Перiодичнi групи, циклiчнi пiдгрупи яких є зростаючими або майже самонормалiзованими
Вивчаються структури локально скiнченних груп, всi циклiчнi пiдгрупи яких є або зростаючими (вiдповiдно субнормальними), або мають скiнченний iндекс у своєму нормалiзаторi. Наведено їх опис i властивостi....
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97733 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Перiодичнi групи, циклiчнi пiдгрупи яких є зростаючими або майже самонормалiзованими / Л.А. Курдаченко, О.О. Пипка, М.М. Семко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 10. — С. 17-20. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-97733 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-977332025-02-09T14:34:28Z Перiодичнi групи, циклiчнi пiдгрупи яких є зростаючими або майже самонормалiзованими Периодические группы, циклические подгруппы которых являются возрастающими или почти самонормализованными Periodic groups, whose cyclic subgroups either are ascendant or almost self-normalized Курдаченко, Л.А. Пипка, О.О. Семко, М.М. Математика Вивчаються структури локально скiнченних груп, всi циклiчнi пiдгрупи яких є або зростаючими (вiдповiдно субнормальними), або мають скiнченний iндекс у своєму нормалiзаторi. Наведено їх опис i властивостi. Изучаются структуры локально конечных групп, все циклические подгруппы которых являются возрастающими (соответственно субнормальными) или имеют конечный индекс в своем нормализаторе. Приведены их описание и свойства. The structure of locale finite groups, whose cyclic subgroups either are ascendant (respectively, subnormal) or have finite index in their normalizers, is studied. Their description and properties are presented. 2015 Article Перiодичнi групи, циклiчнi пiдгрупи яких є зростаючими або майже самонормалiзованими / Л.А. Курдаченко, О.О. Пипка, М.М. Семко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 10. — С. 17-20. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97733 512.544 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Курдаченко, Л.А. Пипка, О.О. Семко, М.М. Перiодичнi групи, циклiчнi пiдгрупи яких є зростаючими або майже самонормалiзованими Доповіді НАН України |
| description |
Вивчаються структури локально скiнченних груп, всi циклiчнi пiдгрупи яких є або зростаючими (вiдповiдно субнормальними), або мають скiнченний iндекс у своєму нормалiзаторi. Наведено їх опис i властивостi. |
| format |
Article |
| author |
Курдаченко, Л.А. Пипка, О.О. Семко, М.М. |
| author_facet |
Курдаченко, Л.А. Пипка, О.О. Семко, М.М. |
| author_sort |
Курдаченко, Л.А. |
| title |
Перiодичнi групи, циклiчнi пiдгрупи яких є зростаючими або майже самонормалiзованими |
| title_short |
Перiодичнi групи, циклiчнi пiдгрупи яких є зростаючими або майже самонормалiзованими |
| title_full |
Перiодичнi групи, циклiчнi пiдгрупи яких є зростаючими або майже самонормалiзованими |
| title_fullStr |
Перiодичнi групи, циклiчнi пiдгрупи яких є зростаючими або майже самонормалiзованими |
| title_full_unstemmed |
Перiодичнi групи, циклiчнi пiдгрупи яких є зростаючими або майже самонормалiзованими |
| title_sort |
перiодичнi групи, циклiчнi пiдгрупи яких є зростаючими або майже самонормалiзованими |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97733 |
| citation_txt |
Перiодичнi групи, циклiчнi пiдгрупи яких є зростаючими або майже самонормалiзованими / Л.А. Курдаченко, О.О. Пипка, М.М. Семко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 10. — С. 17-20. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kurdačenkola periodičnigrupicikličnipidgrupiâkihêzrostaûčimiabomajžesamonormalizovanimi AT pipkaoo periodičnigrupicikličnipidgrupiâkihêzrostaûčimiabomajžesamonormalizovanimi AT semkomm periodičnigrupicikličnipidgrupiâkihêzrostaûčimiabomajžesamonormalizovanimi AT kurdačenkola periodičeskiegruppycikličeskiepodgruppykotoryhâvlâûtsâvozrastaûŝimiilipočtisamonormalizovannymi AT pipkaoo periodičeskiegruppycikličeskiepodgruppykotoryhâvlâûtsâvozrastaûŝimiilipočtisamonormalizovannymi AT semkomm periodičeskiegruppycikličeskiepodgruppykotoryhâvlâûtsâvozrastaûŝimiilipočtisamonormalizovannymi AT kurdačenkola periodicgroupswhosecyclicsubgroupseitherareascendantoralmostselfnormalized AT pipkaoo periodicgroupswhosecyclicsubgroupseitherareascendantoralmostselfnormalized AT semkomm periodicgroupswhosecyclicsubgroupseitherareascendantoralmostselfnormalized |
| first_indexed |
2025-11-26T22:44:49Z |
| last_indexed |
2025-11-26T22:44:49Z |
| _version_ |
1849894729536241664 |
| fulltext |
УДК 512.544
Л.А. Курдаченко, О. О. Пипка, М. М. Семко
Перiодичнi групи, циклiчнi пiдгрупи яких
є зростаючими або майже самонормалiзованими
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
Вивчаються структури локально скiнченних груп, всi циклiчнi пiдгрупи яких є або зро-
стаючими (вiдповiдно субнормальними), або мають скiнченний iндекс у своєму норма-
лiзаторi. Наведено їх опис i властивостi.
Ключовi слова: перiодичнi групи, локально скiнченнi групи.
З кожною пiдгрупою групи G пов’язанi деякi природнi системи пiдгруп. Розглянемо одну
з таких систем. Нехай H — пiдгрупа групи G. Побудуємо зростаючий ряд
⟨1⟩ = H0 6 H1 6 . . . Hα 6 Hα+1 6 . . . Hγ 6 Hγ+1 = G,
дe H1 = H, H2 = NG(H), Hα+1 = NG(Hα), Hλ =
∪
µ<λ
Hµ у випадку, коли λ є граничним по-
рядковим числом, α < γ, та NG(Hγ) = Hγ . Цей ряд називається верхнiм нормалiзаторним
рядом. Тут зразу виникають два природних типи пiдгруп. Якщо Hγ = G, то пiдгрупа H
називається зростаючою. Якщо Hγ = H (тобто зразу H = NG(H)), то пiдгрупа H назива-
ється самонормалiзованою. Iнакше кажучи, ми можемо бачити, що кожна пiдгрупа групи
природним чином пов’язана з двома типами пiдгруп: зi зростаючими та самонормалiзова-
ними пiдгрупами. Наявнiсть досить великої системи зростаючих пiдгруп справляє сильний
вплив на будову групи. Наприклад, якщо кожна пiдгрупа групи G є зростаючою, то вся гру-
па G локально нiльпотентна [1]. Бiльш того, якщо кожна циклiчна пiдгрупа групи G буде
зростаючою, то група G також буде локально нiльпотентною [2, теорема 2]. Навiть точнiше,
пiдгрупа Gru(G) довiльної групи G, породжена всiма циклiчними пiдгрупами, що є зроста-
ючими в групi G, є локально нiльпотентною. Ця пiдгрупа є очевидно характеристичною
i називається радикалом Грюнберга групи G. Кожна скiнченно породжена пiдгрупа Gru(G)
є нiльпотентною i зростаючою в G [2, теорема 2]. Група G називається групою Грюнберга,
якщо G = Gru(G).
Важливим частинним випадком зростаючих пiдгруп є субнормальнi пiдгрупи, тобто
зростаючi пiдгрупи, для яких верхнiй нормалiзаторний ряд є скiнченним. Пiдгрупа B(G),
породжена усiма циклiчними субнормальними пiдгрупами групи G, називається рaдикалом
Бeра групи G. Кожна скiнченно породжена пiдгрупа B(G) нiльпотентна i субнормальна в G
(див., наприклад, [3, теорема 2.5.1]), так що пiдгрупа B(G) є локально нiльпотентною. Слiд
зазначити, що у загальному випадку радикали Бера i Грюнберга можуть не збiгатися мiж
собою. Група G називається групою Бера, якщо G = B(G). Також зазначимо, що будова
груп Грюнберга i Бера може бути досить складною.
© Л.А. Курдаченко, О.О. Пипка, М. М. Семко, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №10 17
Досить часто виявляється, що ситуацiя, коли множина всiх пiдгруп (всiх циклiчних
пiдгруп або всiх скiнченно породжених пiдгруп) розпадається на двi частини, а пiдгрупи
з цих двох частин мають протилежнi, чи навiть антагонiстично протилежнi, властивостi,
є значно простiшою i такi групи мають досить прозору структуру. Якщо H — нормаль-
на пiдгрупа групи G, то HG = H. Tаким чином, пiдгрупа H, для якої HG = G, є при-
родним антиподом нормальної пiдгрупи. Такi пiдгрупи називають кoнтранормальними.
Природними антиподами для зростаючих та субнормальних пiдгруп є самонормалiзованi
пiдгрупи. Групи, кожна пiдгрупа яких є субнормальною або самонормалiзованою, вивча-
лись у роботi Л. А. Курдаченка та X. Смiта [4]. Л. А. Курдаченко, X. Отал, А. Руссо та
Дж. Вiнчензi у роботi [5] розглянули групи, кожна скiнченно породжена пiдгрупа яких
є або зростаючою, або самонормалiзованою. Скориставшись результатами цiєї роботи, не-
важко побачити, що локально скiнченнi групи, кожна циклiчна пiдгрупа яких є або зроста-
ючою, або самонормалiзованою, має таку ж саму будову. Ми розглянемо бiльш загальну
ситуацiю.
Нeхай H — пiдгрупа групи G. Пiдгрупу H будемо називати майже самонормалiзованою,
якщо H має скiнченний iндекс у своєму нормалiзаторi.
У данiй pоботi розглядаються групи, кожна циклiчна пiдгрупа яких є або зростаючою,
або майже самонормалiзованою. Основним її результатом є така теорема.
Tеорема A. Нeхай G — нескiнченна локально скiнченна група, кожна циклiчна пiд-
група якої є або зростаючою, або майже самонормалiзованою. Припустимо також, що G
не є групою Грюнберга. Тодi вона має такi властивостi:
(i) фактор-група F = G/Gru(G) є скiнченною;
(ii) G = Q h R, дe Q — нормальна силовська σ′-пiдгрупа G, R — силовська σ-пiдгрупа
G, де σ = Π(G/Gru(G));
(iii) R — чернiковська пiдгрупа;
(iv) Gru(G) = CR(Q) × Q;
(v) якщо g /∈ Gru(G), то CG(g) є скiнченним;
(vi) радикал Грюнберга Gru(G) є майже нiльпотентною пiдгрупою.
Вiдносно структури фактор-групи G/Gru(G) також можна отримати додаткову iнфор-
мацiю.
Наслiдок A1. Нeхай G — нескiнченна локально скiнченна група, кожна циклiчна пiд-
група якої є або зростаючою, або майже самонормалiзованою, та нехай F = G/Gru(G),
σ = Π(F ). Припустимо, що силовська σ′-пiдгрупа G є нескiнченною. Tодi
(i) якщо r ∈ σ та r ̸= 2, то силовська r-пiдгрупа F є циклiчною;
(ii) силовська 2-пiдгрупа F є циклiчною або узагальненою групою кватернiонiв;
(iii) кожна пiдгрупа F , що має порядок rq, r, q ∈ σ, є циклiчною.
Нeхай G — чернiковська група та D — її подiльна частина. Покладемо Sp(G) = Π(D).
Наслiдок A2. Нeхай G — нескiнченна локально скiнченна група, кожна циклiчна пiд-
група якої є або зростаючою, або майже самонормалiзованою, та нехай F = G/Gru(G),
σ = Π(F ). Припустимо, що силовська σ′-пiдгрупа G є скiнченною та Sp(G) = {p} для
деякого p ∈ σ. Tодi
(i) якщо q — просте число i q /∈ {2, p}, то силовська q-пiдгрупа F є циклiчною;
(ii) якщо p ̸= 2, то силовська 2-пiдгрупа F є циклiчною або узагальненою групою ква-
тернiонiв.
18 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №10
Наслiдок A3. Нeхай G — нескiнченна локально скiнченна група, кожна циклiчна пiд-
група якої є або зростаючою, або майже самонормалiзованою, та нехай F = G/Gru(G),
σ = Π(F ). Припустимо, що силовська σ′-пiдгрупа G є скiнченною та |Sp(G)| > 2. Tодi
(i) якщо q ∈ σ i q ̸= 2, то силовська q-пiдгрупа F є циклiчною;
(ii) якщо 2 ∈ σ, то силовська 2-пiдгрупа F є циклiчною або узагальненою групою ква-
тернiонiв.
Використовуючи тeoрему A, ми маємо можливiсть отримати опис локально скiнченних
груп, кожна циклiчна пiдгрупа яких є або субнормальною, або майже самонормалiзованою.
Нeхай G — група та A — її нормальна абелева пiдгрупа. Будемо говорити, що A є G-ква-
зiскiнченною, якщо A нескiнченна, але кожна її власна G-iнварiантна пiдгрупа скiнченна.
Tеорема В. Нeхай G — нескiнченна локально скiнченна група, кожна циклiчна пiд-
група якої є або субнормальною, або майже самонормалiзованою. Припустимо також, що
G не є групою Бера. Тодi вона має такi властивостi:
(i) фактор-група F = G/B(G) є скiнченною;
(ii) G = Q h R, дe Q — нормальна силовська σ′-пiдгрупа G, R — силовська σ-пiдгрупа
G, де σ = Π(G/B(G));
(iii) R — чернiковська пiдгрупа;
(iv) B(G) = CR(Q) × Q;
(v) якщо g /∈ B(G), то CG(g) є скiнченним;
(vi) B(G) мiстить у собi таку скiнченну G-iнварiантну σ-пiдгрупу K, що
B(G)/K = QK/K × U1/K × . . .× Uk/K,
дe Uj/K — G-квазiскiнченна подiльна чернiковська pj-пiдгрупа, pj ∈ σ, 1 6 j 6 k;
(vii) радикал Бера B(G) є нiльпотентною пiдгрупою.
Оскiльки кожна нормальна пiдгрупа є частинним випадком субнормальних пiдгруп, то
неважко отримати такий наслiдок.
Наслiдок В1. Нeхай G — нескiнченна локально скiнченна група, кожна циклiчна пiд-
група якої є або нормальною, або майже самонормалiзованою. Припустимо, що група G
не є дедекiндовою. Tодi
(i) якщо g /∈ B(G), то CG(g) є скiнченним;
(ii) фактор-група F = G/B(G) є скiнченною та циклiчною;
(iii) кожна пiдгрупа B(G) є G-iнварiантною, зокрема, B(G) є дедекiндовою групою;
(iv) силовська 2-пiдгрупа B(G) є чернiковською, бiльш того, якщо вона нескiнченна, то
B(G) є абелевою та фактор-група G/B(G) має порядок 2.
Цитована лiтература
1. Плоткин Б.И. К теории локально нильпотентных групп // Докл. АН СССР. – 1951. – 76. –
С. 639–641.
2. Gruenberg K.W. The Engel elements of a soluble groups // Illinois J. Math. – 1959. – 3. – P. 151–168.
3. Lennox J. C., Stonehewer S. E. Subnormal subgroups of groups. – Oxford: Clarendon Press, 1987. – 253 p.
4. Kurdachenko L.A., Smith H. Groups with all subgroups either subnormal or self-normalizing // J. Pure
Appl. Algebra. – 2005. – 196, No 2–3. – P. 271–278.
5. Kurdachenko L.A., Otal J., Russo A., Vincenzi G. Groups whose all subgroups are ascendant or self-
normalizing // Centr. Europ. J. Math. – 2011. – 9. – P. 420–432.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №10 19
References
1. Plotkin B. I. Dokl. AN USSR, 1951, 76: 639–641 (in Russian).
2. Gruenberg K.W. Illinois J. Math., 1959, 3: 151–168.
3. Lennox J. C., Stonehewer S. E. Subnormal subgroups of groups, Oxford: Clarendon Press, 1987.
4. Kurdachenko L.A., Smith H. J. Pure Appl. Algebra, 2005, 196, No 2–3: 271–278.
5. Kurdachenko L.A., Otal J., Russo A., Vincenzi G. Centr. Europ. J. Math., 2011, 9: 420–432.
Надiйшло до редакцiї 06.05.2015Днiпропетровський нацiональний унiверситет
iм. Олеся Гончара
Нацiональний унiверситет державної податкової
служби України, Iрпiнь
Л.А. Курдаченко, А.А. Пыпка, Н. Н. Семко
Периодические группы, циклические подгруппы которых являются
возрастающими или почти самонормализованными
Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара
Национальный университет государственной налоговой службы Украины, Ирпень
Изучаются структуры локально конечных групп, все циклические подгруппы которых яв-
ляются возрастающими (соответственно субнормальными) или имеют конечный индекс
в своем нормализаторе. Приведены их описание и свойства.
Ключевые слова: периодические группы, локально конечные группы.
L.A. Kurdachenko, A. A. Pypka, N. N. Semko
Periodic groups, whose cyclic subgroups either are ascendant or almost
self-normalized
Oles Honchar Dnipropetrovs’k National University
State Tax Service National University of Ukraine, Irpin
The structure of locale finite groups, whose cyclic subgroups either are ascendant (respectively,
subnormal) or have finite index in their normalizers, is studied. Their description and properties
are presented.
Keywords: periodic groups, locale finite groups.
20 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №10
|