Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред

Розглянуто задачу про розподіл електричного потенціалу в середовищі, яке містить контрастні за фізичними властивостями мікровключення різної геометричної форми. Як метод розв’язку вибрано багатомасштабний метод скінченних елементів. На основі отриманого розв’язку проведено процедуру гомогенізації ел...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Эпов, М.И., Шурина, Э.П., Артемьев, М.К.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України 2012
Schriftenreihe:	Геофизический журнал
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97829
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред / М.И. Эпов, Э.П. Шурина, М.К. Артемьев // Геофизический журнал. — 2012. — Т. 34, № 4. — С. 16-21. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-97829
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-978292025-02-09T10:51:26Z Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред Чисельна гомогенізація багатомасштабних гетерогенних середовищ Numerical homogenization of multi-scale heterogeneous media Эпов, М.И. Шурина, Э.П. Артемьев, М.К. Розглянуто задачу про розподіл електричного потенціалу в середовищі, яке містить контрастні за фізичними властивостями мікровключення різної геометричної форми. Як метод розв’язку вибрано багатомасштабний метод скінченних елементів. На основі отриманого розв’язку проведено процедуру гомогенізації електричного опору неоднорідного середовища. Виконано порівняння результатів чисельного моделювання і фізичного експерименту. A problem of electrical potential distribution in media, containing micro-inclusions with highly contrasting physical properties and different geometric shapes, was considered. Multiscale finite element method has been chosen as a solver. A procedure of homogenization of electrical resistivity of heterogeneous media was held, using the solution of original task. The results of numerical modeling were compared with the results of physical experiment. Рассмотрена задача о распределении электрического потенциала в среде, содержащей контрастные по своим физическим свойствам микровключения различной геометрической формы. В качестве метода решения выбран многомасштабный метод конечных элементов. На основе полученного решения проведена процедура гомогенизации электрического сопротивления неоднородной среды. Выполнено сравнение результатов численного моделирования с результатами физического эксперимента. Работа выполнена при поддержке гранта ОФИ-М 11-05-12-037 и интеграционного проекта СО РАН № 98. 2012 Article Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред / М.И. Эпов, Э.П. Шурина, М.К. Артемьев // Геофизический журнал. — 2012. — Т. 34, № 4. — С. 16-21. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0203-3100 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97829 550.372+550.371.5 ru Геофизический журнал application/pdf Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Розглянуто задачу про розподіл електричного потенціалу в середовищі, яке містить контрастні за фізичними властивостями мікровключення різної геометричної форми. Як метод розв’язку вибрано багатомасштабний метод скінченних елементів. На основі отриманого розв’язку проведено процедуру гомогенізації електричного опору неоднорідного середовища. Виконано порівняння результатів чисельного моделювання і фізичного експерименту.
format	Article
author	Эпов, М.И. Шурина, Э.П. Артемьев, М.К.
spellingShingle	Эпов, М.И. Шурина, Э.П. Артемьев, М.К. Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред Геофизический журнал
author_facet	Эпов, М.И. Шурина, Э.П. Артемьев, М.К.
author_sort	Эпов, М.И.
title	Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред
title_short	Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред
title_full	Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред
title_fullStr	Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред
title_full_unstemmed	Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред
title_sort	численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред
publisher	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
publishDate	2012
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97829
citation_txt	Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред / М.И. Эпов, Э.П. Шурина, М.К. Артемьев // Геофизический журнал. — 2012. — Т. 34, № 4. — С. 16-21. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Геофизический журнал
work_keys_str_mv	AT épovmi čislennaâgomogenizaciâmnogomasštabnyhgeterogennyhsred AT šurinaép čislennaâgomogenizaciâmnogomasštabnyhgeterogennyhsred AT artemʹevmk čislennaâgomogenizaciâmnogomasštabnyhgeterogennyhsred AT épovmi čiselʹnagomogenízacíâbagatomasštabnihgeterogennihseredoviŝ AT šurinaép čiselʹnagomogenízacíâbagatomasštabnihgeterogennihseredoviŝ AT artemʹevmk čiselʹnagomogenízacíâbagatomasštabnihgeterogennihseredoviŝ AT épovmi numericalhomogenizationofmultiscaleheterogeneousmedia AT šurinaép numericalhomogenizationofmultiscaleheterogeneousmedia AT artemʹevmk numericalhomogenizationofmultiscaleheterogeneousmedia
first_indexed	2025-11-25T20:48:12Z
last_indexed	2025-11-25T20:48:12Z
_version_	1849796796562276352
fulltext	М. И. ЭПОВ, Э. П. ШУРИНА, М. К. АРТЕМЬЕВ 16 Геофизический журнал № 4, Т. 34, 2012 Введение. Многомасштабные и высоко- контрастные среды доминируют во многих приложениях, например в естественных гео- логических объектах, представляющих по- ристую флюидонасыщенную среду с мелки- ми контрастными по физическим свойствам включениями, проводящими и непроводя- щими. При исследовании стационарных ре- жимов, таких как установившееся течение жидкости, электропроводность объектов при постоянном токе может быть измерена как некоторая эффективная или усредненная ха- рактеристика этих структур. Однако вопрос, как связаны усредненные (эффективные) ха- рактеристики многомасштабного объекта и его структура и возможно ли по измерениям конкретных физических величин определить структуру исследуемого объекта, остается ин- тенсивно разрабатываемым в теории и прак- тическом приложении многомасштабных численных методов. В настоящее время существует множество тесно связанных, но, тем не менее, различаю- щихся, многомасштабных методов. Впервые многомасштабный метод был предложен Р.П. Федоренко и его коллегами в 1976 г. [Страховская, Федоренко, 1976] и получил название «метод конечных суперэлементов» (МКСЭ). Как и метод конечных элементов, МКСЭ основан на представлении решения задачи в виде разложения по системе базис- УДК 550.372+550.371.5 Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред © М. И. Эпов, Э. П. Шурина, М. К. Артемьев, 2012 Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, Новосибирск, Россия Поступила 27 апреля 2012 г. Представлено членом редколлегии В. И. Старостенко Розглянуто задачу про розподіл електричного потенціалу в середовищі, яке містить контр- астні за фізичними властивостями мікровключення різної геометричної форми. Як метод розв’язку вибрано багатомасштабний метод скінченних елементів. На основі отриманого розв’язку проведено процедуру гомогенізації електричного опору неоднорідного середови- ща. Виконано порівняння результатів чисельного моделювання і фізичного експерименту. A problem of electrical potential distribution in media, containing micro-inclusions with highly contrasting physical properties and different geometric shapes, was considered. Multiscale finite element method has been chosen as a solver. A procedure of homogenization of electrical resisti- vity of heterogeneous media was held, using the solution of original task. The results of numerical modeling were compared with the results of physical experiment. ных функций, имеющих конечный носитель. Однако если в МКЭ мера такого носителя предполагается малой, а базисные функции — это полиномы, то в МКСЭ мера носите- ля базисных функций предполагается столь большой, что заведомо не позволяет пере- дать мелкомасштабные особенности задачи, а базисные функции не известны заранее и имеют сложную структуру, определяемую ре- шаемой задачей. Несмотря на то что данный метод был предложен довольно давно, его тео- ретические и численные исследования прово- дятся и в настоящее время [Жуков и др., 2002; Бородай и др., 2008]. К особенностям данного метода можно отнести требование разделе- ния масштабов включений и основной среды. Кроме того, в работах, посвященных МКСЭ, рассматривается построение грубой сетки лишь по участкам относительно гладкого ре- шения, т. е. контрастные включения должны содержаться строго внутри суперэлементов. Одним из самых популярных современ- ных многомасштабных методов является «ге- терогенный многомасштабный метод» (ГММ) [E, Engquist, 2003; Abdulle, 2009]. ГММ состо- ит из двух этапов: выбор макроскопического решателя и оценивание недостающих макро- скопических данных за счет решения локаль- ной мелкомасштабной задачи. Особенности ГММ состоят в следующем: 1) общая структура вычислений определе- ЧИСЛЕННАЯ ГОМОГЕНИЗАЦИЯ МНОГОМАСШТАБНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД Геофизический журнал № 4, Т. 34, 2012 17 на так, что позволяет максимально использо- вать преимущества разделения масштабов. Для периодических сред сложность метода не зависит от малого параметра осциллирующе- го коэффициента, также метод может приме- няться и для непериодических сред; 2) для задач без разделения масштабов для учета мелкомасштабных включений в ГММ необходимо адаптировать сеточные характе- ристики к геометрии этих включений. Такое существенное ограничение, как раз- деление масштабов, налагаемое на решаемую задачу, значительно сужает область примене- ния гетерогенного метода конечных элемен- тов. Однако, по утверждению авторов метода, это упрощение позволяет значительно увели- чить скорость решения задачи, сохраняя вы- сокую точность. Не менее известным современным много- масштабным методом является «многомас- штабный метод конечных элементов» (ММКЭ) [Hou, Wu, 1997; Hou et al., 1999; Efendiev, Hou, 2009]. Данный метод является наиболее ус- пешной реализацией идеи МКСЭ Федоренко, а именно — использования в качестве базис- ных функций численного решения исходной задачи на более мелком масштабе. ММКЭ не имеет ограничений на периодичность осцил- лирующих коэффициентов, а также может применяться как для сред с разделенными, так и с непрерывными масштабами включений. Основной сложностью с теоретической и тех- нологической точки зрения является «сшив- ка» многомасштабных базисных функций на границах элементов грубой сетки. «Сшивка» целиком определяется видом многомасштаб- ных базисных функций на межэлементных границах. Поэтому вопросу учета краевых условий мелкомасштабной задачи, опреде- ляющей вид базисных функций, посвящено большое количество исследований, так как краевое условие, соответствующее природе исследуемого процесса, может значительно повысить точность решения. В настоящее вре- мя развитие ММКЭ связано с обоснованным выбором соответствующих краевых условий для вычисления базисных функций [Allaire, Brizzi, 2005; Chu et al., 2010; Zhang et al., 2011]. Главным преимуществом ММКЭ и МКСЭ Федоренко является их естественная парал- лельная структура. Она определяется тем, что наиболее затратные вычислительные проце- дуры — решение задач на микроуровне для определения многомасштабных базисных функций — могут быть выполнены парал- лельно. Также тот факт, что ММКЭ не имеет ограничений на периодичность коэффициен- тов и разделение масштабов, делает целесо- образным и обоснованным применение этого метода для решения широкого класса задач. В настоящей статье реализованы алгоритмы на базе этого метода для определения эффектив- ного удельного сопротивления гетерогенной среды с мелкими контрастными включения- ми различной геометрической формы. Математическая модель. В статье рассма- тривается задача о распределении электриче- ского потенциала u в неоднородной области Ω (рис. 1), состоящей из скелета Ω1 и пор (ми- кровключений, заполненных флюидом), Ω2 с характеристическим размером d. Задача опи- сывается эллиптическим уравнением ( )1 0u , (1) где — удельное электрическое сопротивле- ние (Ом·м), различное в 1 и 2. Обозначим границу расчетной области 1 2U (см. рис. 1). На границе 1 задано краевое условие Дирихле, которое определяется приложенным к границе элек- тродом. На границе 2 задано однородное краевое условие Неймана, которое интерпре- тируется как условие непротекания тока: 1 u g , (2) 2 1 0u n . (3) Электроды находятся на противополож- ных гранях и покрывают их целиком, что обе- спечивает протекание тока во всей расчетной области. Рис. 1. Схематическое изображение расчетной области. М. И. ЭПОВ, Э. П. ШУРИНА, М. К. АРТЕМЬЕВ 18 Геофизический журнал № 4, Т. 34, 2012 Вариационная постановка. Введем гиль- бертово пространство H1 , ассоциирован- ное с нормой и скалярным произведением: 1 1 2 H H u u u , 1H u v uv u vd . Введем пространства {1 1 0H x x H }1 x и 1 0V H g . Тогда вариаци- онная формулировка модельной задачи име- ет следующий вид: найти u V такое, что 1 0v H выполняется 1 0u vd . Дискретная вариационная постановка. Построим в области Ω параллелепипедальную регулярную сетку KH с характеристическим размером ячейки H=min(Hx, Hy, Hz d (рис. 2). Поскольку размер ячейки больше характе- ристического размера включений, будем на- зывать эту сетку «грубой». Степени свободы приближенного решения задачи (1)—(3) ассо- циируем с вершинами параллелепипедов. В качестве дискретного пространства, которому принадлежит приближенное решение, выбе- рем пространство Vh , натянутое на много- масштабные базисные функции j, j=1, …, N, где N — количество узлов KH. Глобальные ба- зисные функции j, j=1, …, N, определяются локальными функциями ϕi, j=1, …, 8, задан- ными на каждом элементе k разбиения KH. Каждая из локальных базисных функций ϕi, j=1, …, 8, есть решение отдельной эллиптиче- ской краевой задачи: ( )1 0i в Hk K , (4) i k i . (5) Выбор i произволен, но именно он опре- деляет правильность учета мелкомасштабных особенностей среды в решении исходной за- дачи. В простейшем случае i выбирают как по- линомиальную функцию. Выбор такого крае- вого условия оправдан лишь тогда, когда гра- ни параллелепипедальной сетки не пересе- кают поры, т.е. когда включения содержатся строго внутри элементов разбиения KH. Альтернативным способом учета краевого условия для задачи (4), (5) является решение дополнительной задачи в двумерной области: ( )1 0i на k, i i . (6) Такой способ определения i позволяет учесть мелкомасштабные особенности среды на гра- нях параллелепипедальной сетки. В свою очередь i может также представ- лять собой полиномиальную функцию или ре- шение дополнительной задачи в одномерной области: ( )1 0i на Г, ji x ij . (7) Такой способ определения i позволяет учесть мелкомасштабные особенности среды на ре- брах параллелепипедальной сетки. В работе [Hou et al., 1999] первое краевое условие называется линейным. Это связано с тем, что в качестве полиномиальной функции обычно выступает полином первого порядка. Второе условие называют осциллирующим, поскольку оно позволяет учесть «осцилля- ции» решения на границах элементов грубой сетки. Решение задач (4)—(7) осуществляется с помощью классического МКЭ, где в качестве элемента разбиения выступают симплексы. При любом из перечисленных спосо- бов учета краевого условия вычисленные в каждом элементе k₂KH локальные базисные функции ϕi, j=1, …, 8, образуют непрерыв- ные многомасштабные функции j, j=1, …, N, склейкой по степеням свободы, ассоцииро- ванным с узлами грубой сетки. Множество всех базисных функций определяет про- странство Vh( )=span{ j, j=1, …, N} 1 0H . Тогда дискретная вариационная постановка звучит следующим образом: найти h hu V такое, что h hv V выполняется 1 0h hu v d . (8) Рис. 2. Схематическое изображение грубой сетки. ЧИСЛЕННАЯ ГОМОГЕНИЗАЦИЯ МНОГОМАСШТАБНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД Геофизический журнал № 4, Т. 34, 2012 19 Дискретный аналог точного решения зада- чи (1)—(3) h hu V можно представить как линейную комбинацию базисных функций 1 N h j j j u q . (9) Используя представление uh и h в виде (9) и подставив его в уравнение (8), переходим к решению системы линейных алгебраических уравнений, которая в матричной форме имеет вид Aq b , где элементы матрицы A определяются сле- дующим образом: 1[ ]ij i jA d . (10) Интегралы из соотношения (10) вычисля- ются с использованием кубатурных формул [Мысовских, 1981]. При этом ненулевая часть вектора правой части ассоциирована с крае- выми условиями (2), (3). Вычислительные эксперименты. Рассмот- рим распределение электрического потенци- ала в среде, имеющей включения различной геометрической формы — цилиндрические, сферические, эллипсоидальные и параллеле- пипедальные (рис. 3). Сопротивление вклю- чений — 100 Ом·м, сопротивление скелета — 1 Ом·м. Так как включения не пересекают грани суперэлементов, для вычисления базис- ных функций используется линейное краевое условие. Результаты моделирования приведе- ны на рис. 4, где показано распределение по- тенциала и вектора плотности электрическо- го тока. Рис. 3. Расчетная область с включениями различной гео- метрической формы. Рис. 4. Распределение потенциала и вектора плотности электрического тока. Вычисление распределения электрическо- го потенциала в образце позволило выполнить процедуру гомогенизации (осреднения) элек- трического сопротивления. Локальный закон Ома связывает плотность электрического тока J(x с напряженностью электрического поля E(x) соотношением J(x)= –1(x)E(x). Тогда эффективное удельное электрическое сопро- тивление может быть вычислено по формуле e SU I , (11) где U=u1–u2 — заданная разность потенциа- лов на электродах, I — полный ток в образце, S — площадь сечения, перпендикулярного те- чению тока. Отметим, что полный ток вычис- ляется по формуле dJI . Исследуем зависимость эффективно- го сопротивления от «пористости» среды. «Пористость» определяется как отношение объема включений к объему среды, выражен- ное в процентах: 2 100%V . Будем регулировать «пористость» среды, фиксируя либо размер включений, либо их количество. При этом сопротивление скелета М. И. ЭПОВ, Э. П. ШУРИНА, М. К. АРТЕМЬЕВ 20 Геофизический журнал № 4, Т. 34, 2012 постоянно (1 Ом·м), а сопротивление включе- ний варьируется. На рис. 5 представлены результаты иссле- дования зависимости эффективного электри- ческого сопротивления кубических образцов 0,1×0,1×0,1 м при изменении размеров сфе- рических включений от 4,5·10–4 до 8,2·10–3 м при их постоянном количестве 1331 и изме- нении сопротивления включений от 1·10–2 до 1·102 Ом·м. Рис. 7. Расположение электродов в ходе физического экс- перимента. Рис. 5. Зависимость эффективного УЭС от плотности среды, регулируемой за счет изменения размеров вклю- чений при фиксированном количестве. На рис. 6 представлены результаты ис- следования при количестве включений от 0 (однородная среда) до 1331 при фиксирован- ном размере включения 8,2·10–3 м и измене- нии сопротивления включений от 1·10–2 до 1·102 Ом·м. При одном и том же значении «пористо- сти» значения эффективного электрическо- го сопротивления, приведенные на рис. 5 и 6, различаются не более чем на 11 %, что опреде- ляется внутренней структурой исследуемого образца. Физический эксперимент. Проведем срав- нение значений, полученных в ходе физиче- ского эксперимента, со значениями, получен- ными в результате численного моделирования [Эпов и др., 2012]. В качестве образца для изме- рения свойств скелета используется однород- ный параллелепипед из песчано-цементной смеси 49,7·10–3×49,2·10–3×50·10–3 м. В качестве образца гетерогенной среды — аналогичный объект с непроводящими (пластиковыми) Рис. 6. Зависимость эффективного УЭС от плотности сре- ды, регулируемой за счет изменения количества включе- ний при фиксированном размере. Сравнение результатов физического экспе- римента и численного моделирования П ол ож ен ие эл ек тр од ов УЭС (физический эксперимент), Ом·м УЭС (численное моделиро- вание), Ом·м Относи- тельная разность, % A 12,424 12,009 3,5 B 11,314 11,634 2,8 C 12,422 12,313 0,9 ЧИСЛЕННАЯ ГОМОГЕНИЗАЦИЯ МНОГОМАСШТАБНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД Геофизический журнал № 4, Т. 34, 2012 21 расхождение между результатами численно- го и физического экспериментов (менее 4 %), что показывает эффективность и обоснован- ность разработанных алгоритмов. Работа выполнена при поддержке гранта ОФИ-М 11-05-12-037 и интеграционного про- екта СО РАН № 98. включениями, диаметром 3·10–3 м. Количество включений — 16. Измерения проводились для различного расположения электродов, как показано на рис. 7. Результаты физических измерений и численного моделирования при- ведены в таблице. Необходимо отметить достаточно малое Бородай В. Э., Галанин М. П., Лазарева С. А., Паршенцев В. А., Шипилов В. А. Применение метода конечных суперэлементов для рас- чета распределений электрического потен- циала и плотности тока в проводящих объ- ектах. — Москва, 2008. — 26 с. — (Препр. / ИПМ РАН; № 17). Жуков В. Т., Новикова Н. Д., Страховская Л. Г., Федоренко Р. П., Феодоритова О. Б. Метод конечных суперэлементов в задачах кон- векции-диффузии // Матем. моделирова- ние. — 2002. — 14, №11. — С. 78—92. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатур- ные формулы. — Москва: Наука, 1981. — 336 с. Страховская Л. Г., Федоренко Р. П. Об одной специальной разностной схеме // Числен- ные методы механики сплошной среды. — 1976. — 7, № 4. — С. 149—163. Эпов М. И., Шурина Э. П., Артемьев М. К. Численная гомогенизация электрических характеристик сред с контрастными мел- комасштабными включениями // Докл. РАН. — 2012. — 442, № 1. — С. 188—120. Abdulle A. The Finite Element Heterogeneous Multiscale Method: a computational strate- gy for multiscale PDEs // Math. Sci. Appl. — 2009. — 31. — P. 133—181. Список литературы Allaire G., Brizzi R. A multiscale finite element method for numerical homogenization // SIAM MMS. — 2005. — 4. — Р. 790—812. Chu C.-C., Graham I. G., Hou T. Y. A New Multiscale Finite Element Method for High- Contrast Elliptic Interface Problems // Math. Comput. — 2010. — 79, № 272. — P. 1915— 1955. E W., Engquist B. The heterogeneous multiscale methods // Comm. Math. Sci. — 2003. — 1, № 1. — P. 87—132. Efendiev Y. R., Hou T. Y. Multiscale finite element methods: Theory and applications. — New York: Springer, 2009. — Р. 234. Hou T. Y., Wu X.-H. A Multiscale Finite Element Method for Elliptic Problems in Composite Materials and Porous Media // J. Comput. Phys. — 1997. — 134. — Р. 169—189. Hou T. Y., Wu X.-H., Cai Z. Convergence of a multiscale finite element method for elliptic problems with rapidly oscillating coefficients // Math. Comput. — 1999. — 68, № 227. — P. 913—943. Zhang H. W., Wu J. K., Lv J. A new multiscale com- putational method for elasto-plastic analysis of heterogeneous materials // Comput. Mech. — 2011. — 49, № 2. — P. 149—169.

Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред

Institution

Ähnliche Einträge