Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi
Розглядається кулонiвська нейтральна плоска система n негативних зарядiв у постiйному магнiтному полi та полi n однакових фiксованих позитивних зарядiв i будується перiодичний розв’язок рiвняння руху такий, що кожен негативний заряд є близьким до свого позитивного фiксованого заряду. Рассматривается...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99077 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi / В.I. Скрипник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 19-25. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99077 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Скрипник, В.I. 2016-04-22T18:39:08Z 2016-04-22T18:39:08Z 2016 Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi / В.I. Скрипник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 19-25. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99077 517-9 Розглядається кулонiвська нейтральна плоска система n негативних зарядiв у постiйному магнiтному полi та полi n однакових фiксованих позитивних зарядiв i будується перiодичний розв’язок рiвняння руху такий, що кожен негативний заряд є близьким до свого позитивного фiксованого заряду. Рассматривается кулоновская нейтральная плоская система n отрицательных зарядов в постоянном магнитном поле и поле n одинаковых фиксированных положительных зарядов и строится периодическое решение уравнения движения такое, что каждый отрицательный заряд является близьким к своему положительному фиксированному заряду. We consider a neutral Coulomb planar system of n equal negative charges in a constant magnetic field and the field of n equal fixed positive charges and construct a periodic solution of the equation of motion such that each negative charge is close to its own positive fixed charge. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi Кулоновская плоcкая периодическая динамика одинаковых зарядов в поле притягивающих центров и постоянном магнитном поле Coulomb planar periodic motion of equal charges in the field of attractive centers and a constant magnetic field Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi |
| spellingShingle |
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi Скрипник, В.I. Математика |
| title_short |
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi |
| title_full |
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi |
| title_fullStr |
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi |
| title_full_unstemmed |
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi |
| title_sort |
кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi |
| author |
Скрипник, В.I. |
| author_facet |
Скрипник, В.I. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2016 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Кулоновская плоcкая периодическая динамика одинаковых зарядов в поле притягивающих центров и постоянном магнитном поле Coulomb planar periodic motion of equal charges in the field of attractive centers and a constant magnetic field |
| description |
Розглядається кулонiвська нейтральна плоска система n негативних зарядiв у постiйному магнiтному полi та полi n однакових фiксованих позитивних зарядiв i будується перiодичний розв’язок рiвняння руху такий, що кожен негативний заряд є близьким до свого позитивного фiксованого заряду.
Рассматривается кулоновская нейтральная плоская система n отрицательных зарядов
в постоянном магнитном поле и поле n одинаковых фиксированных положительных зарядов и строится периодическое решение уравнения движения такое, что каждый отрицательный заряд является близьким к своему положительному фиксированному заряду.
We consider a neutral Coulomb planar system of n equal negative charges in a constant magnetic
field and the field of n equal fixed positive charges and construct a periodic solution of the equation
of motion such that each negative charge is close to its own positive fixed charge.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99077 |
| citation_txt |
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi / В.I. Скрипник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 19-25. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT skripnikvi kulonivsʹkaplockaperiodičnadinamikaodnakovihzarâdivupolipritâgalʹnihcentrivtapostiinomumagnitnomupoli AT skripnikvi kulonovskaâplockaâperiodičeskaâdinamikaodinakovyhzarâdovvpolepritâgivaûŝihcentrovipostoânnommagnitnompole AT skripnikvi coulombplanarperiodicmotionofequalchargesinthefieldofattractivecentersandaconstantmagneticfield |
| first_indexed |
2025-11-26T11:40:49Z |
| last_indexed |
2025-11-26T11:40:49Z |
| _version_ |
1850619705521340416 |
| fulltext |
УДК 517-9 http://dx.doi.org/dopovidi2016.03.019
В. I. Скрипник
Iнститут математики НАН України, Київ
E-mail: volodymyr_skrypnyk@ukr.net
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових
зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному
магнiтному полi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А. Г. Нiкiтiним)
Розглядається кулонiвська нейтральна плоска система n негативних зарядiв у постiй-
ному магнiтному полi та полi n однакових фiксованих позитивних зарядiв i будується
перiодичний розв’язок рiвняння руху такий, що кожен негативний заряд є близьким до
свого позитивного фiксованого заряду.
Ключовi слова: рiвняння руху Кулона, негативнi заряди, зовнiшнi поля.
Побудова розв’язкiв рiвняння руху точкових зарядiв Максвелла–Лоренца класичної еле-
ктродинамiки є фундаментальною задачею математики. Найпростiшi наближення його —
рiвняння Кулона та Дарвiна, якi не враховують випромiнення зарядiв, мають розв’язки на
обмеженому промiжку часу, на якому немає зiткнень зарядiв. Їх iснування для першого та
другого встановлено вiдповiдно в [1] та [2].
Якщо два однаковi позитивнi заряди зафiксованi симетрично на однакових вiдстанях вiд
першої координатної осi та ще два чи три негативнi заряди рухаються тiльки по iншiй ко-
ординатнiй осi, то для такої системи iснують рiвноважна конфiгурацiя, а також перiодичнi
розв’язки рiвнянь руху Кулона. Теореми Ляпунова, Мозера, Вейнстейна були використанi
автором для встановлення цього в [3]. Першi двi з них вимагають виключення резонансiв,
що обмежує значення зарядiв, i дозволяють отримати цi розв’язки у виглядi збiжних рядiв.
У цiй роботi ми розглядаємо плоску кулонiвську систему n негативних зарядiв у по-
стiйному магнiтному полi та полi n однакових фiксованих позитивних зарядiв (j-й заряд
розташований в rj ∈ R2) та будуємо перiодичний розв’язок рiвняння руху такий, що кожен
негативний заряд є близьким до свого додатного фiксованого заряду. Цей розв’язок пода-
ний збiжним рядом. Ми використовуємо технiку Зiгеля розв’язку задачi трьох тiл небесної
механiки.
Потенцiальна енергiя нашої кулонiвської системи n однакових негативних зарядiв (зна-
чення заряду e0) з координатами xj ∈ R2 дається виразом
U(x(n)) = e20
[
1
2
∑
16j ̸=k6n
1
|xj − xk|
−
∑
16j6n
∑
16k6n
1
|xj − rk|
]
,
xj = (x1j , x
2
j ), rj = (r1j , r
2
j ) ∈ R2,
© В. I. Скрипник, 2016
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 19
де |x| — евклiдова норма x та x(n) = (x1, . . . , xn) ∈ R2n, r0 = min |rj − rk| > 0. Рiвняння руху
цих зарядiв масою m у постiйному магнiтному полi h, перпендикулярному до площини
з зарядами, задано виразом
m
d2xj
dt2
= −
∂U(x(n))
∂xj
+ e0
dxj
dt
× h, j = 1, . . . , n,
де (v × h)1 = h0x2, (v × h)2 = −h0x1, h0 ∈ R. Воно має такий явний вигляд:
d2xj
dt2
=
e20
m
[ ∑
16k6n, k ̸=j
xj − xk
|xj − xk|3
−
∑
16k6n
xj − rk
|xj − rk|3
]
+ e0
dxj
dt
× h.
Введемо тепер новi рiзницевi змiннi x′j
xj(t) = rj + gx′j(t), g3 =
e20
m
.
Якщо зняти з них штрих, то рiвняння для них задано так:
d2xj
dt2
= − xj
|xj |3
+ g2
( ∑
16k6n, k ̸=j
rj − rk + g(xj − xk)
|rj − rk + g(xj − xk)|3
−
∑
16k6n, k ̸=j
rj − rk + gxj
|rj − rk + gxj |3
)
+
+ e0
dxj
dt
× h.
Якщо xj = x1j+ix2j , x̃j = x̃1j+ix̃2j ∈ C, то це рiвняння в комплекснiй формi перепишеться так:
d2xj
dt2
= −x
−1/2
j x̃
−3/2
j + g2
∑
16k6n, k ̸=j
[(rj − rk + g(xj − xk))
−1/2(|r∗j − r∗k + g(x̃j − x̃k)|)−3/2 −
− (rj − rk + gx̃j)
−1/2(|r∗j − r∗k + gxj |)−3/2] + ih0e0
dxj
dt
,
якщо покласти x1j − ix2j = x∗j = x̃j , то
d2x̃j
dt2
= −x̃
−1/2
j x
−3/2
j + g2
∑
16k6n, k ̸=j
[(rj − rk + g(x̃j − x̃k))
−1/2(|r∗j − r∗k + g(xj − xk)|)−3/2 −
− (rj − rk + gx̃j)
−1/2(|r∗j − r∗k + gxj)
−3/2]− ih0e0
dx̃j
dt
. (1)
Отже,
d2xj
dt2
= −x
−1/2
j x̃
−3/2
j + fj ,
d2x̃j
dt2
= −x̃
−1/2
j x
−3/2
j + f̃j .
Другим кроком для отримання розв’язку рiвняння руху є введення комплексних змiнних
Зiгеля ξ, η таких, що
dξ
dt
= αξ,
dη
dt
= −αη, α =
i
4
(ξη)−3 (2)
20 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
та
xj = ξ4
(
1 +
∑
k,l
aj,klζk,l
)
= ξ4(1−Aj), 3k − |4l| > 0, k > 0, (3)
x̃j = η4
(
1 +
∑
k,l
aj,klζk,−l
)
= η4(1−Bj), ζk,l = ζkl = ξ3k+4lη3k−4l. (4)
Рiвняння в (2) мають перiодичнi розв’язки при η = ξ∗
ξ = eαtξ0, η = e−αtη0, α =
i
4
(ξ0η0)
−3, η = ξ∗,
бо ξη не залежить вiд часу. Тобто ми шукаємо розв’язки рiвняння руху (1) за допомогою
рiвностей (3), (4), в яких змiннi ξ, η пiдкоряються рiвнянням (2). Щоб досягти цiєї мети,
необхiдно обчислити першi та другi похiднi координат в (3), (4), пiдставити їх у (1), отри-
мати рiвняння для дiйсних коефiцiєнтiв aj,kl та довести iснування такого його розв’язку,
що координати зарядiв будуть голоморфними функцiями ξ, η в околi нуля.
Розрахуємо тепер цi похiднi:
dxj
dt
= 4αξ4
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)aj,klζkl
)
,
d2xj
dt2
= (4α)2ξ4
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)2aj,klζkl
)
,
dx̃j
dt
= −(4α)η4
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)aj,klζk,−l
)
,
d2x̃j
dt2
= (4α)2η4
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)2aj,klζk,−l
)
.
У результатi маємо
−iξ2η6
dxj
dt
= −ζ10
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)aj,k,lζkl
)
,
ξ2η6
d2xj
dt2
= −
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)2aj,klζkl
)
,
ξ2η6x
−1/2
j x̃
−3/2
j = (1−Aj)
−1/2(1−Bj)
−3/2 =
(
1 +
1
2
Aj + . . .
)(
1 +
3
2
Bj + . . .
)
=
= 1 +
1
2
Aj +
3
2
Bj + . . ..
Останнi рiвностi та (1) дають∑
k,l
(2l + 1)2aj,klζkl −
1
2
Aj −
3
2
Bj = Dj − g2ξ2η6fj , (5)
де
Dj = (1−Aj)
−1/2(1−Bj)
−3/2 − 1− 1
2
Aj −
3
2
Bj ,
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 21
fj = g2
∑
16k6n, k ̸=j
[(rj − rk − gξ4(Aj −Ak))
−1/2(|r∗j − r∗k − gη4(Bj −Bk)|)−3/2 −
− (rj − rk − gξ4Aj)
− 1
2 (|r∗j − r∗k − gη4Bj |)−3/2] + (ξ2η6)−1h0e0ζ10 ×
×
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)aj,klζkl
)
.
З (5) та подання
Dj − ξ2η6fj =
∑
k,l
ρj,klζkl, D̃j − ξ2η6f̃j =
∑
k,l
ρj,k,−lζkl, ρkl = ρk,l, (6)
де функцiї з тiльдою отриманi з функцiй без неї перестановкою А та В ми отримуємо
рiвняння для aj,kl = aj,k,l[
(2l + 1)2 +
1
2
]
aj,kl +
3
2
aj,k,−l = ρj,kl, aj,k0 =
1
3
ρj,k0,[
(2l − 1)2 +
1
2
]
aj,k,−l +
3
2
aj,kl = ρj,k,−l.
Зазначимо, що ρj,kl, ρj,k,−l залежить вiд aj,rl, r < k через те, що розклад в Dj починається
з других степенiв Aj , Bj i що вираз ξ2η6 присутнiй в лiвих частинах рiвностей в (6). Таким
чином, це рiвняння є рекурентним спiввiдношенням та просто розв’язується як неоднорiдне
несингулярне лiнiйне рiвняння
aj,kl =
[
(2l − 1)2 +
1
2
]
ρj,kl −
3
2
ρj,k,−l
4l2(4l2 − 1)
, l ̸= 0.
З цiєї рiвностi випливає, що
|(2l + 1)aj,kl| 6
c1
2|2l + 1|
(|ρj,kl|+ |ρj,k,−l|). (7)
Тепер доведемо, що ряди в (3), (4) збiгаються. Ми це зробимо за допомогою мажорантної
технiки Кошi, яка близька до мажорантної технiки, винайденої Зiгелем для розв’язку задачi
Хiлла [4].
Нерiвнiсть для степеневих рядiв f ≪ F означає, що коефiцiєнти в розкладi для F є до-
датними та бiльшими за модулi коефiцiєнтiв у розкладi для f.
Нехай ξ = η та
Zj =
∑
k,l
|aj,kl|ζ3k, Z =
n∑
j=1
Zj
для нульового магнiтного поля i для ненульового поля
Zj =
∑
k,l
|(2l + 1)aj,kl|ζ3k.
22 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
Тодi
ζk,l = ζ3k, ζ = ξ2, Aj , Bj ≪ Zj
та
Dj ≪ (1− Zj)
−2 − 1− 2Zj ≪ (1− 2Zj)
−1 − 1− 2Zj =
4Z2
j
1− 2Zj
,
fj − (ξ2η6)−1e0ζ10
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)aj,klζkl
)
≪
≪ g2
∑
16k6n,k ̸=j
r−2
0 {[(1− g0ζ
2(Zj + Zk))
−2 − 1] + [(1− g0ζ
2Zj)
−2 − 1]} ≪
≪ (n− 1)
4g30ζ
2Z
1− 2g0ζ2Z
, g0 = r−1
0 g.
Вiдзначимо, що умова нейтральностi дала нам змогу ввести доданок −1 у двi квадратнi
дужки, що приведе до доведення збiжностi рядiв в (3), (4). Останнi двi нерiвностi, нерiвнiсть
|2l + 1| > 1 та (6) дають (h0 = |h0|e0)
∑
k,l
ρj,kl
|2l + 1|
ζkl ≪ 4
[
Z2
j
1− 2Zj
+ (n− 1)
ζ60Z
1− 2ζ20Z
]
+ h0ζ
3(1 + Zj), ζ0 =
√
g0ζ.
Таким чином, з (7) отримуємо
Zj ≪ 4c1
[
Z2
j
1− 2Zj
+ (n− 1)
ζ60Z
1− 2ζ20Z
]
+ h0c1ζ
3(1 + Zj), ζ0 =
√
g0ζ.
Як наслiдок,
Z ≪ c1n
[
4Z2 + h0ζ
3
1− 2Z
+ (n− 1)
4ζ60Z
1− 2ζ20Z
]
≪ c1n
4Z2 + h0ζ
3 + 4(n− 1)ζ60Z
1− 2(ζ20 + Z)
≪
≪ c1n
4(Z + 2−1(n− 1)ζ60 )
2 + h0ζ
3
1− 2(ζ20 + Z)
≪ c1n
4V 2 + h0ζ
3
1− 2V
,
де
V = Z + c∗, c∗ = 2−1(n− 1)ζ60 + ζ20 .
Покладаючи c = e0ζ
3 + c∗, отримуємо
V ≪ W, W =
c+ 4c1nW
2
1− 2W
, 4(2c1n+ 1)W 2 − 2W + 2c = 0.
Для квадратного рiвняння для W знаходимо розв’язок
W = (8c1n+ 4)−1(1 +
√
1− 8c(2c1n+ 1)).
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 23
Нехай a = 4(2c1n + 1), тодi
a−1(1− aW )2 + 2c− a−1 = 0, (1− aW )2 = 1− 2ac.
Як наслiдок,
2aW ≪ (1− aW )−2 − 1 = (1− 2ac)−1 − 1 =
2ac
1− 2ac
.
W — голоморфна функцiя ζ у нулi, якщо
|2c| = |(n− 1)ζ60 + 2ζ20 + 2h0ζ
3
0 | < (8c1n+ 4)−1, |ζ0| < ((n+ 1 + 2h0)(8c1n+ 4))−1/2
чи
|ζ| <
(
r0
g
)1/2
((n+ 1 + 2h0)(8c1n+ 4))−1/2, |ξ|, |η| 6 1√
2
|ζ|. (8)
Для цих значень |ζ| справедливi такi нерiвностi:
0 < W (|ζ|) 6 (4c1n+ 2)−1, Z(|ζ|) 6 W (|ζ|) + |c|, Zj(|ζ|) 6 Z(|ζ|).
Отже,
|xj | 6 |ζ|2(1 + Zj) 6 |ζ|2(1 + Z) < 2|ζ|2 < r0
g
((n+ 1 + 2h0)(4c1n+ 2))−1
i ми довели, що при умовi (8) координати в (3), (4) є голоморфними функцiями ξ, η в нулi, що
вони є розв’язком (1) при умовах (2), x∗j = x̃j та η = ξ∗ i що має мiсце нижчесформульований
висновок.
Висновок. Для координат xj негативних зарядiв справедлива така нерiвнiсть:
|rj − xj | <
r0
2(n+ 1 + 2h0)(2c1n+ 1)
,
яка виключає їх зiткнення.
Таким чином, ми побудували розв’язок рiвнянь руху нашої системи зарядiв за допомо-
гою таких дiй:
1) зсунули координату кожного негативного заряду на координату (свого) позитивного
фiксованого заряду та переписали рiвняння руху для таких змiнних у комплекснiй фор-
мi (1);
2) отримали новi змiннi у виглядi рядiв (розкладiв) (3), (4) за степепнями функцiй ξ,
η, що пiдкоряються рiвнянням руху (2) кожного заряду без урахування взаємодiї з усiма
зарядами, крiм одного фiксованого позитивного найближчого заряду;
3) вивели рекурентне рiвняння для коефiцiєнтiв aj,kl розкладiв (3), (4) та розв’язали
його;
4) довели збiжнiсть рядiв (3), (4) за допомогою мажорантного методу теорiї голомор-
фних функцiй. При цьому умова нейтральностi вiдiграє суттєву роль.
Вiдзначимо, що Зiгель запропонував оригiнальний метод доведення центральної теоре-
ми Ляпунова [4], який є аналогом його методу розв’язку задачi трьох тiл небесної механiки,
узагальненого нами в цiй роботi.
24 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
Цитована лiтература
1. Скрипник В.I. Про голоморфнi розв’язки гамiльтонових рiвнянь руху точкових зарядiв // Укр. мат.
журн. – 2011. – 63, № 2. – С. 270–280.
2. Скрипник В.I. Про голоморфнi розв’язки рiвнянь руху Дарвiна точкових зарядiв // Укр. мат. журн. –
2013. – 65, № 4. – С. 546–564.
3. Скрипник В.I. Перiодичнi та обмеженi розв’язки рiвнянь руху Кулона двох та трьох точкових зарядiв
з рiвновагою на прямiй // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 5. – С. 668–682.
4. Siegel C. L., Moser J.K. Lectures on celestial mechanics. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1971. –
290 p.
References
1. Skrypnik W. I. Ukr. Мath. J., 2011, 63, No 2: 270–280 (in Ukrainian).
2. Skrypnik W. I. Ukr. Мath. J., 2013, 65, No 4: 546–564 (in Ukrainian).
3. Skrypnik W. I. Ukr. Мath. J., 2014, 66, No 5: 668-682 (in Ukrainian).
4. Siegel C. L., Moser J.K. Lectures on celestial mechanics, Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1971.
Надiйшло до редакцiї 13.07.2015
В.И. Скрипник
Институт математики НАН Украины, Киев
E-mail: volodymyr_skrypnyk@ukr.net
Кулоновская плоcкая периодическая динамика одинаковых зарядов
в поле притягивающих центров и постоянном магнитном поле
Рассматривается кулоновская нейтральная плоская система n отрицательных зарядов
в постоянном магнитном поле и поле n одинаковых фиксированных положительных за-
рядов и строится периодическое решение уравнения движения такое, что каждый отри-
цательный заряд является близьким к своему положительному фиксированному заряду.
Ключевые слова: уравнение движения Кулона, отрицательные заряды, внешние поля.
W. I. Skrypnik
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: volodymyr_skrypnyk@ukr.net
Coulomb planar periodic motion of equal charges in the field of
attractive centers and a constant magnetic field
We consider a neutral Coulomb planar system of n equal negative charges in a constant magnetic
field and the field of n equal fixed positive charges and construct a periodic solution of the equation
of motion such that each negative charge is close to its own positive fixed charge.
Keywords: Coulomb equation of motion, negative charges, external fields.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 25
|