Проекционно-итерационная модификация метода локальных вариаций для задач локальной устойчивости сферических оболочек
Предложена и теоретически обоснована проекционно-итерационная схема реализации метода локальных вариаций для решения вариационных задач с квадратичным функционалом. На примере решения задачи о локальной устойчивости сферической оболочки показана практическая эффективность предложенной модификации м...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97281 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Проекционно-итерационная модификация метода локальных вариаций для задач локальной устойчивости сферических оболочек / В.С. Гудрамович, Э.Л. Гарт // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 35-42. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859654722484436992 |
|---|---|
| author | Гудрамович, В.С. Гарт, Э.Л. |
| author_facet | Гудрамович, В.С. Гарт, Э.Л. |
| citation_txt | Проекционно-итерационная модификация метода локальных вариаций для задач локальной устойчивости сферических оболочек / В.С. Гудрамович, Э.Л. Гарт // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 35-42. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Предложена и теоретически обоснована проекционно-итерационная схема реализации
метода локальных вариаций для решения вариационных задач с квадратичным функционалом. На примере решения задачи о локальной устойчивости сферической оболочки показана практическая эффективность предложенной модификации метода локальных вариаций.
Запропоновано та теоретично обгрунтовано проекцiйно-iтерацiйну схему реалiзацiї метода
локальних варiацiй для розв’язання варiацiйних задач з квадратичним функцiоналом. На
прикладi розв’язання задачi про локальну стiйкiсть сферичної оболонки показана практична
ефективнiсть запропонованої модифiкацiї методу локальних варiацiй.
A projection-iterative scheme of a realization of the method of local variations for solving the variational problems with quadratic functional is proposed and theoretically grounded. By the example of solving the problem of local stability of a spherical shell, the practical efficiency of the proposed modification of the method of local variations is demonstrated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:38:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Член-корреспондент НАН Украины В.С. Гудрамович, Э. Л. Гарт
Проекционно-итерационная модификация метода
локальных вариаций для задач локальной устойчивости
сферических оболочек
Предложена и теоретически обоснована проекционно-итерационная схема реализации
метода локальных вариаций для решения вариационных задач с квадратичным функци-
оналом. На примере решения задачи о локальной устойчивости сферической оболочки
показана практическая эффективность предложенной модификации метода локальных
вариаций.
Ключевые слова: локальная устойчивость, сферическая оболочка, метод локальных
вариаций, проекционно-итерационная схема реализации.
Использование современных вычислительных средств для разработки и апробации эффе-
ктивных методов расчета и проведения численных экспериментов в значительной степени
экономит время и средства при создании конструкций новой техники. Поэтому разработка
эффективных численных методов решения задач механики деформируемого твердого тела
и усовершенствование уже существующих методов — весьма актуальная задача.
Многие задачи механики можно рассматривать в вариационной постановке и для их
исследования использовать аппарат и методы функционального анализа.
Одним из эффективных численных методов решения вариационных задач является ме-
тод локальных вариаций (МЛВ), исследованный в работах Ф.Л. Черноусько и др. [1, 2].
Этот метод является вариантом методов вариаций в фазовом пространстве, развитых в ра-
ботах Н. Н. Моисеева, в основу которых положено изменение фазовых компонент траекто-
рии [2].
МЛВ имеет ряд преимуществ по сравнению с другими численными методами. Он позво-
ляет легко учитывать ограничения на искомые функции, произвольность формы области
и другие усложнения. В механике деформируемого твердого тела МЛВ эфективен для су-
щественно неоднородных напряженных состояний. Этот метод позволяет рассмотреть раз-
личные виды нагружения тонкостенных систем и граничные условия, различную струк-
туру таких систем. Однако следует заметить, что при решении некоторых классов задач,
например, вариационных, которые сводятся к линейным краевым задачам, МЛВ требует
большего времени расчета для достижения заданной точности, чем конечно-разностные ме-
тоды и вариационные методы типа Ритца. Поиск путей устранения указанного недостатка
привел к идее разработки более эффективных схем его реализации на основе идеологии
проекционно-итерационных методов [3–6], позволяющих значительно сократить машинное
время счета. Эффективность проекционно-итерационных схем реализации методов коне-
чных разностей и конечных элементов для решения широкого круга задач теории упруго-
сти и пластичности показана в [7–10]. Разработка проекционно-итерационной модификации
еще одного численного метода решения вариационных задач — МЛВ, представляет несом-
ненный интерес. Отметим, что вопросам уменьшения машинного времени счета для МЛВ
уделялось внимание ранее [11].
© В. С. Гудрамович, Э. Л. Гарт, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 35
1. Рассмотрим задачу о нахождении в области G с границей Γ функции u(x, y) ∈ L2(G),
доставляющей минимум квадратичному функционалу
F =
∫∫
G
f(x, y, u, u′x, u
′
y) dxdy =
∫∫
G
{
S
(
∂u
∂x
)2
+Q
(
∂u
∂y
)2
+Ru2 + 2Tu
}
dxdy (1)
и удовлетворяющей граничному условию
u = g(x, y), (x, y) ∈ Γ. (2)
Здесь S, Q, R, T , g — заданные непрерывно-дифференцируемые функции независимых
переменных x, y.
Для решения поставленной задачи (1), (2) применим проекционно-итерационную моди-
фикацию МЛВ. Исходную задачу запишем в виде
F (u)→ inf, u ∈ Ω, (3)
где Ω — некоторое множество вещественного гильбертова пространства H; F (u) — огра-
ниченный снизу на Ω функционал ( inf
u∈Ω
F (u) = F ∗ > −∞). В частности, H = L2(Ω); Ω —
множество функций из L2(Ω), удовлетворяющих граничным условиям (2).
Изложим основную идею проекционно-итерационной модификации МЛВ. Исходный
функционал F (u), заданный на некотором множестве Ω гильбертова пространства H, ап-
проксимируется последовательностью более простых функционалов F̃n(ũn), заданных на
некоторых множествах Ω̃n пространств H̃n, изоморфных подпространствам Hn исходного
пространства H (u=nΦ
−1
n ũn, un ∈ Hn, ũn ∈ H̃n, Φn — оператор, осуществляющий взаимно
однозначное соответствие между элементами подпространств Hn и H̃n). Для минимизации
полученной последовательности функционалов F̃n(ũn) применяется МЛВ таким образом,
что, начиная с некоторого номера n = N (соответствующего грубому разбиению области G),
достаточно малого числа hn и некоторого начального приближения ũ
(k)
n,ij (k = 0, i = 0, N1,
j = 0, N2) последовательно в каком-либо порядке варьируются значения ũ
(k)
n,ij во всех вну-
тренних точках (xi, yj) области G путем прибавления или вычитания величины hn. Варьи-
рование продолжается не до полной сходимости (т. е. когда дальнейшее дробление шага hn
не приводит к уменьшению значения функционала), а до тех пор, пока функционал почти
не уменьшается, а решение ũ
(k)
n,ij (k = 0, 1, . . . , kn) меняется в небольшом количестве точек,
т. е. |F̃n(ũ
(k)
ij )−F̃n(ũ
(k+1)
ij )| < εn, |ũ(k)n,ij− ũ
(k+1)
n,ij )| < δn, за исключением (i, j) ∈ In, где In — фи-
ксированное множество индексов мощности≪ (N1−1)×(N2−1). Далее, найденное значение
ũ
(k)
n,ij интерполируется на более мелкое разбиение и используется в качестве начального при-
ближения для минимизации следующего F̃n+1(ũn+1) функционала. Процесс продолжается
до полной сходимости итераций при некотором малом шаге hn и выполнении условия
|F̃n(ũ
(kn)
n )− F̃n+1(ũ
(kn+1)
n+1 )| < ε, (4)
где ε — заданная точность вычислений.
2. Рассмотрим применение проекционно-итерационной модификации МЛВ к вариаци-
онной задаче (1), (2) с квадратичным функционалом. Так же, как в [1], разобьем пло-
скость Oxy на равные прямоугольные ячейки параллельными прямыми x = x0 + i∆xn,
36 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
y = y0 + j∆yn. Здесь ∆xn > 0, ∆yn > 0 — достаточно малые числа, i, j = 0,±1,±2, . . .;
n — некоторое натуральное число, соответствующее номеру шага процесса разбиения об-
ласти G. Выберем величины x0, y0 и натуральные числа N
(n)
1 , N (n)
2 так, чтобы при заданных
значениях ∆xn, ∆yn область G + Γ содержалась в прямоугольнике G:
G =
(x, y) ∈ R2 :
x0 6 x 6 x
N
(n)
1
= x0 +N
(n)
1 ∆xn;
y0 6 y 6 y
N
(n)
2
= y0 +N
(n)
2 ∆yn
.
Обозначим через Pij точки пересечения прямых (вершины ячеек) с координатами xi = x0+
+ i∆xn, yj = y0 + j∆yn (i = 0, N
(n)
1 ; j = 0, N
(n)
2 ). Точку Pij будем считать внутренней, если
она вместе с четырьмя ячейками, вершиной которых она является, лежит в замкнутой об-
ласти G + Γ. Остальные точки Pij , лежащие в области G + Γ, будем считать граничными,
а точки вне области G + Γ — внешними. Положим un,ij = u(xi, yj). Условие (2) перене-
сем с контура Γ в граничные точки, полагая для них un,ij = g(ξi, ηj), где (ξi, ηj) — точка
контура Γ, в некотором смысле близкая к (xi, yj). В качестве (ξi, ηj) можно взять, напри-
мер, ближайшую к (xi, yj) точку контура Γ либо определить ее условием сноса по одной из
координатных осей: ξi = xi или ηj = yj.
Интеграл (2) приближенно заменим суммой интегралов по ячейкам, целиком принадле-
жащих области G + Γ:
F ≈ F̃n =
∑
ij
F̃n,ij , (5)
где F̃n,ij — приближенное значение интеграла по ячейке с вершинами Pij , Pi+1,j , Pi,j+1,
Pi+1,j+1; индексом n обозначено соответствие полученного выражения дискретизации об-
ласти G с шагами ∆x = ∆xn, ∆y = ∆yn.
Будем искать значения uij для всех внутренних точек Pij области G, которые достав-
ляют минимум выражению (5). Таким образом, от исходной задачи (1), (2) осуществим
переход к последовательности задач минимизации функции многих переменных
F̃n(ũn)→ inf, ũn ∈ Ω̃n ⊂ H̃n, (6)
где Ω̃n = ΦnΩn, Φn — линейный оператор взаимно однозначного соответствия пространств
Hn и H̃n (Φnun = ũn, Φ−1
n ũn = un); H̃n — подпространство, изоморфное Hn. Предположим,
что последовательность подпространств Hn предельно плотна в H, т. е.
∀u ∈ H ∃{un} ∈ Hn : ‖u− un‖ → 0 при n→∞.
Начиная с некоторого достаточно грубого разбиения, соответствующего некоторому но-
меру n = N , будем искать значения uij , минимизирующие сумму (1) с помощью метода по-
следовательных приближений. В качестве нулевого приближения u
(0)
ij , i = 0, N 1, j = 0, N 2
возьмем любой набор чисел, удовлетворяющий ограничениям (2). Удачный выбор нуле-
вого приближения может значительно ускорить сходимость метода, поэтому здесь следу-
ет учесть имеющуюся априорную информацию о предполагаемом решении (качественные,
физические и другие соображения).
3. Сформулируем теорему о сходимости предложенной модификации.
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 37
Теорема 1. Пусть на множестве Ω вещественного гильбертова пространства H
задан ограниченный снизу функционал F (u) вида (1). Предположим, что последователь-
ность подпространств Hn предельно плотна в H. Последовательность приближений
{Φ−1
n ũ(kn)n } к точке минимума функционала (1) строится по правилу:
ũ(k+1)
n = {ũ(k+1)
n,11 , ũ
(k+1)
n,12 , ũ
(k+1)
n,1l , ũ
(k+1)
n,21 , . . . , ũ
(k+1)
n,ml }, (7)
где ũ
(k+1)
n,ij (i = 1,m, j = 1, l; k = 0, 1, . . . , kn − 1) определяются из условия (4); kn —
количество итераций для приближения к точке минимума функционала F̃n(ũn); ũ
(0)
n+1 —
новое начальное приближение к точке минимума функционала F̃n+1(ũn+1), получаемое
путем интерполяции:
ũ
(0)
n+1 = Φn+1Φ
−1
n ũ(kn)n (8)
(k = 0, 1, . . . , kn − 1; n = 1, 2, . . .; ũ
(0)
1 ∈ Ω̃1).
Тогда проекционно-итерационная последовательность {Φ−1
n ũ(kn)n }, построенная по фор-
мулам (7), (8), сходится к экстремали u∗ функционала F (u) на Ω.
Заметим, что в отличие от МЛВ, предложенного в [1], проекционно-итерационная мо-
дификация этого метода позволяет значительно экономить машинное время, поскольку не
требует на каждом этапе варьирования достижения полной сходимости по h при фиксиро-
ванных ∆x, ∆y. Кроме того, на практике заранее не известны конечные значения ∆x, ∆y,
h и представляется более целесообразным использование критерия останова (4), позволяю-
щего также сократить время счета, обеспечив заданную точность решения.
Следует также заметить, что в отличие от модификации МЛВ, изложенной в [11] и ис-
пользующей схемы МЛВ с переменным шагом варьирования [2], проекционно-итерационная
модификация МЛВ более проста для реализации и требует меньших затрат машинного
времени на ПК, что не влияет на качество получаемого решения [12].
4. Применим предложенную модификацию МЛВ к задачам локальной устойчивости
сферической оболочки при существенно неоднородном напряженном состоянии, вызван-
ном локальным краевым нагружением. Эти задачи важны для оболочечных конструкций
аэрокосмической, антенной техники и др. [13, 14]. Действие локальных нагрузок передае-
тся через штампы, поведение которых описывается разными моделями, и воспринимается
кольцом, подкрепляющим край оболочки.
Такая схема передачи нагрузок моделирует поперечное нагружение сферических диа-
фрагм протяженных оболочечных конструкций, зеркальных антенн, концентраторов лучи-
стой энергии.
На рис. 1 показаны некоторые варианты нагружения и формы волнообразования. Кон-
тактное давление является переменным вдоль площадок контакта с различной степенью
его локализации — в зависимости от жесткостных параметров штампов и конструкции.
Это определяет форму волнообразования. На рис. 1, а, б для малой площадки контакта —
одна вмятина, на рис. 1, а, в для протяженной площадки — две вмятины (в этом случае
происходит концентрация контактного давления в краевых зонах штампов). Для жестких
штампов может произойти нарушение контакта с образованием дискретных площадок кон-
такта различной протяженности. Рис. 1, б, в показывают испытанные оболочки из сплава
АМГ6 М, изготовленные методом взрывной штамповки (с контролем отклонения поверх-
ности оболочек от сферической). На рис. 1, г показано устройство, позволяющее проводить
38 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
Рис. 1
испытания сферической оболочки разными системами штампов по различным схемам ло-
кального нагружения (в том числе по схеме, показанной на рис. 1, а).
Отметим, что при теоретическом рассмотрении контактной задачи приходится решать
своеобразную “двойную” контактную задачу взаимодействия: оболочки и кольца с опреде-
лением усилий их взаимодействия и кольца, нагруженного этими усилиями, со штампом.
Методы решения таких задач разработаны в [13, 14].
Для описания поведения сферических оболочек использовались соотношения нелиней-
ной теории пологих оболочек [15]. Система уравнений, определяющих критическое состоя-
ние таких оболочек, эквивалентна вариационному уравнению
δЭ = δ
∫
S
{
T1
(
∂w
∂θ
)2
+ 2B−1T12
∂w
∂α
∂w
∂θ
+B−2T2
(
∂w
∂α
)2
+K[ε21 + ε22 + 2νε1ε2 +
+ 2(1− ν)ε212] +D[χ2
1 + χ2
2 + 2νχ1χ2 + 2(1− ν)χ2
12]
}
Bdαdθ = 0, (9)
где Э — потенциальная энергия деформации оболочки; B = R sin θ, K = EH/(1− ν2), D =
= EH3/12(1−ν2); R, H — радиус и толщина; S — поверхность оболочки; ν — коэффициент
Пуассона; E — модуль упругости; Tij — усилия; εij — деформации; χij — кривизны; α, θ —
координаты.
На основе предложенного вычислительного алгоритма проекционно-итерационной мо-
дификации МЛВ разработана программа расчета для ПК. Рассмотрена задача о нагруже-
нии сферической оболочки двумя одинаковыми штампами. При расчетах определялся кри-
тический параметр λ∗ = P∗/EH2 в зависимости от параметров i и ϑS (P∗ — критическая
сила потери устойчивости; i = EIE−1
k (R sinϑS)
−4 · 107; Ek — модуль упругости опорного
кольца; ϑS — сферическая координата края оболочки; I — момент инерции кольца).
На рис. 2, а показана расчетная зависимость λ1∗ от i при заданном ϑS (ϑS = 50), на
рис. 2, б — зависимость λ2∗ от ϑS при заданном i (i = 5). Кружками показаны осредненные
значения полученных в эксперименте критических усилий. На рис. 2, а осреднены резуль-
таты для 25, на рис. 2, б — для 14 испытаний. Диапазоны параметров испытанных оболочек
R/H = 400 ÷ 800, ϑS = 40 ÷ 60◦, i = 2,5 ÷ 9. Оболочки нагружались самоуравновешенной
системой двух одинаковых штампов малой протяженности.
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 39
Рис. 2
В испытаниях применялась скоростная киносъемка, которая дает возможность просле-
дить процесс волнообразования. Экспериментальные данные качественно подтверждают
результаты расчета. Расхождение можно объяснить чувствительностью моделей оболочек
к несовершенствам при изготовлении, неоднородностью материала и погрешностями экспе-
римента при локальном нагружении.
Уточнение алгоритма расчета путем применения проекционно-итерационной модифика-
ции МВЛ привело при вычислении критических усилий к уменьшению расчетного времени
в 4–5 раз. Это было отмечено и в [12].
5. Проекционно-итерационная схема численной реализации МЛВ особенно эффектив-
на для задач, в которых целесообразно введение сетки с переменным шагом. В механике
деформируемого твердого тела — это задачи, в которых имеет место локальная концен-
трация напряжений. Важными для многих отраслей техники являются задачи устойчиво-
сти оболочек при локальном нагружении. Особенности таких задач показаны на примере
устойчивости сферических оболочек при локальном краевом нагружении штампами. Форма
волнообразования оболочки при этом имеет локальный характер и зависит от параметров
конструкции и штампов. Задача сводится к минимизации функционала, зависящего от уси-
лий докритического состояния и перемещений оболочки, который заменяется суммой по
шагам сетки, автоматически сгущающейся в зоне концентрации напряжений.
Проекционно-итерационные модификации метода локальных вариаций позволяют зна-
чительно (для рассмотренных задач в 4–5 раз) уменьшить время компьютерных расчетов.
Полученные численные значения критических усилий и конфигурация форм волнообразо-
вания подтверждаются результатами экспериментов.
Цитированная литература
1. Черноусько Ф.Л. Метод локальных вариаций для численного решения вариационных задач // Журн.
вычислит. матем. и матем. физ. – 1965. – 5, № 4. – С. 749–754.
2. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. – Москва: Наука,
1973. – 238 с.
3. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных
уравнений. – Москва: Наука, 1969. – 455 с.
4. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – Москва: Наука, 1978. –
592 с.
5. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – Москва: Наука, 1981. –
416 с.
40 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
6. Kluge R. Ein Projektions-iterationsverfahren bei Fixpunktproblemen und Gleichungen mit monothonen
Operatoren // Monatsber. Detsch. Akad. Wiss. Berlin, 1969. – 11, No 8–9. – S. 599–609.
7. Гарт Э.Л., Борисовская И.В. Исследование вычислительной эффективности проекционно-итераци-
онных вариантов методов конечных элементов и конечных разностей // Вестн. Днепропетр. ун-та.
Сер. Механика. – 2004. – 2, вып. 8. – С. 44–51.
8. Hart E. L. Projection-iterative version of the pointwise relaxation method // J. Math. Sci. – 2010. – 167,
No 1. – P. 76–88.
9. Hudramovich V. S., Hart E. L., Rjabokon’ S.A. Plastic deformation of nonhomogeneous plates // J. Math.
Eng. – 2013. – 78, No 1. – P. 181–197.
10. Hart E. L., Hudramovich V. S. Projection-iterative schemes for realization of the finite element method in
problems of deformation of plates with holes and inclusions // J. Math. Sci. – 2014. – 203, No 1. – P. 55–69.
11. Мухамедиев Ш.А., Никитин Л.В., Юнга С.Л. Применение модифицированного метода локальных
вариаций в задачах нелинейной механики разрушения // Изв. АН СССР. МТТ. – 1976. – № 1. –
С. 76–83.
12. Гарт Е., Гудрамович В. Проекцiйно-iтерацiйнi модифiкацiї методу локальних варiацiй та аспекти
їх застосування в задачах локальної стiйкостi оболонок // Соврем. пробл. механики и математики.
Материалы Междунар. науч. конф. – Львов: ИППММ НАН Украины, 2008. – Т. 3. – С. 18–20.
13. Моссаковский В.И., Гудрамович В.С., Макеев Е.М. Контактные задачи теории оболочек и стер-
жней. – Москва: Машиностроение, 1978. – 248 с.
14. Hudramovich V. S. Contact mechanics of shell structures under local loading // Int. Appl. Mech. 2009. –
45, No 7. – P. 708–729.
15. Муштари Х.М., Галимов К. З. Нелинейная теория упругих оболочек. – Казань: Таткнигоиздат,
1957. – 432 с.
References
1. Chernous’ko F. L. J. vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy physiki, 1965, 5, No 4: 749–754 (in
Russian).
2. Chernous’ko F. L., Banichuk N.V. Variational Problems of Mechanics and Control, Moscow: Nauka, 1973
(in Russian).
3. Krasnosel’skii M.A., Vainikko G.M., Zabreiko P. P. et al. Approximate Solution of the Operator Equations,
Moscow: Nauka, 1969 (in Russian).
4. Samarskii A. A., Nikolaev ES. Methods for Solving Finite-Difference Equations, Moscow: Nauka, 1978 (in
Russian).
5. Marchuk G. I., Agoshkov V. I. Introduction to Projection-Grid Methods, Moscow: Nauka, 1981 (in Russian).
6. Kluge R. Monatsber. Detsch. Akad. Wiss. Berlin, 1969, 11, No 8–9: 599–609.
7. Hart E. L., Borisovskaja I.V. Vestnik Dnepropetrovskogo universiteta, Ser. Mechanika, 2004, Is. 8, 2: 44–51
(in Russian).
8. Hart E. L. J. Math. Sci., 2010, 167, No 1: 76–88.
9. Hudramovich V. S., Hart E. L., Rjabokon’ S. A. J. Math. Eng, 2013, 78, No 1: 181–197.
10. Hart E. L., Hudramovich V. S. J. Math. Sci, 2014, 203, No 1: 55–69.
11. Mukhamediev Sh. A., Nikitin L.V., Junga S. L. Izvestiya AN SSSR. MTT, 1976, No 1: 76–83 (in Russian).
12. Hart E. L., Hudramovich V. S. Modern problems of mechanics and mathematics. Materialy mezhdunarod-
noy nauch. konf. Lvov: IPPMM NANU, 2008, 3: 18–20 (in Ukrainian).
13. Mossakowskii V. I., Hudramovich V. S., Makeev E.M. Contact Problems in the Theory of Shells and Rods,
Moscow: Mashinostrojenie, 1978 (in Russian).
14. Hudramovich V. S. Int. Appl. Mech. 2009, 45, No 7: 708–729.
15. Mushtari Ch.M., Galimov K. Z. Nonlinear Theory of Elastic Shells, Kazan’: Tatknigoizdat, 1957 (in Rus-
sian).
Поступило в редакцию 24.03.2015Институт технической механики НАН Украины
и ГКА Украины, Днепропетровск
Днепропетровский национальный университет
им. Олеся Гончара
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 41
Член-кореспондент НАН України В.С. Гудрамович, Е.Л. Гарт
Проекцiйно-iтерацiйна модифiкацiя методу локальних варiацiй
для задач локальної стiйкостi сферичних оболонок
Iнститут технiчної механiки НАН України i ГКА України, Днiпропетровськ
Днiпропетровський нацiональний унiверситет iм. Олеся Гончара
Запропоновано та теоретично обгрунтовано проекцiйно-iтерацiйну схему реалiзацiї метода
локальних варiацiй для розв’язання варiацiйних задач з квадратичним функцiоналом. На
прикладi розв’язання задачi про локальну стiйкiсть сферичної оболонки показана практична
ефективнiсть запропонованої модифiкацiї методу локальних варiацiй.
Ключовi слова: локальна стiйкiсть, сферична оболонка, метод локальних варiацiй, прое-
кцiйно-iтерацiйна схема реалiзацiї.
Corresponding Member of the NAS of Ukraine V. S. Hudramovich, E. L. Hart
Projection-iterative version of the method of local variations for the
problems of local stability of spherical shells
Institute of Technical Mechanics of the NAS of Ukraine, Dnipropetrovsk
Oles Honchar Dnipropetrovsk National University
A projection-iterative scheme of a realization of the method of local variations for solving the vari-
ational problems with quadratic functional is proposed and theoretically grounded. By the example
of solving the problem of local stability of a spherical shell, the practical efficiency of the proposed
modification of the method of local variations is demonstrated.
Keywords: local stability, spherical shell, method of local variations, projection-iterative scheme
of implementation.
42 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-97281 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:38:19Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гудрамович, В.С. Гарт, Э.Л. 2016-03-26T17:24:45Z 2016-03-26T17:24:45Z 2015 Проекционно-итерационная модификация метода локальных вариаций для задач локальной устойчивости сферических оболочек / В.С. Гудрамович, Э.Л. Гарт // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 35-42. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97281 539.3 Предложена и теоретически обоснована проекционно-итерационная схема реализации метода локальных вариаций для решения вариационных задач с квадратичным функционалом. На примере решения задачи о локальной устойчивости сферической оболочки показана практическая эффективность предложенной модификации метода локальных вариаций. Запропоновано та теоретично обгрунтовано проекцiйно-iтерацiйну схему реалiзацiї метода локальних варiацiй для розв’язання варiацiйних задач з квадратичним функцiоналом. На прикладi розв’язання задачi про локальну стiйкiсть сферичної оболонки показана практична ефективнiсть запропонованої модифiкацiї методу локальних варiацiй. A projection-iterative scheme of a realization of the method of local variations for solving the variational problems with quadratic functional is proposed and theoretically grounded. By the example of solving the problem of local stability of a spherical shell, the practical efficiency of the proposed modification of the method of local variations is demonstrated. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Проекционно-итерационная модификация метода локальных вариаций для задач локальной устойчивости сферических оболочек Проекцiйно-iтерацiйна модифiкацiя методу локальних варiацiй для задач локальної стiйкостi сферичних оболонок Projection-iterative version of the method of local variations for the problems of local stability of spherical shells Article published earlier |
| spellingShingle | Проекционно-итерационная модификация метода локальных вариаций для задач локальной устойчивости сферических оболочек Гудрамович, В.С. Гарт, Э.Л. Механіка |
| title | Проекционно-итерационная модификация метода локальных вариаций для задач локальной устойчивости сферических оболочек |
| title_alt | Проекцiйно-iтерацiйна модифiкацiя методу локальних варiацiй для задач локальної стiйкостi сферичних оболонок Projection-iterative version of the method of local variations for the problems of local stability of spherical shells |
| title_full | Проекционно-итерационная модификация метода локальных вариаций для задач локальной устойчивости сферических оболочек |
| title_fullStr | Проекционно-итерационная модификация метода локальных вариаций для задач локальной устойчивости сферических оболочек |
| title_full_unstemmed | Проекционно-итерационная модификация метода локальных вариаций для задач локальной устойчивости сферических оболочек |
| title_short | Проекционно-итерационная модификация метода локальных вариаций для задач локальной устойчивости сферических оболочек |
| title_sort | проекционно-итерационная модификация метода локальных вариаций для задач локальной устойчивости сферических оболочек |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97281 |
| work_keys_str_mv | AT gudramovičvs proekcionnoiteracionnaâmodifikaciâmetodalokalʹnyhvariaciidlâzadačlokalʹnoiustoičivostisferičeskihoboloček AT gartél proekcionnoiteracionnaâmodifikaciâmetodalokalʹnyhvariaciidlâzadačlokalʹnoiustoičivostisferičeskihoboloček AT gudramovičvs proekciinoiteraciinamodifikaciâmetodulokalʹnihvariaciidlâzadačlokalʹnoístiikostisferičnihobolonok AT gartél proekciinoiteraciinamodifikaciâmetodulokalʹnihvariaciidlâzadačlokalʹnoístiikostisferičnihobolonok AT gudramovičvs projectioniterativeversionofthemethodoflocalvariationsfortheproblemsoflocalstabilityofsphericalshells AT gartél projectioniterativeversionofthemethodoflocalvariationsfortheproblemsoflocalstabilityofsphericalshells |