Повышение точности решения геометрических обратных задач теп-лопроводности за счет учёта априорной информации об искомых геометрических характеристиках
Рассмотрены вопросы повышения точности решения геометрических обратных задач теплопроводности. Показано, что априорная информация об искомых геометрических характеристиках приводит к дополнительным ограничениям на определяемые в процессе решения геометрические параметры, что позволяет существенно со...
Saved in:
| Published in: | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99031 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Повышение точности решения геометрических обратных задач теплопроводности за счет учёта априорной информации об искомых геометрических характеристиках / А.О. Костиков // Проблемы машиностроения. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 23-30. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860088887553032192 |
|---|---|
| author | Костиков, А.О. |
| author_facet | Костиков, А.О. |
| citation_txt | Повышение точности решения геометрических обратных задач теплопроводности за счет учёта априорной информации об искомых геометрических характеристиках / А.О. Костиков // Проблемы машиностроения. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 23-30. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы машиностроения |
| description | Рассмотрены вопросы повышения точности решения геометрических обратных задач теплопроводности. Показано, что априорная информация об искомых геометрических характеристиках приводит к дополнительным ограничениям на определяемые в процессе решения геометрические параметры, что позволяет существенно сократить область их допустимых значений и повысить точность решения. На примере модельной задачи по идентификации формы объекта продемонстрирована эффективность данного подхода.
Розглянуто питання поліпшення точності розв’язку геометричних обернених задач теплопровідності. Показано, що апріорна інформація про шукані геометричні характеристики приводить до додаткових обмежень на геометричні параметри, які знаходяться під час розв’язання. Це дозволяє суттєво скоротити область їх допустимих значень і поліпшити точність розв’язку. На прикладі модельної задачі з ідентифікації форми об’єкта продемонстрована ефективність цього підходу.
The problems of increasing the accuracy of solution of geometrical inverse heat conduction problems are examined. It is shown that the presence of a priori information about unknown geometric characteristics results in additional limitations on unknown geometrical parameters. That allows appreciably reduce the set of their allowed value and increase the accuracy of solution. The numerical results of the model shape identification problem show the efficiency of proposed approach.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:22:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 1 23
УДК 536.24
А. О. Костиков, д-р техн. наук
Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины
(г. Харьков, e-mail: kostikov@ipmach.kharkov.ua)
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ЗА СЧЕТ УЧЁТА
АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ ОБ ИСКОМЫХ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ
Рассмотрены вопросы повышения точности решения геометрических обратных задач
теплопроводности. Показано, что априорная информация об искомых геометрических
характеристиках приводит к дополнительным ограничениям на определяемые в процес-
се решения геометрические параметры, что позволяет существенно сократить об-
ласть их допустимых значений и повысить точность решения. На примере модельной
задачи по идентификации формы объекта продемонстрирована эффективность данно-
го подхода.
Розглянуто питання поліпшення точності розв’язку геометричних обернених задач те-
плопровідності. Показано, що апріорна інформація про шукані геометричні характери-
стики приводить до додаткових обмежень на геометричні параметри, які знаходяться
під час розв’язання. Це дозволяє суттєво скоротити область їх допустимих значень і
поліпшити точність розв’язку. На прикладі модельної задачі з ідентифікації форми
об’єкта продемонстрована ефективність цього підходу.
Введение
Обратные задачи теплопроводности (ОЗТ) [1, 2], в том числе и геометрические [3, 4],
в большинстве случаев приходится рассматривать и решать в экстремальной постановке,
т. е. искать решение в результате минимизации целевого функционала [1, 2, 5, 6]. Поскольку
ОЗТ являются, как правило, некорректно поставленными задачами, что обычно выражается
в нарушении условия устойчивости решения, то при их рассмотрении приходится применять
различные приёмы регуляризации, что приводит к некоторой форме отбора допустимых ре-
шений. Если в задаче присутствует некоторая априорная информация об искомых условиях
однозначности, то её также можно использовать в процессе отбора допустимых решений.
Сужение области допустимых решений за счёт использования априорной информации
об искомых геометрических характеристиках
Как нами было показано ранее [7], параметризация искомой геометрической инфор-
мации, то есть выделение среди искомой геометрической информации одной или несколь-
ких скалярных величин g1, g2, …, gn, которые могут меняться в соответствии с условиями
задачи, позволяет в общем случае сформулировать геометрическую ОЗТ следующим обра-
зом: найти минимум некоторого целевого функционала J(g) на множестве допустимых ре-
шений задачи (g ∈ Gp).
В задачах идентификации целевой функционал J строится как невязка операторного
уравнения
Ag = f, g ∈ G, f ∈ F,
где g – совокупность искомых геометрических параметров; f – наблюдаемые характеристики
объекта; G и F – метрические пространства, которым принадлежат элементы g и f; А – опе-
ратор, действующий из G в F, формализующий совокупность операций, определенных ис-
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 15, № 1 24
ходной математической моделью явления и условиями однозначности и устанавливающий
причинно-следственные связи между искомыми и входными (наблюдаемыми) величинами.
В оптимизационных геометрических ОЗТ вид целевого функционала определяется
заданным по условию задачи критерием оптимальности.
В обоих видах задач область множество допустимых решений Gp строится исходя из
ограничений трех типов, которые накладываются на искомые параметры g. К первому типу
относятся ограничения, вызванные конструктивными или технологическими особеннос-
тями, экономическими соображениями и т. п., которые могут быть математически
формализованы в виде неравенств
ϕl(g1, g2, …, gn) ≤ 0 (l = 1, …, mg),
определяющих в пространстве G область Gt.
Ограничения второго типа вызваны необходимостью соблюсти определённый тем-
пературный режим. Фактически такие ограничения накладываются на температурное поле,
но так как последнее зависит от геометрии объекта, которая определяется значениями
геометрических параметров, то в пространстве G можно выделить область Gφ,
сформированную из всех допустимых в данном смысле значений вектора g.
Ограничения третьего типа вводятся с целью регуляризации решения [8] и устанав-
ливают для каждого геометрического параметра допустимый диапазон изменения его значе-
ния
gimin ≤ gi ≤ gimax, i = 1, …, n,
что в совокупности задаёт в пространстве G гиперпараллелепипед Gr.
Таким образом, область допустимых решений может быть записана как
Gp = Gt ∩ Gφ ∩ Gr. (1)
Если в задаче имеется априорная информация об искомых геометрических характе-
ристиках, то её можно формализовать в виде некоторых дополнительных ограничений на
искомые параметры g, определяющих в пространстве G множество Gа. В этом в выражении
(1) трансформируется в
Gp = Gt ∩ Gφ ∩ Gr ∩ Gа, (2)
что приводит в большинстве случаев к сокращению множества допустимых решений Gp.
Как известно, геометрические ОЗТ, являются многоэкстремальными с огромным
числом локальных минимумов [9], которые полностью перебрать в процессе решения не
представляется возможным. Вследствие этого процесс минимизации целевого функционала
приходится останавливать на одном из локальных минимумов, принимая его как приближе-
ние глобального минимума. Сужение области допустимых решений с (1) до (2) приводит к
уменьшению числа локальных минимумов, в результате чего повышается вероятность того,
что локальный минимум, на котором будет остановлен процесс решения, будет более точ-
ным приближением искомого глобального минимума целевого функционала. Иными слова-
ми, учёт априорной информации в виде (2) является не только дополнительным регуляризи-
рующим фактором, но и способен повысить точность решения геометрической ОЗТ.
Повышение точности идентификации неизвестной границы объекта за счёт учёта
априорной информации
В качестве примера применения вышеописанного подхода рассмотрим задачу, кото-
рая довольно часто встречается среди задач определения формы и положения границы об-
ласти, а именно, идентификацию фронта фазового превращения, когда часть пространства,
занимаемая жидкой фазой, не включается в расчётную область, а процесс теплообмена рас-
сматривается только в твёрдой фазе. В этом случае неизвестная граница Γ является фронтом
фазового перехода и на ней задаётся постоянная температура – температура фазового пере-
хода.
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 1 25
Будем считать, что рассматриваемое тело имеет
форму параллелепипеда, верхняя часть которого удалена
(рис. 1), а поверхность EFGH неизвестна. Проекция этой
поверхности на плоскость xOz образует прямоугольник
ABCD.
Для простоты будем считать, что твёрдая фаза
имеет настолько большую теплопроводность и низкую
теплоёмкость, что процесс является квазистационарным и
скоростью движения фазового фронта в уравнении тепло-
проводности можно пренебречь. Тогда процесс теплопро-
водности описывается уравнением Лапласа
∇2T(x, y, z) = 0.
с граничными условиями
T(x, y, z)|Γ = TΓ,
qT
=
ν∂
∂
λ
Σ
,
где Γ – неизвестная граница; TΓ – заданная на ней температура фазового перехода; Σ – из-
вестная часть границы (нижняя и боковые грани рассматриваемого объекта); ν – внешняя
нормаль к Σ; q – заданная плотность теплового потока на известной границе.
Решение данной задачи будем проводить согласно предложенной нами методике
решения задач по идентификации формы объекта [10, 11], в которой расчётная область Ω,
соответствующая рассматриваемому объекту, строится в результате пересечения двух об-
ластей: неизменной в процессе решения ОЗТ области Ω1 и изменяющейся в соответствии с
выбором значений искомых геометрических параметров области Ω2. Геометрическими па-
раметрами gi в данном случае являются координаты узловых точек, по которым строится
сплайновое представление искомой границы, а для решения задачи теплопроводности ис-
пользуется вариационный метод совместно с методом R-функций, что позволяет автомати-
чески учитывать изменение геометрии объекта.
Для введения узловых точек на неизвестной границе построим в двухмерной области
ABCD равномерную сетку {(xi, zi) : xi = ihx, zj = jhz, i = 1, 2, …nx, j = 1, 2, …nz}. Если из точек
(xi, zi) на плоскости xOz провести луч, параллельный оси Oy, то его пересечение с неизвест-
ной границей даст точку Mij = (xi, yij, zj), координата y которой неизвестна. Все такие точки и
будем рассматривать в качестве узловых.
Неизменяемая в процессе решения ОЗТ область Ω1 ограничена прямоугольником
ABCD и боковыми гранями параллелепипеда, продолженными по оси Oy до бесконечности.
Согласно [12, 13] функция ω1, описывающая область Ω1, может быть построена в виде
( ) ( ) y
L
zLz
L
xLx
z
z
x
x
αα ∧
−
∧
−
=ω1 ,
где Lx, Lz – размеры рассматриваемого параллелепипеда в соответствующих направлениях;
∧α – оператор R-конъюнкции (см. [12, 13]).
Уравнение неизвестной границы запишем так:
∑∑
= =
γ=γ=
x zn
i
n
j
ijij zxczxy
1 1
),(),( , (3)
где в качестве базисных функций γij можно выбрать полиномиальные кубические сплайны,
построенные на сетке {(xi, zi)}.
Функция ω2, описывающая изменяемую в процессе решения ОЗТ область Ω2, может
быть записана как
x
y
A
B C
D z
E
F G
H
Рис. 1. Геометрия объекта,
исследуемого в модельной задачи
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 15, № 1 26
yzxczyx
x zn
i
n
j
ijij −γ=ω ∑∑
= =1 1
2 ),(),,( .
Таким образом, функция ω, описывающая область Ω, имеет вид
( ) ( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−γ∧∧
−
∧
−
=ω∧ω=ω ∑∑
= =
αααα yzxcy
L
zLz
L
xLx x zn
i
n
j
ijij
z
z
x
x
1 1
21 ),( .
Согласно [12, 13] решение ПЗТ можно записать в виде
( ) ( ) ( ) qT
zzyyxx
CzyxT
N
k
kkk
kk ω++
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
ω∂
∂
ψω∂
+
∂
ω∂
∂
ψω∂
+
∂
ω∂
∂
ψω∂
ω−ψω= Γ
=
∑
0
121212
2),,(
или
qTXCzyxT
N
k
kk ω++= Γ
=
∑
0
),,( , (4)
где ψk(x, y, z) – некоторые заданные базисные функции; Xk(x, y, z) – известные функциональ-
ные зависимости, определяемые выражениями в фигурных скобках.
Неизвестные коэффициенты Сk находятся методом Ритца [14] в результате решения
системы линейных алгебраических уравнений
.2,1,
0
NsqdXdxdydz
z
X
z
X
y
X
y
X
x
X
x
XC s
N
k
sksksk
k K=σ=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∫∑ ∫
Σ= Ω
В процессе решения ОЗТ происходит целенаправленный поиск параметров границы
yij. На каждой итерации по текущим значениям этих геометрических параметров при помо-
щи решения системы линейных уравнений
zxij
n
i
n
j
jiijij njniyzxc
x z
KK ,2,1,,2,1,),(
1 1
===γ∑∑
= =
находятся коэффициенты сij в уравнении неизвестной границы (3). В свою очередь, значения
коэффициентов сij определяют функции ω1, ω2, ω, а следовательно, и функции Xk в представ-
лении температурного поля (4).
Для проведения многовариантных численных исследований данная задача решалась
в двухмерном случае – координата z была исключена из рассмотрения и расчетная область
имела вид не усечённого параллелепипеда, а усечённого прямоугольника (рис. 2).
Все расчёты проводились для следующих значений параметров задачи: Lx = 1,0 м;
λ = 10 Вт/(м⋅К), на боковых сторонах прямоугольника q = 0 Вт/м2, на нижней стороне
q = 50000 Вт/м2; TΓ = 0 °С. Целевой функционал невязки строил-
ся по семи точкам измерения температуры, равномерно распо-
ложенным в пределах расчётной области на прямой y = 0,4. Для
моделирования измерений в данных точках в процессе числен-
ного эксперимента решалась прямая задача с известным распо-
ложением границы Γ.
В ходе расчетных исследований было рассмотрено влия-
ние погрешности измерений на точность получаемых решений.
Для этого измеренные температуры моделировались следую-
щим образом: к величинам, полученным в результате решения
прямой задачи, добавлялись случайные погрешности, распреде-
лённые по нормальному закону со среднеквадратичным откло-
нением, равным произведению заданной относительной по-
грешности и уровня полученных в результате расчёта темпера-
тур. В данной задаче искомая граница Γ представляла собой
x Lx 0
y
Рис. 2. Расчетная область
в двухмерном случае
модельной задачи
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 1 27
кривую y = exp(2x/3). Все расчёты проводились для десяти базисных функций ψk(x, y), в ка-
честве которых использовались степенные функции.
Для оценки точности решения геометрической ОЗТ в каждой узловой точке (xi, yi)
искомой границы Γ рассматривалось расстояние δi между её найденным и фактическим по-
ложением. В качестве меры точности решения была взята максимальная величина этого рас-
стояния по всем узловым точкам δ = maxδi. На рис. 3 приведены регрессионные зависимости
точности решения δ и достигнутого уровня целевого функционала невязки J от относитель-
ной погрешности измерений температуры.
При этом были получены следующие оценки коэффициента корреляции между ве-
личинами δ и ε: точечная оценка коэффициента корреляции rδ,ε = 0,52; доверительный ин-
тервал 0,39 < rδ,ε < 0,63 на уровне значимости 0,1. Кроме того, проверка при помощи крите-
рия Стьюдента статистической гипотезы о равенстве коэффициента корреляции нулю пока-
зала, что данную гипотезу следует отклонить. Иными словами, существует достаточно
сильное влияние погрешности измерения температуры на точность идентификации границы
области.
Графическое изображение найденного положения границы Γ для некоторых значе-
ний относительной погрешности измерения температуры приведено на рис. 4.
Следует отметить также тот факт, что при больших относительных погрешностях
измерений (более ~0,7%) найденная зависимость y = γ(x) уже перестает быть монотонно воз-
растающей (см. рис. 4), в отличие от фактического уравнения искомой границы
y = exp(2x/3). Поэтому, если заранее известно, что искомая граница описывается монотонной
функцией y = γ(x), целесообразно это использовать в качестве априорной информации в
процессе решения ОЗТ и при минимизации целевого функционала J учитывать дополни-
тельные ограничения, налагаемые на искомые координаты узловых точек
y1 < y2 < … < yn–1 < yn. (5)
В таблице для некоторых значений погрешности ε показано влияние на получаемый
результат учёта дополнительных ограничений (5). Заметим, что, несмотря на то, что найден-
ное минимальное значение функционала J в случае учёта условия монотонности получается
больше, чем без использования ограничения (5), точностной показатель δ улучшается. Рег-
рессионные зависимости точности решения δ и достигнутого уровня целевого функционала
невязки J от погрешности ε представлены на рис. 4. Сравнение идентифицированного поло-
жения границы в случае учёта и неучёта ограничений (5) отображено на рис. 5.
0 0,4 0,8 1,2 1,6 ε, %
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
δ, м
0 0,4 0,8 1,2 1,6 ε, %
0
0,3
0,6
0,9
1,2
J, °C
а) б)
Рис. 3. Влияние погрешности исходных данных на:
а) – точность решения задачи; б) – уровень целевого функционала;
• – численный эксперимент; ────── – регрессионная зависимость;
– – – – – – – доверительный интервал; ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ – прогнозируемый интервал
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 15, № 1 28
Влияние учета априорной информации о монотонности искомой функции γ(x) на результаты
идентификации границы области
Без учёта ограничений (5) С учётом ограничений (5)
ε, %
δ, м J, °С δ, м J, °С
0,74 0,2378 0,092 0,1346 0,189
0,88 0,1926 0,169 0,1278 0,202
1,00 0,1811 0,106 0,1497 0,123
1,12 0,1645 0,299 0,1516 0,301
1,20 0,1687 0,431 0,1163 0,452
1,32 0,2271 0,581 0,1224 0,640
1,48 0,1893 0,486 0,1152 0,532
1,58 0,1615 0,562 0,1082 0,604
1,66 0,1291 0,165 0,1150 0,176
1,70 0,2653 1,212 0,1896 1,269
1,80 0,1827 0,482 0,1039 0,538
1,90 0,2447 0,943 0,1061 1,019
2,00 0,2983 0,420 0,2109 0,451
10.90.80.70.60.50.40.30.20.10
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y , м
x , м 10.90.80.70.60.50.40.30.20.10
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y , м
x , м 10.90.80.70.60.50.40.30.20.10
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y , м
x , м
ε = 0% ε = 0,1% ε = 0,5%
10.90.80.70.60.50.40.30.20.10
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y , м
x , м
10.90.80.70.60.50.40.30.20.10
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y , м
x , м
ε = 1% ε = 2%
Рис. 3. Результаты идентификации положения границы Γ
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 1 29
0 0,4 0,8 1,2 1,6 ε, %
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
δ, м
0 0,4 0,8 1,2 1,6 ε, %
0
0,3
0,6
0,9
1,2
J, °C
а) б)
Рис. 4. Влияние погрешности исходных данных в случае
учёта априорной информации о монотонности функции γ(x) на:
а) – точность решения задачи; б) – уровень целевого функционала;
• – численный эксперимент; ────── – регрессионная зависимость;
– – – – – – – доверительный интервал; ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ – прогнозируемый интервал
10.90.80.70.60.50.40.30.20.10
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y , м
x , м
10.90.80.70.60.50.40.30.20.10
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y , м
x , м
ε = 1% ε = 1%
10.90.80.70.60.50.40.30.20.10
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y , м
x , м 1 0.9 0.80.70.60.50.40.30.20.10
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y , м
x , м
ε = 2% ε = 2%
а) б)
Рис. 5. Результаты идентификации положения границы Γ:
а) – без учёта априорной информации о монотонности функции γ(x)
б) – с учётом априорной информации о монотонности функции γ(x)
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 15, № 1 30
Выводы
Показано, что учёт априорной информации об искомых геометрических характери-
стиках приводит к сужению области допустимых решений ОЗТ, что является не только до-
полнительным регуляризирующим фактором, но и позволяет повысить точность получае-
мых решений. Получены ограничения на искомые геометрические параметры в случае зада-
чи идентификации неизвестной границы объекта, когда известна информация о монотонно-
сти функции, описывающей эту границу. На модельных примерах проиллюстрировано по-
вышение точности решения данной задачи за счёт учёта априорной информации.
Литература
1. Мацевитый Ю. М. Обратные задачи теплопроводности: В 2-х т. / Ю. М. Мацевитый. – Киев: Наук.
думка, 2002. – Т. 1. Методология. – 2002. 408 с.
2. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена / О. М. Алифанов. – М.: Машиностроение, 1988. –
280 c.
3. Мацевитый Ю. М. Геометрические обратные задачи теплопроводности. Постановки и методы ре-
шения / Ю. М. Мацевитый // Электрон. моделирование. – 1999. – Т. 21, № 1. – С. 3–10.
4. Мацевитый Ю. М. Геометрические обратные задачи теплопроводности – современное состояние
проблемы / Ю. М. Мацевитый, А. О. Костиков // Пробл. машиностроения. – 2007. – Т. 10, № 2. –
С. 23–36.
5. Алифанов О. М. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обрат-
ным задачам теплообмена / О. М. Алифанов, Е. А. Артюхин, С. В. Румянцев. – М.: Наука, 1988. –
288 с.
6. Коздоба Л. А. Методы решения обратных задач теплопереноса / Л. А. Коздоба, П. Г. Круковский. –
Киев: Наук. думка, 1982. – 360 с.
7. Костиков А. О. Единый методологический подход к постановке и решению геометрических об-
ратных задач теплопроводности / А. О. Костиков // Пробл. машиностроения. – 2004. – Т. 7, № 4. –
С. 52–60.
8. Костиков А. О. Получение устойчивых решений геометрических обратных задач теплопроводно-
сти за счет параметризации искомых характеристик / А. О. Костиков // Пробл. машиностроения. –
2009. – Т. 12, № 4. – С. 39–44.
9. Костиков А. О. Математические аспекты решения геометрических обратных задач теплопровод-
ности: проблемы и пути их решения / А. О. Костиков, Ю. М. Мацевитый // Пробл. машинострое-
ния. – 2007. – Т. 10, № 3. – С. 27–34.
10. Костіков А. О. Методика визначення місцеположення границі двовимірної області за допомогою
розв’язання геометричної оберненої задачі теплопровідності / А. О. Костіков // Пробл. машино-
строения. – 2005. – Т. 8, № 1. – С. 24–32.
11. Мацевитый Ю. М. Некоторые подходы к постановке и решению обратных задач теплопроводно-
сти / Ю. М. Мацевитый, С. Ф. Лушпенко, А. О. Костиков // Тепловые процессы в технике. – 2009.
– Т. 1, № 5. – С. 186–194.
12. Рвачев В. Л. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах / В. Л. Рвачев,
А. П. Слесаренко. – Киев: Наук. думка, 1976. – 288 с.
13. Рвачев В. Л. Алгебро-логические и проекционные методы в задачах теплообмена / В. Л. Рвачев,
А. П. Слесаренко. – Киев: Наук. думка, 1978. – 139 с.
14. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. – М.: Наука 1970. –
511 с.
Поступила в редакцию
13.12.12
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99031 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0131-2928 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:22:07Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Костиков, А.О. 2016-04-22T11:38:12Z 2016-04-22T11:38:12Z 2012 Повышение точности решения геометрических обратных задач теплопроводности за счет учёта априорной информации об искомых геометрических характеристиках / А.О. Костиков // Проблемы машиностроения. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 23-30. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99031 536.24 Рассмотрены вопросы повышения точности решения геометрических обратных задач теплопроводности. Показано, что априорная информация об искомых геометрических характеристиках приводит к дополнительным ограничениям на определяемые в процессе решения геометрические параметры, что позволяет существенно сократить область их допустимых значений и повысить точность решения. На примере модельной задачи по идентификации формы объекта продемонстрирована эффективность данного подхода. Розглянуто питання поліпшення точності розв’язку геометричних обернених задач теплопровідності. Показано, що апріорна інформація про шукані геометричні характеристики приводить до додаткових обмежень на геометричні параметри, які знаходяться під час розв’язання. Це дозволяє суттєво скоротити область їх допустимих значень і поліпшити точність розв’язку. На прикладі модельної задачі з ідентифікації форми об’єкта продемонстрована ефективність цього підходу. The problems of increasing the accuracy of solution of geometrical inverse heat conduction problems are examined. It is shown that the presence of a priori information about unknown geometric characteristics results in additional limitations on unknown geometrical parameters. That allows appreciably reduce the set of their allowed value and increase the accuracy of solution. The numerical results of the model shape identification problem show the efficiency of proposed approach. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Теплопередача в машиностроительных конструкциях Повышение точности решения геометрических обратных задач теп-лопроводности за счет учёта априорной информации об искомых геометрических характеристиках Increasing the accuracy of solution of geometrical inverse heat conduction problems at the expense of a priori information about unknown geometric characteristics Article published earlier |
| spellingShingle | Повышение точности решения геометрических обратных задач теп-лопроводности за счет учёта априорной информации об искомых геометрических характеристиках Костиков, А.О. Теплопередача в машиностроительных конструкциях |
| title | Повышение точности решения геометрических обратных задач теп-лопроводности за счет учёта априорной информации об искомых геометрических характеристиках |
| title_alt | Increasing the accuracy of solution of geometrical inverse heat conduction problems at the expense of a priori information about unknown geometric characteristics |
| title_full | Повышение точности решения геометрических обратных задач теп-лопроводности за счет учёта априорной информации об искомых геометрических характеристиках |
| title_fullStr | Повышение точности решения геометрических обратных задач теп-лопроводности за счет учёта априорной информации об искомых геометрических характеристиках |
| title_full_unstemmed | Повышение точности решения геометрических обратных задач теп-лопроводности за счет учёта априорной информации об искомых геометрических характеристиках |
| title_short | Повышение точности решения геометрических обратных задач теп-лопроводности за счет учёта априорной информации об искомых геометрических характеристиках |
| title_sort | повышение точности решения геометрических обратных задач теп-лопроводности за счет учёта априорной информации об искомых геометрических характеристиках |
| topic | Теплопередача в машиностроительных конструкциях |
| topic_facet | Теплопередача в машиностроительных конструкциях |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99031 |
| work_keys_str_mv | AT kostikovao povyšenietočnostirešeniâgeometričeskihobratnyhzadačteploprovodnostizasčetučetaapriornoiinformaciiobiskomyhgeometričeskihharakteristikah AT kostikovao increasingtheaccuracyofsolutionofgeometricalinverseheatconductionproblemsattheexpenseofaprioriinformationaboutunknowngeometriccharacteristics |