Задача Колмогорова про iснування абсолютно монотонної i кратно монотонної функцiї з заданими нормами похiдних
Розв’язано задачу Колмогорова про iснування функцiї з заданими нормами похiдних на
 класах кратно монотонних i абсолютно монотонних функцiй у випадку довiльного числа
 норм. Також показано зв’язок задачi Колмогорова i проблеми моментiв Маркова. Решена задача Колмогорова о существован...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97731 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача Колмогорова про iснування абсолютно монотонної i кратно монотонної функцiї з заданими нормами похiдних / В.Ф. Бабенко, Ю.В. Бабенко, О.В. Коваленко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 10. — С. 7-11. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860204454664470528 |
|---|---|
| author | Бабенко, В.Ф. Бабенко, Ю.В. Коваленко, О.В. |
| author_facet | Бабенко, В.Ф. Бабенко, Ю.В. Коваленко, О.В. |
| citation_txt | Задача Колмогорова про iснування абсолютно монотонної i кратно монотонної функцiї з заданими нормами похiдних / В.Ф. Бабенко, Ю.В. Бабенко, О.В. Коваленко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 10. — С. 7-11. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розв’язано задачу Колмогорова про iснування функцiї з заданими нормами похiдних на
класах кратно монотонних i абсолютно монотонних функцiй у випадку довiльного числа
норм. Також показано зв’язок задачi Колмогорова i проблеми моментiв Маркова.
Решена задача Колмогорова о существовании функции с заданными нормами производных
на классах кратно монотонных и абсолютно монотонных функций в случае произвольного
числа норм. Показана связь задачи Колмогорова и проблемы моментов Маркова.
Kolmogorov’s problem about the existence of a function with given norms of derivatives for classes of
multiply monotone functions and absolute monotone functions in the case of an arbitrary number of
norms is solved. The connection of Kolmogorov’s problem with Markov’s moment problem is shown.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:11:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2015
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
В.Ф. Бабенко, Ю.В. Бабенко, О.В. Коваленко
Задача Колмогорова про iснування абсолютно
монотонної i кратно монотонної функцiї з заданими
нормами похiдних
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В.П. Моторним)
Розв’язано задачу Колмогорова про iснування функцiї з заданими нормами похiдних на
класах кратно монотонних i абсолютно монотонних функцiй у випадку довiльного числа
норм. Також показано зв’язок задачi Колмогорова i проблеми моментiв Маркова.
Ключовi слова: задача Колмогорова, кратно монотонна функцiя, абсолютно монотонна
функцiя, нерiвностi для похiдних.
1. Позначення та постановка задачi. Через L∞(R−) позначимо простiр iстотно обме-
жених вимiрних функцiй x : R− → R зi звичайною нормою ∥ · ∥ = ∥ · ∥L∞(R−).
Для r ∈ N через Lr
∞(R−) будемо позначати простiр функцiй x : R− → R, що мають
локально абсолютно неперервну похiдну порядку r− 1, x(0) = x, i таких, що x(r) ∈ L∞(R−).
Покладемо Lr
∞,∞(R−) = Lr
∞(R−)
∩
L∞(R−).
Для x ∈ R i r ∈ N покладемо xr+ := (max{x, 0})r.
Ми розглядаємо задачу Колмогорова про iснування функцiї з заданими нормами похi-
дних у нижченаведенiй постановцi.
Задача Колмогорова. Нехай задано клас функцiйX ⊂ Lr
∞,∞(R−) i довiльну систему d
цiлих чисел 0 6 k1 < k2 < . . . < kd = r. Знайти необхiднi i достатнi умови на систему
додатних чисел Mk1 , Mk2 , . . . ,Mkd , якi б гарантували iснування функцiї x ∈ X такої, що
∥x(ki)∥ = Mki , i = 1, . . . , d.
Нехай задано d ∈ N i цiлi числа 0 6 k1 < k2 < . . . < kd = r. Покладемо k := (k1, . . . , kd),
k2 := (k2, k3, . . . , kd) i 2k2 := (k2, k3, . . . , kd−1). Набiр додатних чисел {Mk1 , . . . ,Mkd} бу-
демо позначати через Mk, набори {Mk2 , . . . ,Mkd} i {Mk2 , . . . ,Mkd−1
} — через Mk2 i M2k2
вiдповiдно. Для заданих вектора k := (k1, . . . , kd) i функцiї x ∈ X покладемо
Mk(x) := (Mk1(x), . . . ,Mkd(x)),
де
Mki(x) = ∥x(ki)∥, i = 1, . . . , d.
© В.Ф. Бабенко, Ю.В. Бабенко, О. В. Коваленко, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №10 7
Будемо називати набiр додатних чисел Mk допустимим для класу X ⊂ Lr
∞,∞(R−), якщо
iснує функцiя x ∈ X така, що ∥x(ki)∥ =Mki , i = 1, 2, . . . , d (або, бiльш коротко,Mk(x) =Mk).
Множину всiх ненульових допустимих наборiв Mk будемо позначати через Ak(X). Запис
Mk ∈ Ak(X) означає, що множина Mk допустима для класу X.
У наведених позначеннях задачу Колмогорова можна сформулювати таким чином. Для
заданого класу функцiй X ⊂ Lr
∞,∞(R−) i довiльної системи d цiлих чисел k охарактери-
зувати множину Ak(X).
Iсторiю питання та огляд вiдомих результатiв стосовно задачi Колмогорова можна зна-
йти в роботi [1].
2. Класи абсолютно монотонних та кратно монотонних функцiй. Нескiнченно
диференцiйовну на R− функцiю будемо називати абсолютно монотонною, якщо вона i всi
її похiднi невiд’ємнi на R−. Через AM(R−) будемо позначати клас абсолютно монотонних
на R− функцiй.
Справедливе нижчеподане iнтегральне зображення для абсолютно монотонних функцiй,
що було доведено С.Н. Бернштейном [2].
Теорема 1. Функцiя x(t) є абсолютно монотонною тодi i тiльки тодi, коли її можна
подати у виглядi
x(t) =
∞∫
0
etudβ(u), t ∈ R−, (1)
де β(u) — неспадна обмежена функцiя.
Через Lr,r
∞,∞(R−) позначимо клас функцiй x ∈ Lr
∞,∞(R−) таких, що для k = 0, . . . , r − 1
похiднi x(k) є неспадними та опуклими (див. [3]). Функцiї з класу Lr,r
∞,∞(R−) будемо називати
r-кратно монотонними.
Р. Вiльямсон [3] довiв таку теорему.
Теорема 2. Функцiя y(t) є r-кратно монотонною тодi i тiльки тодi, коли
y(t) =
1
r!
∞∫
0
(1 + ut)r+dβ(u), t ∈ R−, (2)
де β(u) — неспадна обмежена функцiя.
Для чисел a1, . . . , ad через diag(a1, . . . , ad) позначимо квадратну дiагональну матрицю
порядку d з числами a1, . . . , ad на головнiй дiагоналi. Для даного вектора c ∈ Rd позначимо
через diag(a1, . . . , ad)c результат множення матрицi diag(a1, . . . , ad) на вектор-стовпець c.
Для множини A ⊂ Rd покладемо
diag(a1, . . . , ad)A := {diag(a1, . . . , ad) c : c ∈ A}.
Зв’язок мiж множинами Ak(AM(R−)) i Ak(L
r,r
∞,∞(R−)) встановлює така теорема.
Теорема 3. Нехай задано цiлi числа 0 6 k1 < k2 < . . . < kd 6 r, k = (k1, . . . , kd). Тодi
Ak(AM(R−)) = diag((r − k1)!, . . . , (r − kd)!)Ak(L
r,r
∞,∞(R−)).
При доведеннi цiєї теореми ми використовуємо (1), (2) i той факт, що усi норми похiдних
порядкiв k1, . . . , kd у функцiй з класiв Lr,r
∞,∞(R−) i AM(R−) досягаються в точцi нуль.
8 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №10
3. Розв’язок задачi Колмогорова. Нехай m ∈ N, λs > 0, s = 1, . . . ,m, a1 > a2 >
> . . . > as > 0, λ = (λ1, . . . , λm), a = (a1, . . . , am). Функцiю
ϕ(Lr,r
∞,∞(R−),a, λ; t) :=
1
r!
m∑
s=1
λs(as + t)r+
називатимемо Lr,r
∞,∞(R−)-iдеальним сплайном з m вузлами. Функцiю
ϕ(AM(R−),a, λ; t) :=
m∑
s=1
λse
ast
називатимемо AM(R−)-iдеальним сплайном з m вузлами.
Нехай X позначає один з класiв Lr,r
∞,∞(R−) або AM(R−). Нами доведено, що якщо
k = (k1, . . . , kd), 0 < k1 < k2 < . . . < kd 6 r i d парне, то для довiльного Mk ∈ Ak(X)
iснує єдиний X-iдеальний сплайн ϕ(X;Mk; t) з не бiльше нiж d/2 вузлами, для якого
Mk(ϕ(X;Mk)) = Mk.
Розв’язок задачi Колмогорова на класах Lr,r
∞,∞(R−) та AM(R−) дає нижчесформульо-
вана теорема.
Теорема 4. Нехай r, d ∈ N, d > 3 i 0 6 k1 < k2 < . . . < kd = r — невiд’ємнi цiлi числа,
k = (k1, . . . , kd). Нехай X позначає один з класiв Lr,r
∞,∞(R−) або AM(R−). У випадку, коли d
непарне,
{Mk ∈ Ak(X)} ⇐⇒
{
Mk2 ∈ intAk2(X)
Mk1 > ∥ϕ(k1)(X,Mk2)∥
}∨
∨{Mk2 ∈ ∂Ak2(X)
∩
Ak2(X)
k1 > 0
Mk1 = ∥ϕ(k1)(X,Mk2)∥
}∨{Mk2 ∈ ∂Ak2(X)
∩
Ak2(X)
k1 = 0
Mk1 > ∥ϕ(k1)(X,Mk2)∥
}
,
а у випадку, коли d парне,
{Mk ∈ Ak(X)} ⇐⇒
{
Mk2 ∈ intAk2(X)
Mk1 > ∥ϕ(k1)(X,M2k2)∥
}∨
∨{Mk2 ∈ ∂Ak2(X)
∩
Ak2(X)
k1 > 0
Mk1 = ∥ϕ(k1)(X,M2k2)∥
}∨{Mk2 ∈ ∂Ak2(X)
∩
Ak2(X)
k1 = 0
Mk1 > ∥ϕ(k1)(X,M2k2)∥
}
.
Крiм того, Mk ∈ intAk(X) тодi i тiльки тодi, коли Mk2 ∈ intAk2(X) i Mk1 >
> ∥ϕ(k1)(X,Mk2)∥ (при непарному d) або Mk1 > ∥ϕ(k1)(X,M2k2)∥ (при парному d).
4. Зв’язок задачi Колмогорова та проблеми моментiв Маркова. Проблема мо-
ментiв має достатньо давню iсторiю. Першими її почали систематично вивчати П. Л. Чеби-
шов, А.А. Марков та Т. Стiлтьєс. Класичнi результати з цiєї проблематики можна знайти
в монографiях [4, 5]. Ми розглядаємо проблему моментiв у такому формулюваннi.
Проблема моментiв Маркова. Нехай на напiвосi [0,∞) задано систему функцiй
u1, . . . , un. Знайти необхiднi та достатнi умови на набiр чисел c = (c1, . . . , cn) ∈ Rn, для
того щоб гарантувати iснування неспадної обмеженої функцiї σ такої, що
ck =
∞∫
0
uk(t) dσ(t), k = 1, . . . , n. (3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №10 9
Через M(u1, . . . , un) позначимо множину всiх наборiв c ∈ Rn, якi допускають зобра-
ження (3).
Вiдмiтимо, що, згiдно з означенням, рiвномiрнi норми абсолютно монотонної на R− фун-
кцiї x(t) та її похiдних досягаються у точцi нуль. Внаслiдок iнтегрального зображення (1)
це означає, що для k = 0, 1, . . .
∥x(k)∥ = x(k)(0) =
∞∫
0
ukdβ(u).
Таким чином, справедлива нижчесформульована теорема, яка показує, що розв’язок
задачi Колмогорова на класi абсолютно монотонних функцiй дає також розв’язок проблеми
моментiв Маркова з функцiями u1(t) = tk1 , . . . , ud(t) = tkd .
Теорема 5. Нехай задано d ∈ N, 0 6 k1 < k2 < . . . < kd, k = (k1, . . . , kd). Тодi
Ak(AM(R−)) = M(tk1 , . . . , tkd).
Цитована лiтература
1. Бабенко В.Ф., Бабенко Ю.В., Коваленко О.В. Задача Колмогорова на классе кратно монотонных
функций // Доп. НАН України. – 2013. – № 11. – С. 7–12.
2. Бернштейн С.Н. Абсолютно монотонные функции // Собрание сочинений. Т. 1. – Москва: Изд-во
АН СССР, 1928. – С. 379–425.
3. Williamson R.E. Multiply monotone functions and their Laplace transforms // Duke Math. J. – 1956. –
23, No 2. – P. 189–207.
4. Karlin S., Studden W. J. Tchebycheff systems with applications in analysis and statistics. – New York:
Interscience, 1966. – 586 p.
5. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Физ-
матлит, 1973. – 553 с.
References
1. Babenko V. F., Babenko Yu.V., Kovalenko O.V. Dopov. NAN Ukraine, 2013, No 11: 7–12 (in Russian).
2. Bernshtein S.N. Absolute monotone functions, Collection of works, Vol. 1, Moscow: Izd-vo AN SSSR, 1928
(in Russian).
3. Williamson R.E. Duke Math. J., 1956, 23, No 2: 189–207.
4. Karlin S., Studden W. J. Tchebycheff systems with applications in analysis and statistics, New York:
Interscience, 1966.
5. Krein M.G., Nudelman A.A. The Markov moment problem and extremal problems, Moscow: Fizmatlit,
1973 (in Russian).
Надiйшло до редакцiї 13.05.2015Днiпропетровський нацiональний
унiверситет iм. Олеся Гончара
Унiверситет Кеннесоу, США
10 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №10
В.Ф. Бабенко, Ю. В. Бабенко, О.В. Коваленко
Задача Колмогорова о существовании абсолютно монотонной
и кратно монотонной функции с заданными нормами производных
Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара
Университет Кеннесоу, США
Решена задача Колмогорова о существовании функции с заданными нормами производных
на классах кратно монотонных и абсолютно монотонных функций в случае произвольного
числа норм. Показана связь задачи Колмогорова и проблемы моментов Маркова.
Ключевые слова: задача Колмогорова, кратно монотонная функция, абсолютно монотон-
ная функция, неравенства для производных.
V.F. Babenko, Yu.V. Babenko, O.V. Kovalenko
Kolmogorov’s problem about the existence of absolute monotone and
multiply monotone functions with given norms of derivatives
Oles Honchar Dnipropetrovsk National University
Kennesaw State University, USA
Kolmogorov’s problem about the existence of a function with given norms of derivatives for classes of
multiply monotone functions and absolute monotone functions in the case of an arbitrary number of
norms is solved. The connection of Kolmogorov’s problem with Markov’s moment problem is shown.
Keywords: Kolmogorov’s problem, multiply monotone function, absolute monotone function, ine-
qualities for derivatives.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №10 11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-97731 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:11:43Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бабенко, В.Ф. Бабенко, Ю.В. Коваленко, О.В. 2016-04-01T13:42:30Z 2016-04-01T13:42:30Z 2015 Задача Колмогорова про iснування абсолютно монотонної i кратно монотонної функцiї з заданими нормами похiдних / В.Ф. Бабенко, Ю.В. Бабенко, О.В. Коваленко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 10. — С. 7-11. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97731 517.5 Розв’язано задачу Колмогорова про iснування функцiї з заданими нормами похiдних на
 класах кратно монотонних i абсолютно монотонних функцiй у випадку довiльного числа
 норм. Також показано зв’язок задачi Колмогорова i проблеми моментiв Маркова. Решена задача Колмогорова о существовании функции с заданными нормами производных
 на классах кратно монотонных и абсолютно монотонных функций в случае произвольного
 числа норм. Показана связь задачи Колмогорова и проблемы моментов Маркова. Kolmogorov’s problem about the existence of a function with given norms of derivatives for classes of
 multiply monotone functions and absolute monotone functions in the case of an arbitrary number of
 norms is solved. The connection of Kolmogorov’s problem with Markov’s moment problem is shown. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Задача Колмогорова про iснування абсолютно монотонної i кратно монотонної функцiї з заданими нормами похiдних Задача Колмогорова о существовании абсолютно монотонной и кратно монотонной функции с заданными нормами производных Kolmogorov’s problem about the existence of absolute monotone and multiply monotone functions with given norms of derivatives Article published earlier |
| spellingShingle | Задача Колмогорова про iснування абсолютно монотонної i кратно монотонної функцiї з заданими нормами похiдних Бабенко, В.Ф. Бабенко, Ю.В. Коваленко, О.В. Математика |
| title | Задача Колмогорова про iснування абсолютно монотонної i кратно монотонної функцiї з заданими нормами похiдних |
| title_alt | Задача Колмогорова о существовании абсолютно монотонной и кратно монотонной функции с заданными нормами производных Kolmogorov’s problem about the existence of absolute monotone and multiply monotone functions with given norms of derivatives |
| title_full | Задача Колмогорова про iснування абсолютно монотонної i кратно монотонної функцiї з заданими нормами похiдних |
| title_fullStr | Задача Колмогорова про iснування абсолютно монотонної i кратно монотонної функцiї з заданими нормами похiдних |
| title_full_unstemmed | Задача Колмогорова про iснування абсолютно монотонної i кратно монотонної функцiї з заданими нормами похiдних |
| title_short | Задача Колмогорова про iснування абсолютно монотонної i кратно монотонної функцiї з заданими нормами похiдних |
| title_sort | задача колмогорова про iснування абсолютно монотонної i кратно монотонної функцiї з заданими нормами похiдних |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97731 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf zadačakolmogorovaproisnuvannâabsolûtnomonotonnoíikratnomonotonnoífunkciízzadaniminormamipohidnih AT babenkoûv zadačakolmogorovaproisnuvannâabsolûtnomonotonnoíikratnomonotonnoífunkciízzadaniminormamipohidnih AT kovalenkoov zadačakolmogorovaproisnuvannâabsolûtnomonotonnoíikratnomonotonnoífunkciízzadaniminormamipohidnih AT babenkovf zadačakolmogorovaosuŝestvovaniiabsolûtnomonotonnoiikratnomonotonnoifunkciiszadannyminormamiproizvodnyh AT babenkoûv zadačakolmogorovaosuŝestvovaniiabsolûtnomonotonnoiikratnomonotonnoifunkciiszadannyminormamiproizvodnyh AT kovalenkoov zadačakolmogorovaosuŝestvovaniiabsolûtnomonotonnoiikratnomonotonnoifunkciiszadannyminormamiproizvodnyh AT babenkovf kolmogorovsproblemabouttheexistenceofabsolutemonotoneandmultiplymonotonefunctionswithgivennormsofderivatives AT babenkoûv kolmogorovsproblemabouttheexistenceofabsolutemonotoneandmultiplymonotonefunctionswithgivennormsofderivatives AT kovalenkoov kolmogorovsproblemabouttheexistenceofabsolutemonotoneandmultiplymonotonefunctionswithgivennormsofderivatives |