Определение неоднородности упругих свойств пьезокерамического стержня в месте расположения диэлектрически отделенной части электродного покрытия методом низкочастотной томографии
Рассмотрена задача о продольных колебаниях пьезокерамического стержня с толщинной поляризацией. Механическая неоднородность материала стержня обусловлена тем, что от рабочего электродного покрытия диэлектрическими промежутками отделен определенный участок. Для случая, когда электроды на отделенном у...
Saved in:
| Date: | 2003 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2003
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/984 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Определение неоднородности упругих свойств пьезокерамического стержня в месте расположения диэлектрически отделенной части электродного покрытия методом низкочастотной томографии / В.Н. Никитенко, М.Е. Юрченко // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 3. — С. 53-59. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-984 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Никитенко, В.Н. Юрченко, М.Е. 2008-07-09T14:32:01Z 2008-07-09T14:32:01Z 2003 Определение неоднородности упругих свойств пьезокерамического стержня в месте расположения диэлектрически отделенной части электродного покрытия методом низкочастотной томографии / В.Н. Никитенко, М.Е. Юрченко // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 3. — С. 53-59. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/984 532.66:532.528 Рассмотрена задача о продольных колебаниях пьезокерамического стержня с толщинной поляризацией. Механическая неоднородность материала стержня обусловлена тем, что от рабочего электродного покрытия диэлектрическими промежутками отделен определенный участок. Для случая, когда электроды на отделенном участке разомкнуты, найдены собственные частоты колебаний стержня на первых нормальных модах. Согласно методу низкочастотной томографии восстановлены местоположение и приближенная форма неоднородности. Для реального пьезокерамического стержня экспериментально определены первые шесть резонансных частот как при сплошных, так и при отделенных электродах. Показано, что результаты экспериментальных исследований хорошо согласуются с расчетами. Розглянуто задачу про поздовжні коливання п'єзокерамічного стержня з товщинною поляризацією. Механічна неоднорідність матеріалу стержня обумовлена тим, що від робочого електродного покриття діелектричними проміжками відділено певну ділянку. Для випадку, коли електроди на відділеній ділянці розімкнені, для перших нормальних мод знайдені власні частоти коливань. Згідно з методом низькочастотної томографії відновлені місцезнаходження й наближена форма неоднорідності. Для реального п'єзокерамічного стержня експериментально визначені перші шість резонансних частот як при суцільних, так і при відділених електродах. Показано, що результати експериментальних досліджень добре узгоджуються з розрахунками. The problem on longitudinal fluctuations of a piezoceramic rod with the thickness polarization is considered. Mechanical inhomogeneity of the rod's material is caused due to separation of a certain part from its working electrode covering by dielectric intervals. For the case when the electrodes on the separated part are open the eigenfrequencies of rod's vibration on three lowest normal modes are found. According to the method of the low-frequency tomography the location and the approximate form of inhomogeneity are restored. For the real piezoceramic rod, the first six resonant frequencies are experimentally determined both at continuous and at separated electrodes. It is shown that the results of experimental study well agree with the calculations. ru Інститут гідромеханіки НАН України Определение неоднородности упругих свойств пьезокерамического стержня в месте расположения диэлектрически отделенной части электродного покрытия методом низкочастотной томографии Determination of inhomogeneity of elastic properties of a piezoceramic rod in location of dielectrically separated part of the electrode covering by the method of low-frequency tomography Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Определение неоднородности упругих свойств пьезокерамического стержня в месте расположения диэлектрически отделенной части электродного покрытия методом низкочастотной томографии |
| spellingShingle |
Определение неоднородности упругих свойств пьезокерамического стержня в месте расположения диэлектрически отделенной части электродного покрытия методом низкочастотной томографии Никитенко, В.Н. Юрченко, М.Е. |
| title_short |
Определение неоднородности упругих свойств пьезокерамического стержня в месте расположения диэлектрически отделенной части электродного покрытия методом низкочастотной томографии |
| title_full |
Определение неоднородности упругих свойств пьезокерамического стержня в месте расположения диэлектрически отделенной части электродного покрытия методом низкочастотной томографии |
| title_fullStr |
Определение неоднородности упругих свойств пьезокерамического стержня в месте расположения диэлектрически отделенной части электродного покрытия методом низкочастотной томографии |
| title_full_unstemmed |
Определение неоднородности упругих свойств пьезокерамического стержня в месте расположения диэлектрически отделенной части электродного покрытия методом низкочастотной томографии |
| title_sort |
определение неоднородности упругих свойств пьезокерамического стержня в месте расположения диэлектрически отделенной части электродного покрытия методом низкочастотной томографии |
| author |
Никитенко, В.Н. Юрченко, М.Е. |
| author_facet |
Никитенко, В.Н. Юрченко, М.Е. |
| publishDate |
2003 |
| language |
Russian |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Determination of inhomogeneity of elastic properties of a piezoceramic rod in location of dielectrically separated part of the electrode covering by the method of low-frequency tomography |
| description |
Рассмотрена задача о продольных колебаниях пьезокерамического стержня с толщинной поляризацией. Механическая неоднородность материала стержня обусловлена тем, что от рабочего электродного покрытия диэлектрическими промежутками отделен определенный участок. Для случая, когда электроды на отделенном участке разомкнуты, найдены собственные частоты колебаний стержня на первых нормальных модах. Согласно методу низкочастотной томографии восстановлены местоположение и приближенная форма неоднородности. Для реального пьезокерамического стержня экспериментально определены первые шесть резонансных частот как при сплошных, так и при отделенных электродах. Показано, что результаты экспериментальных исследований хорошо согласуются с расчетами.
Розглянуто задачу про поздовжні коливання п'єзокерамічного стержня з товщинною поляризацією. Механічна неоднорідність матеріалу стержня обумовлена тим, що від робочого електродного покриття діелектричними проміжками відділено певну ділянку. Для випадку, коли електроди на відділеній ділянці розімкнені, для перших нормальних мод знайдені власні частоти коливань. Згідно з методом низькочастотної томографії відновлені місцезнаходження й наближена форма неоднорідності. Для реального п'єзокерамічного стержня експериментально визначені перші шість резонансних частот як при суцільних, так і при відділених електродах. Показано, що результати експериментальних досліджень добре узгоджуються з розрахунками.
The problem on longitudinal fluctuations of a piezoceramic rod with the thickness polarization is considered. Mechanical inhomogeneity of the rod's material is caused due to separation of a certain part from its working electrode covering by dielectric intervals. For the case when the electrodes on the separated part are open the eigenfrequencies of rod's vibration on three lowest normal modes are found. According to the method of the low-frequency tomography the location and the approximate form of inhomogeneity are restored. For the real piezoceramic rod, the first six resonant frequencies are experimentally determined both at continuous and at separated electrodes. It is shown that the results of experimental study well agree with the calculations.
|
| issn |
1028-7507 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/984 |
| citation_txt |
Определение неоднородности упругих свойств пьезокерамического стержня в месте расположения диэлектрически отделенной части электродного покрытия методом низкочастотной томографии / В.Н. Никитенко, М.Е. Юрченко // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 3. — С. 53-59. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT nikitenkovn opredelenieneodnorodnostiuprugihsvoistvpʹezokeramičeskogosteržnâvmesteraspoloženiâdiélektričeskiotdelennoičastiélektrodnogopokrytiâmetodomnizkočastotnoitomografii AT ûrčenkome opredelenieneodnorodnostiuprugihsvoistvpʹezokeramičeskogosteržnâvmesteraspoloženiâdiélektričeskiotdelennoičastiélektrodnogopokrytiâmetodomnizkočastotnoitomografii AT nikitenkovn determinationofinhomogeneityofelasticpropertiesofapiezoceramicrodinlocationofdielectricallyseparatedpartoftheelectrodecoveringbythemethodoflowfrequencytomography AT ûrčenkome determinationofinhomogeneityofelasticpropertiesofapiezoceramicrodinlocationofdielectricallyseparatedpartoftheelectrodecoveringbythemethodoflowfrequencytomography |
| first_indexed |
2025-11-24T16:28:10Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:28:10Z |
| _version_ |
1850485796833853440 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 53 – 59
УДК 532.66:532.528
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ
ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ В МЕСТЕ
РАСПОЛОЖЕНИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИ ОТДЕЛЕННОЙ
ЧАСТИ ЭЛЕКТРОДНОГО ПОКРЫТИЯ МЕТОДОМ
НИЗКОЧАСТОТНОЙ ТОМОГРАФИИ
В. Н. Н И К И ТЕН К О, М. Е. ЮР Ч ЕН К О
Киевский университет имени Тараса Шевченко
Получено 11.09.2003
Рассмотрена задача о продольных колебаниях пьезокерамического стержня с толщинной поляризацией. Механиче-
ская неоднородность материала стержня обусловлена тем, что от рабочего электродного покрытия диэлектрически-
ми промежутками отделен определенный участок. Для случая, когда электроды на отделенном участке разомкнуты,
найдены собственные частоты колебаний стержня на первых нормальных модах. Согласно методу низкочастотной
томографии восстановлены местоположение и приближенная форма неоднородности. Для реального пьезокерами-
ческого стержня экспериментально определены первые шесть резонансных частот как при сплошных, так и при
отделенных электродах. Показано, что результаты экспериментальных исследований хорошо согласуются с расче-
тами.
Розглянуто задачу про поздовжнi коливання п’єзокерамiчного стержня з товщинною поляризацiєю. Механiчна нео-
днорiднiсть матерiалу стержня обумовлена тим, що вiд робочого електродного покриття дiелектричними промiжка-
ми вiддiлено певну дiлянку. Для випадку, коли електроди на вiддiленiй дiлянцi розiмкненi, для перших нормальних
мод знайденi власнi частоти коливань. Згiдно з методом низькочастотної томографiї вiдновленi мiсцезнаходження
й наближена форма неоднорiдностi. Для реального п’єзокерамiчного стержня експериментально визначенi першi
шiсть резонансних частот як при суцiльних, так i при вiддiлених електродах. Показано, що результати експеримен-
тальних дослiджень добре узгоджуються з розрахунками.
The problem on longitudinal fluctuations of a piezoceramic rod with the thickness polarization is considered. Mechanical
inhomogeneity of the rod’s material is caused due to separation of a certain part from its working electrode covering by
dielectric intervals. For the case when the electrodes on the separated part are open the eigenfrequencies of rod’s vibration
on three lowest normal modes are found. According to the method of the low-frequency tomography the location and the
approximate form of inhomogeneity are restored. For the real piezoceramic rod, the first six resonant frequencies are
experimentally determined both at continuous and at separated electrodes. It is shown that the results of experimental
study well agree with the calculations.
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что собственные (резонансные) ча-
стоты колебаний упругих тел полностью опреде-
ляются их геометрией и механическими свойства-
ми. В статьях [1, 2] показано, что если для такого
объекта теоретическим путем установлен полный
(бесконечный) набор собственных частот и соо-
тветствующих им нормальных мод, то появляется
возможность построить решение обратных крае-
вых задач теории колебаний. Следуя сложившейся
традиции, к обратным будем относить, в первую
очередь, задачи по определению геометрии тела с
известной плотностью и упругими свойствами при
условии известных (теоретически или эксперимен-
тально определенных) собственных частот колеба-
ний. Если же геометрию тела считать заданной,
то спектральные методики решения такой задачи
позволяют определить пространственное распре-
деление его физических свойств.
Методы решения обратных задач, относящихся
к классу некорректных, получили интенсивное ра-
звитие в последние 30 лет. Этому в значитель-
ной степени спсобствовало появление достаточно
мощных ЭВМ. Для задач, не являющихся кор-
ректными в классическом смысле, А. Н. Тихонов
предложил [3] новое понятие корректности, кото-
рое является физически оправданным для многих
прикладных моделей.
В работах известного математика М. Г. Крей-
на [4 –6] математически строго решена задача
об определении плотности неоднородной струны,
если известен ее полный спектр частот колебаний.
К сожалению, рассматриваемые автором методы
не распространялись на обратные задачи колеба-
ний упругих тел, т. е. на системы уравнений в част-
ных производных. Впервые в 1912 – 1913 гг. задачи
такого рода были рассмотрены Вейлем для урав-
нения Геймгольца. Позднее его исследования были
продолжены Гардингом [7].
Наиболее исчерпывающие результаты для
обратной задачи Штурма – Лиувилля получены
c© В. Н. Никитенко, М. Е. Юрченко, 2003 53
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 53 – 59
Рис. 1. Пьезокерамический стержень
с неоднородностью модуля упругости
в локальной области 2δ
И. М. Левитаном и И. М. Гельфандом [8], а также
Л. Д. Фаддеевым и В. А. Марченко для обратной
задачи квантовой теории рассеяния [9, 10].
Для уравнений в частных производных различ-
ные варианты решения обратной задачи рассеяния
рассматривались в статье [11], а задача об опре-
делении формы области по данным рассеяния –
в работах [12, 13]. Методы решения обратных за-
дач широко используются в астрофизике [14], де-
фектоскопии [15], акустическом зондировании ми-
рового океана [16].
Как отмечено в [1], для построения решения та-
ких задач необходимо иметь дополнительную ин-
формацию об объекте исследования, например, о
расположении неоднородности и ее приблизитель-
ных размерах. Задачи такого типа исследовались
в работах американских авторов [17, 18] с помо-
щью метода низкочастотной томографии. Анало-
гичный подход, состоящий в приближении функ-
ции смещений конечным количеством членов ря-
да Фурье, используется для определения неодно-
родности упругих свойств стержня и в данной ста-
тье. Следует, однако, отметить, что, в отличие
от [18], нам удалось определить начальные коэф-
фициенты ряда Фурье не только с четными, но и
с нечетными номерами.
Таким образом, в этой статье ограниченная
обратная задача теории колебаний исследуется на
примере задачи о продольных колебаниях пьезоке-
рамического стержня с толщинной поляризацией.
Механическая неоднородность материала стержня
моделируется путем разделения электродного по-
крытия боковых граней стержня диэлектрически-
ми промежутками. Возбуждение колебаний осу-
ществляется генератором электрического напря-
жения с разностью выходных потенциалов, изме-
няющейся по гармоническому закону. Аналитиче-
ское решение задачи построено для нулевых ме-
ханических граничных условий на торцах стер-
жня. В случае, когда электроды на отделенном
участке разомкнуты, для первых нормальных мод
найдены собственные частоты колебаний. Согла-
сно методу низкочастотной томографии, рассмо-
тренному ранее в [1,2], эти значения сопоставлены
со спектром продольных колебаний стержня без
дефекта. Приведены данные о местоположении и
приближенной форме неоднородности. Проведено
сравнение теоретических и экспериментальных ре-
зультатов.
1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПРОДОЛЬНЫХ
КОЛЕБАНИЯХ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО
СТЕРЖНЯ С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИ ОТДЕ-
ЛЕННОЙ ЧАСТЬЮ ЭЛЕКТРОДНОГО ПО-
КРЫТИЯ
Рассмотрим пьезокерамический стержень, дли-
на которого l много больше ширины b и толщины
2h. Участки стержня 1 и 3 (рис. 1) запитаны гене-
ратором напряжений с круговой частотой подвода
разности потенциалов ω:
ψ|x=±h = ±V0e
iωt. (1)
Механическая неоднородность материала стержня
обусловлена тем, что на участке 2 электродное по-
крытие отделено от остальной (рабочей) зоны ди-
электрическими промежутками.
Согласно прикладной теории стержней, един-
ственной компонентой напряжений, которую не-
обходимо учитывать в расчете, является σx(x, t).
Напряжения σy и σz малы по сравнению с σx и
ими будем пренебрегать:
σy, σz ≈ 0. (2)
С практической точки зрения это предположение
оправдано для тонких стержней (l>10b и l>10h)
при низких частотах колебаний.
Одномерные уравнения состояния пьезокерами-
ческого стержня с толщинной поляризацией име-
ют следующий вид [19]:
εx = SE
11σx + d31Ez,
Dz = εT
33Ez + d31σx,
(3)
где SE
11 – упругая податливость при постоянном
(нулевом) электрическом поле; d31 – пьезоэлектри-
ческая постоянная; εT
33 – диэлектрическая прони-
цаемость при постоянном (нулевом) напряжении;
Ez – компонента вектора напряженности электри-
ческого поля; Dz – компонента вектора электриче-
ской индукции.
54 В. Н. Никитенко, М. Е. Юрченко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 53 – 59
Соотношения (3) дополняем: уравнениями дви-
жения элемента стержня, которые формально бу-
дут одинаковыми для всех трех участков,
∂σ
(i)
x
∂x
− ρ
∂2u
(i)
x
∂t2
= 0; i = 1, 2, 3; (4)
уравнениями вынужденной электростатики
E(i)
z = −
∂ψ(i)
∂x
, i = 1, 2, 3; (5)
соотношением Коши
ε(i)x =
∂u
(i)
x
∂x
, i = 1, 2, 3. (6)
Для стержня с жестко заделанным левым тор-
цом x=0 и свободным правым торцом x= l грани-
чные условия имеют следующий вид:
u(1)
∣
∣
∣
x=0
= 0,
∂u(3)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=l
= 0. (7)
Для заданного равенством (1) условия измене-
ния электрического потенциала во времени реше-
ние (4) ищем как гармонически изменяющиеся во
времени функции:
ux =
_
u(x)eiωt,
εx =
_
ε (x)eiωt,
ψ =
_
ψ(x)eiωt.
(8)
В приближении прикладной теории электроу-
пругости потенциалы ψ(i) (i=1, 2, 3) изменяются
по толщине стержня по линейному закону. Поэто-
му для их амплитудных характеристик справедли-
во записать
_
E
(1)
z = −V0/h,
_
E
(2)
z = −V/h,
_
E
(3)
z = −V0/h.
(9)
При этом на диэлектрически отделенном участке
стержня 2 амплитудная разность потенциалов V
на данном этапе остается неизвестной постоянной.
Исходя из соотношений (3), (7), с учетом выра-
жений (8) для областей 1 – 3 получаем следующие
равенства для амплитуд механических напряже-
ний:
_
σ (1)
x =
1
SE
11
[
d
_
u (1)
x
dx
+ d31
V0
h
]
,
_
σ (2)
x =
1
SE
11
[
d
_
u
(2)
x
dx
+ d31
V
h
]
,
_
σ (3)
x =
1
SE
11
[
d
_
u
(3)
x
dx
+ d31
V0
h
]
.
(10)
На основании формул (7) и (10) уравнения для
нахождения амплитудной функции
_
u в каждой из
рассматриваемых областей стержня примут вид
d2 _
u (i)
x
dx2
+ λ2 _
u (i)
x = 0, i = 1, 2, 3, (11)
где ρSE
11 = 1/c2; ω/c=λ; c – скорость распростра-
нения упругой продольной волны в стержне.
Для определения функций
_
u (i)
x (i=1, 2, 3), кро-
ме записанных граничных условий (7), необходи-
мо использовать условия сопряжения решений для
участков стержня:
_
u (1)
x
∣
∣
∣
l/2−δ
=
_
u (2)
x
∣
∣
∣
l/2−δ
,
_
u (2)
x
∣
∣
∣
l/2+δ
=
_
u (3)
x
∣
∣
∣
l/2+δ
,
_
σ (1)
x
∣
∣
∣
l/2−δ
=
_
σ (2)
x
∣
∣
∣
l/2−δ
,
_
σ (2)
x
∣
∣
∣
l/2+δ
=
_
σ (3)
x
∣
∣
∣
l/2+δ
.
(12)
В дополнение к записанным равенствам (12) для
диэлектрически отделенного участка 2 необходимо
записать электрическое условие:
l/2+δ
∫
l/2−δ
_
D
(2)
z dx = 0. (13)
Решения уравнения (11) с учетом условий на ле-
вом торце стержня представляются через триго-
нометрические функции:
_
u (1)
x = A sinλx,
_
u (2)
x = B sinλx+C cosλx,
_
u (3)
x = D sinλx+ F cosλx.
(14)
Аналогично представляются и выражения для на-
пряжений.
В. Н. Никитенко, М. Е. Юрченко 55
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 53 – 59
Входящие в решение (14) пять постоянных ин-
тегрирования A, B, C, D, F находятся из условия
сопряжения решений (12) и нулевого гранично-
го условия для механических напряжений (7) при
x= l:
A sinλ
(
l
2
− δ
)
− B sinλ
(
l
2
− δ
)
−
−C cosλ
(
l
2
− δ
)
= 0,
A cos λ
(
l
2
− δ
)
−B cosλ
(
l
2
− δ
)
+
+C sinλ
(
l
2
− δ
)
= −
d31
λ
V0 − V
h
,
B sinλ
(
l
2
+ δ
)
+C cosλ
(
l
2
+ δ
)
−
−D sinλ
(
l
2
+ δ
)
− F cos λ
(
l
2
+ δ
)
= 0,
B cosλ
(
l
2
+ δ
)
− C sinλ
(
l
2
+ δ
)
−
−D cosλ
(
l
2
+ δ
)
+ F sinλ
(
l
2
+ δ
)
=
=
d31
λ
V0 − V
h
,
D cosλl − F sinλl = −
d31
λ
V0
h
.
(15)
Входящее в записанные выше уравнения значе-
ние выходного потенциала V/h можно получить,
используя дополнительное условие (13). Это при-
водит к равенству
V
h
=
V0
h
k2
31
1 − k2
31
1
∆ (λl)
sinλδ
λδ
×
×
cos λ (l− δ) − cosλ
l
2
cos λl
,
(16)
где k2
31 =d2
31/S
E
11ε
T
33 – продольный коэффициент
электромеханической связи;
∆ = cos λl+
k2
31
1 − k2
31
sinλl
λδ
cos λ (l− δ) . (17)
Решение системы алгебраических уравнений (15)
с использованием полученного соотношения (16)
имеет следующий вид:
A = −
d31
λ
V0
h
1
∆ (λl)
{
1 +
sinλδ
λδ
×
×
[
k2
31
1 − k2
31
cosλδ − 2 (λδ) sinλ
l
2
]}
,
B = −
d31
λ
V0
h
1
∆ (λl)
{
1 +
sinλδ
λδ
sinλ
l
2
×
×
[
k2
31
1 − k2
31
sinλ
(
l
2
− δ
)
− 2 (λδ)
]
−
− cosλδ cos λ
(
l
2
− δ
)}
,
C = −
d31
λ
V0
h
1
∆ (λl)
sinλδ
λδ
sinλ
(
l
2
− δ
)
×
×
[
k2
31
1 − k2
31
cosλ
l
2
+ (λδ) cos λδ
]
,
D = −
d31
λ
V0
h
1
∆ (λl)
{
1 +
sinλδ
λδ
×
×
[
k2
31
1 − k2
31
(cosλδ − sinλl sinλδ) −
− 2 (λδ) sinλ
l
2
(1 + cos λl)
]}
,
F = 2
d31
λ
V0
h
sinλδ cos λ
l
2
∆ (λl)
×
×
[
(λδ) cosλl +
k2
31
1 − k2
31
cosλ
l
2
sinλδ
]
.
(18)
Приравнивая ∆(λl) к нулю, получаем трансцен-
дентное уравнение для нахождения резонансных
частот:
cos z +
k2
31
1 − k2
31
sin zδ̄
zδ̄
cos
[
z
(
1 − δ̄
)]
= 0, (19)
где z=λl; δ̄=δ/l.
При δ̄=0 получаем известное частотное уравне-
ние для продольных колебаний стержня со спло-
шными электродами
cos z = 0. (20)
Таким образом,
(λl)m(спл.) = zm(спл.) =
(
m+
1
2
)
π,
m = 0, 1, 2, . . .
(21)
Корни уравнения (19) (табл. 1) находились чи-
сленно для материала стержня ЦТБС-3 (δ̄=0.15,
56 В. Н. Никитенко, М. Е. Юрченко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 53 – 59
k2
31=0.1042). Там же для сравнения приведены
значения (λl)m(спл.) , найденные в соответствии с
уравнением (21).
2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА. МЕТОД НИЗКОЧА-
СТОТНОЙ ТОМОГРАФИИ
Используя полученные в работе [1] результаты
по выявлению дефектов неоднородности материа-
ла стержня, на основании метода низкочастотной
томографии представим приближенно неодноро-
дность отрезком ряда Фурье в следующем виде:
SE
11(x)
SE
11(0)
=
1, 0 ≤ x < x0 − δ,
1 + ε(x), x0 − δ ≤ x ≤ x0 + δ,
1, x0 + δ < x ≤ l.
(22)
Здесь
ε(x) = 1 +
N
∑
n=0
bn cos
(
n+
1
2
)
πx
l
;
bn – неизвестные пока коэффициенты ряда Фурье.
Как показано в [1], рассматриваемую задачу при
исследовании ее методом низкочастотной томогра-
фии можно свести к восстановлению неодноро-
дности путем сопоставления частотных спектров
колебаний пьезокерамического стержня при спло-
шном и разделенном его электродном покрытии.
В результате проведенного экспериментально-
го исследования для пьезокерамического стержня
длиной 10 см, толщиной 0.2 см и шириной 1 см,
изготовленного из материала ЦТБС-3, удалось
определить первые шесть резонансных частот в
случаях отделенных (δ̄=0.15) и сплошных эле-
ктродов. Эти данные представлены в табл. 2. Со-
поставляя найденные частотные спектры, на осно-
вании теоретических выкладок, аналогичных про-
деланным в [1], получаем систему алгебраических
уравнений для нахождения неизвестных коэффи-
циентов ряда Фурье bn:
(z)2m(отдел.) − (z)2m(спл.) =
=
(
m+
1
2
)2
1
2π
N
∑
n=0
′(−1)nbnαmn+
+
(−1)m
2π
(
m+
1
2
) K
∑
k=0
′(−1)k×
×
[
(
k +
1
2
) N
∑
n=0
′(−1)nbnγ
(k)
mn
]
;
m = 0, 2, 3, . . . , 5, N = 5,
n = 0, 2, 3, . . . , 5, K = 5, k = 0, 2, . . . , 5.
(23)
Табл. 1. Собственные частоты продольных колебаний
неоднородного пьезокерамического стержня
m Zm(отдел.) Zm(спл.)
1 1.59492 1.57079
2 4.77595 4.71239
3 7.93379 7.85398
4 11.06408 10.99557
5 14.17681 14.13717
6 17.29093 17.27876
7 20.42058 20.42035
8 23.56663 23.56194
9 26.71983 26.70354
10 29.86911 29.84513
11 33.00858 32.98672
12 36.14057 36.12832
13 39.27276 39.26991
14 42.41161 42.41150
15 45.55762 45.55301
16 48.70598 48.69469
17 51.85084 51.83628
18 54.98972 54.97787
19 58.12501 58.11946
20 61.26173 61.26106
Табл. 2. Собственные частоты колебаний
неоднородного пьезокерамического стержня,
измеренные экспериментальным путем
m Zm(отдел.) Z
(спл.)
m
1 1.58903 1.57079
2 4.73322 4.68981
3 7.79580 7.74109
4 10.63869 10.61698
5 13.88188 13.86972
6 14.40144 15.37192
Здесь введены следующие обозначения:
αmn =
2
n+ 1/2
−
1
n+ 2m+ 3/2
−
−
1
n− 2m− 1/2
;
γ(k)
mn =
1
n−m+ k + 1/2
+
1
n+m− k + 1/2
−
−
1
m+ k + n+ 3/2
−
1
n−m− k − 1/2
;
γ
(k)
mn = αmn при k = m.
(24)
Штрих при сумме означает, что в ней пропущен
член с номером k=m.
В. Н. Никитенко, М. Е. Юрченко 57
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 53 – 59
Рис. 2. Томографическое восстановление
неоднородности
Как показано в [1, 2], значения коэффициентов
разложения с достаточной точностью вычисляю-
тся при использовании упрощенных уравнений ди-
агонального вида вместо полной алгебраической
системы (23):
(z)2m(отдел.) − (z)2m(спл.) =
=
(
m+
1
2
)2
1
2π
N
∑
n=0
(−1)nbnαmn.
(25)
На рис. 2 изображено томографическое восста-
новление неоднородности с учетом коэффициен-
тов разложения bn, полученных из системы (25).
Заметим, что определенные методом низкочасто-
тной томографии местоположение и величина де-
фекта хорошо согласуются с истинными параме-
трами искусственно созданной в эксперименте не-
донородности упругих свойств пьезостержня.
ВЫВОДЫ
1. Как пример ограниченной обратной краевой
задачи теории колебаний приведено решение
задачи о продольных колебаниях пьезокера-
мического стержня с толщинной поляризаци-
ей. Механическая неоднородность материала
стержня обусловлена отделением определен-
ного участка электродного покрытия стержня
от рабочей зоны покрытия, запитанной эле-
ктрогенератором.
2. Для нескольких первых нормальных мод
определены собственные частоты колебаний
рассматриваемого стержня с нулевыми меха-
ническими граничными условиями.
3. Найденные частотные спектры сопоставлены
со спектром продольных колебаний пьезоке-
рамического стержня, имеющего сплошные
электроды.
4. Для реального пьезокерамического стержня
определенных параметров, выполненного из
материала ЦТБС-3, удалось эксперименталь-
ным путем определить шесть резонансных ча-
стот для случаев сплошных и разделенных
электродов.
5. Согласно методу низкочастотной томогра-
фии, восстановлена информация о местора-
сположении и приближенной форме неодно-
родности.
6. Результаты экспериментальных измерений с
высокой точностью совпали с теоретическими
расчетами (см. табл. 1). Это дает основание
утверждать, что методы низкочастотной то-
мографии позволяют определять местополо-
жение и характер неоднородности их упругих
свойств в случае, когда известны несколько
первых нормальных мод колебаний.
1. Юрченко М. Є. Резонансний метод визначення ло-
кальної неоднорiдностi пружних властивостей при
повздовжнiх та згинних коливаннях стержня //
Акуст. вiсн.– 2002.– 5, N 4.– С. 51–60.
2. Юрченко М. Є. Резонансний метод визначення
локальної неоднорiдностi пружних властивостей
стержня // Вiсн. Київ. ун-ту. Фiз.-мат. н.– 2001.–
N 3.– С. 152–161.
3. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения
некорректных задач.– М.: Наука, 1986.– 287 с.
4. Крейн М. Г. О некоторых случаях эффективного
определения плотности неоднородной струны по
ее спектральной функции // Докл. АН СССР.–
1953.– N 4.– С. 617–620.
5. Крейн М. Г. Об обратных задачах для неодноро-
дной струны // Докл. АН СССР.– 1952.– N 5.–
С. 364–369.
6. Крейн М. Г. Решение обратной задачи Штурма –
Лиувилля // Докл. АН СССР.– 1951.– N 1.– С. 21–
24.
7. Garding L. Kungh // Fisiografiska Sällskapet i Lund
Förhandlingar.– Lund Univ., 1954.– P. 21–24.
8. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении
дифференциального уравнения по его спектраль-
ной функции // Изв. АН СССР. Сер. матем.–
1951.– 15, N 4.– С. 345–354.
9. Марченко В. А. Операторы Штурма –Лиувилля и
их приложения.– Киев: Наук. думка, 1978.– 332 с.
10. Фаддеев Л. Д. Обратная задача квантовой теории
рассеяния // Усп. матем. наук.– 1959.– 14, N 4.–
С. 57–119.
58 В. Н. Никитенко, М. Е. Юрченко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 53 – 59
11. Ватульян А. О. Математические модели и обра-
тные задачи // Сорос. образоват. ж.– 1998.– N 11.–
С. 143–148.
12. Ниордсен Ф. Относительно обращения проблемы
собственных чисел для задачи о колебаниях пла-
стин // Проблемы механики твердого деформиро-
ванного тела.– Л.: Судостроение, 1970.– С. 287–
294.
13. Романов В. Г. О численном методе решения одной
обратной задачи для гиперболического уравне-
ния // Сибир. матем. ж.– 1996.– N 3.– С. 633–655.
14. Черепащук А. М., Гончарский А. В., Ягола А. Г.
Некорректные задачи астрофизики.– М.: Наука,
1985.– 247 с.
15. Ильинский Н. Б. Обратные краевые задачи и
их приложения // Сорос. образоват. ж.– 1997.–
N 4.– С. 105–110.
16. Потетюнко Э. Н., Черкесов Л. В., Шубин Д.С.,
Щербак Е. Н. Свободные колебания и обратные
спектральные задачи.– М.: Вузов. книга, 2001.–
288 с.
17. Testardi L. R., Norton S. J. Acoustic dimensi-
onal resonance tomography: some exampples in one-
dimensional system // J. Appl. Phys.– 1986.– 96,
N 1.– P. 55–58.
18. Testardi L. R., Norton S. J., Hsich T. Dimensional
resonance tomography // J. Appl. Phys.– 1984.– 56,
N 2.– P. 68–81.
19. Жарий О. Ю., Улитко А. Ф. Введение в механику
нестационарных колебаний и волн.– Киев: Выща
школа, 1989.– 183 с.
В. Н. Никитенко, М. Е. Юрченко 59
|