Простые модели усталостной повреждаемости гетерогенных материалов с очень сложной динамикой
Исследованы чувствительные к наложенной деформации объемные и пленочные варианты
 гетерогенных сред (ГС) на основе теллуридов висмута-сурьмы, селенидов свинца а также
 карбонильного железа. Изучен характер необратимого изменения эффективных параметров
 ГС в условиях наложения...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физическая инженерия поверхности |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Науковий фізико-технологічний центр МОН та НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/98786 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Простые модели усталостной повреждаемости гетерогенных материалов с очень сложной динамикой / С.Х. Шамирзаев, К.Э. Онаркулов, Д.А. Юсупова, Э.Д. Мухамедиев // Физическая инженерия поверхности. — 2006. — Т. 4, № 1-2. — С. 91–96. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860013722847674368 |
|---|---|
| author | Шамирзаев, С.Х. Онаркулов, К.Э. Юсупова, Д.А. Мухамедиев, Э.Д. |
| author_facet | Шамирзаев, С.Х. Онаркулов, К.Э. Юсупова, Д.А. Мухамедиев, Э.Д. |
| citation_txt | Простые модели усталостной повреждаемости гетерогенных материалов с очень сложной динамикой / С.Х. Шамирзаев, К.Э. Онаркулов, Д.А. Юсупова, Э.Д. Мухамедиев // Физическая инженерия поверхности. — 2006. — Т. 4, № 1-2. — С. 91–96. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физическая инженерия поверхности |
| description | Исследованы чувствительные к наложенной деформации объемные и пленочные варианты
гетерогенных сред (ГС) на основе теллуридов висмута-сурьмы, селенидов свинца а также
карбонильного железа. Изучен характер необратимого изменения эффективных параметров
ГС в условиях наложения случайного спектра деформации. Реакция ГС в условиях наложения
случайного спектра деформации изучена путем периодических наблюдений за изменением
его эффективного электрического сопротивления (R). Рассчитаны реакции ГС на произвольные
последовательности регулярных операторов нагружения. Проведено сопоставление с экспериментальными данными.
Досліджено чуттєві до накладеної деформації
об’ємні і плівкові варіанти гетерогенних середовищ (ГС) на основі телуридів вісмуту-сурми,
селенідів свинцю а також карбонільного заліза.
Вивчено характер необоротної зміни ефективних
параметрів ГС в умовах накладення випадкового
спектра деформації. Реакція ГС в умовах накладення випадкового спектра деформації вивчена
шляхом періодичних спостережень за зміною
його ефективного електричного опору (R). Розраховано реакції ГС на довільні послідовності регулярних операторів навантаження. Проведено
зіставлення з експериментальними даними.
Sensitive to imposed deformation volumetric and
film of variants of heterogeneous environments (HE)
on a basis telluride of vismut-antimony selenide-leaden
and also ñarbonic of iron are investigated. The
character of irreversible change of effective
parameters of HE in conditions of imposing of a
casual spectrum of deformation is investigated. The
reaction of HE in conditions of imposing of a casual
spectrum of deformation is investigated by periodic
supervision over change its effective electrical
resistance (R). The reactions of HE on any sequences
of the regular operators of loading are calculated.
The comparison to experimental data is carried out.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:43:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ô²Ï ÔÈÏ PSE, 2006, ò. 4, ¹ 1-2, vol. 4, No. 1-2 91
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ðàáîòå [1] ðàññìîòðåí ðåàëüíûé êîíñòðóê-
öèîííûé ìàòåðèàë (ÊÌ) èìåþùèé çàïóòàí-
íûé ìåõàíè÷åñêèé ïîòåíöèàëüíûé ðåëüåô. Â
òàêîì ÊÌ èìåþòñÿ ïàðû òî÷åê (ðàâíîâåñíûå
òî÷êè) îáëàäàþùèõ îäèíàêîâûì ïîòåíöèà-
ëîì. Èõ ïðîñòðàíñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäå-
ëåíèÿ fn(x, y, z) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ïîë-
íûì îðòîíîðìèðîâàííûì ðÿäîì ôóíêöèé
{ϕn, 1}, êîòîðûå ïîä÷èíÿþòñÿ ïðåîáðàçîâà-
íèþ ïåêàðÿ (B). Ïîñëå íàëîæåíèÿ ñïåêòðà íà-
ãðóçîê, èçáðàííûå ðàâíîâåñíûå òî÷êè ìèãðè-
ðóþò â ïðîñòðàíñòâå ÊÌ. Èõ ïðîñòðàíñòâåí-
íàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ fν òàêæå ïîä÷è-
íÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ ïåêàðÿ (B). Ýòî äàëî
âîçìîæíîñòü íàéòè îáùèé çàêîí, óïðàâëÿþ-
ùèé ìèãðàöèåé êîìïëåêñà äåôåêòîâ. Ìèã-
ðàöèÿ äåôåêòîâ â ðàáîòå [1] óâÿçàíà ñ çàâè-
ñèìîñòüþ ýôôåêòèâíîãî âíóòðåííåãî òðåíèÿ
1−
nQ ÊÌ îò ÷èñëà n – íàëîæåííûõ öèêëîâ, à â
ðàáîòå [2] ñ çàâèñèìîñòüþ òàêæå îò n ýôôåê-
òèâíîãî èìïåäàíñà Zn = ReZn + j⋅ImZn
(ReZn(ω= 0) = Rn) ïîëóïðîâîäíèêîâîãî ÷óâ-
ñòâèòåëüíîãî ýëåìåíòà (Ï×Ý), æåñòêî óñòàíî-
âëåííîãî íà ÊÌ. Ïðè÷åì, êàê äëÿ 1−
nQ òàê è
äëÿ Zn âïåðâûå óñòàíîâëåíû è ïîäòâåðæäåíû
ýêñ-ïåðèìåíòàëüíî ñëåäóþùèå
ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ:
( ) nnnnn GHQHQ ⋅−+⋅= −−
+ 111
1 , (1)
Zn +1 = Bn⋅Zn + (1 – Bn)⋅Mn. (2)
Çäåñü Hn, Gn è Bn, Mn – òåõíîëîãè÷åñêèå ïà-
ðàìåòðû ÊÌ è Ï×Ý.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîêàçàíî, ÷òî ðåêóð-
ðåíòíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ Rn– ìîæåò áûòü
ñâåäåíî ê ëîãèñòè÷åñêîìó óðàâíåíèþ, îïèñû-
âàþùåìó ïîòîêè êîìïëåêñà äåôåêòîâ,
ôîðìèðóþùèõ ýôôåêòèâíîå ýëåêòðè÷åñêîå
ñîïðîòèâëåíèå Ï×Ý – Rn. Ýòî âïåðâûå äàåò
âîçìîæíîñòü òåîðåòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ
ïðîöåññà óñòàëîñòíîé ïîâðåæäàåìîñòè
ãåòåðîãåííûõ ìàòåðèàëîâ, è âûÿâèòü ãðàíèöû
òåõíîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, ñâÿçàííûõ ñ
ïðîöåññîì óñòàëîñòíîé ïîâðåæäàåìîñòè.
ÏÐÎÂÎÄÈÌÎÑÒÜ ÃÅÒÅÐÎÃÅÍÍÛÕ
ÑÐÅÄ Â ÓÑËÎÂÈßÕ ÍÀËÎÆÅÍÈß
ÍÅÎÁÐÀÒÈÌÎÉ ÑËÓ×ÀÉÍÎÉ
ÄÅÔÎÐÌÀÖÈÈ
Íèæå êðàòêî ïðåäñòàâëåíû ïîëó÷åííûå èç
àíàëèçà ïðîâåäåííûõ íàìè ýêñïåðèìåíòîâ
îñîáåííîñòè íåîáðàòèìîãî èçìåíåíèÿ ýôôåê-
òèâíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ – Rn
ãåòåðîãåííîé ñðåäû (ÃÑ) â óñëîâèÿõ íàëîæå-
íèÿ ñëó÷àéíîãî ñïåêòðà äåôîðìàöèè.
Îáúåêòû èññëåäîâàíèÿ – îáúåìíûå è ïëå-
íî÷íûå âàðèàíòû ÃÑ íà îñíîâå òåëëóðèäîâ
âèñìóòà-ñóðüìû, ñåëåíèäîâ ñâèíöà à òàêæå
êàðáîíèëüíîãî æåëåçà ñ îáúåìíûìè ñîäåðæà-
íèÿìè, îáåñïå÷èâàþùèìè âûñîêóþ ÷óâñòâè-
òåëüíîñòü ÃÑ ê íàëîæåííîé äåôîðìàöèè.
ÓÄÊ 621.315.529
ÏÐÎÑÒÛÅ ÌÎÄÅËÈ ÓÑÒÀËÎÑÒÍÎÉ ÏÎÂÐÅÆÄÀÅÌÎÑÒÈ
ÃÅÒÅÐÎÃÅÍÍÛÕ ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ Ñ Î×ÅÍÜ ÑËÎÆÍÎÉ ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ
Ñ.Õ. Øàìèðçàåâ*, Ê.Ý. Îíàðêóëîâ**, Ä.À. Þñóïîâà**, Ý.Ä.Ìóõàìåäèåâ*
*Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò ÀÍ ÐÓç (Òàøêåíò)
**Ôåðãàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Óçáåêèñòàí
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 12.06.2006
Èññëåäîâàíû ÷óâñòâèòåëüíûå ê íàëîæåííîé äåôîðìàöèè îáúåìíûå è ïëåíî÷íûå âàðèàíòû
ãåòåðîãåííûõ ñðåä (ÃÑ) íà îñíîâå òåëëóðèäîâ âèñìóòà-ñóðüìû, ñåëåíèäîâ ñâèíöà à òàêæå
êàðáîíèëüíîãî æåëåçà. Èçó÷åí õàðàêòåð íåîáðàòèìîãî èçìåíåíèÿ ýôôåêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ
ÃÑ â óñëîâèÿõ íàëîæåíèÿ ñëó÷àéíîãî ñïåêòðà äåôîðìàöèè. Ðåàêöèÿ ÃÑ â óñëîâèÿõ íàëîæåíèÿ
ñëó÷àéíîãî ñïåêòðà äåôîðìàöèè èçó÷åíà ïóòåì ïåðèîäè÷åñêèõ íàáëþäåíèé çà èçìåíåíèåì
åãî ýôôåêòèâíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ (R). Ðàññ÷èòàíû ðåàêöèè ÃÑ íà ïðîèçâîëüíûå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðåãóëÿðíûõ îïåðàòîðîâ íàãðóæåíèÿ. Ïðîâåäåíî ñîïîñòàâëåíèå ñ ýêñ-
ïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè.
Ô²Ï ÔÈÏ PSE, 2006, ò. 4, ¹ 1-2, vol. 4, No. 1-292
Ìåòîäèêà èññëåäîâàíèÿ. Ðåàêöèÿ ÃÑ â
óñëîâèÿõ íàëîæåíèÿ ñëó÷àéíîãî ñïåêòðà äå-
ôîðìàöèè èçó÷åíà ïóòåì ñèñòåìàòè÷åñêèõ
íàáëþäåíèé çà èçìåíåíèåì åãî ýôôåêòèâíîãî
ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ – Rn. Òî åñòü,
èññëåäóþòñÿ, èçìåðåííûå ÷åðåç ðàâíîå ÷èñëî
(n) öèêëîâ, ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çíà÷åíèé Rn
ÃÑ â óñëîâèÿõ íàëîæåíèÿ ñïåêòðà ïðîñòûõ è
ñëîæíûõ (õàîòè÷åñêèõ) äåôîðìàöèé. Ýòà ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü {R(0), R(n), R(2n), …. ,
R(k⋅n); k – ïðîèçâîëüíîå öåëîå ÷èñëî} íî-
ñèò ñëåäû âñåõ äðóãèõ ïåðåìåííûõ, ó÷àñò-
âóþùèõ â ôîðìèðîâàíèè äèíàìèêè ÃÑ.
ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÉ
Ïðîñòûå è ñëîæíûå ðåæèìû íàãðóæåíèÿ
ïðèâîäÿò ê ðàçíîé ðåàêöèè ÃÑ. Ýêñïåðèìåí-
òàëüíî ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ïðîñòûõ ðåæèìîâ
R[(k + 1)⋅n]-îå çíà÷åíèå ñîïðîòèâëåíèÿ ÃÑ
ëèíåéíî ñâÿçàíî ñ åãî ïðåäûäóùèì çíà÷å-
íèåì – R[k⋅n]:
R[(k + 1)⋅n] = b⋅R[k⋅n] + (1 – b)⋅M =
= Q(n, b, M)⋅R[k⋅n]. (3)
Çäåñü Q(n, b, M) – ëèíåéíûé îïåðàòîð íà-
ãðóæåíèÿ ïåðåâîäÿùèé R(k⋅n) â R[(k + 1)⋅n],
b è M – êîíñòàíòû, çàâèñÿùèå îò àìïëèòóäû
è ñòåïåíè àñèììåòðèè íàëîæåííûõ ðåãóëÿð-
íûõ öèêëîâ äåôîðìàöèè. L-êðàòíîå ïðèìå-
íåíèå îïåðàòîðà Q ïåðåâîäèò R(k⋅n) â
R[(k + L)⋅n].
Äëÿ äâóõ ðàçíûõ îïåðàòîðîâ íàãðóæåíèÿ
Q(n1, b1, M1) è Q(n2, b2, M2) ïðèâåäåíû óñëî-
âèÿ èõ êîììóòàòèâíîñòè. Ðàññ÷èòàíû ðåàê-
öèè ÃÑ íà ðàçëè÷íûå ñèòóàöèè íàãðóæåíèÿ:
ïðîèçâîëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðåãóëÿð-
íûõ (íî îòëè÷àþùèõñÿ ïàðàìåòðàìè íàãðó-
æåíèÿ) îïåðàòîðîâ; îïåðàòîð ìàòåìàòè-
÷åñêîãî îæèäàíèÿ; Ìàðêîâñêèå öåïè äëÿ
îïåðàòîðîâ íàãðóæåíèÿ ÃÑ. Íèæå ïðîâåäåíî
ñîïîñòàâëåíèå ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàí-
íûìè.
Ýëåêòðîôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà è ýôôåêòèâ-
íûå ïàðàìåòðû ïðåññîâàííîé ñìåñè ïîðîø-
êîâ, ðàçíûõ, òåõíîëîãè÷åñêè ñîâìåñòèìûõ
ìàòåðèàëîâ, çàâèñÿò îò ïàðàìåòðîâ êîìïî-
íåíò ñìåñè è õàðàêòåðà ôîðìèðóåìîé ìèêðî
íåîäíîðîäíîñòè. Ïðè íàëîæåíèè öèêëè÷åñ-
êîé ìåõàíè÷åñêîé äåôîðìàöèè â òàêîì ÃÑ
ìîæåò ïðîèñõîäèòü ïðîöåññ íàêîïëåíèÿ
ðàññåÿííûõ ïî âñåìó îáúåìó ìèêðîïîâ-
ðåæäåíèé. Íà íåêîòîðîé ñòàäèè íàêîïëåíèÿ
ìèêðîïîâðåæäåíèé ïðîèñõîäèò çàìåòíîå
èçìåíåíèå ñîïðîòèâëåíèÿ ãåòåðîãåííîãî
ìàòåðèàëà (ÃÌ). Íà ýòîé æå èëè îòëè÷íûõ
ñòàäèÿõ ìåíÿþòñÿ è äðóãèå åãî ïàðàìåòðû, â
÷àñòíîñòè âåëè÷èíû ýôôåêòèâíûõ òåðìîýäñ
èëè èìïåäàíñà.
Îñíîâíûìè ïðè÷èíàìè íåîáðàòèìûõ èç-
ìåíåíèé ýôôåêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ãðàíó-
ëèðîâàííûõ, ïðåññîâàííûõ ïîëóïðîâîäíè-
êîâûõ ñìåñåé ÿâëÿþòñÿ ïëàñòè÷åñêàÿ äåôîð-
ìàöèÿ ãðàíóë è ìåæãðàíóëüíûõ îáëàñòåé.
Ìèêðîïîâðåæäåíèÿ â ÃÌ âîçíèêàþò íåïðå-
ðûâíî â òå÷åíèè âñåãî ïðîöåññà äåôîðìèðî-
âàíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, íàáëþäàÿ çà èçìå-
íåíèåì ñîïðîòèâëåíèÿ (èëè äðóãîãî ëåãêî èç-
ìåðÿåìîãî ôèçè÷åñêîãî ïàðàìåòðà) ìîæíî óñ-
òàíîâèòü îñîáåííîñòè íàêîïëåíèÿ ìèêðî-
ïîâðåæäåíèé (õàðàêòåðíûõ äëÿ èçìåðÿåìîãî
ïàðàìåòðà) ïðè íàëîæåíèè ïðîèçâîëüíîãî
ñïåêòðà äåôîðìàöèé.
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÃÑ
ÂÐÅÌÅÍÍÎÉ
ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÜÞ ÅÅ
ÝÔÔÅÊÒÈÂÍÛÕ
ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈÉ
Ðàññìîòðèì ÃÑ, íàõîäÿùóþñÿ â óñòàíîâèâ-
øåìñÿ ðåæèìå. Áóäåì ðåãèñòðèðîâàòü èçìå-
íåíèå åå ñîïðîòèâëåíèÿ ÷åðåç ðàâíîå ÷èñëî
öèêëîâ n – íàëîæåííîé äåôîðìàöèè: R(N),
R(N + n), R(N + 2n), … . N – ïðîèçâîëüíîå
÷èñëî ïðåäâàðèòåëüíî íàëîæåííûõ íà ÃÑ
öèêëîâ äåôîðìàöèè. Äîïóñòèì, ÷òî äèíàìèêà
ðàññìàòðèâàåìîé ÃÑ ýôôåêòèâíî îïèñûâàåò-
ñÿ âñåãî îäíîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé. Òî-
ãäà íà ïëîñêîñòè R(Nj), R(Nj + 1) âñå òî÷êè ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè R(N1), R(N2), R(N3), …,
áóäóò ëîæèòüñÿ íà ïðÿìóþ
R[Nj + 1] = à⋅R[Nj] + Ñ (4)
j – ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê, â êîòîðûõ ïðî-
âåäåíû çàìåðû ñîïðîòèâëåíèé; à è Ñ – êîí-
ñòàíòû, õàðàêòåðèçóþùèå ïðÿìóþ (4).
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà äèíà-
ìèêà ÃÑ îïèñûâàåòñÿ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè
ïåðåìåííûìè.  ýòîì ñëó÷àå òî÷êè Nj óæå
íå ëîæàòñÿ íà ïðÿìóþ ëèíèþ, à áóäóò ñëîæ-
ÏÐÎÑÒÛÅ ÌÎÄÅËÈ ÓÑÒÀËÎÑÒÍÎÉ ÏÎÂÐÅÆÄÀÅÌÎÑÒÈ ÃÅÒÅÐÎÃÅÍÍÛÕ ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ Ñ Î×ÅÍÜ ÑËÎÆÍÎÉ ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ
Ô²Ï ÔÈÏ PSE, 2006, ò. 4, ¹ 1-2, vol. 4, No. 1-2 93
íûì îáðàçîì ðàçáðîñàíû ïî ïëîñêîñòè R(Nj),
R(Nj + 1). Òî åñòü, òåïåðü R(Nj + 1) ìîæåò îä-
íîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî äâóìÿ ïðå-
äûäóùèìè çíà÷åíèÿìè R(Nj) è R(Nj – 1). Èíû-
ìè ñëîâàìè, åñëè ðàçìåðíîñòü äèíàìè÷åñêîé
ñèñòåìû ðàâíà k, òî âåëè÷èíà R(Nj + 1) îêà-
çûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíî çàâèñèìîé îò R(Nj),
R(Nj – 1), R(Nj – 2), R(Nj – 3), …., R(Nj – k), k –øòóê
ïðåäøåñòâóþùèõ çíà÷åíèé èçìåðÿåìîé
ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû.
Íà ðèñ. 1 è ðèñ.2 ïðåäñòàâëåíû ýêñïåðè-
ìåíòàëüíûå çàâèñèìîñòè R(Nj + 1) îò R(Nj) äëÿ
ïðîñòûõ è ñëîæíûõ ðåæèìîâ íàãðóæåíèÿ ÃÑ.
Ïàðàìåòðû à è Ñ çàâèñÿò îò âåëè÷èíû è õà-
ðàêòåðà íàëîæåííûõ íàïðÿæåíèé, à òàêæå îò
òåõíîëîãèè èçãîòîâëåíèÿ ïëåíî÷íûõ ÃÑ. Â
ñëó÷àå ñëîæíûõ ðåæèìîâ íàãðóæåíèÿ âèäíî,
÷òî ïàðàìåòðû à è Ñ ìåíÿþòñÿ. Òî åñòü, ñ èç-
ìåíåíèåì ñòðóêòóðû ÃÑ õàðàêòåð ìèãðàöèè
äåôåêòîâ òàêæå ìåíÿåòñÿ.
Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü R(Nj+1)=f(R(Nj)) äëÿ ïðîñòîãî ðå-
æèìà íàãðóæåíèÿ. Ïî ýòèì ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàí-
íûì íàõîäÿò êîíñòàíòû b è M, âõîäÿùèå â ôîðìóëó (3).
Ðèñ. 2. Òî÷å÷íîå îòîáðàæåíèå äëÿ ñëîæíîãî ðåæèìà
íàãðóæåíèÿ. Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ êðèâîé R(Nj+1) =
= f(R(Nj)) ñ ïðÿìîé R(Nj) = f(R(Nj)) ÿâëÿþòñÿ ïðå-
äåëüíûìè òî÷êàìè îïåðàòîðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ
“ñîáûòèÿì”.
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòè R(N) äëÿ ñèììåòðè÷íîãî ðåæèìà
íàãðóæåíèÿ σýêâ= 17 êÃ/ìì2.
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòè R(N) äëÿ îòíóëåâîãî ðåæèìà íàã-
ðóæåíèÿ σýêâ= 17 êÃ/ìì2.
Ñ.Õ. ØÀÌÈÐÇÀÅÂ, Ê.Ý. ÎÍÀÐÊÓËÎÂ, Ä.À. ÞÑÓÏÎÂÀ, Ý.Ä.ÌÓÕÀÌÅÄÈÅÂ
Ô²Ï ÔÈÏ PSE, 2006, ò. 4, ¹ 1-2, vol. 4, No. 1-294
Íà ðèñ. 3 è ðèñ. 4 ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè
R(N) äëÿ ñèììåòðè÷íîãî è îò íóëåâîãî ðå-
æèìîâ íàãðóæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîìó
è òîìó æå ýêâèâàëåíòíîìó íàïðÿæåíèþ –
17 êÃ/ìì2.
Íà ðèñ. 5 è ðèñ. 6 â ïëîñêîñòè R(Nj + 1),
R(Nj) ïîñòðîåíû ãðàôèêè äëÿ ýòèõ æå ýêñïå-
ðèìåíòàëüíûõ äàííûõ.
Ôîðìóëà (4) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â
âèäå:
Rj + 1 = b⋅Rj + (1 – b)⋅M = Q(j, b, M)⋅Rj, (5)
ãäå b è M – êîíñòàíòû â ñëó÷àå ïðîñòûõ ðå-
æèìîâ íàãðóæåíèÿ; j – íîìåð ñîáûòèÿ: îíî
ñîñòîèò â òîì, ÷òî íà ÃÑ íàëîæåíî î÷åðåäíûõ
m öèêëîâ äåôîðìàöèè, ïîñëå ÷åãî ïðîâîäèòñÿ
èçìåðåíèå åå ñîïðîòèâëåíèÿ.
Äëÿ ÃÑ ñ ôèêñèðîâàííîé íà÷àëüíîé ñòðóê-
òóðîé è ôèêñèðîâàííûìè ïàðàìåòðàìè íà-
ãðóæåíèÿ êîýôôèöèåíòû b è M ìîãóò áûòü
îïðåäåëåíû èç ñèñòåìû óðàâíåíèé, ïîñòðîåí-
íîé c èñïîëüçîâàíèåì ýêñïåðèìåíòàëüíûõ
äàííûõ:
[ ] [ ] ( ) MbNRbR
N
j
j
N
j
j ⋅−⋅+⋅= ∑∑
==
+ 1
00
1 , (6)
N – ÷èñëî çàìåðîâ, â ïðåäåëàõ êîòîðûõ b è M
íå ìåíÿþòñÿ.
Íà ðèñ. 3 è ðèñ. 4 ïðèâåäåíû ýêñïåðèìåí-
òàëüíî íàéäåííûå çàâèñèìîñòè b(N), êîòî-
ðûå
[ ] [ ] ( ) [ ]∑∑∑
===
+ ⋅⋅−+⋅=⋅
N
j
j
N
j
j
N
j
jj RMbRbRR
00
2
0
1 1 (7)
ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå:
b(N) = 1 – C⋅(R(N) – R0 )/R0. (8)
Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äâóõ èäåíòè÷íûõ
ñîáûòèé, ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî âû÷èñëèòü
ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ îïåðàòîðà Q(m, b, M):
Rj + 2 = Q⋅Rj + 1 = Q×(Q⋅Rj) = Q2⋅Rj =
= b2⋅Rj + (1 – b2)⋅M. (9)
Ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîå äåéñòâèå N –
øòóê îïåðàòîðîâ Q äàåò:
R(N) = QN⋅R0 = b(N)⋅R0 + (1 – b(N))⋅M. (10)
 ýòîé ñèòóàöèè, åñëè êîýôôèöèåíò b < 1, òî
ïðè N → ∞, R(N) → M. Òî åñòü, òî÷êà Ì ÿâëÿ-
åòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé îïåðàòîðà Q. Äðó-
ãèìè ñëîâàìè, ïîñëåäîâàòåëüíîå äåéñòâèå
èäåíòè÷íûõ îïåðàòîðîâ Q íà íà÷àëüíîå çíà-
÷åíèå R0 ïðè N → ∞ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî
ñîïðîòèâëåíèå ÃÑ ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì âå-
ëè÷èíå Ì.
Äëÿ ñëîæíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
íàãðóæåíèÿ (ñîáûòèé) îïåðàòîðó Q ñëåäóåò
ïðèñâîèòü èíäåêñ. Íàïðèìåð, Q1 = Q(m1) èëè
Q2 = Q(m2). Òî åñòü, Q1 îïèñûâàåò ñîáûòèå,
ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî íà ÃÑ íàëîæåíî m1 –
öèêëîâ äåôîðìàöèè, ïîñëå ÷åãî ôèêñèðóåòñÿ
åãî ñîïðîòèâëåíèå, à äëÿ Q2 ñîïðîòèâëåíèå
ÃÑ ôèêñèðóåòñÿ ïîñëå íàëîæåíèÿ m2 – öèêëîâ
Ðèñ. 5. Òî÷å÷íîå îòîáðàæåíèå â ïëîñêîñòè R(Nj+1),
R(Nj) äëÿ ñèììåòðè÷íîãî ðåæèìà íàãðóæåíèÿ.
σýêâ=17 êÃ/ìì2.
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòè R(N) äëÿ îò íóëåâîãî ðåæèìà íà-
ãðóæåíèÿ σýêâ= 17 êÃ/ìì2.
ÏÐÎÑÒÛÅ ÌÎÄÅËÈ ÓÑÒÀËÎÑÒÍÎÉ ÏÎÂÐÅÆÄÀÅÌÎÑÒÈ ÃÅÒÅÐÎÃÅÍÍÛÕ ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ Ñ Î×ÅÍÜ ÑËÎÆÍÎÉ ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ
Ô²Ï ÔÈÏ PSE, 2006, ò. 4, ¹ 1-2, vol. 4, No. 1-2 95
òîé æå äåôîðìàöèè. Â äàëüíåéøåì, íèæíèé
èíäåêñ áóäåò òàêæå ïðèñâàèâàòüñÿ îïåðàòî-
ðàì Qj , èìåþùèì ðàçíûå ïðåäåëüíûå òî÷êè
Mj è êîýôôèöèåíòû bj
Qj = Q(mj; bj; Mj). (11)
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî äëÿ ñòðóêòóðíî èäåíòè÷-
íûõ ÃÑ, ðàçëè÷èå Mj è bj îçíà÷àåò, ÷òî íà
íèõ íàëîæåíû ðàçëè÷íûå äåôîðìàöèè. Ðàç-
ëè÷èå ìîæåò áûòü îáóñëîâëåíî êàê àìïëèòó-
äîé (σj), ÷èñëîì ïðîìåæóòî÷íûõ öèêëîâ (mj),
òàê è ïî ñòðóêòóðå íàëîæåííûõ íàïðÿæåíèé.
ÊÎÌÌÓÒÀÒÈÂÍÎÑÒÜ ÎÏÅÐÀÒÎÐÎÂ
Q1 è Q2
Äëÿ îïèñàíèÿ ñëîæíûõ ðåæèìîâ íàãðóæåíèÿ
íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü êîììóòàòèâíîñòü
îïåðàòîðîâ Q1 è Q2. Èòàê, ñíà÷àëà íà R0 äåé-
ñòâóåò îïåðàòîð Q2 = Q(m2; b2; M2), à çàòåì îïå-
ðàòîð Q1 = Q(m1; b1; M1):
Q1⋅Q2⋅R0 = b1⋅b2⋅R0 + (1 – b1⋅b2)⋅M12. (12)
Çäåñü M12 – ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ñëîæíîãî îïå-
ðàòîðà Q12 = Q1⋅Q2, ñâÿçàíà ñ ïðåäåëüíûìè
òî÷êàìè M1 è M2 ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:
(1 – b1b2)⋅M12 = b1(1 – b2)⋅M2 + (1 – b1)⋅M1. (13)
Äëÿ îáðàòíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåéñò-
âèÿ ýòèõ æå îïåðàòîðîâ èìååì:
Q2⋅Q1⋅R0 = b1⋅b2⋅R0 + (1 – b1⋅b2 )⋅M21, (14)
ãäå ïðåäåëüíàÿ òî÷êà Ì21 â ýòîé ñèòóàöèè, âî-
îáùå ãîâîðÿ, îòëè÷àåòñÿ îò Ì12 è ðàâíà:
M21 = [b2(1 – b1)⋅M1 + (1 – b2)⋅M2]/(1 – b2b1).(15)
Òàêèì îáðàçîì, êîììóòàòèâíîñòü îïåðàòî-
ðîâ Q1 è Q2 èìååò ìåñòî â îäíîé èç òðåõ ñèòó-
àöèé: b1 = 1; b2 = 1; M1 = M2.
Ïåðâîå è âòîðîå óñëîâèÿ ñîîòâåòñòâóþò
ñèòóàöèè åäèíè÷íîãî îïåðàòîðà, òî åñòü îäèí
èç îïåðàòîðîâ åñòü åäèíè÷íûé îïåðàòîð. Òðå-
òüå óñëîâèå ñîîòâåòñòâóåò èäåíòè÷íîñòè ïðå-
äåëüíûõ òî÷åê ðàññìàòðèâàåìûõ îïåðàòîðîâ.
ÑÈÑÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß
ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÜ [ ]nuv QQ 21 ⋅
Ðàññìîòðèì áîëåå ñëîæíóþ ñèòóàöèþ, êîãäà
îïåðàòîð Q2 äåéñòâóåò u-ðàç, çàòåì îïåðàòîð
Q1 äåéñòâóåò v-ðàç è òàêàÿ êîìáèíàöèÿ ïîâ-
òîðÿåòñÿ n-ðàç. Äëÿ ñëîæíîãî îïåðàòîðà
Qv, u= uv QQ 21 ⋅ íàõîäèì Qv, uR0 = bu, vR0 + (1 –
– bu, v)Mu, v, ãäå vu
vu bbb 21, ⋅= , à
( ) ( )[ ]
vu
vuv
vu b
MbMbbM
,
22112
, 1
11
−
⋅−+⋅−⋅= .
Åñëè u – ôèêñèðîâàíî, à v ñòðåìèòñÿ ê áåñ-
êîíå÷íîñòè, òî ïîëó÷èì 2,lim MM vuv
=
∞→
.
Åñëè æå v – ôèêñèðîâàíî, à u còðåìèòñÿ ê
áåñêîíå÷íîñòè, òî
( ) MbMbM vv
vuu
⋅−+⋅=
∞→ 212, 1lim .
Òàêèì îáðàçîì, ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíûì
àíàëèçèðîâàòü äåéñòâèå ëþáîé ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè îïåðàòîðîâ, êîòîðàÿ ìíîãîêðàòíî
ïîâòîðÿåòñÿ. Ñïðàâåäëèâî òàêæå è îáîáùå-
íèå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ, êîãäà ÷èñëî îïåðàòîðîâ
áîëüøå äâóõ.
Îïåðàòîð ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è
Ìàðêîâñêèå öåïè äëÿ îïåðàòîðîâ ÃÑ òàêæå
ìîãóò áûòü íàéäåíû åñëè èçâåñòíû ñîîòâåò-
ñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè.
ÂÛÂÎÄÛ
Ñîçäàííûå êàê ìåòîäû ïðèíöèïû îöåíêè âû-
õîäíûõ ïàðàìåòðîâ êîíñòðóêöèîííîãî ìàòå-
ðèàëà è èõ èçìåíåíèå ïðè íàëîæåíèè íåîá-
ðàòèìîé óñòàëîñòíîé äåôîðìàöèè, òàê è íî-
âûé ïóòü àíàëèçà äèíàìèêè ðåîëîãè÷åñêèõ
ñòðóêòóð, ôîðìèðóþùèõ íåîáðàòèìûå âû-
õîäíûå ïàðàìåòðû ìàòåðèàëîâ. Äëÿ ðåàëüíîé
êîíñòðóêöèîííîé áàëêè ñ óñòàíîâëåííûìè
äàò÷èêàìè íàêîïëåííîé óñòàëîñòíîé ïîâðåæ-
äàåìîñòè ïîëó÷åíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðå-
çóëüòàòû ïîäòâåðæäàþùèå ðàçðàáîòàííóþ
êîëè÷åñòâåííóþ ìîäåëü.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
1. Shamirzaev S. Modelling a fatigue imperfection
of structural materials//International Journal of
Fatigue. – 2002. – ¹ 24. – Ð. 777-782.
2. Shamirzaev S. The theory of output parameters
of a pressing powder mixture with random
packaging density//Solid State Sciences. – 2004.
– ¹ 6. – P. 1125-1129.
3. Shamirzaev S. and Shamirzaeva G. The
rheological model of fatigue damage of CM. /
Proceedings of the XIIIth International Congress
of Rheology. Cambridge, UK. Published by the
Ñ.Õ. ØÀÌÈÐÇÀÅÂ, Ê.Ý. ÎÍÀÐÊÓËÎÂ, Ä.À. ÞÑÓÏÎÂÀ, Ý.Ä.ÌÓÕÀÌÅÄÈÅÂ
Ô²Ï ÔÈÏ PSE, 2006, ò. 4, ¹ 1-2, vol. 4, No. 1-296
British Society of Rheology. – 2000. – Vol. 3. –
P. 377-379.
4. Øàìèðçàåâ Ñ.Õ. è äð. Òåíçîðåçèñòèâíàÿ
ñòðóêòóðà ãåòåðîãåííûõ ìàòåðèàëîâ: Ïðå-
ïðèíò ¹ 140-90-ÔÏÏ. ÔÒÈ ÍÏÎ „Ôèçèêà-
Ñîëíöå” ÀÍ ÐÓç.
SIMPLE MODELS OF FATIGUE
DAMAGEABILITY OF HETEROGENEOUS
MATERIALS WITH VERY DIFFICULT
DYNAMICS
S.H. Shamirzaev, K.E. Onarkulov,
D.A. Yusupova, E.D. Mukhamediev
Sensitive to imposed deformation volumetric and
film of variants of heterogeneous environments (HE)
on a basis telluride of vismut-antimony selenide-leaden
and also ñarbonic of iron are investigated. The
character of irreversible change of effective
parameters of HE in conditions of imposing of a
casual spectrum of deformation is investigated. The
reaction of HE in conditions of imposing of a casual
spectrum of deformation is investigated by periodic
supervision over change its effective electrical
resistance (R). The reactions of HE on any sequences
of the regular operators of loading are calculated.
The comparison to experimental data is carried out.
5. Shamirzaev S., Mukhamediev E. and Sha-
mirzaeva G. Molecular-kinetic processes of
fatigue of aluminum alloys// Proc. of the Third
International Conference on Very High Cycle
Fatigue (VHCF-3) (Japan). – 2004. – P.108- 115.
ÏÐÎÑÒ² ÌÎÄÅ˲ ÂÒÎÌËÞÂÀËÜÍί
ÏÎØÊÎÄÆÓÂÀÍÎÑÒ² ÃÅÒÅÐÎÃÅÍÍÈÕ
ÌÀÒÅвÀË²Â Ç ÄÓÆÅ ÑÊËÀÄÍÎÞ
ÄÈÍÀ̲ÊÎÞ
Ñ.Õ. Øàì³ðçàºâ, Ê.Ý. Îíàðêóëîâ,
Ä.À. Þñóïîâà, Ý.Ä. Ìóõàìå䳺â
Äîñë³äæåíî ÷óòòºâ³ äî íàêëàäåíî¿ äåôîðìàö³¿
îá’ºìí³ ³ ïë³âêîâ³ âàð³àíòè ãåòåðîãåííèõ ñåðå-
äîâèù (ÃÑ) íà îñíîâ³ òåëóðèä³â â³ñìóòó-ñóðìè,
ñåëåí³ä³â ñâèíöþ à òàêîæ êàðáîí³ëüíîãî çàë³çà.
Âèâ÷åíî õàðàêòåð íåîáîðîòíî¿ çì³íè åôåêòèâíèõ
ïàðàìåòð³â ÃÑ â óìîâàõ íàêëàäåííÿ âèïàäêîâîãî
ñïåêòðà äåôîðìàö³¿. Ðåàêö³ÿ ÃÑ â óìîâàõ íàêëà-
äåííÿ âèïàäêîâîãî ñïåêòðà äåôîðìàö³¿ âèâ÷åíà
øëÿõîì ïåð³îäè÷íèõ ñïîñòåðåæåíü çà çì³íîþ
éîãî åôåêòèâíîãî åëåêòðè÷íîãî îïîðó (R). Ðîç-
ðàõîâàíî ðåàêö³¿ ÃÑ íà äîâ³ëüí³ ïîñë³äîâíîñò³ ðå-
ãóëÿðíèõ îïåðàòîð³â íàâàíòàæåííÿ. Ïðîâåäåíî
ç³ñòàâëåííÿ ç åêñïåðèìåíòàëüíèìè äàíèìè.
ÏÐÎÑÒÛÅ ÌÎÄÅËÈ ÓÑÒÀËÎÑÒÍÎÉ ÏÎÂÐÅÆÄÀÅÌÎÑÒÈ ÃÅÒÅÐÎÃÅÍÍÛÕ ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ Ñ Î×ÅÍÜ ÑËÎÆÍÎÉ ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-98786 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1999-8074 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:43:43Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Науковий фізико-технологічний центр МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шамирзаев, С.Х. Онаркулов, К.Э. Юсупова, Д.А. Мухамедиев, Э.Д. 2016-04-17T18:59:22Z 2016-04-17T18:59:22Z 2006 Простые модели усталостной повреждаемости гетерогенных материалов с очень сложной динамикой / С.Х. Шамирзаев, К.Э. Онаркулов, Д.А. Юсупова, Э.Д. Мухамедиев // Физическая инженерия поверхности. — 2006. — Т. 4, № 1-2. — С. 91–96. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1999-8074 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/98786 621.315.529 Исследованы чувствительные к наложенной деформации объемные и пленочные варианты
 гетерогенных сред (ГС) на основе теллуридов висмута-сурьмы, селенидов свинца а также
 карбонильного железа. Изучен характер необратимого изменения эффективных параметров
 ГС в условиях наложения случайного спектра деформации. Реакция ГС в условиях наложения
 случайного спектра деформации изучена путем периодических наблюдений за изменением
 его эффективного электрического сопротивления (R). Рассчитаны реакции ГС на произвольные
 последовательности регулярных операторов нагружения. Проведено сопоставление с экспериментальными данными. Досліджено чуттєві до накладеної деформації
 об’ємні і плівкові варіанти гетерогенних середовищ (ГС) на основі телуридів вісмуту-сурми,
 селенідів свинцю а також карбонільного заліза.
 Вивчено характер необоротної зміни ефективних
 параметрів ГС в умовах накладення випадкового
 спектра деформації. Реакція ГС в умовах накладення випадкового спектра деформації вивчена
 шляхом періодичних спостережень за зміною
 його ефективного електричного опору (R). Розраховано реакції ГС на довільні послідовності регулярних операторів навантаження. Проведено
 зіставлення з експериментальними даними. Sensitive to imposed deformation volumetric and
 film of variants of heterogeneous environments (HE)
 on a basis telluride of vismut-antimony selenide-leaden
 and also ñarbonic of iron are investigated. The
 character of irreversible change of effective
 parameters of HE in conditions of imposing of a
 casual spectrum of deformation is investigated. The
 reaction of HE in conditions of imposing of a casual
 spectrum of deformation is investigated by periodic
 supervision over change its effective electrical
 resistance (R). The reactions of HE on any sequences
 of the regular operators of loading are calculated.
 The comparison to experimental data is carried out. ru Науковий фізико-технологічний центр МОН та НАН України Физическая инженерия поверхности Простые модели усталостной повреждаемости гетерогенных материалов с очень сложной динамикой Прості моделі втомлювальної пошкоджуваності гетерогенних матеріалів з дуже складною динамікою Simple models of fatigue damageability of heterogeneous materials with very difficult dynamics Article published earlier |
| spellingShingle | Простые модели усталостной повреждаемости гетерогенных материалов с очень сложной динамикой Шамирзаев, С.Х. Онаркулов, К.Э. Юсупова, Д.А. Мухамедиев, Э.Д. |
| title | Простые модели усталостной повреждаемости гетерогенных материалов с очень сложной динамикой |
| title_alt | Прості моделі втомлювальної пошкоджуваності гетерогенних матеріалів з дуже складною динамікою Simple models of fatigue damageability of heterogeneous materials with very difficult dynamics |
| title_full | Простые модели усталостной повреждаемости гетерогенных материалов с очень сложной динамикой |
| title_fullStr | Простые модели усталостной повреждаемости гетерогенных материалов с очень сложной динамикой |
| title_full_unstemmed | Простые модели усталостной повреждаемости гетерогенных материалов с очень сложной динамикой |
| title_short | Простые модели усталостной повреждаемости гетерогенных материалов с очень сложной динамикой |
| title_sort | простые модели усталостной повреждаемости гетерогенных материалов с очень сложной динамикой |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/98786 |
| work_keys_str_mv | AT šamirzaevsh prostyemodeliustalostnoipovreždaemostigeterogennyhmaterialovsočenʹsložnoidinamikoi AT onarkulovké prostyemodeliustalostnoipovreždaemostigeterogennyhmaterialovsočenʹsložnoidinamikoi AT ûsupovada prostyemodeliustalostnoipovreždaemostigeterogennyhmaterialovsočenʹsložnoidinamikoi AT muhamedievéd prostyemodeliustalostnoipovreždaemostigeterogennyhmaterialovsočenʹsložnoidinamikoi AT šamirzaevsh prostímodelívtomlûvalʹnoípoškodžuvanostígeterogennihmateríalívzdužeskladnoûdinamíkoû AT onarkulovké prostímodelívtomlûvalʹnoípoškodžuvanostígeterogennihmateríalívzdužeskladnoûdinamíkoû AT ûsupovada prostímodelívtomlûvalʹnoípoškodžuvanostígeterogennihmateríalívzdužeskladnoûdinamíkoû AT muhamedievéd prostímodelívtomlûvalʹnoípoškodžuvanostígeterogennihmateríalívzdužeskladnoûdinamíkoû AT šamirzaevsh simplemodelsoffatiguedamageabilityofheterogeneousmaterialswithverydifficultdynamics AT onarkulovké simplemodelsoffatiguedamageabilityofheterogeneousmaterialswithverydifficultdynamics AT ûsupovada simplemodelsoffatiguedamageabilityofheterogeneousmaterialswithverydifficultdynamics AT muhamedievéd simplemodelsoffatiguedamageabilityofheterogeneousmaterialswithverydifficultdynamics |