Кінетичні розмірні ефекти у багатошарових плівках з полікристалічною структурою

В огляді систематизовано результати теоретичних та експериментальних досліджень транспортних розмірних ефектів у багатошарових плівках (БП) з полікристалічною структурою, кінетичні характеристики яких суттєво відрізняються від відповідних характеристик масивних металів і тонких металевих плівок. In...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Успехи физики металлов
Date:	2010
Main Authors:	Басов, А.Г., Шкурдода, Ю.О., Дехтярук, Л.В., Чорноус, А.М.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2010
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/98155
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Кінетичні розмірні ефекти у багатошарових плівках з полікристалічною структурою / А.Г. Басов, Ю.О. Шкурдода, Л.В. Дехтярук, А.М. Чорноус // Успехи физики металлов. — 2010. — Т. 11, № 4. — С. 461-508. — Бібліогр.: 103 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859518218632167424
author	Басов, А.Г. Шкурдода, Ю.О. Дехтярук, Л.В. Чорноус, А.М.
author_facet	Басов, А.Г. Шкурдода, Ю.О. Дехтярук, Л.В. Чорноус, А.М.
citation_txt	Кінетичні розмірні ефекти у багатошарових плівках з полікристалічною структурою / А.Г. Басов, Ю.О. Шкурдода, Л.В. Дехтярук, А.М. Чорноус // Успехи физики металлов. — 2010. — Т. 11, № 4. — С. 461-508. — Бібліогр.: 103 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Успехи физики металлов
description	В огляді систематизовано результати теоретичних та експериментальних досліджень транспортних розмірних ефектів у багатошарових плівках (БП) з полікристалічною структурою, кінетичні характеристики яких суттєво відрізняються від відповідних характеристик масивних металів і тонких металевих плівок. In a given review, the results of theoretical and experimental investigations of transport size effects in multilayer polycrystalline films (MLF), whose kinetic characteristics are appreciably differing from the characteristics of bulk metals and thin films forming these multilayers, are systemized. В обзоре систематизированы результаты теоретических и экспериментальных исследований транспортных размерных эффектов в многослойной пленке (МС) с поликристаллической структурой, кинетические характеристики которой существенно отличаются от соответствующих характеристик массивных металлов и тонких металлических пленок.
first_indexed	2025-11-25T20:48:21Z
format	Article
fulltext	461 PACS numbers: 68.55.jd, 68.65.Ac,72.10.Fk,72.15.Lh,73.40.Jn,73.50.Bk, 73.50.Jt Кінетичні розмірні ефекти у багатошарових плівках з полікристалічною структурою А. Г. Басов, Ю. О. Шкурдода, Л. В. Дехтярук , А. М. Чорноус Сумський державний університет, вул. Римського-Корсакова, 2, 40007 Суми, Україна Сумський державний педагогічний університет ім. А. С. Макаренка, вул. Роменська, 87, 40002 Суми, Україна *Харківський державний технічний університет будівництва та архітектури, вул. Сумська, 40, 61002 Харків, Україна В огляді систематизовано результати теоретичних та експериментальних досліджень транспортних розмірних ефектів у багатошарових плівках (БП) з полікристалічною структурою, кінетичні характеристики яких суттєво відрізняються від відповідних характеристик масивних металів і тонких металевих плівок. Основною причиною такої відмінности є взає- модія носіїв заряду з інтерфейсами та з міжкристалітними межами муль- тишару. Зазначена взаємодія призводить до додаткового розсіяння елект- ронів, і числові значення транспортних коефіцієнтів БП можуть бути як значно більшими, так і меншими у порівнянні з відповідними коефіцієн- тами для однорідних одношарових плівок, з яких складається мульти- шар, а їх розмірні залежності є немонотонними. Розглянуті в огляді кіне- тичні ефекти можуть бути використані не лише для аналізи електронного транспорту у полікристалічних мультишарах, а й у багатошарових плів- ках з монокристалічною структурою, а з врахуванням формальної відпо- відности між мультишаром та двошаровою плівкою – і у двошаровій плі- вці з моно- та полікристалічними структурами. In a given review, the results of theoretical and experimental investigations of transport size effects in multilayer polycrystalline films (MLF), whose kinetic characteristics are appreciably differing from the characteristics of bulk met- als and thin films forming these multilayers, are systemized. Interaction of current carriers with both the interfaces and the grain boundaries is the main cause of the difference. It leads to the nonmonotonic dependence of transport coefficients on the layer thicknesses and applied magnetic field. The kinetic Успехи физ. мет. / Usp. Fiz. Met. 2010, т. 11, сс. 461—508 Оттиски доступны непосредственно от издателя Фотокопирование разрешено только в соответствии с лицензией © 2010 ИМФ (Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины) Напечатано в Украине. 462 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС effects discussed in the review may be used to analyse electron transport in single-crystalline multilayer films. Moreover, taking into account a formal equivalence between the multilayer and the two-layer film, one may use these results to investigate transport characteristics of bilayer films. В обзоре систематизированы результаты теоретических и эксперименталь- ных исследований транспортных размерных эффектов в многослойной пленке (МС) с поликристаллической структурой, кинетические характери- стики которой существенно отличаются от соответствующих характери- стик массивных металлов и тонких металлических пленок. Основной при- чиной такого отличия является взаимодействие носителей заряда с интер- фейсами и с межкристаллитными границами мультислоя. Указанное вза- имодействие приводит к дополнительному рассеянию носителей заряда, и численные транспортные коэффициенты могут быть как значительно больше, так и меньше по сравнению с соответствующими коэффициентами однородных пленок, а размерные зависимости кинетических коэффициен- тов в многослойной пленке являются немонотонными. Рассмотренные в обзоре эффекты могут быть использованы не только для анализа транс- портных коэффициентов в многослойной поликристаллической пленке, но и в мультислое с монокристаллической структурой, а при учете формаль- ного соответствия между мультислоем и двухслойной пленкой – также в двухслойных пленках с моно- и поликристаллической структурами. Ключові слова: багатошарова полікристалічна плівка, магнетоопір, про- відність, теплопровідність, температурний коефіцієнт опору, коефіцієнти поперечної та поздовжньої тензочутливостей, модифікований модель Ма- ядаса і Шацкеса, внутрішній розмірний ефект, параметри дзеркальности. (Отримано 27 жовтня 2010 р.) ВСТУП Вивчення впливу розмірів провідника на його транспортні власти- вості (зовнішній розмірний ефект) були започатковані в кінці 19 століття Стоун у праці [1], в якій експериментально досліджувався опір тонких плівок та було показано, що тонкі металеві провідники мають більший опір у порівнянні з масивними зразками. Аналогіч- ний результат був одержаний Паттерсоном [2], і одночасно з ним Томсон [3] вперше запропонував наближену теорію зовнішнього ро- змірного ефекту звідки випливало, що зменшення провідности то- нких плівок обумовлено обмеженням довжини вільного пробігу (ДВП) електронів товщиною провідника. Однак в зазначених робо- тах експериментальні дослідження проводилися на плівках, які одержувалися в погано контрольованих умовах, і тому найбільш переконливі результати стосовно впливу розмірів провідника на його провідні властивості було одержано Ловеллом [4, 5], на основі яких Фукс [6] вперше побудував послідовну кількісну теорію про- КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 463 відности тонких монокристалічних плівок. Шляхом розв’язання Больцманнового кінетичного рівнання для нерівноважної складо- вої функції розподілу електронів, доповненого крайовими умовами, які описують характер взаємодії носіїв заряду з межами зразка, для провідности плівки σ, межі якої дифузним чином розсіюють елект- рони, Фукс одержав наступний вираз: σ = (3/4)σ0(d/l)ln(l/d) (σ0 – провідність масивного провідника, d – товщина провідника, l – ДВП носіїв заряду). Автори робіт [7, 8] прийнявши до уваги той факт, що умови розсіяння електронів межею плівки, яка прилягає до підкладки, відрізняється від умов розсіяння електронів на межі «метал—вакуум» одержали загальні та асимптотичні вирази для провідности плівки, межі якої різним чином розсіюють електрони. В подальшому Фуксову теорію було застосовано до розрахунку коефіцієнтів провідности для тонких дротів круглого [9, 10], квад- ратного [11] та прямокутнього перерізу [12, 13], а у роботі [14] було одержано прості апроксимаційні співвідношення для зазначених випадків. Якщо зразок товстий (d >> l), то одержані авторами робіт [9, 11, 12] асимптотичні вирази для їх провідности з точністю до чи- сельного множника збігаються з аналогічним Фуксовим результа- том. Якщо ж зразок тонкий (d << l), то провідність тонких дротів при зменшенні їх товщини зменшується швидше, у порівнянні з провідністю плівки, оскільки σf/σ0 ≅ d/l. Тонкі плівки, які одержують методою осадження на підкладку, зазвичай моноблочні по товщині, а у напрямку паралельному межам зразка мають полікристалічну структуру. Якщо характерний розмір кристалітів L сумірний або менший за довжину вільного пробігу електронів l, то ефективні (відповідальні за ефект) носії заряду або розсіюються межами зерен або змінюють свою швидкість руху при проходженні через міжкристалітні межі внаслідок різної орієнтації суміжних кристалітів і, відповідно, в провіднику виникає внутріш- ній розмірний ефект. Цей ефект подібний до зовнішнього розмірного ефекту (розсіяння електронів на зовнішніх межах), однак він прин- ципово відрізняється від останнього, оскільки при зовнішньому роз- мірному ефекті розсіяння носіїв заряду відбувається на поверхні «метал—вакуум», а при внутрішньому – на межі «метал—метал». Внутрішній розмірний ефект не враховується у рамках Фуксового моделю, і тому Маядас і Шацкес [15] його модифікували. Вони за- пропонували модель (модель МШ) полікристалічної плівки, у якому кристаліти мають однаковий середній розмір L у площині провідни- ка, а їх межі або перпендикулярні, або паралельні поверхням. Вва- жаючи, що потенціял на міжкристалітних межах можна описати одномірною δ-функцією, а розсіяння електронів відбувається лише на перпендикулярних до вектора напружености електричного поля міжкристалітних межах, Маядасом та Шацкесом [15] було одержа- но загальний аналітичний вираз для питомої провідности σg полік- 464 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС ристалічної плівки, який в подальшому авторами роботи [16] був узагальнений на випадок, коли зовнішні межі провідника мають різну ступінь шерсткостей. Таким чином, на відміну від Фуксового моделю, в якому враховується лише об’ємний та поверхневий меха- нізми релаксації носіїв заряду, модель МШ враховує іще один меха- нізм дисипації електронного потоку – зерномежовий. Одержана Маядасом та Шацкесом аналітична розмірна залеж- ність провідности полікристалічної плівки виявилася досить скла- дною, щоб можна було б провести безпосереднє порівняння з ре- зультатами експериментальних досліджень. Тому у роботах [17, 18] були запропоновані прості асимптотичні вирази для коефіцієнта електропровідности, температурного коефіцієнта опору (ТКО) [19] та коефіцієнтів тензочутливости (КТ) [20], які не лише суттєво спрощують порівняння теоретичних результатів з експерименталь- но виміряними відповідних коефіцієнтів, а й дозволяють розраху- вати залежності ймовірностей відбиття електронів від зовнішніх меж та меж зерен (МЗ) від товщини провідника [21]. У подальших теоретичних дослідженнях, беручи модель МШ за базову, було запропоновано різні феноменологічні моделі з іншою кристалічною структурою в плівкових зразках. Так, зокрема, в робо- тах [22—24] проаналізовано електропровідність провідника з моноб- лочними кристалітами, які мають форму циліндрів однакового дія- метра, твірні яких є перпендикулярними зовнішнім межам. В робо- тах [25—27] розглядається двовимірний модель, а в роботах [28, 29] – тривимірний модель (більш докладно див. узагальнювальну моног- рафію [30]) електропровідности тонкої полікристалічної плівки у припущенні, що розмір кристалітів однаковий у кожному з трьох взаємно перпендикулярних напрямків, а взаємодія носіїв заряду з межами зерен характеризується лише одним параметром, який ви- значає ймовірність проходження електрона через міжкристалітну межу. В подальшому у роботах [31, 32] було виконано узагальнення тривимірного моделю на випадок, коли кристаліти мають не кубічну форму, а моделювалися трьома сукупностями площин, які перпен- дикулярні трьом осям координат. Однак, наведена у роботі [27] чисе- льна аналіза показала, що значення ймовірности дзеркального від- биття носіїв заряду від зовнішніх поверхонь провідника та ймовірно- сти дифузного розсіяння електронів на МЗ, яких одержано у рамках дво- та тривимірного моделів, при аналізі експериментальних даних практично збігаються з відповідними результатами для одновимірно- го моделю. Цей факт обумовлений тим, що міжкристалітні межі, які паралельні вектору густини електричного струму, слабко впливають на електронний потік і, відповідно, не змінюють величину транспор- тних коефіцієнтів. Саме через цю причину при подальшій аналізі кі- нетичних коефіцієнтів, які характеризують електронний транспорт в багатошарових полікристалічних плівках, використовувався одно- КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 465 вимірний модель МШ [15]. Для визначення, який з механізмів релаксації носіїв заряду (об’ємний, поверхневий чи зерномежовий) в полікристалічній плі- вці є домінуючим, автори роботи [33] запропонували модель полік- ристалічного провідника, який по суті є комбінацією моделів, що використовувалися у роботах [15, 34]. Полікристалічна плівка роз- глядалася як сукупність двох паралельних шарів – поверхневого та об’ємного (який мав полікристалічну структуру, на відміну від моделю [34], у якому об’ємний шар вважався монокристалічним) з різними фіксованими параметрами. Розбиття провідника на сукуп- ність паралельно з’єднаних шарів металу дозволило розділити вне- ски у транспортні коефіцієнти зерномежового та поверхневого роз- сіяння електронів та показати, що опір поверхневого шару та опір, який пов’язаний із зерномежовим розсіянням електронів не зале- жать від товщини плівки. Разом з тим, «поверхневий» опір у декі- лька разів більший за «зерномежовий» опір, в той час, як для тем- пературного коефіцієнта опору (ТКО) спостерігається зворотна тен- денція а саме, ТКО поверхневого шару у кілька разів менший у по- рівнянні зі своїм об’ємним значенням. Експериментальні дослідження опору тонких металевих плівок, які були виконані до 60-х років минулого століття вказували на те, що електрони межами зразка в основному розсіюються дифузно. Такий висновок обумовлений тим, що в ранніх експериментах об’єктом вивчення розмірного ефекту були в основному полікрис- талічні плівки, в яких умова сильного розмірного ефекту практич- но не виконувалася і, відповідно, результати вимірювань вдавалося пояснити лише за умови дифузного характеру взаємодії носіїв за- ряду із зовнішніми межами провідника. Однак в подальшому, в зв’язку з удосконаленням експериментальної техніки і можливістю одержання чистих монокристалічних плівок, появилися експери- ментальні дані, які вказували на часткове дзеркальне відбиття но- сіїв заряду межами провідника. Лукас у роботі [35] для експериментального підтвердження наявно- сти дзеркального характеру взаємодії носіїв заряду з межами провід- ника, досліджував відпалені плівки Au на одну з поверхонь яких було нанесено додатковий шар золота (так звані «дзеркальні» плівки за те- рмінологією автора) і показав, що опір таких плівок збільшується на 10%, що було зумовлено, на його думку, збільшенням шерсткостей межі поділу шарів і, відповідно, збільшенням дифузного (а не дзерка- льного) розсіяння носіїв заряду. Тим самим, очевидно, можна ствер- джувати, що Лукас вперше одержав і дослідив опір двошарових плі- вок (ДП). В подальшому об’єкти, у яких експериментально досліджу- валися транспортні властивості, були розширені на випадок тришаро- вих (сандвічів) [36—39] та багатошарових плівок (БП) [40—42]. Характерною рисою багатошарових плівок є наявність у них меж 466 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС поділу шарів (МПШ, інтерфейс) металу, взаємодія електронів з якими суттєво відрізняється від їх взаємодії із зовнішніми поверх- нями, оскільки окрім їх дифузного розсіяння, можливе прохо- дження носіїв заряду у сусідні шари металу. Ця обставина призво- дить до нетривіяльних залежностей транспортних коефіцієнтів від повної товщини двошарової та тришарової плівки або від товщини елемента періодичности мультишару (бішару), яка суттєво відріз- няється від аналогічних залежностей для одношарових плівок, які входять до складу багатошарового зразка. Провідність двошарової плівки вперше теоретично проаналізував Лукас [7], який розглянув найпростішу ситуацію, коли наявність МПШ не впливає на траєкторію руху носіїв, а зовнішні межі ДП ма- ють різну ступінь шерсткостей (за таких умов, по суті, одержана Лу- касом [7] формула є узагальненням Фуксової формули [6] на випа- док, коли межі тонкої плівки мають різну дзеркальність). Намаган- ня врахувати проходження електронів у сусідні шари металу через МПШ була здійснена авторами роботи [43], які описали взаємодію електронів з МПШ за допомогою узагальнених Фуксових крайових умов [6]. В подальшому у роботах [44, 45] були сформульовані корек- тні крайові умови для квазиклясичної функції розподілу електронів, які містять параметри, що визначають величину ймовірности дзер- кального відбиття інтерфейсами провідника та проходження носіїв заряду у сусідні шари металу. Запропоновані крайові умови дозво- ляють коректно розрахувати будь-які транспортні коефіцієнти дво- та багатошарового зразків (див. огляд [46] та праці [47—54]). Каганов та Фікс [44] також замітили одне цікаве фізичне явище, яке характерне лише для двошарової або багатошарової плівки, тоб- то для провідників, які мають межу поділу шарів металу. Ними було показано, що для анізотропного зразка внаслідок різної орієнтації зерен і, відповідно, поверту в імпульсному просторі поверхні Фермі, для падаючих на МПШ металу носіїв заряду існують особливі стани, для яких неможливе одночасне виконання умови збереження енергії та танґенційної, по відношенню до інтерфейсу, компоненти квазиім- пульсу, і електрони зазнають повного внутрішнього відбиття. Устинов у роботі [45] теоретично розрахував внесок сукупности пласких дефектів, які знаходяться на однаковій віддалі один від одного, у сумарний опір тонкої плівки (в подальшому результати цієї роботі були узагальнені у роботі [55] на випадок довільного ха- рактеру взаємодії електронів з межами поділу шарів). Розглянутий ним модель по суті формально збігається з найпростішим моделем металевої багатошарової плівки, яка являє собою періодичну (у на- прямку уздовж нормалі до інтерфейсів) систему абсолютно однако- вих металевих шарів металу з квадратичним та ізотропним законом дисперсії для носіїв заряду. Устинов показав, що паралельна ме- жам поділу шарів металу провідність зазначеного мультишару (мо- КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 467 дель Устинова) не залежить від співвідношення між ймовірностями дзеркального відбиття та проходження носіїв заряду у сусідні мета- леві шари, а визначається сумарною ймовірністю дзеркального «ві- дбиття» електронів інтерфейсами зразка. У роботах [56—61] результати Устинова були узагальнені на ви- падок мультишару, який складається з шарів металу різної товщи- ни з різними довжинами вільного пробігу електронів у них, що чер- гуються, як з використанням крайових умов, які описують взаємо- дію електронів з межами зразка феноменологічно, так і за допомо- гою крайової умови для квазиклясичної функції розподілу у формі лінійного інтеґрального співвідношення [61]. В роботі [61] також обговорена можливість застосування до розглядуваних задач на- ближення незалежних від квазиімпульсу ймовірностей відбиття та проходження носіїв заряду через інтерфейси. Наявність зовнішнього магнетного поля H суттєво змінює елект- ронний транспорт в тонкому провіднику. Так, зокрема, у тонкій плівці, яку поміщено у схрещені електричне (E) та магнетне (H) по- ля, носії заряду з відмінними від нуля імпульсами pH (pH – проєк- ція квазиімпульсу на напрямок вектора H) рухаються по ґвинтовій траєкторії. Якщо електрон за час руху t від однієї поверхні до про- тилежної здійснить ціле число обертів – k = t/TH (TH – період обер- тання), то зміщення носія заряду у напрямку електричного поля дорівнює нулю, і він не є ефективним. При зміні магнетного поля H періодично то виконується, то порушується умова k = t/TH, у ре- зультаті чого питомий опір (провідність) тонкої плівки стає осцилі- вною функцією магнетного поля (або товщини зразка) [62]. Осциляції Зондґаймера [62] визначаються вузькою групою носіїв заряду на поверхні Фермі [63—67]. При квадратичному та ізотропно- му законі дисперсії це група електронів, які з максимальною швидкі- стю рухаються уздовж напрямку вектора H, тобто це електрони, які розташовані в околі опорних точок поверхні Фермі [63]. У випадку довільного закону дисперсії – це електрони, зміщення яких уздовж напрямку вектора H максимальне за період обертання у полі [63]. Но- сії заряду з різними значеннями квазиімпульсу pH в результаті на- кладання осциляцій з різними періодами та фазами дають лише до- датковий до об’ємного, монотонний внесок у провідність плівки. У подальших теоретичних роботах (див. огляди [66, 67] та цито- вану там літературу) було докладно вияснено питання про вплив стану поверхні зразка на осциляції Зондґаймера і розрахована амп- літуда осциляцій магнетоопору, як в наближенні Фуксового пара- метра дзеркальности, так і для довільної індикатриси розсіяння і проведено узагальнення зазначеного ефекту на випадок багатока- нального відбиття носіїв заряду поверхнями провідника. Метою даного огляду є систематизація результатів теоретичного та експериментального дослідження транспортних розмірних ефе- 468 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС ктів в магнетоопорі, провідності, температурному коефіцієнті опо- ру і в поперечній та поздовжній тензочутливостях у багатошарових полікристалічних плівках, які були виконані в останні роки, в ра- мках модифікованого моделю МШ [15], який і зараз широко вико- ристовується для аналізи транспортних ефектів в одно- та багато- шарових нанокристалічних плівках [68—73]. 1. РОЗМІРНИЙ ГАЛЬВАНОМАГНЕТНИЙ ЕФЕКТ В БАГАТОШАРОВІЙ ПЛІВЦІ 1.1. Постановка задачі. Загальна формула для провідности багатошарової плівки Розглянемо багатошарову періодичну плівку, яка складається з по- лікристалічних шарів металу, що чергуються, різної товщини (dj ≠ dn, j ≠ n = 1,2) та з різним ступенем концентрації дефектів в об’ємі шарів металу (lj ≠ ln, lj – довжина вільного пробігу носіїв за- ряду). Будемо вважати, що до багатошарової плівки прикладене зо- внішнє однорідне електричне поле напруженістю E уздовж меж по- ділу шарів металу, а сильне однорідне магнетне поле H направлене уздовж нормалі до інтерфейсів зразка, так що характерний Лармо- рів радіюс електронів r << dj товщини j-го шару металу. Оскільки ми нехтуємо незначними крайовими ефектами, то елементом періоди- чности БП є подвійний шар (бішар) товщиною d = d1 + d2 і, відповід- но, наша задача зводиться до розрахунку магнетоопору у двошаро- вому провіднику з періодичними крайовими умовами. Для того щоб обчислити густину струму J в БП ( ) 2 3 3 1 0 2 , , jd j j j e dx d p f x dh = =   J v p (1.1) необхідно розв’язати лінеаризоване за слабким електричним полем Больцманнове кінетичне рівнання для функції розподілу електро- нів fj(r, p) у кожному шарі елемента періодичности БП ( ) ( ) ( )0 0 , , ,j j j j f f f ∂= ε − Ψ ∂ε r p r p j = 1, 2, (1.2) яке у τ-наближенні для інтеґрала зіткнення має наступний вигляд: j j j j j j e t ∂ Ψ ∂ Ψ Ψ + + = ∂ ∂ τ v v E r . (1.3) У формулах (1.1)—(1.3) введено позначення: d – товщина бішару, h – Плянкова стала, e, r і p – заряд, координата та квазиімпульс носія за- КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 469 ряду, vj і εj – його швидкість та енергія, f0(εj) – фермівська функція розподілу електронів, t – час руху носія заряду по траєкторії. Ефективний час релаксації електронів τj у моделю МШ враховує розсіяння носіїв заряду, як в об’ємі шарів металу, так і на межах зерен і дорівнює [15]: 0 1 1 1 ,F j j j y j p p   = + α τ τ    (1.4) де τ0j – характерний час релаксації носіїв заряду відносно їх пруж- них зіткнень в об’ємі шарів металу, pF – фермівський квазиімпульс, pyj – перпендикулярна до міжкристалітних меж компонента квази- імпульсу електрона, αj = lj Rj/Lj(1 − Rj) – зерномежовий параметер, Lj – середня ширина кристалітів у площині шарів металу, Rj – ймові- рність дифузного розсіяння електронів на межах зерен. Загальний розв’язок кінетичного рівнання (1.3) може бути знай- дений з використанням методи характеристик, – ( ) ( ), ,j j t t tt j j jFe dt e t e ′λ− − τ τ λ ′ ′Ψ = + r p v E – (1.5) і містить довільні функції Fj, які необхідно визначити за допомогою крайових умов, які описують характер взаємодії електронів з МПШ металу; λ < t і має зміст моменту часу останньої взаємодії носія за- ряду з інтерфейсами бішару ( )1 2 ,0,sx d d= − та є ближчим до t, однак меншим за його корінь рівнання: ( ) ( ) ( ) t s x j j jx x v t dt x t x λ ′ ′− = ≡ − λ . (1.6) Для простоти будемо вважати, що у кожному шарі металу бага- тошарового зразка закон дисперсії квадратичний та ізотропний. У цьому випадку перенормування хемічного потенціялу носіїв заряду після взаємодії з МПШ відсутня [44, 45], і крайові умови для функ- ції розподілу ( ),jΨ r p (1.5), які дозволяють знайти функції Fj, ма- ють такий вигляд [44, 45]: ( ) ( ) ( ), , , ,j jn s ss j n j j n j n j n j n n js d P s d Q s d′ ′′Ψ = Ψ + Ψp p p (1.7) ( ) ( ) ( )0, 0, 0,jn n ss s j j n j n j n P Q′ ′′Ψ = Ψ + Ψp p p , j ≠ n = 1, 2. (1.8) Тут Pjn = const – ймовірність дзеркального відбиття носія заряду межею поділу між j-м та n-м шарами металу; Qnj = const – ймовір- ність проходження електрона з n-го шару в j-й шар без розсіяння, 470 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС так, щоб виконувалися нерівності Pjn + Qnj ≤ 1. Квазиімпульси p, p′ i p′′ зв’язані умовами збереження енергії та танґенційної по відно- шенню до МПШ компоненти квазиімпульсу; sj = signvxj і визначає знак нормальної до міжшарової межі складової швидкости vxj носіїв заряду. Тильда у другому доданку правої частини крайової умови (1.7) вказує на те, що функція js n Ψ описує розподіл електронів у су- міжних шарах металу, по відношенню до елементу періодичности багатошарового зразка, для якого записуються крайові умови. Підставляючи функції Ψj(r,p) в формі (1.5) у крайові умови (1.7) та (1.8), одержимо систему лінійних альґебричних рівнань відносно j F± . Знаючи функції розподілу Ψj(r,p) у кожному шарі елементу пе- ріодичности БП, можна записати компоненти тензору провідности σαβ (α, β = y, z), який зв’язує повний електричний струм (1.1) в му- льтишарі з електричним полем Eβ [74—77, 80]: 2 0 1 1 Re yy zz j j H j j d d ∗ =   σ = σ = σ Φ     , (1.9) 2 0 1 1 Im yz zy j j H j j d d ∗ =   σ = −σ = σ Φ     . (1.10) Тут σ0j – коефіцієнт питомої провідности масивного зразка з монокри- сталічною структурою за відсутности магнетного поля, час релаксації в якому – τ0j, а розмірні функції H j ∗Φ можна записати у вигляді [77]: ( ) ( ) ( ) 32 1 2 2 0 0 16 cos jj H j j j j j j x x Ek f d dx G k H i π ∗ ∗ − − Φ = − ϕ ϕ π + β   , (1.11) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 3 1 3 3 ln 1 2 j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j k k k k k i f k i k i kk i k i ∗  α α α + β = − + − + + β + β α+ β + β  , (1.12) ( ) ( ){ } ( ){ }, , 1 1 1 1 1 , j j n j nj n j n n j j n j n j n n j n j j n n n j G P E P E Q Q E E C P E Q d E C AB = + + − − + τ = − = Δ = − Δ ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1 1 1 1 , j n j nj n j n n j j n j n j n j n j n n j j n P E P E Q Q E E P E P E Q Q E E Δ = = − − − + + − КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 471 ( ) ( ), , 1 1j j n j n j n j j n nC P E Q d E= − + τ − , exp , j j j j k H E i x x β  = − −    , j j j j n n n n k H i k H i + β τ = + β , j j d r β = , 0 j j jk β ≡ Ωτ , 2 1 cos 1 j jH x α = + ϕ − , , j j j d k l = , n n j j d d d = , (1.13) де Ω – Ларморова частота, i – уявна одиниця. Наведені загальні формули (1.9) та (1.10) у рамках модифікова- ного моделю МШ [15] в принципі повністю визначають залежність компонент тензора питомої провідности багатошарової плівкової системи з полікристалічною структурою від товщини шарів металу, їхньої структури та величини магнетного поля (гальваномагнетний осцилівний ефект у полікристалічних БП). Інтеґрали, які входять у формули (1.9) та (1.10) не можна виразити через елементарні функ- ції, тому подальша аналіза гальваномагнетного розмірного ефекту в БП є можливою лише на основі чисельного розрахунку. Однак, для граничних значень параметрів kj, αj і βj можна одержати прості ана- літичні вирази, які значно спрощують порівняння теоретичних ре- зультатів з експериментальними. В подальшому ми проаналізуємо найбільш цікавий з точки зору експерименту випадок, а саме, про- відність багатошарової плівки. 1.2. Асимптотичні формули для розмірної функції У випадку, коли інтерфейси багатошарової плівки дзеркальним чи- ном розсіюють електрони (Pjn + Qnj = 1), розмірний множник у формулі (1.11) буде дорівнювати нулю і провідність мультишару σ в ортогона- льному до МПШ магнетному полі буде визначатися формулою (1.9) у якій функції H j jf ∗ ∗Φ = . У випадку, коли шари металу БП мають круп- нозернисту структуру (αj << 1), вираз для коефіцієнта електропровід- ности значно спрощується і набуває вигляду ( Re( ))H j H j ∗Φ = Φ : 2 2 22 2 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 3 1 2 j j j j j H j j j j j j j j j j k k d d d d k k= =  − β σ = σ Φ = σ − α ≅ + β + β     2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 2 33 1 1 , 1, 21 33 1 1 , 1. 2 j j j j j j j j j j j j j j j j j k k k d d k k k =   β β β − − α − <<     ≅ σ    β  + α − >>    β β     (1.14) 472 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС Якщо ж виконується протилежна нерівність (αj >> 1), тобто коли структура шарів металу БП дрібнозерниста, то провідність муль- тишару для довільних значень величини магнетного поля має на- ступний вигляд: 22 0 2 2 1 1 3 4 2 1 1 4 5 3 j j j j j j j j d d k=   β σ = σ − + −   α α α     . (1.15) При довільному характері взаємодії носіїв заряду з інтерфейсами багатошарового зразка, асимптотичні формули для розмірних фун- кцій Φj БП, яка складається з товстих (kj >> 1) шарів металу з дріб- нозернистою (αj >> 1) та крупнозернистою (αj << 1) структурами, можна одержати з формули (1.11). У цьому випадку, експоненти у виразі (1.11) малі і ними можна знехтувати, а функцію Hj потрібно розвинути в ряд по степеням αj, що дозволяє виконати інтеґрування по кутах ϕ та x = cosθ і одержати наступну формулу для провідности мультишару, яка виконується при довільних значеннях параметрів qj, Pjn, Qnj і βj: ( ) ( ) 2 0 1 1 j j H j j H d H d = σ = σ Φ , (1.16) де ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 2 8 j j j j j H j j jn j j j j j j j k k k H P k k k k  − β − βΦ = − α − − ×+ β + β + β  2 2 2 ,4 4 2 2 332 1 3 j j j n j n j j n j n j j j n n k k k k Q d k k  + β − β β × − α − ×  π − β + β  2 2 2 2 2 2 2 2 16 1 3 j n j j n n j n j n j n j j n n k k k k k k k k   − β − β × − α + α     π − β β + β + β    , 1 j α << , (1.17) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 4 2 1 135 0 1 1 2 256 j j H j H j H j j n j j j j j H P k k k    β βΔΦ = Φ − Φ = + − − +    α α    2 0 2 1 1 3 j j n n j n j n j n Q k k  α β β + τ −    α   , 1 j α >> . (1.18) З формули (1.17) випливає, що в області слабкого (βj << 1) та сильного (βj >> 1) магнетних полів розмірні функції ΦHj(H) багатошарової плів- ки з крупнозернистою структурою можна записати у вигляді: КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 473 ( ) 2 2 0 ,2 2 9 9 128 1 1 1 1 2 8 9 3 j j H j j j n j n j n j j j j P Q k k k   β βΔΦ = − α − − − α − τ ×    π    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 1 3 1 3 j j n j n j n j j n n n j n j n j n k k k k k k k k      β β β β  × + + − α + + α +          β β π β β       , 1, j jk β << (1.19) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 33 3 32 1 1 1 1 2 8 3 j j j j j H j j j n j j j j j j j k k k k k P k     Φ = − + α − + − − + α −       β β β β π β      ( ) 2 2 2 2 16 1 1 3 j j nn n j j n j n j n k k kk Q    − − − − + α + α     β β β β π    , 1 j jk β >> . (1.20) У формулах (1.18) та (1.19) величини ΦHj(0) визначають розмірні функції за відсутности магнетного поля і дорівнюють [78]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 , 0 3 3 32 16 1 1 1 1 , 1, 2 8 3 3 3 1 512 1 1 1 4 8 105 256 1 105 H j j j n j n j n j j n j j j n j j j j j nj n j n j n j n P Q k P k Q Φ = α      − − − − α − τ − α + α α <<    π π       = − − − −    α α πα    α + αα  − τ −  α πα α  , 1.j            α >>    (1.21) Розглянемо випадок, коли багатошарова плівка складається з тон- ких шарів металу (kj << 1) і виконується нерівність (αj < kj). У цьому випадку розсіянням носіїв заряду на межах зерен можна знехтувати [79], функцію ΦHj (1.11) у сильному магнетному полі (βj >> 1) зручно записати у вигляді суми монотонної та осцилівної частин [80]: мон ос H j H j H jΦ = Φ + Φ , (1.22) де монотонно залежна від величини магнетного поля частина роз- мірної функції дорівнює: ( ) 2 мон 2 3 1 1 8 j H j j n n j j j k P Q k   Φ = + − − β    . (1.23) 474 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС Для розрахунку осцилівної частини розмірної функції ос H jΦ , інтеґ- рали у формулі (1.11), можна обчислити за допомогою методи стаці- онарної фази [81]. Кінцевий результат розрахунку запишемо у ви- гляді [74]: ( ) ( ){ос 4 3 1 1 cosjkj H j j n j n n j j j k P P Q e −Φ = − − − β − β ( ) ( ) ( )(2 , 1 cos 1 1 2nk nj j n n j j n n n j j n n j j n Q d P Q e Q P P Q−− − − β + − − − + ) ( ) ( ) ( ) ос 2 4 , 3 cos 1 j nk k j j n n j j n j H jn j ke Q Q d − + + β + β ≡ Φ β+   , (1.24) а відношення осцилівної частини ос H jΦ (1.24) до монотонної мон H jΦ (1.23) має наступний вигляд: ( ) 2 ос ос мон 3 3 1 8 H j H j jH j j j n nj j r d d P Q l  Φ = Φ  Φ  + − −  , (1.25) де величина ос H jΦ визначена співвідношенням (1.24). Таким чином, в області сильного магнетного поля, питома прові- дність (опір) стає осцилівною функцією магнетного поля, що обумо- влено втратою кореляції між «падаючим» та відбитим (або носієм заряду який тунелює у сусідній шар металу), а основний внесок в ос H jΦ вносить лише окіл точки, де змінна інтеґрування x дорівнює одиниці, що відповідає опорним точкам поверхні Фермі [63—65]. З формули (1.25) випливає, що осцилівна залежність провідности БП, як і у випадку двошарової монокристалічної плівки [80], но- сить складний характер, оскільки окрім осциляцій Зондґаймера обумовлених товщиною шарів металу dj, можуть виникати гармо- ніки, які зв’язані з товщиною елементу періодичности багатошаро- вої плівки. При відхилі магнетного поля від нормалі до інтерфейсів багато- шарового зразка, якісний характер залежности провідности МШ від магнетного поля та товщин шарів металу dn,j не зміниться. У цьому випадку у формулі (1.11) товщину dj необхідно замінити на dj/cosϑ, де ϑ – кут відхилу магнетного поля від нормалі [80]. 1.3. Результати чисельного розрахунку Для проведення чисельного розрахунку питомий опір багатошарово- го полікристалічного зразка ρ зручно записати у наступному вигляді: КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 475 ( ) 1 2,12,1 01 2 2 2,11 2,1 1 , 0,1 Re 1 1 , ,1 H HH H dd f dD∗   Φ →+ ρ ρ = ≅    Φ ≈ → ∞Φ +   (1.26) де DH2,1 = (d2σ02ΦH2)/(d1σ01ΦH1), а розмірні функції H j ∗Φ визначені формулою (1.11), ( )ReH j H j ∗Φ = Φ . У формулі (1.26) ми врахували, що при d2,1 → ∞, розмірна функція 2HΦ стає порядку ( )2 2 Re 1 1f f∗ = . Криві, яких наведено на рис. 1.1, одержано чисельним розрахун- ком по формулі (1.26) та ілюструють залежності ρ/ρ01 (ρ01 – об’ємне значення питомого опору шару металу товщиною d1) багатошарово- Рис. 1.1. Залежності опору БП від відношення товщин суміжних шарів металу в області слабкого магнетного поля (βj << 1) при таких значеннях параметрів: a) Pjn = 0,1, k1 = 0,1, l1,2 = 1, β1 = 0,1, αj = 10: 1 – Qjn = 0,0, 2 – Qjn = 0,3, 3 – Qjn = 0,6, 4 – Qjn = 0,9; б) Qjn = 0,1, k1 = 0,1, l1,2 = 1, β1 = 0,1, αj = 0,1: 1 – Pjn = 0,1, 2 – Pjn = 0,3, 3 – Pjn = 0,6, 4 – Pjn = 0,9; в) Pjn = Qjn = 0,1, l1,2 = 1, β1 = 0,1, αj = 1: 1 – k1 = 0,01, 2 – k1 = 0,05, 3 – k1 = 0,1, 4 – k1 = 0,5; г) Pjn = Qjn = 0,1, k1 = 0,1, β1 = 0,1, αj = 0,1: 1 – l1,2 = 10, 2 – l1,2 = 5, 3 – l1,2 = 1, 4 – l1,2 = 0,5; д) Pjn = Qjn = 0,1, k1 = 0,01, l1,2 = 1, αj = 0,1: 1 – β1 = 10, 2 – β1 = 1, 3 – β1 = 0,1; е) Pjn = Qjn = 0,1, k1 = 0,1, β1 = 1, l1,2 = 1: 1 – αj = 10, 2 – αj = 1, 3 – αj = 0,1, 4 – αj = 0,01. 476 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС го зразка від відношення товщин суміжних шарів металу d2,1 = d2/d1 у слабкому магнетному полі (βj << 1), при різних значеннях параме- трів, які характеризують інтерфейсну, об’ємну та зерномежову ре- лаксацію носіїв заряду. Одержані залежності показують, що в області малих значень d2,1 << 1 характер зміни ρ(d2,1) зі зростанням товщини періоду БП ви- значається характером взаємодії електронів з інтерфейсами зразка (рис. 1.1, a, б). При виконанні оберненої нерівности d2,1 >> 1 питомий опір ρ(d2,1) багатошарового зразка асимптотично прямує до свого об’ємного значення у шарі металу товщиною d2 (див. формулу (1.26)). У випадку, коли товщини шарів елементу періодичности БП Рис. 1.2. Залежності опору БП від величини сильного магнетного поля (βj >> 1) при таких значеннях параметрів: а) Pjn = 0,1, k1 = 0,01, l1,2 = 1, d2,1 = 1, αj = 1: 1 – Qjn = 0,0, 2 – Qjn = 0,3, 3 – Qjn = 0,7, 4 – Qjn = 0,9; б) Qjn = = 0,1, k1 = 0,01, l1,2 = 1, d2,1 = 1, αj = 0,1: 1 – Pjn = 0,0, 2 – Pjn = 0,3, 3 – Pjn = 0,7, 4 – Pjn = 0,9; в) Pjn = Qjn = 0,1, l1,2 = 1, d2,1 = 1, αj = 1: 1 – k1 = 0,01, 2 – k1 = 0,05, 3 – k1 = 0,1, 4 – k1 = 0,5; г) Pjn = Qjn = 0,1, k1 = 0,01, αj = 1, d2,1 = 1: 1 – l1,2 = 10, 2 – l1,2 = 1, 3 – l1,2 = 0,1, 4 – l1,2 = 0,01; д) Pjn = Qjn = 0,1, k1 = 0,01, l1,2 = 1, d2,1 = 1: 1 – αj = 15, 2 – αj = 10, 3 – αj = 5, 4 – αj = 1, 5 – αj = 0,1; е) Pjn = Qjn = 0,1, k1 = 0,01, l1,2 = 1, αj = 1: 1 – d2,1 = 0,1, 2 – d2,1 = 0,01, 3 – d2,1 = 1, 4 – d2,1 = 10, 5 – d2,1 = 20. КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 477 співпадають, тобто d2 ∼ d1, то на залежності ρ(d2,1) виникає макси- мум, який обумовлений конкуренцією внесків в ρ об’ємного, інтер- фейсного та міжкристалітного розсіяння електронів. Зі збільшенням ймовірности дзеркального розсіяння носіїв заряду на інтерфейсах (рис. 1.1, а), ймовірности їх дзеркального проходження через інтер- фейси у сусідні шари металу (рис.1.1, б), та зі збільшенням парамет- ра k1 (рис. 1, в) зазначений максимум вироджується і ρ(d2,1) монотон- но зменшується (збільшується) зі збільшенням товщини періоду БП. На рисунку 1.2 наведена залежність питомого опору багатошаро- вого зразка від величини сильного (βj >> 1) магнетного поля при різ- них значеннях параметрів, які характеризують БП. Одержані зале- жності показують, що зі зміною магнетного поля (або товщини шарів металу) опір ρ(β1) БП стає осцилівною функцією з амплітудою, яка зменшується по мірі зростання β1. Зі збільшенням дзеркальности ін- терфейсів (рис. 1.2, a, б) та зі збільшенням нормованої на довжину вільного пробігу носіїв заряду k1 (рис. 1.2, в) амплітуда осциляцій зменшується. Якщо інтерфейси дзеркальним чином розсіюють елек- трони (Pjn + Qnj = 1), то опір БП збігається зі своїм об’ємним значенням (криві 4 на рис. 1.2, а, б), оскільки «дзеркальні» інтерфейси не руй- нують синхронність руху, і, відповідно, осциляції ρ(β1) зникають. Зі зменшенням «дзеркальности» інтерфейсів (тобто зі збільшен- ням їх шерсткости) порушується кореляція у русі електронів після їх взаємодії з МП шарів, що і призводить до осцилівної залежности опору від величини магнетного поля. 2. ПИТОМА ПРОВІДНІСТЬ 2.1. Загальний аналітичний вираз та асимптотичні формули для коефіцієнта електропровідности Будемо вважати, що зовнішнє магнетне поле слабке і воно практи- чно не впливає на траєкторію руху носіїв заряду (βj → 0). У цьому випадку коефіцієнт питомої електропровідности багатошарової по- лікристалічної плівки дорівнює [78]: 2 0 1 1 j j j j d d = σ = σ Φ , (2.1) де розмірні функції Φj, які визначають вплив розмірів шарів БП на її провідність, можна записати у вигляді: ( )j j jf GΦ = α − . (2.2) У формулі (2.2) функції Gj визначені співвідношеннями (1.13), в яких варто виконати наступні заміни: 478 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС exp j j j j k H E E x   → = −    , 0 , , 0 , , 0 n j j n n j n j j n j n H H H τ τ → τ = ≡ τ τ , (2.3) а кутові дужки означають інтеґрування по кутах (x = cosθ): ( ) ( )32 1 2 2 0 0 16 ... cos ... j j j x x E d dx k H π − −   = ϕ ϕ  π     . (2.4) Функція f(αj) у виразі (2.2) описує провідність масивного зразка (dj → ∞) з полікристалічною структурою і у рамках модифікованого моделю МШ має вигляд [15]: ( ) 2 2 3 2 3 1 3 , 1, 23 1 1 3 3 ln 1 3 32 , 1. 4 5 j j j j j j j j j j j f  − α + α α <<  α = − α + α − α + ≅   α   − α >> α α (2.5) Загальний аналітичний вираз для розмірних функцій (2.2) можна спростити для великих і малих значень параметрів kj та αj і одержати досить прості асимптотичні формули, які суттєво спрощують порів- няння теоретичних результатів з експериментальними. Якщо товщини шарів металу dj значно більші за довжину вільно- го пробігу електронів lj у них (kj >> 1), то нехтуючи експонентами, які містяться у підінтеґральному виразі формули (2.2), і виконав- ши інтеґрування, одержимо наступні формули для розмірних фун- кцій Φj (і, відповідно, для коефіцієнта провідности (2.1)), які вико- нуються при довільних значеннях параметрів дзеркальности Pjn, Qnj та зерномежових параметрів αj: ( ) ( ){ }1, 0 , 2, 3 1 8 j j j n j n j n j j j f P Q k Φ = α − − Γ − τ Γ , (2.6) ( ){ }2 2 3 4 1, 32 16 1 12 5 4 5 40 3 j j j j j j j IΓ = − α + α + − − α α − α π π , (2.7) ( )2 2 2, 16 3 1 3 4 j j n j j n n πΓ = − α + α − α + α α + α −π  ( ) ( )3 2 2 3 4 3 2 2 3 43 3 2 j j n j n n j j n j n j n n π− α + α α + α α + α + α + α α + α α + α α + α + ( ) ( )4 2 4 23 1 1j j j n n n j n I I  + α − α − α − α  α − α  , (2.8) КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 479 2 2 2 1 11 ln , 1, 1 1 arccos , 1. 1 j j jj j j j j I  + − α  α ≤ α − α =       α   α > α − (2.9) У разі, коли БП складається з шарів металу, для яких виконуються рівності αj = αn, τ0j = τ0n, то Γ1,j = Γ2,n і формула (2.6) істотно спрощу- ється і набуває вигляду: ( ) ( )0 , 1, 3 1 8 j j j n n j n j j j f P Q k Φ = α − − − τ Γ . (2.10) Якщо ширина кристалітів Lj у шарах металу значно більша за довжину вільного пробігу електронів lj (Lj >> lj) або міжкристалітні межі майже прозорі для носіїв заряду (Rj << 1), то зерномежовий параметер (αj << 1). Якщо ж шари металу мають дрібнозернисту структуру (Lj << lj) або межі зерен майже непрозорі для електронів (1 − Rj << 1), то параметри (αj >> 1). Для цих граничних випадків па- раметра αj, розмірні функції Φj визначаються формулою (1.21), у якій потрібно зробити заміну ΦHj → Φj. У випадку, коли товщини шарів dj, з яких складається багатоша- рова плівка, значно менші за довжини вільного пробігу електронів lj у них, тобто kj << 1, то для функцій Φj можна одержати наступні наближенні вирази: ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 ln , , 1 1 23 1 4 ln , 1, 4 1 1 1 1 ln , 1 . j j j j n n j j n n j n j n jj j j j j jj n n j j n n j j j j j k k P P Q Q Q dk k kP P Q Q k k  α ≤  + − + + Φ ≅ − α < α << π− − −    < α << α (2.11) Таким чином, як випливає з формули (2.11), числове значення розмірних функцій Φj у багатошаровій плівці, яка складається з то- нких полікристалічних шарів металу, як і для тонкої плівки [6], визначається невеликою групою ефективних, відповідальних за ефект (Піппардова концепція «неефективности» [82]) носіїв заряду, які рухаються паралельно МПШ металу і не стикаються з ними на довжині вільного пробігу lj. Відносна кількість таких електронів 480 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС порядку dj/lj. Логаритмічний фактор ln(1/kj) враховує внесок елек- тронів у функцію Φj, які рухаються майже паралельно межам поді- лу шарів металу, а їх довжина вільного пробігу обмежена об’ємни- ми зіткненнями. Зауважимо, що при виконанні нерівности αj ≤ kj, основним механізмом релаксації електронів є їх розсіяння на МПШ і полікристалічний зразок наближено можна розглядати як монок- ристалічний, оскільки розсіянням електронів на межах зерен, у по- рівнянні з їх розсіянням на інтерфейсах, незначне і ним можна зне- хтувати. Якщо ж виконується нерівність αj >> 1/kj, то спостеріга- ється зворотна ситуація, тобто електрони в основному розсіюються на міжкристалітних межах, а розсіяння електронів на інтерфейсах незначне, і БП буде ефективно «товстою». Зауважимо, що значення розмірних функцій Φj суттєво залежить від відношення товщин сусідніх шарів металу dn,j. Цей факт свід- чить про те, що підбираючи товщини шарів металу з відповідними фізичними властивостями, можна одержати багатошаровий зразок з потрібними електрофізичними характеристиками. 2.2. Формальна відповідність між провідністю багатошарової плівки та провідністю одно- та двошарової плівок Для визначення формальної відповідности між багатошаровою плі- вкою і одно- та двошаровою плівками для простоти будемо вважати, що зовнішнє магнетне поле відсутнє. Якщо багатошарова полікрис- талічна плівка складається з шарів металу з однаковими об’ємними і структурними характеристиками, тобто виконуються рівності 0 0 ,j nσ = σ j nl l= , j nα = α (2.12) і відсутнє розсіяння носіїв зарядів на межах поділу шарів 1j n n jP Q+ = , (2.13) то БП формально можна розглядати як необмежений зразок, оскі- льки числове значення провідности мультишару буде збігатися із об’ємним значенням однорідного масивного провідника. Якщо межі поділу шарів металу у багатошаровій плівці абсолют- но не прозорі для електронів (Qjn = Qnj = 0) (зокрема, шари металу багатошарового провідника розділені ультратонкими діелектрич- ними прошарками), то функції Φj у кожному шарі металу не зале- жать від параметрів, які характеризують сусідній шар, і провід- ність БП має вигляд: ( ) ( ) ( ){ }2 0 1 1 1 1j j j j n j n j j d f P P E d = σ = σ α − − − . (2.14) КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 481 При виконанні співвідношень (2.12) і рівностей j n n jP P P= = , j nd d d= = (2.15) багатошаровий зразок формально можна розглядати як одношаро- ву плівку, оскільки їх провідності збігаються та дорівнюють: ( ) ( ) ( )0 1 1f P PEσ σ = α − − − . (2.16) Параметер дзеркальности P у формулі (2.16) визначає ймовірність дзеркального відбиття інтерфейсами носіїв заряду без проходження у сусідні шари металу у випадку розгляду БП, або визначає ймовір- ність дзеркального відбиття зовнішньою межею тонкої плівки у разі застосування формули (2.16) до аналізи провідности тонкого шару металу. Якщо ж БП складається з шарів металу однакової товщини (dj = dn = d), з однаковими структурними характеристиками, які ви- значаються рівностями (2.12), а інтерфейс між j-м та n-м шарами од- наковим чином розсіюють електрони (Pjn = Pnj = P) і з однаковою ймо- вірністю носії заряду проходять у сусідні шари (Qjn = Qnj = Q), то бага- тошарову плівку з полікристалічною структурою, як і у випадку мо- нокристалічної БП [45], знову формально можна розглядати як од- ношаровий зразок, зовнішні межі якої «відбивають» електрони з ефективною ймовірністю (P + Q), а її провідність буде визначатися формулою (2.16), у якій необхідно зробити заміну (P → P + Q), тобто ( ) ( )( ) ( )( )0 1 1ML f P Q P Q Eσ σ = Φ = α − − + − + . (2.17) У формулах (2.14), (2.16) та (2.17) величина E, кутові дужки та фу- нкція f(α) визначаються формулами (2.3)—(2.5) відповідно, у яких необхідно знехтувати індексом «j». Щоб одержати формальну відповідність між мультишаром та двошаровою плівкою, необхідно порівняти між собою асимптотичні формули (1.21) та (2.11) з відповідними асимптотичними формула- ми для двошарової плівки [79]. Порівняння відповідних формул між собою показує, що у випадку, коли шари багатошарової плівки тонкі (kj << 1) і мають довільну полікристалічну структуру, то БП формально можна розглядати як двошаровий зразок, зовнішні ме- жі якого дзеркальним чином розсіюють електрони (qеф = 1, qеф – ймовірність дзеркального відбиття електронів зовнішніми межами двошарового провідника). Якщо ж шари металу БП товсті (kj >> 1), то мультишар знову фо- рмально можна розглядати як двошаровий зразок, однак у даному випадку, зовнішні поверхні двошарової плівки будуть описуватися ефективним параметром дзеркальности, який має вигляд [46]: 482 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС ( )0 , еф 0 , 16 1 , 1, 3 256 1 , 1. 105 j n n j n j j n j j n j j n n j n j j n j n P Q q P Q   + τ + α − α α <<  π =   α α − α + τ + α >>   α π α α  (2.18) Звідси випливає, що зменшення середнього розміру зерна або про- зорости міжкристалітних меж у сусідньому n-му шарі металу (тобто при збільшенні параметра αn) призводить до зменшення ефективно- го параметра дзеркальности і, відповідно, до зменшення провіднос- ти багатошарового зразка. Якщо ж збільшується ступінь чистоти та прозорість МПШ металу, то ефективний параметер qеф збільшуєть- ся і, відповідно, збільшується провідність БП. Також зауважимо, що якщо для шарів металу багатошарового зразка виконується рів- ність αj = αn, то у цьому випадку, як і у випадку мультишару з моно- кристалічною структурою [60], БП формально можна розглядати як двошарову плівку, зовнішні поверхні якої описуються ефектив- ним параметром дзеркальности qеф = Pjn + Qnjτ0n,j. Оскільки температурний коефіцієнт опору (ТКО), коефіцієнти поздовжньої та поперечної тензочутливости тощо багатошарової плівки можна виразити через провідність (2.1), то вище зазначена формальна відповідність між провідністю мультишару та провідні- стю одно- та двошаровою плівкою також буде виконуватися для ін- ших транспортних коефіцієнтів. 2.3. Провідність тонких полікристалічних плівок з моноблочною структурою Питома провідність σ тонкої полікристалічної плівки з моноблочною структурою описується формулою (2.16) (P = q). У випадку, коли то- вщина плівки значно більша за довжину вільного пробігу електронів (k >> 1), то провідність тонкого зразка наближено дорівнює [17]: ( ) ( ) ( ) 1 0 3 1 3 13 32 1 1 , 1 8 2 8 3 q ql l f d d − −  σ = α − Γ ≅ − α − − α α << σ π  ,(2.19) де Γ1 визначається формулою (2.7), у якій необхідно знехтувати ін- дексом «j». При написанні правої частини формули (2.19) ми обме- жилися лінійними за параметром α множниками. З метою апробації асимптотичного співвідношення (2.19) експе- риментально були одержані розмірні залежності для провідности для плівок Cu та Ni [17]. Плівкові зразки одержувалися електронно- променевою методою (для плівок Ni) і методою термічного випарову- вання (для плівок Cu) у вакуумі порядку 10 −3—10 −4 Па. У якості під- КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 483 ложжя для дослідження електропровідности одержаних зразків ви- користовувалися скляні поліровані пластини з вплавленими метале- вими стержнями та тонкі плівки вуглецю для проведення електрон- но-мікроскопічних досліджень. Швидкість конденсації шарів мета- лу складала 0,2—0,5 нм/с і 1,5—3 нм/с для Ni і Cu відповідно. З метою стабілізації електрофізичних властивостей та рекристалізації струк- тури, плівкові зразки відпалювалися протягом трьох—чотирьох цик- лів за схемою «нагрівання↔охолодження» з постійною швидкістю в інтервалі температур 300—700 К. Для визначення величини опору за дво- або чотироточковою схемою використовувалися універсальні цифрові вольтметри. Контроль температури з точністю до 1 К здійс- нювався за допомогою хромель-алюмелевої термопари, яка підклю- чалась до цифрового вольтметру. Товщини плівкових зразків з точ- ністю до 10% визначалася інтерферометричною методою (прилад МІІ-4). Для забезпечення повторення геометричних розмірів довжи- ни (a1) і ширини (a2) плівок використовувалися маски із неіржавій- ної сталі, що дозволило розрахувати величину питомого опору за співвідношенням 1 2 1fR a da−ρ = (Rf – опір зразка). Дослідження структурних характеристик показало, що плівки Ni і Cu мають ГЦК-структуру. Параметер ґратниці у випадку плі- вок Ni становить ap = 0,352—0,353 нм, а для Cu – ap = 0,361—0,362 нм, що практично відповідає значенням a0 = 0,3524 нм (Ni) і a0 = = 0,3616 нм (Cu) масивних зразків [83]. Обробка даних електронно- мікроскопічних досліджень дозволила визначити середній розмір зерна і характер його залежности від товщини L ≅ kd [17, 84]. Для плівок Ni коефіцієнт пропорційности k ≅ 1; у той же час плівки Cu мають більші розміри зерна (в інтервалі 50—175 нм коефіцієнт k ≅ ≅ 2—3). З вище зазначеного випливає, що плівки Ni і Cu за таких умов одержання та термообробки є крупнозернистими та монобло- чними по товщині, і для них виконується нерівність α << 1. Співвідношення (2.19) було використано для розрахунку вели- чини провідности плівкових зразків. При цьому, завдяки підбору зерномежового параметра, який у даному випадку являється під- гінним, досягалося узгодження експериментальних і розрахунко- вих значень питомої провідности. Зауважимо, що при розрахунках замість величини σ0 було використано величину σ∞ = limσ0, яка ви- значає провідність масивного зразка з таким же типом дефектів та їх концентрацією як у плівки. Розрахунок величини α виконувався за умови, що l = const, значення якої оцінювалося шляхом обробки експериментальних значень з розмірної залежности питомої прові- дности у рамках Фуксового моделю [6]. Для плівок Ni і Cu значення l(1 − q) становить 33 нм і 85 нм відповідно. На рисунку 2.1 наведено залежність питомої провідности плівок Ni і Cu. Узгодження експериментальних і розрахункових значень питомої провідности спостерігається у випадку, коли величина ко- 484 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС ефіцієнта зерномежового розсіяння змінюється в інтервалі дослі- джених товщин для Ni від 0,37 до 0,46, а для Cu від 0,35 до 0,42. Порівнюючи одержані нами результати стосовно величини коефіці- єнта R і відомі літературні [85—87], можна відмітити їх якісне і кі- лькісне узгодження. 2.4. Чисельні розрахунки провідности багатошарової плівки Для проведення чисельного розрахунку, коефіцієнт питомої прові- дности (2.1) зручно записати у вигляді: ( ) 1 2,1 02 21 022,1 2 2 2 2,101 2,1 01 1 01 1 , 0, 1 , ,1 d d l f dd l Φ →  σ ΦΦσ   σ= + =     Φ ≈ α → ∞σ + σ Φ   σ (2.20) де у виразах записаних у фіґурних дужках враховано, що зі збільшен- ням товщини шару металу d2, розмірна функція Φ → f(α2), оскільки він є необмеженим, а об’ємна провідність монокристалічного σ0j ∼ lj. Криві, яких наведено на рис. 2.2, одержано чисельним розрахун- ком за точною, у рамках використовуваного модифікованого моде- лю МШ [15], формулою (2.20) та ілюструють залежність σ/σ01 (σ01 – об’ємне значення провідности шару металу товщиною d1) від від- ношення товщин сусідніх шарів металу d2,1 = d2/d1 та параметра α2 при різних значеннях параметрів, які характеризують зразок (за- уважимо, загальними числовими значеннями параметрів для рис. 2.2 є Pjn = Qnj = 0,1). Одержані залежності σ(d2,1) показують, що в об- ласті малих значень d2,1 << 1 величина провідности БП визначається характером взаємодії носіїв заряду з МПШ металу і не залежить від l1,2, в той час як при d2,1 >> 1 величина σ/σ01 визначається відношен- Рис. 2.1. Залежність питомої провідности від товщини для плівок Ni (а) та Cu (б), де (○) – експериментальні, а () – розрахункові значення провід- ности [17]. КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 485 ням довжин вільного пробігу електронів l2,1 в шарах металу та об’ємним значенням провідности шару металу товщиною d2, тобто ( ) ( ) ( )01 2 1 2 l l fσ σ ≅ α (рис. 2.2, а; формула (2.20)). Якщо товщини елементу періодичности БП сумірні d2 ∼ d1, то на залежності σ/σ01, як функції d2,1, виникає мінімум, який обумовле- ний конкуренцією внесків у провідність інтерфейсного та об’ємного розсіяння носіїв заряду (рис. 2.2, б—д). Для спрощення інтерпрета- ції чисельних розрахунків будемо вважати, що зерномежовий па- раметер αj < kj. Якщо знехтувати внеском у провідність електронів, які рухаються майже паралельно інтерфейсам (тобто знехтувати логаритмічним фактором у формулі (2.11)), та обмежитися ліній- ними множниками по параметрам дзеркальности Pjn і Qnj, то розмі- рні функції наближено можна записати у вигляді: ( ), 1 2j j j n n j n jk P Q dΦ ≅ + + . (2.21) Рис. 2.2. Залежність провідности багатошарової плівки від відношення товщин сусідніх шарів металу d2,1 та параметра α2 при наступних значен- нях параметрів, які характеризують багатошарову плівку: а) αj = 1, k1 = 0,1: 1 – l1,2 = 1,25, 2 – l1,2 = 2, 3 – l1,2 = 10, 4 – l1,2 = 20; б) Pjn = 0,1, αj = 1, k1 = 0,05, l1,2 = 2: 1 – Qjn = 0, 2 – Qjn = 0,3, 3 – Qjn = 0,6, 4 – Qjn = 0,9; в) Qjn = 0,1, αj = 1, k1 = 0,1, l1,2 = 3: 1 – Pjn = 0, 2 – Pjn = 0,3, 3 – Pjn = 0,6, 4 – Pjn = 0,9; г) l1,2 = 2, αj = 0,1: 1 – k1 = 0,01, 2 – k1 = 0,1, 3 – k1 = 1, 4 – k1 = 10; д) l1,2 = 1, αj = 0,1, k1 = 0,1: 1 – α2 = 0,01, 2 – α2 = 0,1, 3 – α2 = 1, 4 – α2 = 10, 5 – α2 = 20; е) α1 = 1, k1 = 0,1, l1,2 = 1: 1 – d2,1 = 10, 2 – d2,1 = 1, 3 – d2,1 = 0,1. 486 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС У формулі (2.21) коефіцієнт 3/4 не наведено, оскільки він в подаль- шому не впливає на кінцевий результат розрахунку. Підставляючи співвідношення (2.21) у вираз (2.20) і досліджуючи на екстремум одержаний результат, переконуємося, що при виконанні рівности ( ) ( ) 1/2 12 21 12 021 1,2 2,1min 21 021 1,2 1 2 1 1, 1 2 P Q Q l d P l  + − − σ = + −  + σ   (2.22) питома провідність БП набуває мінімальне значення. У разі дифуз- ного розсіяння носіїв заряду на інтерфейсах багатошарової плівки (Pjn, Qnj → 0) і враховуючи, що σ0j ≅ lj, то d2,1 min ≅ 0,414, що і підтвер- джується чисельним розрахунком. Зі збільшенням ймовірности проходження носіїв заряду в сусід- ній шар металу без розсіяння (рис. 2.2, б), їх дзеркального відбиття від МПШ металу (рис. 2.2, в), товщини шару металу d1 (рис. 2.2, г) та параметра α2 (рис. 2.2, д), вказаний мінімум вироджується, і провідність зразка монотонно змінюється зі зростанням товщини елемента періодичности багатошарової полікристалічної плівки. При пружньому розсіянні носіїв заряду на внутрішніх межах, в силу виконання закону Відеманна—Франца 2 23 T e πκ = σ , (2.23) у теплопровідності БП будуть спостерігатися ефекти, аналогічні ефекту електропровідности, яких було розглянуто вище. 3. ТЕМПЕРАТУРНИЙ КОЕФІЦІЄНТ ОПОРУ 3.1. Загальний аналітичний вираз для ТКО багатошарової плівки Температурна зміна опору RML багатошарової полікристалічної плі- вки в умовах внутрішнього розмірного ефекту визначається залеж- ністю довжини вільного пробігу lj носіїв заряду від температури з одного боку, а з іншого – температурною залежністю геометрич- них розмірів шарів металу dj і середнього розміру кристалітів Lj (вважаємо, що величини Pjn, Qnj та Rj, які описують характер взає- модії електронів з інтерфейсами зразка та межами зерен, від темпе- ратури не залежать, і є параметрами задачі). Температурний коефіцієнт опору β багатошарової плівки та її опір RML визначаються наступними формулами [30, 89]: ln MLd R dT β = , 1 2 ML a R a d = σ , (3.1) КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 487 де a1 і a2 – довжина та ширина зразка,d – товщина елементу періоди- чности БП, σ – її питома провідність, яку визначено формулою (2.1). У більшості теоретичних робіт (див. оглядову монографію [89]) при аналітичному розрахунку ТКО вважається, що температурний коефіцієнт опору β (який безпосередньо і вимірюється в експериме- нті) збігається з температурним коефіцієнтом питомого опору βρ, тобто β ≡ βρ. Однак ця рівність зазвичай виконується для зразків з монокристалічною структурою, оскільки коефіцієнт температурно- го розширення βT геометричних розмірів зразка малий: βT < (10 −2— 10 −3)βρ. Якщо ж зразок має дрібнозернисту структуру (αj >> 1), то у багатошарових плівкових системах сумарний температурний кое- фіцієнт розширення товщин шарів металу та кристалітів у них, може бути сумірним з температурним коефіцієнтом питомого опо- ру, тобто βT ≅ βρ. Саме через цю причину ТКО багатошарових полік- ристалічних структур було визначено як зміну повного опору RML з температурою (3.1) та враховані ефекти теплового розширення то- вщин шарів металу dj і середньої ширини зерен Lj в них. Підставляючи співвідношення для провідности (2.1) у (3.1), оде- ржимо загальну формулу для ТКО багатошарової полікристалічної плівки з урахуванням температурної зміни геометричних розмірів шарів металу і середнього розміру кристалітів у них [78, 79]: 0 0 , , 0 0 2 ln ln2 1 1 1 1 ln ln j dj j jdn n j j n n j j j n nD k k≠   β χ ∂ Φ ∂ Φ χβ = − + − β + +    + β ∂ β ∂     0 , 0 0 0 ln ln 1 1 ln ln dj Lj j jdn Ln n j j j j n n n  χ χ ∂ Φ ∂ Φ χ χ + + + + β + + −    β β ∂ α β β ∂ α   0 , 0 0 0 , ln 1 1 ln dj jdn n j j n n j   χ ∂ Φ χ −  + − β +      β β ∂ τ      , (3.2) де функції Φj визначені формулою (2.2), β0n,j = β0n/β0j – відношення об’ємних значень ТКО суміжних монокристалічних шарів металу, ( ) ( )lndj jd d dTχ = та ( ) ( )lnLj jd L dTχ = – феноменологічні пара- метри, які визначають зміну товщини шару металу dj і середнього розміру зерна Lj з температурою, а функція Dn,j має такий вигляд: ( ) ( ), 0 0n j n n n j j jD d d= σ Φ σ Φ . (3.3) Температурний коефіцієнт опору безмежового зразка β0j з монок- ристалічною структурою дорівнює [79, 89]: 0 0 ln lnj j j d d d dT dT σ β = − − , (3.4) 488 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС де враховано, що коефіцієнти, які визначають температурну зміну ширини та довжини j-го шару металу збігаються внаслідок того, що розміри шарів металу уздовж осей Y та Z нескінченно великі. Підставляючи розмірні функції Φj у формі (2.2) у вираз (3.2) оде- ржимо, загальну формулу для ТКО багатошарової полікристалічної плівки у рамках модифікованого моделю МШ [15] при довільному співвідношенні між довжиною вільного пробігу lj електронів і тов- щиною шарів dj та довільному характері взаємодії носіїв заряду із інтерфейсами зразка [78, 90]: { }0 0 , , 1 j j n j j j n n j M M D β β ≠ β β = − β + , (3.5) 0 0 0 0 0 21 2 1 1 1 1 , dj dj dj Lj dj j dj j j j j j j j j M J J Jβ α τ         χ χ χ χ χ = + − + + + + + +               β Φ β β β β          (3.6) * * * 0 0 0 0 21 1 1 1dn Ln dn dn j j dj j j n n n n M J J Jβ α τ       χ χ χ χ = + + − + − +      Φ β β β β        ,(3.7) ( ) ( ){ }1 1 j j j dj j j j j k E H J f G E x − = α − − − Θ , (3.8) * n n n dj j k E H J x ∗= Θ , (3.9) ( ) ( ) ( ) ( )1 * 1 2 1 j j j j j j j j j j j j j k E H x G J f G E x k E H − α  − Λ + = α + − − Θ −     , (3.10) ( )* 1n n j n j j n n n k E x J H x k E H ∗ α   = − Θ + Λ    , j jJτ = Λ , (3.11) ( ) ( ) ( ){ } 1 j jn j jn nj jn nj j n j jP A B Q Q P P A B E B−Θ = − + − + Δ − Ξ , (3.12) ( ) ( )( ){* , 1j jn nj jn nj j nj n jA Q Q P P E QΘ = − − − τ + ( )( ) }1 j jn jn nj jn nj j j nB P Q Q P P E B−+ − − Δ + Ξ , (3.13) ( ){ }2 2 2 2j jn nj j jn nj n jn nj jn nj j nA P P E Q Q E Q Q P P E E −Ξ = + − − Δ ,(3.14) ( ) 1 , 1j nj n j nQ E A −Λ = τ − Δ , (3.15) КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 489 ( ) ( ) 2 2 * 3 2 3 6 , 1, 3 2 33 1 2 9 ln 1 3 62 1 , 1, 4 5 j j j j jj j j j j j j j f α − α α <<α + α  α α = − + α + ≅   + α α   − α >>  α α (3.16) де кутові дужки визначено формулою (2. 4). Перш ніж перейти до подальшої аналізи температурного коефі- цієнта опору у багатошарових плівкових системах, розглянемо ТКО в одношарових плівках. 3.2. ТКО одношарової полікристалічної плівки У випадку, коли інтерфейси багатошарового зразка абсолютно не- прозорі для носіїв заряду (Qnj = 0), а полікристалічні шари металу, з яких складається БП, мають однакові об’ємні та структурні харак- теристики, то ТКО багатошарового і одношарового зразків будуть збігатися, і для плівки з крупнозернистою структурою (α << 1) він наближено дорівнює [19]: ( )3 13 12 1 1 2 8 q k∞ −β  = − α − − α β π  . (3.17) Апробація співвідношення (3.17) виконувалася на прикладі плі- вок Ni, Cu, Cr та Co [19]. Методику їх одержання і дослідження еле- ктрофізичних властивостей було докладно описано у підрозділі 2.3. Тут важливо зазначити, що одержані плівки Cr і Co мають ОЦК- та ГЩУ-структури з параметрами кристалічної ґратниці, які близькі до значень відповідних масивних зразків, а середній розмір криста- літів у досліджуваному інтервалі товщин зразків Cr (d = 40—100) нм та Co (d = 30—110) нм наближено дорівнює L ≅ 0,5d. Рис. 3.1. Експериментальні (точки) та розрахункові (лінії) залежності ТКО від товщини для плівок Cu (□); Ni (●); Cr (∆) і Co (○) [19]. 490 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС На рисунку 3.1 наведено експериментальні (зображені точками) та розрахункові (зображені суцільними лініями) залежності ТКО плівок зазначених металів від нормованої на довжину вільного про- бігу електронів товщини зразка. Як і у випадку питомої провіднос- ти, замість температурного коефіцієнта опору β0 масивного зразка ви- користовувалася величина lim d ∞ →∞ β = β – ТКО масивного зразка з та- ким типом дефектів та їх концентрацією, як у і плівці. Досягти узго- дження експериментальних і розрахункових значень вдалося при на- ступних параметрах електроперенесення, яких наведено у табл. 3.1. 3.3. Асимптотичні співвідношення для ТКО багатошарової плівки та результати чисельного розрахунку Для того щоб спростити процедуру порівняння теоретичних ре- зультатів з експериментальними, загальну формулу (3.5) для ТКО мультишару спростимо для граничних значень параметрів kj та αj. Якщо виконується нерівність kj >> 1, то ТКО багатошарового зра- зка для довільних значень Pjn, Qjn і αj визначається формулою (3.5), в якій функції djJ , * djJ , jJα , * jJα і jJτ наближено дорівнюють: ( )dj jJ f= α , * 0djJ = , (3.18) ( ) ( ) ( ){ }* 6, 0 , 5, 2 1j j j j j n j nj n j jJ f k P Qα = α − α π − Γ − τ Γ , (3.19) * 0 , 5, 2 j j nj n j n j J Q k α α = τ Γ π , 0 , 2, 3 8 j nj n j j j J Q k τ = τ Γ , (3.20) ( ) { } ( ) 5, 2 3 2 2 3 3 1 2 4 1 13 2 4 3 2 1 2 j j n j j j j n j n n j I πΓ = − α + α +  − − απ  + α + α α + α α + α − − π α   ТАБЛИЦЯ 3.1. Параметри електроперенесення для плівок Ni, Cu, Cr та Co [19]. Плівка Інтервал товщин, нм l(1 − q), нм β∞⋅103 К R Ni 50—180 32 3,94 0,37—0,40 Cu 55—175 83 4,10 0,35—0,42 Cr 40—100 127 1,52 0,03—0,10 Co 30—110 37 2,50 0,04—0,13 КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 491 ( ) ( ) ( )2 2 4 4 1 13 1 n j j j n n j n j j nj j n I I I   α − α − α − α  − α + + α  α − αα α − α     , (3.21) ( ) ( ) 2 2 2 3 6, 2 19 1 6 5 3 5 15 4 4 1 j j j j j j j j j I I  − απ  Γ = − α − − − α − α + πα  − α  , (3.22) де Γ2,j визначається формулою (2.8). Одержану асимптотичну формулу для температурного коефіціє- нта опору БП для довільних значень параметра αj можна в подаль- шому спростити для зразків з крупнозернистою (αj << 1) та дрібнозе- рнистою (αj >> 1) структурами. Для цих граничних випадків зерно- межового параметра αj ТКО багатошарового зразка знову буде визна- чатися формулою (3.5), в якій функції jMβ і jM∗ β мають вигляд: ( ) 0 , 3 3 12 3 1 1 1 2 8 5 j j jn j nj n j n j M P Q k β   = − α − − − α + τ α −  π π   ( ) 0 , 0 3 3 9 1 16 1 1 1 1 2 4 2 3 4 dj j jn j nj n j j n j j P Q k   χ      − α + − − α − τ − α + α −      π π β        ( ) ( )0 , 0 3 133 1 7 1 1 1 1 2 2 2 10 3 j j Lj jn nj n j j n j j P Q k  α α χ  π  − − − − − τ − α + α     π β      , 1jα << , (3.23) 0 , 0 3 32 1 1 1 8 3 16 dn j nj n j j n j n M Q k ∗ β     χ = τ − α + α + −    π β     0 16 3 9 1 3 2 50 Ln n n j n   χπ  − α − α + α   π β    , 1jα << , (3.24) ( ) 0 ,2 4 3 8 1 1 5 5 1008 j j jn nj n j j j nj j M P Q k β    απ = − − − − τ −   α α αα     ( ) 0 ,2 4 1 3 1 1 1 5 2 5 j jn nj n j j j j nj P Q k    α − + − − − τ ×   α α αα    −   2 0 4 1 1 1 4 5 25 dj n j j j jj k   × − ×       χπ π+ − − −  α β α αα  492 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС ( ) 0 , 0 3 1 1 2 135 Lj jn nj n j j n j P Q    χπ− − − τ   α α β    ×   , 1jα >> , (3.25) ( )0 , 0 5 24 1 1 2 4 5 2 j nnj n j dn j j n n j j n n Q M k ∗ β   α + ατ  χπ  = + − + −   α α α πα α β    ( ) 0 24 1 5 4 j n Ln j j n n  π α + α χ  − + −  α α α β    , 1jα >> . (3.26) Якщо ж БП складається із шарів металу, для яких виконуються рівності (αj = αn, β0j = β0n), то формули (3.23)—(3.26) суттєво спрощу- ються та набувають вигляду: * 0 3 33 12 3 9 1 1 1 2 8 2 8 jn jn dj j j j j j j j j j T T M M k k β β   χ    − = − α − − α − α + − α −    π π β      0 33 13 1 1 2 4 2 jn Lj j j j j T k   χ  − α − − α  π β    , 1jα << , (3.27) * 2 0 3 34 3 4 1 1 1 1 5 2 5 416 jn jn dj j j j j j j j j jj j T T M M kk β β      χ   − = − − − − − − −     α α α α α βα         0 4 3 1 1 5 4 2 jn Lj j j j j j T k    χ − − − −   α α α β    , 1jα >> , (3.28) де 0 , 1jn jn nj j nT P Q= − − τ . Для мультишару, який складається з тонких полікристалічних шарів металу (kj << 1), температурний коефіцієнт опору наближено дорівнює: 0 0 0 , 0 0 0 0 2 21 1 , , 1 ln 2 4 1 1 1 2 , 1, 41 ln dj dj j j j j j j dj dj Lj j n n j j j j j dj j j j j j k k D k k ≠  χ χ + − α ≤  β β   β β ≅  χ χ χ+ + − + + α   β β β π χ  − < α << α β− π  КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 493 2 0 0 0 00 , 0 3 1 4 2 1 , 1 , 11 ln dj Lj Lj dj j j j jjj dj j j n n j j j j j D k k ≠   χ χ χ χ + + + −   β β β βαβ χ  β ≅ − + < α << + β  α     (3.29) тобто, як випливає з формули (3.29) у випадку, коли основним ме- ханізмом релаксації носіїв заряду є їх розсіяння на межах зерен, ТКО багатошарової плівки стає від’ємною величиною. Для проведення чисельного розрахунку загальну формулу для температурного коефіцієнта багатошарової полікристалічної плів- ки (3.5) зручно записати наступним чином: ( ) { }1 , 0 , 0 , 01 2,1 1 1 j j n j n j n j j j n D M M D − ∗ β β ≠ β = β − β β +  , (3.30) яка при виконанні нерівности Dn,j << 1 набуває вигляду: ( ) ( ){ }0 0 , 0 0j j n j n j j j j n n nM M D M M M M∗ ∗ ∗ β β β β β ββ = β − β − β − − β − . (3.31) Звідси випливає, що ( ) ( ) 02 1 1 2,1 01 201 02 02 2 2 2 2 2,1 01 01 02 02 2 , 0, 1 1 , .d L M M d f M M d f ∗ β β ∗ ∗ β β β − → ββ ≅   αβ  β β χ χ − ≅ − + + → ∞  β β β β α    (3.32) У формулі (3.32) враховано, що при d2,1 → ∞ шар металу товщиною d2 становиться товстим (k2 >> 1) і, відповідно, розмірною частиною у функціях 2 Mβ та 2 M∗ β можна знехтувати. Залежність ТКО багатошарового полікристалічного зразка від від- ношення товщин шарів d2,1 за різних значень параметрів, які харак- теризують БП, представлено на рис. 3.2 (χdj/β0j = χL /β0j = 10 −3, l1,2 = 1). Для спрощення інтерпретації результатів числового розрахунку тем- пературний коефіцієнт опору БП представимо у наступному вигляді: ( ) ( ) 2,1 1 2,1 2 1 2,1 2,1 2,1 2,1 1 1 1 1 d d d d β + σ β − β + β = + σ − + . (3.33) Формула (3.33) значно спрощується, якщо шари металу багатошаро- вих систем мають однакові провідні властивості, тобто σ2,1 = σ2/σ1 = 1: 494 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС ( ) ( )1 2,1 2 1 2,1 1d dβ = β + β − β + . (3.34) Звідси неважко бачити, що при малих значеннях d2,1 << 1 другим до- данком у формулі (3.34) можна знехтувати і ТКО зразка практично не змінюється, однак його числове значення буде визначатися хара- ктером взаємодії носіїв заряду з інтерфейсами багатошарової плівки зразка (рис. 3.2). Зі збільшенням d2,1, так що d2 ≅ d1, характер поведі- нки β(d2,1) буде залежати від знаку нерівности між β1 та β2. У випадку, коли β2 << β1, ТКО зразка буде монотонно зменшувати- ся зі зростанням d2,1. При виконанні протилежної нерівности β2 >> >> β1 спостерігається протилежна тенденція: ТКО монотонно збіль- шується із зростанням товщини елементу періодичности БП. У ви- падку, коли β2 ≅ β1, ТКО проходить через мінімум, який має ту ж Рис. 3.2. Залежність ТКО мультишару від d2,1 (а—д) та параметра α2 (е) при таких значеннях параметрів: а) Pjn = Qjn = 0,1, αj = 1, k1 = 0,1: 1 – β02,1 = 0,1, 2 – β02,1 = 0,5, 3 – β02,1 = 0,3, 4 – β02,1 = 1, 5 – β02,1 = 5, 6 – β02,1 = 10; б) Qjn = 0,1, k1 = 0,1, αj = 1, β02,1 = 0,5: 1 – Pjn = 0, 2 – Pjn = 0,3, 3 – Pjn = 0,6, 4 – Pjn = 0,8; в) Pjn = 0,1, αj = 1, k1 = 0,1, β02,1 = 1: 1 – Qjn = 0, 2 – Qjn = 0,1, 3 – Qjn = 0,4, 4 – Qjn = 0,8; г) Pjn = Qjn = 0,1, αj = 1, β02,1 = 0,5: 1 – k1 = 0,01, 2 – k1 = 0,1, 3 – k1 = 1, 4 – k1 = 10; д) Pjn = Qjn = 0,1, αj = 1, k1 = 0,1, β02,1 = 1: 1 – α2 = 0,1, 2 – α2 = 1, 3 – α2 = 10, 4 – α2 = 20; е) Qjn = 0,2, Pjn = 0,1, αj = 1, k1 = 0,1, β02,1 = 1: 1 – d2,1 = 0,1, 2 – d2,1 = 1, 3 – d2,1 = 10, 4 – d2,1 = 20. КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 495 природу, що і у провідности БП. При збільшені ймовірности прохо- дження електронів в сусідній шар металу або товщини базисного шару зазначений мінімум вироджується і температурний коефіці- єнт опору монотонно змінюється зі зміною d2,1. 3.4. Апробація асимптотичних співвідношень для ТКО багатошарової плівки Для проведення апробації вищенаведених асимптотичних співвід- ношень для ТКО багатошарової плівки, у якості об’єктів досліджень були вибрані плівкові системи, компоненти яких у масивному стані при даних умовах термообробки (максимальна температура відпа- лювання складала 670—700 К) мають низьку взаємну розчинність, а саме плівки на основі Cu і Cr, Sc і Cu та Co і Cr. Відмітимо, що перед конденсацією кожного наступного шару металу, попередній шар ви- держувався протягом 30 хвилин. У якості прикладу наведемо типову залежність опору двошарового плівкового зразка від часу конденса- ції та витримки, що ілюструє рис. 3.3, а. Термообробка зразків про- водилася за схемою «нагрівання↔охолодження» протягом трьох циклів в інтервалі температур 300—700 К (рис. 3.3, б). Виконані дослідження методами електронографії фазового скла- ду вказують на те, що домішкові фази та перехідні інтерметалеві фази не утворюються. Тим самим, фазовий склад плівкових систем відповідає ОЦК-Cr + ГЦК-Cu (або ГЩУ-Co) чи ГЦК-Cu + ГЩУ-Sc, що повністю узгоджуються з даними [91] про евтектичну рівновагу в системах на основі вказаних металів. Величини параметрів ґрат- ниці для компонентів плівкових систем в межах точности експери- менту співпадають з даними для відповідних одношарових зразків. Вивчення елементного складу та дифузійних процесів методами вторинної йонної мас-спектрометрії [92, 93] та електронної Оже- Рис. 3.3. Залежність опору плівки Sc(60)/Cu(30)/П від часу конденсації і термостабілізації (а) та температури відпалювання (б): 1, 3 – конденсація першого і другого шару; 2, 4 – стабілізація електричних властивостей першого шару і двошарової плівки [79]. 496 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС спектроскопії, показало, що у плівкових системах хоча і відбува- ється зерномежова дифузія, але індивідуальність окремих шарів зберігається. Таким чином, вибрані системи є вдалими об’єктами для апробації запропонованого теоретичного моделю. Для обробки експериментальних результатів для багатошарових плівок на основі співвідношення (3.5) для функцій j Mβ (3.23) та j M∗ β (3.24) були використані спрощені вирази. Вважалося, що Qnj = Qjn = Q, Pjn = Pnj = P, χdj = χLj = 0. Враховуючи зазначені спрощен- ня, ТКО мультишару можна записати у наступному вигляді: ( ) , 33 12 3 1 1 1 1 2 8 5 j j n j j j j n n j j j l l P Q D d l ∞ ≠   β   β = − α + − − α + α +   + π π      ( )3 16 1 10 8 15 n n j n j j l d ∞ ∞ β  + − α + α  β π   . (3.35) Для розрахунку величини ТКО на основі співвідношення (3.35) ви- користовувалися параметри електроперенесення для одношарових плівок Cu, Cr і Co, яких наведено в табл. 3.1, а у випадку плівок Sc використовувалися дані роботи [94]. Так, для плівок Sc β∞ = 1,57⋅10 −3 К −1, l = 35 нм, r = 0,37—0,47. Оскільки виходячи з експериментальних результатів практично неможливо визначити значення коефіцієнтів розсіяння і проходження на МПШ, нами замість P і Q використову- валися величини R і r, тобто коефіцієнти розсіяння і проходження меж зерен. У даному випадку ми виходили з того, що МПШ і МЗ представляють собою ідентичні розсіювальні центри для носіїв заря- ду. Про ступінь відповідности розрахункових і експериментальних значень ТКО можна судити з даних приведених у табл. 3.2. Аналізу- ючи одержані результати можна відмітити той факт, що розрахунко- ві і експериментальні значення узгоджуються з точністю до 30%. Од- ТАБЛИЦЯ 3.2. Порівняння експериментальних та розрахункових зна- чень ТКО [78]. Плівкова система (товщина, нм) ТКО⋅103, К −1 експериментальні дані розрахункові дані Cu(22)/Cr(20)/Cu(22)/Cr(20)/П 1,71 1,61 Cr(30)/Cu(30)/Cr(30)/Cu(30)/П 1,80 1,92 Cr(80)/Co(10)/Cu(80)/Co(10)/П 0,42 0,34 Cr(80)/Co(10)/Cr(80)/Co(10)/Cr(80)/Co(10)/П 0,92 1,02 Cr(150)/Co(10)/Cr(150)/Co(10)/Cr(150)/ /Co(10)/Cr(150)/Co(10)/П 0,91 0,95 КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 497 ним з факторів, що впливає на відповідність експериментальних та розрахункових даних є взаємна дифузія, за рахунок якої змінюються умови розсіяння електронів на МЗ і МПШ металів. 4. КОЕФІЦІЄНТИ ПОПЕРЕЧНОЇ ТА ПОЗДОВЖНЬОЇ ТЕНЗОЧУТЛИВОСТЕЙ 4.1. Загальна та асимптотичні формули для коефіцієнтів поперечної та поздовжньої тензочутливостей одно- та багатошарової плівки Зміст ефекту тензочутливости полягає у зміні електричного опору (електропровідности) металевих та напівпровідникових зразків за наявности поздовжньої або поперечної деформації. Безпосередньо ефект тензочутливости не випливає з Больцманнового кінетичного рівнання, однак його потрібно віднести до транспортних явищ, оскільки тензоопір характеризує зміну одного з найбільш важли- вих транспортних коефіцієнтів – провідности (опору) під дією на- пруги у провіднику, яка створюється зовнішнім навантажуванням. Причини тензоефекту пов’язані зі зміною концентрації дефектів, зміною товщин шарів металу та розміру кристалітів у них, зміною довжини вільного пробігу електронів тощо [30, 95—97]. Кількісними характеристиками ефектів поперечної та поздовж- ньої тензочутливости є коефіцієнти поздовжньої γ(1) та поперечної γ(2) тензочутливостей ( ) ln ln i ML i d R d a γ = , 1,2i = , (4.1) які показують у скільки разів відносна зміна опору зразка більша (менша) його відносної деформації. У формулі (4.1), якщо верхній індекс i дорівнює 1, то формула (4.1) визначає коефіцієнт поздовж- ньої тензочутливости, якщо ж i = 2, то формула (4.1) визначає кое- фіцієнт поперечної тензочутливости; RML – опір багатошарового плівкового зразка, який визначається формулою (3.1). Для одержання загальної аналітичної формули, яка визначає ко- ефіцієнти поздовжньої та поперечної тензочутливости в багатоша- ровій плівці, яка складається з шарів металу однакової товщини (d1 = d2) та однакового ступеня чистоти (l1 = l2), потрібно формулу (2.17) підставити в співвідношення (3.1), а одержаний результат вираз (4.1). З урахуванням деформаційних змін геометричних роз- мірів провідника для величини γ(i) одержимо наступний вираз: ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) 0 ln ln1 ln 1 ln i i i i i i iML ML f l d L l R d d d k R d Φ Φ γ = γ − η − η − η − η − η − α  ; (4.2) 498 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС ( ) ( ) ( ) (ln ) (ln ), (ln ) (ln ), (ln ) (ln ) i i i d i l i L i d d d a d l d a d L d aη = − η = − η = − , ( ) (ln ) (ln ) i R i d R d aη = − – феноменологічні параметри, які визначають зміну товщини плівки d, довжини вільного пробігу електронів l, сере- дньої ширини кристалітів L та ймовірности розсіяння носіїв заряду на межі кристалітів R. Коефіцієнт тензочутливости безмежного зразка з монокристалі- чною структурою дорівнює [96]: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 1 j ii i i i a d + σγ = − + η + η + η , 1,2i j≠ = , (4.3) де параметер ( ) (ln ) (ln ) j i a j i d a d aη = − як і параметер ( )i d η визначає зміну геометричних розмірів пластини з поздовжньою та попереч- ною деформацією, числове значення яких можна виразити через Пуассонові коефіцієнти матеріялу зразка μ і підложжя μS, на яке напорошується тонка плівка [96]: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 d d S η = η = μ − μ − μ , ( ) ( ) 2 1 1 2 a a S η = η = μ . (4.4) Якщо Пуассонові коефіцієнти підложжя та матеріялу плівки співпадають, то ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 d d a a η = η = η = η = μ . Оскільки розміри у площині зразка нескінченні, то ( ) ( ) j i i d a η = η , а зміна об’ємної провідности з деформацією ( ) 0 0 (ln ) (ln ) i i d d aση = − σ можна визначити як [98] ( )0 ln 1 ln i l i d d a σ − = + η , (4.5) то для КТ безмежного зразка з монокристалічною структурою мож- на записати наступним чином: ( ) ( ) ( ) ( )( )0 2 2 1 i i i l d iγ = η + − + η . (4.6) Якщо ж масивний зразок має полікристалічну структуру, то в рамках моделю МШ коефіцієнт тензочутливости дорівнює: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } 0 0 0 3 5 1 , 1, 2 2 4 1 , 1, 5 i i i L l i i i i L l i i i L l f f ∗ ∞   γ + α − α η − η α << α   γ = γ + η − η ≅ α  γ + − η − η α >>  α  (4.7) де величина ( ) 0 iγ визначається формулою (4.6), а функція ( )f∗ α співвідношенням (3.16). Обчислюючи логаритмічні похідні у (4.2) і нехтуючи деформа- ційною залежністю параметра R, одержимо в рамках моделю МШ КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 499 точний вираз для КТ багатошарової плівки за довільного співвід- ношення товщини плівки d і довжини вільного пробігу електронів l та довільного характеру взаємодії носіїв заряду з межами зразка: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }0 1i i i i i i l d d l LJ Jαγ = γ − η − η + η − η Φ , (4.8) ( ){ }1 1 d kEH J G G E x −= − − − Θ , (4.9) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 kE x J f H G E G x kEH −∗ α  = α + − − − Θ −    , (4.10) ( ) 1 1 P Q G P Q E − −= − + , ( ) ( ) ( ) 2 1 1 P Q P Q P Q E + − − Θ = − + . (4.11) Одержаний точний вираз для величини γ(i) спростимо для багато- шарової плівки, яка складається з товстих (k >> 1) шарів металу з крупнозернистою (α << 1) та дрібнозернистою (α >> 1) структурами: ( ) ( ) ( ) ( ){ }еф 0 3(1 ) 6 3 5 1 1 8 2 2 i i i i l d q k −   γ = γ − − α η − η + α − α −  π   ( ) ( ){ }еф 3(1 ) 13 1 2 2 i i L l q k −  − − α η − η  π    , 1α << , (4.12) ( ) ( ) ( ) ( ){ }еф 0 1 3 4 1 1 4 4 5 i i i i l d q k −   γ = γ − − η − η + − −  α α α   ( ) ( ){ }еф 1 3 1 4 2 i i L l q k −  − − η − η  α α   , 1α >> . (4.13) Якщо ж полікристалічні шари багатошарової плівки тонкі (k << 1), то для коефіцієнта тензочутливости можна одержати на- ступні наближені формули: ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 1 0 0 1 1 ln , , 1 4 1 1 , ln1 4 ln1 4 1, i i i l d i i i i i i l d L l k k k k k −  γ − − η − η α ≤      γ ≅ γ − − η − η + α η − η  − α π π − α π   < α <<   500 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 0 1 1 ln , 1 1 . i i i i l d k k −  γ ≅ γ − − η − η < α << α  (4.14) Як слідує з формули (4.14), при виконанні нерівности α ≤ k, основ- ним механізмом релаксації носіїв заряду являється їх розсіяння на зовнішніх межах, і розсіянням електронів на міжкристалічних межах можна знехтувати. Також зауважимо, що ефективний пара- метер дзеркальности у разі розгляду багатошарової плівки дорів- нює qеф = P + Q. Якщо ж розглядається тонка полікристалічна плів- Рис. 4.1. Залежності коефіцієнта поздовжньої тензочутливости γ(1) тонкої полікристалічної плівки від нормованої на довжину вільного пробігу носі- їв заряду товщини зразка k (а, б) та параметра α (в, г) (qеф = 0,1): а) ( )1 0,3dη = , ( )1 0,3Lη = , α = 5: 1 – ( )1 0,8 l η = − , 2 – ( )1 0,6 l η = − , 3 – ( )1 0,4 l η = − , 4 – ( )1 0,2 l η = − , 5 – ( )1 0,1 l η = − ; б) ( )1 0,3dη = , ( )1 0,3Lη = , α = 0,1: 1 – ( )1 0,8 l η = , 2 – ( )1 0,6 l η = − , 3 – ( )1 0,4 l η = − , 4 – ( )1 0,2 l η = − , 5 – ( )1 0,1 l η = − ; в) ( )1 0,3dη = , ( )1 0,3Lη = , ( )1 0,5 l η = , α = 5: 1 – k = 0,01, 2 – k = = 0,1, 3 – k = 1, 4 – k = 5, 5 – k = 10; г) ( )1 0,3dη = , ( )1 0,3Lη = , ( )1 0,2 l η = , α = = 5: 1 – k = 0,01, 2 – k = 0,1, 3 – k = 1, 4 – k = 5, 5 – k = 10. КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 501 ка, то qеф = 0,5(q1 + q2) [18], qi (i = 1,2) – ймовірність відбиття носія заряду межею провідника зі збереженням енергії та танґенційної по відношенню до межі компоненти квазиімпульсу. Для проведення чисельного розрахунку загальну формулу (4.8) для коефіцієнта поздовжньої тензочутливости (i = 1) зручно записа- ти у вигляді: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 ML l d d l LJ Jαγ γ = − γ Φ η − η + η − η , (4.15) де ΦML визначено формулою (2.17). Наведені на рисунку 4.1 криві, одержані числовим розрахунком, ілюструють залежність коефіцієнта поздовжньої тензочутливости багатошарової (одношарової) плівки та зерномежового параметра за різних значень параметрів, які характеризують плівку. Характер зміни коефіцієнта поздовжньої тензочутливости зі зміною товщини плівки визначається знаком нерівности між феноменологічними параметрами ( )1 lη , ( )1 dη і ( )1 Lη . Якщо виконується нерівність ( ) ( )1 1 l dη > η , ( )1 Lη , то величина ( )1γ зі зменшенням товщини плівки зростає (рис. 4.1, а, б) як і у роботах [99—102]. У разі виконання протилежної не- рівности ( ) ( )1 1 l dη < η , ( )1 Lη спостерігається зворотна тенденція: коефі- цієнт поздовжньої тензочутливости монотонно зменшується зі зме- ншенням параметра k або, навпаки, монотонно зростає зі зростан- ням товщини плівки і асимптотично прямує до свого об’ємного зна- чення, як у випадку теоретичних моделів [23, 30]. Структура зразка, яка визначається параметром α, не змінює ха- рактер поведінки ( ) ( )1 kγ , а впливає лише на числове значення кое- фіцієнта тензочутливости (рис. 4.1, в, г). Цей висновок співпадає з висновком [30]. 4.2. Апробація теоретичних співвідношень для тонкої полікристалічної плівки Експериментальну перевірку запропонованого асимптотичного співвідношення (4.12), що описують тензорезистивний ефект, про- ведемо на одношарових зразках Cu, Cr та Sc, для яких k ≅ 1. Плівки одержувалися методою термічного випаровування на пі- дкладки, виготовлені із тефлону та нікелевої фольги, покритої SiO. Методику формування контактів на підложжях докладно описано у роботі [94]. Для деформації зразків безпосередньо у вакуумній камері вико- ристовувалися спеціально сконструйований пристрій [94], що давав можливість розтягувати підкладку з плівкою до 2% з кроком дефо- рмації δε(1) = 0,005%. Коефіцієнти поздовжньої тензочутливости ро- зраховували за танґенсом кута нахилу залежности ΔR/RП від дефо- рмації ε(1) = Δa1/a1П (індекс «П» позначає початкові значення опору 502 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС та довжини). Одержані деформаційні залежності (рис. 4.2) мають лінійний характер, а їх аналіза показує, що усі релаксаційні проце- си у плівках (поворот зерен, утворення дефектів, мікропластична деформація та інше) закінчуються після першого деформаційного циклу, оскільки, починаючи з другого деформаційного циклу, ве- личина γ(1) фактично не змінюється. Розрахунок γ(1) на основі співвідношення (4.12) потребує даних про величину параметрів qеф, l і α та деформаційних коефіцієнтів ( )1 0 γ , ( )1 l η , ( )1 d η і ( )1 L η . Зведені Пуассонові коефіцієнти ( ) ( )1 1 d L η = η з ура- хуванням пружніх властивостей підложжя та табличних даних [83] для масивних Cu, Cr та Sc можна розрахувати за наступною форму- лою [30]: ( ) ( )1 2 1 1 S d d − μ η = η = μ − μ , (4.16) де μ і μS – Пуассонові коефіцієнти для матеріялу зразка і підлож- жя, на яке напорошується тонка плівка. Визначення параметрів qеф, l і α виконували шляхом обробки ек- спериментальних даних з розмірної залежности температурного коефіцієнта опору на основі лінеаризованого та ізотропного моделів Тельє, Тоссе і Пішара (що більш докладно описано у роботі [94]) за Рис. 4.2. Приклади деформаційних залежностей опору для плівок Sc(64)/П. Номери деформаційних циклів:– І,– ІІ,– ІІІ,– ІV [20]. ТАБЛИЦЯ 4.1. Параметри електроперенесення для плівок Cr, Cu, Sc [20]. Плівки qеф l, нм α (1) 0 γ (1) l η (1) ∞γ (1) l ∞η Cr 0,105 62,7 0,034 2,6 −3,04 0,8 −1,8 Cu 0,186 119,5 0,760 2,98 0,28 1,8 −0,9 Sc 0,144 161,4 0,594 −1,44 −4,04 0,3 −2,3 КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 503 умови, що величини коефіцієнтів дзеркальности для меж поділу плівка—підложжя збігаються, тобто (q1 = q2 = qеф). Значення qеф, l, α для Cu, Cr і Sc наведено у табл. 4.1. Виключно важливе значення для апробації приведених співвід- ношень має коректне визначення величин (1) 0 γ та (1) l η , які дають най- більшу похибку у розрахунок. Для плівок Cu, Cr і Sc можна викорис- товувати дані (табл. 4.1), яких наведено у роботах [94, 103]. Для роз- рахунку коефіцієнта тензочутливости замість ( )1 0 γ та ( )1 lη використо- вувалися значення ( )1 ∞γ та ( )1 ∞η . Для визначення ( )1 ∞γ будувалися зале- жності ( ) ( )1 1 dγ і графічно знаходили (1) (1) 0 lim d ∞ →∞ γ = γ (розглядалися плівкові зразки товщиною d ≥ 70 нм). За даними про (1) ∞γ в подаль- шому визначали (1) (1) 2 1ρ∞ ∞γ = γ − μ − , а опісля – (1) (1) 1l∞ ρ∞η = γ − . Резуль- тати цих розрахунків також ілюструє табл. 4.1. Рисунки 4.3 та 4.4 ілюструють експериментальні та розрахунко- ві, на основі співвідношень (4.12) (для плівок Cu і Sc), залежності коефіцієнта повздовжньої тензочутливости від товщини. Видно, що краща узгодженість між експериментальними та теоретичними да- ними має місце при відносно великих товщинах. Для плівок Sc за- пропонований модель задовільно описує експериментальні резуль- тати у випадку, коли задається ( )1 ∞γ , а деформаційний коефіцієнт є підгінним параметром. У роботі [99] обговорюється питання про розмірну залежність деформаційного коефіцієнта середньої довжини вільного пробігу. Якщо підійти з цієї точки зору до апробації запропонованих спів- Рис. 4.3. Експериментальна (1) та розрахункові (2—4) залежності коефіцієнтів повздовжньої тензочутливости від товщини для плівок Sc: 2 – ( )1 0 γ = −1,44, ( )1 l η = −4,04; 3– ( )1 ∞γ = 0,3, ( )1 l η = −2,3;4– ( )1 0 γ = 0,3, ( )1 l η = −0,6 [20]. 504 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС відношень, то у кожному конкретному випадку можна досягти збі- гання експериментальних та розрахункових результатів. Напри- клад, для плівок Sc така відповідність у інтервалі товщин 30—250 нм має місце, якщо (1) l∞η змінюється від 0,23 до 0,91 ( (1) 0,3∞γ = ). Для плівкових зразків Cr при (1) 0l γ = 2,6 при зміні товщини від 40 до 195 нм величина деформаційного коефіцієнту середньої довжини віль- ного пробігу зростає від −9,7 до +13. ВИСНОВКИ Таким чином, розмірні залежності кінетичних коефіцієнтів, які характеризують електронний транспорт у багатошарових полікри- сталічних плівках, суттєво відрізняються від аналогічних залежно- стей для полікристалічних шарів металу, які входять до складу ба- гатошарової плівки. У слабкому магнетному полі, яке нормальне до інтерфейсів багатошарового провідника, внаслідок дифузного ха- рактеру взаємодії носіїв заряду з межами поділу шарів металу, пи- томий опір провідника немонотонним чином змінюється зі збіль- шенням товщини періоду мультишару. У сильному магнетному по- лі, питомий опір стає осцилівною функцією магнетного поля, яка носить досить складний характер, оскільки в осциляціях Зондґай- мера, які пов’язані з товщиною окремих шарів металу, виникають гармоніки, які пов’язані з товщиною елементу періодичности бага- тошарової плівки. За відсутности магнетного поля (статичні ефек- ти) при малих значеннях товщини d2 (d2/d1 << 1) числове значення транспортних коефіцієнтів БП визначається своїм значенням у «ба- зовому» шарі елементу періодичности БП. Зі збільшенням товщини бішару, так щоб його товщини були сумірні (d2 ≅ d1) нормована на Рис. 4.4. Експериментальна (1) та розрахункові (2—4) залежності коефіцієнтів повздовжньої тензочутливости від товщини для плівок Cu: 2 – ( )1 0 γ = 2,98, ( )1 l η = 0,28; 3– ( )1 ∞γ = 1,8, ( )1 l η = −0,9;4– ( )1 ∞γ = 2,98, ( )1 l η = 0,10 [20]. КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 505 повну товщину d = d1 + d2 величина кінетичних коефіцієнтів змен- шується, оскільки зі збільшенням d2 одночасно збільшується відно- сне число електронів, які розсіюються на інтерфейсі (їх довжина вільного пробігу порядку d2). При подальшому збільшенні товщини d2 кінетичні коефіцієнти монотонно збільшуються, і асимптотично прямуючи до об’ємного значення у шарі металу d2. Наведені в огляді результати теоретичних та експериментальних досліджень транспортних ефектів у багатошаровій полікристалічній плівці можна використати для одержання інформації щодо взаємодії носіїв заряду з інтерфейсами та межами зерен. Враховуючи форма- льну відповідність між багатошаровою та двошаровою плівками, вищезазначені точні та асимптотичні формули також можна засто- сувати для аналізи відповідних ефектів у двошаровій плівці. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. I. Stone, Phys. Rev., 6, No. 1: 1 (1898). 2. J. Patterson, Proc. Cambridge Phil. Soc., 11: 118 (1901). 3. J. J. Thomson, Proc. Cambridge Phil. Soc., 11: 120 (1901). 4. A. C. B. Lovell, Proc. Roy. Soc., A157: 311 (1936). 5. A. C. B. Lovell, Proc. Roy. Soc., A166: 270 (1938). 6. K. Fuchs, Cambridge Phil. Soc., A34, No. 1: 100 (1938). 7. M. S. P. Lucas, J. Appl. Phys., 36, No. 5: 1632 (1965). 8. H. J. Juretschke, J. Appl. Phys., 37, No.1: 435 (1966). 9. R. B. Dingle, Proc. Roy. Soc., A201, No. 1073: 545 (1950). 10. Э. В. Завитаев, А. А. Юшканов, ЖЭТФ, 130, вып. 5 (11): 887 (2006). 11. D. K. Mac-Donald and Sarginson, Proc. Roy. Soc., A201, No. 1073: 223 (1950). 12. E. Ditlefsen and J. Lothe, Phil. Mag., 14, No. 130: 759 (1966). 13. Э. В. Завитаев, А. А. Юшканов, ЖЭТФ, 129, вып. 5 (11): 938 (2006). 14. В. В. Бойко, А. П. Кащин, М. З. Максимов и др., Укр. физ. ж., 41, № 1: 63 (1996). 15. A. F. Mayadas and M. Shatzkes, Phys. Rev. B, 1, No. 4: 1382 (1970). 16. A. M. Ghodgaonkar and K. Ramani, Phys. Status Solidi A, 73, No. 1: K21 (1982). 17. О. А. Білоус, Л. В. Дехтярук, А. М. Чорноус, Металлофиз. новейшие тех- нол., 23, № 1: 43 (2001). 18. А. Г. Басов, Л. В. Дехтярук, Ю. О. Шкурдода, А. М. Чорноус, Ж. нано- та електронної фізики, 2, № 2: 6 (2010). 19. О. А. Білоус, Л. В. Дехтярук, С. І. Проценко, А. М. Чорноус, Вісник СумДУ. Сер. Фізика, математика, механіка, № 3 (24)—4 (25): 67 (2001). 20. Л. В. Дехтярук, Є. О. Забіла, С. І. Проценко, А. М. Чорноус, Металлофиз. новейшие технол., 26, № 10: 1333 (2004). 21. А. Г. Басов, Ю. О. Шкурдода, Л. В. Дехтярук, Наук. вісник Ужгород. у-ту. Сер. Фізика, 28: 14 (2010). 22. F. Warkusz, Electrocomponent Science and Technology, 5, No. 3: 197 (1978). 23. F. Warkusz, Progr. Surf. Sci., 10: 287 (1980). 24. F. Warkusz, Acta Phys. Pol., A54, No. 1: 31 (1978). 506 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС 25. C. R. Pichard, A. J. Tosser, and C. R. Tellier, J. Mater. Sci., 16, No. 4: 451 (1981). 26. C. R. Tellier and A. J. Tosser, Thin Solid Films, 70, No. 3: 234 (1980). 27. C. R. Tellier, C. R. Pichard, and A. J. Tosser, Thin Solid Films, 76, No. 2: 129 (1981). 28. C. R. Pichard, C. R. Tellier, and A. J. Tosser, Phys. Status Solidi A, 65, No. 1: 327 (1981). 29. C. R. Pichard, C. R. Tellier, and A. J. Tosser, J. Mater. Scien., 15, No. 9: 2236 (1980). 30. C. R. Tellier and A. J. Tosser, Size Effects in Thin Films (Amsterdam—Oxford— New York: ESPC: 1982). 31. C. R. Pichard, C. R. Tellier, and A. J. Tosser, Thin Solid Films, 62, No. 2: 189 (1979). 32. C. R. Tellier, C. R. Pichard, and F. J. Tosser, J. Mater. Sci., 16, No. 8: 2281 (1981). 33. Д. М. Фреїк, Я. П. Салій, М. Е. Калинюк, Укр. фіз. ж., 45, № 11: 1375 (2000). 34. R. L. Petritz, Phys. Rev., 116, No. 6: 1254 (1958). 35. M. S. P. Lucas, Appl. Phys. Lett., 4, No. 4: 73 (1964). 36. G. Bergmann, Phys. Rev. Lett., 41, No. 23: 1619 (1978). 37. G. Bergmann, Phys. Rev. B, 19, No. 8: 3933 (1979). 38. J. W. C. de Vries, Sol. State Commun., 65, No. 3: 201 (1988). 39. Ю. О. Шкурдода, В. Б. Лобода, Л. В. Дехтярук, Металлофиз. новейшие технол., 30, № 3: 295 (2008). 40. P. F. Carcia and A. Suna, J. Appl. Phys., 54, No. 4: 2000 (1983). 41. Metallic Superlattices. (Eds. T. Shinjo and T. Takada) (Elsevier Scientific Pub- lishing Company: 1987). 42. B. Y. Jin and J. B. Ketterson, Adv. Phys., 38, No. 3: 189 (1989). 43. V. Bezak, M. Kedro, and A. Pevala, Thin Solid Films, 23, No. 3: 305 (1974). 44. М. И. Каганов, В. Б. Фикс, ЖЭТФ, 73, вып. 2 (8): 753 (1977). 45. В. В. Устинов, ФММ, 49, вып. 1: 31 (1980). 46. Л. В. Дехтярук, І. Ю. Проценко, А. М. Чорноус, Успехи физ. мет., 8, № 1: 21 (2007). 47. R. Dimmich and F. Warkusz, Thin Solid Films, 109, No. 2: 103 (1983). 48. F. Khater, Acta Phys. Slov., 33, No. 1: 43 (1983). 49. M. El-Hiti and M. A. Ahmed, Phys. Status Solidi A, 114, No. 3: 185 (1989). 50. Л. В. Дехтярук, Ю. А. Колесниченко, Физ. низ. температур, 19, № 9: 1013 (1993). 51. Ю. А. Колесниченко, Низкотемпературные кинетические эффекты в не- однородных металлических системах (Автореферат диссертации … д-ра физ.-мат. н.; 01.04.07) (Харьков: Физико-технический институт низких температур НАН Украины: 1991). 52. А. М. Чорноус, Розмірні ефекти в електрофізичних властивостях нанок- ристалічних плівкових систем в умовах взаємної дифузії та фазоутворен- ня (Автореферат дисертації … д-ра фіз.-мат. н.; 01.04.07) (Суми: Сумський державний університет: 2006). 53. Л. В. Дехтярук, Електронні транспортні ефекти у багатошарових плів- кових системах (Автореферат дисертації … д-ра фіз.-мат. н.; 01.04.07) (Су- ми: Сумський державний університет: 2008). 54. С. І. Проценко, Вплив температурної і деформаційної залежності пара- КІНЕТИЧНІ РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ У БАГАТОШАРОВИХ ПЛІВКАХ 507 метрів електроперенесення на електрофізичні властивості багатошаро- вих плівок на основі Cr, Cu і Sc(Co) (Автореферат дисертації ... канд. фіз.- мат. н.; 01.04.07) (Харків: Харківський національний університет ім. В. Н. Каразіна: 2004). 55. А. В. Латышев, А. А. Юшканов, Физ. мет. металловед., 103, № 1: 26 (2007). 56. Chu-Xing Chen, Appl.Phys., A40, No. 1: 37 (1986). 57. F. Khater and A. Seoud, J. Appl. Phys., 64, No. 5: 2495 (1988). 58. Chu-Xing Chen, Appl. Phys., A42, No. 2: 145 (1987). 59. R. Dimmich, J. Phys. F: Met. Phys., 15: 2477(1985). 60. Л. В. Дехтярук, Ю. О. Колесніченко, Укр. фіз. ж., 42, № 9: 1094 (1997). 61. Е. А. Кравцов, В. И. Окулов, В. В. Устинов, Физ. мет. металловед., 77, вып. 1: 5 (1994). 62. E. H. Sondheimer, Phys. Rev., 80, No. 3: 401 (1950). 63. В. Л. Гуревич, ЖЭТФ, 35, вып. 3 (9): 668 (1958). 64. О. В. Кириченко, В. Г. Песчанский, С. Н. Савельева, ЖЭТФ, 67, вып. 4 (10): 1451 (1974). 65. В. Г. Песчанский, Физ. мет. металловед., 64, вып. 1: 5 (1987). 66. O. A. Panchenko, P. P. Lutsishin, and S. V. Sologub, Progr. Surf. Sci., 69, No. 7—8: 193 (2002). 67. О. А. Панченко, С. В. Сологуб, Физ. и химия тверд. тела, 4, № 1: 7 (2003). 68. Q. G. Zang, B. Y. Cao, X. Zang et al., Phys. Rev. B, 74, No. 13: 134109/1 (2006). 69. Q. G. Zang, X. Zang, B. Y. Cao et al., Appl. Phys. Lett., 89, No. 11: 114102/1 (2006). 70. C. Durkan and V. E. Welland, Phys. Rev. B, 61, No. 20: 14215 (2000). 71. Ю. А. Волков, Р. П. Волкова, Физ. тверд. тела, 37, вып. 12: 3687 (1995). 72. В. И. Верченко, В. И. Гришаев, Л. В. Дехтярук, Ю. А. Колесниченко, Т. Д. Шермергор, Физ. мет. металловед., 69, вып. 4: 102 (1990). 73. И. Е. Проценко, Изв. вузов. Физика, 31, № 6: 42 (1988). 74. L. V. Dekhtyaruk, Central Europ. J. Phys., 5, No. 1: 91 (2004). 75. Л. В. Дехтярук, Изв. вузов. Физика, 50, № 7: 26 (2007). 76. Л. В. Дехтярук, Вісник СумДУ. Сер. Фізика, математика, механіка, № 9 (93): 71 (2006). 77. Л. В. Дехтярук, Физ. и химия тверд. тела, 9, № 4: 749 (2006). 78. A. Chornous, L. Dekhtyaruk, M. Marszalek, and I. Protsenko, Cryst. Res. Tech- nol., 41, No. 4: 388 (2006). 79. L. V. Dekhtyaruk, S. I. Protsenko, A. M. Chornous, and I. O. Shpetnyi, Ukr. J. Phys., 49, No. 6: 587 (2004). 80. О. В. Кириченко, Ю. А. Колесниченко, Физ. низ. температур, 8, № 3: 276 (1982). 81. А. Найфе, Введение в методы возмущения (Москва: Мир: 1984). 82. A. B. Pippard, Proc. Roy. Soc., 224, No. 1157: 273 (1954). 83. Г. В. Самсонов, Физико-химические свойства элементов (Киев: Наукова дум- ка: 1965). 84. А. Г. Басов, А. О. Степаненко, А. М. Чорноус, Вісник СумДУ. Сер. Фізика, математика, механіка, № 8: 170 (2005). 85. Ю. М. Овчаренко, Н. М. Опанасюк, І. Ю. Проценко, А. М. Чорноус, Укр. фіз. ж., 42, № 7: 826 (1997). 86. І. Ю. Проценко, О. В. Шовкопляс, Ю. М. Овчаренко, А. М. Чорноус, Журнал фізичних досліджень, 2, № 1: 105 (1998). 508 А. Г. БАСОВ, Ю. О. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. М. ЧОРНОУС 87. В. Б. Лобода, И. Е. Проценко, М. Д. Смолин, Металлофизика, 5, № 5: 69 (1983). 88. E. I. Tochitskii and N. M. Belyvskii, Phys. Status Solidi A, 61, No. 1: K21 (1980). 89. К. Л. Чопра, Электрические явления в тонких пленках (Москва: Мир: 1972). 90. Л. В. Дехтярук, М. Маршалек, И. Е. Проценко, А. Н. Чорноус, Физ. инж. по- верхн., 2, № 1: 130 (2004). 91. Диаграммы состояния двойных металлических систем: в 2-х т. (Ред. Н. П. Лякишев) (Москва: Машиностроение: 1997). 92. И. Е. Проценко, А. Н. Чорноус, О. В. Шовкопляс, ВАНТ. Сер. Вакуум, чистые материалы, сверхпроводники, 2 (3)—3 (4): 102 (1998). 93. И. Е. Проценко, А. Н. Чорноус, В. А. Хворост, Тонкие пленки в оптике и электронике (Харьков: ННЦ ХФТИ: 2002). 94. С. І. Проценко, А. М. Чорноус, Металлофиз. новейшие технол., 25, № 5: 587 (2003). 95. Н. П. Клокова, Тензорезисторы (Москва: Машиностроение: 1990). 96. З. Г. Мейксин, Несплошные керментные пленки (Москва: Мир: 1978). 97. Д. В. Великодний, Т. М. Гричановська, Л. В. Однодворець та ін., Вісник Сум- ДУ. Сер. Фізика, математика, механіка, № 1: 5 (2007). 98. G. C. Kuczynski, Phys. Rev., 94, No. 1: 61 (1954). 99. A. М. Chornous, N. М. Opanasyuk, A. D. Pogrebnjak et al., Jpn. J. Appl. Phys., 39, No. 12В: L1320 (2000). 100. Є. О. Забіла, Л. В. Однодворець, C. І. Проценко та ін. Вісник СумДУ. Сер. Фі- зика, математика, механіка, № 8 (54): 71 (2003). 101. S. U. Jen, C. C. Yu, C. H. Liu et al., Thin Solid Films, 434: 316 (2003). 102. K. Rajanna and M. V. Nayak, Mat. Sci. Eng. B, 77: 288 (2000). 103. O. B. Lasyuchenko, I. Yu. Protsenko, and A. M. Chornous, Functional Materials, 6, № 5: 880 (1999).
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-98155
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1608-1021
language	Ukrainian
last_indexed	2025-11-25T20:48:21Z
publishDate	2010
publisher	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
record_format	dspace
spelling	Басов, А.Г. Шкурдода, Ю.О. Дехтярук, Л.В. Чорноус, А.М. 2016-04-09T13:22:24Z 2016-04-09T13:22:24Z 2010 Кінетичні розмірні ефекти у багатошарових плівках з полікристалічною структурою / А.Г. Басов, Ю.О. Шкурдода, Л.В. Дехтярук, А.М. Чорноус // Успехи физики металлов. — 2010. — Т. 11, № 4. — С. 461-508. — Бібліогр.: 103 назв. — укр. 1608-1021 PACS numbers: 68.55.jd, 68.65.Ac,72.10.Fk,72.15.Lh,73.40.Jn,73.50.Bk, 73.50.Jt https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/98155 В огляді систематизовано результати теоретичних та експериментальних досліджень транспортних розмірних ефектів у багатошарових плівках (БП) з полікристалічною структурою, кінетичні характеристики яких суттєво відрізняються від відповідних характеристик масивних металів і тонких металевих плівок. In a given review, the results of theoretical and experimental investigations of transport size effects in multilayer polycrystalline films (MLF), whose kinetic characteristics are appreciably differing from the characteristics of bulk metals and thin films forming these multilayers, are systemized. В обзоре систематизированы результаты теоретических и экспериментальных исследований транспортных размерных эффектов в многослойной пленке (МС) с поликристаллической структурой, кинетические характеристики которой существенно отличаются от соответствующих характеристик массивных металлов и тонких металлических пленок. uk Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України Успехи физики металлов Кінетичні розмірні ефекти у багатошарових плівках з полікристалічною структурою Kinetic Size Effects in Multilayer Films with a Poly-crystalline Structure Article published earlier
spellingShingle	Кінетичні розмірні ефекти у багатошарових плівках з полікристалічною структурою Басов, А.Г. Шкурдода, Ю.О. Дехтярук, Л.В. Чорноус, А.М.
title	Кінетичні розмірні ефекти у багатошарових плівках з полікристалічною структурою
title_alt	Kinetic Size Effects in Multilayer Films with a Poly-crystalline Structure
title_full	Кінетичні розмірні ефекти у багатошарових плівках з полікристалічною структурою
title_fullStr	Кінетичні розмірні ефекти у багатошарових плівках з полікристалічною структурою
title_full_unstemmed	Кінетичні розмірні ефекти у багатошарових плівках з полікристалічною структурою
title_short	Кінетичні розмірні ефекти у багатошарових плівках з полікристалічною структурою
title_sort	кінетичні розмірні ефекти у багатошарових плівках з полікристалічною структурою
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/98155
work_keys_str_mv	AT basovag kínetičnírozmírníefektiubagatošarovihplívkahzpolíkristalíčnoûstrukturoû AT škurdodaûo kínetičnírozmírníefektiubagatošarovihplívkahzpolíkristalíčnoûstrukturoû AT dehtâruklv kínetičnírozmírníefektiubagatošarovihplívkahzpolíkristalíčnoûstrukturoû AT čornousam kínetičnírozmírníefektiubagatošarovihplívkahzpolíkristalíčnoûstrukturoû AT basovag kineticsizeeffectsinmultilayerfilmswithapolycrystallinestructure AT škurdodaûo kineticsizeeffectsinmultilayerfilmswithapolycrystallinestructure AT dehtâruklv kineticsizeeffectsinmultilayerfilmswithapolycrystallinestructure AT čornousam kineticsizeeffectsinmultilayerfilmswithapolycrystallinestructure

Кінетичні розмірні ефекти у багатошарових плівках з полікристалічною структурою

Institution

Similar Items