Зображення обкладинки

Свойства локализованных вблизи границ волновых движений в заполненном жидкостью цилиндре

Исследованы свойства гармонических поверхностных волн в упругом цилиндре, заполненном жидкостью. Описание волнового движения проведено на основе полной системы уравнений динамической теории упругости и уравнений движения идеальной сжимаемой жидкости. Асимптотический анализ дисперсионных соотношений...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2006
Автори: Гринченко, В.Т., Комиссарова, Г.Л.
Формат: Стаття
Мова:Російська
Опубліковано: Інститут гідромеханіки НАН України 2006
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/979
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Свойства локализованных вблизи границ волновых движений в заполненном жидкостью цилиндре / В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 2. — С. 37-55. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859518721657143296
author Гринченко, В.Т.
Комиссарова, Г.Л.
author_facet Гринченко, В.Т.
Комиссарова, Г.Л.
citation_txt Свойства локализованных вблизи границ волновых движений в заполненном жидкостью цилиндре / В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 2. — С. 37-55. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
collection DSpace DC
description Исследованы свойства гармонических поверхностных волн в упругом цилиндре, заполненном жидкостью. Описание волнового движения проведено на основе полной системы уравнений динамической теории упругости и уравнений движения идеальной сжимаемой жидкости. Асимптотический анализ дисперсионных соотношений в области больших волновых чисел и качественный анализ дисперсионного спектра позволил установить принципиальные различия между свойствами поверхностных волн в волноводах с жесткими и мягкими стенками. В обоих случаях первая нормальная волна с увеличением волнового числа формирует в пределе волну Стоунли на внутренней поверхности цилиндра. Для мягкого материала цилиндра вторая нормальная волна формирует в пределе волну Рэлея на внешней поверхности. В случае жесткого цилиндра поверхностная волна на внешней поверхности как предельное состояние одной из нормальных волн волновода не существует, а движения типа волны Рэлея формируются лишь на отдельных участках различных дисперсионных кривых. Для мягких и жестких материалов цилиндров наблюдается также существенное различие в предельных значениях фазовых скоростей волн высших порядков. Досліджені властивості гармонічних поверхневих хвиль у пружному циліндрі, заповненому рідиною. Для опису хвильових рухів використано повну систему рівнянь динамічної теорії пружності та рівняння руху ідеальної стисливої рідини. Асимптотичний аналіз дисперсійних співвідношень в області великих хвильових чисел та якісний аналіз дисперсійного спектра дозволив установити принципові відмінності між властивостями поверхневих хвиль у хвилеводах із жорсткими та м'якими стінками. В обох випадках перша нормальна хвиля зі збільшенням хвильового числа у граничному наближенні формує хвилю Стоунлі на внутрішній поверхні циліндра. Для м'якого матеріалу циліндра друга нормальна хвиля на зовнішній поверхні формує у граничному наближенні хвилю Релея. У випадку жорсткого циліндра поверхнева хвиля на зовнішній поверхні як граничний стан однієї із нормальних хвиль хвилеводу не існує, а рухи типу хвилі Релея формуються лише на окремих ділянках різних дисперсійних кривих. Для м'яких та жорстких матеріалів циліндрів спостерігається також суттєва різниця у граничних значеннях фазових швидкостей хвиль вищих порядків. Properties of harmonic surface waves in a fluid-filled elastic cylinder are investigated. Wave motion in a composite waveguide is described on the basis of the complete systems of equations of dynamic elasticity theory and equations of motion of ideal compressed liquid. An asymptotic analysis of the dispersion relations for large wave numbers and quantitative analysis of the dispersion spectrum show the fundamental difference between the properties of the surface waves in the waveguides with the compliant and rigid walls. In both cases, with increasing wavenumber, the first normal mode on the internal surface of the cylinder forms at the limit the Stoneley wave. For the compliant cylinder's material, the second normal wave on the external surface forms at the limit the Rayleigh wave. In the case of the rigid cylinder, the surface wave on the external surface does not exist as a limiting form of one of the normal waves of the waveguide, but the motions like the Rayleigh wave are formed only on separate segments of different dispersion curves. Moreover, for the compliant and rigid materials of the cylinders the essential distinction is also observed in the limiting values of phase velocities for the waves of higher orders.
first_indexed 2025-11-25T20:53:25Z
format Article
fulltext ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 УДК 534.1:534.232 СВОЙСТВА ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ВБЛИЗИ ГРАНИЦ ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ В ЗАПОЛНЕННОМ ЖИДКОСТЬЮ ЦИЛИНДРЕ В. Т. Г РИ Н Ч ЕН К О∗, Г. Л. К ОМ И ССА РО В А∗∗ ∗Институт гидромеханики НАН Украины, Киев ∗∗Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев Получено 30.01.2006 Исследованы свойства гармонических поверхностных волн в упругом цилиндре, заполненном жидкостью. Описание волнового движения проведено на основе полной системы уравнений динамической теории упругости и уравне- ний движения идеальной сжимаемой жидкости. Асимптотический анализ дисперсионных соотношений в области больших волновых чисел и качественный анализ дисперсионного спектра позволил установить принципиальные ра- зличия между свойствами поверхностных волн в волноводах с жесткими и мягкими стенками. В обоих случаях первая нормальная волна с увеличением волнового числа формирует в пределе волну Стоунли на внутренней по- верхности цилиндра. Для мягкого материала цилиндра вторая нормальная волна формирует в пределе волну Рэлея на внешней поверхности. В случае жесткого цилиндра поверхностная волна на внешней поверхности как предельное состояние одной из нормальных волн волновода не существует, а движения типа волны Рэлея формируются лишь на отдельных участках различных дисперсионных кривых. Для мягких и жестких материалов цилиндров наблюдается также существенное различие в предельных значениях фазовых скоростей волн высших порядков. Дослiдженi властивостi гармонiчних поверхневих хвиль у пружному цилiндрi, заповненому рiдиною. Для опису хвильових рухiв використано повну систему рiвнянь динамiчної теорiї пружностi та рiвняння руху iдеальної сти- сливої рiдини. Асимптотичний аналiз дисперсiйних спiввiдношень в областi великих хвильових чисел та якiсний аналiз дисперсiйного спектра дозволив установити принциповi вiдмiнностi мiж властивостями поверхневих хвиль у хвилеводах iз жорсткими та м’якими стiнками. В обох випадках перша нормальна хвиля зi збiльшенням хвильового числа у граничному наближеннi формує хвилю Стоунлi на внутрiшнiй поверхнi цилiндра. Для м’якого матерiалу цилiндра друга нормальна хвиля на зовнiшнiй поверхнi формує у граничному наближеннi хвилю Релея. У випадку жорсткого цилiндра поверхнева хвиля на зовнiшнiй поверхнi як граничний стан однiєї iз нормальних хвиль хвиле- воду не iснує, а рухи типу хвилi Релея формуються лише на окремих дiлянках рiзних дисперсiйних кривих. Для м’яких та жорстких матерiалiв цилiндрiв спостерiгається також суттєва рiзниця у граничних значеннях фазових швидкостей хвиль вищих порядкiв. Properties of harmonic surface waves in a fluid-filled elastic cylinder are investigated. Wave motion in a composite waveguide is described on the basis of the complete systems of equations of dynamic elasticity theory and equations of motion of ideal compressed liquid. An asymptotic analysis of the dispersion relations for large wave numbers and quantitative analysis of the dispersion spectrum show the fundamental difference between the properties of the surface waves in the waveguides with the compliant and rigid walls. In both cases, with increasing wavenumber, the first normal mode on the internal surface of the cylinder forms at the limit the Stoneley wave. For the compliant cylinder’s material, the second normal wave on the external surface forms at the limit the Rayleigh wave. In the case of the rigid cylinder, the surface wave on the external surface does not exist as a limiting form of one of the normal waves of the waveguide, but the motions like the Rayleigh wave are formed only on separate segments of different dispersion curves. Moreover, for the compliant and rigid materials of the cylinders the essential distinction is also observed in the limiting values of phase velocities for the waves of higher orders. ВВЕДЕНИЕ Наличие поверхностных волн как особого типа волновых движений, локализованных вблизи сво- бодной поверхности упругого изотропного полу- пространства, впервые было отмечено Рэлеем [1]. Позже возможность локализации волновых дви- жений вблизи поверхности контакта двух упругих сред показана Стоунли [2]. В случае полного (без проскальзивания) контакта двух упругих сред по- верхностная волна существует только при опре- деленных соотношениях между их жесткостными характеристиками [3]. Количество комбинаций пар материалов, допускающих существование волны Стоунли при их полном сцеплении весьма огра- ничено, а в случае скользящего контакта оно зна- чительно расширяется [4]. При контакте упругой и жидкой сред поверхностная волна Стоунли су- ществует всегда [5]. Волну Стоунли при контакте упругое тело – жидкость иногда называют “волной Шолте” или “волной Стоунли – Шолте”. При рассмотрении нормальных волн на границе контакта упругое тело – жидкость обычно разли- чают два типа пар материалов [6,7]. Пара жесткое упругое тело – жидкость характеризуется тем, что скорость волны сдвига материала упругого тела превышает скорость звука в жидкости (VS > C0). Для пары мягкое упругое тело – жидкость наобо- рот, скорость волны сдвига меньше скорости звука в жидкости (VS <C0). Поверхностные волны Рэлея и Стоунли явля- ются бездисперсионными. Их фазовые скорости c© В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова, 2006 37 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 не зависят от значений частоты и волнового чис- ла. Поверхностные волны характеризуются спе- цифической кинематикой частиц вблизи грани- цы, а также определенным соотношением про- дольных и поперечных компонент вектора сме- щений [5]. Отметим, что исследованию свойств поверхностных волн в упругих телах посвящено большое количество работ. Современный уровень понимания явления локализации волновых движе- ний в таких средах изложен в монографии [5]. Волны упомянутых типов широко используются в сейсмологии и сейсморазведке (как средство не- разрушающего контроля поверхностей и поверх- ностного слоя образцов), а также в акустоэлектро- нике. Распространяющиеся волны Рэлея и Сто- унли, излучаемые от поверхности раздела жид- кость – упругое тело, используются как эффектив- ный способ обнаружения поверхностных и подпо- верхностных дефектов [8]. В работе [9] изложен экспериментальный метод определения динамиче- ских упругих характеристик материалов образцов, основанный на измерении дисперсионных и кине- матических характеристик возбуждаемой поверх- ностной волны Рэлея. Систематизация накопленных данных позволя- ет строить качественные предположения о хара- ктере поверхностных волн в составных волноводах различных типов. Следует отметить, что практи- ческое использование сведений о таких волновых движениях возможно лишь при наличии достаточ- но полных количественных оценок их характери- стик в зависимости от геометрических и физиче- ских параметров волновода. В данной работе рас- сматриваются особенности локализации волновых движений на поверхностях заполненного жидко- стью цилиндра. Известно, что поля в волноводах формируются как суперпозиция сложных по своим свойствам нормальных волн. Некоторые из них с увеличени- ем волнового числа (частоты) преобразуются в по- верхностные волны, локализованные вблизи сво- бодных поверхностей либо поверхностей контакта упругих сред. В таких системах как упругий слой и сплошной цилиндр поверхностные волны фор- мируются на основе низших распространяющихся волн [10 –12]. В сплошном цилиндре существует одна нор- мальная волна с нулевой частотой запирания для осесимметричных волн, которая в области боль- ших волновых чисел трансформируется в поверх- ностную волну Рэлея [11, 12]. В полом цилиндре также имеется одна нормальная волна с нулевой частотой запирания, однако наличие двух поверх- ностей предполагает существование уже двух по- верхностных волн. Отсутствие симметрии между стенками полого цилиндра указывает на то, что искомые волны должны отличаться от волн в слое. В работе [13] на основе конкретных вычислений показано, что фазовая скорость низшей нормаль- ной волны полого цилиндра с уменьшением длины волны (увеличением волнового числа) стремится к скорости волны Рэлея как для осесимметричных, так и для неосесимметричных волн (n = 1, 2). Ее кинематические характеристики в этой публика- ции не исследовались. В статье [14] впервые ука- зывалось на существование в полом цилиндре вто- рой нормальной волны, фазовая скорость которой с повышением частоты стремится к скорости вол- ны Рэлея. Данные конкретных вычислений кине- матических характеристик первых двух нормаль- ных волн позволили утверждать, что в рассмо- тренной области сравнительно невысоких частот в полом цилиндре, в отличие от слоя, нет обме- на энергии между локализованными волновыми движениями на его поверхностях. Однако было выдвинуто предположение, что такой обмен может возникнуть при дальнейшем повышении частоты. Существенное отличие дисперсионных свойств осесимметричных волн в полом цилиндре от волн в слое и сплошном цилиндре обнаруживается уже при качественном анализе дисперсионных соот- ношений [15]. Так, помимо коэффициента Пуас- сона, дисперсионные характеристики волн в по- лом цилиндре зависят еще и от двух геометри- ческих параметров – радиуса кривизны и толщи- ны стенки. Влияние толщины стенки цилиндра особенно сильно сказывается на свойствах пер- вой нормальной волны. Дисперсионные свойства низшей нормальной волны тонких цилиндров ха- рактеризуются специфической особенностью: при малых изменениях частоты длина волны изменя- ется весьма существенно [16, 17]. Проведенный в [18] асимптотический анализ дисперсионного уравнения для полого цилиндра в области больших волновых чисел позволил выде- лить два независимых уравнения для определе- ния фазовых скоростей двух низших нормальных волн. Они отличаются от классического уравнения Рэлея наличием слагаемых, обратно пропорцио- нальных волновому числу. Одно уравнение с по- ложительной добавкой определяет скорость вол- ны, локализованной вблизи внешней поверхности цилиндра. Ее значение приближается к скорости волны Рэлея снизу. Второе уравнение с отрица- тельной добавкой определяет фазовую скорость волны, локализованной вблизи внутренней поверх- ности цилиндра. Ее величина стремится к скоро- сти волны Рэлея сверху. Следовательно, поверхно- 38 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 стные волны в полом цилиндре формируются по отдельности на внешней и внутренней поверхно- стях цилиндра. В отличие от слоя, в полом ци- линдре при произвольном значении частоты не наблюдается обмена энергией между волновыми движениями, локализованными вблизи его поверх- ностей. Кажется очевидным, что в волноводной струк- туре, представляющей собой заполненный жидко- стью полый цилиндр, должны существовать две поверхностные волны: вблизи внешней свободной поверхности цилиндра и поверхности контакта жидкость – упругое тело. Однако данные о диспер- сионных свойствах составных волноводов [16, 19] показывают, что для таких локализованных вол- новых движений они могут быть довольно сло- жными. Эффекты упруго-жидкостного взаимо- действия существенно зависят также от соотноше- ния жесткости материала цилиндра и волнового сопротивления жидкости. Влияние этого парамет- ра рассмотрено в данной работе. Кроме того, су- щественное внимание уделено анализу кинемати- ческих и энергетических характеристик нормаль- ных волн, вырождающихся с увеличением волно- вого числа (частоты) в поверхностные волны. 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА СМЕЩЕ- НИЙ И АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ Характеристики нормальных осесимметричных волн, распространяющихся в бесконечном упру- гом цилиндре, заполненном идеальной сжимаемой жидкостью, зависят от четырех параметров. По- мимо величин относительного внутреннего ради- уса r1 и числа Пуассона ν , как это было в слу- чае пустого цилиндра, к ним добавляются отно- шения скоростей VS/C0 и плотностей ρ0/ρ1 упру- гой и жидкой составляющих волновода. Здесь r1 = R1/R; R1 и R – внутренний и внешний радиусы полого цилиндра соответственно. Значительный объем результатов исследований свойств цилиндрических упруго-жидкостных вол- новодов представлен в работах [15 –17, 19 – 21]. В них основное внимание уделено анализу особенно- стей упруго-жидкостного взаимодействия в волно- воде и его влияния на дисперсионные, кинемати- ческие и энергетические характеристики нормаль- ных волн. Рассматривался диапазон волновых чи- сел (частот), при которых в составном волново- де еще не сформировались поверхностные волны. В данной работе основное внимание будет уделе- но волновому движению, локализованному вблизи поверхностей цилиндра. Подобно случаю относительно простых систем (таких как слой, слой на жидком полупространс- тве и полый цилиндр), поверхностные волны в ци- линдре с жидкостью должны формироваться как некоторые предельные волновые движения в низ- ших нормальных волнах. Изучение таких предель- ных ситуаций может дать дополнительные све- дения об особенностях упруго-жидкостного вза- имодействия в составных волноводах. Основани- ем для такого предположения является то, что в пустом цилиндре имеются две независимые по- верхностные волны [18]. Добавление в систему жидкости должно приводить к появлению поверх- ностной волны типа Стоунли. Таким образом, упруго-жидкостное взаимодействие может суще- ственно повлиять на процесс локализации волно- вых движений в заполненном жидкостью цилин- дре. Исследование характеристик гармонических по- верхностных волн проведено с использованием полной системы уравнений динамической теории упругости и уравнений движения идеальной сжи- маемой жидкости. Компоненты вектора переме- щений, описывающие осесимметричное волновое поле упругого цилиндра и удовлетворяющие урав- нениям движения, имеют вид [15] uj = Uj(r) exp[i(ζz − ωt)], j = r, z, Ur(r) = −α [ A1J1(αr) + A2Y1(αr) ] + +β [ B1J1(βr) + B2Y1(βr) ] , Uz(r) = iζ [ A1J0(αr) + A2Y0(αr) ] + +i β2 ζ [ B1J0(βr) + B2Y0(βr) ] , (1) где α2 = γ2 1 − ζ2; β2 = γ2 2 − ζ2; γ1 = ωR VD ; γ2 = ωR VS ; γ2 1 = 1 − 2ν 2(1 − ν) γ2 2 . Потенциал скорости идеальной сжимаемой жидкости, удовлетворяющий уравнению Гельм- гольца, записывается как [15] ϕ0 = D0J0(χ0r) exp[i(ζz − ωt)], χ0 = √ γ2 2 ( VS C0 )2 − ζ2 = = VS C0 ζ √ ( C VS )2 − ( C0 VS )2 . (2) В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 39 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 Здесь ζ – безразмерное волновое число; ω – кру- говая частота; VD – скорость волны расширения; C – фазовая скорость нормальной волны; Jn, Yn (n=0, 1) – функции Бесселя; A1, A2, B1, B2, D0 – произвольные постоянные. Дисперсионное уравнение для упругого цилин- дра, заполненного идеальной сжимаемой жидко- стью, получено в статье [15]. В работах [15 – 17,19] проведено довольно подробное исследование пове- дения дисперсионных кривых в области относи- тельно малых волновых чисел и частот. Используя уже апробированный в [18] математический аппа- рат, рассмотрим возможность формирования вол- новых полей, локализованных возле поверхностей заполненного жидкостью цилиндра. Ясно, что та- кая локализация может проявиться только в обла- сти больших волновых чисел и высоких частот. Как видно из результатов, полученных для пу- стого цилиндра, область формирования поверхно- стных волн существенно зависит от толщины его стенки. Проведем асимптотический анализ дисперсион- ного уравнения. Для этого на плоскости (ζ, γ2) выделим характерные области. При изучении по- верхностных волн следует ограничиться тем диа- пазоном частот и волновых чисел, в котором фа- зовые скорости нормальных волн меньше скорости волны сдвига. Здесь для пустого цилиндра суще- ствуют две поверхностные волны Рэлея [18], а ве- личины α и β являются мнимыми. Асимптотический анализ дисперсионного урав- нения следует проводить раздельно для случаев жесткого и податливого (мягкого) материалов ци- линдра. Объясняется это тем, что на плоскости (ζ, γ2) прямая χ0 = 0 в случае жесткого материа- ла цилиндра расположена значительно ниже пря- мой β=0 [16], а в случае податливого материала – выше прямых α=0 и β=0 [19]. Для жесткого материала цилиндра в области частот и волновых чисел, расположенной ниже прямой β = 0, дисперсионное уравнение, приве- денное в [15], после ряда преобразований c учетом асимптотики модифицированных функций Бессе- ля большого аргумента принимает вид b55 [ ∆R,1∆2,1 + δ1 ] − b45 [ ∆R,1∆2,2 + δ2 ] = 0, (3) где ∆2,1 = − β∗ 4 ζ4∆R,2; ∆2,2 = − 1 2 α∗β∗γ2 2 ; ∆R,1 = β∗ 4 ζ4 [ ( 2− ( C VS )2 )2 − −4α∗β∗ + 2 α∗ ζ ( C VS )2] ; ∆R,2 = [ ( 2 − ( C VS )2 )2 − −4α∗β∗ − 2 α∗ ζr1 ( C VS )2] ; b45 = iγ2 2 G1 C0 VS J0(χ0r1); b55 = i γ2 C0 VS χ0J1(χ0r1); α∗ = √ 1 − ( C VS k )2 ; β∗ = √ 1 − ( C VS )2 ; k = √ 1 − 2ν 2(1 − ν) ; G1 = ρ0 ρ1 . Здесь δj (j = 1, 2) представляют собой до- бавки в классические уравнения для поверхно- стных волн, содержащие произведения множите- лей exp[−α∗(1−r1)] и exp[−β∗(1−r1)]. В выбранном диапазоне частот и волновых чи- сел рассмотрим вначале тот поддиапазон, в ко- тором существует поверхностная волна Стоунли. Эта область на плоскости (ζ, γ2) расположена ни- же прямой χ0 = 0. Поскольку здесь χ0 является мнимым, то коэффициенты b45 и b55 выражаю- тся через модифицированные функции Бесселя. При стремлении волнового числа к бесконечности (ζ → ∞), с учетом асимптотики модифицирован- ных функций Бесселя и малости в этой часто- тной области слагаемых δj , дисперсионное уравне- ние (3) вырождается в два алгебраических урав- нения: ∆R,1 = 0, [ ( 2 − ( C VS )2)2 − 4α∗β∗− − 2 ζr1 α∗ ( C VS )2 ] χ∗ 0 + G1α ∗ ( C VS )4 = 0, (4) где χ∗ 0 = √ 1− ( C VS )2( VS C0 )2 . Первое из них совпадает с уравнением, получен- ным в [18] и определяющем фазовую скорость вол- 40 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 ны Рэлея на внешней поверхности полого цилин- дра. В рассматриваемой области частот и волно- вых чисел оно не имеет корней. Второе уравнение отличается от классического уравнения Стоунли наличием в квадратных скобках третьего слагае- мого и определяет фазовую скорость нормальной волны, несколько превышающую скорости волны Стоунли. Согласно этому уравнению, для сталь- ного цилиндра с r1 =0.3, заполненного водой, при ζ =100 фазовая скорость волны типа Стоунли рав- на C/VS =0.46716. Далее обратимся к области частот и волновых чисел, в которой χ0 является вещественным, а α и β – мнимыми. Она расположена на плоскости (ζ, γ2) в секторе между прямыми χ0 =0 и β =0. В том диапазоне частот и волновых чисел, где фазо- вая скорость нормальной волны меньше скорости волны Рэлея, величины δj малы по сравнению с первыми членами, стоящими в квадратных скоб- ках в дисперсионном уравнении (3). Тогда второе уравнение в (4) следует заменить на χ0J1(χ0r1)∆R,2 − J0(χ0r1)G1α ∗ ( C VS )4 = 0. (5) При стремлении волнового числа к бесконечно- сти уравнение (5) с учетом асимптотики функций Бесселя большого аргумента записывается как tg (χ0r1 − π 4 ) = 1 χ0 k1, k1 = G1 α∗ ∆R,2 ( C VS )4 . (6) С увеличением волнового числа корни этого урав- нения приближаются к прямой χ0 = 0. Следова- тельно, фазовые скорости жидкостных нормаль- ных волн в этом секторе приближаются сверху к скорости звука в жидкости. Качественный анализ дисперсионного уравне- ния цилиндра, заполненного жидкостью, не по- зволил выяснить, возможно ли формирование по- верхностной волны типа Рэлея в составном вол- новоде в случае жесткого материала цилиндра. Область частот и волновых чисел, где фазовая скорость нормальной волны близка к скорости волны Рэлея, расположена в окрестности прямой β =0. Здесь величины δj (j =1, 2) в уравнении (3) не являются малыми. Возможность существова- ния волны Рэлея следует выяснять, проанализиро- вав структуру дисперсионного спектра заполнен- ного жидкостью цилиндра. В случае податливого материала цилиндра в ди- апазоне частот и волновых чисел, лежащих на пло- скости (ζ, γ2) ниже прямой β = 0, величины α, β и χ0 являются мнимыми. Проведенный ранее асимптотический анализ дисперсионного уравне- ния остается в силе. Тогда первое уравнение (4) в этой области определяет фазовую скорость волны Рэлея на внешней поверхности цилиндра. Второе же уравнение определяет фазовую скорость вол- ны Стоунли. Таким образом, здесь оба уравнения имеют вещественные корни. Следовательно, для цилиндра из податливого материала асимптотиче- ский анализ дисперсионного уравнения указывает на то, что в заполненном жидкостью цилиндре су- ществуют две поверхностные волны: типа Стоунли и типа Рэлея. 2. АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННОГО СПЕКТРА ЗАПОЛНЕННОГО ЖИДКОСТЬЮ ЦИЛИН- ДРА Количественные данные и некоторый качествен- ный анализ дисперсионных свойств нормальных волн в цилиндре с жидкостью проводился в ра- ботах [15 –17,19 – 21]. Здесь получены данные для заполненных жидкостью цилиндров из жестко- го [15 –17, 20] и податливого (мягкого) [19, 21] ма- териалов в довольно широком диапазоне частот и волновых чисел. Исследовалось также влия- ние толщины стенки цилиндра на дисперсионные свойства нормальных волн в диапазоне изменения относительного внутреннего радиуса r1 = 1−h/R от 0.3 до 0.99 [16, 17]. Здесь h – толщина стенки цилиндра. 2.1. Дисперсионный спектр заполненного жид- костью цилиндра из жесткого материала Типичная картина, отражающая дисперсионные свойства распространяющихся волн в жестком ци- линдре (зависимость безразмерной частоты γ2 от безразмерного волнового числа ζ), приведена на рис. 1. Вычисления выполнены для толстостенно- го стального цилиндра (r1 =0.3), заполненного во- дой (ν =0.29, VS/C0 =2.14, ρ0/ρ1 =0.13). Методической основой для систематизации дан- ных расчетов является использование понятия парциальных подсистем, в качестве которых в данном случае приняты свободный упругий по- лый цилиндр и акустический волновод с жесткими стенками. Дисперсионные зависимости нормаль- ных волн в парциальных подсистемах изображены на рис. 1 сплошными линиями. Первая дисперси- онная кривая акустического волновода представ- ляет собой прямую OC (χ0 = 0). Все последую- щие дисперсионные кривые акустического волно- вода являются гиперболами. Дисперсионные кри- В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 41 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 0 2 4 6 8 2 0 2 4 6 8 10 l1,2 l2,1 R C l2,2 l1,1 t1 t2 Рис. 1. Дисперсионные ветви распространяющихся волн в заполненном водой стальном цилиндре с r1 =0.3 вые составного волновода представлены штрихо- выми линиями. Согласно графику, в широкой области частот и волновых чисел дисперсионные кривые составно- го волновода расположены вблизи дисперсионных кривых парциальных подсистем. В этих областях кинематические и энергетические характеристики нормальных волн составного волновода практи- чески совпадают с характеристиками нормальных волн в парциальных подсистемах. Взаимодействие упругих и жидкостных волновых полей проявляе- тся в узких диапазонах частот и волновых чисел в окрестностях точек пересечения дисперсионных кривых для парциальных подсистем [15 – 17]. Естественно, что при анализе поверхностных волн, локализованных вблизи свободной поверхно- сти и поверхности раздела, в составном волново- де следует рассматривать лишь нормальные вол- ны, связанные с низшей нормальной волной жид- костного волновода и с двумя низшими волнами пустого упругого цилиндра. На рис. 1 им соответ- ствуют прямая OC и сплошные кривые t1 и t2. В заполненном жидкостью цилиндре имеются две нормальные волны с нулевой частотой запи- рания. Низшая дисперсионная кривая составно- го волновода расположена несколько ниже пря- мой OC (на рис. 1 они практически совпадают). В области низких частот соответствующая фазо- вая скорость весьма близка к скорости звука в жидкости. Степень влияния упругих стенок на дисперсионные свойства этой волны при повыше- нии волнового числа (частоты) зависит от толщи- ны цилиндра. Для цилиндров с относительными внутренними радиусами в диапазоне от 0.3 до 0.8 фазовая скорость низшей волны остается близкой к скорости звука в жидкости во всем диапазоне частот [16, 17]. Следовательно, низшая волна за- полненного жидкостью толстостенного цилиндра из жесткого материала является практически без- дисперсионной. Следует также отметить, что для рассматриваемого составного волновода фазовая скорость низшей волны акустического волновода составляет Cχ/VS = 0.46729, а фазовая скорость волны Стоунли при контакте стального и жидко- го полупространств – CSt/VS = 0.46715 (CSt/C0 = 0.99972 – различие наблюдается только в четвер- том знаке). Следовательно, можно считать, что низшая нормальная волна составного волновода при ζ → ∞ трансформируется в поверхностную волну Стоунли. Этот вывод согласуется с резуль- татами, полученными при асимптотическом ана- лизе второго из уравнений (4). Общая структура приведенного на рис. 1 дис- персионного спектра указывает на существенные методические трудности, возникающие при изуче- нии возможностей формирования поверхностных волн в составном волноводе и анализе их свойств. Видно, что здесь отсутствуют непрерывные дис- персионные кривые, близкие к первым двум кри- вым пустого цилиндра. Поскольку имеются от- дельные участки разных дисперсионных ветвей, приближающиеся к парциальным кривым для пу- стого цилиндра, можно ожидать, что поверхно- стные волны будут формироваться лишь в неко- торых интервалах частот и волновых чисел, соо- тветствующих этим участкам. Исходя из принципа непрерывности дисперсион- ных кривых, можно заключить, что в заполненном жидкостью цилиндре свойствами поверхностных волн типа Рэлея (штрих-пунктирная прямая OR) могут обладать практически все нормальные вол- ны в тех диапазонах частот, где соответствующие участки их дисперсионных кривых приближаются к первым двум дисперсионным кривым пустого цилиндра. На рис. 1 на кривой t1 показано два таких участка l1,1 и l1,2, принадлежащих второй и третьей дисперсионным кривым составного вол- новода. На кривой t2 также показаны два участ- ка l2,1 и l2,2, принадлежащих третьей и четвер- той дисперсионным кривым составного волновода. Все моды более высоких порядков также содер- жат участки, близкие к кривым t1 и t2. Их грани- цы определяются теми точками плоскости (ζ, γ2), вблизи которых существенно проявляются эффе- кты упруго-жидкостного взаимодействия (точка- ми пересечения дисперсионных кривых парциаль- ных подсистем). В соответствии с общей идеологией качественно- 42 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 го анализа волновых движений в составном волно- воде, нормальные волны, соответствующие учас- ткам l1,j, могут формировать рэлеевскую волну вблизи внешней поверхности волновода. На вну- тренней поверхности рэлеевскую волну могут фор- мировать нормальные волны, которые соответ- ствуют участкам l2,j. Исходя из общих дисперсионных свойств нор- мальных волн составного волновода, можно ска- зать, что участки всех дисперсионных кривых, расположенных справа от ветви t1, привязаны к дисперсионным кривым акустического волновода. Этим участкам соответствует волновое движение с предельным значением фазовой скорости, рав- ным скорости звука в жидкости. Волновое дви- жение в соответствующих им нормальных волнах практически полностью сосредоточено в жидкой части волновода и не характеризуется локализа- цией вблизи стенки цилиндра. Эти выводы также подтверждаются результатами качественного ана- лиза дисперсионного уравнения (6). Рассмотрим поведение дисперсионных кривых заполненного жидкостью цилиндра в области вол- новых чисел 10≤ ζ ≤ 18. На рис. 2, а показано по- ведение третьей, четвертой и пятой дисперсион- ных кривых составного волновода в окрестности пересечения первых двух дисперсионных кривых пустого цилиндра (кривые t1 и t2) с третьей дис- персионной кривой акустического волновода (кри- вая f3). Дисперсионные кривые парциальных под- систем вновь изображены сплошными линиями, а составного – штриховыми. На дисперсионных кри- вых составного волновода обозначены участки l1,2, l1,3 и l2,3. Степень взаимодействия между парциальными подсистемами можно оценить по расстоянию ме- жду дисперсионными кривыми в окрестности точ- ки пересечения парциальных дисперсионных ве- твей. Из приведенных на рис. 2, а данных ви- дно, что степени упруго-жидкостного взаимодей- ствия в областях пересечения третьей дисперси- онной кривой акустического волновода с первой и второй дисперсионными кривыми пустого ци- линдра заметно отличаются. В области пересече- ния парциальных дисперсионных кривых акусти- ческого волновода и второй кривой пустого ци- линдра такое взаимодействие оказывается значи- тельно более сильным. Этот результат указывает на то, что наличие жидкости влияет, прежде все- го, на характер волнового движения в окрестно- сти внутренней поверхности. Поскольку же первая дисперсионная ветвь пустого цилиндра описыва- ет в пределе волну Рэлея на внешней поверхно- сти, можно заключить, что эта волна практичес- 10 12 14 16 2 10 11 12 13 14 15 16 t1 t2 f3 3 4 5 l1,2 l1,3 l2,3 а 96 98 100 102 104 2 88 90 92 94 96 98 t1 t2 f17 f18 l1,17 б 97.5 97.505 97.51 97.515 97.52 97.525 2 90.175 90.18 90.185 90.19 в Рис. 2. Дисперсионные ветви распространяющихся волн в волноводе вода – сталь с r1 =0.3 в области пересечения парциальных дисперсионных кривых: а – для третьей жидкостной и первых двух мод пустого цилиндра, б – для семнадцатой жидкостной и первых двух мод пустого цилиндра, в – в области сближения ветвей (увеличенный масштаб) В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 43 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 ки не чувствует наличия жидкости внутри цилин- дра. Слабость взаимодействия с жидкостью выра- жается в том, что разрывы между отдельными участками кривой весьма малы. Поэтому можно считать, что поверхностная волна на внешней по- верхности составного волновода существует прак- тически на всех частотах. При анализе упруго-жидкостного взаимодей- ствия в области высоких частот следует иметь в виду, что с увеличением волнового числа пер- вые две дисперсионные кривые пустого цилиндра сближаются (см. рис. 2, а). Обусловлено это тем, что фазовые скорости первых двух нормальных волн пустого цилиндра стремятся к скорости вол- ны Рэлея (для первой волны – снизу, а для вто- рой – сверху) [18]. Сближение дисперсионных кри- вых пустого цилиндра может оказать влияние на формирование поверхностных волн в составном волноводе и на степень связанности волновых дви- жений парциальных подсистем. Проведем анализ поведения дисперсионных кривых в области больших волновых чисел (95≤ ζ≤105). На рис. 2, б представлены дисперсионные кривые составного волновода в окрестности пере- сечения первых двух ветвей пустого цилиндра (t1 и t2) с семнадцатой дисперсионной ветвью акусти- ческого волновода (f17). Здесь сохранены обозна- чения, принятые на рис. 2, а. Поведение дисперси- онных кривых составного волновода в области их сближения (90.175≤ γ2 ≤ 90.19, 97.5≤ ζ ≤ 97.53) в увеличенном масштабе показано на рис. 2, в. Дис- персионные кривые составного волновода в этой области вначале сближаются, а затем расходятся. Различия в степенях упруго-жидкостного взаимо- действия в областях пересечения первой и вто- рой дисперсионных кривых пустого цилиндра с кривой акустического волновода здесь более за- метны, чем на рис. 2, а. Длина участка диспер- сионной ветви составного волновода l1,17 не очень изменилась, по сравнению с длиной участка l1,3 на рис. 2, а. Следовательно, в области больших вол- новых чисел на участках типа l1,17 дисперсион- ных кривых составного волновода вблизи внешней поверхности цилиндра может формироваться по- верхностная волна типа Рэлея. В области пересечения второй дисперсионной ветви пустого цилиндра с ветвью акустическо- го волновода дисперсионная кривая составного волновода не содержит участков типа l2,3 (см. рис. 2, а). Дисперсионная кривая составного вол- новода пересекает вторую дисперсионную ветвь пустого цилиндра и сразу же приближается к первой его дисперсионной ветви. Поэтому мож- но предположить, что наличие существенного упруго-жидкостного взаимодействия на поверхно- сти контакта жидкости и упругого тела не позво- ляет сформироваться поверхностной волне типа Рэлея вблизи внутренней поверхности цилиндра. Однако данный вопрос может быть решен окон- чательно только после анализа кинематических и энергетических характеристик волн. 2.2. Дисперсионный спектр заполненного жид- костью цилиндра из податливого материала В случае заполненного жидкостью цилиндра из податливого (мягкого) материала можно ожи- дать, что в структуре дисперсионного спектра должны произойти качественные изменения. По- скольку для такого материала VS/C0 < 1, можно было бы предположить, что в области низких ча- стот низшая нормальная волна связана со стер- жневым движением в упругом цилиндре. Одна- ко на самом деле это неверно. Упруго-жидкостное взаимодействие существенно изменяет свойства жидкостной волны, так что она продолжает оста- ваться низшей волной. Для случая тонкостенных цилиндров, когда применима формула Кортвега, это утверждение легко проверить. Фазовая ско- рость низшей нормальной волны может быть опре- делена как [22, с. 393)] C1 = C0 [ 1 + 2R1 h ρ0C 2 0 E /( 1 − 5 3 h 2R1 )] −1/2 . (7) Формула Кортевега применима в области низких частот, в которой низшая нормальная волна явля- ется бездисперсионной (фазовая скорость волны не зависит от значения частоты и волнового чис- ла). Здесь этой волне соответствует прямолиней- ный участок на дисперсионной кривой. Принимая во внимание, что R1 h = r1 1 − r1 , ρ0C 2 0 E = ρ0 ρ1 C2 0 C2 r , (8) и что для тонкостенных цилиндров в формуле (7) выражение в круглых скобках близко к единице, формулу Кортевега можно представить следую- щим образом: C1 = Cr ( ρ1 ρ0 1 − r1 2r1 )1/2 ( 1 + ε ) −1/2 , ε = ( Cr C0 )2 ρ1 ρ0 1 − r1 2r1 , Cr C0 = √ 2(1 + ν) VS C0 . (9) 44 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 0 2 4 6 8 2 0 2 4 6 8 10 C D E R S 1 2 4 3 5 2* 4* 3* 5* 0 2 4 6 8 2 0 2 4 6 8 10 C D E R S 1 2 3 4 2* 3* 4* а б Рис. 3. Дисперсионные ветви распространяющихся волн в заполненном водой цилиндре из жесткой резины: а – r1 =0.3, б – r1 =0.6 Здесь Cr – скорость продольной волны в стержне. Для тонкостенного цилиндра (r1 ≥0.9) из пода- тливого материала (ρ0/ρ1 ≈ 1) можно показать, что ε<1. Тогда из формулы (9) следует, что C1 Cr ≈ √ 1 − r1 2r1 . (10) Из соотношения (10) вытекает, что для тонкостен- ных цилиндров фазовая скорость волны Кортеве- га всегда меньше скорости стержневой волны. При анализе дисперсионных свойств составных цилин- дров показано, что и для заполненных жидкостью толстостенных цилиндров из податливых матери- алов в низкочастотной области фазовая скорость низшей волны также меньше фазовой скорости продольной волны в стержне [19]. Таким образом, низшая нормальная волна свя- зана с волновым движением в жидкости, а вто- рая нормальная волна – с волновым движением в упругом цилиндре. Однако следует иметь в ви- ду, что разделение на жидкостную и упругую вол- ну в этом случае имеет смысл только для очень низких частот. При повышении частоты эффе- кты упруго-жидкостного взаимодействия становя- тся существенными и проявляются на всех часто- тах. В работе [19] проведен количественный и ка- чественный анализ дисперсионных, кинематиче- ских и энергетических характеристик нормаль- ных волн в заполненных жидкостью толстостен- ных (r1 = 0.3) и тонкостенных (r1 = 0.9) цилин- драх для трех случаев податливых материалов. На рис. 3, а и б представлены полученные в этой ста- тье действительные ветви дисперсионных кривых для заполненных водой цилиндров из жесткой ре- зины (ν = 0.4, VS/C0 = 0.395, ρ0/ρ1 = 0.909) для случаев r1 =0.3 и r1 =0.6 соответственно. Сплошными линиями здесь вновь изображены дисперсионные кривые свободного пустого упруго- го цилиндра. Ненулевые частоты запирания дис- персионных кривых акустического волновода ле- жат выше рассматриваемого диапазона частот. Так, частота запирания второй дисперсионной кривой акустического волновода с жесткой стен- кой (r1 = 0.3) равна γ∗ f2 = 32.21, а для первой дисперсионной кривой акустического волновода с мягкой стенкой – γ∗ f2 = 20.31. Для акустического волновода с r1 =0.6 значения частот запирания в два раза меньше. Ясно, что структуры дисперсионных спектров заполненных жидкостью цилиндров для случаев жесткого (рис. 1) и податливого (рис. 3) матери- алов существенно отличаются. Для заполненного водой цилиндра из жесткой резины прямая χ0 =0 (OC) на плоскости (ζ, γ2) лежит выше прямых β = 0 (OE) и α = 0 (OD). Прямая OS cоответ- ствует волне Стоунли, а OR – волне Рэлея. Ниже прямой OC расположены парциальные дисперси- онные кривые пустого цилиндра, а выше – диспер- сионные кривые акустического волновода. Пересе- чение дисперсионных ветвей парциальных подси- стем происходит в области частот γ2 >γ∗ f2 в секто- ре, расположенном между частотной осью и пря- мой OC. Заметим, что в случае жесткого материа- ла цилиндра прямая OC лежит значительно ниже В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 45 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 прямой OE. Таким образом, для цилиндра из по- датливого материала упруго-жидкостное взаимо- действие не приводит к разбиению на отдельные участки тех дисперсионных кривых, которые по- тенциально связаны с модами, порождающими в высокочастотном пределе поверхностные волны. Дисперсионные свойства низшей нормальной волны составного волновода (волны Кортевега) описываются кривой, лежащей значительно ниже прямой OC (Cχ/VS = 2.5342). При контакте по- лупространств жесткая резина – вода фазовая ско- рость волны Стоунли составляет CSt/C0 =0.32185. На рис. 3, а первая дисперсионная кривая состав- ного волновода расположена несколько выше пря- мой OS. Естественно полагать, что фазовая ско- рость его низшей нормальной волны с увеличени- ем волнового числа стремится к скорости волны Стоунли. Эта гипотеза хорошо согласуется с обсу- жденными выше результатами асимптотического анализа второго дисперсионного уравнения из (4) для случая податливого материала цилиндра. Вторая дисперсионная кривая составного волно- вода также лежит ниже прямой OC. С увеличе- нием волнового числа (частоты) она вначале (при 2 ≤ ζ ≤ 6) удаляется, а затем приближается свер- ху к первой дисперсионной ветви пустого цилин- дра. Естественно, скорость сближения дисперси- онных кривых с прямой OR оказывается большей для толстостенного цилиндра. Следовательно, фа- зовая скорость второй нормальной волны состав- ного волновода с увеличением волнового числа бу- дет стремится к скорости волны Рэлея. Этот вывод также согласуется с результатами асимптотиче- ского анализа первого из уравнений (4). Как бу- дет показано ниже, движение в этой волне дей- ствительно локализуется вблизи внешней свобо- дной поверхности цилиндра. Чтобы облегчить анализ нормальных волн бо- лее высоких порядков, на рис. 3 нумерация со- ответствующих им дисперсионных кривых в пу- стом цилиндре проведена с учетом связи с волна- ми составного волновода. Дисперсионным ветвям пустого цилиндра присвоены те же номера, что и в составном волноводе, но дополненные индексом ∗. Заметим, что для пустого цилиндра нет волны, аналогичной первой нормальной волне в состав- ном волноводе, которая бы в пределе трансформи- ровалась в поверхностную волну Стоунли. Второй же нормальной волне в составном волноводе отве- чает первая волна в пустом цилиндре (кривые 2 и 2∗ соответственно). При нумерации последующих дисперсионных кривых необходимо прежде всего обратить внима- ние на то, что и в пустом цилиндре, и в состав- ном волноводе нормальным волнам на частотах запирания соответствуют радиальный (толщин- ный) или продольно-сдвиговый типы движения. В случае податливого материала цилиндра упруго- жидкостное взаимодействие существенно повыша- ет частоты запирания волн, связанных с радиаль- ными волновыми движениями. Для них взаимо- действие приводит также к повышению фазовых скоростей нормальных волн составного волновода (наличие жидкости сказывается как дополнитель- ная упругость в системе). Например, нормальным волнам с радиальным типом движения на часто- те запирания соответствуют дисперсионные кри- вые 4 и 4∗ на рис. 3, а, а также кривые 3 и 3∗ на рис. 3, б. В то же время, частоты запирания волн, связанных с продольно-сдвиговыми движениями, не изменяются. Действительно, они определяются из уравнения [15] Y1(γ2)J1(γ2r1) − J1(γ2)Y1(γ2r1) = 0, (11) корни которого зависят только от геометрического параметра – относительного внутреннего радиуса r1, и являются общими для пустого и заполненно- го жидкостью цилиндров. Нормальным волнам с указанным типом движения на частотах запира- ния соответствуют пары дисперсионных кривых 3, 3∗ и 5, 5∗ на рис. 3, а, а также 4, 4∗ на рис. 3, б. Отметим, что эти нормальные волны имеют оди- наковые типы движений не только на частоте за- пирания, но и в области малых значений волно- вых чисел. Так, для ζ = 0.2 отношение макси- мальных радиальных смещений к осевым urz = |Ur,max|/|Uz,max| для нормальной волны 4 (ради- альный тип движений) равно 7.257, а для вол- ны 4∗ – 8.177. В то же время, для волны 3 (продольно-сдвиговый тип движений) urz =0.0987, а для 3∗ – 0.1049. При ζ =0.5 нормальной волне 4 соответствует urz = 3.492, а 4∗ – 3.358. При этом, для волны 3 urz = 0.2217, для 3∗ – 0.2465. В случае волновода с мягким цилиндром упруго-жидкостное взаимодействие имеет ряд ин- тересных особенностей. Модифицированная взаи- модействием с жидкостью вторая нормальная вол- на пустого цилиндра имеет фазовую скорость, пре- восходящую скорость модифицированной третьей нормальной волны волновода. Об этом свитель- ствует то, что на рис. 3, а кривая 4∗ (радиальный тип движения) лежит ниже кривой 3∗ (продольно- сдвиговый тип). Подчеркнем еще раз, что кри- вым 3∗ и 4∗ на рис. 3, а и б соответствуют нормаль- ные волны с разными типами движений на часто- тах запирания. Перемена мест частот запирания радиальной и продольно-сдвиговой волн при изме- нении относительного внутреннего радиуса r1 для 46 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 Табл 1. Дисперсионные характеристики низших нормальных волн заполненного жидкостью цилиндра из податливого материала (вода –жесткая резина, r1 =0.3) N дисп. кр. 1 дисп. кр. 2 дисп. кр. 4 дисп. кр. 3 ζ γ2 C/CSt γ2 C/CR γ2 C/VS γ2 C/VS 10 8.45083 1.03612 9.61683 1.02067 12.68254 1.26825 15.54342 1.55434 30 24.70547 1.00968 28.21410 0.99816 30.61566 1.02052 32.12140 1.07071 40 32.83561 1.00646 37.63042 0.99847 40.40737 1.01084 41.47711 1.03693 50 40.97332 1.00471 47.04919 0.99871 50.30132 1.00603 51.11466 1.02229 100 81.7156 1.00188 94.15298 0.99929 100.1287 1.00129 100.4840 1.00484 пустого стального цилиндра иследована в [23]. Для цилиндра из жесткой резины частота запирания радиальной моды становится меньше частоты за- пирания продольно-сдвиговой моды при r1≈0.185, а для составного волновода – при r1≈0.435. Имен- но этим обстоятельством и объясняется качествен- но разное расположение кривых 3∗, 4∗ на рис. 3, а и б. Значительные отличия между дисперсионными свойствами нормальных волн в составных упруго- жидкостных волноводах из жестких и податливых материалов обнаруживаются при анализе их асим- птотического поведения. Для жесткого цилиндра фазовые скорости всех нормальных волн, кроме первой, в качестве предельного значения имеют скорость звука в жидкости. В случае же податли- вого цилиндра скорость низшей нормальной вол- ны стремится к скорости волны Стоунли, а вто- рой – к скорости волны Рэлея. Все значения фа- зовых скоростей волн более высоких порядков в пределе выходят на скорость волны сдвига в ма- териале цилиндра. Представление о характере стремления фазовых скоростей к предельным значениям дают данные табл. 1. Здесь для ряда значений волновых чисел приведены частоты и относительные фазовые ско- рости первых четырех нормальных волн состав- ного волновода вода – жесткая резина с r1 = 0.3. Видно, что с увеличением волнового числа фа- зовая скорость первой нормальной волны состав- ного волновода приближается к скорости волны Стоунли сверху (CSt/VS = 0.815624), а второй – к скорости волны Рэлея снизу (CR/VS = 0.9422). Фазовые скорости третьей и четвертой нормаль- ных волн стремятся сверху к скорости волны сдви- га материала цилиндра. Следовательно, в области больших волновых чисел жидкость не оказывает существенного влияния на свойства нормальных волн, соответствущих указанным дисперсионным кривым. Данные о характере упруго-жидкостного вза- имодействия в случае жесткого цилиндра (см. рис. 1) показывают, что вблизи точек пересече- ния дисперсионных ветвей парциальных подси- стем наличие жидкости может проявляться в виде как присоединенной массы, так и присоединенной упругости. Если материал цилиндра является податливым, характер упруго-жидкостного взаимодействия бу- дет существенно иным. Из рис. 3, а можно заклю- чить, что наличие жидкости влияет на нормаль- ные волны пустого цилиндра с номерами 2∗, 4∗ и 5∗ как присоединенная упругость. В этом случае упруго-жидкостное взаимодействие приводит к существенному повышению фазовых скоростей со- ответствующих нормальных волн составного вол- новода. В то же время, для нормальной волны пусто- го цилиндра, которой соответствует кривая 3∗, в области малых значений волновых чисел жид- кость работает как присоединенная масса. Имен- но поэтому соответствующая ей дисперсионная ветвь 3 для составного волновода расположена ни- же, чем для пустого цилиндра. Отметим, что это- му факту трудно дать простое физическое объя- снение. Общая картина усложняется еще и тем, что в случае относительно тонкого цилиндра во всем рассмотренном диапазоне частот влияние жидкости сказывается как присоединенная упру- гость (см. рис. 3, б). Сравнительный анализ данных для цилиндров из жесткого и податливого материалов указывает на еще один аспект в физике упруго-жидкостного взаимодействия. Для первой нормальной волны в пустом упругом цилиндре из жесткого или пода- тливого материалов взаимодействие не влияет на предельное значение фазовой скорости нормаль- ной волны составного волновода, которое совпада- ет со скоростью волны Рэлея (кривые 2∗ и 2). Для второй нормальной волны в пустом цилиндре из податливого материала (кривые 4∗ на рис. 3, а и 3∗ на рис. 3, б) это не так. Предельное значение ее фа- В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 47 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 r0 0.2 0.4 0.6 0.8 Uz * -1 -0.5 0 0.5 1 1 2 r0 0.2 0.4 0.6 0.8 Ur * -1 -0.5 0 0.5 1 1 2 а б Рис. 4. Распределение по радиусу ноpмиpованных амплитуд смещений в нормальных волнах, соответствующих дисперсионным кривым на рис. 2, а: 1 – точка ζ =17, γ2 =15.66064 на участке l1,3; 2 – точка ζ =16.5, γ2 =15.85554 на участке l2,3 зовой скорости стремится к скорости волны Рэлея сверху. Однако в результавте упруго-жидкостного взамодействия предельная скорость соответствую- щих нормальных волн составного волновода в пре- деле переходит уже в скорость волны сдвига. 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕ- СКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОВЕРХНО- СТНЫХ ВОЛН В СОСТАВНЫХ ВОЛНОВО- ДАХ Формально процедура определения компонент вектора смещений весьма проста. Она состоит в том, что для заданных значений γ2 и ζ прои- звольные постоянные Ai, Bi (где i = 1, 2) и D0 в выражениях (1) и (2) вычисляются с точностью до модуля одной из этих постоянных, принима- емого за единицу. Для этого используется систе- ма уравнений, полученная после удовлетворения граничных условий. Естественно, при этом следу- ет исключить одно из этих уравнений. Заметим, что при определении кинематических характери- стик всех нормальных волн, за исключением по- верхностных, не имеет значения, какое из уравне- ний будет опущено. При определении же кинематических характе- ристик поверхностных волн выбор этого уравне- ния оказывается существенным. По аналогии с результатами работы [18], при определении кине- матических характеристик поверхностной волны Стоунли, локализованной вблизи внутренней по- верхности цилиндра, необходимо исключить одно из уравнений, полученных при удовлетворении граничных условий на этой поверхности. Ана- логично, при определении кинематических хара- ктеристик поверхностной волны Рэлея исключаем одно из уравнений, полученных при определении граничных условий на внешней поверхности ци- линдра, в окрестности которой локализуется эта волна. Если при фактической реализации указан- ной процедуры не придерживаться данной мето- дики, то в силу неустойчивости вычислительной процедуры и влияния ошибки вычисления можно получить “парадоксальную” ситуацию – с увели- чением волнового числа найденные поверхностные волны будут “перемещаться” от одной поверхности цилиндра к другой. 3.1. Кинематические и энергетические хара- ктеристики поверхностных волн в заполненном жидкостью цилиндре из жесткого материала Рассмотрим кинематические характеристики нормальных волн, соответствующих представлен- ным на рис. 2, а и б дисперсионным кривым. На приведенных ниже графиках показано изме- нение по радиусу волновода нормированных ам- плитуд осевых и радиальных смещений U∗ i (r) = |Ui(r)|/|Ui max| (i = r, z) для заполненного водой стального цилиндра с r1 =0.3. На рис. 4, а и б приведены распределения по ра- диусу волновода нормированных амплитуд смеще- ний U∗ z (r) и U∗ r (r) для нормальных волн, соответ- ствующих двум точкам 1 и 2 на дисперсионных кривых, представленных на рис. 2, а. Кривые 1 (штриховые) соответствуют точке 1 с координата- ми ζ =17, γ2 =15.66063 на участке l1,3, а кривые 2 48 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 (сплошные) – точке 2 с координатами ζ = 16.5, γ2 = 15.85554 на участке l2,3. В этой области вол- новых чисел и частот дисперсионные кривые со- ставного волновода практически точно ложатся на соответствующие участки дисперсионных кривых пустого цилиндра. При этом обе кривые описыва- ют изменение фазовых скоростей волн, трансфор- мирующихся с ростом частоты в поверхностные волны Рэлея. Нижняя кривая соответствует этой волне на внешней поверхности цилиндра, а верх- няя – на внутренней. Из рис. 4 видно, что распределение смещений для точки 1 (штриховые линии) качественно соот- ветствует распределению смещений в волне Рэлея вблизи внешней поверхности. Однако смещения в жидкости остаются значительными. Для точки 2 (сплошные кривые) кинематическая картина вы- глядит более сложно. Здесь можно говорить о ло- кализации волнового движения в цилиндре вблизи внутренней поверхности. Однако здесь амплиту- ды смещений в жидкости превосходят по величине смещения в упругом цилиндре. В связи с этим мо- жет возникнуть ложное впечатление о значитель- ном влиянии упруго-жидкостного взаимодействия при формировании этих двух мод составного вол- новода. Однако более правильное представление о степени взаимодействия дают данные об энер- гетических характеристиках мод. Расчеты пото- ков энергии показывают, что в нормальной волне волновода, локализованной вблизи внутренней по- верхности цилиндра (кривая 2), жидкость перено- сит лишь около 2.6 % общего потока энергии. Вол- на, локализованная вблизи внешней поверхности цилиндра (кривая 1), практически не взаимодей- ствует с жидкостью. На этой моде жидкость пере- носит порядка 0.05 % полной энергии нормальной волны. На рис. 5 показано распределение по радиаль- ной координате нормированных амплитуд осевых и радиальных смещений связанной нормальной волны, соответствующее точкам дисперсионных кривых, указанным на рис. 2, б. В областях боль- ших волновых чисел и частот, соответствующих этому графику, поверхностные волны уже должны быть сформированы. Кривые 1 (штриховые) соо- тветствуют точке с координатами ζ = 102, γ2 = 94.33346 на участке l1,17. Они представляют собой волны типа Рэлея, локализованные вблизи внеш- ней поверхности цилиндра. Кривые 2 (сплошные) соответствуют точке пересечения второй диспер- сионной кривой пустого цилиндра с дисперсион- ной кривой составного волновода (ζ = 102, γ2 = 94.83586). Они отображают кинематические хара- ктеристики связанной нормальной волны, харак- тер распределения смещений в которой соответ- ствует сильному упруго-жидкостному взаимодей- ствию. В жидкости распределение смещений соот- ветствует парциальной семнадцатой дисперсион- ной кривой акустического волновода, а в цилин- дре – рэлеевской волне вблизи его внутренней по- верхности. Амплитуда смещений принимает ма- ксимальное значение в жидкости. Значения сме- щений на внутренней поверхности цилиндра зна- чительно меньше: U∗ z (r = 0.3)= 0.13, U∗ r (r = 0.3)= 0.19. Энергетические характеристики рассмотрен- ных волн будут обсуждаться ниже (см. табл. 3). В табл. 2 для заданных значений волновых чи- сел приведены значения частот и относительных фазовых скоростей C/VS, соответствующих по- верхностным волнам типа Стоунли и Рэлея (вбли- зи внешней поверхности цилиндра) для запол- ненного водой стального цилиндра с r1 = 0.3 и r1 =0.9. Видно, что фазовая скорость низшей вол- ны приближается снизу к скорости волны Стоун- ли CSt/VS = 0.467151 (контакт соответствующих полупространств). Дисперсионные характеристи- ки второй нормальной волны составного волново- да и первой волны пустого цилиндра при значе- нии волнового числа ζ = 40 уже совпадают [18]. Фазовая скорость второй нормальной волны со- ставного волновода с увеличением волнового числа стремится снизу к скорости волны Рэлея CR/VS = 0.925843. Приведенные значения волновых чисел определяют на дисперсионных кривых составно- го волновода точки, принадлежащие участкам l1,7 (ζ =40) и l1,17 (ζ =100). Для данных табл. 2 на рис. 6 дано распределение по радиальной координате нормированных ампли- туд осевых и радиальных смещений низшей нор- мальной волны для составного волновода с r1=0.3. Кривые 1, 2 и 3 соответствуют волновым числам 10, 40 и 100. Представленные результаты пока- зывают трансформацию низшей нормальной вол- ны в поверхностную волну типа Стоунли с рос- том волнового числа. Естественно, при уменьше- нии длины волны возрастает неравномерность ра- спределения смещений по радиусу в жидком ядре. Осевые смещения в упругом цилиндре практичес- ки отсутствуют, что указывает на малость пото- ка энергии в упругой составляющей, по сравне- нию с потоком в жидкости. Такая ситуация ха- рактерна для волны Стоунли в случае пары жест- кое полупространство – жидкость. Отсутствие су- щественного упруго-жидкостного взаимодействия подтверждается также очень высокой степенью локализации радиальных смещений в упругом ци- линдре (см. рис. 6, б). В работе [16] показано, что при фиксированном В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 49 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 Табл 2. Дисперсионные характеристики низших нормальных волн заполненного водой стального цилиндра r1 ζ γ (1) 2 C/VS r1 ζ γ (2) 2 C/VS 0.3 10 4.643366 0.464336 0.3 10 9.131664 0.913167 0.3 30 13.981700 0.466057 0.3 30 27.687625 0.922921 0.3 40 18.653097 0.466327 0.3 40 36.940509 0.923513 0.3 100 46.684334 0.466843 0.3 100 92.481889 0.924819 0.9 50 23.347694 0.466954 0.9 50 40.387689 0.807754 0.9 100 46.707068 0.467071 0.9 190 175.9558 0.925818 0.9 150 70.065971 0.467106 0.9 250 231.49612 0.925980 r0 0.2 0.4 0.6 0.8 Uz * -0.5 0 0.5 1 2 1 r0 0.2 0.4 0.6 0.8 Ur * -1 -0.5 0 0.5 1 2 1 а б Рис. 5. Распределение по радиусу ноpмиpованных амплитуд смещений в нормальных волнах, соответствующих дисперсионным кривым на рис. 2, б: 1 – точка ζ =102, γ2 =94.33346 на участке l1,17; 2 – точка ζ =102, γ2 =94.83586 r0 0.1 0.2 0.3 0.4 Uz * -0.5 0 0.5 1 1 2 3 r0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Ur * -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 1 2 3 а б Рис. 6. Распределение по радиусу нормированных амплитуд смещений в первой нормальной волне волновода вода – сталь с r1=0.3: 1 – ζ =10, 2 – ζ =40, 3 – ζ =100 50 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 Табл 3. Относительное распределение осевой энергии по поперечному сечению составляющих волновода вода – сталь с r1 =0.3 N ζ γ2 C/VS Wz0 Wz1 Wz Wz0/Wz uzr 1 40 18.65310 0.46633 1.736 0.0052 1.741 0.9970 43.49 2 100 46.68433 0.46684 14.37 0.0231 14.39 0.9984 41.92 3 40 36.94051 0.92351 0.09455 0.2714 · 107 0.2714 · 107 0.348 · 10−7 0.609 4 100 92.48189 0.92482 0.2313 0.6472 · 1020 0.6472 · 1020 0.357 · 10−20 0.631 5 16.5 15.85554 0.96095 0.0366 1.366 1.403 0.2612 0.956 6 17 15.66064 0.92121 0.03926 71.26 71.30 0.55 · 10−3 0.585 7 102 94.33346 0.92484 0.2365 0.1077 · 1021 0.1077 · 1021 0.22 · 10−20 0.633 8 102 94.83586 0.92977 0.2346 1.229 1.463 0.1603 1.01 9 100 93.59815 0.93598 0.2315 0.955 1.187 0.1951 0.994 соотношении физических характеристик материа- ла цилиндра и жидкости, упруго-жидкостное вза- имодействие проявляется более сильно для тонко- стенных цилиндров. При анализе свойств поверх- ностных волн уменьшение толщины цилиндра ме- нее существенно. Как показывают расчеты, оно приводит лишь к увеличению значений волновых чисел, при которых нормальные волны составного волновода трансформируются в поверхностные. Проведем анализ энергетических характери- стик поверхностных волн составного волновода. В табл. 3 приведены данные о распределении средне- го за период значения потока мощности по попере- чному сечению жидкого ядра Wz0 и упругого ци- линдра Wz1 по поперечному сечению композитно- го волновода, а также отношении W ∗ 0 = Wz0/Wz (Wz = Wz0 +Wz1), определяющем ту часть мощ- ности, которая переносится жидким ядром. Соот- ношения для определения этих величин содержа- тся, например, в [16]. В таблице также приведе- но отношение продольных и поперечных смещений uzr = |Uz max|/|Ur max|. Согласно табл. 3, волна типа Стоунли характе- ризуется тем, что почти вся энергия здесь пере- носится жидкостью (первая и вторая строки), а отношение продольных смещений к поперечным составляет uzr = 41.92 (ζ = 100). Напомним, что при контакте двух полупространств для па- ры сталь – вода это отношение равно 40.9 [24]. Для волны типа Рэлея, локализованной вблизи внеш- ней поверхности цилиндра, характерно то, что упругий цилиндр переносит почти всю энергию (третья, четвертая, шестая и седьмая строки), а uzr = 0.631 при ζ = 100. Для волны Рэлея на поверхности упругого полупространства из стали это отношение равно 0.661, а на внешней свобо- дной поверхности пустого стального цилиндра – 0.5917 [18]. При контакте упругого слоя (сталь) и жидкого полупространства (вода) для волны Рэлея на свободной поверхности слоя получаем uzr =0.6378 [24]. Таким образом, анализ энергетических и кине- матических характеристик этих волн показыва- ет, что вблизи внешней поверхности заполненного жидкостью цилиндра формируется поверхностная волна типа Рэлея. Эта волна формируется толь- ко в определенных диапазонах частот и волновых чисел. В этих диапазонах на дисперсионных кри- вых высоких порядков расположены участки типа l1,j , прилегающие к первой дисперсионной кривой пустого цилиндра. Соответственно имеются диа- пазоны частот и волновых чисел, в которых вол- на типа Рэлея не может быть сформирована. Они расположены вблизи точек пересечения парциаль- ных подсистем и являются весьма узкими. Поэто- му можно считать, что в составном волноводе по- верхностная волна типа Рэлея формируется вбли- зи внешней поверхности цилиндра практически во всей высокочастотной области (области больших волновых чисел). Анализ энергетических характеристик нормаль- ных волн, соответствующих участкам дисперси- онных кривых l2j (расположенных вблизи второй дисперсионной кривой пустого цилиндра), пока- зывает, что с увеличением волнового числа до- ля энергии, уносимой жидкостью, увеличивается. Как указывалось выше, для рис. 4 (ζ = 16.5, кри- вая 2) жидкость переносит только 2.6 % энергии нормальной волны (пятая строка в табл. 3), а для рис. 5 (ζ = 102, кривая 2) – 16 % (восьмая стро- ка). Следовательно, с увеличением волнового чис- ла упруго-жидкостное взаимодействие в этих нор- мальных волнах усиливается. Результаты анализа кинематических и энер- гетических характеристик нормальных волн, со- ответствующих точкам на дисперсионных кри- В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 51 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 вых составного волновода, расположенных вбли- зи второй дисперсионной кривой пустого цилин- дра, позволяют считать их волнами с существен- но выраженными эффектами упруго-жидкостного взаимодействия (пятая, восьмая и девятая стро- ки). Это подтверждается приведенными выше данными о соответствующих энергетических хара- ктеристиках. 3.2. Кинематические и энергетические хара- ктеристики поверхностных волн в заполненном жидкостью цилиндре из податливого материа- ла В [19] кинематические и энергетические хара- ктеристики нормальных волн были исследованы в тех областях изменения безразмерных частот и волновых чисел, где поверхностные волны еще не сформировались. В табл. 1 приведены дисперсион- ные характеристики первых четырех нормальных волн для заполненного водой цилиндра из жес- ткой резины с r1 = 0.3. В табл. 4 даны дисперси- онные характеристики первых двух нормальных волн для составного волновода вода – жесткая ре- зина с r1 =0.9. Данные табл. 4 показывают, что в случае тонкостенного цилиндра фазовая скорость первой нормальной волны с увеличением волно- вого числа стремится к скорости волны Стоунли снизу. Фазовая скорость второй нормальной вол- ны стремится к скорости волны Рэлея сверху. Кинематические характеристики поверхно- стных волн, соответствующих табл. 1, приведены на рис. 7, а табл. 4 – на рис. 8. На рис. 7 кривые 1 и 2 соответствуют поверхностной волне типа Стоунли, а кривые 3 и 4 – поверхностной волне типа Рэлея для значений волновых чисел ζ = 50 и 100. На рис. 8 кривые 1 и 2 соответствуют поверхностным волнам типа Стоунли и Рэлея для ζ = 100. Уменьшение жесткости материала цилиндра вызывает существенное изменение характера волновых возмущений вблизи поверх- ности контакта составляющих волновода для волны типа Стоунли. Волновые возмущения вблизи поверхности контакта в равной степени охватывают жидкую и упругую составляющие волновода. Для волны типа Рэлея уменьшение жесткости материала цилиндра не оказывает заметного влияния на характер распределения смещений вблизи внешней поверхности составного волновода. Энергетические характеристики поверхностных волн для данной пары материалов волновода пред- ставлены в табл. 5. Как и в табл. 3, здесь приведе- ны сведения о распределении среднего за период потока мощности по поперечному сечению волно- вода и его составляющих для данных табл. 1 и 4, а также значение отношения продольных и попереч- ных смещений uzr . Видно, что уменьшение жес- ткости материала цилиндра вызвало существен- ные изменения в распределении потока энергии между жидкой и упругой составляющими волно- вода для волны типа Стоунли. Для нее в составном волноводе с r1 = 0.3 жидкость переносит только 18 % энергии при ζ =50 и 17.4 % при ζ =100. На- помним, что в случае жесткого материала цилин- дра жидкость переносит почти всю энергию по- верхностной волны типа Стоунли. Для этой волны также существенно изменилось отношение продольных и поперечных компонент вектора смещений (uzr = 1.076 для ζ = 100, r1 = 0.3). Отметим, что при контакте двух полупро- странств из этих же материалов отношение ампли- туд продольных и поперечных компонент векто- ра смещений для волны Стоунли равно 1.04 [24]. Для волны типа Рэлея в составном волноводе име- ем uzr = 0.537 для ζ = 100. При контакте же соо- тветствующих упругого слоя и жидкого полупро- странства отношение продольных смещений к по- перечным для волны Рэлея на свободной поверх- ности упругого слоя равно 0.541 [24]. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Изучены поверхностные волны в заполненном жидкостью упругом цилиндре. Рассмотрены два типа упругих материалов: жесткие и податливые. Проанализирован характер трансформации вол- нового движения в поверхностные волны с ростом волнового числа (частоты) в зависимости от геоме- трического параметра и физических свойств упру- гой составляющей волноводов. Анализ проведен на основе данных о свойствах поверхностных волн в пустом цилиндре и свойствах поверхностной вол- ны на поверхности раздела полупространств жид- кость – упругое тело. Полученные данные о кинематических и энер- гетических характеристиках нормальных волн в составных волноводах иллюстрируют специфиче- ские особенности локализации движений в та- ких структурах при относительно больших значе- ниях частоты, обусловленные эффектом упруго- жидкостного взаимодействия, усложняющим дис- персионные свойства нормальных волн и их кине- матические характеристики. Прежде всего, эффект взаимодействия суще- ственно изменяет асимптотические свойства тако- го параметра как фазовые скорости волн. В слу- чае жесткого материала упругого цилиндра все 52 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 Табл 4. Дисперсионные характеристики низших нормальных волн для заполненного водой цилиндра из жесткой резины с r1 =0.9 ζ γ (1) 2 C/VS γ (2) 2 C/VS 70 56.901545 0.812879 67.231629 0.960452 80 65.200464 0.815006 76.045242 0.950566 100 81.590645 0.815906 94.373767 0.943738 r0 0.2 0.4 0.6 0.8 Uz * -1 -0.5 0 0.5 1 1 2 3 4 r0 0.2 0.4 0.6 0.8 Ur * -1 -0.5 0 0.5 1 1 2 3 4 а б Рис. 7. Распределение по радиусу нормированных амплитуд смещений в нормальных волнах волновода вода – жесткая резина с r1 =0.3: 1 – ζ=50 (волна Стоунли), 2 – ζ =100 (волна Стоунли), 3 – ζ =50 (волна Рэлея), 4 – ζ=100 (волна Рэлея) r0 0.2 0.4 0.6 0.8 Uz * -1 -0.5 0 0.5 1 1 2 r0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 Ur * -1 -0.5 0 0.5 1 1 2 а б Рис. 8. Распределение по радиусу нормированных амплитуд смещений в нормальных волнах волновода вода –жесткая резина с r1 =0.9, ζ =100: 1 – волна Стоунли, 2 – волна Рэлея В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 53 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 Табл 5. Относительное распределение осевой энергии по поперечному сечению составляющих волновода вода –жесткая резина N r1 ζ γ2 uzr Wz0 Wz1 Wz Wz0/Wz 1 0.3 50 40.973317 1.096 0.1451 · 1013 0.6582 · 1013 0.8033 · 1013 0.1807 2 0.3 100 81.714104 1.076 0.3112 · 1025 0.1477 · 1026 0.1788 · 1026 0.1741 3 0.3 50 47.049195 0.526 0.1016 · 1013 0.1087 · 1023 0.1087 · 1023 0.935 · 10−10 4 0.3 100 94.152981 0.537 0.1253 · 1025 0.2235 · 1045 0.2235 · 1045 0.5608 · 10−20 5 0.9 100 81.590645 1.063 0.6827 · 1074 0.3349 · 1075 0.4032 · 1075 0.1693 6 0.9 100 94.373767 0.538 0.2847 · 1073 0.1247 · 1076 0.1262 · 1076 0.002257 нормальные волны (кроме низшей) имеют в каче- стве предельного значения фазовой скорости ско- рость звука в заполняющей цилиндр жидкости. Уже это обстоятельство указывает, что в таком составном волноводе отсутствуют отдельные нор- мальные волны, трансформирующиеся в поверх- ностные волны типа Рэлея. Как показано в рабо- те, волна Рэлея формируется на внешней поверх- ности цилиндра лишь за счет трансформации нор- мальных волн разных порядков на отдельных ча- стотных интервалах. Этим волнам соответствуют участки дисперсионных кривых разных порядков, которые расположены вблизи первой дисперсион- ной кривой пустого цилиндра. Низшая нормаль- ная волна волновода в этом случае трансформи- руется в классическую волну Стоунли вблизи по- верхности раздела жидкость – упругое тело. Локализация волнового поля вблизи внутрен- ней поверхности цилиндра происходит в нормаль- ных волнах, дисперсионные кривые для которых имеют участки, близкие ко второй дисперсион- ной кривой пустого цилиндра. На них движение в упругом цилиндре близко по характеру к дви- жению в волне Рэлея, однако движение в жид- кости не локализуется вблизи поверхности разде- ла. Энергетически упруго-жидкостное взаимодей- ствие для этих мод выражено весьма существенно. Именно это обстоятельство не позволяет сформи- роваться волне Рэлея вблизи внутренней поверх- ности цилиндра. Для составного волновода из податливого мате- риала упруго-жидкостное взаимодействие прояв- ляется практически во всей области частот и вол- новых чисел. Поэтому при систематизации расче- тных результатов методически нецелесообразно использовать представления о парциальных под- системах. На это особенно четко указывают дан- ные об асмптотических свойствах фазовых скоро- стей нормальных волн. Так, первая (низшая) и вторая нормальные волны имеют в качестве пре- дельных значений скоростей скорости волн Стоун- ли и Рэлея соответственно. Все последующие вол- ны, в том числе и волна, соответствующая вто- рой волне пустого цилиндра, имеют в качестве предельного значения фазовой скорости скорость волн сдвига в материале цилиндра. На конкретных примерах показано, что умень- шение жесткости материала цилиндра оказыва- ет существенное влияние на дисперсионные, кине- матические и энергетические характеристики по- верхностной волны типа Стоунли. Если цилиндр состоит из жесткого материала, фазовая скорость волны Стоунли практически равна скорости зву- ка в жидкости, а если из податливого – она зна- чительно меньше этой величины. В случае пода- тливого материала цилиндра вблизи поверхности контакта волновое возмущение в равной степени охватывает жидкую и упругую составляющие вол- новода. При этом значительную часть энергии пе- реносит упругая компонента. Амплитуды продоль- ных и поперечных смещений становятся весьма близкими. В отличие от этого, для цилиндра из жесткого материала волновое возмущение преиму- щественно сосредоточено в жидкости, а амплиту- ды продольных смещений значительно превосхо- дят поперечные смещения. 1. Rayleigh J. W. On waves propagated along the plane surface of an elastic solid // Proc. Lond. Math. Soc.– 1885/1886.– 17, N 253.– P. 4–11. 2. Stoneley R. The elastic waves at the interface of seperation of two solids // Proc. Roy. Soc. Lond.– 1924.– A106, N 732.– P. 416–429. 3. Гоголадзе В. Г. Отражение и переломление упру- гих волн. Общая теория граничных волн Рэлея // Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР.– 1947.– 125.– С. 1– 43. 4. Achenbach J. D., Epstein H. I. Dynamic interaction of a layer and a half-space // Proc. Amer. Soc. Civil Engng, J. Engng Mech.– 1967.– 93, N 5.– P. 27–42. 5. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. думка, 1981.– 283 с. 54 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 2. С. 37 – 55 6. Padilla F., de Billy M., Quentin G. Theoretical and experimental studies of surface waves on solid-fluid interfaces when the value of the fluid sound velocity is located between the shear and the longitudinal ones in the solid // J. Acoust. Soc. Amer.– 1999.– 106, N 2.– P. 666–673. 7. Glorieux C., Van de Rostyne K., Nelson K., Gao W., Lauriks W., Thoen J. On the character of acouctic waves at the interface between hard and soft solids and liqueds // J. Acoust. Soc. Amer.– 2001.– 110, N 3, Pt 1.– P. 1299–1306. 8. Zhu J., Popovics J. S., Schubert F. Leaky Raylei- gh and Scholte waves at the fluid-solid interface subjected to transient point loading // J. Acoust. Soc. Amer.– 2004.– 116, N 4, Pt 1.– P. 2101–2110. 9. Bayon A., Gascon F., Nieves F. J. Estimation of dynamic elastic constans from the amplitude and velosity of Rayleigh waves // J. Acoust. Soc. Amer.– 2005.– 117, N 6.– P. 3469–3477. 10. Mindlin R. D. Waves and vibrations in isotropic elastic plates // Structural mechanics.– New York: Pergamon Press, 1960.– P. 199–232. 11. Onoe M., McNiven H. D., Mindlin R. D. Dispersion of axially symmetric waves in elastic rods // ASME J. Appl. Mech.– 1962.– 29.– P. 729–734. 12. Zemanek J. An experimental and theoretical investi- gation of elastic waves propagation in a cylinder // J. Acoust. Soc. Amer.– 1972.– 51, N 1.– P. 265–283. 13. Gazis D. C. Three-dimension investigation of the propagation of waves in hollow circular cylinders. II. Numerical results // J. Acoust. Soc. Amer.– 1959.– 31, N 3.– P. 573–578. 14. Rosenberg R. L., Thurston R. N. Relationship between plate and surface modes of a tube // J. Acoust. Soc. Amer.– 1977.– 61, N 6.– P. 1499– 1502. 15. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Распростра- нение волн в полом упругом цилиндре с жидко- стью // Прикл. мех.– 1984.– 20, N 1.– С. 21–26. 16. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Свойства нор- мальных волн в упруго-жидкостных цилиндриче- ских волноводах // Акуст. вiсн.– 2000.– 3, N 3.– С. 44–55. 17. Комиссарова Г. Л. Распространение нормальных волн в заполненных жидкостью тонкостенных ци- линдрах // Прикл. мех.– 2002.– 38, N 1.– С. 124– 134. 18. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Свойства по- верхностных волн в упругом полом цилиндре // Акуст. вiсн.– 2004.– 7, N 3.– С. 39–48. 19. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Особенно- сти распространения волн в заполненных жид- костью цилиндрах с податливыми стенками // Акуст. вiсн.– 2001.– 4, N 3.– С. 22–33. 20. Комиссарова Г. Л. К решению задачи о распро- странении упругих волн в цилиндре с жидко- стью // Прикл. мех.– 1990.– 26, N 8.– С. 25–29. 21. Комиссарова Г. Л. Распространение нормальных осесимметричных волн в заполненных и окружен- ных жидкостью упругих цилиндрах из податли- вых материалов // Прикл. мех.– 2004.– 40, N 5.– С. 104–113. 22. Бергман Л. Ультразвук.– М.: ИИЛ, 1957.– 726 с. 23. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Особенно- сти динамического деформирования полого ци- линдра // Прикл. мех.– 1986.– 22, N 5.– С. 3–8. 24. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Поверхно- стные волны в системе упругий слой на жидком полупространстве // Акуст. вiсн.– 2005.– 8, N 4.– С. 38–45. В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 55
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-979
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 1028-7507
language Russian
last_indexed 2025-11-25T20:53:25Z
publishDate 2006
publisher Інститут гідромеханіки НАН України
record_format dspace
spelling Гринченко, В.Т.
Комиссарова, Г.Л.
2008-07-09T14:29:35Z
2008-07-09T14:29:35Z
2006
Свойства локализованных вблизи границ волновых движений в заполненном жидкостью цилиндре / В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 2. — С. 37-55. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
1028-7507
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/979
534.1:534.232
Исследованы свойства гармонических поверхностных волн в упругом цилиндре, заполненном жидкостью. Описание волнового движения проведено на основе полной системы уравнений динамической теории упругости и уравнений движения идеальной сжимаемой жидкости. Асимптотический анализ дисперсионных соотношений в области больших волновых чисел и качественный анализ дисперсионного спектра позволил установить принципиальные различия между свойствами поверхностных волн в волноводах с жесткими и мягкими стенками. В обоих случаях первая нормальная волна с увеличением волнового числа формирует в пределе волну Стоунли на внутренней поверхности цилиндра. Для мягкого материала цилиндра вторая нормальная волна формирует в пределе волну Рэлея на внешней поверхности. В случае жесткого цилиндра поверхностная волна на внешней поверхности как предельное состояние одной из нормальных волн волновода не существует, а движения типа волны Рэлея формируются лишь на отдельных участках различных дисперсионных кривых. Для мягких и жестких материалов цилиндров наблюдается также существенное различие в предельных значениях фазовых скоростей волн высших порядков.
Досліджені властивості гармонічних поверхневих хвиль у пружному циліндрі, заповненому рідиною. Для опису хвильових рухів використано повну систему рівнянь динамічної теорії пружності та рівняння руху ідеальної стисливої рідини. Асимптотичний аналіз дисперсійних співвідношень в області великих хвильових чисел та якісний аналіз дисперсійного спектра дозволив установити принципові відмінності між властивостями поверхневих хвиль у хвилеводах із жорсткими та м'якими стінками. В обох випадках перша нормальна хвиля зі збільшенням хвильового числа у граничному наближенні формує хвилю Стоунлі на внутрішній поверхні циліндра. Для м'якого матеріалу циліндра друга нормальна хвиля на зовнішній поверхні формує у граничному наближенні хвилю Релея. У випадку жорсткого циліндра поверхнева хвиля на зовнішній поверхні як граничний стан однієї із нормальних хвиль хвилеводу не існує, а рухи типу хвилі Релея формуються лише на окремих ділянках різних дисперсійних кривих. Для м'яких та жорстких матеріалів циліндрів спостерігається також суттєва різниця у граничних значеннях фазових швидкостей хвиль вищих порядків.
Properties of harmonic surface waves in a fluid-filled elastic cylinder are investigated. Wave motion in a composite waveguide is described on the basis of the complete systems of equations of dynamic elasticity theory and equations of motion of ideal compressed liquid. An asymptotic analysis of the dispersion relations for large wave numbers and quantitative analysis of the dispersion spectrum show the fundamental difference between the properties of the surface waves in the waveguides with the compliant and rigid walls. In both cases, with increasing wavenumber, the first normal mode on the internal surface of the cylinder forms at the limit the Stoneley wave. For the compliant cylinder's material, the second normal wave on the external surface forms at the limit the Rayleigh wave. In the case of the rigid cylinder, the surface wave on the external surface does not exist as a limiting form of one of the normal waves of the waveguide, but the motions like the Rayleigh wave are formed only on separate segments of different dispersion curves. Moreover, for the compliant and rigid materials of the cylinders the essential distinction is also observed in the limiting values of phase velocities for the waves of higher orders.
ru
Інститут гідромеханіки НАН України
Свойства локализованных вблизи границ волновых движений в заполненном жидкостью цилиндре
Properties of wave motions in a fluid-filled cylinder, localized near the boundaries
Article
published earlier
spellingShingle Свойства локализованных вблизи границ волновых движений в заполненном жидкостью цилиндре
Гринченко, В.Т.
Комиссарова, Г.Л.
title Свойства локализованных вблизи границ волновых движений в заполненном жидкостью цилиндре
title_alt Properties of wave motions in a fluid-filled cylinder, localized near the boundaries
title_full Свойства локализованных вблизи границ волновых движений в заполненном жидкостью цилиндре
title_fullStr Свойства локализованных вблизи границ волновых движений в заполненном жидкостью цилиндре
title_full_unstemmed Свойства локализованных вблизи границ волновых движений в заполненном жидкостью цилиндре
title_short Свойства локализованных вблизи границ волновых движений в заполненном жидкостью цилиндре
title_sort свойства локализованных вблизи границ волновых движений в заполненном жидкостью цилиндре
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/979
work_keys_str_mv AT grinčenkovt svoistvalokalizovannyhvblizigranicvolnovyhdviženiivzapolnennomžidkostʹûcilindre
AT komissarovagl svoistvalokalizovannyhvblizigranicvolnovyhdviženiivzapolnennomžidkostʹûcilindre
AT grinčenkovt propertiesofwavemotionsinafluidfilledcylinderlocalizedneartheboundaries
AT komissarovagl propertiesofwavemotionsinafluidfilledcylinderlocalizedneartheboundaries

Схожі ресурси