Наближення функцій двох змінних двовимірними 2D кубічними інтерполяційними сплайнами на тріангульованій сітці вузлів

Викладені результати теоретичного і чисельного дослідження переваг побудованих явних формул для інтерполяційних кубічних сплайнів двох змінних на тріангульованій сітці вузлів, запропонованих раніше в роботах Зламала і Женішека. Ці явні формули не вимагають розв’язання систем лінійних алгебраїчних рі...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Литвин, О.М., Литвин, О.О., Лобанова, Л.С., Денисова, О.І.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2012
Schriftenreihe:	Проблемы машиностроения
Schlagworte:	Прикладная математика
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99046
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Наближення функцій двох змінних двовимірними 2D кубічними інтерполяційними сплайнами на тріангульованій сітці вузлів / О.М. Литвин, О.О. Литвин, Л.С. Лобанова, О.І. Денисова // Проблемы машиностроения. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 56-64. — Бібліогр.: 30 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99046
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-990462025-02-23T17:27:31Z Наближення функцій двох змінних двовимірними 2D кубічними інтерполяційними сплайнами на тріангульованій сітці вузлів Approach of functions of two variables by 2D cubic interpolational splines on triangulational grid of knots Литвин, О.М. Литвин, О.О. Лобанова, Л.С. Денисова, О.І. Прикладная математика Викладені результати теоретичного і чисельного дослідження переваг побудованих явних формул для інтерполяційних кубічних сплайнів двох змінних на тріангульованій сітці вузлів, запропонованих раніше в роботах Зламала і Женішека. Ці явні формули не вимагають розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь десятого порядку для кожного трикутника тріангуляції окремо, що, на думку авторів даної роботи, сприятиме поширенню їх застосувань в різних розділах обчислювальної математики. Изложены результаты теоретического и численного исследования преимуществ построенных явных формул для интерполяционных кубических сплайнов двух переменных на триангулированной сетке узлов, предложенных ранее в работах М. Зламала и А. Женишека. Эти явные формулы не требуют решения системы линейных алгебраических уравнений десятого порядка для каждого треугольника триангуляции отдельно,что, по мнению авторов данной статьи, будет содействовать расширению их применений в различных разделах вычислительной математики. Results of theoretical and numerical research of advantages of the constructed obvious formulas for interpolational cubic splines of two variables on triangulational grid of knots, offered earlier in works by M.Zlamala and A.Zhenisheka, are stated. These obvious formulas do not demand the decision of system of the linear algebraic equations for each triangle of a triangulation separately, that, according to authors of given article, will promote expansion of their applications in various sections of calculus mathematics. 2012 Article Наближення функцій двох змінних двовимірними 2D кубічними інтерполяційними сплайнами на тріангульованій сітці вузлів / О.М. Литвин, О.О. Литвин, Л.С. Лобанова, О.І. Денисова // Проблемы машиностроения. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 56-64. — Бібліогр.: 30 назв. — укр. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99046 519.6 uk Проблемы машиностроения application/pdf Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Прикладная математика Прикладная математика
spellingShingle	Прикладная математика Прикладная математика Литвин, О.М. Литвин, О.О. Лобанова, Л.С. Денисова, О.І. Наближення функцій двох змінних двовимірними 2D кубічними інтерполяційними сплайнами на тріангульованій сітці вузлів Проблемы машиностроения
description	Викладені результати теоретичного і чисельного дослідження переваг побудованих явних формул для інтерполяційних кубічних сплайнів двох змінних на тріангульованій сітці вузлів, запропонованих раніше в роботах Зламала і Женішека. Ці явні формули не вимагають розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь десятого порядку для кожного трикутника тріангуляції окремо, що, на думку авторів даної роботи, сприятиме поширенню їх застосувань в різних розділах обчислювальної математики.
format	Article
author	Литвин, О.М. Литвин, О.О. Лобанова, Л.С. Денисова, О.І.
author_facet	Литвин, О.М. Литвин, О.О. Лобанова, Л.С. Денисова, О.І.
author_sort	Литвин, О.М.
title	Наближення функцій двох змінних двовимірними 2D кубічними інтерполяційними сплайнами на тріангульованій сітці вузлів
title_short	Наближення функцій двох змінних двовимірними 2D кубічними інтерполяційними сплайнами на тріангульованій сітці вузлів
title_full	Наближення функцій двох змінних двовимірними 2D кубічними інтерполяційними сплайнами на тріангульованій сітці вузлів
title_fullStr	Наближення функцій двох змінних двовимірними 2D кубічними інтерполяційними сплайнами на тріангульованій сітці вузлів
title_full_unstemmed	Наближення функцій двох змінних двовимірними 2D кубічними інтерполяційними сплайнами на тріангульованій сітці вузлів
title_sort	наближення функцій двох змінних двовимірними 2d кубічними інтерполяційними сплайнами на тріангульованій сітці вузлів
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Прикладная математика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99046
citation_txt	Наближення функцій двох змінних двовимірними 2D кубічними інтерполяційними сплайнами на тріангульованій сітці вузлів / О.М. Литвин, О.О. Литвин, Л.С. Лобанова, О.І. Денисова // Проблемы машиностроения. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 56-64. — Бібліогр.: 30 назв. — укр.
series	Проблемы машиностроения
work_keys_str_mv	AT litvinom nabližennâfunkcíjdvohzmínnihdvovimírnimi2dkubíčnimiínterpolâcíjnimisplajnaminatríangulʹovaníjsítcívuzlív AT litvinoo nabližennâfunkcíjdvohzmínnihdvovimírnimi2dkubíčnimiínterpolâcíjnimisplajnaminatríangulʹovaníjsítcívuzlív AT lobanovals nabližennâfunkcíjdvohzmínnihdvovimírnimi2dkubíčnimiínterpolâcíjnimisplajnaminatríangulʹovaníjsítcívuzlív AT denisovaoí nabližennâfunkcíjdvohzmínnihdvovimírnimi2dkubíčnimiínterpolâcíjnimisplajnaminatríangulʹovaníjsítcívuzlív AT litvinom approachoffunctionsoftwovariablesby2dcubicinterpolationalsplinesontriangulationalgridofknots AT litvinoo approachoffunctionsoftwovariablesby2dcubicinterpolationalsplinesontriangulationalgridofknots AT lobanovals approachoffunctionsoftwovariablesby2dcubicinterpolationalsplinesontriangulationalgridofknots AT denisovaoí approachoffunctionsoftwovariablesby2dcubicinterpolationalsplinesontriangulationalgridofknots
first_indexed	2025-11-24T04:02:38Z
last_indexed	2025-11-24T04:02:38Z
_version_	1849642931525255168
fulltext	ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 2 56 УДК 519.6 О. М. Литвин, д-р. фіз.-мат. наук О. О. Литвин, канд. фіз.-мат. наук Л. С. Лобанова, канд. фіз.-мат. наук О. І. Денисова Українська інженерно-педагогічна академія (м. Харків, e-mail: academ_mail@ukr.net ) НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ДВОХ ЗМІННИХ ДВОВИМІРНИМИ КУБІЧНИМИ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИМИ СПЛАЙНАМИ НА ТРІАНГУЛЬОВАНІЙ СІТЦІ ВУЗЛІВ Викладені результати теоретичного і чисельного дослідження переваг побудованих яв- них формул для інтерполяційних кубічних сплайнів двох змінних на тріангульованій сітці вузлів, запропонованих раніше в роботах Зламала і Женішека. Ці явні формули не вима- гають розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь десятого порядку для кожного трикутника тріангуляції окремо, що, на думку авторів даної роботи, сприятиме поши- ренню їх застосувань в різних розділах обчислювальної математики. Изложены результаты теоретического и численного исследования преимуществ по- строенных явных формул для интерполяционных кубических сплайнов двух переменных на тріангулированной сетке узлов, предложенных ранее в работах М. Зламала и А. Же- нишека. Эти явные формулы не требуют решения системы линейных алгебраических уравнений десятого порядка для каждого треугольника тріангуляции отдельно,что, по мнению авторов данной статьи, будет содействовать расширению их применений в различных разделах вычислительной математики. Вступ В роботах [1–25] є повна інформація щодо публікацій з розглядуваного питання (див. також [26]), з якої витікає актуальність задачі побудови інтерполяційних кубічних сплайнів, запропонованих раніше в роботах Зламала і Женішека. Такий метод побу- дови явних формул для інтерполяції функцій f(x, y) ∈ C1(D), D ⊂ R2 і їх частинних по- хідних першого порядку у вершинах трикутників тріангуляції запропоновано вперше в працях [27–30]. Зауважимо, що термін «клас C1(D)» у працях [27–30] стосується наближу- ваної функції f(x, y). Автори вдячні академіку НАН України В. С. Дейнеці за це зауваження. Побудова локальних інтерполяційних сплайнів двох змінних s(x, y) для наближення функцій f(x, y), заданих своїми значеннями та значеннями частинних похідних першого порядку на фіксованій сітці вузлів Pk(xk, yk) ∈ D ⊂ R2, k = 1, 2, …, M, є важливою практичною задачею. Якщо сітка вузлів є регулярною, тобто вузли сітки розміщені в точках Pi,j(xi, yj) ∈ D ⊂ R2, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n , то побудова 2D інтерполяційних сплайнів класу C1(D) може бу- ти виконана у вигляді тензорного добутку базисних сплайнів однієї змінної Bi(x) ∈ C1(R), Bj(y) ∈ C1(R) степеня r ≥ 2 ∑∑ = = = m i n j jiji yBxBcyxs 1 1 , )()(),( . У випадку довільного розміщення вузлів інтерполяції Pk(xk, yk) ∈ D ⊂ R2, k = 1, 2, …, M у заданій обмеженій області D, загальновідомими є такі кусково-поліноміальні інтерполяційні формули: ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 2 57 − кусково-лінійна інтерполяція на тріангульованій області (наближуюча функція є непере- рвною s(x, y) ∈ C(D), її графік – багатогранник з гранями – площинами над кожним три- кутником розбиття; інтерполяційні дані f(xk, yk), k = 1, 2, …, M задаються лише у точках – вершинах трикутників); − кусково-поліноміальні формули інтерполяції у вузлах тріангуляції в математичній літера- турі відомі під назвою «формули інтерполяції зламаловського типу»; − кусково-квадратична інтерполяція на тріангульованій області (наближуюча функція s(x, y) на кожному з трикутників розбиття є поліномом другого степеня, коефіцієнти яко- го знаходяться з умови, щоб s(x, y) була неперервною s(x, y) ∈ C(D) та інтерполювала f(x, y) у вершинах трикутників і у серединах сторін цих трикутників) . Цей метод у працях В. Г. Корнеєва [26] узагальнено на випадок побудови функцій s(x, y) ∈ C(D), які є поліномами степеня r, r ≥ 2 у кожному з трикутників розбиття області D на трикутники, та s(x, y) інтерполює функцію f(x, y) у вершинах трикутника та у m (m ≥ 1) точках кожної з трьох сторін трикутника, розміщених між вершинами цих сторін (у цьому випадку степінь r, r ≥ 2 полінома повинна бути узгоджена з кількістю коефіцієнтів, потріб- них для інтерполювання у 3m + 3 точках; нагадаємо, що поліном степеня r від двох змінних має ( )( ) !2 21 ++ rr коефіцієнтів, тому для деяких r потрібно використовувати додаткові умови (наприклад, для r = 3 число коефіцієнтів дорівнює 10, а умов 3m + 3 при m = 2 – дорівнює 9; у цьому випадку для однозначної інтерполяції потрібно (крім інтерполяції у вершинах три- кутника та у двох точках на кожній зі сторін трикутника) ще одну інтерполяційну умову, наприклад, вимагати, щоб s(x, y) інтерполював також значення функції f(x, y) у середній то- чці трикутника ( )kjikji kjikji yx yyyxxx ,,,, , 3 , 3 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++ . У роботі Ю. Н. Субботіна [16] запропоновано інший метод побудови кубічного ін- терполяційного сплайна, згідно з яким сплайн інтерполює функцію і її частинні похідні пер- шого порядку у вершинах трикутників (девять умов) і потрібна додаткова десята умова зада- ється не у центральній точці трикутника, а у середній точці однієї зі сторін трикутника. Ця умова має вигляд рівності нормальної похідної від кубічного інтерполяційного полінома і наближуваної функції f(x, y). Такий сплайн має високу точність. Але варто відмітити, що у зв’язку з тим, що сторони трикутників нерівноправні, при чисельній реалізації необхідний, крім переліку вершин тріангуляції, додатковий список пар вершин тріангуляції, між якими задаються вказані додаткові умови. Критерій такого вибору поки що відсутній. Нижче (Теорема 1 та формули (1)–(11)) сформульовано проблему в загальному ви- гляді, а також СЛАР (2)–(11), яку треба розв’язати, щоб побудувати потрібні кубічні полі- номи згідно з алгоритмом Зламала–Женішека. Таким чином, в кожному з трикутників тріан- гуляції потрібно розв’язувати вказану СЛАР. Цей підхід ми назвемо неявним методом побу- дови кубічних інтерполяційних сплайнів Зламала–Женішека на тріангульованій сітці вузлів. У роботах [27–28] сформульовано і доведено ряд лем і теорем стосовно побудови яв- них формул для інтерполяційних кубічних поліномів на трикутнику згідно з працями Злама- ла і Женішека. В роботах [29–30] запропоновано метод наближеного розв’язання першої крайової задачі для бігармонійного рівняння за допомогою запропонованих інтерполяційних кубічних сплайнів. Але питання про чисельне порівняння ефективності використання сплайнів, заданих явно і неявно (параметри – коефіцієнти яких у кожному трикутнику роз- биття знаходяться шляхом розв’язання відповідних СЛАР – див. СЛАР (2)–(11)), при на- ближенні функцій двох змінних залишається відкритим. Метою даної роботи є теоретичне і чисельне дослідження переваг побудованих яв- них формул для інтерполяційних сплайнів двох змінних на тріангульованій сітці вузлів при наближенні функцій f(x, y), які належать до класу C1(D) і не вимагають розв’язання СЛАР ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 2 58 для кожного трикутника тріангуляції окремо, порівняно з цими ж сплайнами Зламала і Же- нішека [1–5], але без використання явних формул для них. Основні твердження роботи Для побудови 2D кубічних інтерполяційних сплайнів для функцій класу C1(D) на тріангульованій сітці вузлів будемо використовувати твердження такої теореми [5]. Теорема 1. (Женішек). Для кожної функції f(x, y) ∈ C1(D), функція s(x, y), яка у ко- жному трикутнику Tijk = PiPjPk ⊂ D розбиття області D на трикутники є поліномом третього степеня 3 03 2 12 2 21 3 30 2 0211 2 20011000),( yaxyayxaxayaxyaxayaxaayxp ijkijkijkijkijkijkijkijkijkijk ijk +++++++++= (1) з властивостями ijk m kjikjikjikji ijkkjikjiijk kkkkkjjjjj iiiiikkkkk jjjjjiiiii kkkkkijkjjjjjijkiiiiiijk f yyyxxx f yyyxxx pyxp fyxfyxpfyxfyxp fyxfyxpfyxfyxp fyxfyxpfyxfyxp fyxfyxpfyxfyxpfyxfyxp ijkijk ijkijk ijkijk =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++ = ==== ==== ==== ====== 3 , 33 , 3 ),( ,),(),(,),(),( ,),(),(,),(),( ,),(),(,),(),( ,),(),(,),(),(,),(),( ,,,, )1,0()1,0()1,0()1,0()1,0()1,0( )1,0()1,0()1,0()0,1()0,1()0,1( )0,1()0,1()0,1()0,1()0,1()0,1( єдина. Нижче напишемо відповідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) віднос- но коефіцієнтів 30,, ≤+≤ qpaijk qp полінома pijk(x, y), що витікає з написаних вище інтерполя- ційних умов ii ijk ii ijk ii ijk i ijk i ijk ii ijk i ijk i ijk i ijkijk fyayxayxaxayayxaxayaxaa =+++++++++ 3 03 2 12 2 21 3 30 2 0211 2 20011000 , (2) jj ijk jj ijk jj ijk j ijk j ijk jj ijk j ijk j ijk j ijkijk fyayxayxaxayayxaxayaxaa =+++++++++ 3 03 2 12 2 21 3 30 2 0211 2 20011000 , (3) kk ijk kk ijk kk ijk k ijk k ijk kk ijk k ijk k ijk k ijkijk fyayxayxaxayayxaxayaxaa =+++++++++ 3 03 2 12 2 21 3 30 2 0211 2 20011000 , (4) )0,1(2 1221 2 30112010 232 ii ijk ii ijk i ijk i ijk i ijkijk fyayxaxayaxaa =+++++ , (5) )0,1(2 1221 2 30112010 232 jj ijk jj ijk j ijk j ijk j ijkijk fyayxaxayaxaa =+++++ , (6) )0,1(2 1221 2 30112010 232 kk ijk kk ijk k ijk k ijk k ijkijk fyayxaxayaxaa =+++++ , (7) )1,0(2 0312 2 21021101 322 ii ijk ii ijk i ijk i ijk i ijkijk fyayxaxayaxaa =+++++ , (8) )1,0(2 0312 2 21021101 322 jj ijk jj ijk j ijk j ijk j ijkijk fyayxaxayaxaa =+++++ , (9) )1,0(2 0312 2 21021101 322 kk ijk kk ijk k ijk k ijk k ijkijk fyayxaxayaxaa =+++++ , (10) ),,( ,,,,,, 3 03 2 ,,12,, 2 ,,21 3 ,,30 2 02,,,,11 2 ,,20,,01,,1000 ,,,, ,, kjikjikji ijk kji ijk kjikji ijk kji ijk ijk kjikji ijk kji ijk kji ijk kji ijkijk yxffyayxayxaxa yayxaxayaxaa kjikji kji ==++++ ++++++ (11) Таким чином, для знаходження невідомих aij, 0 ≤ i + j ≤ 3 потрібно розв’язати СЛАР, яка складається з десяти рівнянь (2)–(11) для кожного трикутника Tijk. Опускаємо розв’язання написаних вище систем і нижче наведемо конструктивне розв’язання поставленої задачі про побудову зазначених вище поліномів 3-го степеня у кож- ному трикутнику Tijk, яке не вимагає розв’язання СЛАР [27–28]. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 2 59 Введемо до розгляду систему функцій двох змінних hp,q,r(x, y), які вважаємо визначе- ними лише в трикутнику Tpqr з вершинами Ap, Aq, Ar, p,q,r ∈ {1, 2, …, M}, ( )( ) ( )( ) . ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( 1 1 1 ),( ,,,,, , ,,,,, , ,,,,, , ,, , rqprqppr pr rqprqprq rq rqprqpqp qp rqp ppqpqp qq ppqp yxw yxw yxw yxw yxw yxw yxh xxyyxxyy yx yx yx yxw = −−−−−== Лема 1 [27–28]. Функція hp,q,r(x, y) є поліномом третього степеня від двох змінних з властивостями .,,),,( },,,{,10,0),(,1),( ,,,, 0,0 2121 ,,,,,,,, 21 rqprqp iirqprqprqprqp hhD yx D rqpiyxhDyxh = ∂∂ ∂ =γ+γ=γγγ=γ ∈≤γ≤== γγ γ γ γ Введемо також для β = (β1, β2), \|β\| = β1 + β2 такі функції: ( ) ( ) \|\|1 ),( 2 , 2 , , , ),( 1),( ! ),( 21 β− ββ β ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ β −− = rr yxqp qp rrqp r yxw yxwyyxxyxh де ( ) ( ) !!!, !),( 1 ),( 1 21 \|\|1\|\|0 ),(, \|\|1 ),(, 21 γγ=γ γ −− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ γγ β−≤γ≤ γ β− ∑ rr yxqpyxqp yyxx yxu D yxu rrrr Лема 2 [27–28]. Функції ),(, , yxh qp r β є поліномами третього степеня від двох змінних з властивостями .\|\|),,(,1\|\|,),( },,,{,;),( 2121,,, , , \|\|,0, , , 2211 γ+γ=γγγ=γ=γδδδ= ∈δδ= βγβγβ γ ββ krkk qp r krkk qp r yxhD rqprkyxh Теорема 1 [27–28]. Оператор ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ≠≠ ∈ ≤β≤ β ≠≠ ∈ ≤β≤ β β β = −+= qpk rqpk rqprqp qp yxrqp rqprqprqprqp qpk rqpk qp kyxrqp yxhyxfDz yxhzyxfyxhyxfDyxfO k kk kk },,{ 1\|\|0 ,,,, , ),(,, ,,,,,,,, },,{ 1\|\|0 , ,),(,, ),(),( ),(),(),(),(),( , ставить у відповідність кожній функції f(x, y) ∈ C1(Tp,q,r) поліном третього степеня від двох змінних з властивостями }.,,{,1\|\|0,),(),( ),,(),( ),(),(,, ,,,,,,,,,, rqpiyxfDyxfOD yxfyxfO iiii yxyxrqp rqprqprqprqprqp ∈≤γ≤= = γγ Теорема 2 [27–28]. Оператор DTyxyxfOyxOf rqprqp ⊂∈= ,,,, ),(),,(),( має властивості .1\|\|0},,,2,1{ ),,(),(,),,(),( ,,,,,,,,,, ≤γ≤∈ =∈= γγ Mi yxfDyxOfDDTyxfyxOf iiiikjikjikjikjikji K ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 2 60 Наслідок. ∑ ≤+≤ ==∀= 30 ,3 ),(),(),(),( ji ji ji yxayxPyxfyxfyxOf . Теорема 3. Якщо область наближення розбита на N трикутників AiAjAk тріангуляції, то для обчислення функції S(x, y) – кубічного інтерполяційного сплайна, побудованого за методом Зламала–Женішека, потрібно на NQ 310 3 2 = більше арифметичних операцій, ніж в методі, запропонованому в [27–28] і в даній роботі, який використовує явні формули для інтерполяційних поліномів. Доведення витікає з того, що для розв’язання системи n лінійних алгебраїчних рів- нянь методом Гаусса потрібно 3 3 2 n арифметичних операцій. В умовах теореми n = 10. Вра- ховуючи, що таку систему треба розв’язувати для кожного трикутника тріангуляції, отриму- ємо доведення теореми 3. Авторами створена програма побудови кубічних сплайнів, що інтерполюють функ- цію та її частинні похідні першого порядку на системі точок, розміщених в точках перетину прямих, паралельних осям координат, та інтерполюють функцію f(x, y) в середніх точках трикутників, катети яких знаходяться на вказаній системі взаємно перпендикулярних пря- мих, а гіпотенузи з’єднують ці точки. Обчислювальний експеримент Приклад 1. Для тестування створеної програми і побудованих сплайнів використана функція f(x, y) = x3 + y3 + x2y + xy2 + xy + 1. Ця функція є поліномом третього степеня і згідно з теорією повинна точно відновлюватися вказаними кубічними сплайнами. Тестування в цьому і в усіх інших прикладах здійснювалося за таким алгоритмом: − знаходилися різниці ;,2,1),,(),( ),(),( 2121 nkyxSyxf kkkk K=− ββββ ;10 21 ≤β+β≤ − знаходилися різниці ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++ 3 , 33 , 3 kjikjikjikji yyyxxx Of yyyxxx f − для кожного трикутника розбиття з вершинами ),(),,(),,( kkjjii yxyxyx ; { }nkji ,...,2,1,, ∈ ; ff WW1 а) б) Рис. 1. Графічне зображення: а) – функції f(x, y) = x3 + y3 + x2y + xy2 + xy + 1 б) – 2D кубічного інтерполяційного сплайна S(x, y) ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 2 61 − для заданого Q обчислювалась матриця Qji Q j Q iOf Q j Q ifB ji K,1,0,,,,, =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = і потім знаходились maxB, minB. Найбільше з абсолютних величин цих двох чисел є похибкою наближення на вказаній сітці вузлів. Для знаходження похибки у всій області далі обчис- лювалась ця похибка на сітці вузлів, яка отримується із вказаної при Q1 = CQ. В роботі приймалося C = 10. Якщо різниця між цими похибками є достатньо малою, то умовно вважаємо знайдену похибку похибкою у всій області, інакше знову збільшуємо Q і по- вторюємо описані операції зі знаходження похибки. Результати тестування в прикладі 1 підтвердили теоретичне твердження теорії Зламала і Женішека про те, що вказані сплай- ни точно відновлюють всі поліноми третього степеня. Приклад 2. Функція 1)( 24 1),( 332244 +++++= xyyxyxyxyxf має частинні похідні четвертого порядку по x та по y (не мішані), що дорівнюють одиниці. Для неї при розбитті квадрата [0, 1]×[0, 1] на 12 трикутників точками ,,1,0,,,, ni m jy n ixyyxx jiji K===== отримана похибка 0,002, а при розбитті при n = 4, m = 6 похибка наближення склала 0,0001. Ці похибки мають вигляд ε = Q(Δ4), Δ дорівнює максимальному значенню довжини гіпотенуз трикутників розбиття. Приклад 3. Розглянуто наближення функції f(x, y) = 10(x + y)(x + y – 0,2)(x + y – 0,5)× ×(x + y – 0,8), яка має в області розбиття точки перегину, підобласті опуклості та вгнутості. Для неї похибка наближення складає 0,04 при розбитті ,,,, m jy n ixyyxx jiji ==== i = 0, 1, …, n, j = 0, 1, …, m, n = 2, m = 3 та 0,002 при n = 4, m = 6. Відмітимо, що отримані за допомогою обчислювального експерименту результати для другого та третього прикладів дали оцінки похибки, наведені в таблиці. ff WW1 а) б) Рис. 2. Графічне зображення: а) – функції 1)( 24 1),( 332244 +++++= xyyxyxyxyxf б) – 2D кубічного інтерполяційного сплайна S(x, y) ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 2 62 Похибки наближення поверхонь z = f(x, y) 2D кубічними інтерполяційними сплайнами S(x, y). f(x, y) m n ),(),(max 1,0 yxSyxf yx −=ε ≤≤ f2(x, y) 2 3 0,0018305 f2(x, y) 4 6 0,0001054 f2(x, y) 8 12 0,0000066 f3(x, y) 2 3 0,0390625 f3(x, y) 4 6 0,0022500 f3(x, y) 8 12 0,0001406 Висновки Таким чином, використання для наближення функцій двох змінних кубічних сплай- нів на тріангульованій сітці вузлів, побудованих за методом, що не вимагає розв’язання до- поміжних СЛАР, підтвердило високу точність наближення, яка доведена в працях Женішека і Зламала. Крім того, їх використання значно зменшує кількість арифметичних операцій, не- обхідних для обчислення побудованого кубічного сплайна в заданій системі точок, що не збігається з вузлами сплайна. Це твердження є важливим при розв’язанні крайових задач, зокрема для бігармонійного рівняння. В подальшому автори планують узагальнити запропо- нований метод на випадок інтерполяції на трикутниках за допомогою поліномів більш висо- ких степенів та дослідити його обчислювальні переваги. Література 1. Zlamal M. On the finite element method / M. Zlamal // Numer. Math. – 1968. – Vol. 12. – Р. 394–409. 2. Zlamal M. On some finite element procedures for solving second order boundary value problems / M. Zlamal // Numer. Math. – 1969. – Vol. 14. – P. 42–48. 3. Zlamal M. А finite element procedure of the second order accuracy / M. Zlamal // Numer. Math. – 1970. – Vol. 14. – P. 394–402. 4. Zenisek A. Interpolation polynomials on the triangle / M. Zlamal // Numer. Math. – 1970. – Vol. 15. – P. 283–296. ff WW1 а) б) Рис. 3. Графічне зображення: а) – функції f(x, y) = 10(x + y)(x + y – 0,2)(x + y – 0,5) (x + y – 0,8) б) – 2D кубічного інтерполяційного сплайна S(x, y) ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 2 63 5. Zlamal M. Mathematical aspect of the finite element method / M. Zlamal, Zenisek A. // Technical, physi- cal and mathematical principles of the finite element method (V. Kolar et. al. eds.) Praha: Acad. VED. 1971. – P. 15–39. 6. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе / Р. Варга. – М.: Мир, 1974. – 126 с. 7. Babushka I. On the engle condition in the finite element method / I. Babushka, A. K. Aziz // SIAM J. Numer. Anal. – 1976. – Vol. 13, № 2. – P. 214–226. 8. Bramble J. H. Triangular elements in the finite element method / J. H. Bramble, M. Zlamal // Math. Comp. – 1970. – Vol. 24. – P. 809–820. 9. Субботин Ю. Н. Зависимость оценок аппроксимации интерполяционными полиномами пятой сте- пени от геометрических характеристик треугольника / Ю. Н. Субботин // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 1992. – Т. 2. – С. 110–119. 10. Субботин Ю. Н. Многомерная кусочно полиномиальная интерполяция / Ю. Н. Субботин // Мето- ды аппроксимации и интерполяции. – Новосибирск: ВЦН, 1981. – С. 148–153. 11. Субботин Ю. Н. Зависимость оценок многомерной кусочно полиномиальной аппроксимации от геометрических характеристик тріангуляции / Ю. Н. Субботин // Тр. МИАН СССР. – 1989. – Т. 189. – С. 117–137. 12. Baidakova N. V. On some interpolation process by polynomials of degree 4m+1 on the triangle / N. V. Baidakova // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. – 1999. –Vol. 14, № 2. – P. 87–107. 13. Latypova N. V. Error estimates fox approximation by polynomials of dagree 4m+1 on the triangle / N. V. Latypova // Proc. Steclov Institute of Math., Suppl. 1. – 2002. – P. 190. 14. Латыпова Н. В. Погрешность кусочно-кубической интерполяции на треугольнике / Н. В. Латыпова // Вестн. Удмурт. ун-та. Сер. Математика. – 2003. – С. 3–10. 15. Zenisek A. Maximum-angle condition and triangular finite elements of hermite type / A. Zenisek // Math. Comp. – 1995. – Vol. 64, № 211. – P. 929–941. 16. Субботин Ю. Н. Новый кубический элемент в МКЭ / Ю. Н. Субботин // Тр. Ин-та математики и механики. Теория функций: Сб. науч. тр. – Екатеринбург: УрО РАН, 2005. – Т. 11, № 2. – С. 120– 130. 17. Байдакова Н. В. Об одном способе эрмитовой интерполяции многочленами третьей степени на треугольнике / Н. В Байдакова .// Тр. Ин-та математики и механики. Теории функций: Сб. науч. тр. – Екатеринбург: УрО РАН, 2005. – T. 11, № 2. – Р. 47–52. 18. Zenisek A. Semiregular hermite tetrahedral finite elements / A. Zenisek, J. Hoderova-Zlamalova // Appl. Math. – 2001. – № 4. – P. 295–315. 19. Субботин Ю. Н. Исследование свойств монотоности и выпуклости при локальной аппроксимации / Ю. Н. Субботин // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1993. – Т. 33, № 7. – С. 996–1003. 20. Куприянова Ю. В. Об оценке производной по направлению Эрмитова сплайна на треугольнике / Ю. В. Куприянова // Математика. Механика: Сб. науч. тр. – Саратов. – 2006. – Вып. 8. – С. 59–61. 21. Куприянова Ю. В. Об оценке производной Эрмитова сплайна на трехмерном симплексе / Ю. В. Куприянова // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 13-й Саратов. зимней шк. – Саратов: Науч. книга, 2006. – 102 с. 22. Куприянова Ю. В. Об аппроксимации производных интерполяционного многочлена по направле- ниям на треугольнике / Ю. В. Куприянова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конф. - Воронеж, 2007. – С. 120–121. 23. Матвеева Ю. В. Об интерполяции кубическими многочленами третей степени на треугольнике с использванием смешанных производных / Ю. В. Матвеева // Изв. Саратов. ун-та. Новая сер. Сер. математика. Механика. Информатика. – 2007. – Т. 7, Вып. 1. – С. 28–32. 24. Куприянова Ю. В. Об одной теореме из теории сплайнов / Ю. В. Куприянова // Журн. вычисл. ма- тематики и мат. физики. – 2008. – Т. 48, № 2. – С. 206–211. 25. Матвеева Ю. В. Приближение функций многочленами на треугольной сетке: Дис. канд. физ.-мат. наук, Саратов, 2008. – 100 с. 26. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности / В. Г. Корнеев. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. – 206 с. 27. Литвин О. М. Явні формули для 2D кубічних інтерполяційних сплайнів класу C1(D) на тріангу- льованій сітці вузлів / О. М. Литвин, О. О. Литвин, О. І. Денисова: Зб. тез та доп. XLIV наук.- практ. конф. наук.-педагог. працівників, науковців, аспірантів та співробітників академії. Ч.4 Хар- ків. – 2011. – С. 9–11. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 2 64 28. Литвин О. М. Побудова 2D кубічних інтерполяційних сплайнів класу C1(D)/ О. М. Литвин, О. О. Литвин, О. І. Денисова // Вісн. Запоріз. нац. ун-ту. – 2011. – № 1. – С. 66–74. 29. Литвин О. М. Про явні схеми МСЕ розв’язання крайових задач з використанням кубічних сплай- нів класу C1(D) на нерегулярній сітці вузлів тріангуляції / О. М. Литвин, Л. С. Лобанова // Зб. тез доп. XLIV наук.-практ. конф. наук.-пед. працівників, науковців, аспірантів та співробітників ака- демії. – Ч. 4. – Харків, 2011. – С. 13–14. 30. Литвин О. М. Про явні схеми МСЕ розв’язання задачі про згин жорстко защемленої пластини з використанням кубічних сплайнів класу C1(G) на нерегулярній сітці / О. М. Литвин, Л. С. Лобанова // Інформатика та системні науки (ІСН-2011): Матеріали II Всеукр. наук.-практ. конф. 17–19 бер. 2011 р. – Полтава: РВВ ПУЕТ, 2011. – С. 343–346. Надійшла до редакції 4.07.11

Наближення функцій двох змінних двовимірними 2D кубічними інтерполяційними сплайнами на тріангульованій сітці вузлів

Institution

Ähnliche Einträge