Проблеми керованостi для хвильового рiвняння на пiвплощинi та модифiкованi простори Соболєва
Двовимiрне хвильове рiвняння wtt = Δw, t ∈ (0, T), на пiвплощинi x₁ > 0, кероване крайовою умовою Дiрiхле w(0, x₂, t) = δ(x₂)u(t), дослiджене в просторах Соболєва, де T > 0 — деяка стала, а u ∈ L^∞(0, T) — керування. Цю керовану систему трансформовано в деяку керовану систему для одновимiрног...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97591 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Проблеми керованостi для хвильового рiвняння на пiвплощинi та модифiкованi простори Соболєва / Л.В. Фардигола // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 9. — С. 18-24. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859679477713338368 |
|---|---|
| author | Фардигола, Л.В. |
| author_facet | Фардигола, Л.В. |
| citation_txt | Проблеми керованостi для хвильового рiвняння на пiвплощинi та модифiкованi простори Соболєва / Л.В. Фардигола // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 9. — С. 18-24. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Двовимiрне хвильове рiвняння wtt = Δw, t ∈ (0, T), на пiвплощинi x₁ > 0, кероване крайовою умовою Дiрiхле w(0, x₂, t) = δ(x₂)u(t), дослiджене в просторах Соболєва, де T > 0 — деяка стала, а u ∈ L^∞(0, T) — керування. Цю керовану систему трансформовано в деяку
керовану систему для одновимiрного хвильового рiвняння в модифiкованих просторах
Соболєва. Цi простори вiдiграють важливу роль у дослiдженнi. Для одновимiрної задачi
керування одержано необхiднi i достатнi умови (наближеної) L^∞-керованостi. Також
доведено, що двовимiрна керована система вiдтворює властивостi керованостi одновимiрної керованої системи i навпаки. Нарештi, необхiднi i достатнi умови (наближеної) L^∞-керованостi одержано для вихiдної двовимiрної задачi керування.
Двумерное волновое уравнение wtt = Δw, t ∈ (0, T), на полуплоскости x₁ > 0, управляемое
краевым условием Дирихле w(0, x₂, t) = δ(x₂)u(t), исследовано в пространствах Соболева, где
T > 0 — некоторая постоянная, а u ∈ L^∞(0, T) — управление. Эта управляемая система
трансформирована в некоторую управляемую систему для одномерного волнового уравнения
в модифицированных пространствах Соболева. Эти пространства играют важную роль
в исследовании. Для одномерной задачи управления получены необходимые и достаточные
условия (приближенной) L^∞-управляемости. Также доказано, что двумерная управляемая
система воспроизводит свойства управляемости одномерной управляемой системы и наоборот. Наконец, необходимые и достаточные условия (приближенной) L^∞-управляемости получены для исходной двумерной задачи управления.
The 2-d wave equation wtt = Δw, t ∈ (0, T), on the half-plane x₁ > 0 controlled by the Dirichlet
boundary condition wx1(0, x₂, t) = δ(x₂)u(t) is considered in Sobolev spaces, where T > 0 is a
constant and u ∈ L^∞(0, T) is a control. This control system is transformed to a control system
for the 1-d wave equation in modified Sobolev spaces. These spaces play an important role in the
study. Necessary and sufficient conditions of (approximate) L^∞-controllability are obtained for
the 1-d control problem. It is also proved that the 2-d control system replicates the controllability properties of the 1-d control system and vice versa. Finally, necessary and sufficient conditions of (approximate) L^∞-controllability are obtained for the original 2-d control problem.
|
| first_indexed | 2025-11-30T17:30:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Л.В. Фардигола
Проблеми керованостi для хвильового рiвняння
на пiвплощинi та модифiкованi простори Соболєва
(Представлено академiком НАН України Є.Я. Хрусловим)
Двовимiрне хвильове рiвняння wtt = ∆w, t ∈ (0, T ), на пiвплощинi x1 > 0, кероване крайо-
вою умовою Дiрiхле w(0, x2, t) = δ(x2)u(t), дослiджене в просторах Соболєва, де T > 0 —
деяка стала, а u ∈ L∞(0, T ) — керування. Цю керовану систему трансформовано в деяку
керовану систему для одновимiрного хвильового рiвняння в модифiкованих просторах
Соболєва. Цi простори вiдiграють важливу роль у дослiдженнi. Для одновимiрної задачi
керування одержано необхiднi i достатнi умови (наближеної) L∞-керованостi. Також
доведено, що двовимiрна керована система вiдтворює властивостi керованостi однови-
мiрної керованої системи i навпаки. Нарештi, необхiднi i достатнi умови (наближеної)
L∞-керованостi одержано для вихiдної двовимiрної задачi керування.
Ключовi слова: модифiкованi простори Соболєва, хвильове рiвняння, проблема керова-
ностi, пiвплощина, керування крайовими умовами Дiрiхле.
Останнiм часом питання керованостi для хвильового рiвняння вивчалися багатьма дослi-
дниками (див. [1–13] та iн).
Розглянемо хвильове рiвняння
wtt = ∆w, x1 > 0, x2 ∈ R, t ∈ (0, T ), (1)
кероване крайовою умовою Дiрiхле
w(0, x2, t) = δ(x2)u(t), x2 ∈ R, t ∈ (0, T ), (2)
де T > 0 є сталою, u ∈ L∞(0, T ) — керування, δ — розподiл Дiрака, ∆ = (∂/∂x1)
2+(∂/∂x2)
2.
Дослiджується керованiсть системи (1), (2) за заданий та вiльний час у просторах Соболєва
(див. означення нижче). Керованiсть цiєї системи лише за заданий час вивчалася ранiше
в [3]. Рiвняння (1), кероване крайовою умовою Неймана: wx1(0, x2, t) = δ(x2)u(t), x2 ∈ R,
t ∈ [0, T ], було дослiджене у [8].
Нехай n ∈ N. Нехай S(Rn) — простiр Шварца швидко зростаючих функцiй n змiнних
та S′(Rn) — його двоїстий простiр помiрно зростаючих розподiлiв (див., наприклад, [14, гл.
1]). Позначимо Hs
l (Rn), s, l ∈ R, такi простори Соболєва:
Hs
l (Rn) = {φ ∈ S(Rn) | (1 + |D|2)s/2(1 + |x|2)l/2φ ∈ L2(Rn)},
∥φ∥sl =
(∫
Rn
|(1 + |D|2)s/2(1 + |x|2)l/2φ(x)|2dx
)1/2
,
де | · | — евклiдова норма в Rn, D = (−i∂/∂x1, . . . ,−i∂/∂xn), n ∈ N. Добре вiдомо [14, гл. 1],
що Hs
l ⊂ Hs′
l′ є неперервним вкладенням, s′ 6 s, l′ 6 l. Позначимо S+ = {φ ∈ S(R) | suppφ ∈
∈ R+}, S′+ — двоїстий простiр для S+, R+ = (0,+∞).
© Л.В. Фардигола, 2015
18 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9
Нехай F : S(Rn) → S(Rn) є оператором перетворення Фур’є. Для φ ∈ S(Rn) маємо
(Fφ)(σ) = (2π)−n/2
∫
Rn
e−i⟨x,σ⟩φ(x)dx, для f ∈ S′(Rn), ψ ∈ S(Rn) — ⟨Ff, ψ⟩ = ⟨f,F−1ψ⟩.
Добре вiдомо [14, гл. 1], що F є iзометричним iзоморфiзмом Hs
0(Rn) та H0
s (Rn), s ∈ R.
Нехай n = 2. Для s, l ∈ R позначимо через H̃s
l (R2) пiдпростiр непарних вiдносно x1
розподiлiв у Hs
l (R2) та позначимо H̃s = H̃s
0(R2) × H̃s−1
0 (R2).
Нехай s = 0, 3. Позначимо також Hs
0 = {φ ∈ L2(R+ × R) | ∃φ̃ ∈ H̃s
0(R2)φ(x) = φ̃(x) м. с.
на R+ ×R} з нормою []φ[]s0 = ∥φ̃∥s0/
√
2, φ ∈ Hs
0, φ̃ ∈ H̃s
0(R2), φ(x) = φ̃(x) м. с. на R+ ×R, та
H−s
0 = (Hs
0)
′ з нормою []f []s0 = sup{|⟨f, φ⟩|/[]φ[]s0 | []φ[]s0 ̸= 0}, f ∈ H−s
0 .
Ми розглядаємо рiвнiсть (2), як значення розподiлу w на x1 = 0 (див. означення у [8]).
Розглянемо керовану систему (1), (2) за початкових умов
w(x, 0) = w0
0(x), wt(x, 0) = w0
1, x1 > 0, x ∈ R, (3)
у просторах H−s
0 , s = 1, 2, 3. Тут w0
0 ∈ H0
0, w
0
1 ∈ H−1
0 ,
(
d
dt
)s
w : [0, T ] → H−s−1
0 , s =
= 1, 2, 3, ∆: H−1
0 → H−3
0 . Позначимо через W(·, t) =
(
W0(·, t)
W1(·, t)
)
та W0 =
(
W0
0
W0
1
)
непарне
продовження вiдносно x1 для
(
w
wt
)
та
(
w0
0
w0
1
)
вiдповiдно, t ∈ [0, T ]. Тодi
(
d
dt
)s
W: [0, T ] →
→ H̃−s−1, s = 1, 2, W0 ∈ H̃0. Отже, w є розв’язком задачi (1)–(3) тодi i лише тодi, коли
W є розв’язком задачi
d
dt
W =
(
0 1
∆ 0
)
W − 2δ′(x1)δ(x2)u(t)
(
0
1
)
, t ∈ (0, T ), (4)
W(·, 0) = W0, (5)
де δ ∈ H−2
0 (R2) — розподiл Дiрака. Далi ми вивчаємо керовану систему (4), (5) замiсть (1)–
(3).
Простори та оператори. Нехай n = 1. Для s, l ∈ R позначимо Hs
l = Hs
l (R), H̃s
l =
= H̃s
l (R). Далi до кiнця цього пункту вважатимемо, що s ∈ R.
Розглянемо простiр H0
s[−1/2] = {φ ∈ H0
s−1/2 | ∃φ ∈ H0
sφ =
√
|ρ|φ} з нормою |φ|0s[−1/2] =
= ∥φ/
√
|ρ|∥0s, φ ∈ H0
s[−1/2], та його двоїстий простiр H0
−s[1/2] = (H0
s[−1/2])
′ iз сильною то-
пологiєю, тобто |f |0−s[1/2] = sup{|⟨f, φ⟩|/|φ|0s[−1/2] | |φ|
0
s[−1/2] ̸= 0}, f ∈ H0
−s[1/2]. Очевидно,
|f |0−s[1/2] = ∥
√
|ρ|f∥0−s, f ∈ H0
−s[1/2]. Цi простори було введено та дослiджено у [8]. Зокрема,
доведено, що простори H0
s[−1/2] та H0
−s[1/2] є повними i H0
s[−1/2] ⊂ H0
s−1/2 та H0
−s+1/2 ⊂
⊂ H0
−s[1/2] є неперервними вкладеннями. Також там було доведено, що якщо f ∈ H0
−s[1/2],
то f ∈ H
−3/2
−s+1/2.
Розглянемо простори Hs[−1/2]
0 = FH0
s[−1/2] та H−s[1/2]
0 = FH0
−s[1/2] з нормами |φ|s[−1/2]
0 =
= |Fφ|0s[−1/2], φ ∈ H
s[−1/2]
0 0, та |f |−s[1/2]0 = |Ff |0−s[1/2], f ∈ H
−s[1/2]
0 . Очевидно, H−s[1/2]
0 =
= (H
s[−1/2]
0 )′. З властивостей просторiвH0
s[−1/2] таH
0
−s[−1/2] випливає, щоHs[−1/2]
0 таH−s[1/2]
0
є повними, Hs[−1/2]
0 ⊂ H
s−1/2
0 та H
−s+1/2
0 ⊂ H
−s[1/2]
0 є неперервними вкладеннями i якщо
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9 19
f ∈ H
−s[1/2]
0 , то f ∈ H
−s+1/2
−3/2 . Позначимо через H̃
−s[1/2]
0 пiдпростiр непарних розподiлiв
H
−s[1/2]
0 .
Введемо пiдпростори
Hs =
{
G ∈ Hs
0(R2) | ∃g ∈ S′+G(x) =
∂
∂x1
g(|x|)
}
,
Hs = {F ∈ H0
s (R2) | ∃f ∈ S′+F (σ) = iσ1f(|σ|)}
просторiв Hs
0(R2) та H0
s (R2) вiдповiдно. Очевидно, Hs = FHs. Якщо f ∈ Hs, то iснує фун-
кцiя f така, що F (σ) = iσ1f(|σ|), σ ∈ R2, та
∥F∥0s =
√
π∥|ρ|3/2f∥0s. (6)
Отже, простiр Hs є повним. Оскiльки перетворення Фур’є F є iзометричним iзоморфiзмом
Hs
0(R2) i H0
s (R2) [14, гл. 1], то воно є iзометричним iзоморфiзмом Hs i Hs. Отже, простiр Hs
є також повним. Позначимо H̃s = Hs ×Hs−1. Бачимо, що цей простiр є пiдпростором H̃s.
Позначимо Ψ : H̃
−3[1/2]
0 → H−3, D(Ψ) = H̃
−3[1/2]
0 ,
Ψf = F−1
(
σ1
|σ|
(Ff)(|σ|)
)
, f ∈ D(Ψ).
Для оператора Ψ справедливi такi теореми.
Теорема 1. Оператор Ψ є iзоморфiзмом H̃
s[1/2]
0 та Hs
0. Крiм того, ∥Ψf∥s0=
√
π|f |−s[1/2]0 ,
f ∈ D(Ψ), s > −3.
Теорема 2. Маємо ∆Ψf = Ψ(f ′′), f ∈ H̃
s[1/2]
0 , s > −3.
Теорема 3. Нехай α > 0. Якщо f ∈ H̃
0[1/2]
0 та G = Ψf , то supp f ⊂ [−α, α] у тому
i лише тому випадку, коли suppG ⊂ Dα = {x ∈ R2 | |x| 6 α}.
Перетворення мiж двовимiрною та одновимiрною керованими системами.
Розглянемо керовану систему (4), (5) та допомiжну керовану систему
d
dt
Z(·, t) =
(
0 1
(d/dξ)2 0
)
Z(·, t) +
(
0
1
)√
2
π
δ′(ξ)u(t), t ∈ (0, T ), (7)
Z(·, 0) = Z0, (8)
з тими самими T > 0 та u ∈ L∞(0, T ). Тут δ ∈ H
−2[1/2]
0 є розподiлом Дiрака,
(
d
dt
)s
Z: [0, T ] →
→ H̃−(s+1)[1/2], s = 0, 1, Z0 ∈ H̃0[1/2].
Для заданих T > 0 та W0 ∈ H̃0 (Z0 ∈ H̃0[1/2]) позначимо через R2
T (W
0) (R1
T (Z
0), вiдпо-
вiдно) множину кiнцевих станiв WT ∈ H̃0 (ZT ∈ H̃0[1/2], вiдповiдно), для яких iснує керуван-
ня u ∈ L∞(0, T ) таке, що (4), (5) ((7), (8), вiдповiдно) має єдиний розв’язок W (Z, вiдповiдно)
i W(·, T ) = WT (Z(·, T ) = ZT , вiдповiдно). Позначимо також Rj
∞(Z0) =
∪
T>0
Rj
T (Z
0), j = 1, 2.
Означення 1. Стан W0 ∈ H̃0 (Z0 ∈ H̃0[1/2]) називається L∞-керованим вiдносно систе-
ми (4), (5) ((7), (8), вiдповiдно) за заданий час T > 0, якщо 0 належить R2
T (W
0) (R1
T (Z
0),
вiдповiдно), та наближено L∞-керованим вiдносно цiєї системи за заданий час T > 0, якщо 0
належить замиканню R2
T (Z
0) в H̃0 (замиканню R1
T (Z
0) в H̃0[1/2], вiдповiдно).
20 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9
Означення 2. Стан W0 ∈ H̃0 (Z0 ∈ H̃0[1/2]) називається наближено L∞-керованим
вiдносно системи (4), (5) ((7), (8), вiдповiдно) за вiльний час, якщо 0 належить замиканню
R2
∞(Z0) в H̃0 (замиканню R1
∞(Z0) в H̃0[1/2], вiдповiдно).
Аналогiчно теоремi 4.1 у [8] доводимо нижченаведену теорему i одержуємо висновок.
Теорема 4. Нехай керування un(t), t ∈ [0, Tn], n = 1,∞, розв’язують проблему набли-
женої L∞-керованостi вiдносно системи (4), (5) для стану W0 ∈ H̃0. Нехай Wn є розв’яз-
ком (4), (5) з u = un, T = Tn, n = 1,∞. Тодi цей розв’язок є єдиним, Wn(·, t) ∈ H̃−1,
t ∈ [0, Tn], n = 1,∞, та W0 ∈ H̃0.
Висновок 1. Нехай T > 0, u ∈ L∞(0, T ) та W0 ∈ H̃0. Нехай W є розв’язком (4), (5).
Тодi W(·, t) ∈ H̃−1, t ∈ [0, T ].
Враховуючи теорему 4 та висновок 1, ми можемо розглядати проблеми керованостi вiд-
носно системи (4), (5) в просторах H̃−s замiсть просторiв H̃−s, s = 1, 2. Аналогiчно теоре-
мам 4.3 та 4.4 у [8] доводимо такi двi теореми.
Теорема 5. Нехай T > 0, u ∈ L∞(0, T ), Z0 ∈ H̃0[1/2], W0 = ΨZ0. Нехай Z є розв’яз-
ком (7), (8) та W(·, T ) = ΨZ(·, t), t ∈ [0, T ]. Тодi W є розв’язком (4), (5), W0 ∈ H̃0 та
W(·, t) ∈ H̃−1, t ∈ [0, T ].
Теорема 6. Нехай T > 0, u ∈ L∞(0, T ), W0 ∈ H̃0, Z0 = Ψ−1W0. Нехай W є розв’яз-
ком (4), (5) та Z(·, T ) = Ψ−1W(·, t), t ∈ [0, T ]. Тодi Z є розв’язком (7), (8), Z0 ∈ H̃0[1/2] та
Z(·, t) ∈ H̃−1[1/2], t ∈ [0, T ].
З теорем 1, 6 i теорем 4.3, 4.4 у [8] одержуємо
Висновок 2. Нехай W0 ∈ H̃0 та Z0 = Ψ−1W0. Тодi Z0 ∈ H̃0[1/2] i виконано такi
твердження.
1. Стан W0 є L∞-керованим вiдносно системи (4), (5) за заданий час T > 0 тодi i лише
тодi, коли Z0 є L∞-керованим вiдносно системи (7), (8) за той самий час.
2. Стан W0 є наближено L∞-керованим вiдносно системи (4), (5) за заданий час T >
> 0 тодi i лише тодi, коли Z0 є наближено L∞-керованим вiдносно системи (7), (8) за
той самий час.
3. Стан W0 є наближено L∞-керованим вiдносно системи (4), (5) за вiльний час тодi
i лише тодi, коли Z0 є наближено L∞-керованим вiдносно системи (7), (8) за вiльний час.
Таким чином, двовимiрна керована система (4), (5) вiдтворює властивостi керованостi
одновимiрної керованої системи (7), (8) i навпаки.
Допомiжна керована система. Керовану систему (7), (8) в класичних просторах
Соболєва Hs
0 було вивчено в [11]. Оскiльки топологiя просторiв Hs[1/2]
0 досить суттєво вiд-
рiзняється вiд топологiї Hs
0 , нам доводиться наново вивчати цю систему в модифiкованих
просторах Соболєва Hs[1/2]
0 . З тiєї ж причини керування будується iншим способом.
Нижченаведенi три твердження одержуємо аналогiчно теоремам 5.3, 5.5 та висновку 5.4
у [8].
Теорема 7. Стан Z0 ∈ H̃0[1/2] є L∞-керованим вiдносно системи (7), (8) за заданий
час T > 0 тодi i лише тодi, коли
Z0
1 = (sgn ξZ0
0)
′, (9)
suppZ0
0 ⊂ [−T, T ], (10)
Z0
0 ∈ L∞(R). (11)
Крiм того, за умов (9)–(11) керування u(t) = Z0
0(t), t ∈ [0, T ], розв’язує проблему L∞-керо-
ваностi вiдносно системи (7), (8) для Z0 за час T > 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9 21
Теорема 8. Стан Z0 ∈ H̃0[1/2] є наближено L∞-керованим вiдносно системи (7), (8)
за заданий час T > 0 тодi i лише тодi, коли виконано умови (9), (10). Крiм того, за
цих умов керування un(t) = Z0
0(tn/(n − 1)) ∗ nφ(tn), t ∈ [0, T ], n = 2,∞, розв’язують
проблему наближеної L∞-керованостi вiдносно системи (7), (8) за час T > 0 для стану
Z0, де φ(ξ) = 0 для |ξ| > 1, φ(ξ) = 4(1− |ξ|)/3 для 1/2 6 |ξ| < 1 та φ(ξ) = 2/3 для |ξ| < 1/2.
Теорема 9. Стан Z0 ∈ H̃0[1/2] є наближено L∞-керованим вiдносно системи (7), (8)
за вiльний час тодi i лише тодi, коли виконано умову (9).
Головна керована система. У цьому пунктi ми дослiджуємо керовану систему (4), (5),
застосовуючи результати попереднiх двох пунктiв. З теорем 3, 4, 7, 9 та висновкiв 1, 2, 8
випливають такi три теореми.
Теорема 10. Стан W0 ∈ H̃0 є L∞-керованим вiдносно системи (4), (5) за заданий час
T > 0 тодi i лише тодi, коли
W0 ∈ H̃1, (12)
W0
1 = Ψ(sgnx(Ψ−1W0
0)
′), (13)
suppW0
0 ∈ {x ∈ R2 | |x| 6 T}, (14)
Ψ−1W0
0 ⊂ L∞(R). (15)
Крiм того, за умов (12)–(15) керування u(t) = (Ψ−1W0
0)(t), t ∈ [0, T ], розв’язує проблему
L∞-керованостi вiдносно системи (4), (5) для Z0 за час T > 0.
Теорема 11. Стан W0 ∈ H̃0 є наближено L∞-керованим вiдносно системи (4), (5) за
заданий час T > 0 тодi i лише тодi, коли виконано умови (12)–(14). Крiм того, за цих
умов керування un(t) = (Ψ−1W0
0)(tn/(n − 1)) ∗ nφ(tn), t ∈ [0, T ], n = 2,∞, розв’язують
проблему наближеної L∞-керованостi вiдносно системи (4), (5) за час T > 0 для стану
W0, де φ(ξ) = 0 для |ξ| > 1, φ(ξ) = 4(1−|ξ|)/3 для 1/2 6 |ξ| < 1 та φ(ξ) = 2/3 для |ξ| < 1/2.
Теорема 12. Стан W0 ∈ H̃0 є наближено L∞-керованим вiдносно системи (4), (5) за
вiльний час тодi i лише тодi, коли виконано умови (12) та (13).
Цитована лiтература
1. Белишев М.И., Вакуленко А.Ф. Об одной задаче управления для волнового уравнения в R3 // Зап.
научн. сем. ПОМИ. – 2006. – 332. – С. 19–37.
2. Castro C. Exact controllability of the 1-D wave equation from a moving interior point // ESAIМ: Control,
Optim. Calc. Var. – 2013. – 19. – P. 301–316.
3. Fardigola L.V. On controllability problems for the wave equation on a half-plane // J. Math. Phys., Anal.,
Geom. – 2005. – 1. – P. 93–115.
4. Fardigola L.V. Controllability problems for the 1-d wave equation on a half-axis with the Dirichlet boundary
control // ESAIМ: Control, Optim. Calc. Var. – 2012. – 18. – P. 748–773.
5. Fardigola L.V. Transformation operators of the Sturm-Liouville problem in controllability problems for
the wave equation on a half-axis // SIAM J. Control Optim. – 2013. – 51. – P. 1781–1801.
6. Fardigola L.V. Controllability problems for the 1-d wave equations on a half-axis with Neumann boundary
control // Math. Control and Related Fields. – 2013. – 3. – P. 161–183.
7. Fardigola L.V. Transformation operators in controllability problems for the wave equations with variable
coefficients on a half-axis controlled by the Dirichlet boundary condition // Math. Control and Related
Fields. – 2015. – 5. – P. 31–53.
8. Fardigola L.V. Modified Sobolev spaces in controllability problems for the wave equation on a half-plane //
J. Math. Phys., Anal., Geom. – 2015. – 11. – P. 18–44.
22 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9
9. Gugat M., Sokolowski J. A note on the approximation of Dirichlet boundary control problems for the wave
equation on curved domains // Appl. Anal. – 2012. – 92. – P. 2200–2214.
10. Lui Y. Some sufficient conditions for the controllability of the wave equation with variable coefficients //
Acta Appl. Math. – 2013. – 128. – P. 181–191.
11. Sklyar G.M., Fardigola L.V. The Markov power moment problem in problems of controllability and
frequency extinguishing for the wave equation on a half-axis // J. Math. Anal. Appl. – 2002. – 276. –
P. 109–134.
12. Privat Y., Trélat E., Zuazua E. Optimal location of controllers for the one-dimensional wave equation //
Ann. Inst. Poincaré (C). Non Linéair Analysis. – 2013. – 30. – P. 1097–1126.
13. Seck Ch., Bayili G., Séne A., Niane M.T. Contrôlabilité exacte de l’équation des ondes dans des espaces
de Sobolev non réguliers pour un ouvert polygonal // Afr. Mat. – 2012. – 23. – P. 1–9.
14. Gindikin S.G., Volevich L.R. Distributions and Convolution Equations. – Philadelphia: Gordon and
Breach, 1992. – 465 p.
References
1. Belishev M. I., Vakulenko A.F. J. Math. Sci, 2007, 142, Iss. 6: 2528–2539.
2. Castro C. ESAIM: Control, Optim. Calc. Var, 2013, 19: 301–316.
3. Fardigola L.V. J. Math. Phys., Anal., Geom, 2005, 1: 93–115.
4. Fardigola L.V. ESAIM: Control, Optim. Calc. Var, 2012, 18: 748–773.
5. Fardigola L.V. SIAM J. Control Optim, 2013, 51: 1781–1801.
6. Fardigola L.V. Math. Control and Related Fields, 2013, 3: 161–183.
7. Fardigola L.V. Math. Control and Related Fields, 2015, 5: 31–53.
8. Fardigola L.V. J. Math. Phys., Anal., Geom, 2015, 11: 18–44.
9. Gugat M., Sokolowski J. Appl. Anal., 2012, 92: 2200–2214.
10. Lui Y. Acta Appl. Math, 2013, 128: 181–191.
11. Sklyar G.M., Fardigola L.V. J. Math. Anal. Appl, 2002, 276: 109–134.
12. Privat Y., Trélat E., Zuazua E. Ann. Inst. Poincaré (C). Non Linéair Analysis, 2013, 30: 1097–1126.
13. Seck Ch., Bayili G., Séne A., Niane M.T. Afr. Mat., 2012, 23: 1–9.
14. Gindikin S.G., Volevich L.R. Distributions and Convolution Equations, Philadelphia: Gordon and Breach,
1992.
Надiйшло до редакцiї 31.03.2015Фiзико-технiчний iнститут низьких температур
iм. Б. I. Вєркiна НАН України, Харкiв
Л.В. Фардигола
Проблемы управляемости для волнового уравнения
на полуплоскости и модифицированные пространства Соболева
Физико-технический институт низких температур им. Б. И. Веркина НАН Украины,
Харьков
Двумерное волновое уравнение wtt = ∆w, t ∈ (0, T ), на полуплоскости x1 > 0, управляемое
краевым условием Дирихле w(0, x2, t) = δ(x2)u(t), исследовано в пространствах Соболева, где
T > 0 — некоторая постоянная, а u ∈ L∞(0, T ) — управление. Эта управляемая система
трансформирована в некоторую управляемую систему для одномерного волнового уравнения
в модифицированных пространствах Соболева. Эти пространства играют важную роль
в исследовании. Для одномерной задачи управления получены необходимые и достаточные
условия (приближенной) L∞-управляемости. Также доказано, что двумерная управляемая
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9 23
система воспроизводит свойства управляемости одномерной управляемой системы и нао-
борот. Наконец, необходимые и достаточные условия (приближенной) L∞-управляемости
получены для исходной двумерной задачи управления.
Ключевые слова: модифицированные пространства Соболева, волновое уравнение, пробле-
ма управляемости, полуплоскость, управление краевыми условиями Дирихле.
L.V. Fardigola
Controllability problems for the wave equation on a half-plane and
modified Sobolev spaces
B. I. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the NAS of
Ukraine, Kharkiv
The 2-d wave equation wtt = ∆w, t ∈ (0, T ), on the half-plane x1 > 0 controlled by the Dirichlet
boundary condition wx1(0, x2, t) = δ(x2)u(t) is considered in Sobolev spaces, where T > 0 is a
constant and u ∈ L∞(0, T ) is a control. This control system is transformed to a control system
for the 1-d wave equation in modified Sobolev spaces. These spaces play an important role in the
study. Necessary and sufficient conditions of (approximate) L∞-controllability are obtained for
the 1-d control problem. It is also proved that the 2-d control system replicates the controllability
properties of the 1-d control system and vice versa. Finally, necessary and sufficient conditions of
(approximate) L∞-controllability are obtained for the original 2-d control problem.
Keywords: modified Sobolev spaces, wave equation, controllability problem, half-plane, Dirichlet
boundary control.
24 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-97591 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T17:30:14Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Фардигола, Л.В. 2016-03-30T16:25:39Z 2016-03-30T16:25:39Z 2015 Проблеми керованостi для хвильового рiвняння на пiвплощинi та модифiкованi простори Соболєва / Л.В. Фардигола // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 9. — С. 18-24. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97591 517.9 Двовимiрне хвильове рiвняння wtt = Δw, t ∈ (0, T), на пiвплощинi x₁ > 0, кероване крайовою умовою Дiрiхле w(0, x₂, t) = δ(x₂)u(t), дослiджене в просторах Соболєва, де T > 0 — деяка стала, а u ∈ L^∞(0, T) — керування. Цю керовану систему трансформовано в деяку керовану систему для одновимiрного хвильового рiвняння в модифiкованих просторах Соболєва. Цi простори вiдiграють важливу роль у дослiдженнi. Для одновимiрної задачi керування одержано необхiднi i достатнi умови (наближеної) L^∞-керованостi. Також доведено, що двовимiрна керована система вiдтворює властивостi керованостi одновимiрної керованої системи i навпаки. Нарештi, необхiднi i достатнi умови (наближеної) L^∞-керованостi одержано для вихiдної двовимiрної задачi керування. Двумерное волновое уравнение wtt = Δw, t ∈ (0, T), на полуплоскости x₁ > 0, управляемое краевым условием Дирихле w(0, x₂, t) = δ(x₂)u(t), исследовано в пространствах Соболева, где T > 0 — некоторая постоянная, а u ∈ L^∞(0, T) — управление. Эта управляемая система трансформирована в некоторую управляемую систему для одномерного волнового уравнения в модифицированных пространствах Соболева. Эти пространства играют важную роль в исследовании. Для одномерной задачи управления получены необходимые и достаточные условия (приближенной) L^∞-управляемости. Также доказано, что двумерная управляемая система воспроизводит свойства управляемости одномерной управляемой системы и наоборот. Наконец, необходимые и достаточные условия (приближенной) L^∞-управляемости получены для исходной двумерной задачи управления. The 2-d wave equation wtt = Δw, t ∈ (0, T), on the half-plane x₁ > 0 controlled by the Dirichlet boundary condition wx1(0, x₂, t) = δ(x₂)u(t) is considered in Sobolev spaces, where T > 0 is a constant and u ∈ L^∞(0, T) is a control. This control system is transformed to a control system for the 1-d wave equation in modified Sobolev spaces. These spaces play an important role in the study. Necessary and sufficient conditions of (approximate) L^∞-controllability are obtained for the 1-d control problem. It is also proved that the 2-d control system replicates the controllability properties of the 1-d control system and vice versa. Finally, necessary and sufficient conditions of (approximate) L^∞-controllability are obtained for the original 2-d control problem. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Проблеми керованостi для хвильового рiвняння на пiвплощинi та модифiкованi простори Соболєва Проблемы управляемости для волнового уравнения на полуплоскости и модифицированные пространства Соболева Controllability problems for the wave equation on a half-plane and modified Sobolev spaces Article published earlier |
| spellingShingle | Проблеми керованостi для хвильового рiвняння на пiвплощинi та модифiкованi простори Соболєва Фардигола, Л.В. Математика |
| title | Проблеми керованостi для хвильового рiвняння на пiвплощинi та модифiкованi простори Соболєва |
| title_alt | Проблемы управляемости для волнового уравнения на полуплоскости и модифицированные пространства Соболева Controllability problems for the wave equation on a half-plane and modified Sobolev spaces |
| title_full | Проблеми керованостi для хвильового рiвняння на пiвплощинi та модифiкованi простори Соболєва |
| title_fullStr | Проблеми керованостi для хвильового рiвняння на пiвплощинi та модифiкованi простори Соболєва |
| title_full_unstemmed | Проблеми керованостi для хвильового рiвняння на пiвплощинi та модифiкованi простори Соболєва |
| title_short | Проблеми керованостi для хвильового рiвняння на пiвплощинi та модифiкованi простори Соболєва |
| title_sort | проблеми керованостi для хвильового рiвняння на пiвплощинi та модифiкованi простори соболєва |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97591 |
| work_keys_str_mv | AT fardigolalv problemikerovanostidlâhvilʹovogorivnânnânapivploŝinitamodifikovaniprostorisobolêva AT fardigolalv problemyupravlâemostidlâvolnovogouravneniânapoluploskostiimodificirovannyeprostranstvasoboleva AT fardigolalv controllabilityproblemsforthewaveequationonahalfplaneandmodifiedsobolevspaces |