О произведении внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей
Изучается одна известная проблема об описании экстремальных конфигураций, которые максимизируют произведение внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей. Вивчається одна загальна проблема про опис екстремальних конфiгурацiй, якi максимiзують добуток внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/98132 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О произведении внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей / Г.П. Бахтина, И.Я. Дворак, И.В. Денега // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 1. — С. 7-11. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860207134388518912 |
|---|---|
| author | Бахтина, Г.П. Дворак, И.Я. Денега, И.В. |
| author_facet | Бахтина, Г.П. Дворак, И.Я. Денега, И.В. |
| citation_txt | О произведении внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей / Г.П. Бахтина, И.Я. Дворак, И.В. Денега // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 1. — С. 7-11. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Изучается одна известная проблема об описании экстремальных конфигураций, которые максимизируют произведение внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей.
Вивчається одна загальна проблема про опис екстремальних конфiгурацiй, якi максимiзують добуток внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей.
A general problem of the description of extremal configurations maximizing the product of the inner
radii of mutually non-overlapping domains is studied.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:13:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2016
МАТЕМАТИКА
УДК 517.54 http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.01.007
Г.П. Бахтина, И. Я. Дворак, И.В. Денега
Институт математики НАН Украины, Киев
E-mail: bakhtina_galina@mail.ru, dvorakinna@gmail.com, iradenega@yandex.ru
О произведении внутренних радиусов взаимно
непересекающихся областей
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Ю. Трохимчуком)
Изучается одна известная проблема об описании экстремальных конфигураций, кото-
рые максимизируют произведение внутренних радиусов взаимно непересекающихся об-
ластей.
Ключевые слова: внутренний радиус, неналегающие области, n-лучевая система точек,
“управляющий” функционал, квадратичный дифференциал.
Пусть N, R — множество натуральных и вещественных чисел соответственно, C — компле-
ксная плоскость, C = C
∪
{∞} — расширенная комплексная плоскость или сфера Римана,
R+ = (0,∞). Пусть χ(t) = (t + t−1)/2, t ∈ R+ — функция Жуковского. Пусть r(B, a) —
внутренний радиус области B ⊂ C, относительно точки a ∈ B [1–6].
Системой непересекающихся областей называется конечный набор произвольных обла-
стей {Bk}nk=1, n ∈ N, n > 2, таких, что Bk ⊂ C, Bk
∩
Bm = ∅, k ̸= m, k, m = 1, n.
Систему точек An := {ak ∈ C, k = 1, n}, n ∈ N, n > 2, назовем n-лучевой, если |ak| ∈ R+
при k = 1, n, 0 = arg a1 < arg a2 < . . . < arg an < 2π.
Введем обозначения αk :=
1
π
arg
ak+1
ak
, αn+1 := α1, k = 1, n,
n∑
k=1
αk = 2.
Для произвольной n-лучевой системы точек An = {ak}nk=1 рассмотрим следующий
“управляющий” функционал:
M(0)(An) :=
n∏
k=1
χ
(∣∣∣∣ akak+1
∣∣∣∣1/(2αk)
)
|ak|.
© Г. П. Бахтина, И. Я. Дворак, И. В. Денега, 2016
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2016, №1 7
В данной работе рассматривается задача об экстремизации функционала
Jn(γ) = [r(B0, 0)r(B∞,∞)]γ
n∏
k=1
r(Bk, ak) (1)
при γ > 0, n > 2 на множестве всех систем взаимно непересекающихся областей {Bk}n+1
k=0
таких, что ak ∈ Bk ⊂ C, k = 0, (n+ 1), a0 = 0, an+1 = ∞.
При γ = 1/2 и n > 2 оценка для функционала (1) для систем непересекающихся областей
была впервые получена в работе [6]. В работе [7] результат [6] был усилен при γ ∈ (0, n2/8],
n > 2. Задача об оценке функционала (1) при начальных значениях натурального параме-
тра n также рассматривалась в [8, 9]. В данной работе получены оценки функционала (1)
при n = 2, 5 на более широком интервале значений параметра γ.
Теорема 1. Пусть n = 2, 5, 0 < γ 6 γn, γ2 = 0,72, γ3 = 1,40, γ4 = 2,27, γ5 = 3,33.
Тогда для 0 < γ 6 γn любой n-лучевой системы точек An = {ak}nk=1, n = 2, 5, такой, что
M(0)(An) = 1 и любого набора взаимно непересекающихся областей B0, Bk, B∞ (a0 = 0 ∈
∈ B0 ⊂ C, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C) справедливо неравенство
[r(B0, 0)r(B∞,∞)]γ
n∏
k=1
r(Bk, ak) 6 [r(Λ0, 0)r(Λ∞,∞)]γ
n∏
k=1
r(Λk, λk),
где области Λ0, Λ∞, Λk и точки 0, ∞, λk (k = 1, n, n = 2, 5) — круговые области и,
соответственно, полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −γw
2n + (n2 − 2γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2.
Доказательство теоремы 1. Применяя к системе точек {ak}nk=1 и областей {Bk}nk=1
кусочно-разделяющее преобразование, развитое в [4, с. 120], [5, с. 48–50], аналогично рабо-
там [6, 8, 9, 10], получаем неравенство
Jn(γ) 6 2n
(
n∏
k=1
αk
)[
n∏
k=1
Φ(τk)
]
6 4
γ
[
n∏
k=1
τ
2τ2k+2
k |1− τk|−(1−τk)2(1 + τk)
−(1+τk)
2
]
,
где Φ(τ) = τ2τ
2 |1− τ |−(1−τ)2(1 + τ)−(1+τ)2 , τ > 0, τk =
√
γαk, k = 1, n.
Пусть
Ψ(x) = x2x
2+2|1− x|−(1−x)2(1 + x)−(1+x)2 и F (x) = ln(Ψ(x)).
Рассмотрим экстремальную задачу
n∏
k=1
Ψ(xk) −→ max,
n∑
k=1
xk = 2
√
γ, xk = αk
√
γ.
Пусть X(0) = {x(0)k }
n
k=1
— произвольный экстремальный набор точек выше указанной зада-
чи. Далее, следуя работе [11], получаем
F ′(x
(0)
k ) = F ′(x
(0)
j ), k, j = 1, n, (2)
8 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2016, №1
Рис. 1. График функции y = F ′ (x)
F ′(x) = 4x ln(x)− 2(x− 1) ln |x− 1| − 2(x+ 1) ln(x+ 1) +
2
x
(рис. 1). На основании соотношения (2) и следуя работе [11], докажем, что
x
(0)
1 = x
(0)
2 = . . . = x(0)n .
Пусть F ′(x) = t, y0 6 t < 0, y0 ≈ −1,06. Найдем решение уравнения F ′(x) = tk, k =
= 1, 20. Для ∀tk ∈ [y0, 0) уравнение имеет два решения: x1(t) ∈ (0, x0], x2(t) ∈ (x0,∞].
Таблица 1
k tk x1(tk) x2(tk) x1(tk) + x2(tk+1) 2x1(tk)+x2(tk+1) 3x1(tk)+x2(tk+1) 4x1(tk)+x2(tk+1)
1 −0,10 0,595614 1,588941
2 −0,15 0,603048 1,416199 2,011813 2,607427 3,203041 3,798655
3 −0,20 0,610729 1,310498 1,913546 2,516594 3,119642 3,722690
4 −0,25 0,618678 1,237691 1,848420 2,459149 3,069878 3,680607
5 −0,30 0,626917 1,184045 1,802723 2,421401 3,040079 3,65875
6 −0,35 0,635472 1,142792 1,769709 2,396626 3,023543 3,650460
7 −0,40 0,644375 1,110153 1,745625 2,381097 3,016569 3,652041
8 −0,45 0,653662 1,083829 1,728204 2,372579 3,016954 3,661329
9 −0,50 0,663378 1,062338 1,716000 2,369662 3,023324 3,676986
10 −0,55 0,673576 1,044684 1,708062 2,371440 3,034818 3,698196
11 −0,60 0,684325 1,030184 1,703760 2,377336 3,050912 3,724488
12 −0,65 0,695709 1,018378 1,702703 2,387028 3,071315 3,755678
13 −0,70 0,707842 1,008999 1,704708 2,400417 3,096126 3,791835
14 −0,75 0,720873 1,002054 1,709896 2,417738 3,125580 3,833422
15 −0,80 0,735017 0,997389 1,718262 2,439135 3,160008 3,880881
16 −0,85 0,750597 0,990083 1,725100 2,460117 3,195134 3,930151
17 −0,90 0,768137 0,979982 1,730579 2,481176 3,231773 3,982370
18 −0,95 0,788621 0,966394 1,734531 2,502668 3,270805 4,038942
19 −1,00 0,814378 0,947119 1,735740 2,524361 3,312982 4,101603
20 −1,06 0,884406 0,884406 1,698784 2,513162 3,327540 4,141918
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2016, №1 9
Рассмотрим следующие значения t: t1 = −0,1, t2 = −0,15, t3 = −0,2, t4 = −0,25, . . .,
t18 = −0,95, t19 = −1,00, t20 = y0. Непосредственные вычисления приведены в табл. 1.
Учитывая свойства функции F ′(x) и условия теоремы, получаем следующее неравенство:
x1(t)+x2(t) > x1(tk)+x2(tk+1) > 2
√
γn, tk 6 t 6 tk+1, k = 1, 20, n = 2, 5. Отсюда, используя
значения, приведенные в табл. 1, получаем, что теорема 1 доказана при всех 0 < γ 6 γn.
Далее, аналогично рассуждениям работы [11] имеем, что для экстремального набора X(0)
возможен только случай, когда {x(0)k }
n
k=1
∈ (0, x0], x0 ≈ 0,88441, n = 2, 5, и, следовательно,
x
(0)
1 = x
(0)
2 = . . . = x(0)n . Утверждение о знаке равенства проверяется непосредственно.
Теорема 1 доказана.
Авторы выражают благодарность А.К. Бахтину за постановку задачи и полезные обсужде-
ния.
Цитированная литература
1. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. –
5. – С. 159–245.
2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
3. Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображения. – Москва: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
4. Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической теории функций комплекс-
ного переменного. – Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2009. – 390 с.
5. Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного //
Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1. – С. 3–76.
6. Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап.
научн. сем. ЛОМИ. – 1988. – 168. – С. 48–66.
7. Кузьмина Г.В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы // Зап. научн. сем. ПОМИ. –
2001. – 276. – С. 253–275.
8. Бахтин А.К., Денега И.В. Некоторые оценки функционалов для N -лучевых систем точек // Теорiя
наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2011. – 8,
№ 1. – С. 12–21.
9. Бахтiн А.К., Бахтiна Г.П., Вьюн В.Є. Про деякi нерiвностi в теорiї неперетинних областей // Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 11, № 1. – С. 141–152.
10. Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-алгебраические структуры и геометриче-
ские методы в комплексном анализе. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2008. – 308 с. – (Працi
Iн-ту математики НАН України; Т. 73).
11. Ковалев Л.В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными полюсами на окружности //
Дальневост. мат. сб. – 1996. – 2. – С. 96–98.
References
1. Lavrent’ev M.A. Tr. Fiz.-Mat. Inst. AN SSSR, 1934, 5, 159–245 (in Russian).
2. Golusin G.M. Geometric Theory of Functions of a Complex Variable, Translations of Mathematical Mono-
graphs, 26, Providence, R. I.: Amer. Math. Soc., 1969.
3. Jenkins J.A. Univalent functions and conformal mapping, Ergebnisse Mathematik und ihrer Grenzgebiete,
Vol. 18, Berlin: Springer, 1958.
4. Dubinin V.N. Capacities of condensers and symmetrization in geometric function theory of complex vari-
ables, Vladivostok: Dal’nayka, 2009 (in Russian).
5. Dubinin V.N. Uspekhi Mat. Nauk, 1994, 49, No 1: 3–76 (in Russian); translation in Russian Math. Surveys,
1994, 49, No 1: 1–79.
10 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2016, №1
6. Dubinin V.N. Zap. Nauchn. Semin. Leningr. Otd. Mat. Inst. Steklov. (LOMI), 1988, 168: 48–66 (in Russi-
an); translation in J. Soviet Math., 1991, 53, No 3: 252–263.
7. Kuz’mina G.V. Zap. Nauchn. Semin. POMI, 2001, 276: 253–275 (in Russian).
8. Bakhtin A.K., Denega I. V. Proc. of the Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, 2011, 8, No 1:
12–21 (in Russian).
9. Bakhtin A.K., Bakhtina G.P., Vjun V.E. Proc. of the Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine,
2014, 11, No 1: 141—152 (in Ukrainian).
10. Bakhtin A.K., Bakhtina G.P., Zelinskii Yu. B. Topological-algebraic structures and geometric methods in
complex analysis, Proc. of the Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Vol. 73, Kiev, 2008 (in
Russian).
11. Kovalev L.V. Dal’nevost. Mat. Sb., 1996, 2: 9–98 (in Russian).
Поступило в редакцию 30.06.2015
Г.П. Бахтiна, I.Я. Дворак, I. В. Денега
Iнститут математики НАН України, Київ
E-mail: bakhtina_galina@mail.ru, dvorakinna@gmail.com, iradenega@yandex.ru
Про добуток внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей
Вивчається одна загальна проблема про опис екстремальних конфiгурацiй, якi максимiзу-
ють добуток внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей.
Ключовi слова: внутрiшнiй радiус, неперетиннi областi, n-променева система точок, “керу-
ючий” функцiонал, квадратичний диференцiал.
G.P. Bakhtina, I. Y. Dvorak, I. V. Denega
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: bakhtina_galina@mail.ru, dvorakinna@gmail.com, iradenega@yandex.ru
About the product of inner radii of pairwise non-overlapping domains
A general problem of the description of extremal configurations maximizing the product of the inner
radii of mutually non-overlapping domains is studied.
Keywords: inner radius, non-overlapping domains, n-radial system of points, “control” functional,
quadratic differential.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2016, №1 11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-98132 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:13:06Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бахтина, Г.П. Дворак, И.Я. Денега, И.В. 2016-04-09T11:46:40Z 2016-04-09T11:46:40Z 2016 О произведении внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей / Г.П. Бахтина, И.Я. Дворак, И.В. Денега // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 1. — С. 7-11. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/98132 517.54 Изучается одна известная проблема об описании экстремальных конфигураций, которые максимизируют произведение внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей. Вивчається одна загальна проблема про опис екстремальних конфiгурацiй, якi максимiзують добуток внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей. A general problem of the description of extremal configurations maximizing the product of the inner
 radii of mutually non-overlapping domains is studied. Авторы выражают благодарность А. К. Бахтину за постановку задачи и полезные обсуждения. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О произведении внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей Про добуток внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей About the product of inner radii of pairwise non-overlapping domains Article published earlier |
| spellingShingle | О произведении внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей Бахтина, Г.П. Дворак, И.Я. Денега, И.В. Математика |
| title | О произведении внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей |
| title_alt | Про добуток внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей About the product of inner radii of pairwise non-overlapping domains |
| title_full | О произведении внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей |
| title_fullStr | О произведении внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей |
| title_full_unstemmed | О произведении внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей |
| title_short | О произведении внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей |
| title_sort | о произведении внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/98132 |
| work_keys_str_mv | AT bahtinagp oproizvedeniivnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastei AT dvorakiâ oproizvedeniivnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastei AT denegaiv oproizvedeniivnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastei AT bahtinagp prodobutokvnutrišnihradiusivvzaêmnoneperetinnihoblastei AT dvorakiâ prodobutokvnutrišnihradiusivvzaêmnoneperetinnihoblastei AT denegaiv prodobutokvnutrišnihradiusivvzaêmnoneperetinnihoblastei AT bahtinagp abouttheproductofinnerradiiofpairwisenonoverlappingdomains AT dvorakiâ abouttheproductofinnerradiiofpairwisenonoverlappingdomains AT denegaiv abouttheproductofinnerradiiofpairwisenonoverlappingdomains |