О распространении осесимметричных электроупругих волн в полом слоистом цилиндре при электрическом способе возбуждения
Проведен кинематический анализ распространения осесимметричных электроупругих волн в неоднородном по толщине полом цилиндре, состоящем из металлических и пьезокерамических слоев, поляризованных в радиальном направлении при электрическом способе возбуждения волн. Боковые поверхности цилиндра свобод...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97284 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О распространении осесимметричных электроупругих волн в полом слоистом цилиндре при электрическом способе возбуждения / И.А. Лоза // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 51-57. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859672502141190144 |
|---|---|
| author | Лоза, И.А. |
| author_facet | Лоза, И.А. |
| citation_txt | О распространении осесимметричных электроупругих волн в полом слоистом цилиндре при электрическом способе возбуждения / И.А. Лоза // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 51-57. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Проведен кинематический анализ распространения осесимметричных электроупругих
волн в неоднородном по толщине полом цилиндре, состоящем из металлических и пьезокерамических слоев, поляризованных в радиальном направлении при электрическом
способе возбуждения волн. Боковые поверхности цилиндра свободны от внешних воздействий и к ним приложена гармонически изменяющаяся разность электрического потенциала ±V₀e^i(kz−!t). Для решения задачи предложен эффективный численно-аналитический метод. После применения метода разделения переменных и представления решения в виде бегущих волн по длине цилиндра начальная задача теории электроупругости в частных производных сводится к краевой задаче в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Полученная система решается устойчивым методом дискретной ортогонализации. Приведены результаты численных исследований для слоистого цилиндра, состоящего из слоев пьезокерамики PZT и стали.
Проведено кiнематичний аналiз поширення вiсесиметричних електропружних хвиль в неоднорiдному по товщинi порожнистому цилiндрi, складеному з металевих та п’єзокерамiчних шарiв, поляризованих у радiальному напрямi при електричному способi збудження
хвиль. Бiчнi поверхнi цилiндра вiльнi вiд механiчних навантажень, i до них прикладено
гармонiчно змiнну рiзницю електричного потенцiалу. Для розв’язання даної задачi запропоновано ефективний чисельно-аналiтичний метод. Пiсля роздiлення змiнних i зображення
розв’язку у виглядiхвиль, бiжучих вздовж цилiндра, початкова задача теорiї електропружностi у частинних похiдних зводиться до неоднорiдної крайової задачi у звичайних диференцiальних рiвняннях. Отримана система розв’язується стiйким методом дискретної
ортогоналiзацiї. Наведено результати чисельного аналiзу для шаруватого цилiндра, складеного з шарiв п’єзокерамiки PZT 4 та сталi.
The problem of kinematic analysis of the propagation of axisymmetric elastoelectric waves in a
hollow layered cylinder from metal and piezoceramic layers polarized in the radial direction is considered. The surfaces of the cylinder are free from tractions and undergo the action of a harmonically
electrostatic potential. The numerical-analytical method is offered for solving this problem. After
the separation of variables and the representation of a solution in the form of waves running along
the cylinder, the initial problem of the theory of electroelasticity in partial derivatives is reduced
to a non-homogeneous boundary the value problem for the system of ordinary differential equations for the radial coordinate. The problem obtained is solved by the stable numerical method of discrete orthogonalization. The numerical results are presented for a layered cylinder from metal
and piezoceramic PZT layers.
|
| first_indexed | 2025-11-30T14:06:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
И.А. Лоза
О распространении осесимметричных электроупругих
волн в полом слоистом цилиндре при электрическом
способе возбуждения
(Представлено академиком НАН Украины Я.М. Григоренко)
Проведен кинематический анализ распространения осесимметричных электроупругих
волн в неоднородном по толщине полом цилиндре, состоящем из металлических и пье-
зокерамических слоев, поляризованных в радиальном направлении при электрическом
способе возбуждения волн. Боковые поверхности цилиндра свободны от внешних во-
здействий и к ним приложена гармонически изменяющаяся разность электрического
потенциала ±V0e
i(kz−ωt). Для решения задачи предложен эффективный численно-ана-
литический метод. После применения метода разделения переменных и представления
решения в виде бегущих волн по длине цилиндра начальная задача теории электроупру-
гости в частных производных сводится к краевой задаче в обыкновенных дифференци-
альных уравнениях. Полученная система решается устойчивым методом дискретной
ортогонализации. Приведены результаты численных исследований для слоистого ци-
линдра, состоящего из слоев пьезокерамики PZT и стали.
Ключевые слова: кинематический анализ акустоэлектрических волн, слоистые пьезоке-
рамические цилиндры, дискретная ортогонализация.
В данной работе рассматривается осесимметричная задача о распространении вынужден-
ных акустоэлектрических волн в слоистом полом цилиндре с пьезокерамическими и ме-
таллическими слоями. Исследованию задачи о распространении упругих волн в круговых
цилиндрах посвящено значительное количество работ. Содержание проведенных исследо-
ваний достаточно полно отражено в [1–4]. Связанные поля значительно усложняют про-
ведение исследований. Так, для пьезокерамического цилиндра только в случае осевой по-
ляризации пьезокерамики для продольных осесимметричных волн и в случае окружной
поляризации для крутильных волн возможно представление решения через специальные
функции. Учет неоднородности материала цилиндра еще более усложняет задачу, в то вре-
мя как в большинстве устройств используются именно неоднородные пьезоэлектрические
материалы (биморфы). Наличие поверхности раздела двух сред приводит к необходимо-
сти удовлетворять условиям сопряжения разрешающих функций на границе раздела сред.
Исследования, посвященные этой проблематике, можно найти в работах [5, 6].
В отличие от чисто упругой задачи, существует возможность электрического способа
возбуждения распространяющихся волн. В данной работе для решения задачи о распро-
странении вынужденных акустоэлектрических волн в слоистом полом цилиндре с металли-
ческими и пьезокерамическими слоями предложен эффективный численно-аналитический
подход. На основании предложенного подхода проведен кинематический анализ распро-
страняющихся вдоль оси цилиндра акустоэлектрических волн. Исследовано также влияние
фактора неоднородности на кинематические характеристики распространяющихся волн.
© И.А. Лоза, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 51
Постановка задачи. Основные уравнения. Осесимметричные продольные уравне-
ния движения i-го слоя в цилиндрической системе координат (r, θ, z) имеют вид
∂σi
rr
∂r
+
σi
rr − σi
θθ
r
+
∂σi
rz
∂z
= ρi
∂2uir
∂t2
;
∂σi
rz
∂r
+
σi
rz
r
+
∂σi
zz
∂z
= ρi
∂2uiz
∂t2
;
(1)
уравнения электростатики для i-го слоя
∂Di
r
∂r
+
Di
r
r
+
∂Di
z
∂z
= 0;
Ei
r = −
∂φi
∂r
; Ei
z = −
∂φi
∂z
;
(2)
геометрические соотношения для i-го слоя
εirr =
∂uir
∂r
; εiθθ =
uir
r
; εizz =
∂uiz
∂z
; εirz =
1
2
(
∂uir
∂z
+
∂uiz
∂r
)
. (3)
Здесь σi
ij — компоненты тензора напряжений; ρi — плотность материала; ω — круговая
частота; uii — компоненты вектора перемещений; Di
i — компоненты вектора электрической
индукции; Ei
i — компоненты вектора напряженности электрического поля; φi — электро-
статический потенциал; εiij — компоненты тензора деформаций.
Физические соотношения для i-го пьезокерамического слоя, поляризованного в ради-
альном направлении, имеют вид:
σi
rr = ci33ε
i
rr + ci13ε
i
θθ + ci13ε
i
zz − ei33E
i
r;
σi
θθ = ci13ε
i
rr + ci11εθθ + ci12εzz − ei31E
i
r;
σi
zz = ci13ε
i
rr + ci12εθθ + ci11ε
i
zz − ei31E
i
r;
σi
rz = 2ci55ε
i
rz − ei51Ez;
Di
r = ei33ε
i
rr + ei31ε
i
θθ + ei31ε
i
zz + εi33E
i
r;
Di
z = 2ei51ε
i
rz + εi33E
i
z,
(4)
где ciij — компоненты тензора модулей упругости; eiij — компоненты тензора пьезомодулей;
εiij — компоненты тензора диэлектрической проницаемости материала.
Физические соотношения для i-го металлического слоя имеют вид:
σi
rr =
(1− νi)Ei
(1 + νi)(1− 2νi)
εirr +
νiEi
(1 + νi)(1− 2νi)
εiθθ +
νiEi
(1 + νi)(1− 2νi)
εizz;
σi
θθ =
νiEi
(1 + νi)(1− 2νi)
εirr +
(1− νi)Ei
(1 + νi)(1− 2νi)
εθθ +
νiEi
(1 + νi)(1− 2νi)
εzz;
σi
zz =
νiEi
(1 + νi)(1 − 2νi)
εirr +
νiEi
(1 + νi)(1 − 2νi)
εθθ +
(1− νi)Ei
(1 + νi)(1 − 2νi)
εizz;
σi
rz = 2
Ei
2(1 + νi)
εirz.
(5)
52 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
Здесь ν — коэффициент Пуассона; E — модуль Юнга. В дальнейшем индекс i будем опу-
скать.
Граничные условия на боковых поверхностях цилиндра (при r = R0 ± h) задаются сле-
дующие: боковые поверхности свободны от внешних воздействий σrr|r=R0+h = σrz|r=R0+h =
= 0 и к ним приложена гармонически изменяющаяся разность электрического потенциала
ϕ|r=R0+h = V0e
i(kz−ωt) (R0 — радиус серединной поверхности цилиндра; h — половина то-
лщины цилиндра).
Разрешающий вектор выбираем смешанного типа:
R = {σrr, σrz, ϕ, ur, uz,Dr}T . (6)
Разрешая систему (1)–(4) относительно разрешающего вектора, после ряда преобразо-
ваний получим:
∂σrr
∂r
=
1
r
(
∆2
∆
− 1
)
σrr −
∂σrz
∂z
−
(
∆3
r2∆
− ρ
∂2
∂t2
)
ur −
∆4
r∆
∂uz
∂z
− ∆1
r∆
Dr;
∂σrz
∂r
=
∆2
∆
∂σrr
∂z
− 1
r
σrz +
∆5
r∆
∂ur
∂z
−
(
∆6
∆
∂2
∂z2
− ρ
∂2
∂t2
)
uz −
∆1
∆
∂Dr
∂z
;
∂ϕ
∂r
=
e33
∆
σrr +
∆1
r∆
ur +
∆1
∆
∂uz
∂z
− c33
∆
Dr;
∂ur
∂r
=
ε33
∆
σrr −
∆2
r∆
ur −
∆2
∆
∂uz
∂z
+
e33
∆
Dr;
∂uz
∂r
=
1
c55
σrz −
∂ur
∂z
− e51
rc55
∂ϕ
∂z
;
∂Dr
∂r
= −e51
c55
∂σrz
∂z
+
∆7
c55
∂2ϕ
∂z2
− 1
r
Dr.
(7)
Здесь введены обозначения:
∆ = c33ε33 + e233; ∆1 = c33e13 − c13e33; ∆2 = c13ε33 + e13e33;
∆3 = (c13 − c33)∆2 + (e33 − e13)∆1 + (c13 − c11)∆;
∆4 = (c13 − c33)∆2 + (e33 − e13)∆1 + (c13 − c12)∆;
∆5 = c12∆+ e13∆1 − c13∆2; ∆6 = c11∆+ e13∆1 − c13∆2; ∆7 = c55ε11 + e215.
Решение задачи. Решение задачи будем искать в виде волн, бегущих в осевом на-
правлении:
σrr(r, z, t) = λσrr(r)e
i(kz−ωt); σrz(r, z, t) = iλσrz(r)e
i(kz−ωt);
ϕ(r, z, t) = h
√
λ
ε0
ϕ(r)ei(kz−ωt); ur(r, z, t) = hur(r)e
i(kz−ωt);
uz(r, z, t) = huz(r)e
i(kz−ωt); Dr(r, z, t) =
√
ε0λDr(r)e
i(kz−ωt).
(8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 53
Рис. 1 Рис. 2
Используя представление (8), исходную двухмерную задачу теории электроупругости
в частных производных (7) можно свести к краевой задаче в обыкновенных дифференци-
альных уравнениях
dR
dx
= A(x,Ω)R (9)
с граничными условиями
B1R(−1) = C1, B2R(1) = C2. (10)
где вектор C
T
1 = {0, 0,−1, 0, 0}, вектор C
T
2 = {0, 0,−1, 0, 0}. Здесь введены безразмерные
величины:
Ω = ωh
√
ρ0
λ
; c̃ij =
cij
λ
; ẽij =
eij√
ε0λ
; ε̃ij =
εij
ε0
; x =
r −R0
h
,
ε0 — диэлектрическая проницаемость вакуума; λ = 1010 H/м2; ρ0 = 1 кг/м3.
Решение задачи (9), (10) выполнено устойчивым методом дискретной ортогонализации
в сочетании с методом пошагового поиска.
Результаты численного анализа. Ниже приведены результаты численного анализа
задачи (9), (10). Рассматривается трехслойный цилиндр, два внешних слоя которого являю-
тся стальными (ν = 0,28; E = 21), а средний слой — пьезокерамическим (из пьезокерамики
PZT 4), параметр кривизны принят ε = 0,25. Толщина внешних слоев равна h, толщина
среднего слоя — 2h.
На рис. 1 представлены фазовые скорости для первых пяти волн. На рисунке использу-
ются обозначения для волн, принятые в работе [10]. Маркировка SW (0) означает, что волна
рождается (k = 0) как симметричные продольные колебания (волны расширения–сжатия),
AU (0) — антисимметричные (изгибные) радиальные колебания.
54 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
Рис. 3 Рис. 4
Рис. 2 демонстрирует распределение амплитуд перемещений по толщине в первой вол-
не SW (0) для различных значений длин волн. Сплошной линией обозначены амплитуды
радиальных перемещений ur, штриховой — продольных uz. Жирными линиями выделе-
но распределение амплитуд перемещений в коротковолновой области. В случае длинных
волн распределение амплитуд перемещений происходит практически по линейному закону.
С уменьшением длины волны перемещения сосредотачиваются в более мягком пьезокера-
мическом слое. При дальнейшем уменьшении длинны волны распределение перемещений
начинает принимать характер волны типа Рэлея, бегущей вдоль внешней боковой поверх-
ности.
На рис. 3 показано распределение амплитуд перемещений по толщине во второй вол-
не AU(0). Также можно отметить, что для случая длинных волн распределение амплитуд
перемещений по толщине носит почти линейный характер. С уменьшением длины волны
перемещения локализуются во внутреннем, более мягком слое. С дальнейшим уменьше-
нием длины волны начинают выходить на движения, характерные для волн типа Рэлея,
распространяющихся так же вдоль внешней поверхности цилиндра.
Рис. 4 демонстрирует распределение амплитуд перемещений по толщине в третьей волне
AW(1). В этом случае, даже для случая длинных волн, распределение амплитуд перемеще-
ний по толщине не носит линейный характер. С уменьшением длины волны перемещения
сосредоточиваются в более мягком пьезокерамическом слое, в то время как стальные слои
является практически не деформированными.
Анализ результатов. Так же, как и в случае однородного материала цилиндра, пер-
вая ветвь в коротковолновом диапазоне выходит на поверхностную волну рэлеевского типа,
распространяющуюся вдоль внешней поверхности цилиндра. Вторая же ветвь выходит на
поверхностную волну рэлеевского типа, также распространяющуюся вдоль внешней по-
верхности цилиндра. Для последующих же более высоких ветвей наблюдается так же, как
и в случае однородного материала, увеличение числа полуволн в более мягком пьезоке-
рамическом слое. Более жесткие стальные слои с уменьшением длины волны становятся
практически не деформируемыми.
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 55
Цитированная литература
1. Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. Р. Терстона. – Москва: Мир, 1966. – Т. 1–7. – 663 с.
2. Thurston R.N. Elastic waves in rods and clad rods // J. Acoust. Soc. Am. – 1978. – 64, No 1. – P. 1–37.
3. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. – Киев: Наук.
думка, 1981. – 283 с.
4. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1955. – 192 с.
5. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость. – Киев: Наук. думка,
1989. – 280 с.
6. Шульга Н.А. Распространение гармонических волн в анизотропных пьезоэлектрических цилиндрах,
волноводы с усложненными свойствами // Усп. механики в 6-ти томах, 2007. – С. 681–702.
7. Birman V., Byrd L.W. Modeling and analysis of functionally graded materials and structures // ASME
Appl. Mech. Rev. – 2007. – 195. – P. 195–216.
8. Chih-Ping Wu, Tsu-Chieh Tsai. Exact solutions of functionally graded piezoelectric material sandwich
cylinders by a modified Pagano method // Appl. Math. Modelling. – 2012. – 36, Iss. 5. – P. 1910. – 1930.
9. Grigorenko A., Muller W.H., Wille R., Loza I. Nonaxisymmetric vibrations of radially polarized hollow
cylinders made of functionally gradient piezoelectric materials // Continuum Mech. Thermodyn. – 2012. –
24(4–6). – P. 515–524.
10. Григоренко А.Я., Лоза И.А. Осесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокерами-
ческими слоями, поляризованными в осевом направлении // Прикл. механика. – 2011. – 47, № 6. –
С. 118–124.
References
1. Physical acoustics, ed. by W. Mason, R. Thurston, Moscow: Mir, 1966, 1–7 (in Russian).
2. Thurston R.N. J. Acoust. Soc. Am, 1978, 64, No 1: 1-37.
3. Grinchenko V.T., Meleshko V.V. Harmonic oscillations and waves in solid bodies, Kiev: Nauk. Dumka.
1981.
4. Kolsky G. Waves of stress in solid bodies, M.: IL, 1955 (in Russian).
5. Mechanic of coupled fields in constructional elements. Vol. 5 Elasoelectricity, Kiev: Nauk. Dumka, 1989 (in
Russian).
6. Shulga N.A. Advances of Mechanics in 6 vol., 2007: 681–702 (in Russian).
7. Birman V., Byrd L.W. ASME Appl. Mech. Rev., 2007, 195: 195–216.
8. Chih-Ping Wu, Tsu-Chieh Tsai Appl. Math. Modelling, 2012, 36, Iss. 5: 1910–1930.
9. Grigorenko A., Müller W.H., Wille R., Loza I. Continuum Mech. Thermodyn., 2012, 24, 4–6: 515–524.
10. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Int. Applied Mech, 47, No 6: 118–124.
Поступило в редакцию 12.03.2015Национальный транспортный университет, Киев
I. А. Лоза
Про поширення вiсесиметричних електропружних хвиль
у порожнистому шаруватому цилiндрi при електричному способi
збудження
Нацiональний транспортний унiверситет, Київ
Проведено кiнематичний аналiз поширення вiсесиметричних електропружних хвиль в не-
однорiдному по товщинi порожнистому цилiндрi, складеному з металевих та п’єзокера-
мiчних шарiв, поляризованих у радiальному напрямi при електричному способi збудження
хвиль. Бiчнi поверхнi цилiндра вiльнi вiд механiчних навантажень, i до них прикладено
гармонiчно змiнну рiзницю електричного потенцiалу. Для розв’язання даної задачi запро-
поновано ефективний чисельно-аналiтичний метод. Пiсля роздiлення змiнних i зображення
розв’язку у виглядiхвиль, бiжучих вздовж цилiндра, початкова задача теорiї електропру-
56 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
жностi у частинних похiдних зводиться до неоднорiдної крайової задачi у звичайних ди-
ференцiальних рiвняннях. Отримана система розв’язується стiйким методом дискретної
ортогоналiзацiї. Наведено результати чисельного аналiзу для шаруватого цилiндра, скла-
деного з шарiв п’єзокерамiки PZT 4 та сталi.
Ключовi слова: кiнематичний аналiз акустоелектричних хвиль, шаруватi п’єзокерамiчнi
цилiндри, дискретна ортогоналiзацiя.
I. A. Loza
About the propagation of axisymmetric elastoelectric waves in a hollow
layered cyliner from metal and piezoceramic layers at electric modes of
excitation
National Transport University, Kiev
The problem of kinematic analysis of the propagation of axisymmetric elastoelectric waves in a
hollow layered cylinder from metal and piezoceramic layers polarized in the radial direction is consi-
dered. The surfaces of the cylinder are free from tractions and undergo the action of a harmonically
electrostatic potential. The numerical-analytical method is offered for solving this problem. After
the separation of variables and the representation of a solution in the form of waves running along
the cylinder, the initial problem of the theory of electroelasticity in partial derivatives is reduced
to a non-homogeneous boundary the value problem for the system of ordinary differential equati-
ons for the radial coordinate. The problem obtained is solved by the stable numerical method of
discrete orthogonalization. The numerical results are presented for a layered cylinder from metal
and piezoceramic PZT layers.
Keywords: kinematic analysis of elastoelectric waves, layered hollow cylinders, discrete orthogo-
nalization.
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 57
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-97284 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T14:06:13Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лоза, И.А. 2016-03-26T17:25:30Z 2016-03-26T17:25:30Z 2015 О распространении осесимметричных электроупругих волн в полом слоистом цилиндре при электрическом способе возбуждения / И.А. Лоза // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 51-57. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97284 539.3 Проведен кинематический анализ распространения осесимметричных электроупругих волн в неоднородном по толщине полом цилиндре, состоящем из металлических и пьезокерамических слоев, поляризованных в радиальном направлении при электрическом способе возбуждения волн. Боковые поверхности цилиндра свободны от внешних воздействий и к ним приложена гармонически изменяющаяся разность электрического потенциала ±V₀e^i(kz−!t). Для решения задачи предложен эффективный численно-аналитический метод. После применения метода разделения переменных и представления решения в виде бегущих волн по длине цилиндра начальная задача теории электроупругости в частных производных сводится к краевой задаче в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Полученная система решается устойчивым методом дискретной ортогонализации. Приведены результаты численных исследований для слоистого цилиндра, состоящего из слоев пьезокерамики PZT и стали. Проведено кiнематичний аналiз поширення вiсесиметричних електропружних хвиль в неоднорiдному по товщинi порожнистому цилiндрi, складеному з металевих та п’єзокерамiчних шарiв, поляризованих у радiальному напрямi при електричному способi збудження хвиль. Бiчнi поверхнi цилiндра вiльнi вiд механiчних навантажень, i до них прикладено гармонiчно змiнну рiзницю електричного потенцiалу. Для розв’язання даної задачi запропоновано ефективний чисельно-аналiтичний метод. Пiсля роздiлення змiнних i зображення розв’язку у виглядiхвиль, бiжучих вздовж цилiндра, початкова задача теорiї електропружностi у частинних похiдних зводиться до неоднорiдної крайової задачi у звичайних диференцiальних рiвняннях. Отримана система розв’язується стiйким методом дискретної ортогоналiзацiї. Наведено результати чисельного аналiзу для шаруватого цилiндра, складеного з шарiв п’єзокерамiки PZT 4 та сталi. The problem of kinematic analysis of the propagation of axisymmetric elastoelectric waves in a hollow layered cylinder from metal and piezoceramic layers polarized in the radial direction is considered. The surfaces of the cylinder are free from tractions and undergo the action of a harmonically electrostatic potential. The numerical-analytical method is offered for solving this problem. After the separation of variables and the representation of a solution in the form of waves running along the cylinder, the initial problem of the theory of electroelasticity in partial derivatives is reduced to a non-homogeneous boundary the value problem for the system of ordinary differential equations for the radial coordinate. The problem obtained is solved by the stable numerical method of discrete orthogonalization. The numerical results are presented for a layered cylinder from metal and piezoceramic PZT layers. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О распространении осесимметричных электроупругих волн в полом слоистом цилиндре при электрическом способе возбуждения Про поширення вiсесиметричних електропружних хвиль у порожнистому шаруватому цилiндрi при електричному способi збудження About the propagation of axisymmetric elastoelectric waves in a hollow layered cyliner from metal and piezoceramic layers at electric modes of excitation Article published earlier |
| spellingShingle | О распространении осесимметричных электроупругих волн в полом слоистом цилиндре при электрическом способе возбуждения Лоза, И.А. Механіка |
| title | О распространении осесимметричных электроупругих волн в полом слоистом цилиндре при электрическом способе возбуждения |
| title_alt | Про поширення вiсесиметричних електропружних хвиль у порожнистому шаруватому цилiндрi при електричному способi збудження About the propagation of axisymmetric elastoelectric waves in a hollow layered cyliner from metal and piezoceramic layers at electric modes of excitation |
| title_full | О распространении осесимметричных электроупругих волн в полом слоистом цилиндре при электрическом способе возбуждения |
| title_fullStr | О распространении осесимметричных электроупругих волн в полом слоистом цилиндре при электрическом способе возбуждения |
| title_full_unstemmed | О распространении осесимметричных электроупругих волн в полом слоистом цилиндре при электрическом способе возбуждения |
| title_short | О распространении осесимметричных электроупругих волн в полом слоистом цилиндре при электрическом способе возбуждения |
| title_sort | о распространении осесимметричных электроупругих волн в полом слоистом цилиндре при электрическом способе возбуждения |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97284 |
| work_keys_str_mv | AT lozaia orasprostraneniiosesimmetričnyhélektrouprugihvolnvpolomsloistomcilindrepriélektričeskomsposobevozbuždeniâ AT lozaia propoširennâvisesimetričnihelektropružnihhvilʹuporožnistomušaruvatomucilindriprielektričnomusposobizbudžennâ AT lozaia aboutthepropagationofaxisymmetricelastoelectricwavesinahollowlayeredcylinerfrommetalandpiezoceramiclayersatelectricmodesofexcitation |