx), якщо ‖g‖2L2(Ω,ρ−1 dx) = ∫ Ω g2ρ−1 dx < +∞. Поруч з ваговими гiльбертовими просторами розглянемо ваговий простiр Соболєва H(Ω; ρ dx) — замикання простору C∞ 0 (Ω) вiдносно норми ‖y‖H(Ω;ρ dx) := (∫ Ω y2ρ dx+ ∫ Ω \|∇y\|2 RNρ dx )1/2 . Зауваження 1. У випадку, коли вага ρ−1 ∈ L1(Ω), простiр H(Ω, ρ dx) неперервно вкла- дається в простiр W 1,1 0 (Ω). Доведення. Дiйсно, скориставшись нерiвностями Гельдера i Єнсена, отримаємо ‖y‖2 W 1,1 0 (Ω) = (‖y‖L1(Ω) + ‖∇y‖L1(Ω)N ) 2 6 C (∫ Ω y2ρ dx+ ∫ Ω \|∇y\|2 RNρ dx ) = C‖y‖2H(Ω,ρ dx). Введемо до розгляду таке поняття (див. [1]). Означення 1. Будемо казати, що ρ : Ω → R є ваговою функцiєю потенцiального типу, якщо ρ задовольняє умови (1), (2) та iснує така стала Ĉ(Ω) > 0, що виконується нерiвнiсть −Ĉ(Ω) 6 −△ ln ρ(x)− 1 2 \|∇ ln ρ\|2 RN < 2λ∗ \|x\|2 RN = (N − 2)2 2\|x\|2 RN в Ω. (3) У цьому випадку функцiю V (x) = −△ ln ρ(x) − 1 2 \|∇ ln ρ\|2 RN будемо називати потенцiалом Хардi для вагової функцiї ρ. 2. Постановка задачi. Нехай K — непорожня опукла пiдмножина простору W 1,2 0 (Ω; ρ dx), яка є секвенцiйно замкненою вiдносно збiжностi за нормою ‖y‖2ρ := ∫ Ω y2ρ dx+ ∫ Ω ∣∣∣∣∇y + y 2 ∇ ln ρ ∣∣∣∣ 2 RN ρ dx. (4) Нехай yad ∈ L2(Ω, ρ dx), f ∈ L2(Ω, ρ−1dx) та u0 ∈ L2(Ω, ρ−1dx) — заданi розподiлення, а U∂ — непорожня опукла замкнена пiдмножина в L2(Ω, ρ−1dx) така, що U∂ = {u ∈ L2(Ω, ρ−1dx) : ‖u− u0‖L2(Ω,ρ−1dx) 6 R}. (5) Всюди далi функцiї u ∈ U∂ розглядаються як допустимi керування. Розглянемо таку задачу оптимального керування для варiацiйної нерiвностi з керуван- ням у правiй частинi: I(u, y) = 1 2 ‖y − yad‖2L2(Ω,ρ dx) → inf, (6) u ∈ U∂ , y ∈ K, (7) 22 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8 ∫ Ω (∇y,∇v −∇y)RNρ dx > ∫ Ω (f + u)(v − y) dx, ∀v ∈ K. (8) Пов’яжемо з варiацiйною нерiвнiстю (8) лiнiйний оператор A : H(Ω; ρ dx)→ (H(Ω; ρ dx))∗, скориставшись правилом 〈Ay, v〉H(Ω;ρ dx) = ∫ Ω (∇y,∇v)RN ρ dx ∀v ∈ K. Тут 〈·, ·〉H(Ω;ρ dx) : (H(Ω; ρ dx))∗ ×H(Ω; ρ dx)→ R є операцiєю дуального спарювання елементiв з просторiв (H(Ω; ρ dx))∗ та H(Ω; ρ dx) вiдпо- вiдно. Тодi ясно, що Ay = − div(ρ(x)∇y). Розглянемо поняття H-розв’язку. Означення 2. Будемо казати, що функцiя y = y(u, f) ∈ K є H-розв’язком виродженої варiацiйної нерiвностi (7), (8), якщо нерiвнiсть 〈− div(ρ(x)∇y), v − y〉H(Ω;ρ dx) > 〈f, v − y〉H(Ω;ρ dx) (9) виконується для довiльного v ∈ K. Зауважимо, що у випадку, коли функцiя ρ є ваговою функцiєю потенцiального ти- пу в сенсi означення 1, вдається показати iснування i єдинiсть H-розв’язку для нерiвно- стi (7), (8), а саме має мiсце такий результат: Теорема 1 [1, теорема 2]. Нехай ρ : Ω→ R+ є ваговою функцiєю потенцiального типу. Тодi при заданих f ∈ L2(Ω, ρ−1dx) та u ∈ U∂ варiацiйна нерiвнiсть (7), (8) має єдиний розв’язок y = y(u, f) ∈ K такий, що y = z/ √ ρ i z ∈ H1 0 (Ω). Розглянемо поняття H-оптимального розв’язку. Означення 3. Будемо казати, що пара (u0, y0) ∈ L2(Ω; ρ−1dx) × H(Ω; ρ dx) є H-опти- мальним розв’язком задачi (6)–(8), якщо (u0, y0) ∈ ΞH i I(u0, y0) = inf (u,y)∈ΞH I(u, y), де че- рез ΞH позначено множину H-допустимих пар задачi (6)–(8), що визначається таким чином: ΞH = {(u, y) ∈ U∂ ×H(Ω; ρ dx) \| y ∈ K, (u, y) пов’язанi спiввiдношенням (9)}. 3. Iснування H-оптимальних розв’язкiв. У даному пунктi зосередимося на доведен- нi iснування H-оптимального розв’язку задачi (6)–(8). Для початку встановимо важливу топологiчну властивiсть множини H-допустимих розв’язкiв. Насамперед введемо поняття слабкої топологiї в просторi H(Ω, ρ dx). Означення 4. Будемо казати, що послiдовнiсть {yk}k>1 ⊂ H(Ω, ρ dx) слабко збiгається до елемента y ∈ H(Ω, ρ dx) при k →∞, якщо дана послiдовнiсть обмежена та yk → y слабко в L2(Ω, ρ dx) та ∇yk → ∇y слабко в L2(Ω, ρ dx)N , k → ∞. Зауваження 2. Розглянемо простiр X2 ρ , що є замиканням множини M = {(y,∇y), y ∈ ∈ C∞ 0 (Ω)} в L2(Ω, ρ dx) × L2(Ω, ρ dx)N . Його елементами є пари (y, v), де y ∈ H(Ω, ρ dx) i v = ∇y — його градiєнт. Згiдно з [5], простiр X2 ρ є замкненим з L2(Ω, ρ dx)×L2(Ω, ρ dx)N . ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 23 Означення 5. Надалi добуток слабкої топологiї в L2(Ω, ρ−1dx) та слабкої топологiї в H(Ω, ρ dx) будемо позначати через τ . Теорема 2. Нехай ρ(x) > 0 — вироджена вагова функцiя потенцiального типу. Тодi для кожного f ∈ L2(Ω; ρ−1dx) множина ΞH є секвенцiйно τ -замкненою. Доведення. Нехай {(uk, yk)}k∈N ⊂ ΞH –довiльна τ -збiжна послiдовнiсть допустимих пар задачi (6)–(8) (внаслiдок теореми 1 такий вибiр завжди можливий). Нехай {(u0, y0)} — її τ -границя. Покажемо, що {(u0, y0)} ∈ ΞH . Оскiльки K та U∂ — опуклi замкненi множини в H(Ω; ρ dx) та L2(Ω; ρ−1dx) вiдповiдно, то за лемою Мазура вони є також слабко замкненими. Тому u0 ∈ U∂ , y0 ∈ K. Покажемо, що гранична пара пов’язана спiввiдношенням (9). Оскiльки пара {(uk, yk)}k∈N є допустимою для задачi (6)–(8), то 〈−div(ρ(x)∇yk), yk − v〉H(Ω;ρ dx) 6 〈f + uk, yk − v〉H(Ω;ρ dx) ∀v ∈ K. (10) Далi розглянемо спiввiдношення ∫ Ω (f + uk)(yk − v) dx = ∫ Ω fykdx− ∫ Ω fvdx+ ∫ Ω ukykdx− ∫ Ω ukvdx = I1 + I2 + I3 + I4. Проаналiзуємо I3, записавши в такому виглядi: I3 = ∫ Ω ukykdx± ∫ Ω uky0dx = ∫ Ω uk(yk − y0) dx+ ∫ Ω uky0dx. Розглянемо перший доданок в I3. З урахуванням зауваження 1 та компактного вкладення W 1,1 0 (Ω) в L1(Ω), отримаємо, що yk → y0 в L1(Ω). Тому з точнiстю до пiдпослiдовностi yk → y0 м. с. в Ω. Отже, ∫ Ω uk(yk − y0)dx → 0, k → ∞. Внаслiдок τ -збiжностi послiдовностi {uk, yk}k∈N та того факту, що L2(Ω, ρ−1dx) є спряженим простором до L2(Ω, ρ dx) (див. [6]), отримаємо, що I1 → ∫ Ω fy0dx, I4 → − ∫ Ω u0vdx, ∫ Ω uky0dx→ ∫ Ω u0y0dx при k →∞. Тому lim k→∞ ∫ Ω (f + uk)(yk − v) dx = ∫ Ω (f + u0)(y0 − v) dx. (11) Тепер перейдемо у спiввiдношеннi (10) до границi при k →∞, скориставшись властивi- стю напiвнеперервностi знизу в просторi L2(Ω; ρ dx)N вiдносно слабкої збiжностi (див. [4]) та спiввiдношенням (11). У результатi отримаємо 〈−div(ρ(x)∇y0), y0 − v〉H(Ω;ρ dx) = ∫ Ω (∇y0,∇y0 −∇v)RN ρ dx = = ∫ Ω (∇y0,∇y0)RNρ dx− ∫ Ω (∇y0,∇v)RNρ dx 6 6 lim k→∞ ∫ Ω (∇yk,∇yk)RNρ dx− lim k→∞ ∫ Ω (∇yk,∇v)RNρ dx 6 24 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8 6 lim k→∞ (∫ Ω (∇yk,∇yk)RNρ dx− ∫ Ω (∇yk,∇v)RN ρ dx ) 6 6 lim k→∞ ∫ Ω (f + uk)(yk − v) dx = lim k→∞ ∫ Ω (f + uk)(yk − v) dx = = ∫ Ω (f + u0)(y0 − v) dx = 〈f + u0, y0 − v〉H(Ω;ρ dx) ∀v ∈ K. Отже, τ -гранична пара (u0, y0) є H-допустимою для задачi (6)–(8), а тому (u0, y0) ∈ ΞH . Теорема 3. Нехай ρ(x) > 0 — вироджена вагова функцiя потенцiального типу. Тодi множина H-оптимальних розв’язкiв задачi (6)–(8) є непорожньою ∀f ∈ L2(Ω; ρ−1dx). Доведення. Зауважимо спочатку, що функцiонал вартостi (6) є τ -напiвнеперервним знизу на ΞH . Нехай {uk, yk}k∈N ⊂ ΞH — H–мiнiмiзуюча послiдовнiсть задачi (6)–(8), тобто lim k→∞ I(uk, yk) = inf (u,y)∈ΞH I(u, y) < +∞. З означення множини U∂ отримуємо, що послiдов- нiсть {uk}k∈N — обмежена в L2(Ω; ρ−1dx). Отже, з точнiстю до пiдпослiдовностi, iснує еле- мент u∗ ∈ U∂ такий, що uk → u∗ слабко в L2(Ω; ρ−1dx) при k →∞. Доведемо обмеженiсть послiдовностi {yk = y(uk)}k∈N у просторi H(Ω; ρ dx). З [1] вiдомо, що y ∈ K може бути поданий як y = z/ √ ρ, де z ∈ H1 0 (Ω), та ‖z‖2H1 0 (Ω) = ∫ Ω y2ρ dx+ ∫ Ω \|∇ ( √ ρy) \|2 RN dx. (12) Крiм того, в ходi доведення теореми 4 iз [1] було отримано, що послiдовнiсть {zk}k∈RN є обмеженою в просторi H1 0 (Ω). Внаслiдок (12) отримуємо, зокрема, обмеженiсть послiдов- ностi {yk}k∈N у просторi L2(Ω; ρ dx). Тепер доведемо обмеженiсть послiдовностi {∇yk}k∈N у просторi L2(Ω; ρ dx)N . Спочатку встановимо таку властивiсть оператора A: 〈Ay, y − v0〉H(Ω;ρ dx) ‖∇y‖L2(Ω;ρ dx)N → +∞. (13) Дiйсно, з означення оператора A отримаємо 〈Ay, y − v0〉H(Ω;ρ dx) > ‖∇y‖2L2(Ω;ρ dx)N − ‖∇y‖L2(Ω;ρ dx)N ‖∇v0‖L2(Ω;ρ dx)N , (14) оскiльки \|〈Ay, v0〉H(Ω;ρ dx)\| 6 (∫ Ω \|∇y\|2 RNρ dx )1/2(∫ Ω \|∇v0\|2RNρ dx )1/2 = = ‖∇y‖L2(Ω;ρ dx)N ‖∇v0‖L2(Ω;ρ dx)N . (15) Враховуючи (14) та (15), одержимо (13). Далi, припустимо, що iснує пiдпослiдовнiсть {∇ykn}n∈N ⊂ {∇yk}k∈N така, що ‖∇ykn‖H(Ω;ρ dx) →∞ при n→∞, i, скориставшись властивiстю (13) оператора A, отримаємо +∞← 〈Aykn , ykn − v0〉H(Ω;ρ dx) ‖∇ykn‖L2(Ω;ρ dx)N 6 ∫ Ω (f + ukn)(ykn − v0) dx ‖∇ykn‖L2(Ω;ρ dx)N 6 ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 25 6 ‖f + ukn‖L2(Ω;ρ−1dx)‖ykn − v0‖L2(Ω;ρ dx) ‖∇ykn‖L2(Ω;ρ dx)N 6 6 (‖f‖L2(Ω;ρ−1dx) + ‖ukn‖L2(Ω;ρ−1dx))(‖ykn‖L2(Ω;ρ dx) + ‖v0‖L2(Ω;ρ dx)) ‖∇ykn‖L2(Ω;ρ dx)N 6 6 (‖f‖L2(Ω;ρ−1dx)+‖ukn‖L2(Ω;ρ−1dx))(‖ykn‖L2(Ω;ρdx)+‖∇ykn‖L2(Ω;ρdx)N +‖v0‖L2(Ω;ρdx)) ‖∇ykn‖L2(Ω;ρdx)N = = (‖f‖L2(Ω;ρ−1dx) + ‖ukn‖L2(Ω;ρ−1dx)) ( ‖ykn‖L2(Ω;ρ dx) ‖∇ykn‖L2(Ω;ρ dx)N + 1 + ‖v0‖L2(Ω;ρ dx) ‖∇ykn‖L2(Ω;ρ dx)N ) 6 C для довiльного фiксованого елемента v0 ∈ H(Ω; ρ dx), оскiльки множина U∂ є обмеже- ною в просторi L2(Ω; ρ−1dx). Отримали протирiччя, що доводить обмеженiсть послiдов- ностi {∇yk}k>1 у просторi L2(Ω, ρ dx)N . Тому, з точнiстю до пiдпослiдовностi, iснує елемент y∗ ∈ H(Ω, ρ dx) такий, що yk → y∗ слабко в L2(Ω; ρ dx) та ∇yk → ∇y∗ слабко в L2(Ω, ρ dx)N (див. зауваження 2) при k → ∞. Оскiльки внаслiдок теореми 2 множина ΞH є секвенцiй- но τ -замкненою, то пара (u∗, y∗) є H-допустимою для задачi (6)–(8). З τ -напiвнеперервно- стi знизу функцiонала I отримуємо, що I(u∗, y∗) 6 lim k→∞ I(uk, yk) = inf (u,y)∈ΞH I(u, y). Отже, (u∗, y∗) є H-оптимальною парою. Таким чином, у роботi за допомогою прямого варiацiйного методу обгрунтовано iснува- ння H-оптимального розв’язку для оптимiзацiйної задачi (6)–(8), об’єктом керування в якiй виступає вироджена елiптична варiацiйна нерiвнiсть. Також показано виконання важливої топологiчної властивостi множини H-допустимих пар — замкненiсть у добутку топологiй простору керувань i простору станiв, адже саме серед її елементiв шукається розв’язок задачi. Загалом, пiдхiд, що базується на введеннi H-допустимих розв’язкiв, є корисним при дослiдженнi досяжностi H-оптимальних розв’язкiв вироджених задач оптимальними розв’язками невироджених задач. Цитована лiтература 1. Задоянчук Н.В., Купенко О.П. Про розв’язнiсть одного класу задач оптимального керування для вироджених елiптичних варiацiйних нерiвностей // Журн. обчисл. та прикл. математики. – 2013. – № 4(114). – С. 10–23. 2. Задоянчук Н.В. Задача оптимального керування для виродженої параболiчної варiацiйної нерiвностi: теорема iснування // Журн. обчисл. та прикл. математики. – 2014. – № 1(115). – С. 17–38. 3. Задоянчук Н.В. Розв’язнiсть одного класу задач оптимального керування для виродженої параболi- чної варiацiйної нерiвностi // Вiсн. КНУ iм. Тараса Шевченка. Сер. фiз.-мат. науки. – 2014. – Вип. 3. – С. 36–41. 4. Kupenko O. P. Optimal Control Problems in Coefficients for Degenerate Variational inequalities of Mono- tone Type. I. Existence of Optimal Solutions // Журн. обчисл. та прикл. математики. – 2011. – No 3(106). – P. 88–103. 5. Жиков В. В. Замечание о соболевских пространствах // Соврем. математика и ее приложения. – 2003. – 10, № 4. – С. 77–79. 6. Drabek P., Nicolosi F. Solvability of degenerate elliptic problems of higher order via Leray-Lions theorem // Hiroshima Math. J. – 1996. – 26. – P. 79–90. 26 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8 References 1. Zadoianchuk N.V., Kupenko O.P. J. obchisluvalnoi ta prikladnoi matematiki, 2013, No 4 (114): 10–23 (in Ukrainian). 2. Zadoianchuk N.V. J. obchisluvalnoi ta prikladnoi matematiki, 2014, No 1(115): 17–38 (in Ukrainian). 3. Zadoianchuk N.V. Visnik KNU im. Tarasa Shevchenka, Ser.: fiziko-matematichni nauki, 2014, Iss. 3: 36–41 (in Ukrainian). 4. Kupenko O.P. J. obchisluvalnoi ta prikladnoi matematiki, 2011, No 3(106): 88–103. 5. Zhikov V.V. Sovremennaya matematika i prilozheniya, 2003, 10, No 4: 77–79 (in Russian). 6. Drabek P., Nicolosi F. Hiroshima Math. J, 1996, 26: 79–90. Надiйшло до редакцiї 19.03.2015Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка Н.В. Задоянчук H-разрешимость задачи оптимального управления для вырожденного эллиптического вариационного неравенства Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко Рассмотрена задача оптимального управления для вырожденного эллиптического вариаци- онного неравенства с весовой функцией потенциального типа, которая входит в диффе- ренциальный оператор. Доказана разрешимость задачи оптимального управления в классе так называемых H-допустимых решений. Обосновано свойство замкнутости множества H-допустимых пар в произведении топологий пространства управлений и пространства состояний. Ключевые слова: задача оптимального управления, эллиптическое вариационное неравен- ство, вырожденная весовая функция потенциального типа, H-допустимое решение, H-опти- мальное решение. N.V. Zadoianchuk H-solvability of the optimal control problem for a degenerate elliptic variational inequality Taras Shevchenko National University of Kiev We consider the optimal control problem for a degenerate elliptic variational inequality with weight function of potential type, which is in a differential operator. We prove the solvability of the optimal control problem in the class of the so-called H-admissible solutions. We justify the property of closureness for the set of H-admissible pairs in the product of topologies of the control space and the space of states. Keywords: optimal control problem, elliptic variational inequality, degenerate weight function of potential type, H-admissible solution, H-optimal solution. ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 27

H-розв’язнiсть задачi оптимального керування для виродженої елiптичної варiацiйної нерiвностi

Institution

Ähnliche Einträge