О квазилэмбовских волнах в системе слой идеальной жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями
На основании трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для твердого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости построены дисперсионные кривые нормальных квазилэмбовских волн в гидроупругой системе в широком диапазоне частот. Пр...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99080 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О квазилэмбовских волнах в системе слой идеальной жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями / А.М. Багно // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 38-47. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99080 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Багно, А.М. 2016-04-22T18:43:58Z 2016-04-22T18:43:58Z 2016 О квазилэмбовских волнах в системе слой идеальной жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями / А.М. Багно // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 38-47. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99080 539.3 На основании трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для твердого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости построены дисперсионные кривые нормальных квазилэмбовских волн в гидроупругой системе в широком диапазоне частот. Проанализировано влияние начальных напряжений в предварительно деформированном сжимаемом упругом слое, а также толщины слоя жидкости на фазовые скорости квазилэмбовских мод в гидроупругом волноводе. Числовые результаты приведены в виде графиков и дан их анализ. На основi тривимiрних лiнеаризованих рiвнянь теорiї пружностi скiнченних деформацiй для твердого тiла та тривимiрних лiнеаризованих рiвнянь Ейлера для iдеальної стисливої рiдини побудованi дисперсiйнi кривi нормальних квазiлембовських хвиль у гiдропружнiй системi в широкому дiапазонi частот. Проаналiзовано вплив початкових напружень у попередньо деформованому стисливому пружному шарi, а також товщини шару рiдини на фазовi швидкостi квазiлембовських мод у гiдропружньому хвилеводi. Числовi результати наведено у виглядi графiкiв та дано їх аналiз. Basing on the three-dimensional linearized equations of the elasticity theory of finite deformations for a solid and the three-dimensional linearized Euler equations for an ideal compressible fluid, the dispersion curves of quasi–Lamb normal waves in a hydroelastic system are constructed in a wide range of frequencies. The effects of initial stresses in the pre–deformed compressible elastic layer and the fluid layer thickness on the phase velocities of the quasi-Lamb modes in a hydroelastic waveguide are analyzed. The numerical results are presented in the form of graphs, and their analysis is given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О квазилэмбовских волнах в системе слой идеальной жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями Про квазiлембовськi хвилi у системi шар iдеальної рiдини – стисливий пружний шар з початковими напруженнями On quasi–Lamb waves in the system “a layer of ideal fluid–a compressible elastic layer with initial stresses” Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О квазилэмбовских волнах в системе слой идеальной жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями |
| spellingShingle |
О квазилэмбовских волнах в системе слой идеальной жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями Багно, А.М. Механіка |
| title_short |
О квазилэмбовских волнах в системе слой идеальной жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями |
| title_full |
О квазилэмбовских волнах в системе слой идеальной жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями |
| title_fullStr |
О квазилэмбовских волнах в системе слой идеальной жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями |
| title_full_unstemmed |
О квазилэмбовских волнах в системе слой идеальной жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями |
| title_sort |
о квазилэмбовских волнах в системе слой идеальной жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями |
| author |
Багно, А.М. |
| author_facet |
Багно, А.М. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про квазiлембовськi хвилi у системi шар iдеальної рiдини – стисливий пружний шар з початковими напруженнями On quasi–Lamb waves in the system “a layer of ideal fluid–a compressible elastic layer with initial stresses” |
| description |
На основании трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для твердого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости построены дисперсионные кривые нормальных квазилэмбовских волн в гидроупругой системе в широком диапазоне частот. Проанализировано влияние начальных напряжений в предварительно деформированном сжимаемом упругом слое, а также толщины слоя жидкости на фазовые скорости квазилэмбовских мод в гидроупругом волноводе. Числовые результаты приведены в виде графиков и дан их анализ.
На основi тривимiрних лiнеаризованих рiвнянь теорiї пружностi скiнченних деформацiй
для твердого тiла та тривимiрних лiнеаризованих рiвнянь Ейлера для iдеальної стисливої рiдини побудованi дисперсiйнi кривi нормальних квазiлембовських хвиль у гiдропружнiй
системi в широкому дiапазонi частот. Проаналiзовано вплив початкових напружень у попередньо деформованому стисливому пружному шарi, а також товщини шару рiдини на фазовi швидкостi квазiлембовських мод у гiдропружньому хвилеводi. Числовi результати наведено у виглядi графiкiв та дано їх аналiз.
Basing on the three-dimensional linearized equations of the elasticity theory of finite deformations
for a solid and the three-dimensional linearized Euler equations for an ideal compressible fluid, the
dispersion curves of quasi–Lamb normal waves in a hydroelastic system are constructed in a wide
range of frequencies. The effects of initial stresses in the pre–deformed compressible elastic layer and
the fluid layer thickness on the phase velocities of the quasi-Lamb modes in a hydroelastic waveguide
are analyzed. The numerical results are presented in the form of graphs, and their analysis is given.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99080 |
| citation_txt |
О квазилэмбовских волнах в системе слой идеальной жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями / А.М. Багно // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 38-47. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bagnoam okvazilémbovskihvolnahvsistemesloiidealʹnoižidkostisžimaemyiuprugiisloisnačalʹnyminaprâženiâmi AT bagnoam prokvazilembovsʹkihviliusistemišaridealʹnoíridinistisliviipružniišarzpočatkoviminapružennâmi AT bagnoam onquasilambwavesinthesystemalayerofidealfluidacompressibleelasticlayerwithinitialstresses |
| first_indexed |
2025-11-25T21:02:24Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:02:24Z |
| _version_ |
1850545323933433856 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2016
МЕХАНIКА
УДК 539.3 http://dx.doi.org/dopovidi2016.03.038
А.М. Багно
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: desc@inmech.kiev.ua
О квазилэмбовских волнах в системе слой идеальной
жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными
напряжениями
(Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем)
На основании трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных де-
формаций для твердого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Эйлера для иде-
альной сжимаемой жидкости построены дисперсионные кривые нормальных квазилэм-
бовских волн в гидроупругой системе в широком диапазоне частот. Проанализировано
влияние начальных напряжений в предварительно деформированном сжимаемом упру-
гом слое, а также толщины слоя жидкости на фазовые скорости квазилэмбовских мод
в гидроупругом волноводе. Числовые результаты приведены в виде графиков и дан их
анализ.
Ключевые слова: дисперсия волн, сжимаемый упругий слой, слой идеальной сжимае-
мой жидкости, начальные напряжения.
Волны, распространяющиеся вдоль границы контакта слоя жидкости и упругого слоя, яв-
ляются в определенном смысле обобщением основательно исследованных основных типов
акустических волн: Рэлея, Стоунли, Лява и Лэмба. Интерес к таким задачам связан с тем,
что указанные волновые процессы являются определяющими и широко используются в сей-
смологии, акустоэлектронике, гидроакустике, дефектоскопии, нетравматических и неразру-
шающих ультразвуковых методах контроля и диагностике, а также и в других областях.
Обзор работ и анализ результатов, полученных в рамках классической теории упругости,
приведены в [1, 2]. Вместе с тем, значительное практическое использование поверхностных
волн ставит задачу более полного учета реальных свойств сред. К числу таких факторов
принадлежат начальные напряжения. Созданные целенаправленно или возникшие в резуль-
тате технологических операций при изготовлении они оказывают существенное влияние на
© А.М. Багно, 2016
38 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
волновые процессы. Рассмотренные задачи и результаты, полученные с учетом в телах на-
чальных напряжений, приведены в [3–12].
В настоящей работе для исследования распространения волн в упругом слое, подвер-
женном большим (конечным) начальным деформациям, и взаимодействующем со слоем
идеальной сжимаемой жидкости, привлекаются модель предварительно напряженного тела
и модель покоящейся идеальной сжимаемой жидкости. При этом используются трехмерные
линеаризованные уравнения теории упругости конечных деформаций для упругого тела
и трехмерные линеаризованные уравнения Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости.
В качестве подхода выбраны постановки задач и метод, основанные на применении пред-
ставлений общих решений уравнений движения упругого тела и жидкости, предложенные
в работах [4–8].
Постановка задачи. Рассмотрим задачу о распространении акустических волн в ги-
дроупругой системе, состоящей из упругого сжимаемого слоя, подверженного большим (ко-
нечным) начальным деформациям, и слоя идеальной сжимаемой жидкости. Решение полу-
чим с привлечением трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости при коне-
чных деформациях для твердого тела и линеаризованных уравнений Эйлера для жидкости,
находящейся в состоянии покоя.
Далее предположим, что нелинейно–упругое тело, упругий потенциал которого явля-
ется произвольной дважды непрерывно-дифференцируемой функцией компонент тензора
деформаций Грина, занимает объем: −∞ < z1 < ∞, −h2 6 z2 6 0, −∞ < z3 < ∞ и кон-
тактирует со слоем идеальной сжимаемой жидкости, заполняющей объем: −∞ < z1 < ∞,
0 6 z2 6 h1, −∞ < z3 < ∞. Будем считать, что волна, бегущая в направлении оси oz1,
и возмущения, ее вызывающие, не зависят от переменной z3. В этом случае задача бу-
дет плоской и можно ограничиться изучением процесса распространения волн в плоскости
oz1z2. Следовательно, указанная задача сводится к решению системы уравнений движения
упругого тела и жидкости при следующих динамических
Q̃1
∣∣
z2=0
= 0, Q̃2
∣∣
z2=0
= P2
∣∣
z2=0
,
Q̃1
∣∣
z2=−h2
= 0, Q̃2
∣∣
z2=−h2
= 0, P̃2
∣∣
z2=h1
= 0
(1)
и кинематическом
v2
∣∣
z2=0
=
∂u2
∂t
∣∣
z2=0
(2)
граничных условиях.
В дальнейшем воспользуемся представлениями общих решений, полученными в рабо-
тах [4–8]. Для плоского случая общие решения будут иметь вид:
u1 = − ∂2χ1
∂z1∂z2
,
u2 =
(λ2
1a11 + s011)
λ2
2(a12 + µ12)
[
∂2
∂z21
+
λ2
2(λ
2
1µ12 + s022)
λ2
1(λ
2
1a11 + s011)
∂2
∂z2
− ρ
λ2
1(λ
2
1a11 + s011)
∂2
∂t2
]
χ1;
(3)
v1 =
∂2χ2
∂z1∂t
, v2 =
∂2χ2
∂z2∂t
, (4)
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 39
где введенные функции χ1 и χ2 являются решениями следующих уравнений:{[
∂2
∂z21
+
λ2
2(λ
2
1µ12 + s022)
λ2
1(λ
2
1a11 + s011)
∂2
∂z22
− ρ
λ2
1(λ
2
1a11 + s011)
∂2
∂t2
][
∂2
∂z21
+
λ2
2(λ
2
2a22 + s022)
λ2
1(λ
2
2µ12 + s011)
∂2
∂z22
−
− ρ
λ2
1(λ
2
2µ12 + s011)
∂2
∂t2
]
− λ4
2(a12 + µ12)
2
(λ2
1a11 + s011)(λ
2
2µ12 + s011)
∂4
∂z21∂z
2
2
}
χ1 = 0; (5)(
∂2
∂z21
+
∂2
∂z22
− 1
a20
∂2
∂t2
)
χ2 = 0. (6)
Здесь введены следующие обозначения: ui — компоненты вектора перемещений упругого
тела; ρ — плотность материала упругого тела; λi — удлинения упругого слоя в направлениях
координатных осей; aij и µij — величины, которые определяются из уравнений состояния
и зависят от вида упругого потенциала [4–8, 12]; σ0
ii (s0ii = λ1λ2λ3σ
0
ii/λ
2
i ) — начальные
напряжения в упругом теле; vi — компоненты вектора возмущения скорости жидкости; ρ0
и a0 — плотность и скорость звука в жидкости в состоянии покоя; P̃j и Q̃j — составляющие
напряжений соответственно в жидкости и упругом теле.
Далее параметры, характеризующие процесс распространения волн, разыскиваются в
классе бегущих волн и выбираются в виде:
χj = Xj(z2) exp[i(kz1 − ωt)], j = 1, 2, (7)
где k — волновое число; ω — круговая частота.
В дальнейшем решаются две задачи Штурма–Лиувилля на собственные значения для
уравнений движения упругого тела и жидкости, а также находятся соответствующие соб-
ственные функции. После подстановки решений в граничные условия (1) и (2) получаем
однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно произвольных по-
стоянных. Исходя из условия существования нетривиального решения, приравнивая опре-
делитель системы к нулю, получаем дисперсионное уравнение
det
∥∥∥∥emn
(
cσ, λi, aij , µij , s
0
ii, ρ0, a0,
ωh1
cs
,
ωh2
cs
)∥∥∥∥= 0, m, n = 1, 6, (8)
где cσ — фазовая скорость нормальных волн в предварительно напряженном слое; cs (c2s =
= µ/ρ) — скорость волны сдвига в ненапряженном упругом теле; µ — модуль сдвига мате-
риала упругого тела; h1 — толщина слоя жидкости; h2 — толщина упругого слоя.
Отметим, что дисперсионное уравнение (8) не зависит от формы упругого потенциала
и получено для сжимаемых упругих тел, подверженных большим (конечным) начальным
деформациям. Оно является наиболее общим и из него можно получить соотношения для
ряда частных случаев [3–11]. Если положить σ0
ii = 0, то получим равенства для основатель-
но исследованных в рамках классической теории упругости волн Рэлея, Стоунли и Лэм-
ба [1, 2].
Числовые результаты и их анализ. В дальнейшем дисперсионное уравнение (8) ре-
шалось численно. При этом расчеты проводились для двух гидроупругих систем. Первая
состояла из органического стекла и воды. Она характеризовалась следующими параметра-
ми: упругий слой — ρ = 1160 кг/м3, λ = 3,96 · 109 Па, µ = 1,86 · 109 Па; слой жидкости —
ρ0 = 1000 кг/м3, a0 = 1459,5 м/c, a0 = a0/cs = 1,152595. Вторая представляла собой волно-
вод из стали марки 09Г2С и воды. При этом параметры выбирались такими: упругий слой —
40 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
Рис. 1
ρ = 7800 кг/м3, λ = 9,26 · 1010 Па, µ = 7,75 · 1010 Па; слой жидкости — ρ0 = 1000 кг/м3,
a0 = 1459,5 м/c, a0 = a0/cs = 0,463021.
Заметим, что уравнение (8) выведено без введения каких-либо дополнительных ограни-
чений к виду функции упругого потенциала, поэтому оно справедливо для упругих потен-
циалов произвольной формы. В данной работе для описания упругих свойств органическое
стекла и стали использовался трехинвариантный потенциал Мурнагана [12]. При рассмо-
трении конкретного примера и численного решения уравнения (8) учитывалось то, что
органическое стекло и сталь, не разрушаясь, не допускают больших деформаций и поэтому
коэффициенты уравнений состояния aij и µij определялись в рамках линейного акустиче-
ского приближения [12]. Результаты вычислений представлены на рис. 1–4.
На рис. 1,а–2,а приведены результаты численных расчетов для упруго-жидкостной сис-
темы, состоящей из органического стекла и воды.
На рис. 1, а изображены дисперсионные кривые для гидроупругого волновода, отража-
ющие зависимости безразмерных величин фазовых скоростей мод c (c = c/cs) от безразмер-
ной величины толщины упругого слоя (частоты) h2 (h2 = ωh2/cs) для “толстого” жидкого
слоя с толщиной, равной 20 (h1 = ωh1/cs = 20) при отсутствии начальных деформаций.
Характер влияния предварительного растяжения (σ0
11 = 0,004) на скорости нормальных
волн в упруго-жидкостной системе иллюстрируют графики на рис. 1, б и 2, a, где представ-
лены зависимости относительных изменений величин фазовых скоростей cε (cε = (cσ−c)/c,
cσ — фазовая скорость мод в предварительно напряженном слое; c — фазовая скорость нор-
мальных волн в упругом слое при отсутствии начальных деформаций) от толщины упругого
слоя (частоты) h2. На этом рисунке представлены кривые для гидроупругого волновода,
толщина жидкого слоя которого h1 = 20.
Графики для гидроупругой системы (рис. 1, а) показывают, что при росте толщины
упругого слоя (частоты) h2 скорость моды 1 стремится к скорости волны Стоунли cst (cst =
= cst/cs = 0,77171) снизу, а скорость моды 2 — к скорости волны Рэлея cR (cR = cR/cs =
= 0,93356) сверху. Моды более высокого порядка распространяются в упругом слое в его
толще с фазовыми скоростями, стремящимися с ростом частоты (толщины) к скорости
волны сдвига в материале упругого тела.
Из графиков, приведенных на рис. 1, б и 2, a, следует, что начальное растяжение упру-
гого слоя (σ0
11 = 0,004) приводит к повышению фазовых скоростей мод 1–7. Скорости
всех высших мод 8–15 в окрестности частот их зарождения становятся меньше скоростей
соответствующих мод в слое без начальных напряжений. Нетрудно видеть, что для мод,
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 41
Рис. 2
Рис. 3
начиная с восьмой, и дальше для всех последующих существуют толщины упругого слоя
и определенные частоты, при которых предварительные деформации не влияют на их фазо-
вые скорости. В рассматриваемом здесь случае гидроупругой системы с “толстым” жидким
слоем каждая мода 8–10 имеет три такие частоты. Следующие нормальные волны высо-
кого порядка имеют по пять таких частот.
Графический материал, полученный в результате численных вычислений для системы
сталь 09Г2С — вода, представлен на рис. 2, б –4, б.
В частности, на рис. 2, б и 3, а приведены дисперсионные кривые для гидроупруго-
го волновода, отражающие зависимости безразмерных величин фазовых скоростей мод c
от безразмерной величины толщины упругого слоя (частоты) h2 для “толстого” жидкого
слоя с толщиной, равной 20 при отсутствии начальных деформаций. При этом на рис. 2, б
приведены дисперсионные кривые для первых 10-ти мод. Дисперсионные кривые для мод
11–24 изображены на рис. 3, а.
Характер влияния предварительного растяжения (σ0
11 = 0,004) на скорости нормаль-
ных волн в упруго-жидкостной системе иллюстрируют рис. 3, б –4, б, где представлены
зависимости относительных изменений величин фазовых скоростей cε от толщины упру-
гого слоя (частоты) h2. На этих рисунках представлены кривые для гидроупругого вол-
новода, толщина жидкого слоя которого равняется 20. Зависимости фазовых скоростей от
начального растяжения для мод 2–6 приведены на рис. 3, б. Влияние начальных напряже-
ний на скорости мод 1, 7–10 отражают графики на рис. 4, а. Зависимости относительных
изменений величин фазовых скоростей cε мод 11–24 от толщины упругого слоя (частоты)
представлены на рис. 4, б.
42 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
Рис. 4
Графический материал для гидроупругой системы, приведенный на рис. 2, б, показыва-
ет, что при росте толщины упругого слоя (частоты) h2 скорость моды 1 стремится сни-
зу к скорости волны Стоунли cst (cst = 0,463006), которая несколько меньше скорости
волны звука в жидкой среде a0 (a0 = 0,463021). Величины фазовых скоростей мод 2–10
стремятся к скоростям волн, значения которых больше скорости волны звука в жидкости
a0 = 0,463021, но меньше скорости квазирэлеевской волны cR (cR = 0,923008). Характер-
ной особенностью дисперсионных кривых этих нормальных волн является наличие у них
нулевых частот запирания. Кроме того, по мере уменьшения длины волны и удаления от
частот зарождения они становятся почти бездисперсионными.
Из рис. 3, а следует, что скорость моды 13 с увеличением частоты (толщины) стремится
к скорости волны Рэлея cR (cR = 0,923008) снизу, а фазовая скорость моды 14 — к скорости
волны Рэлея cR сверху. Фазовые скорости всех последующих мод высокого порядка с возра-
станием частоты (толщины) стремятся к скорости волны сдвига в материале упругого тела.
Из графиков, приведенных на рис. 3, б –4, б, следует, что начальное растяжение упру-
гого слоя (σ0
11 = 0,004) приводит к повышению фазовых скоростей мод 1–14. Скорости
всех высших мод 15–24 в окрестности частот их зарождения становятся меньше величин
скоростей, соответствующих волн в слое без начальных напряжений. Как видно, для мод,
начиная с 15, и дальше для всех последующих, существуют толщины упругого слоя и опре-
деленные частоты, при которых предварительное деформирование не влияет на их фазовые
скорости. В рассматриваемом здесь случае гидроупругой системы с “толстым” жидким сло-
ем каждая мода из 15–24 имеет по одной такой частоте.
Особенности влияния начальных напряжений на фазовые скорости и дис-
персию нормальных волн в гидроупругих волноводах. Как показано в работе [9],
в упругом волноводе начальные растяжения вызывают изменение частот зарождения мод
и смещение их дисперсионных кривых. Это приводит к тому, что в окрестности критиче-
ских частот значения фазовых скоростей мод Лэмба в предварительно деформированном
слое могут быть как меньше, так и больше величин фазовых скоростей соответствующих
мод в теле без начальных напряжений. Этим обусловлено также то, что в спектре упру-
гого волновода появляются частоты (толщины), при которых начальные напряжения не
оказывают влияния на значения фазовых скоростей ряда нормальных волн Лэмба.
В гидроупругой системе органическое стекло – вода начальное растяжение приводит
к смещению дисперсионных кривых мод в длинноволновую часть спектра и вызывает изме-
нение их конфигурации. Масштаб этих изменений зависит от номера моды. Для мод более
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 43
высокого порядка эти изменения становятся более значительными. Это приводит к тому,
что у низших мод возникает по одной частоте, при которой их фазовые скорости не за-
висят от начального растяжения. У мод более высокого порядка количество таких частот
возрастает.
В случае гидроупругой системы сталь – вода предварительное растяжение также обу-
славливает сдвиг дисперсионных кривых в длинноволновую часть спектра и изменение их
конфигурации. В отличие от органического стекла и воды в этой гидроупругой системе на-
чальное напряжение вызывает “растягивание” дисперсионных кривых мод. Поэтому у мод
независимо от их номера возникает по одной частоте (толщине), при которой их фазовые
скорости не зависят от предварительного деформирования.
Локализационные свойства низших мод в гидроупругих волноводах. Графи-
ки, приведенные на рис. 1, а для упруго-жидкостной системы органическое стекло – вода,
показывают, что в гидроупругом волноводе при росте толщины упругого слоя (частоты)
h2 скорость первой моды 1, распространяющейся вдоль границы контакта сред, стреми-
тся к скорости волны Стоунли cst (cst = 0,77171) снизу. Относительно поведения этой
моды в высокочастотной части спектра необходимо отметить следующее. Как показано
в работе [13], фазовая скорость и структура волны Стоунли при взаимодействии твердого
и жидкого полупространств зависят от механических параметров гидроупругой системы
и определяются соотношением между скоростью волны звука в жидкости и скоростью вол-
ны Рэлея в твердом полупространстве. В рассматриваемом случае механические параметры
гидроупругой системы органическое стекло – вода таковы, что скорость распространения
звуковой волны в жидкости a0 (a0 = 1,152595) больше скорости квазирэлеевской волны
cR (cR = 0,93356). Согласно результатам, полученным в работе [13] для волн Стоунли, это
приводит к тому, что в высокочастотной части спектра глубина проникновения квазипо-
верхностной моды 1 (волна типа Стоунли) в упругое тело больше глубины проникновения
в жидкость. Поэтому мода 1, распространяясь вдоль границы контакта сред, локализуется
преимущественно в приповерхностной области упругого слоя. Скорость моды 2, распро-
страняющейся в упругом слое вдоль его свободной границы, стремится к скорости волны
Рэлея cR (cR = 0,93356) сверху. Скорости всех мод высокого порядка стремятся к скорости
волны сдвига в материале твердого тела cs. При этом с ростом частоты (толщины) в них
преобладают поперечные смещения, амплитуда которых на поверхностях слоя стремится
к нулю по сравнению с их амплитудами в толще слоя, т. е. движения в модах высокого
порядка смещаются от поверхности внутрь слоя и локализуются в его толще [1].
Таким образом, анализ показывает, что в данной упруго-жидкостной системе низшие
моды проникают в твердое тело и также, как и моды более высокого порядка, распространя-
ются преимущественно в упругом слое. Этим объясняется влияние начальных напряжений
на фазовые скорости всех мод. При этом упругий слой является определяющим в форми-
ровании волнового поля и основным волноводом, по которому распространяются волновые
возмущения и осуществляется перенос большей части энергии волн.
Графики, приведенные на рис. 2, б и 3, а для упруго-жидкостной системы сталь–вода,
показывают, что в гидроупругом волноводе при росте толщины упругого слоя (частоты) h2
скорость моды 1, распространяющейся вдоль границы контакта сред, стремится к скорости
волны Стоунли cst (cst = 0,463006) снизу. При этом в рассматриваемом случае механиче-
ские параметры гидроупругой системы сталь – вода таковы, что скорость распростране-
ния волны звука в жидкости a0 (a0 = 0,463021) меньше скорости квазирэлеевской волны
cR (cR = 0,923008). Согласно результатам, полученным в работе [13] для волн Стоунли,
44 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
это приводит к тому, что в высокочастотной части спектра глубина проникновения ква-
зиповерхностной моды 1 (волна типа Стоунли) в жидкость значительно больше глубины
проникновения в упругое тело. Поэтому мода 1, распространяясь вдоль границы контакта
сред, локализуется преимущественно в приповерхностной области жидкого слоя. Это отно-
сится и к модам 2–12, которые также распространяются в жидкости. Вследствие того, что
ни одна из низших мод не проникает в твердое тело поверхность упругого слоя, гранича-
щая с жидкостью, остается свободной. В этой области распространяется мода 13. Скорость
этой моды, распространяющейся вдоль границы контакта сред в приповерхностной области
упругого слоя, стремится к скорости волны Рэлея cR (cR = 0,923008) снизу, как и в случае
твердого слоя, невзаимодействующего с жидкостью. Скорость моды 14, распространяю-
щейся в упругом слое вдоль его свободной границы, стремится к скорости волны Рэлея cR
(cR = 0,923008) сверху. Скорости всех мод более высокого порядка стремятся к скорости
волны сдвига в материале твердого тела и, как указывалось выше, их движения локали-
зуются в толще упругого слоя.
Таким образом, анализ показывает, что в данной упруго-жидкостной системе не только
первая мода, но и низшие моды со 2 по 12, возникшие в результате взаимодействия с жид-
костью, не проникают в твердое тело и распространяются вдоль границы контакта сред
преимущественно в приповерхностной области жидкости. Этим объясняется слабое влия-
ние упругого слоя и начальных напряжений на фазовые скорости, а также дисперсию этих
мод. Все остальные моды более высокого порядка распространяются в упругом слое в его
толще. Скорости их с возрастанием частоты (толщины) стремятся к скорости волны сдвига
в материале твердого тела. В этом случае волноводами для распространения нормальных
волн и переноса волновой энергии служат как упругий, так и жидкий слои.
В заключение отметим, что наличие жидкого слоя приводит к появлению новых нор-
мальных квазилэмбовских волн. Возникающие моды имеют нулевые частоты запирания.
Воздействие жидкости проявляется в изменении критических частот и конфигурации дис-
персионных кривых, а также в смещении их в длинноволновую часть спектра. Жидкость
не оказывает влияния на распределение мод среди сред. Локализация низших мод в си-
стеме слой жидкости – упругий слой зависит от механических параметров гидроупругой
системы. Основным критерием распределения низших нормальных волн в средах является
соотношение между величинами скоростей волны звука в слое жидкости и квазирэлеевской
волны, распространяющейся вдоль свободной поверхности упругого слоя.
Цитированная литература
1. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. – Москва: Наука, 1981. – 288 с.
2. Кузнецов С.В. Волны Лэмба в анизотропных пластинах (обзор) // Акуст. журн. – 2014. – 60, № 1. –
С. 90–100.
3. Bagno A.M., Guz A.N. Elastic waves in pre-stressed bodies interacting with a fluid (survey) // Int. Appl.
Mech. – 1997. – 33, No 6. – P. 435–463.
4. Guz A.N. Aerohydroelasticity problems for bodies with initial stresses // Int. Appl. Mech. – 1980. – 16,
No 3. – P. 175–190.
5. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. В 2-х томах. – Киев: Наук. думка,
1986.
6. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. – Киев: А. С. К.,
2004. – 672 с.
7. Гузь А.Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости. – Киев: А. С. К., 1998. – 350 с.
8. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid. – Cambridge Scientific Publishers, 2009. – 428 p.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 45
9. Гузь А.Н., Жук А.П., Махорт Ф.Г. Волны в слое с начальными напряжениями. – Киев: Наук.
думка, 1976. – 104 с.
10. Бабич С.Ю., Гузь А.Н., Жук А.П. Упругие волны в телах с начальными напряжениями // Прикл.
механика. – 1979. – 15, № 4. – С. 3–23.
11. Жук А.П. Волны Стонли в среде с начальными напряжениями // Прикл. механика. – 1980. – 16,
№ 1. – С. 113–116.
12. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И. Введение в акустоупругость. – Киев: Наук. думка, 1977. – 152 с.
13. Волькенштейн М.М., Левин В.М. Структура волны Стоунли на границе вязкой жидкости и твердого
тела // Акуст. журн. – 1988. – 34, № 4. – С. 608–615.
References
1. Viktorov I. A. Sound surface waves in solids, Moscow: Nauka, 1981 (in Russian).
2. Kuznetsov S.V. Acoustic J., 2014, 60, No 1: 90–100 (in Russian).
3. Bagno A.M., Guz A.N. Int. Appl. Mech., 1997, 33, No 6: 435–463.
4. Guz A.N. Int. Appl. Mech., 1980, 16, No 3: 175–190.
5. Guz A.N. Elastic waves in bodies with initial stresses. In 2 Vol., Kiev: Nauk. Dumka, 1986 (in Russian).
6. Guz A.N. Elastic waves in bodies with initial (residual) stresses, Kiev: A.C.K., 2004 (in Russian).
7. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid, Kiev: A.C.K., 1998 (in Russian).
8. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid, Cambridge Scientific Publishers, 2009.
9. Guz A.N., Zhuk A.P., Makhort F.G. Waves in layer with initial stresses, Kiev: Nauk. Dumka, 1976 (in
Russian).
10. Babich S.Y., Guz A.N., Zhuk A.P. J. Appl. Mech., 1979, 15, No 4: 3–23 (in Russian).
11. Zhuk A.P. J. Appl. Mech., 1980, 16, No 1: 113–116 (in Russian).
12. Guz A.N., Makhort F.G., Guscha O. I. Introduction in acoustoelasticity, Kiev: Nauk. Dumka, 1977 (in
Russian).
13. Volkenstein M.M., Levin V.M. Acoustic J., 1988, 34, No 4: 608–615 (in Russian).
Поступило в редакцию 07.09.2015
О.М. Багно
Iнститут механiки iм. С. П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: desc@inmech.kiev.ua
Про квазiлембовськi хвилi у системi шар iдеальної рiдини –
стисливий пружний шар з початковими напруженнями
На основi тривимiрних лiнеаризованих рiвнянь теорiї пружностi скiнченних деформацiй
для твердого тiла та тривимiрних лiнеаризованих рiвнянь Ейлера для iдеальної стисли-
вої рiдини побудованi дисперсiйнi кривi нормальних квазiлембовських хвиль у гiдропружнiй
системi в широкому дiапазонi частот. Проаналiзовано вплив початкових напружень у по-
передньо деформованому стисливому пружному шарi, а також товщини шару рiдини на
фазовi швидкостi квазiлембовських мод у гiдропружньому хвилеводi. Числовi результати
наведено у виглядi графiкiв та дано їх аналiз.
Ключовi слова: дисперсiя хвиль, стисливий пружний шар, шар iдеальної стисливої рiдини,
початковi напруження.
46 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
O.M. Bahno
S. P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: desc@inmech.kiev.ua
On quasi–Lamb waves in the system “a layer of ideal fluid–a
compressible elastic layer with initial stresses”
Basing on the three-dimensional linearized equations of the elasticity theory of finite deformations
for a solid and the three-dimensional linearized Euler equations for an ideal compressible fluid, the
dispersion curves of quasi–Lamb normal waves in a hydroelastic system are constructed in a wide
range of frequencies. The effects of initial stresses in the pre–deformed compressible elastic layer and
the fluid layer thickness on the phase velocities of the quasi-Lamb modes in a hydroelastic waveguide
are analyzed. The numerical results are presented in the form of graphs, and their analysis is given.
Keywords: dispersion of waves, compressible elastic layer, layer of ideal compressible fluid, initial
stresses.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 47
|