О состоянии предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной
Изучено состояние предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной нормального отрыва при наличии зоны предразрушения. В результате численного решения соответствующей краевой задачи установлено влияние длины трещины на поля перемещений и деформаций. Выявлены особенности этих полей в...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97947 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О состоянии предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 11. — С. 52-60. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-97947 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. 2016-04-05T11:58:52Z 2016-04-05T11:58:52Z 2015 О состоянии предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 11. — С. 52-60. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97947 539.3 Изучено состояние предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной нормального отрыва при наличии зоны предразрушения. В результате численного решения соответствующей краевой задачи установлено влияние длины трещины на поля перемещений и деформаций. Выявлены особенности этих полей в окрестности трещины и зоны предразрушения. Вивчено стан граничної рiвноваги нелiнiйного анiзотропного тiла з трiщиною нормального вiдриву за наявностi зони передруйнування. В результатi чисельного розв’язання вiдповiдної крайової задачi встановлено вплив довжини трiщини на поля перемiщень i деформацiй. Виявлено особливостi цих полiв в околi трiщини та зони передруйнування. The limiting equilibrium state of a nonlinear anisotropic body with a mode I crack in the presence of a prefracture zone is studied. By the numerical solving of the associated boundary-value problem, it is established how the crack length influences the displacement and deformation fields. Features of these fields in vicinities of the crack and the prefracture zone are revealed. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О состоянии предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной Про стан граничної рiвноваги нелiнiйного анiзотропного тiла з трiщиною On the limiting equilibrium state of a nonlinear anisotropic body with a crack Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О состоянии предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной |
| spellingShingle |
О состоянии предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. Механіка |
| title_short |
О состоянии предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной |
| title_full |
О состоянии предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной |
| title_fullStr |
О состоянии предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной |
| title_full_unstemmed |
О состоянии предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной |
| title_sort |
о состоянии предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной |
| author |
Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| author_facet |
Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про стан граничної рiвноваги нелiнiйного анiзотропного тiла з трiщиною On the limiting equilibrium state of a nonlinear anisotropic body with a crack |
| description |
Изучено состояние предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной
нормального отрыва при наличии зоны предразрушения. В результате численного решения соответствующей краевой задачи установлено влияние длины трещины на поля перемещений и деформаций. Выявлены особенности этих полей в окрестности трещины
и зоны предразрушения.
Вивчено стан граничної рiвноваги нелiнiйного анiзотропного тiла з трiщиною нормального
вiдриву за наявностi зони передруйнування. В результатi чисельного розв’язання вiдповiдної крайової задачi встановлено вплив довжини трiщини на поля перемiщень i деформацiй. Виявлено особливостi цих полiв в околi трiщини та зони передруйнування.
The limiting equilibrium state of a nonlinear anisotropic body with a mode I crack in the presence
of a prefracture zone is studied. By the numerical solving of the associated boundary-value problem,
it is established how the crack length influences the displacement and deformation fields. Features
of these fields in vicinities of the crack and the prefracture zone are revealed.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/97947 |
| citation_txt |
О состоянии предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 11. — С. 52-60. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kaminskiiaa osostoâniipredelʹnogoravnovesiânelineinogoanizotropnogotelastreŝinoi AT kurčakovee osostoâniipredelʹnogoravnovesiânelineinogoanizotropnogotelastreŝinoi AT kaminskiiaa prostangraničnoírivnovagineliniinogoanizotropnogotilaztriŝinoû AT kurčakovee prostangraničnoírivnovagineliniinogoanizotropnogotilaztriŝinoû AT kaminskiiaa onthelimitingequilibriumstateofanonlinearanisotropicbodywithacrack AT kurčakovee onthelimitingequilibriumstateofanonlinearanisotropicbodywithacrack |
| first_indexed |
2025-11-25T09:51:31Z |
| last_indexed |
2025-11-25T09:51:31Z |
| _version_ |
1850511857173921792 |
| fulltext |
УДК 539.3
А.А. Каминский, Е. Е. Курчаков
О состоянии предельного равновесия нелинейного
анизотропного тела с трещиной
(Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко)
Изучено состояние предельного равновесия нелинейного анизотропного тела с трещиной
нормального отрыва при наличии зоны предразрушения. В результате численного реше-
ния соответствующей краевой задачи установлено влияние длины трещины на поля пе-
ремещений и деформаций. Выявлены особенности этих полей в окрестности трещины
и зоны предразрушения.
Ключевые слова: нелинейное анизотропное тело, трещина нормального отрыва, зона
предразрушения, критерий прочности.
В настоящей работе изучается состояние предельного равновесия нелинейного анизотропно-
го тела с трещиной нормального отрыва при наличии зоны предразрушения. В частности,
исследуется влияние длины трещины на ее раскрытие в вершине, а также на деформации
в конце зоны предразрушения. Как и в работе [1], принимается, что размеры зоны предра-
зрушения не зависят от длины трещины и внешней нагрузки на тело. Постановка краевой
задачи осуществляется в компонентах вектора перемещений.
Постановка краевой задачи. Для постановки краевой задачи потребуются определя-
ющие уравнения, связыващие компоненты тензора напряжений S с компонентами тензора
деформаций D .
Воспользуемся тензорно-линейными определяющими уравнениями [2]:
Sαβ = GαβγδDγδ − φ̃(Ω)
(
GαβγδDγδ −
E
Z
gαβ
)
. (1)
Аргументом функции φ̃(Ω) является величина
Ω =
√
Ξ− E2
Z
. (2)
Инварианты Z, E и Ξ таковы:
Z = Fαβγδg
αβgγδ; E = gαβDαβ ; Ξ = GαβγδDαβDγδ. (3)
Отметим, что тензор F и тензор G, обратный тензору F , характеризуют анизотропию.
Эти тензоры обладают высокой симметрией. Иначе говоря, в компонентах этих тензоров
можно менять местами как индексы, относящиеся к любой одной паре индексов, так и сами
пары индексов.
Следуя [2], функцию φ̃(Ω) примем такой:
φ̃(Ω) =
0, Ω ∈ [o, υ];
Ω− υ − a ln
(
Ω− υ
a
+ 1
)
Ω
, Ω ∈ [υ, ψ].
(4)
© А.А. Каминский, Е. Е. Курчаков, 2015
52 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11
В дальнейшем потребуется также критерий прочности.
Воспользуемся критерием прочности [2]:
Ω = ψ. (5)
Как показано в статье [2], при нарушении прочности плотность энергии, расходуемой
на деформацию элемента тела без изменения его объема, принимает значение Ψ:
Ψ = υ
(
ψ − υ
2
)
+ a2
{(
ψ − υ
a
+ 1
)[
ln
(
ψ − υ
a
+ 1
)
− 1
]
+ 1
}
. (6)
Будем считать, что система координат x1, x2, x3, к которой отнесено тело, является
прямоугольной декартовой. Стало быть,
gεζ =
{
1 (ε = ζ);
0 (ε ̸= ζ).
(7)
Выведем основные уравнения для компонент вектора перемещений u .
Воспользуемся соотношениями Коши [3]:
Dεζ =
∂uε
∂xζ
(ε, ζ). (8)
Привлекая соотношения (8), запишем уравнения (1) в виде
Sαβ = Gαβγδ ∂uγ
∂xδ
− φ̃(Ω)
(
Gαβγδ ∂uγ
∂xδ
− E
Z
gαβ
)
. (9)
С учетом соотношений (8) второй и третий из инвариантов (3) выразим так:
E = gαβ
∂uα
∂xβ
; Ξ = Gαβγδ ∂uα
∂xβ
∂uγ
∂xδ
. (10)
Ограничимся рассмотрением ортотропного тела. Главные направления примем совпа-
дающими с направлениями осей x1, x2, x3.
Остановимся на случае обобщенного плоского напряженного состояния, полагая, что
Sαβ = Sαβ(x1, x2) (α = 1, 2, β = 1, 2); (11)
Sαβ = 0 (α = 1, 2, β = 3; α = 3, β = 1, 2; α = 3, β = 3). (12)
В соответствии с равенствами (7) первый из инвариантов (10) примет вид
E =
∂u1
∂x1
+
∂u2
∂x2
+
∂u3
∂x3
. (13)
Так как φ̃(Ω) ̸= 1, то, в силу равенств (12) и (7), из уравнений (9) следует, что
∂uγ
∂xδ
+
∂uδ
∂xγ
= 0 (γ = 1, 2, δ = 3; γ = 3, δ = 1, 2). (14)
Используем обозначения
G1111 ≡ µAA, G1212 ≡ µBB, G1122 ≡ µAD, G2222 ≡ µDD,
G1133 ≡ µAF , G2233 ≡ µDF , G3333 ≡ µFF .
(15)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11 53
Согласно равенствам (14) и обозначениям (15), второй из инвариантов (10) примет вид
Ξ = µAA
∂u1
∂x1
∂u1
∂x1
+ 2µAD
∂u1
∂x1
∂u2
∂x2
+ 2µAF
∂u1
∂x1
∂u3
∂x3
+
+ µBB
(
∂u1
∂x2
∂u1
∂x2
+ 2
∂u1
∂x2
∂u2
∂x1
+
∂u2
∂x1
∂u2
∂x1
)
+
+ µDD
∂u2
∂x2
∂u2
∂x2
+ 2µDF
∂u2
∂x2
∂u3
∂x3
+ µFF
∂u3
∂x3
∂u3
∂x3
. (16)
Учитывая равенства (12) и (7) на основании уравнений (9) найдем
∂u3
∂x3
=
1
G3333
[
φ̃(Ω)
(
G3311∂u1
∂x1
+G3322∂u2
∂x2
+G3333∂u3
∂x3
−E
Z
)
−G3311∂u1
∂x1
−G3322∂u2
∂x2
]
. (17)
Опираясь на равенства (7) и выражение (17), в соответствии с уравнениями (9) будем
иметь
Sαβ =
(
Gαβ11 − Gαβ33
G3333
G3311
)
∂u1
∂x1
+
(
Gαβ22 − Gαβ33
G3333
G3322
)
∂u2
∂x2
−
− φ̃(Ω)
[(
Gαβ11 − Gαβ33
G3333
G3311
)
∂u1
∂x1
+
(
Gαβ22 − Gαβ33
G3333
G3322
)
∂u2
∂x2
−
−
(
1− Gαβ33
G3333
)
E
Z
]
(α, β = 1, 2;α = β); (18)
Sαβ=Gαβ12∂u1
∂x2
+Gαβ21∂u2
∂x1
−φ̃(Ω)
(
Gαβ12∂u1
∂x2
+Gαβ21∂u2
∂x1
)
(α, β = 1, 2;α ̸= β). (19)
Введем обозначения
G1133
G3333
≡ ξAF ,
G2233
G3333
≡ ξDF ; (20)
G1111 − G1133
G3333
G3311 ≡ µ̆AA, G1122 − G1133
G3333
G3322 ≡ µ̆AD,
G2211 − G2233
G3333
G3311 ≡ µ̆DA, G2222 − G2233
G3333
G3322 ≡ µ̆DD. (21)
Воспользуемся уравнениями Навье [3]:
∂Sαβ
∂xβ
= 0. (22)
Допустим, что тело является однородным. Принимая во внимание формулы (11) и ра-
венства (12), используя уравнения (18), (19) и учитывая второе из обозначений (15), а также
обозначения (20) и (21), на основании уравнений (22) установим
µ̆AA
∂2u1
∂x1∂x1
+ (µ̆AD + µBB)
∂2u2
∂x1∂x2
+ µBB
∂2u1
∂x2∂x2
= Q1;
µBB
∂2u2
∂x1∂x1
+ (µBB + µ̆DA)
∂2u1
∂x1∂x2
+ µ̆DD
∂2u2
∂x2∂x2
= Q2.
(23)
54 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11
Здесь
Q1 =
∂φ̃(Ω)
∂x1
(
µ̆AA
∂u1
∂x1
+ µ̆AD
∂u2
∂x2
− 1− ξAF
Z
E
)
+
∂φ̃(Ω)
∂x2
µBB
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
+
+ φ̃(Ω)
[
µ̆AA
∂2u1
∂x1∂x1
+ (µ̆AD + µBB)
∂2u2
∂x1∂x2
+ µBB
∂2u1
∂x2∂x2
− 1− ξAF
Z
∂E
∂x1
]
;
Q2 =
∂φ̃(Ω)
∂x1
µBB
(
∂u2
∂x1
+
∂u1
∂x2
)
+
∂φ̃(Ω)
∂x2
(
µ̆DA
∂u1
∂x1
+ µ̆DD
∂u2
∂x2
− 1− ξDF
Z
E
)
+
+ φ̃(Ω)
[
µBB
∂2u2
∂x1∂x1
+ (µBB + µ̆DA)
∂2u1
∂x1∂x2
+ µ̆DD
∂2u2
∂x2∂x2
− 1− ξDF
Z
∂E
∂x2
]
.
(24)
На поверхностях тела и трещины зададим вектор напряжений P с компонентами Pα.
Воспользуемся граничными условиями [3]
Sαβnβ = Pα, (25)
где nβ — компоненты единичного вектора внешней нормали n .
Принимая во внимание равенства (12), используя уравнения (18), (19) и учитывая второе
из обозначений (15), а также обозначения (20) и (21), на основании условий (25) получим(
µ̆AA
∂u1
∂x1
+ µ̆AD
∂u2
∂x2
)
n1 + µBB
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
n2 = P 1 +R1;
µBB
(
∂u2
∂x1
+
∂u1
∂x2
)
n1 +
(
µ̆DA
∂u1
∂x1
+ µ̆DD
∂u2
∂x2
)
n2 = P 2 +R2.
(26)
Здесь
R1 = φ̃(Ω)
[(
µ̆AA
∂u1
∂x1
+ µ̆AD
∂u2
∂x2
− 1− ξAF
Z
E
)
n1 + µBB
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
n2
]
;
R2 = φ̃(Ω)
[
µBB
(
∂u2
∂x1
+
∂u1
∂x2
)
n1 +
(
µ̆DA
∂u1
∂x1
+ µ̆DD
∂u2
∂x2
− 1− ξDF
Z
E
)
n2
]
.
(27)
Коснемся вопроса моделирования зоны предразрушения.
При нагружении тела у вершины трещины образуется зона предразрушения — узкая
область на продолжении трещины, в которой начинается разрушение. Заменим эту зону
разрезом, к поверхностям которого приложены некоторые напряжения, подлежащие опре-
делению в ходе решения соответствующей краевой задачи.
Разумеется, компоненты Pα, действующие по поверхностям разреза, должны зависеть
от координат x1, x2, x3.
Предположим, что зависимости компонент Pα от координат x1, x2, x3 могут быть пред-
ставлены так:
Pα = Cα + Cα·
·β x
β + Cα··
·βγx
βxγ + Cα···
·βγδx
βxγxδ, (28)
где Cα, Cα·
·β , Cα··
·βγ , C
α···
·βγδ — компоненты некоторых тензоров с первого по четвертый ранг.
Рассмотрим прямоугольное тело малой толщины с трещиной по центру. С осями сим-
метрии тела совместим оси x1, x2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11 55
Рис. 1
На поверхностях тела и трещины зададим компоненты P 1, P 2. Сделаем это симметрично
относительно осей x1, x2. Поэтому будет достаточно рассмотреть лишь четвертую часть
тела, например, располагающуюся в первом квадранте (рис. 1).
Очевидно, что в конце разреза
u1 = 0. (29)
Выделим около конца разреза точку с координатами a1, a2. Будем полагать, что в этой
точке существуют все частные производные (до второго порядка включительно) от компо-
ненты u2 по координатам x1, x2.
Координаты конца разреза запишем следующим образом: a1 + ε1, a2 + ε2.
Составляя кратный ряд Тейлора, расположенный по степеням ε1, ε2, установим
−u2 + u2(a
1, a2) +
∂u2
∂x1
∣∣∣∣
(a1,a2)
ε1 +
∂u2
∂x2
∣∣∣∣
(a1,a2)
ε2 +
+
1
2
(
∂2u2
∂x1∂x1
∣∣∣∣
(a1,a2)
ε1ε1 + 2
∂2u2
∂x1∂x2
∣∣∣∣
(a1,a2)
ε1ε2 +
∂2u2
∂x2∂x2
∣∣∣∣
(a1,a2)
ε2ε2
)
= 0. (30)
Ввиду симметрии относительно оси x2 из компонент вектора P , действующих по верхней
поверхности разреза, отличной от нуля будет только компонента P 1.
Пусть координата x2 начала разреза (точки A) будет x2f , а конца разреза (точки B) — x2g.
Согласно формулам (28), зависимость компоненты P 1 от координаты x2 имеет вид
P 1 = C1 + C1·
·2x
2 + C1··
·22x
2x2 + C1···
·222x
2x2x2. (31)
Примем, что
P 1|x2=x2
f
= P 1
A; P 1|x2=x2
g
= P 1
B. (32)
56 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11
Дифференцируя формулу (31) по x2, получим
∂P 1
∂x2
= C1·
·2 + 2C1··
·22x
2 + 3C1···
·222x
2x2. (33)
Положим, что
∂P 1
∂x2
|x2=x2
f
= 0;
∂P 1
∂x2
|x2=x2
g
= 0. (34)
Используя формулу (31) и условия (32), а также формулу (33) и условия (34), найдем
C1 =
P 1
A(3x
2
f − x2g)(x
2
g)
2 − P 1
B(3x
2
g − x2f )(x
2
f )
2
(x2f − x2g)
3 ,
C1·
·2 =
6(P 1
B − P 1
A)x
2
fx
2
g
(x2f − x2g)
3 , C1··
·22 = −
3(P 1
B − P 1
A)(x
2
g + x2f )
(x2f − x2g)
3 , C1···
·222 =
2(P 1
B − P 1
A)
(x2f − x2g)
3 .
(35)
Ниже сосредоточимся на состоянии предельного равновесия, приравнивая P 1
A нулю.
Числовой пример. Исследовано влияние длины трещины на ее раскрытие в вершине,
а также на деформации в конце зоны предразрушения.
Заданы существенные компоненты тензора F :
F1111 = 0,193 · 10−10 Па−1, −F1122= 0,045 · 10−10 Па−1, −F1133=0,049 · 10−10 Па−1,
F1212 = 0,107 · 10−10 Па−1, F1313 = 0,121 · 10−10 Па−1, F2222 = 0,142 · 10−10 Па−1,
−F2233=0,045 · 10−10 Па−1, F2323 = 0,107 · 10−10 Па−1, F3333 = 0,193 · 10−10 Па−1.
На основе этих значений получены существенные компоненты тензора G:
G1111 = 6,395 · 1010 Па, G1122 = 2,744 · 1010 Па, G1133 = 2,263 · 1010 Па,
G1212 = 2,336 · 1010 Па, G1313 = 2,066 · 1010 Па, G2222 = 8,781 · 1010 Па,
G2233 = 2,744 · 1010 Па, G2323 = 2,336 · 1010 Па, G3333 = 6,395 · 1010 Па.
Кроме того, заданы постоянные υ и ψ, а также коэффициент a :
υ = 3,25 · 102 Па1/2, ψ = 93,50 · 102 Па1/2; a = 1,1112866 · 102 Па1/2.
По формуле (6) вычислено Ψ: Ψ = 645,97 · 104 Па.
Наконец, заданы
x2f = 1,00 · 10−2 м, 1,10 · 10−2 м, . . . , 1,50 · 10−2 м; −ε1 = ε2 = 0,02 · 10−2 м.
Для длин трещины, lR, и разреза, lS , имеем
lR = x2f ; lS = x2g − x2f .
Подчеркнем, что длина разреза оставалась неизменной, равной 0,16 · 10−2 м.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11 57
Из компонент вектора напряжений отличной от нуля была исключительно компонен-
та P 1 на верхней поверхности тела (cм. рис. 1).
При решении краевой задачи, следовало определить P 1
(1), требуя, чтобы в точке B со-
блюдался критерий (5), а Ψ составляло 645,97 · 104 Па.
В общей сложности решение краевой задачи найдено для шести вариантов, различаю-
щихся длиной трещины. В каждом из этих вариантов P 1
(1) варьировалась.
При решении краевой задачи (для каждого из значений P 1
(1)) учитывалось, что в точке
Bкомпонента S11 должна удовлетворять равенству
S11
B = |P 1
B|. (36)
Не известная заранее P 1
B определялась за несколько итераций. Изначально она зада-
валась.
Компонента P 1 на верхней поверхности разреза вычислялась по формулам (35) и (31).
Затем по уравнениям (29), (30) и (23), а также (26) численно отыскивались компо-
ненты u1, u2. При этом применялся метод последовательных приближений Ильюшина [4].
В первом приближении величины Q1, Q2 и R1, R2 полагались равными нулю, а в каждом
последующем приближении расчитывались (с учетом формул (24) и (27), а также фор-
мул (4), (2), инвариантов (13) и (16), выражения (17)) на основе значений компонент u1, u2,
полученных в предыдущем приближении. После этого по первому из уравнений (18) вычи-
слялась компонента S11 в точке B. Если она не удовлетворяла равенству (36), то значение
P 1
B корректировалось, и вся процедура повторялась.
Итак, для каждой длины трещины найдены компоненты u1, u2.
Наиболее интересны значения компонент u1, u2 в точке A (табл. 1).
Прежде всего констатируем, что увеличение длины трещины с 1,00·10−2 м до 1,50·10−2 м
повлекло за собой уменьшение P 1
(1) с 7,7791 · 107 Па до 5,8014 · 107 Па. К тому же, оно
вызвало уменьшение uA1 с 2,5072 · 10−5 м до 2,4409 · 10−5 м. При этом uA2 изменилась более
значительно, уменьшившись с −1,7271 · 10−5 м до −2,1527 · 10−5 м.
Заслуживает внимания то обстоятельство, что, несмотря на существенное изменение
длины трещины, uA1 изменилась мало. Таким образом, вне зависимости от длины трещины
ее раскрытие в вершине, равное 2uA1 , оставалось приблизительно одним и тем же.
Далее для каждой длины трещины по соотношениям (8) вычислены компоненты D11,
D22, D33.
Особый интерес вызывают значения компонент D11, D22, D33 в точке B (табл. 2).
Как видим, увеличение длины трещины с 1,00·10−2 м до 1,50·10−2 м привело к уменьше-
нию DB
11 с 20,751 ·10−3 до 20,437 ·10−3 и увеличению DB
22 с 17,756 ·10−3 до 18,047 ·10−3. При
этом DB
33 изменилась гораздо менее заметно, увеличившись с −35,388·10−3 до −35,370·10−3.
Таблица 1
lR · 102, м P 1
(1) ·10−7, Па uA
1 · 105, м uA
2 · 105, м
1,00 7,7791 2,5072 −1,7271
1,10 7,3535 2,4876 −1,8182
1,20 6,9451 2,4712 −1,9061
1,30 6,5518 2,4579 −1,9911
1,40 6,1713 2,4478 −2,0732
1,50 5,8014 2,4409 −2,1527
58 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11
Таблица 2
lR · 102, м DB
11 · 103 DB
22 · 103 DB
33 · 103
1,00 20,751 17,756 −35,388
1,10 20,650 17,850 −35,382
1,20 20,569 17,925 −35,378
1,30 20,506 17,983 −35,374
1,40 20,463 18,023 −35,371
1,50 20,437 18,047 −35,370
Представляется важным тот факт, что, невзирая на существенное изменение длины
трещины, DB
33 не претерпела ощутимых изменений.
Заметим, что компонента D33 принимает в точке B минимальное значение. Следова-
тельно, зная из эксперимента компоненту D33 в различных точках перед трещиной, можно
обнаружить точку B, установив, тем самым, длину зоны предразрушения.
Цитированная литература
1. Kaminsky A.A., Kurchakov E. E. Modeling the fracture process zone near a crack tip in a nonlinear elastic
body // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, No 6. – P. 735–744.
2. Курчаков Е. Е. Термодинамическое обоснование определяющих уравнений для нелинейного анизо-
тропного тела // Доп. НАН України. – 2015. – № 9. – С. 46–53.
3. Love A. Treatise on the mathematical theory of elasticity. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1927. –
674 p.
4. Ильюшин А.А. Пластичность. – Москва; Ленинград: ОГИЗ, 1948. – 376 с.
References
1. Kaminsky A.A., Kurchakov E. E. Int. Appl. Mech., 2011, 47, No 6: 735–744.
2. Kurchakov E. E. Dop. NAN Ukraine, 2015, No 9: 46–53 (in Russian).
3. Love A. Treatise on the mathematical theory of elasticity; Cambridge: Univ. Press, 1927.
4. Il’yushin A.A. Plasticity, Moscow; Leningrad: OGIZ, 1948 (in Russian).
Поступило в редакцию 21.05.2015Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
А.О. Камiнський, Є.Є. Курчаков
Про стан граничної рiвноваги нелiнiйного анiзотропного тiла
з трiщиною
Iнститут механiки iм. С. П. Тимошенка НАН України, Київ
Вивчено стан граничної рiвноваги нелiнiйного анiзотропного тiла з трiщиною нормального
вiдриву за наявностi зони передруйнування. В результатi чисельного розв’язання вiдповiд-
ної крайової задачi встановлено вплив довжини трiщини на поля перемiщень i деформацiй.
Виявлено особливостi цих полiв в околi трiщини та зони передруйнування.
Ключовi слова: нелiнiйне анiзотропне тiло, трiщина нормального вiдриву, зона передруй-
нування, критерiй мiцностi.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11 59
A.A. Kaminsky, E. E. Kurchakov
On the limiting equilibrium state of a nonlinear anisotropic body with a
crack
S. P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
The limiting equilibrium state of a nonlinear anisotropic body with a mode I crack in the presence
of a prefracture zone is studied. By the numerical solving of the associated boundary-value problem,
it is established how the crack length influences the displacement and deformation fields. Features
of these fields in vicinities of the crack and the prefracture zone are revealed.
Keywords: nonlinear anisotropic body, mode I crack, prefracture zone, strength criterion.
60 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11
|