Про деякi зв’язки мiж факторами канонiчних центральних рядiв в алгебрах Лейбнiца
Доведено, що зi скiнченностi ковимiрностi деякого члена ζk(L) верхнього центрального ряду алгебри Лейбнiца L випливає скiнченнiсть вимiрностi γk+1(L), та отримано границю для цiєї вимiрностi. Доказано, что из конечности коразмерности некоторого члена ζk(L) верхнего центрального ряда алгебры Лейбниц...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99076 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про деякi зв’язки мiж факторами канонiчних центральних рядiв в алгебрах Лейбнiца / Л.А. Курдаченко, Х. Отал, О.О. Пипка // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 14-18. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859768583264927744 |
|---|---|
| author | Курдаченко, Л.А. Отал, Х. Пипка, О.О. |
| author_facet | Курдаченко, Л.А. Отал, Х. Пипка, О.О. |
| citation_txt | Про деякi зв’язки мiж факторами канонiчних центральних рядiв в алгебрах Лейбнiца / Л.А. Курдаченко, Х. Отал, О.О. Пипка // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 14-18. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Доведено, що зi скiнченностi ковимiрностi деякого члена ζk(L) верхнього центрального ряду алгебри Лейбнiца L випливає скiнченнiсть вимiрностi γk+1(L), та отримано границю для цiєї вимiрностi.
Доказано, что из конечности коразмерности некоторого члена ζk(L) верхнего центрального
ряда алгебры Лейбница L вытекает конечность размерности γ
k+1(L), и получена граница
для этой размерности.
We have proved that the finiteness of the codimension of some member ζk(L) of the upper central
series of the Leibniz algebra L yields the finiteness of the dimension of γ
k+1(L) and give the
bounds of this finiteness.
|
| first_indexed | 2025-12-02T06:13:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.554 http://dx.doi.org/dopovidi2016.03.014
Л.А. Курдаченко, Х. Отал, О.О. Пипка
Днiпропетровський нацiональний унiверситет iм. Олеся Гончара
E-mail: lkurdachenko@i.ua, otal@unizar.es, pypka@ua.fm
Про деякi зв’язки мiж факторами канонiчних
центральних рядiв в алгебрах Лейбнiца
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В.П. Моторним)
Доведено, що зi скiнченностi ковимiрностi деякого члена ζk(L) верхнього центрально-
го ряду алгебри Лейбнiца L випливає скiнченнiсть вимiрностi γk+1(L), та отримано
границю для цiєї вимiрностi.
Ключовi слова: алгебра Лейбнiца, алгебра Лi, верхнiй центральний ряд, нижнiй цен-
тральний ряд.
Нехай L — алгебра над полем F , тодi L будемо називати алгеброю Лейбнiца (бiльш точно,
лiвою алгеброю Лейбнiца), якщо виконується така умова (тотожнiсть Лейбнiца):
[[a, b], c] = [a, [b, c]]− [b, [a, c]] для всiх a, b, c ∈ L.
Поняття алгебри Лейбнiца ввiв Ж. Лодей [1]. З того часу вони набули чималої популяр-
ностi, в першу чергу через їх застосування у фiзицi. Якщо L — така алгебра Лейбнiца, що
[a, a] = 0 для кожного елемента a ∈ L, то можна легко переконатися в тому, що L є алге-
брою Лi. Iнакше кажучи, ми можемо розглядати алгебри Лейбнiца як не антисиметричний
аналог алгебр Лi. Для багатьох важливих результатiв теорiї алгебр Лi були одержанi ана-
логи в рамках теорiї алгебр Лейбнiца (див., наприклад, [2–8]). Досить часто такi аналоги
прямi, проте iнодi вони мають дещо специфiчнi вiдмiнностi.
Нагадаємо спочатку деякi стандартнi означення та позначення.
Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F . Якщо A, B — пiдпростори алгебри L, то через
[A,B] будемо позначати пiдпростiр, породжений всiма елементами [a, b], де a ∈ A, b ∈ B.
Як завжди, пiдпростiр A алгебри L будемо називати пiдалгеброю алгебри L, якщо [x, y] ∈
∈ A для будь-яких елементiв x, y ∈ A. З означення випливає, що [A,A] 6 A.
Пiдалгебра A називається лiвим (вiдповiдно правим) iдеалом алгебри L, якщо [y, x] ∈ A
(вiдповiдно [x, y] ∈ A) для будь-яких елементiв x ∈ A, y ∈ L. Iншими словами, якщо A
є лiвим (вiдповiдно правим) iдеалом, то [L,A] 6 A (вiдповiдно [A,L] 6 A).
Пiдалгебра A алгебри L називається iдеалом алгебри L (бiльш точно, двостороннiм
iдеалом), якщо вона одночасно є i правим iдеалом, i лiвим, тобто якщо [x, y], [y, x] ∈ A для
будь-яких елементiв x ∈ A, y ∈ L.
Слiд вiдзначити, що якщо A, B — iдеали алгебри Лейбнiца, то у загальному випадку
[A,B] не завжди буде iдеалом, вiдповiдний приклад наведений у роботi [3].
Якщо A — iдеал алгебри L, то ми можемо говорити про фактор-алгебру L/A. Неважко
переконатися в тому, що ця фактор-алгебра також є алгеброю Лейбнiца.
Позначатимемо через Leib(L) пiдпростiр, породжений елементами [a, a], a ∈ L. Можна
показати, що Leib(L) є iдеалом алгебри L. Бiльш того, якщо H — такий iдеал алгебри L, що
L/H є алгеброю Лi, то Leib(L) 6 H. Iдеал Leib(L) називається ядром Лейбнiца алгебри L.
© Л.А. Курдаченко, Х. Отал, О. О. Пипка, 2016
14 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
Вiдзначимо також таку дуже важливу властивiсть алгебр Лейбнiца:
[[a, a], x] = 0 для будь-яких елементiв a, x ∈ L.
Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F , M — непорожня пiдмножина алгебри L, H —
пiдалгебра алгебри L. Покладемо
Annleft
H (M) = {a ∈ H | [a,M ] = ⟨0⟩}, Annright
H (M) = {a ∈ H | [M,a] = ⟨0⟩}.
Пiдмножина Annleft
H (M) називається лiвим анулятором або лiвим централiзатором пiд-
множини M в пiдалгебрi H; пiдмножина Annright
H (M) називається правим анулятором або
правим централiзатором пiдмножини M в пiдалгебрi H. Перетин
AnnH(M) = Annleft
H (M)
∩
Annright
H (M) = {a ∈ H | [a,M ] = ⟨0⟩ = [M,a]}
називається анулятором або централiзатором пiдмножини M в пiдалгебрi H.
Легко переконатися в тому, що всi цi пiдмножини є пiдалгебрами алгебри L. Бiльш того,
якщо M є лiвим iдеалом алгебри L, то пiдмножина Annleft
L (M) також є iдеалом алгебри L.
Якщо ж M — iдеал алгебри L, то пiдмножина AnnL(M) є iдеалом алгебри L.
Лiвий (вiдповiдно правий) центр ζ left(L) (вiдповiдно ζright(L)) алгебри L визначимо за
таким правилом:
ζ left(L) = {x ∈ L | [x, y] = 0 для кожного елемента y ∈ L}
(вiдповiдно
ζright(L) = {x ∈ L | [y, x] = 0 для кожного елемента y ∈ L}).
Зазначимо, що лiвий центр алгебри L є iдеалом. Бiльш того, Leib(L) 6 ζ left(L), а тому
фактор-алгебра L/ζ left(L) є алгеброю Лi.
Центром ζ(L) алгебри L будемо називати перетин ануляторiв всiх елементiв алгебри L.
Iнакше кажучи,
ζ(L) = {x ∈ L | [x, y] = 0 = [y, x] для кожного елементаy ∈ L}.
Iншими словами, центр — це анулятор всiєї алгебри L, бiльш того, iдеал алгебри L. Зокрема,
ми можемо говорити про фактор-алгебру L/ζ(L).
Правий центр є пiдалгеброю алгебри L. Зазначимо, що в загальному випадку лiвий та
правий центри рiзнi, бiльш того, вони можуть мати рiзнi вимiрностi. Це можна побачити
в нижченаведеному прикладi.
Приклад 1. Нехай F — поле. Покладемо L = Fe1 ⊕ Fe2 ⊕ Fe3 ⊕ Fe4 та визначимо
операцiю [−,−] за таким правилом:
[e1, e1] = e2, [e1, e2] = −e2 − e3, [e1, e3] = e2 + e3, [e1, e4] = 0,
[e2, e1] = 0, [e3, e1] = 0, [e4, e1] = e2 + e3,
[ej , ek] = 0 для всiх j, k ∈ {2, 3, 4}.
Можна перевiрити, що ця операцiя визначає алгебру Лейбнiца. В цьому випадку маємо
ζright(L) = Fe4, а тому пiдалгебра ζright(L) не є iдеалом. Крiм того, ζ left(L) = Fe2 ⊕ Fe3,
а тому ζright(L)
∩
ζ left(L) = ⟨0⟩, dimF (ζ
right(L)) = 1, dimF (ζ
left(L)) = 2. Зазначимо також,
що [L,L] = Leib(L) = ζ left(L).
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 15
Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F . Визначимо тепер нижнiй центральний ряд
алгебри L
L = γ1(L) > γ2(L) > . . . γα(L) > γα+1(L) > . . . γδ(L) = γ∞(L)
за таким правилом: γ1(L) = L, γ2(L) = [L,L], а далi iндуктивно γα+1(L) = [L, γα(L)] для
всiх порядкових чисел α, та γλ(L) =
∩
µ<λ γµ(L) для всiх граничних порядкових чисел λ.
Останнiй член γδ(L) = γ∞(L) цього ряду називається нижнiм гiпоцентром алгебри L.
Для нього ми маємо γδ(L) = [L, γδ(L)]. Якщо α = k є натуральним числом, то γk(L) =
= [L, [L, [L, . . . , L ] . . .]︸︷︷︸
k−1
— це лiвонормований добуток k копiй алгебри L. Визначимо тепер
верхнiй центральний ряд
⟨0⟩ = ζ0(L) 6 ζ1(L) 6 . . . ζα(L) 6 ζα+1(L) 6 . . . ζγ(L) = ζ∞(L)
алгебри L за таким правилом: ζ1(L) = ζ(L) — центр алгебри L, ζα+1(L)/ζα(L) = ζ(L/ζα(L))
для всiх порядкових чисел α, та ζλ(L) =
∪
µ<λ ζµ(L) для всiх граничних порядкових чисел λ.
За визначенням кожен член цього ряду є iдеалом алгебри L. Останнiй член ζγ(L) = ζ∞(L)
цього ряду називається верхнiм гiперцентром алгебри L. Будемо позначати через zl(L)
довжину верхнього центрального ряду.
Поняття верхнього та нижнього центральних рядiв визначенi не лише для алгебр Лей-
бнiца. Вони вiдiграють важливу роль i в iнших алгебраїчних структурах, наприклад, в ал-
гебрах Лi та групах.
Алгебра Лейбнiца L називається нiльпотентною, якщо iснує таке натуральне число k,
що γk(L) = ⟨0⟩. Бiльш точно, L називається нiльпотентною класу нiльпотентностi c,
якщо γc+1(L) = ⟨0⟩, але γc(L) ̸= ⟨0⟩. Будемо позначати через ncl(L) клас нiльпотентностi
алгебри L.
Наведемо деякi властивостi членiв верхнiх та нижнiх центральних рядiв в алгебрах
Лейбнiца.
Твердження 1. Нeхай L — алгебра Лейбнiца над полем F тa нехай L має скiнченний
центральний ряд
⟨0⟩ = C0 6 C1 6 . . . 6 Cn = L.
Тодi
[(i)] γj(L) 6 Cn−j+1, звiдки отримуємо, що γn+1(L) = ⟨0⟩;
[(ii)] Cj 6 ζj(L), звiдки отримуємо, що ζn(L) = L.
Для нiльпотентних алгебр Лi та груп добре вiдомо, що довжини верхнього та нижнього
центральних рядiв однаковi. Для алгебр Лейбнiца отримуємо
Наслiдок 1. Нeхай L — алгебра Лейбнiца над полем F , тa нехай L має скiнченний
центральний ряд
⟨0⟩ = C0 6 C1 6 . . . 6 Cn = L.
Tодi L буде нiльпотентною та ncl(L) 6 n. Бiльш того, верхнiй центральний ряд L також
буде скiнченним, ζ∞(L) = L, zl(L) 6 n, та маємо ncl(L) = zl(L).
Цей наслiдок показує, що алгебра Лейбнiца L буде нiльпотентною тодi i тiльки тодi,
коли iснує таке натуральне число k, що L = ζk(L). Найменше натуральне число, що має
таку властивiсть, збiгається з класом нiльпотентностi L.
16 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
Наступним природним кроком є вивчення ситуацiї, коли верхнiй (вiдповiдно нижнiй)
центральний ряд має скiнченну довжину. Для цього випадку природним є дослiдження
зв’язкiв мiж L/ζk(L) та γk+1(L).
Якщо L — така алгебра Лi, що фактор-алгебра L/ζk(L) має скiнченну вимiрнiсть, то
γk+1(L) також має скiнченну вимiрнiсть, що випливає з теореми 5.2 роботи Я. Стюарта [9].
Для груп вiдповiдний результат був отриманий ранiше Р. Бером [10]. Основним результатом
нашої роботи є нижчесформульованi аналоги цих теорем для алгебр Лейбнiца.
Теорема А. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F . Припустимо, що ковимiр-
нiсть codimF (ζk(L)) = d скiнченна. Тодi γk+1(L) має скiнченну вимiрнiсть. Бiльш того,
dimF (γk+1(L)) 6 2k−1dk+1, k > 1.
Як наслiдок, отримуємо границю для вимiрностi γk+1(L) для випадку, коли L — алге-
бра Лi.
Наслiдок А1. Нехай L — алгебра Лi над полем F . Припустимо, що ковимiрнiсть
codimF (ζk(L)) = d скiнченна. Тодi γk+1(L) також має скiнченну вимiрнiсть. Бiльш того,
dimF (γk+1(L)) 6 dk−1(d − 1)/2.
Важливим частинним випадком є ситуацiя, коли центр алгебри Лейбнiца має скiнченну
ковимiрнiсть. Для алгебр Лi цей результат є добре вiдомим (див., наприклад, [11]).
Нехай L — алгебра Лi над полем F . Якщо фактор-алгебра L/ζ(G) має скiнченну вимiр-
нiсть d, то [L,L] також має скiнченну вимiрнiсть. Бiльш того, dimF ([L,L]) 6 d(d+1)/2.
Для груп вiдповiдний результат був отриманий значно ранiше.
Нехай G — група, C — така пiдгрупа центру ζ(G) групи G, що G/C скiнченна. Тодi
пiдгрупа [G,G] також скiнченна.
У такому виглядi цей результат вперше з’явився в роботi Б. Неймана [12]. Також ця
теорема була доведена i Р. Бером [10].
Для алгебр Лейбнiца ми одержали такий аналог цих теорем.
Теорема В. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F . Припустимо, що ковимiрностi
codimF (ζ
left(L)) = d та codimF (ζ
right(L)) = r скiнченнi. Тодi [L,L] також має скiнченну
вимiрнiсть. Бiльш того, dimF ([L,L]) 6 d(d + r).
У зв’язку з цим результатом виникає питання: чи випливає зi скiнченностi лише
codimF (ζ
left(L)) скiнченнiсть dimF ([L,L])? Вiдповiдь на це питання негативна. Нами було
побудовано вiдповiднi приклади.
Наслiдок В1. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F . Припустимо, що ковимiр-
нiсть codimF (ζ(L)) = d скiнченна. Тодi [L,L] також має скiнченну вимiрнiсть. Бiльш
того, dimF ([L,L]) 6 d2.
Наслiдок В2. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F . Припустимо, що ковимiр-
нiсть codimF (ζ(L)) = d скiнченна. Тодi ядро Лейбнiца алгебри L також має скiнченну
вимiрнiсть, яка не перевищує d(d − 1)/2.
Цитована лiтература
1. Loday J. L. Une version non commutative des algèbres de Lie: les algèbras de Leibniz // Enseign. Math. –
1993. – 39. – P. 269–293.
2. Albeverio S.A., Ayupov Sh.A., Omirov B.A. On nilpotent and simple Leibniz algebras // Commun.
Algebra. – 2005. – 33. – P. 159–172.
3. Barnes D. Some theorems on Leibniz algebras // Commun. Algebra. – 2011. – 39. – P. 2463–2472.
4. Barnes D. On Levi’s Theorem for Leibniz algebras // Bull. Australian Math. Soc. – 2012. – 86. – P. 184–185.
5. Barnes D. On Engel’s Theorem for Leibniz algebras // Commun. Algebra – 2012. – 40. – P. 1388–1389.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 17
6. Barnes D. Schunck classes of soluble Leibniz algebras // Commun. Algebra – 2013. – 41. – P. 4046–4065.
7. Patsourakos A. On nilpotent properties of Leibniz algebras // Commun. Algebra. – 2007. – 35. – P. 3828–
3834.
8. Ray C.B., Combs A., Gin N., Hedges A., Hird J. T., Zack L. Nilpotent Lie and Leibniz Algebras //
Commun. algebra. – 2014. – 42. – P. 2404–2410.
9. Stewart I. N. Verbal and marginal properties of non-associative algebras in the spirit of infinite group
theory // Proc. London Math. Soc. – 1974. – 28. – P. 129–140.
10. Baer R. Endlichkeitskriterien für Kommutatorgruppen // Math. Ann. – 1952. – 124. – P. 161–177.
11. Vaughan-Lee M.R. Metabelian BFC p-groups // J. London Math. Soc. – 1972. – 5. – P. 673–680.
12. Neumann B.H. Groups with finite classes of conjugate elements // Proc. London Math. Soc. – 1951. – 1. –
P. 178–187.
References
1. Loday J. L. Enseign. Math., 1993, 39: 269–293.
2. Albeverio S.A., Ayupov Sh.A., Omirov B.A. Commun. Algebra, 2005, 33: 159–172.
3. Barnes D. Commun. Algebra, 2011, 39: 2463–2472.
4. Barnes D. Bull. Australian Math. Soc, 2012, 86: 184–185.
5. Barnes D. Commun. Algebra, 2012, 40: 1388–1389.
6. Barnes D. Commun. Algebra, 2013, 41: 4046–4065.
7. Patsourakos A. Commun. Algebra, 2007, 35: 3828–3834.
8. Ray C.B., Combs A., Gin N., Hedges A., Hird J. T., Zack L. Commun. algebra, 2014, 42: 2404–2410.
9. Stewart I. N. Proc. London Math. Soc., 1974, 28: 129–140.
10. Baer R. Math. Ann., 1952, 124: 161–177.
11. Vaughan-Lee M.R. J. London Math. Soc., 1972, 5: 673–680.
12. Neumann B.H. Proc. London Math. Soc., 1951, 1: 178–187.
Надiйшло до редакцiї 08.07.2015
Л.А. Курдаченко, X. Отал, А.А. Пыпка
Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара
E-mail: lkurdachenko@i.ua, otal@unizar.es, pypka@ua.fm
О некоторых связях между факторами канонических центральных
рядов в алгебрах Лейбница
Доказано, что из конечности коразмерности некоторого члена ζk(L) верхнего центрального
ряда алгебры Лейбница L вытекает конечность размерности γk+1(L), и получена граница
для этой размерности.
Ключевые слова: алгебра Лейбница, алгебра Ли, верхний центральный ряд, нижний цен-
тральный ряд.
L.A. Kurdachenko, J. Otal, A. A. Pypka
Oles Honchar Dnipropetrovs’k National University
E-mail: lkurdachenko@i.ua, otal@unizar.es, pypka@ua.fm
On some relationships between the factors of the canonical central
series of Leibniz algebras
We have proved that the finiteness of the codimension of some member ζk(L) of the upper central
series of the Leibniz algebra L yields the finiteness of the dimension of γk+1(L) and give the
bounds of this finiteness.
Keywords: Leibniz algebra, Lie algebra, upper central series, lower central series.
18 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99076 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T06:13:23Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Курдаченко, Л.А. Отал, Х. Пипка, О.О. 2016-04-22T18:38:51Z 2016-04-22T18:38:51Z 2016 Про деякi зв’язки мiж факторами канонiчних центральних рядiв в алгебрах Лейбнiца / Л.А. Курдаченко, Х. Отал, О.О. Пипка // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 14-18. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99076 512.554 Доведено, що зi скiнченностi ковимiрностi деякого члена ζk(L) верхнього центрального ряду алгебри Лейбнiца L випливає скiнченнiсть вимiрностi γk+1(L), та отримано границю для цiєї вимiрностi. Доказано, что из конечности коразмерности некоторого члена ζk(L) верхнего центрального ряда алгебры Лейбница L вытекает конечность размерности γ k+1(L), и получена граница для этой размерности. We have proved that the finiteness of the codimension of some member ζk(L) of the upper central series of the Leibniz algebra L yields the finiteness of the dimension of γ k+1(L) and give the bounds of this finiteness. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про деякi зв’язки мiж факторами канонiчних центральних рядiв в алгебрах Лейбнiца О некоторых связях между факторами канонических центральных рядов в алгебрах Лейбница On some relationships between the factors of the canonical central series of Leibniz algebras Article published earlier |
| spellingShingle | Про деякi зв’язки мiж факторами канонiчних центральних рядiв в алгебрах Лейбнiца Курдаченко, Л.А. Отал, Х. Пипка, О.О. Математика |
| title | Про деякi зв’язки мiж факторами канонiчних центральних рядiв в алгебрах Лейбнiца |
| title_alt | О некоторых связях между факторами канонических центральных рядов в алгебрах Лейбница On some relationships between the factors of the canonical central series of Leibniz algebras |
| title_full | Про деякi зв’язки мiж факторами канонiчних центральних рядiв в алгебрах Лейбнiца |
| title_fullStr | Про деякi зв’язки мiж факторами канонiчних центральних рядiв в алгебрах Лейбнiца |
| title_full_unstemmed | Про деякi зв’язки мiж факторами канонiчних центральних рядiв в алгебрах Лейбнiца |
| title_short | Про деякi зв’язки мiж факторами канонiчних центральних рядiв в алгебрах Лейбнiца |
| title_sort | про деякi зв’язки мiж факторами канонiчних центральних рядiв в алгебрах лейбнiца |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99076 |
| work_keys_str_mv | AT kurdačenkola prodeâkizvâzkimižfaktoramikanoničnihcentralʹnihrâdivvalgebrahleibnica AT otalh prodeâkizvâzkimižfaktoramikanoničnihcentralʹnihrâdivvalgebrahleibnica AT pipkaoo prodeâkizvâzkimižfaktoramikanoničnihcentralʹnihrâdivvalgebrahleibnica AT kurdačenkola onekotoryhsvâzâhmeždufaktoramikanoničeskihcentralʹnyhrâdovvalgebrahleibnica AT otalh onekotoryhsvâzâhmeždufaktoramikanoničeskihcentralʹnyhrâdovvalgebrahleibnica AT pipkaoo onekotoryhsvâzâhmeždufaktoramikanoničeskihcentralʹnyhrâdovvalgebrahleibnica AT kurdačenkola onsomerelationshipsbetweenthefactorsofthecanonicalcentralseriesofleibnizalgebras AT otalh onsomerelationshipsbetweenthefactorsofthecanonicalcentralseriesofleibnizalgebras AT pipkaoo onsomerelationshipsbetweenthefactorsofthecanonicalcentralseriesofleibnizalgebras |