Об интенсивности напряжений в концах межфазных сдвиговых трещин в угловой точке границы раздела сред
Рассмотрена симметричная задача теории упругости о межфазных сдвиговых трещинах в угловой точке границы раздела сред. Для решения задачи применен метод Винера–Хопфа. Получена формула для коэффициента интенсивности напряжений. Розглянуто симетричну задачу теорiї пружностi про мiжфазнi зсувнi трiщини...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97285 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об интенсивности напряжений в концах межфазных сдвиговых трещин в угловой точке границы раздела сред / В.М. Назаренко, А.Л. Кипнис // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 58-63. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859615250800705536 |
|---|---|
| author | Назаренко, В.М. Кипнис, А.Л. |
| author_facet | Назаренко, В.М. Кипнис, А.Л. |
| citation_txt | Об интенсивности напряжений в концах межфазных сдвиговых трещин в угловой точке границы раздела сред / В.М. Назаренко, А.Л. Кипнис // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 58-63. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рассмотрена симметричная задача теории упругости о межфазных сдвиговых трещинах в угловой точке границы раздела сред. Для решения задачи применен метод Винера–Хопфа. Получена формула для коэффициента интенсивности напряжений.
Розглянуто симетричну задачу теорiї пружностi про мiжфазнi зсувнi трiщини в кутовiй
точцi межi подiлу середовищ. Для розв’язання задачi застосовано метод Вiнера–Хопфа.
Одержано формулу для коефiцiєнта iнтенсивностi напружень.
The symmetric problem of the theory of elasticity for interfacial shear cracks at a corner point
of the media-separating boundary is considered. To solve the problem, the Wiener–Hopf method is
used. The formula for the stress intensity factor is obtained.
|
| first_indexed | 2025-11-28T18:30:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.375
В.М. Назаренко, А. Л. Кипнис
Об интенсивности напряжений в концах межфазных
сдвиговых трещин в угловой точке границы раздела
сред
(Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем)
Рассмотрена симметричная задача теории упругости о межфазных сдвиговых трещи-
нах в угловой точке границы раздела сред. Для решения задачи применен метод Винера–
Хопфа. Получена формула для коэффициента интенсивности напряжений.
Ключевые слова: механика разрушения композитных материалов, негладкая граница
раздела, межфазная трещина, метод Винера–Хопфа.
Как свидетельствуют литературные источники, при рассмотрении задач механики разруше-
ния композитных материалов о межфазных трещинах в кусочно-однородных телах пред-
полагается, что граница раздела сред является гладкой [1, 2]. В то же время, в первую
очередь вблизи угловых точек негладкой границы раздела сред, представляющих собой
остроконечные концентраторы напряжений, следует ожидать зарождение исходящих из
них межфазных трещин.
Ниже дается решение симметричной задачи об определении коэффициента интенсив-
ности напряжений в каждом из концов межфазных сдвиговых трещин в угловой точке
границы раздела сред.
В условиях плоской деформации в рамках статической симметричной задачи рассмо-
трим кусочно-однородное тело с границей раздела сред в форме сторон угла, которое со-
ставлено из изотропных упругих частей с модулями E1, E2 (E1 > E2) и коэффициентами
Пуассона ν1, ν2. Из угловой точки границы раздела сред исходят межфазные сдвиговые
трещины, длина которых в значительной степени меньше размеров тела. Предполагается,
что трение между берегами трещин отсутствует.
С учетом малости трещин приходим к плоской статической симметричной задаче те-
ории упругости для кусочно-однородной изотропной плоскости с границей раздела сред
в форме сторон угла, содержащей разрезы конечной длины, исходящие из угловой точки
и расположенные на этой границе (рис. 1). На бесконечности реализуется асимптотика,
представляющая собой решение аналогичной задачи без разрезов (задача К), порождаемое
единственным на интервале ]− 1; 0[ корнем ее характеристического уравнения. Произволь-
Рис. 1
© В. М. Назаренко, А.Л. Кипнис, 2015
58 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
ная постоянная C, входящая в указанное решение, считается заданной. Она характеризует
интенсивность внешнего поля и должна определяться из решения внешней задачи.
Граничные условия рассматриваемой задачи (см. рис. 1) имеют следующий вид:
θ = π − α, τrθ = 0, uθ = 0; θ = −α, τrθ = 0, uθ = 0; (1)
θ = 0, 〈σθ〉 = 〈τrθ〉 = 0, 〈uθ〉 = 0;
θ = 0, r < l, τrθ = 0; θ = 0, r > l, 〈ur〉 = 0; (2)
θ = 0, r →∞, τrθ = Cgrλ + o
(
1
r
)
. (3)
Здесь −α 6 θ 6 π − α; 〈a〉 — скачок a; g(α, e0, ν1, ν2) (e0 = E1/E2) — известная функция;
λ — единственный на интервале ] − 1; 0[ корень уравнения
∆(−x− 1) = 0, ∆(z) = δ0(z) + δ1(z)e + δ2(z)e
2,
δ0(z) = (sin 2zα+ z sin 2α)[æ1 sin 2z(π − α) + z sin 2α],
δ1(z) = (1 + æ1)(1 + æ2) sin
2 zπ − (sin 2zα+ z sin 2α)[æ1 sin 2z(π − α) + z sin 2α]−
− [sin 2z(π − α)− z sin 2α](æ2 sin 2zα− z sin 2α),
δ2(z) = [sin 2z(π − α)− z sin 2α](æ2 sin 2zα− z sin 2α),
e =
1 + v2
1 + v1
e0, æ1,2 = 3− 4v1,2.
Решение сформулированной задачи теории упругости представляет собой сумму реше-
ний следующих двух задач. Первая отличается от нее тем, что вместо первого условия (2)
имеем
θ = 0, r < l, τrθ = −Cgrλ, (4)
а на бесконечности напряжения затухают как o(1/r) (в (3) отсутствует первое слагаемое).
Вторая задача — задача К. Поскольку решение второй задачи известно, достаточно по-
строить решение первой.
Среди методов решения задач механики разрушения, применяемых в настоящее вре-
мя [2–6], одним из эффективных является метод Винера–Хопфа. Для построения точного
решения первой задачи будем использовать метод Винера–Хопфа в сочетании с аппаратом
интегрального преобразования Меллина [7, 8].
Применяя преобразование Меллина к уравнениям равновесия, условию совместности де-
формаций, закону Гука, условиям (1) и учитывая втрое условие (2) и условие (4), приходим
к следующему функциональному уравнению Винера–Хопфа:
Φ+(p) +
τ
p+ λ+ 1
= A ctg pπG(p)Φ−(p),
A =
(1 + æ1)[1 + æ1 + (1 + æ2)e]
2[æ1 + (1 + æ1æ2)e+æ2e2]
, G(p) =
G1(p)
G2(p)
,
G1(p) = [æ1 + (1 + æ1æ2)e+æ2e
2][a0(p) + a1(p)e] sin pπ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 59
G2(p) = [1 + æ1 + (1 + æ2)e][b0(p) + b1(p)e+ b2(p)e
2] cos pπ,
a0(p) = (1 + æ1)[cos 2p(π − α)− cos 2α](sin 2pα+ p sin 2α),
a1(p) = (1 + æ2)(cos 2pα− cos 2α)[sin 2p(π − α)− p sin 2α], (5)
b0(p) = (sin 2pα+ p sin 2α)[æ1 sin 2p(π − α) + p sin 2α],
b1(p) = (1 + æ1)(1 + æ2) sin
2 pπ − (sin 2pα+ p sin 2α)[æ1 sin 2p(π − α) + p sin 2α] −
− [sin 2p(π − α) − p sin 2α](æ2 sin 2pα− p sin 2α),
b2(p) = [sin 2p(π − α)− p sin 2α](æ2 sin 2pα− p sin 2α), τ = −Cglλ,
Φ+(p) =
∞∫
1
τrθ(ρl, 0)ρ
pdρ, Φ−(p) =
E1
4(1− v21)
1∫
0
〈
∂ur
∂r
〉∣∣∣∣r=ρl
θ=0
ρpdρ.
Здесь −ε1 < Re p < ε2, ε1,2 — достаточно малые положительные числа.
Функция G(it) (−∞ < t < ∞) представляет собой действительную положительную
четную функцию t, стремящуюся к единице при t → ∞. Следовательно, индекс функции
G(p) по мнимой оси равен нулю. Поскольку, кроме того, функция G(p) на мнимой оси
удовлетворяет условию Гельдера, имеет место факторизация [9]
G(p) =
G+(p)
G−(p)
(Re p = 0), exp
[
1
2πi
i∞∫
−i∞
lnG(z)
z − p
dz
]
=
{
G+(p) (Re p < 0),
G−(p) (Re p > 0).
(6)
Функцию p ctg pπ можно факторизовать так [10]:
p ctg pπ = K+(p)K−(p), K±(p) =
Γ(1∓ p)
Γ(1/2 ∓ p)
(7)
(Γ(z) — гамма-функция).
С помощью факторизаций (6), (7) уравнение (5) перепишем в виде
Φ+(p)
K+(p)G+(p)
+
τ
(p+ λ+ 1)K+(p)G+(p)
=
AK−(p)Φ−(p)
pG−(p)
(Re p = 0). (8)
Справедливо представление
τ
(p+ λ+ 1)K+(p)G+(p)
=
τ
p+ λ+ 1
[
1
K+(p)G+(p)
− 1
K+(−λ− 1)G+(−λ− 1)
]
+
+
τ
(p+ λ+ 1)K+(−λ− 1)G+(−λ− 1)
(Re p = 0). (9)
Подставляя (9) в (8), получаем
Φ+(p)
K+(p)G+(p)
+
τ
p+ λ+ 1
[
1
K+(p)G+(p)
− 1
K+(−λ− 1)G+(−λ− 1)
]
=
=
AK−(p)Φ−(p)
pG−(p)
− τ
(p + λ+ 1)K+(−λ− 1)G+(−λ− 1)
(Re p = 0). (10)
60 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
Функция в левой части (10) аналитична в полуплоскости Re p < 0, а функция в правой
части (10) аналитична в полуплоскости Re p > 0. В силу принципа аналитического продол-
жения эти функции равны одной и той же функции, аналитической во всей плоскости p.
Вблизи конца трещины в силу общих положений о поведении напряжений в окрестно-
стях угловых точек упругих тел [11] реализуется асимптотика, представляющая собой реше-
ние однородной статической задачи теории упругости для кусочно-однородной изотропной
плоскости, содержащей на прямолинейной границе раздела сред полубесконечную линию
разрыва касательного смещения, порождаемое корнем −1/2 ее характеристического урав-
нения. В частности, имеют место асимптотики
θ = 0, r → l + 0, τrθ ∼
æ1 + e+ 1 + æ2e
2(1 + æ2e)
KII√
2π(r − l)
,
θ = 0, r → l − 0,
〈
∂ur
∂r
〉
∼ −4(1 − ν21)
E1
æ1 + e
1 + æ1
KII√
2π(l − r)
.
(11)
Здесь KII — коэффициент интенсивности напряжений в конце трещины, подлежащий опре-
делению.
Исходя из (11), по теореме абелева типа получаем
p→∞, Φ+(p) ∼ æ1 + e+ 1 + æ2e
2(1 + æ2e)
KII√
−2pl ; Φ−(p) ∼ −æ1 + e
1 + æ1
KII√
2pl
. (12)
Из (6), (7), (12) следует, что функции в левой и правой частях (10) стремятся к нулю
при p→∞ в полуплоскостях Re p < 0 и Re p > 0 соответственно. В силу теоремы Лиувилля
единая аналитическая функция тождественно равна нулю во всей плоскости p.
Таким образом, решение уравнения (5) имеет вид
Φ+(p) =
τK+(p)G+(p)
p+ λ+ 1
[
1
K+(−λ− 1)G+(−λ− 1)
− 1
K+(p)G+(p)
]
(Re p < 0),
Φ−(p) =
τpG−(p)
AK+(−λ− 1)G+(−λ− 1)(p + λ+ 1)K−(p)
(Re p > 0).
(13)
С помощью (13) находим асимптотику
p→∞, Φ−(p) ∼ τ
AK+(−λ− 1)G+(−λ− 1)
√
p
. (14)
Согласно (12), (14), получаем следующую формулу для коэффициента интенсивности
напряжений в конце межфазной сдвиговой трещины:
KII =
2
√
2(1 + æ2e)gΓ(λ + 3/2)
[1 + æ1 + (1 + æ2)e]Γ(λ+ 2)G+(−λ− 1)
Clλ+1/2.
Таким образом, в работе рассмотрена плоская статическая симметричная задача теории
упругости о равновесии кусочно-однородной изотропной плоскости с границей раздела сред
в форме сторон угла, в вершине которого зародились две межфазные трещины. С исполь-
зованием аппарата интегрального преобразования Меллина задача сведена к функциональ-
ному уравнению Винера–Хопфа. На основании точного аналитического решения функци-
онального уравнения получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 61
в конце трещин, зависящее от длины трещины, коэффициентов Пуассона и отношения мо-
дулей Юнга материалов.
Цитированная литература
1. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. – Киев: Наук. думка,
1988. – 620 с.
2. Guz A.N., Guz I.A., Men’shikov A.V., Men’shikov V.A. Three-Dimensional Problems in the Dynamic
Fracture Mechanics of Materials with Interface Cracks (Review) // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, No 1. –
P. 1–61.
3. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон В. З. Основы механики разрушения материалов. – Киев:
Наук. думка, 1988. – 488 с.
4. Guz A.N. Establishing the Foundations of the Mechanics of Fracture of Materials Compressed Along Cracks
(Review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, No 1. – P. 1–57.
5. Kaminsky A.A., Selivanov M.F., Chernoivan Yu.A. Initial Fracture of a Viscoelastic Isotropic Plate with
Two Collinear Cracks of Equal Length // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, No 3. – P. 310–320.
6. Богданов В.Л., Гузь А.Н., Назаренко В.М. Осесимметричная задача о разрушении тела с периодиче-
ской системой соосных трещин под действием направленных вдоль них усилий // Прикл. механика. –
2009. – 45, № 2. – С. 3–18.
7. Нобл Б. Применение метода Винера–Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных
производных. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. – 279 с.
8. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. – Ленинград: Наука, 1967. –
402 с.
9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – Москва: Наука, 1977. – 640 с.
10. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – Москва: На-
ука, 1973. – 736 с.
11. Партон В. З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. – Москва: Наука, 1981. –
688 с.
References
1. Savruk M.P. Stress intensity factors in the bodies with cracks, Kiev: Nauk. Dumka, 1988 (in Russian).
2. Guz A.N., Guz I. A., Men’shikov A.V., Men’shikov V.A. Int. Appl. Mech., 2013, 49, No 1: 1–61.
3. Panasyuk V.V., Andrejkiv A.E., Parton V. Z. Fracture mechanics basis, Kiev, 1988 (in Russian).
4. Guz A.N. Int. Appl. Mech, 2014, 50, No 1: 1–57.
5. Kaminsky A.A., Selivanov M.F., Chernoivan Yu.A. Int. Appl. Mech, 2014, 50, No 3: 310–320.
6. Bogdanov V.L., Guz A.N., Nazarenko V.M., Appl. Mech, 2009, 45, No 2: 3–18 (in Russian).
7. Nobl B. Using of the Wiener–Hopf method for solving the partial derivative equation, Moscow: Izdatelstvo
Inostr. lit., 1962 (in Russian).
8. Uflyand Ya. S. Integral transformations in the theory of elasticity problems, Leningrad: Nauka, 1967 (in
Russian).
9. Gahov F.D. Boundary-value problems, Moscow: Nauka, 1977 (in Russian).
10. Lavrent’ev M.A., Shabat B.V. Complex variable functions theory methods, Moscow: Nauka, 1973 (in
Russian).
11. Parton V. Z., Perlin P. I. Mathematical theory of elasticity methods, Moscow, 1981 (in Russian).
Поступило в редакцию 24.02.2015Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
62 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
В.М. Назаренко, О.Л. Кiпнiс
Про iнтенсивнiсть напружень в кiнцях мiжфазних зсувних трiщин
у кутовiй точцi межi подiлу середовищ
Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
Розглянуто симетричну задачу теорiї пружностi про мiжфазнi зсувнi трiщини в кутовiй
точцi межi подiлу середовищ. Для розв’язання задачi застосовано метод Вiнера–Хопфа.
Одержано формулу для коефiцiєнта iнтенсивностi напружень.
Ключовi слова: механiка руйнування композитних матерiалiв, негладка межа подiлу, мiж-
фазна трiщина, метод Вiнера–Хопфа.
V.M. Nazarenko, A. L. Kipnis
On the stress intensity near the tips of interfacial boundary shear cracks
at a corner point of the interface
S. P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
The symmetric problem of the theory of elasticity for interfacial shear cracks at a corner point
of the media-separating boundary is considered. To solve the problem, the Wiener–Hopf method is
used. The formula for the stress intensity factor is obtained.
Keywords: composites fracture mechanics, non-smooth interface, interface crack, Wiener–Hopf
method.
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 63
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-97285 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T18:30:50Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Назаренко, В.М. Кипнис, А.Л. 2016-03-26T17:25:43Z 2016-03-26T17:25:43Z 2015 Об интенсивности напряжений в концах межфазных сдвиговых трещин в угловой точке границы раздела сред / В.М. Назаренко, А.Л. Кипнис // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 58-63. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97285 539.375 Рассмотрена симметричная задача теории упругости о межфазных сдвиговых трещинах в угловой точке границы раздела сред. Для решения задачи применен метод Винера–Хопфа. Получена формула для коэффициента интенсивности напряжений. Розглянуто симетричну задачу теорiї пружностi про мiжфазнi зсувнi трiщини в кутовiй точцi межi подiлу середовищ. Для розв’язання задачi застосовано метод Вiнера–Хопфа. Одержано формулу для коефiцiєнта iнтенсивностi напружень. The symmetric problem of the theory of elasticity for interfacial shear cracks at a corner point of the media-separating boundary is considered. To solve the problem, the Wiener–Hopf method is used. The formula for the stress intensity factor is obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Об интенсивности напряжений в концах межфазных сдвиговых трещин в угловой точке границы раздела сред Про iнтенсивнiсть напружень в кiнцях мiжфазних зсувних трiщин у кутовiй точцi межi подiлу середовищ On the stress intensity near the tips of interfacial boundary shear cracks at a corner point of the interface Article published earlier |
| spellingShingle | Об интенсивности напряжений в концах межфазных сдвиговых трещин в угловой точке границы раздела сред Назаренко, В.М. Кипнис, А.Л. Механіка |
| title | Об интенсивности напряжений в концах межфазных сдвиговых трещин в угловой точке границы раздела сред |
| title_alt | Про iнтенсивнiсть напружень в кiнцях мiжфазних зсувних трiщин у кутовiй точцi межi подiлу середовищ On the stress intensity near the tips of interfacial boundary shear cracks at a corner point of the interface |
| title_full | Об интенсивности напряжений в концах межфазных сдвиговых трещин в угловой точке границы раздела сред |
| title_fullStr | Об интенсивности напряжений в концах межфазных сдвиговых трещин в угловой точке границы раздела сред |
| title_full_unstemmed | Об интенсивности напряжений в концах межфазных сдвиговых трещин в угловой точке границы раздела сред |
| title_short | Об интенсивности напряжений в концах межфазных сдвиговых трещин в угловой точке границы раздела сред |
| title_sort | об интенсивности напряжений в концах межфазных сдвиговых трещин в угловой точке границы раздела сред |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97285 |
| work_keys_str_mv | AT nazarenkovm obintensivnostinaprâženiivkoncahmežfaznyhsdvigovyhtreŝinvuglovoitočkegranicyrazdelasred AT kipnisal obintensivnostinaprâženiivkoncahmežfaznyhsdvigovyhtreŝinvuglovoitočkegranicyrazdelasred AT nazarenkovm prointensivnistʹnapruženʹvkincâhmižfaznihzsuvnihtriŝinukutoviitočcimežipodiluseredoviŝ AT kipnisal prointensivnistʹnapruženʹvkincâhmižfaznihzsuvnihtriŝinukutoviitočcimežipodiluseredoviŝ AT nazarenkovm onthestressintensitynearthetipsofinterfacialboundaryshearcracksatacornerpointoftheinterface AT kipnisal onthestressintensitynearthetipsofinterfacialboundaryshearcracksatacornerpointoftheinterface |