Двоїстість Шура–Вейля для унітарної групи II₁-фактора
Одержано аналог класичної двоїстостi Шура–Вейля для унiтарної групи довiльного II₁-фактора. Получен аналог классической двойственности Шура–Вейля для унитарной группы произвольного II₁-фактора. We obtain an analogue of the Schur–Weyl duality for the unitary group of an arbitrary II₁-factor....
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97588 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Двоїстість Шура–Вейля для унітарної групи II₁-фактора / М.І. Нессонов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 9. — С. 7-12. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860175829429911552 |
|---|---|
| author | Нессонов, М.І. |
| author_facet | Нессонов, М.І. |
| citation_txt | Двоїстість Шура–Вейля для унітарної групи II₁-фактора / М.І. Нессонов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 9. — С. 7-12. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Одержано аналог класичної двоїстостi Шура–Вейля для унiтарної групи довiльного II₁-фактора.
Получен аналог классической двойственности Шура–Вейля для унитарной группы произвольного II₁-фактора.
We obtain an analogue of the Schur–Weyl duality for the unitary group of an arbitrary II₁-factor.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:00:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
9 • 2015
МАТЕМАТИКА
УДК 517.986.4
М. I. Нессонов
Двоїстiсть Шура–Вейля для унiтарної групи
II1-фактора
(Представлено академiком НАН України Л.О. Пастуром)
Одержано аналог класичної двоїстостi Шура–Вейля для унiтарної групи довiльного
II1-фактора.
Ключовi слова: двоїстiсть Шура–Вейля, унiтарна група фактора, дiаграма Юнга.
1. Класична двоїстiсть Шура–Вейля та її нескiнченновимiрнi узагальнення. Не-
хай Mn — алгебра комплексних n×n-матриць, Un — група унiтарних елементiв з Mn i tr —
слiд на Mn, нормований на одиницю. Одночасно Mn є гiльбертовим простором зi скалярним
добутком, який для a, b ∈ Mn визначається формулою ⟨a, b⟩ = tr(b∗a). В Mn дiють унiтарнi
зображення L i R групи Un: L(u)x = ux, R(u)x = xu∗, де u ∈ Un, x ∈ Mn. Очевидно, що L(u)
та R(v) комутують при усiх u, v ∈ Un. Отже, оператори Π((u, v)) = L(u)·R(v) утворюють зо-
браження групи Un×Un. Позначимо через Π⊗p p-й тензорний степiнь зображення Π. Якщо
{ejk}nj,k=1 — система матричних одиниць з Mn, то елементи ej1k1 ⊗ ej2k2 ⊗ . . .⊗ ejpkp утворю-
ють ортонормований базис у M⊗p
n . Група Sp пiдстановок множини {1, 2, . . . , p} вкладається
в унiтарну групу алгебри M⊗p
n :
Sp ∋ s 7→ i(s) =
n∑
k1,k2,...,kp=1
ek1ks−1(1)
⊗ . . .⊗ ekpks−1(p)
∈ M⊗p
n .
Оператори лiвого та правого множення на i(s) утворюють в M⊗p
n унiтарне зображення P(2)
групи Sp ×Sp: P(2)((s, t))x = i(s) · x · i(t−1), x ∈ M⊗p
n , (s, t) ∈ Sp ×Sp.
Класична двоїстiсть Шура–Вейля [1] стверджує:
алгебра P(2)(Sp×Sp)
′′, що породжена операторами з P(2)(Sp×Sp), є комутантом мно-
жини операторiв Π(Un × Un);
якщо E — мiнiмальний проектор з P(2)(Sp×Sp)
′′, що належить до незвiдної компонен-
ти Iλµ зображення P(2), яка вiдповiдає p-розбиттям (дiаграмам Юнга) λ, µ, то оператори
© М. I. Нессонов, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9 7
E · Πλµ((u, v)) · E утворюють незвiднi та попарно нееквiвалентнi при рiзних парах (λ, µ)
зображення групи Un.
Один з варiантiв нескiнченновимiрної двоїстостi Шура–Вейля з’явився в [2] у зв’язку
з тензорними реалiзацiями допустимих зображень групи S∞ × S∞, де S∞ — група скiн-
ченних перестановок злiченної множини. За допомогою розкладень тензорних зображень
класичних груп на незвiднi компоненти в [3] було знайдено змiстовний клас зображень
групи S∞. Названi дослiдження належать до так званої дiнамiчної теорiї двоїстостi, коли
скiнченна група перестановок замiнюється на нескiнченну. Бiльш традицiйнi випадки, коли
група перестановок залишається скiнченною, а замiсть Un розглядається унiтарна група
гiльбертового простору чи природна iндуктивна границя класичних алгебр Лi, вивчалися
в [4, 5]. Тут параметризацiя незвiдних компонент тензорних зображень залишалася класи-
чною. У цiй роботi ми замiняємо Un на унiтарну группу II1-фактора при скiнченнiй групi
пiдстановок. Вiдповiдний аналог двоїстостi Шура–Вейля суттєво вiдрiзняється вiд класи-
чного.
2. Тензорнi зображення унiтарної групи II1-фактора. Тепер розглянемо довiльний
II1-фактор Неймана M з нормальним слiдом tr [6]. Позначимо через U(M) групу унiтарних
елементiв фактора M. Визначимо скалярний добуток на M за формулою ⟨a, b⟩ = tr(b∗a),
a, b ∈ M. Поповнення M за вiдповiдною нормою позначимо через L2(M, tr). Стандар-
тною реалiзацiєю фактора M є його зображення операторами лiвого множення в просторi
L2(M, tr): L(a)η = aη, де a ∈ M, η ∈ L2(M, tr). При цьому множина M′ обмежених
операторiв, комутуючих з M, складається з операторiв R(a), a ∈ M правого множення:
R(a)η = ηa∗. Далi ми ототожнюємо алгебру M з L(M) (M′ з R(M)).
В L2(M, tr)⊗p дiють унiтарнi зображення L⊗p(u) та R⊗p(u) групи U(M):
L⊗p(u)(x1 ⊗ x2 ⊗ . . .⊗ xp) = ux1 ⊗ ux2 ⊗ . . .⊗ uxp,
R⊗p(u)(x1 ⊗ x2 ⊗ . . .⊗ xp) = x1u
∗ ⊗ x2u
∗ ⊗ . . .⊗ xpu
∗,
де x1, x2, . . . , xp ∈ L2(M, tr).
Також в L2(M, tr)⊗p природно визначається зображення Pp групи Sp:
Pp(s)(x1 ⊗ x2 ⊗ . . .⊗ xp) = xs−1(1) ⊗ xs−1(2) ⊗ . . .⊗ xs−1(p), s ∈ Sp. (1)
Оскiльки Pp(s) комутує з кожним оператором L⊗p(u) i R⊗p(u) для всiх s ∈ Sp та u ∈ U(M),
то природно з’являється зображення T групи U(M) × (Sp × Sq):
T (u, s, t) = (L⊗p(u)×R⊗q(u))(Pp(s)⊗ Pq(t)).
Pp(s) визначає автоморфiзми θs i θ′s факторiв M⊗p i (M′)⊗p:
θs(a) = Pp(s)aPp(s)−1, a ∈ M⊗p; θ′s(a
′) = Pp(s)a′Pp(s)−1, a′ ∈ (M′)⊗p. (2)
Нехай (M⊗p)Sp = {a ∈ M⊗p : θs(a) = a ∀s ∈ Sp} i ((M′)⊗p)Sp = {a′ ∈ (M′)⊗p : θ′s(a
′) =
= a′ ∀s ∈ Sp}.
Нагадаємо, що незвiднi зображення групи Sp параметризуються розбиттями числа p.1
1Розбиття λ = (λ1, λ2, . . . , λk) — незростаюча послiдовнiсть натуральних чисел така, що λ1 + λ2 + . . . +
+ λk = p. Загальноприйняте позначення — λ ⊢ p.
8 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9
Для λ ⊢ p позначимо через χλ вiдповiдний характер незвiдного зображення групи Sp.
Тодi оператор P λp =
dimλ
p!
∑
s∈Sp
χλ(s)Pp(s) є ортогональним проектором з центра алгебри,
породженої операторами {Pp(s)}s∈Sp .
Для множини A операторiв позначимо через NA найменшу алгебру Неймана, що мiстить
A. Якщо A′ — множина усiх операторiв, комутуючих з кожним iз A, то за теоремою Неймана
про бiкомутант [6] маємо NA = (A′)′ = A′′.
3. Результати. Нехай Hλµ = P λp ⊗ Pµq (L
2(M, tr)⊗p ⊗L2(M, tr)⊗q) i T λµ(u, s, t) = (P λp ⊗
⊗Pµq )·T (u, s, t)·(P λp ⊗Pµq ), де u ∈ U(M), (s, t) ∈ Sp×Sq. Зрозумiло, що унiтарнi зображення
T λµ групи U(M)× (Sp×Sq) для рiзних (λ, µ) не є квазiеквiвалентними. Тому з точки зору
класичної двоїстостi Шура–Вейля дещо несподiваним є нижченаведене твердження.
Теорема 1. Нехай λ ⊢ p, µ ⊢ q i Πλµ — звуження зображення L⊗p⊗R⊗q на пiдпростiр
Hλµ. Справедливi такi твердження:
1. Алгебри {L⊗p ⊗ R⊗q(U(M))}′′ та (M⊗p)Sp ⊗ (M′⊗q)Sq є iдентичними2. Зокрема,
алгебра (M⊗p)Sp ⊗ (M′⊗q)Sq — фактор типу II1.
2. Зображення Πλµ квазiеквiвалентно3 зображенню L⊗p ⊗ R⊗q.
3. Для γ ⊢ p i δ ⊢ q зображення Πλµ i Πγδ тодi i лише тодi унiтарно еквiвалентнi,
коли dimλ · dimµ = dim γ · dim δ.
Поряд iз зображенням L⊗p⊗R⊗q групи U(M) в L2(M, tr)⊗p⊗L2(M, tr)⊗q дiє зображення
R⊗p⊗L⊗q. Спираючись на той факт, що оператори L⊗p⊗R⊗q(u) i R⊗p⊗L⊗q(v) (u, v ∈ U(M))
комутують, визначимо зображення R(2) групи U(M) × U(M):
R(2)(u, v) = (L⊗p ⊗R⊗q(u)) · (R⊗p ⊗ L⊗q(v)). (3)
Також в L2(M, tr)⊗p ⊗ L2(M, tr)⊗q дiє зображення T (2) групи U(M)× U(M)×Sp ×Sq:
T (2)(u, v, s, t) = R(2)(u, v) · (Pp(s)⊗ Pq(t)),
де u, v ∈ U(M), s ∈ Sp, t ∈ Sq.
(4)
Пiдпростори Hλµ є iнварiантними вiдносно зображення T (2). Позначимо через T (2)
λµ звужен-
ня T (2) на Hλµ.
Теорема 2. Мають мiсце такi властивостi:
(a) R(2)(U(M)×U(M))′′ = (Pp(Sp)⊗Pq(Sq))
′. Зокрема, вимiрнiсть алгебри R(2)(U(M)×
× U(M))′ дорiвнює p! · q!.
(b) Зображення T (2)
λµ є незвiдним.
(c) Зображення T (2)
λµ та T (2)
γδ тодi i лише тодi є унiтарно еквiвалентними, коли λ = γ
i µ = δ.
Зауваження 1. Якщо в теоремi 2 замiст II1-фактора M розглядати алгебру всiх ком-
плексних n×n-матриць Mn, то рiвнiсть з (a) порушується. Наприклад, вимiрнiсть алгебри
R(2)(U(Mn) × U(Mn))
′ при n > max{p, q} дорiвнює (p! · q!)2.
2Нагадаємо, що ми ототожнюємо елементи алгебри (M⊗p)Sp ((M′⊗q)Sq ) з вiдповiдними операторами
лiвого (правого) множення в L2(M, tr)⊗p (L2(M, tr)⊗q).
3Зображення R1 та R2 групи G є квазiеквiвалентними, якщо iснує iзоморфiзм θ: R1(G)′′ 7→ R2(G)′′, для
якого θ(R1(g)) = R2(g) при усiх g ∈ G.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9 9
Для того щоб сформулювати важливий наслiдок теореми 2, введемо необхiднi позначе-
ння. Нехай T λµ, де λ ⊢ p, µ ⊢ q, — незвiдне зображення групи Sp × Sq, а {tλµkl }
dimTλµ
k,l=1 —
набiр його матричних елементiв. Тодi оператор
P λµk =
dimT λµ
p!q!
∑
(s,t)∈Sp×Sq
tλµkk ((s, t)) · (Pp(s)⊗Pq(t)) (5)
є мiнiмальним проектором в алгебрi (Pp(Sp)⊗Pq(Sq))
′′. Зрозумiло, що
dimTλµ∑
k=1
P λµk = P λp ⊗P
µ
q
i P λµk ∈ R(2)(U(M) × U(M))′ (див. (3)). Отже, пiдпростiр Hλ,µ,k = P λµk Hλµ ⊂ Hλµ є iнва-
рiантним вiдносно операторiв R(2)(u, v), де u, v ∈ U(M). Позначимо через R(2)
λ,µ,k звуження
зображення R(2) на Hλ,µ,k. Нижченаведене твердження випливає з теореми 2 (a).
Наслiдок 3. Зображення R(2)
λ,µ,k є незвiдним. R(2)
λ,µ,j i R(2)
γ,δ,k тодi i лише тодi є унiтарно
еквiвалентними, коли λ = γ и µ = δ.
Якщо K — компактна група, а T — незвiдне зображення групи K ×K у гiльбертовому
просторi H, то добре вiдомо, що T розпадається в тензорний добуток. А саме звуження T
на пiдгрупи K × e та e×K, де e — одиниця з K, кратнi незвiдним зображенням TL та TR
вiдповiдно групи K. Це означає, що T є еквiвалентним зображенням групи K × K, яке
задається операторами TL(k1) ⊗ TR(k2), де k1, k2 ∈ K. Зокрема,
T (K × e)′ = T (e×K)′′. (6)
Нижченаведене твердження показує, що для зображень R(2)
λ,µ,k ця рiвнiсть, загалом кажучи,
порушується.
Теорема 4. Спiввiдношення R(2)
λ,µ,k(U(M) × I)′ = R(2)
λ,µ,k(I × U(M))′′ має мiсце тодi
i лише тодi, коли зображення групи Sp ×Sq, яке вiдповiдає парi (λ, µ), є одновимiрним.
Зауваження 2. Доведення теореми 4 спирається на обчислення зв’язуючої константи
Неймана (coupling constant) [6] для фактора R(2)
λ,µ,k(U(M) × I)′′.
4. Iдея доведення теореми 1 для AFD-фактора при p = 2, q = 0. При цих умовах
доведення технiчно значно спрощується, але добре проявляються рiзного роду нескiнчен-
новимiрнi ефекти.
Для доведення того, що алгебра L⊗2(U(M))′′ є II1-фактором, встановимо насамперед
рiвнiсть
L⊗2(U(M))′′ = L((M⊗M)S2). (7)
Дiйсно, користуючись спiввiдношенням
d
dt
(etA⊗ etA)
∣∣∣∣
t=0
= I ⊗A+A⊗ I, де A = −A∗ ∈ M,
одержуємо, що L⊗2(U(M))′′ мiстить оператори лiвого множення на X⊗Y +Y ⊗X при всiх
X, Y ∈ M. Звiдси випливає (7).
Припустимо, що (M⊗M)S2 не є II1-фактором. Тодi знайдуться ненульовi взаємно ор-
тогональнi проектори E i F з центра (M ⊗ M)S2 .
10 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9
Для AFD-фактора M [7] iснує система взаємно комутуючих I2-пiдфакторiв Mi ⊂ M, де
i ∈ N, що породжують M. Нехай M(n,m] = ({Mi}mi=n+1)
′′ i {Ejkl}
2
k,l=1 — система матричних
одиниць фактора Mj . Пряма перевiрка показує, що оператор
Wn =
2∑
i1,j1,i2,j2,...,in,jn=1
E1
i1j1 · E
n+1
j1i1
· E2
i2j2 · E
n+2
j2i2
. . . Eninjn · E2n
jnin
належить до (M ⊗ M)S2 та задовольняє умову WnM(0,n)W
∗
n = M(n,2n). В алгебрi M(0,n)
iснують оператори AEn та AFn з властивостями
lim
n→∞
∥E −AEn ∥2 = lim
n→∞
∥F −AFn ∥2 = 0 i ∥AEn ∥, ∥AFn ∥ 6 1,
де ∥A − B∥22 = tr((A − B)∗(A − B)).
Отже, lim
n→∞
∥E − AEn ∥2 = lim
n→∞
∥F −Wn · AFn ·W ∗
n∥2 = 0. Звiдси маємо
0 = lim
n→∞
∥AEn · F −AEn ·Wn ·AFn ·W ∗
n∥2
EF=0
= lim
n→∞
∥AEn ·Wn ·AFn ·W ∗
n∥2 =
= lim
n→∞
∥AEn ∥2 · ∥Wn ·AFn ·W ∗
n∥2 = ∥E∥2 · ∥F∥2 ̸= 0.
Це протирiччя доводить, що (M⊗M)S2 є II1-фактором. Властивiсть 1 з теореми 1 доведено.
Для доведення 2–3 , спираючись на той факт, що (M ⊗ M)S2 — фактор, знайдемо
V ∈ (M⊗M)S2 , для якого V (E1
11⊗E1
22+E
1
22⊗E1
11)V
∗ = E1
11⊗E1
11+E
1
22⊗E1
22. Отже, унiтарний
оператор W = E1
11⊗E1
22−E1
22⊗E1
11+V (E1
11⊗E1
22−E1
22⊗E1
11)V
∗ задовольняє спiввiдношення
θ(12)(W ) = −W (див. (2)). Звiдси для ортопротекторiв P (2)
2 = (I + P2((12)))/2 та P (1,1)
2 =
= (I − P2((12)))/2 з (L⊗2(U(M)))′ одержуємо
P
(2)
2 L2(M, tr)⊗2 = L2((M⊗M)S2 , tr⊗2),
P
(1,1)
2 L2(M, tr)⊗2 = L2((M⊗M)S2 , tr⊗2) ·W.
Отже, зображення, що задаються операторами Π(2)(u) = P
(2)
2 ·L⊗2(u) ·P (2)
2 та Π(1,1)(u) =
= P
(1,1)
2 · L⊗2(u) · P (1,1)
2 , u ∈ U(M), є унiтарно еквiвалентними. Вiдповiдний сплiтаючий
оператор визначається правим множенням на W . Властивiсть 3 доведено. 2 випливає з то-
го факту, що вiдображення a ∋ L⊗2(U(M))′′ 7→ P
(2)
2 · a · P (2)
2 ∈ P
(2)
2 · L⊗2(U(M))′′ · P (2)
2
є iзоморфiзмом фактора L⊗2(U(M))′′ на фактор P
(2)
2 · L⊗2(U(M))′′ · P (2)
2 .
Робота частково пiдтримана грантом “Мережа математичних дослiджень 2013–2015”.
Цитована лiтература
1. Weyl H. The classical groups. Their invariants and representations. – Princeton, N. J.: Princeton Univ.
Press, 1997. – 336 p.
2. Ольшанский Г.И. Унитарные представления (G,K)-пар, связанных с бесконечной симметрической
группой S(∞) // Алгебра и анализ. – 1989. – 1, вып. 4. – С. 178–210.
3. Tsilevich N.V., Vershik A.M. Infinite-dimensional Schur–Weyl duality and the Coxeter–Laplace operator //
Commun. Math. Phys. – 2014. – 327. – P. 873–885.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9 11
4. Kirillov A.A. Representations of the infinite-dimensional unitary group // Soviet Math., Dokl. – 1973. –
14. – P. 1355–1358.
5. Penkov I., Styrkas K. Tensor representations of classical locally finite Lie algebras // Developments and
Trends in Infinite-Dimensional Lie Theory. – Boston: Birkhäuser, 2011. – P. 127–150. – (Progress in
Mathematics; 288).
6. Takesaki M. Theory of Operator Algebras, Vol. I. – Berlin; Heidelberg: Springer, 2002. – 416 p.
7. Takesaki M. Theory of Operator Algebras, Vol. III. – Berlin; Heidelberg: Springer, 2003. – 548 p.
References
1. Weyl H. The classical groups. Their invariants and representations, Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press,
1997.
2. Ol’shanskii G. I. Leningr. Math. J., 1990, 1, Iss. 4: 983–1014.
3. Tsilevich N.V., Vershik A.M. Commun. Math. Phys., 2014, 327: 873–885.
4. Kirillov A.A. Soviet Math., Dokl., 1973, 14; 1355–1358.
5. Penkov I., Styrkas K. Developments and Trends in Infinite-Dimensional Lie Theory, Boston: Birkhäuser,
2011: 127–150.
6. Takesaki M. Theory of Operator Algebras, Vol. I, Berlin; Heidelberg: Springer, 2002.
7. Takesaki M. Theory of Operator Algebras, Vol. III, Berlin; Heidelberg: Springer, 2003.
Надiйшло до редакцiї 17.04.2015Фiзико-технiчний iнститут низьких температур
iм. Б. I. Вєркiна НАН України, Харкiв
Н.И. Нессонов
Двойственность Шура–Вейля для унитарной группы II1-фактора
Физико-технический институт низких температур им. Б. И. Веркина НАН Украины,
Харьков
Получен аналог классической двойственности Шура–Вейля для унитарной группы произ-
вольного II1-фактора.
Ключевые слова: двойственность Шура–Вейля, унитарная группа фатора, диаграмма
Юнга.
N. I. Nessonov
The Schur–Weyl duality for the unitary group of a II1-factor
B. I. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the NAS of
Ukraine, Kharkiv
We obtain an analogue of the Schur–Weyl duality for the unitary group of an arbitrary II1-factor.
Keywords: Schur–Weyl duality, unitary group of a factor, Young diagram.
12 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-97588 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:00:11Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Нессонов, М.І. 2016-03-30T16:24:51Z 2016-03-30T16:24:51Z 2015 Двоїстість Шура–Вейля для унітарної групи II₁-фактора / М.І. Нессонов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 9. — С. 7-12. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97588 517.986.4 Одержано аналог класичної двоїстостi Шура–Вейля для унiтарної групи довiльного II₁-фактора. Получен аналог классической двойственности Шура–Вейля для унитарной группы произвольного II₁-фактора. We obtain an analogue of the Schur–Weyl duality for the unitary group of an arbitrary II₁-factor. Робота частково пiдтримана грантом “Мережа математичних дослiджень 2013–2015”. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Двоїстість Шура–Вейля для унітарної групи II₁-фактора Двойственность Шура–Вейля для унитарной группы II₁-фактора The Schur–Weyl duality for the unitary group of a II₁-factor Article published earlier |
| spellingShingle | Двоїстість Шура–Вейля для унітарної групи II₁-фактора Нессонов, М.І. Математика |
| title | Двоїстість Шура–Вейля для унітарної групи II₁-фактора |
| title_alt | Двойственность Шура–Вейля для унитарной группы II₁-фактора The Schur–Weyl duality for the unitary group of a II₁-factor |
| title_full | Двоїстість Шура–Вейля для унітарної групи II₁-фактора |
| title_fullStr | Двоїстість Шура–Вейля для унітарної групи II₁-фактора |
| title_full_unstemmed | Двоїстість Шура–Вейля для унітарної групи II₁-фактора |
| title_short | Двоїстість Шура–Вейля для унітарної групи II₁-фактора |
| title_sort | двоїстість шура–вейля для унітарної групи ii₁-фактора |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97588 |
| work_keys_str_mv | AT nessonovmí dvoístístʹšuraveilâdlâunítarnoígrupiii1faktora AT nessonovmí dvoistvennostʹšuraveilâdlâunitarnoigruppyii1faktora AT nessonovmí theschurweyldualityfortheunitarygroupofaii1factor |