Представление потенциала от точечных источников для однородной изотропной среды в виде интегралов Бесселя—Меллина

Представление потенциала от точечных источников для однородной изотропной среды в виде интегралов Бесселя—Меллина

Запропоновано метод виведення формул для зображення потенціалів хвильових полів різних типів у вигляді інтегралів Бесселя—Меліна. Потенціали, що розглядаються, сформовано точковими джерелами типу сили або моменту сил в однорідному ізотропному необмеженому середовищі....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2013
Hauptverfasser: Роганов, Ю.В., Пак, Р.М.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України 2013
Schriftenreihe:Геофизический журнал
Schlagworte:
Научные сообщения
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/98689
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Представление потенциала от точечных источников для однородной изотропной среды в виде интегралов Бесселя—Меллина / Ю.В. Роганов, Р.М. Пак // Геофизический журнал. — 2013. — Т. 35, № 2. — С. 163-167. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-98689
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-986892025-02-09T09:58:35Z Представление потенциала от точечных источников для однородной изотропной среды в виде интегралов Бесселя—Меллина Зображення потенціалу від точкових джерел для однорідного ізотропного середовища у вигляді інтегралів Бесселя—Мелліна Representation of potentials of point sources for the homogeneous isotropic medium as be Bessel—Mellin integrals Роганов, Ю.В. Пак, Р.М. Научные сообщения Запропоновано метод виведення формул для зображення потенціалів хвильових полів різних типів у вигляді інтегралів Бесселя—Меліна. Потенціали, що розглядаються, сформовано точковими джерелами типу сили або моменту сил в однорідному ізотропному необмеженому середовищі. A method for derivation of formulas for representation of potentials of wave fields of different types as integrals Bessel—Mellin is offered. Considered potentials are formed by point sources of type of force or the moment of forces in homogeneous isotropic unbounded medium. Предлагается метод вывода формул для представления потенциалов волновых полей разных типов в виде интегралов Бесселя-Меллина. Рассматриваемые потенциалы формируются точечными источниками типа силы или моменту сил в однородном изотропном безграничном пространстве. 2013 Article Представление потенциала от точечных источников для однородной изотропной среды в виде интегралов Бесселя—Меллина / Ю.В. Роганов, Р.М. Пак // Геофизический журнал. — 2013. — Т. 35, № 2. — С. 163-167. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0203-3100 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/98689 550.834 ru Геофизический журнал application/pdf Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Научные сообщения
Научные сообщения
spellingShingle Научные сообщения
Научные сообщения
Роганов, Ю.В.
Пак, Р.М.
Представление потенциала от точечных источников для однородной изотропной среды в виде интегралов Бесселя—Меллина
Геофизический журнал
description Запропоновано метод виведення формул для зображення потенціалів хвильових полів різних типів у вигляді інтегралів Бесселя—Меліна. Потенціали, що розглядаються, сформовано точковими джерелами типу сили або моменту сил в однорідному ізотропному необмеженому середовищі.
format Article
author Роганов, Ю.В.
Пак, Р.М.
author_facet Роганов, Ю.В.
Пак, Р.М.
author_sort Роганов, Ю.В.
title Представление потенциала от точечных источников для однородной изотропной среды в виде интегралов Бесселя—Меллина
title_short Представление потенциала от точечных источников для однородной изотропной среды в виде интегралов Бесселя—Меллина
title_full Представление потенциала от точечных источников для однородной изотропной среды в виде интегралов Бесселя—Меллина
title_fullStr Представление потенциала от точечных источников для однородной изотропной среды в виде интегралов Бесселя—Меллина
title_full_unstemmed Представление потенциала от точечных источников для однородной изотропной среды в виде интегралов Бесселя—Меллина
title_sort представление потенциала от точечных источников для однородной изотропной среды в виде интегралов бесселя—меллина
publisher Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
publishDate 2013
topic_facet Научные сообщения
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/98689
citation_txt Представление потенциала от точечных источников для однородной изотропной среды в виде интегралов Бесселя—Меллина / Ю.В. Роганов, Р.М. Пак // Геофизический журнал. — 2013. — Т. 35, № 2. — С. 163-167. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series Геофизический журнал
work_keys_str_mv AT roganovûv predstavleniepotencialaottočečnyhistočnikovdlâodnorodnojizotropnojsredyvvideintegralovbesselâmellina
AT pakrm predstavleniepotencialaottočečnyhistočnikovdlâodnorodnojizotropnojsredyvvideintegralovbesselâmellina
AT roganovûv zobražennâpotencíaluvídtočkovihdžereldlâodnorídnogoízotropnogoseredoviŝauviglâdííntegralívbesselâmellína
AT pakrm zobražennâpotencíaluvídtočkovihdžereldlâodnorídnogoízotropnogoseredoviŝauviglâdííntegralívbesselâmellína
AT roganovûv representationofpotentialsofpointsourcesforthehomogeneousisotropicmediumasbebesselmellinintegrals
AT pakrm representationofpotentialsofpointsourcesforthehomogeneousisotropicmediumasbebesselmellinintegrals
first_indexed 2025-11-25T15:28:44Z
last_indexed 2025-11-25T15:28:44Z
_version_ 1849776702242160640
fulltext ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛОВ ОТ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ ДЛЯ ОДНОРОДНОЙ ... Геофизический журнал № 2, Т. 35, 2013 163 Введение. В теории распространения уп- ругих волн потенциалы используются для расщепления векторных дифференциальных уравнений на скалярные, которые решить значительно проще исходных. После опре- деления потенциалов, функция Грина для исходного уравнения восстанавливается вы- числением градиента и ротора. Потенциалы удобно применять в методе Хаскелла—Том- сона [Hasskell, 1953] для моделирования вол- новых полей, однако в этом случае они долж- ны быть представлены в области волновых чисел. Непосредственное преобразование формул Стокса для потенциалов [Аки, Ри- чардс, 1983] в спектральную область вызы- вает затруднения, обусловленные наличием изменяющихся в пространстве областей ин- тегрирования. В связи с этим в работе [Пак, 2004] выведены формулы для представления потенциалов волновых полей разных типов в однородных изотропных средах от точечных источников типа силы и момента силы. Про- должая эти исследования, предлагается более простой и удобный метод вывода формул для потенциалов волновых полей разных типов от точечных источников различного вида в одно- родном изотропном пространстве. Потенциалы ϕ и ψ для продольных и поперечных волн в однородной изотроп- ной среде от источника точечной силы f(t)δ(x) определяются соотношениями [Аки, Ричардс, 1983] УДК 550.834 Представление потенциалов от точечных источников для однородной изотропной среды в виде интегралов Бесселя—Меллина © Ю. В. Роганов1, Р. М. Пак2, 2013 1Украинский государственный геологоразведочный институт, Киев, Украина 2Карпатское отделение Института геофизики НАН Украины, Львов, Украина Поступила 14 мая 2012 г. Представлено членом редколлегии Ю. К. Тяпкиным Запропоновано метод виведення формул для зображення потенціалів хвильових полів різних типів у вигляді інтегралів Бесселя—Меліна. Потенціали, що розглядаються, сформо- вано точковими джерелами типу сили або моменту сил в однорідному ізотропному необме- женому середовищі. A method for derivation of formulas for representation of potentials of wave fields of different types as integrals Bessel—Mellin is offered. Considered potentials are formed by point sources of type of force or the moment of forces in homogeneous isotropic unbounded medium. ( ) / 0 1 1 4 PR v t d R f , (1) ( ) / 0 1 1 4 SR v t d R f , (2) где vP и vS — скорости продольных и попереч- ных волн, x=(x, y, z)T, ( )( ) ( ), ( ), ( ) T x y zt f t f t f tf , R x и f(t)=0 при t<0. Выбор нижнего предела в интегралах (1) и (2) условный. Число 0 может быть заменено на любое другое, не зависящее от x, без изме- нения полного поля смещений u . (3) В дальнейшем нижний предел примем рав- ным t и будем пользоваться соотношениями ( ) / 1 1 4 P t R v t d R f , (4) ( ) / 1 1 4 S t R v t d R f . (5) Определим векторы lP и lS по формуле ( ) 2 , 2 1 , 1 0 0 1 t P S P Sd R v d R l f (6) и докажем, что 1 4 Pl , (7) Ю. В. РОГАНОВ, Р. М. ПАК 164 Геофизический журнал № 2, Т. 35, 2013 1 4 Sl . (8) Действительно, изменяя порядок интегри- рования в уравнении (6), получим ( ) 1 1 1 2 0 1 / t t P PR v d d R l f ( ) ( )1 1 1 0 1 / t Pt R v d R f ( ) ( ) / 1 / P t P R v R v t d R f . Учитывая, что 2(1/ ) /R R R , находим дивергенцию lP: ( ) / 1 P t P PR v R t d R v l f ( ) ( ) / 1 P t P R v R t d Rv f ( ) / 1 P t R v t d R f . Это доказывает справедливость формулы (7). Аналогично доказывается формула (8). Использование соотношений (7) и (8) по- зволяет представить потенциалы для точеч- ной силы в виде преобразований Бесселя— Меллина. Для этого воспользуемся разложе- нием функции ( )exp / /sR v R по функциям Бесселя [Лебедев, 1963]: ( )exp /sR v R ( )2 2 2 0 2 2 2 0 exp / J ( ) / z k s v k kr dk k s v , (9) где R2=r2+z2 и s,r>0, а также представлением функции f(t–R/v)/R в виде интеграла Меллина. Обозначим через ( )( ) , , T x y zs F F FF изображе- ние функции f(t). Тогда ( )1 /t R v R f ( )1 1( ) exp / 2 i i s st sR v ds i R F . (10) Подставляя (9) в (10) и выполняя замену пере- менных s=kη в двойном интеграле, получаем ( )1 /t R v R f ( ) ( ) 0 0 exp1 J ( ) 2 i i k t z k kr dk k d i F , (11) где 2 21 v . Выполняя двукратное инте- грирование по t и используя формулу (6), на- ходим ( ) ( ),0, 2 ,0 expJ ( ) 2 i P SP S P Si k t zkr dk k d i k l F , (12) где 2 2 , ,1P S P Sv . Представим потенциалы в виде интегра- лов Бесселя—Меллина. Для этого восполь- зуемся формулами (7), (8), (12), а также соот- ношениями ( ) ( )0 1J Jkr r k kr , ( )1J kr r ( ) ( )0 1J Jk kr kr r , cos sinr x yF F F , Fϕ= sin cosx yF F . С целью сокращения вы- ражений для потенциалов введем преобразо- вание ( )Y Y : ( ) 0 1( ) exp 4 2 i i dkY Y Y kt d i . (13) Из соотношения (12) следует ( ) ( )0 ,, 2 , J exp 4 ( )P SP S P S kr z k k k l F . (14) Поэтому 1 4 Pl ( ) ( ) ( )1 l l l 4 P P P r zr r r r z ( ) ( )1 2 J exp P r P kr k z F ( ) ( )0 2 sgn( ) J exp P zz kr k z F , (15) где z z z z z z > Из соотношения / / 1 1 / / / 4 4 l l l r z S S S S r z r r r z r e e e I следует ( )ll1 4 SS z r r r z ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛОВ ОТ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ ДЛЯ ОДНОРОДНОЙ ... Геофизический журнал № 2, Т. 35, 2013 165 ( ) ( )0 2 sgn( ) J exp Sz kr k z F , (16) l l1 4 S S r z z r ( ) ( )0 2 sgn( ) J exp S rz kr k z F ( ) ( )1 2 J exp S z S kr k z F , (17) ( )l l1 4 S S r z r r r ( ) ( )1 2 J exp S S kr k z F . (18) Найдем скалярные потенциалы и для SV- и SH-волн соответственно в виде интегра- лов Фурье—Бесселя. Для этого разложим век- торный потенциал в сумму ( ) ( )0,0, 0,0, , (19) где — некоторая, пока неизвестная функ- ция. Из соотношения (19) следует справедли- вость системы уравнений 1 rr r , (20) 1 r r , (21) zz . (22) К уравнению (20), умноженному на r и про- дифференцированному по r, прибавим урав- нение (21), продифференцированное по ϕ: ( ) 2 rr r r ( ) ( )1 2 sgn( ) J exp Sr z k kr k z F , (23) где 2 2 2 2 2 2 r r r r — двумер- ный оператор Лапласа в горизонтальной пло- скости. Поскольку функция J1(kr)Fϕ является собственной для этого оператора с собствен- ным числом –k2, т. е. Δ2(J1(kr)Fϕ)=–k2J1(kr)Fϕ, то уравнение (23) имеет решение ( ) ( )1 2 sgn( ) J exp Sz kr k z F k . (24) Аналогично находим ( ) 2 r r r r ( ) ( )1 2 sgn( ) J exp S rr z k kr k z F ( ) ( )0 2 J exp S z S rk kr k z F . (25) Поскольку, J1(kr)Fr и J0(kr)Fz также являют- ся собственными функциями для оператора Δ2 с собственным числом –k2, то уравнение (25) имеет решение ( ) ( )1 2 sgn( ) J exp S rz kr k z F k ( ) ( )0 2 J exp S z S kr k z F k . (26) Значение потенциала получим из урав- нения (22) ( ) ( ) 2 1 2 J exp (1 )S S z S kr k z F z . (27) Вычислим скалярные потенциалы , , для точечного момента сил mij, i, j=x, y, z. Вы- числения удобно выполнять в цилиндри- ческой системе координат. Обозначим apq (p,q=r, ϕ, z) физические координаты тензора mij в цилиндрической системе. Они определя- ются по формулам 2 2= cos +2sin cos +sinrr xx xy yya m m m , (28) ( ) = = sin cos +r r yy xxa a m m ( )2 2+ cos sin xym , (29) cos sinrz zr xz yza a m m , (30) 2 2= sin 2sin cos +cosxx xy yya m m m , (31) = = sin +cosz z xz yza a m m , (32) = zz zza m . (33) Функция Грина для момента сил получа- ется из функции Грина Gij(ξm, xn) для простой силы дифференцированием по координатам источника ∂Gij(ξm, xn)/∂ξm. Для однородной среды функция Грина зависит только от раз- ностей координат xm–ξm. Поэтому для источ- Ю. В. РОГАНОВ, Р. М. ПАК 166 Геофизический журнал № 2, Т. 35, 2013 ника в начале системы координат функция Грина равна –∂Gij(0, xm)/∂xm. Следовательно, скалярный потенциал для момента сил мож- но найти, если выбрать ковектор, с которым сворачивается вектор силы в формуле для потенциала от источника типа простой силы. Затем изменить его знак и продифференци- ровать по пространственным координатам, а полученный тензор ранга два свернуть с тен- зором момента сил. В декартовой системе ко- ординат это приводит к длинным выражени- ям. Дифференцирование можно выполнить в цилиндрической системе координат. Однако при этом необходимо перейти от физических координат ковектора к ковариантным, найти ковариантные производные и опять вернуть- ся к физическим координатам. В цилиндри- ческой системе координат при переходе от физических координат к ковариантным ком- понентам ϕ компонента вектора умножается на r, а остальные компоненты вектора не из- меняются. Ковариантные производные ко- вектора Tk в криволинейной системе коорди- нат находятся по формуле qk n k nk q n T T T x  , где q nk — символы Кристоффеля. В цилин- дрической системе координат отличными от нуля являются только символы Кристоффеля 1 22 r и 2 2 12 21 1/ r , где координаты про- нумерованы в следующем порядке: 1Xr, 2Xϕ, 3Xz. Определим потенциал продольной волны . Физические и ковариантные координаты ковектора, сворачиваемого с силой в формуле (15), одинаковы и определяются по формулам ( ) ( )1 2 J exp P r P kr k z T , 0T , ( ) ( ) ( )0 2 sgn J exp P z z kr k z T . (34) Отличными от нуля являются следующие ковариантные компоненты производных: 11 qr r r r q T TT T r r ( ) ( )( ) ( )0 1 2 J J exp P P kr kr kr k z r , (35) 31 qr r z r q T TT T z z ( ) ( ) ( )1 2 sgn J exp Pz k kr k z , (36) 1 22 22 q q r T T T T ( ) ( )1 2 J exp P r P r kr k z rT , (37) 13 qz z r z q T TT T r r ( ) ( ) ( )1 2 sgn J exp Pz k kr k z , (38) 33 qz z z z q T TT T z z ( ) ( )0 2 J expP Pk kr k z . (39) Все отличные от нуля физические коорди- наты этого тензора совпадают с ковариант- ными, кроме координаты ϕTϕ, которая равна ( ) ( )1 2 2 J exp P P T kr k z r r . Итак, искомый по- тенциал описывается формулой ( )r r rr z r r z rzT a T T a 2 z z zzT a r T a ( ) ( )( ) ( )0 1 2 J J exp P rr P kr kr kr k z a r ( ) ( )1 2 2sgn( ) J exp P rz z k kr k z a ( ) ( )1 2 J exp P P kr k z a r ( ) ( )0 2 J expP P zz k kr k z a . (40) Аналогично определим потенциал попе- речной SV-волны . Физические и ковари- антные координаты ковектора, сворачивае- мого с силой в формуле (26), совпадают между собой и равны ( ) ( )1 2 sgn( ) J exp S r z kr k z U k , 0U , ( ) ( )0 2 J exp S z S kr k z U k . (41) Отличными от нуля являются следующие ковариантные компоненты производных: 11 qr r r r q U UU U r r ( ) ( )( ) ( )0 1 2 sgn( ) J J exp Sz kr kr kr k z kr , (42) ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛОВ ОТ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ ДЛЯ ОДНОРОДНОЙ ... Геофизический журнал № 2, Т. 35, 2013 167 31 qr r z r q U UU U z z ( ) ( )1 2 J expS Skr k z , (43) 1 22 22 q q r U U U U ( ) ( )1 2 sgn( ) J exp S r r z kr k z rU k , (44) 13 qz z r z q U UU U r r ( ) ( )1 2 J exp S S kr k z , (45) 33 qz z z z q U UU U z z ( ) ( )0 2 sgn( ) J exp Sz kr k z . (46) Все отличные от нуля физические коорди- наты этого тензора совпадают с ковариант- ными, кроме координаты ϕTϕ, которая равна ( ) ( )1 2 2 sgn( ) J exp Sz kr k zU r rk . Итак, искомый потенциал описывается фор- мулой ( )r r rr z r r z rzU a U U a 2/ z z zzU a r U a ( ) ( )( ) ( )0 1 2 sgn( ) J J exp S rr z kr kr kr k z a kr ( ) ( ) ( )2 1 2 1 J expS S rz S kr k z a ( ) ( )1 2 sgn( ) J exp Sz kr k z a rk ( ) ( )0 2 sgn( ) J exp S zz z kr k z a . (47) Наконец, найдем потенциал поперечной SH-волны . Ковариантные координаты ко- вектора, сворачиваемого с вектором силы в формуле (27), есть 0rW , ( ) ( )2 1 2 (1 ) J expS S S r kr k z W , 0zW . (48) Отличными от нуля являются следующие ковариантные компоненты производных 21 qr r q WW W ( ) ( )2 12 21 2 (1 ) J expS S S kr k z W , (49) 2 12r W W W r ( ) ( )( ) ( )2 0 1 2 (1 ) J J expS S S kr kr kr k z . (50) 32 q z q W W W W z z ( ) ( )2 1 2 sgn( )(1 ) J expS Srk z kr k z . (51) Отличными от нуля физическими компо- нентами этого тензора есть /rW r , /rW r и /zW r . Следовательно, искомый потенциал описывается формулой ( )r r r z zW W a r W a r ( ) ( )( ) ( )2 0 1 2 (1 ) J 2 J expS S r S kr kr kr k z a r ( ) ( )2 1 2 sgn( )(1 ) J expS S z z kr k z a . (52) Выводы. Предлагается метод вывода фор- мул для представления потенциалов волновых полей разных типов (P-, SV-, SH-) в виде инте- гралов Бесселя—Меллина. Рассматриваемые потенциалы формируются точечными источ- никами типа силы или момента сил в однород- ном изотропном безграничном пространстве. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология. — Москва: Мир, 1983. — Т. 1. — 519 с. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их прило- жения (2-е изд.). — Москва—Ленинград: Физ- матгиз, 1963. — 359 с. Пак Р. М. Хвильове поле в однорідному середовищі Список литературы для джерела у вигляді одинарної сили або подвійної пари сил // Геоінформатика. — 2004. — № 1. — С. 36—44. Hasskell N. A. The dispersion of surface waves on multilayered media // Bull. Seismol. Soc. Amer. — 1953. — 43, № 1. — P. 17—34.

Ähnliche Einträge