Нестационарное деформирование трехмерного вязкоупругого слоя переменной толщины
На основе численного решения трехмерной нестационарной задачи о колебаниях изотропного вязкоупругого слоя переменной толщины и конечных размеров в продольном и трансверсальном направлениях определены закономерности динамического поведения слоя при воздействии на его поверхности локальной импульсной...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/977 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нестационарное деформирование трехмерного вязкоупругого слоя переменной толщины / Г.А. Воропаев, Я.В. Загуменный // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 2. — С. 27-36. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-977 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Воропаев, Г.А. Загуменный, Я.В. 2008-07-09T14:10:18Z 2008-07-09T14:10:18Z 2006 Нестационарное деформирование трехмерного вязкоупругого слоя переменной толщины / Г.А. Воропаев, Я.В. Загуменный // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 2. — С. 27-36. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/977 539.374+539.67 На основе численного решения трехмерной нестационарной задачи о колебаниях изотропного вязкоупругого слоя переменной толщины и конечных размеров в продольном и трансверсальном направлениях определены закономерности динамического поведения слоя при воздействии на его поверхности локальной импульсной нагрузки. Получены амплитудные и энергетические характеристики системы как функции механических параметров покрытия, его толщины, геометрии слоя в плане и места приложения нагрузки. Определены условия максимального поглощения энергии импульса в зависимости от механических и геометрических параметров слоя и времени действия нагрузки. Показана роль геометрии вязкоупругого слоя в плане и его толщины в формировании направленного волнового поля на поверхности. На основі чисельного розв'язку тривимірної нестаціонарної задачі про коливання ізотропного в'язкопружного шару змінної товщини і скінченних розмірів у поздовжньому і трансверсальному напрямках визначені закономірності динамічної поведінки шару під дією на його поверхні локального імпульсного навантаження. Отримані амплітудні та енергетичні характеристики системи як функції механічних параметрів покриття, його товщини, геометрії шару в плані та місця прикладання навантаження. Визначені умови максимального поглинання енергії імпульсу в залежності від механічних та геометричних параметрів шару і тривалості дії навантаження. Показана роль геометрії в'язкопружного шару в плані та його товщини у формуванні направленого хвильового поля на поверхні. On the basis of a numerical solution of the three-dimensional non-stationary problem on oscillation of an isotropic viscoelastic layer with varying depth and finite dimensions in the longitudinal and transversal directions, a dynamic behavior of the layer subjected to a local impulse load on its surface has been determined. The amplitude and energy characteristics of the layer are obtained as the functions of the mechanical parameters of the coating, its thickness, geometry of the layer section and load location. The conditions for maximal absorption of the impulse energy are determined, depending on the mechanical and geometric parameters of the layer and duration of the loading. The role of the viscoelastic layer's geometry in a transversal direction and its thickness in forming the directed wave field on the surface has been shown. ru Інститут гідромеханіки НАН України Нестационарное деформирование трехмерного вязкоупругого слоя переменной толщины A non-stationary deformation of a three-dimensional viscoelastic layer with varying depth Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нестационарное деформирование трехмерного вязкоупругого слоя переменной толщины |
| spellingShingle |
Нестационарное деформирование трехмерного вязкоупругого слоя переменной толщины Воропаев, Г.А. Загуменный, Я.В. |
| title_short |
Нестационарное деформирование трехмерного вязкоупругого слоя переменной толщины |
| title_full |
Нестационарное деформирование трехмерного вязкоупругого слоя переменной толщины |
| title_fullStr |
Нестационарное деформирование трехмерного вязкоупругого слоя переменной толщины |
| title_full_unstemmed |
Нестационарное деформирование трехмерного вязкоупругого слоя переменной толщины |
| title_sort |
нестационарное деформирование трехмерного вязкоупругого слоя переменной толщины |
| author |
Воропаев, Г.А. Загуменный, Я.В. |
| author_facet |
Воропаев, Г.А. Загуменный, Я.В. |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
A non-stationary deformation of a three-dimensional viscoelastic layer with varying depth |
| description |
На основе численного решения трехмерной нестационарной задачи о колебаниях изотропного вязкоупругого слоя переменной толщины и конечных размеров в продольном и трансверсальном направлениях определены закономерности динамического поведения слоя при воздействии на его поверхности локальной импульсной нагрузки. Получены амплитудные и энергетические характеристики системы как функции механических параметров покрытия, его толщины, геометрии слоя в плане и места приложения нагрузки. Определены условия максимального поглощения энергии импульса в зависимости от механических и геометрических параметров слоя и времени действия нагрузки. Показана роль геометрии вязкоупругого слоя в плане и его толщины в формировании направленного волнового поля на поверхности.
На основі чисельного розв'язку тривимірної нестаціонарної задачі про коливання ізотропного в'язкопружного шару змінної товщини і скінченних розмірів у поздовжньому і трансверсальному напрямках визначені закономірності динамічної поведінки шару під дією на його поверхні локального імпульсного навантаження. Отримані амплітудні та енергетичні характеристики системи як функції механічних параметрів покриття, його товщини, геометрії шару в плані та місця прикладання навантаження. Визначені умови максимального поглинання енергії імпульсу в залежності від механічних та геометричних параметрів шару і тривалості дії навантаження. Показана роль геометрії в'язкопружного шару в плані та його товщини у формуванні направленого хвильового поля на поверхні.
On the basis of a numerical solution of the three-dimensional non-stationary problem on oscillation of an isotropic viscoelastic layer with varying depth and finite dimensions in the longitudinal and transversal directions, a dynamic behavior of the layer subjected to a local impulse load on its surface has been determined. The amplitude and energy characteristics of the layer are obtained as the functions of the mechanical parameters of the coating, its thickness, geometry of the layer section and load location. The conditions for maximal absorption of the impulse energy are determined, depending on the mechanical and geometric parameters of the layer and duration of the loading. The role of the viscoelastic layer's geometry in a transversal direction and its thickness in forming the directed wave field on the surface has been shown.
|
| issn |
1028-7507 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/977 |
| citation_txt |
Нестационарное деформирование трехмерного вязкоупругого слоя переменной толщины / Г.А. Воропаев, Я.В. Загуменный // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 2. — С. 27-36. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT voropaevga nestacionarnoedeformirovanietrehmernogovâzkouprugogosloâperemennoitolŝiny AT zagumennyiâv nestacionarnoedeformirovanietrehmernogovâzkouprugogosloâperemennoitolŝiny AT voropaevga anonstationarydeformationofathreedimensionalviscoelasticlayerwithvaryingdepth AT zagumennyiâv anonstationarydeformationofathreedimensionalviscoelasticlayerwithvaryingdepth |
| first_indexed |
2025-11-26T20:15:08Z |
| last_indexed |
2025-11-26T20:15:08Z |
| _version_ |
1850772888933629952 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 27 – 36
УДК 539.374+539.67
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ
ТРЕХМЕРНОГО ВЯЗКОУПРУГОГО СЛОЯ
ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
Г. А. В ОР ОП А Е В, Я. В. ЗА Г У МЕН Н Ы Й
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 19.06.2006
На основе численного решения трехмерной нестационарной задачи о колебаниях изотропного вязкоупругого слоя
переменной толщины и конечных размеров в продольном и трансверсальном направлениях определены закономер-
ности динамического поведения слоя при воздействии на его поверхности локальной импульсной нагрузки. Получе-
ны амплитудные и энергетические характеристики системы как функции механических параметров покрытия, его
толщины, геометрии слоя в плане и места приложения нагрузки. Определены условия максимального поглощения
энергии импульса в зависимости от механических и геометрических параметров слоя и времени действия нагрузки.
Показана роль геометрии вязкоупругого слоя в плане и его толщины в формировании направленного волнового
поля на поверхности.
На основi чисельного розв’язку тривимiрної нестацiонарної задачi про коливання iзотропного в’язкопружного шару
змiнної товщини i скiнченних розмiрiв у поздовжньому i трансверсальному напрямках визначенi закономiрностi
динамiчної поведiнки шару пiд дiєю на його поверхнi локального iмпульсного навантаження. Отриманi амплiтуднi
та енергетичнi характеристики системи як функцiї механiчних параметрiв покриття, його товщини, геометрiї шару
в планi та мiсця прикладання навантаження. Визначенi умови максимального поглинання енергiї iмпульсу в зале-
жностi вiд механiчних та геометричних параметрiв шару i тривалостi дiї навантаження. Показана роль геометрiї
в’язкопружного шару в планi та його товщини у формуваннi направленого хвильового поля на поверхнi.
On the basis of a numerical solution of the three-dimensional non-stationary problem on oscillation of an isotropic vi-
scoelastic layer with varying depth and finite dimensions in the longitudinal and transversal directions, a dynamic behavior
of the layer subjected to a local impulse load on its surface has been determined. The amplitude and energy characteristics
of the layer are obtained as the functions of the mechanical parameters of the coating, its thickness, geometry of the layer
section and load location. The conditions for maximal absorption of the impulse energy are determined, depending on
the mechanical and geometric parameters of the layer and duration of the loading. The role of the viscoelastic layer’s
geometry in a transversal direction and its thickness in forming the directed wave field on the surface has been shown.
ВВЕДЕНИЕ
В качестве одного из возможных методов управ-
ления турбулентным пограничным слоем на те-
лах, движущихся в водной или воздушной сре-
дах, с целью снижения сопротивления трения мо-
жет быть рекомендовано их покрытие тонким сло-
ем вязкоупругого материала. Податливая поверх-
ность, способная изменять свою форму и свойства
в зависимости от скорости движения тел, локаль-
ных градиентов давления и характеристик среды
без затрат энергии и вещества во время движения,
является основным элементом указанного метода
управления [1].
Определение механических и геометрических
параметров таких покрытий связано с решени-
ем сопряженной задачи для турбулентного пото-
ка на деформирующейся поверхности вязкоупру-
гого слоя и самого слоя. При определенных усло-
виях ее можно разделить на две связанные зада-
чи [2], одна их которых описывает турбулентный
пограничный слой на поверхности вязкоупруго-
го покрытия. При его моделировании применена
модель переноса напряжений Рейнольдса [3]. Мо-
дель [4], учитывающая равенство напряжений на
обтекаемой поверхности, а также обмен пульсаци-
онной энергией между потоком и вязкоупругим
покрытием, позволяет установить зависимости ме-
жду параметрами потока и характеристиками по-
крытия, при которых возможно снижение сопро-
тивления трения.
Для определения граничных условий для рей-
нольдсовых напряжений и потока пульсационной
энергии на поверхности тела решается задача де-
формирования вязкоупругого слоя под действием
пульсационных нормальной и касательной нагру-
зок. Обычно рассматривается слой постоянной то-
лщины, бесконечный в продольном направлении,
что позволяет получить аналитические решения в
классе плоских бегущих волн. При этом либо во-
змущение давления на границе представляется в
виде суммы гармоник, либо динамическая задача
для вязкоупругого слоя решается для энергонесу-
щей частоты турбулентного пограничного слоя [4].
Однако такая постановка накладывает существен-
ные ограничения не только на геометрию, но и
на механические параметры рассматриваемых по-
крытий. Для того, чтобы выявить влияние пе-
c© Г. А. Воропаев, Я. В. Загуменный, 2006 27
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 27 – 36
h0h0
L2
(P0, Q0, R0 ) x3x3
x1x1
(P0, Q0, R0 )
x2x2
(x01,x02,0)(x01,x02,0)
h(x1)h(x1)
L2
L1L1
Рис. 1. Схема расчетной области
ременности толщины покрытия, особенностей де-
формирования поверхности при отражении волн
от концов слоя и нерегулярности прикладываемой
нагрузки, в работе [5] численно решена плоская
задача поведения вязкоупругого слоя произволь-
ной геометрии при воздействии на его поверхность
импульсной локальной нагрузки, моделирующей
пульсации давления и напряжения трения в тур-
булентном пограничном слое. Это позволило опре-
делить кинематические и динамические характе-
ристики вязкоупругого слоя как функций реаль-
ного времени, оценить поведение его поверхности
при различных законах приложения нагрузки и
при любых геометрических и механических пара-
метрах покрытия, а также рассмотреть поведение
материалов с большой вязкостью, для которых ко-
лебания слоя существенно апериодичны. Однако и
такая постановка задачи не позволяет адекватно
учитывать локальность, а, следовательно, и энер-
гетику взаимодействия нерегулярных возмущений
турбулентного пограничного слоя и деформирую-
щейся поверхности вязкоупругого слоя.
Исходя из этого, в данной статье предлагае-
тся подход к определению граничных условий для
турбулентного пограничного слоя на податливой
поверхности на основании решения трехмерной
нестационарной динамической задачи для вязко-
упругого слоя переменной толщины и конечной
длины в продольном и трансверсальном направ-
лениях, подверженного локальной импульсной на-
грузке.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим задачу о деформировании вязко-
упругого слоя конечных длины и ширины, и
переменной толщины под действием локальной
импульсной нагрузки {P0, Q0, R0}, приложенной
в произвольной точке {x01, x02, 0} на поверхно-
сти слоя (рис. 1). Математическая формулиров-
ка включает в себя трехмерные линеаризованные
уравнения колебаний сплошной среды, записан-
ные в переменных Лагранжа:
ρ
∂2ξi
∂t2
= σij,j, (1)
с граничными условиями на верхней поверхности:
σx3x3
|x3=0 = −P (x1, x2, 0, t),
σx1x3
|x3=0 = Q(x1, x2, 0, t),
σx2x3
|x3=0 = R(x1, x2, 0, t),
(2)
и условиями жесткого закрепления на нижней и
боковых границах. Здесь ξi – амплитуды смеще-
ния точек слоя относительно своего исходного по-
ложения.
Напряжения и деформации связаны интеграль-
ными соотношениями [6]
σij(~x, t)=λ(t)θ(~x, t)δij +2µ(t)εij(~x, t)+
+
t
∫
0
[
θ(~x, t−s)
dλ(s)
ds
+2εij(~x, t−s)
dµ(s)
ds
]
ds.
(3)
Динамический сдвиговый модуль записывается в
виде суммы убывающих экспонент:
µ(t) = µ0 +
N
∑
j=1
µj exp(−t/τj), (4)
а модуль λ(t) определяется из условия равенства
динамического объемного модуля статическому:
λ(t) = λ0 −
2
3
N
∑
j=1
µj exp(−t/τj).
Преобразуем рассматриваемую область в пря-
моугольную с помощью замены переменных
η1 =
x1
L1
, η2 =
x2
L2
, η3 =
x3
h(x1)
,
t̄ =
t
T0
, T0 =
L1
Cλ
,
где h(x1) – переменная толщина покрытия, Cλ =
√
(λ(0)+2µ(0))/ρ – скорость распространения
продольной волны в вязкоупругом теле. Тогда сис-
тема уравнений, описывающая колебания вязко-
упругого слоя переменной толщины, запишется в
28 Г. А. Воропаев, Я. В. Загуменный
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 27 – 36
виде
(λ̃0 + 2µ̃0)D11ξ1 + µ̃0(D22ξ1 + D33ξ1)+
+(λ̃0 + µ̃0)(D12ξ2 + D13ξ3)−
−
N
∑
j=1
µ̃j
τj
{
T0t̄
∫
0
[
4
3
D11ξ1 + D22ξ1 + D33ξ1+
+
1
3
(D12ξ2 + D13ξ3)
]
T0(t̄−s̄)
×
×e−s̄/τj ds̄
}
=
∂2ξ1
∂t̄2
,
µ̃0(D11ξ2 + D33ξ2) + (λ̃0 + 2µ̃0)D22ξ2+
+(λ̃0 + µ̃0)(D12ξ1 + D23ξ3)−
−
N
∑
j=1
µ̃j
τj
{
T0t̄
∫
0
[
D11ξ2 + D33ξ2 +
4
3
D22ξ2+
+
1
3
(D12ξ1 + D23ξ3)
]
T0(t̄−s̄)
×
×e−s̄/τj ds̄
}
=
∂2ξ2
∂t̄2
,
µ̃0(D11ξ3 + D22ξ3) + (λ̃0 + 2µ̃0)D33ξ3+
+(λ̃0 + µ̃0)(D13ξ1 + D23ξ2)−
−
N
∑
j=1
µ̃j
τj
{
T0t̄
∫
0
[
D11ξ3 + D22ξ3 +
4
3
D33ξ3+
+
1
3
(D13ξ1 + D23ξ2)
]
T0(t̄−s̄)
×
×e−s̄/τj ds̄
}
=
∂2ξ3
∂t̄2
.
(5)
Здесь
λ̃0 =
λ0
ρC2
λ
; µ̃0 =
µ0
ρC2
λ
;
µ̃j =
µj
ρC2
λ
, j = 1, . . . , N ;
h′ =
dh
dx1
; h′′ =
d2h
dx2
1
;
D11 = L2
1
∂2
∂x2
1
=
=
∂2
∂η2
1
+ η2
3L
2
1
h′2
h2
∂2
∂η2
3
−
−2η3L1
h′
h
∂2
∂η1η3
+ L2
1
η3
h
(
2
h′2
h
− h′′
)
∂
∂η3
;
D22 = L2
1
∂2
∂x2
2
=
L2
1
L2
2
∂2
∂η2
2
;
D33 = L2
1
∂2
∂x2
3
=
L2
1
h2
∂2
∂η2
3
;
D12 = L2
1
∂2
∂x1∂x2
=
L1
L2
∂2
∂η1∂η2
−
h′
h
L2
1
L2
η3
∂2
∂η1∂η3
;
D13 = L2
1
∂2
∂x1∂x3
=
=
L1
h
∂2
∂η1∂η3
− L2
1
h′
h2
(
∂
∂η3
+ η3
∂2
∂η2
3
)
;
D23 = L2
1
∂2
∂x2∂x3
=
L2
1
L2h
∂2
∂η2η3
.
Полученная система интегро-дифференциаль-
ных уравнений решалась конечно-разностным ме-
тодом с использованием неявной пространственно-
факторизованной схемы второго порядка точно-
сти с центральными разностями по времени и про-
странственным переменным [7]. В качестве ма-
териала вязкоупругих слоев рассматривался по-
лиуретан, вязкие свойства которого приближен-
но описываются следующей функцией релакса-
ции [6]:
µ(t) = µ0 + kµ
5
∑
j=1
µj exp
(
−
t
1.5 · 106−j
)
,
где µ1 = 15.9 · 104, µ2 = 8.6 · 104, µ3 = 7.9 · 104,
µ4 =6.3 · 104, µ5 =4.9 · 104. Значение вязкости ма-
териала варьировалось путем изменения коэффи-
циента kµ.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Проанализировано динамическое поведение по-
крытий разной геометрии в плане с различными
законами изменения толщины. При этом рассма-
тривались различные значения статического и ди-
намического модулей материала и варьировались
точки приложения нагрузки. Так, на рис. 2 пред-
ставлены результаты расчета нестационарного по-
Г. А. Воропаев, Я. В. Загуменный 29
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 27 – 36
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 8*10-4
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 3.2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 4.4*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 5.6*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 6.8*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 8*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 9.2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
Рис. 2. Вид поверхности вязкоупругого слоя
постоянной толщины в различные моменты времени после приложения нагрузки:
параметры нагрузки – t0=2·10−4 с, P0 =−1000 Па, Q0 =R0 =0, (x01, x02)=(L1/2, L2/2);
геометрические параметры слоя – h0 =0.02 м, L1=L2 =0.2 м;
механические параметры слоя – µ0 =8·104 Па, λ0 =9µ0, kµ =1
30 Г. А. Воропаев, Я. В. Загуменный
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 27 – 36
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 4.4*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 4.4*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 6.8*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 6.8*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 9.2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 9.2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
а б
Рис. 3. Вид поверхности вязкоупругого слоя постоянной толщины в различные моменты времени
при изменении статического и динамического модулей материала слоя:
а – µ0 =8·104 Па, kµ =4; б – µ0 =3.2·104 Па, kµ =0.25
Г. А. Воропаев, Я. В. Загуменный 31
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 27 – 36
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 4.4*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 6.8*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 9.2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
Рис. 4. Вид поверхности вязкоупругого
слоя постоянной толщины в различные
моменты времени при L1/L2 =5
ведения поверхности вязкоупругого слоя посто-
янной толщины под воздействием нагрузки, при-
кладываемой мгновенно и действующей на коне-
чном промежутке времени. Естественно, началь-
ный этап формирования волновой поверхности
слоя не зависит от геометрии покрытия в пла-
не. Достигнув жестких боковых стенок, поверхно-
стные волны отражаются, меняя фазу, и начинают
распространяться в обратном направлении, взаи-
модействуя с волнами, движущимися от центра
слоя. В угловых областях процесс отражения бо-
лее сложен, так как происходит взаимное влияние
поверхностных волн, отраженных от смежных бо-
ковых стенок. Это проявляется в различии форм
фронтов первичной и отраженной поверхностных
волн.
Поведение поверхности слоя в районе прило-
жения нагрузки определяется временем ее при-
ложения, толщиной слоя в точке приложения и
скоростью распространения продольной волны в
слое. Каждый последующий приход отраженной
волны на поверхность генерирует последователь-
ные прогибы и вспучивания, интенсивность ко-
торых уменьшается со временем вследствие дей-
ствия вязкости и перераспределения воспринятой
вязкоупругим слоем энергии на большие объемы.
Эта переотражающаяся продольная волна нагруз-
ки формирует периодические затухающие колеба-
ния поверхности в области первоначального им-
пульса, генерирующие поверхностные волны, ко-
торые в случае слоя постоянной толщины распро-
страняются от источника возмущения симметри-
чно во всех направлениях.
На рис. 3, а и б представлено изменение возму-
щенной поверхности вязкоупругого слоя постоян-
ной толщины во времени под действием импуль-
сной нагрузки при возрастании динамического и
статического модулей соответственно. Здесь и да-
лее все параметры, кроме специально указанных в
подрисуночных подписях, соответствуют рис. 2
С увеличением статического модуля упругости
слоя амплитуды поверхностных волн при фикси-
рованной нагрузке уменьшаются. При этом ско-
рость затухания амплитуд остается практичес-
ки такой же. С увеличением вязкости материа-
ла уменьшаются амплитуды колебания поверхно-
сти и возрастают скорости их затухания во вре-
мени. При этом увеличиваются длины поверхно-
стных волн, как следствие возрастания отношения
скорости распространения сдвиговой волны к ско-
рости продольной волны.
Если длина вязкоупругого слоя значительно
превосходит его ширину, переотражение от жес-
тких боковых границ поверхностных волн, ориен-
32 Г. А. Воропаев, Я. В. Загуменный
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 27 – 36
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 4.4*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 4.4*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 4.4*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 6.8*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 6.8*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 6.8*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 9.2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 9.2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-2
-1
0
1
2
3
t = 9.2*10-3
x
2 /L
2
ξ
2 x10 6
x 1
/L
1
а б в
Рис. 5. Вид поверхности вязкоупругого слоя переменной толщины
в различные моменты времени при изменении точки приложения нагрузки:
а – (x01, x02)=(L1/2, L2/2), h(x01)=0.02 м; б – (x01, x02)=(L1/4, L2/2), h(x01)=0.03 м;
в – (x01, x02)=(3L1/4, L2/2), h(x01)=0.01 м
Г. А. Воропаев, Я. В. Загуменный 33
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 27 – 36
0 10 20 30
-3x10
-4
-2x10
-4
-1x10
-4
0
3/3
2/
2
1/
1ξ
2
/h
0
t/t
0
0 10 20 30
0
5x10
-5
1x10
-4
2x10
-4
2x10
-4
3/
3
2/
2
1/
1
ξ
2
/h
0
t/t
0
а б
Рис. 6. Величины прогибов (а) и вспучиваний (б) поверхности вязкоупругого слоя
для различных размеров площадки нагрузки, отнесенных к площади поверхности слоя:
1 – 4·10−4, 2 – 3.6·10−3, 3 – 10−2, штриховые – соответствующие плоские случаи
тированных в трансверсальном направлении и их
взаимодействие с первичными распространяющи-
мися волнами приводит к тому, что на поверхности
слоя формируется волновое движение, ориентиро-
ванное, главным образом, в продольном направле-
нии (рис. 4).
Волновая картина на поверхности слоя перемен-
ной толщины (клиновидной формы) существенно
зависит от места приложения нагрузки на поверх-
ности (рис. 5). Так, при смещении нагрузки в сто-
рону сужения клина первичное вспучивание по-
верхности начинает формироваться в более ран-
ние моменты времени и имеет большие амплиту-
ды. Это приводит к значительному увеличению
динамической шероховатости поверхности, взаи-
модействующей с потоком. Последующие вспучи-
вания смещаются все дальше в сторону расшире-
ния клина и затухают тем быстрее, чем меньше ло-
кальная толщина слоя в месте первоначальной на-
грузки. Со временем на поверхности клиновидно-
го слоя формируется несимметричная в направле-
нии изменения толщины волновая картина с прео-
бладающими амплитудами со стороны ее увеличе-
ния. Максимальные прогибы и вспучивания, опре-
деляющие динамическую шероховатость обтекае-
мой поверхности, естественно, фиксируются в ра-
йоне приложения нагрузки и зависят от площади,
по которой она прикладывается.
При решении задачи в трехмерной постановке
прогибы поверхности вязкоупругого слоя под дей-
ствием импульсной нагрузки, как правило, не пре-
вышают значений прогибов для соответствующей
плоской задачи или превышают их незначитель-
но (рис. 6, а). Вспучивания поверхности в трех-
мерном случае будут существенно меньше, одна-
ко это различие ослабевает с увеличением разме-
ров площадки нагрузки наряду с повышением вяз-
кости и снижением толщины вязкоупругого слоя
(рис. 6, б).
На рис. 7 приведены временные зависимости
суммы потенциальной и кинетической энергий
вязкоупругого слоя, отнесенной к величине вос-
принятой энергии, для различных величин пло-
щадки нагрузки. По этим графикам можно су-
дить о скорости диссипации энергии внешнего во-
змущения в покрытии. Так, в трехмерном слу-
чае скорость диссипации оказывается выше соо-
тветствующего значения для двумерного случая.
Здесь также существует тенденция к уменьше-
нию различий при увеличении площадки нагруз-
ки, повышении вязкости и снижении толщины
слоя. Вместе с тем, существует нижнее критиче-
ское значение величины площадки нагрузки, после
которого дальнейшее ее уменьшение не приводит
к изменению отношения скоростей диссипации в
пространственном и плоском случаях.
На рис. 8 показаны составляющие энергетиче-
ского баланса возмущенного покрытия в различ-
ные моменты времени. Мгновенные значения сум-
мы кинетической, потенциальной и диссипируе-
мой энергий равны энергии, воспринятой вязкоу-
пругим слоем, что является одним из подтвержде-
ний правильности численных результатов. Для
рассматриваемых механических и геометрических
параметров покрытия кинетическая энергия пре-
вышает потенциальную на всем интервале нагру-
жения. После прекращения действия нагрузки, ко-
гда слой начинает совершать свободные колеба-
34 Г. А. Воропаев, Я. В. Загуменный
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 27 – 36
ния, распределение кинетической и потенциаль-
ной энергии по покрытию и их суммарное значе-
ние определяется волновой картиной распростра-
няющихся продольных и сдвиговых волн. До опре-
деленного момента мгновенные значения энерге-
тических характеристик практически не коррели-
руют между собой, что говорит о неустановившем-
ся волновом поле. Позднее максимумы кинетиче-
ской и потенциальной энергий начинают распо-
лагаться в противофазе относительно друг друга.
Это говорит о начале установившегося волнового
движения в слое с периодическим обменом энер-
гии (его период можно соотнести с периодом то-
лщинного резонанса слоя).
Количество энергии, воспринимаемой вязкоу-
пругим слоем постоянной толщины за время дей-
ствия нагрузки, обратно пропорционально стати-
ческому и динамическому модулям и прямо про-
порционально величине нагрузки и времени ее
действия. Кроме того, оно не зависит от точки
приложения нагрузки. Однако увеличение воспри-
нимаемой энергии с увеличением времени дей-
ствия нагрузки наблюдается только до определен-
ного значения временного интервала, зависящего
от толщины слоя в точке нагружения и объемно-
го модуля материала слоя. Так, с приходом отра-
женной от жесткой нижней границы продольной
волны на поверхность вязкоупругого слоя, т. е. на-
чиная с t=2h0/Cλ, покрытие перестает восприни-
мать энергию внешнего возмущения в линейном
режиме. С этого момента внешнее давление взаи-
модействует и с отраженной продольной волной
на поверхности, в результате чего величина энер-
гии, воспринимаемой покрытием, перестает уве-
личиваться, а начинает осциллировать с перио-
дом, соответствующим толщинному резонансу, и
уменьшающейся амплитудой (последующие отра-
женные волны всегда имеют меньшую интенсив-
ность, см. рис. 9).
На рис. 10 представлены временные зависимо-
сти суммы потенциальной и кинетической энер-
гий для различных величин статического и дина-
мического модулей материала вязкоупругого слоя.
Суммарная энергии вязкоупругого слоя, накапли-
ваемая на начальном этапе действия нагрузки,
обратно пропорциональна упругому модулю мате-
риала, поэтому в разные моменты прекращения
действия нагрузки слой накапливает разное ко-
личество энергии. Однако, как видно из графи-
ков, через определенное время остаточные вели-
чины энергии практически совпадают. Это прои-
сходит потому, что величина диссипации зависит
не только от kµ, но и от амплитуд осцилляций по-
верхности. При одинаковых амплитудах и равных
0 10 20 30 40 50
1x10
-3
1x10
-2
1x10
-1
1x10
0
3/
3
2/
2
1
1/
K+Π
Pv
t/t
0
Рис. 7. Сумма потенциальной и кинетической
энергий, отнесенная к величине воспринятой энергии.
Обозначения кривых соответствуют рис. 6
0,5 5,0
1,0x10
-8
1,0x10
-7
1,0x10
-6
4
3
2
1
t/t
0
Рис. 8. Составляющие энергетического баланса
(параметры слоя и нагрузки соответствуют рис. 2):
1 – воспринятая энергия, 2 – диссипируемая энергия,
3 – кинетическая энергия, 4 – потенциальная энергия
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
0,0
5,0x10
-7
1,0x10
-6
1,5x10
-6
2,0x10
-6
2,5x10
-6
4
3
2
1
Pv
t/t
0
Рис. 9. Величина энергии, воспринятой вязкоупругим
слоем переменной толщины при изменении толщины
слоя в точке приложения нагрузки:
1 – h/h0 =3/4, 2 – h/h0 =1/2, 3 – h/h0 =1/4,
4 – слой постоянной толщины h0
Г. А. Воропаев, Я. В. Загуменный 35
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 27 – 36
0,5 5,0 50,0
1x10
-8
1x10
-7
1x10
-6
4321
K+Π
t/t
0
0,5 5,0 50,0
1x10
-8
1x10
-7
1x10
-6
4
3
2
1
K+Π
t/t
0
а б
Рис. 10. Суммарная потенциальная и кинетическая энергии:
а – для разных величин статического модуля сдвига, µ0 = 2·104, 8·104, 1.6·105, 3.2·105 (кривые 1 – 4 соответственно);
б – для разных значений вязкости материала слоя, kµ = 0.25, 1, 2, 4 (кривые 1 – 4 соответственно)
значениях вязкости характер изменения энергий
во времени в слоях с разными µ0 совпадает. Ско-
рость диссипации энергии не зависит от статиче-
ского модуля материала покрытия (см. рис. 10, а).
Увеличение только динамической составляющей
модуля приводит не только к уменьшению количе-
ства накопленной вязкоупругим слоем энергии, но
и к соответственному увеличению скорости дисси-
пации энергии в моменты времени после прекра-
щения действия нагрузки (см. рис. 10, б).
ВЫВОДЫ
При взаимодействии турбулентного потока с
вязкоупругим покрытием возмущения в потоке де-
формируют поверхность обтекаемого тела, ини-
циируя образование распространяющихся волн,
которые, в свою очередь, изменяют структуру по-
тока. Поэтому важными элементами оценки обра-
тного влияния покрытия на турбулентный поток
являются амплитуды колебаний поверхности вяз-
коупругого слоя, а также закономерности энер-
гетического обмена между потоком и покрыти-
ем. Эти характеристики получены при реализации
предложенного алгоритма.
Определены следующие закономерности дина-
мического поведения вязкоупругого слоя при во-
здействии на его поверхность локализованного им-
пульса в зависимости от механических параметров
вязкоупругого слоя, его геометрии в плане и то-
лщины, а также места приложения нагрузки:
• скорость поглощения энергии возмущений в
покрытии определяется динамическим моду-
лем материала покрытия;
• при малых значениях вязкости волновое поле
на поверхности слоя определяется не только
изменением толщины покрытия, но и геоме-
трией слоя в плане;
• учет трехмерности распространяющихся волн
позволяет адекватно учитывать энергетиче-
ское взаимодействие внешнего возмущения с
вязкоупругим слоем и определять скорость
поглощения его энергии внутри покрытия.
1. Bushnell D. M., Hefner J. N., Ash R. L. Effect
of compliant wall motion on turbulent boundary
layers // Phys. Fluids.– 20, N 10.– 1977.– P. 31–53.
2. Воропаев Г. А., Бабенко В. В. Турбулентный по-
граничный слой на эластичной поверхности //
Гидромеханика.– 1978.– 38.– С. 60–68.
3. Launder B. E., Reece G. I., Rodi W. Progress in the
development of a Reynolds stress turbulent closure //
J. Fluid Mech.– 1975.– 68.– P. 537–566.
4. Воропаев Г. А. Турбулентный пограничный слой
на деформирующейся поверхности // Прикл.
гидромех.– 2005.– 7(79), N 3-4.– С. 35–43.
5. Воропаев Г. А., Загуменный Я. В. Динамические
и кинематические характеристики вязкоупругого
слоя переменной толщины под действием импуль-
сной нагрузки // Акуст. вiсн.– 2005.– 8, N 4.–
С. 29–38.
6. Кристенсен Р. Введение в теорию вязко-
упругости.– М.: Мир, 1974.– 338 с.
7. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения мно-
гомерных задач математической физики.– Ново-
сибирск: Наука, 1967.– 197 с.
36 Г. А. Воропаев, Я. В. Загуменный
|