Моделирование движения частиц горящего топлива
В функциях Бесселя выражен первый интеграл уравнения вертикального движения сферической частицы. Площадь ее убывает пропорционально времени её полёта, при условии, что сила аэродинамического сопротивления пропорциональна второй, а реактивная сила – первой степеням скорости движения частицы как шара...
Saved in:
| Published in: | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99036 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование движения частиц горящего топлива / С.В. Ольшанский, К.В. Аврамов // Проблемы машиностроения. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 55-59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860242766293893120 |
|---|---|
| author | Ольшанский, С.В. Аврамов, К.В. |
| author_facet | Ольшанский, С.В. Аврамов, К.В. |
| citation_txt | Моделирование движения частиц горящего топлива / С.В. Ольшанский, К.В. Аврамов // Проблемы машиностроения. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 55-59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы машиностроения |
| description | В функциях Бесселя выражен первый интеграл уравнения вертикального движения сферической частицы. Площадь ее убывает пропорционально времени её полёта, при условии, что сила аэродинамического сопротивления пропорциональна второй, а реактивная сила – первой степеням скорости движения частицы как шара с переменными во времени радиусом и массой.
В функціях Бесселя виражено перший інтеграл рівняння вертикального руху сферичної частки. Площа її поверхні якої зменшується пропорційно часу її польоту, за умови, що сила аеродинамічного опору пропорційна другій, а реактивна сила – першій степеням швидкості руху частки як шару зі змінними в часі радіусом і масою.
In Bessel functions the first integral of the equation of vertical motion of a spherical particle is expressed, the area of which surface decreases proportionally the time of flight, so as, provided that the force of aerodynamic resistance is proportional second, and jet force to the first degree of velocity of motion of a particle, as sphere with variable in time of radius and mass.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:31:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 1 55
УДК 531
С. В. Ольшанский*, канд. физ.-мат. наук
К. В. Аврамов**, д-р. техн. наук
* Национальный технический университет «ХПИ»
(г. Харьков, e-mail: stasolsh77@gmail.com)
** Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины
(г. Харьков, e-mail: kvavr@kharkov.ua)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ ГОРЯЩЕГО ТОПЛИВА
В функциях Бесселя выражен первый интеграл уравнения вертикального движения сфе-
рической частицы. Площадь ее убывает пропорционально времени её полёта, при усло-
вии, что сила аэродинамического сопротивления пропорциональна второй, а реактив-
ная сила – первой степеням скорости движения частицы как шара с переменными во
времени радиусом и массой.
В функціях Бесселя виражено перший інтеграл рівняння вертикального руху сферичної
частки. Площа її поверхні якої зменшується пропорційно часу її польоту, за умови, що
сила аеродинамічного опору пропорційна другій, а реактивна сила – першій степеням
швидкості руху частки як шару зі змінними в часі радіусом і масою.
Состояние вопроса и актуальность темы
Изучение особенностей движения сгорающих частиц в воздухе, типа летящих искр,
нужно для расчёта пожаробезопасного расположения объектов, обоснованного выбора раз-
меров разделительных полос и пр. С анализом полёта горящих частиц также связанно рас-
смотрение процессов движения распылённых жидких топлив в двигателях внутреннего сго-
рания [1], в жидкостных реактивных двигателях [2] и т. д. Поэтому задача баллистики сфе-
рических частиц, у которых уменьшаются во время полёта размеры и масса, относятся к ак-
туальным задачам, на что в своё время обращал внимание И. В. Мещерский [3]. Часть из за-
дач этого класса рассмотрена в [4], но без учёта возникновения реактивной силы за счёт
убывания массы. Поэтому ниже поставлена цель обобщить решения, полученные в [4], пу-
тём учёта реактивной силы.
Постановка и аналитическое решение задачи Коши
Считая плотность частицы ρ постоянной, массу тела М
и величину ускоряющей ре-
активной силы Fр определим по формулам:
dt
drr
dt
dMFrM p υπρμ=υμ=πρ= 23 4,
3
4 ,
в которых r = r(t) и υ = υ(t) – соответственно радиус и скорость вертикального движения
частицы, изменяющиеся во времени t; 0 ≤ μ ≤ 1 – коэффициент реактивности (своеобразный
КПД), учитывающий, что только часть сгорающей (отделяющейся) массы образует реактив-
ную силу, направленную в сторону движения.
Согласно предположению, площадь поверхности шара убывает пропорционально
времени его полёта (закон Срезневского [4]). Поэтому имеют место соотношения
r
r
dt
drtrtr
2
,1)(
2
0
0
ε
−=ε−= ,
где r0 = r(0) –начальное значение радиуса; ε > 0 –параметр, определяющий скорость сгора-
ния частицы.
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 1 56
Полное сгорание её происходит за время t = ε–1. Поэтому процесс движения рассмат-
риваем на конечном промежутке времени t ∈ [0; ε–1].
Силу сопротивления воздушной среды Fc представляем произведением[4]
Fc = kπr2υ2,
в котором k – коэффициент аэродинамического сопротивления.
Дополнив рассмотренные силы весом и силой инерции, получаем уравнение верти-
кального движения шара
g
r
k
r
r
dt
d
±=υ
ρ
+υ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛με−
υ 2
2
0
4
3
2
3 . (1)
В нём g – ускорение свободного падения; верхний знак “+” перед g соответствует
движению частицы вниз, а нижний “–” – движению вверх.
Перейдём от переменной t к переменной tε−=ξ 1 . Поскольку
ξ
υ
ξ
ε
−=
ξ
ξ
υ
=
υ
ξ=
d
d
dt
d
d
d
dt
drr
2
,0 ,
уравнение движения (1) принимает вид
ξ−=υα−υ
ξ
μ
+
ξ
υ q
d
d 2
2
3 , (2)
где
ε
±=
ερ
=α
gq
r
k 2,
2
3
0
2 ; .
Уравнение (2) решаем при начальном условии
υ(0) = υ0, (3)
обозначив через υ0 значение стартовой скорости.
С помощью представления
ξα
μ
+ξυ=ξυ
2
1 2
3)()( (4)
из (2) получаем уравнение для определения υ1(ξ)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ μ
−
ξα
μ
+ξ−=υα−
ξ
υ
2
31
2
3
2
2
2
12
1 q
d
d . (5)
Выразим неизвестную функцию υ1(ξ) через вспомогательную функцию w(ξ) по фор-
муле
ξα
−=ξυ −
d
dww 1
2
1
1)( . (6)
Подставив (6) в (5), приходим к линейному уравнению второго порядка
01
2
31
2
3
222
2
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ξ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ μ
−
μ
−ξα−
ξ
wq
d
wd . (7)
Общее решение его зависит от знака q. Поэтому отдельно рассмотрим случаи дви-
жения частицы вниз и вверх.
1. При движении шара вниз q > 0. В этом случае общим решением (7) является
w(ξ) = η1/3[c1Iν(η) + c2Kν(η)]. (8)
Здесь η = βξ3/2; 23
2
α=β q ; 13
3
1
−μ=ν ; c1, c2 – произвольные постоянные; Iν(η), Kν(η) –
модифицированная функция Бесселя и Макдональда индекса ν.
Продифференцировав решение (8) в соответствии с (6), при учёте (4), получаем фор-
мулу скорости падения шара
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 1 57
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η
+μ−ν
−
η+η
η−η
α
ηβ
=ηυ
νν
+ν+ν
3
13
)()(
)()(
2
3)( 11
2
3/13/2
cIK
cIK . (9)
В ней c = c1c2
–1 – произвольная постоянная; индекс цилиндрических функций в числителе на
единицу больше, чем в знаменателе.
Используя (9) и (3), находим значение постоянной c
)()(
)()(
*
1
*
1
βυ+β
βυ−β
=
ν+ν
ν+ν
II
KKc . (10)
Здесь ( )
β
+μ−ν
+
β
υα
=υ
3
13
3
2 02* .
Без учёта реактивной силы μ = 0, ν = 1/3. Цилиндрические функции такого индекса
можно выразить через функции Эйри, протабулированные в [5]. Именно с помощью функ-
ций Эйри представлены решения задач баллистики в работах [4, 6–8], когда радиус частицы
уменьшается по закону Срезневского.
Рассмотрим асимптотику решения (9) при η → 0. Используя асимптотику цилиндри-
ческих функций малого аргумента [5],
ν
ν
ν
ν ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
η
νΓ
η
+νΓ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ηη
2
2
)(~,
)1(
1
2
~)( KI ; ,
где ν > 0, Γ(ν) – функция Эйлера, находим, что
( )1313
2
~)( 3/2
2
3/2
0
−μ+−μ
ηα
β
ηυ
→η
. (11)
Из (11) следует, что при μ < 1/3 υ (0) = 0. Если же μ > 1/3, то ∞→ηυ
→η 0
)( . Таким обра-
зом, асимптотическое поведение скорости падения частицы при t → ε–1 принципиально за-
висит от значения μ.
2. При движении шара вверх q < 0. В этом случае общим решением уравнения (7) яв-
ляется
w(ξ) = η1/3[c1Jν(η) + c2Yν(η)]. (12)
Здесь Jν(η), Yν(η) – функции Бесселя и Неймана индекса ν. Остальные обозначения
остаются прежними.
Продифференцировав (12), с учётом (4) и (6), получаем формулу скорости движения
частицы вверх
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η
+μ−ν
−
η+η
η+η
α
ηβ
=ηυ
νν
+ν+ν
3
13
)()(
)()(
2
3)( 11
2
3/13/2
cJY
cJY . (13)
В ней постоянная c имеет значение
)()(
)()(
1
*
*
1
β−βυ
βυ−β
=
+νν
ν+ν
JJ
YYc , (14)
что обеспечивает выполнение начального условия (3).
Решения (13), (14) имеют физический смысл лишь на промежутке η ∈ [0; η0], где η0
– корень уравнения υ(η0) = 0. После остановки частицы она начинает двигаться вниз, а ско-
рость падения описывается выражениями (9) и (10), причём υ0 = 0.
Аппроксимация скорости полёта частицы при малых M и больших υ0. В случае
большой стартовой скорости частицы малой массы решения (9), (10), (13), (14), по крайней
мере, на начальном этапе движения можно аппроксимировать более простыми формулами.
В указанных условиях сила гравитации частицы оказывается малой по сравнению с другими
силами. Поэтому для получения аппроксимации υ(η), следуя [9], положим в уравнении (2)
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 1 58
g = 0. Это приводит к уравнению Бернулли
03 2
2 =υα−υ
ξ
μ
+
ξ
υ
d
d .
Его решение, удовлетворяющее на-
чальному условию (3), имеет вид
( ) 1
0
33
2
31
)(
−μμ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
υ
ξ
+
μ−
ξ−ξα
=ηυП , (15)
когда μ ≠ 1/3. При μ = 1/3 появляется неопре-
делённость типа 0/0. Раскрыв её, находим
1
2
0
ln)(
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ξξα−
υ
ξ
=ηυП . (16)
Формулы (15) и (16) дают заниженное
значение скорости при падении частицы вниз и
завышенное значение – при движении частицы
вверх.
Результаты расчётов и их анализ.
Движение шара вниз. Проведём расчёт при r0 = 10–2м; υ0 = 40 м/с; k = 5⋅10-1кг/м2/с;
ε = 1 с–1; ρ = 1000 кг/м3 и различных значениях μ.
На рис. 1 цифрами 1, 2, 3 отмечены, рассчитанные по формуле (9) кривые, соответ-
ствующие значениям μ = 0,5; 0,6; 0,7. Как видно из рис. 1, при увеличении μ возрастает
влияние реактивной силы, и тело приобретает большую скорость.
Проверим точность асимптотической формулы (11) путём сравнения с точным ре-
шением. Для этого примем предыдущие исходные данные и μ = 0,7. Результаты такого срав-
нения представлены на рис. 2. Цифрой 1 обозначена кривая, полученная по приближённой
формуле (11), цифрой 2 – решение (9).
Результаты расчётов подтверждают то, что с ростом времени υ(t) стремится к асим-
птотике (11).
Движение шара вверх. Для расчёта примем прежние исходные данные. На рис. 3 циф-
рами 1, 2, 3, 4 отмечены рассчитанные по формуле (13) кривые, соответствующие значениям
µ = 0; 0,5; 0,6; 0,7. Исходя из полученных ре-
зультатов, можно сделать вывод, что при
µ > 1/3 скорость движения шара вверх имеет
экстремум, как и при падении его вниз.
Проверим точность асимптотической
формулы (15) путём сравнения с точным ре-
шением для тела, движущегося вверх. Сохра-
ним предыдущие исходные данные и значение
µ = 0,5. Результаты такого сравнения пред-
ставлены на рис. 4. Цифрой 1 обозначена кри-
вая, полученная по приближённой формуле
(15), цифрой 2 – решение (13). Расчёты под-
тверждают, что аппроксимация (15) примени-
ма для нахождения скорости лишь на началь-
ном этапе движения.
Выводы
Введением новой переменной в диффе-
ренциальное уравнение движения шара, радиус
которого убывает по закону Срезневского, его
Рис. 1. Зависимости скорости от времени
для различных μ при падении
сферической частицы
Рис. 2. Зависимости скорости от времени,
полученные различными способами
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 1 59
удалось преобразовать в специальное уравнение Риккати, решение которого выражается в
функциях Бесселя. Скорость движущегося вверх шара, для принятых значений параметров
имеет минимум, обусловленный действием реактивной силы. Без учёта реактивной силы
скорость движущейся частицы вверх является монотонно убывающей функцией.
Литература
1. Лышевский А. С. Распыливание топлива в судовых дизелях / А. С. Лышевский. – Л.: Судострое-
ние, 1971. – 248 с.
2. Стернин Л. Е. Основы газодинамики двухфазных потоков в соплах / Л. Е. Стернин. – М.: Маши-
ностроение, 1974. – 211 с.
3. Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы / И. В. Мещерский. – М.: Гос изд-во
техн. лит., 1952. – 276 с.
4. Балістика крапель, які випаровуються при польоті / С. І. Кучеренко, В. П. Ольшанський,
С. В. Ольшанський, Л. М. Тіщенко. – Харків: Харк. нац. техн. ун-т сілськ. госп., 2007. – 304 с.
5. Абрамовиц А. Справочник по специальным функциям (с формулами, графиками и математически-
ми таблицами) / А. Абрамовиц, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с.
6. Ольшанский В. П. О динамике испаряющейся капли, как материальной точки переменной массы /
В. П. Ольшанский, С. В. Ольшанский // Механика и машиностроение. – 2005. – № 1. – С. 6–12.
7. Ol’shanskii V. P. Lower estimate of the flight range of a fire-extinguishing liquid drop / V. P. Ol’shanskii,
S. V. Ol’shanskii // J. Eng. Phys. and Thermophys. – 2007. – Vol. 80, № 4. – P. 697–701.
8. Ольшанский В. П. О максимуме скорости падения сферического тела убывающей массы /
В. П. Ольшанский, С. В. Ольшанский // Механика и машиностроение. – 2007. – № 1. – С. 25–29.
9. Севриков В. В. Автоматические быстродействующие системы пожарной защиты / В. В. Севриков,
В. А. Карпенко, И. В. Севриков. – Севастополь: Севастоп. техн ун-т, 1996. – 260 с.
Поступила в редакцию
10.10.12
Рис. 3. Зависимости скорости от времени для
различных µ при движении
сферической частицы вверх
Рис. 4. Зависимости скорости от времени,
полученные различными способами
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99036 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0131-2928 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:31:58Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ольшанский, С.В. Аврамов, К.В. 2016-04-22T11:46:09Z 2016-04-22T11:46:09Z 2012 Моделирование движения частиц горящего топлива / С.В. Ольшанский, К.В. Аврамов // Проблемы машиностроения. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 55-59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99036 531 В функциях Бесселя выражен первый интеграл уравнения вертикального движения сферической частицы. Площадь ее убывает пропорционально времени её полёта, при условии, что сила аэродинамического сопротивления пропорциональна второй, а реактивная сила – первой степеням скорости движения частицы как шара с переменными во времени радиусом и массой. В функціях Бесселя виражено перший інтеграл рівняння вертикального руху сферичної частки. Площа її поверхні якої зменшується пропорційно часу її польоту, за умови, що сила аеродинамічного опору пропорційна другій, а реактивна сила – першій степеням швидкості руху частки як шару зі змінними в часі радіусом і масою. In Bessel functions the first integral of the equation of vertical motion of a spherical particle is expressed, the area of which surface decreases proportionally the time of flight, so as, provided that the force of aerodynamic resistance is proportional second, and jet force to the first degree of velocity of motion of a particle, as sphere with variable in time of radius and mass. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Прикладная математика Моделирование движения частиц горящего топлива Mathematical modelling of motion of particles of burning fuel Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование движения частиц горящего топлива Ольшанский, С.В. Аврамов, К.В. Прикладная математика |
| title | Моделирование движения частиц горящего топлива |
| title_alt | Mathematical modelling of motion of particles of burning fuel |
| title_full | Моделирование движения частиц горящего топлива |
| title_fullStr | Моделирование движения частиц горящего топлива |
| title_full_unstemmed | Моделирование движения частиц горящего топлива |
| title_short | Моделирование движения частиц горящего топлива |
| title_sort | моделирование движения частиц горящего топлива |
| topic | Прикладная математика |
| topic_facet | Прикладная математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99036 |
| work_keys_str_mv | AT olʹšanskiisv modelirovaniedviženiâčasticgorâŝegotopliva AT avramovkv modelirovaniedviženiâčasticgorâŝegotopliva AT olʹšanskiisv mathematicalmodellingofmotionofparticlesofburningfuel AT avramovkv mathematicalmodellingofmotionofparticlesofburningfuel |