Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами сплайн-інтерлінації функцій
Запропонований метод моделювання просторового розподілу корисних копалин за допомогою сплайн-інтерлінації на системі похилих свердловин, розміщених як в одній площині, так і довільним чином. Досліджуються властивості побудованих математичних моделей, а також перспективи їхнього використання для розв...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2013
|
| Назва видання: | Проблемы машиностроения |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99111 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами сплайн-інтерлінації функцій / О.О. Литвин, Н.І. Штепа, C.І. Кулик, О.С. Чорна // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 61-67. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99111 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-991112025-02-09T21:34:30Z Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами сплайн-інтерлінації функцій Mathematical minerals distributing model by means of spline-interlineation functions methods on a irregular located inclined boreholes system Литвин, О.О. Штепа, Н.І. Кулик, C.І. Чорна, О.С. Прикладная математика Запропонований метод моделювання просторового розподілу корисних копалин за допомогою сплайн-інтерлінації на системі похилих свердловин, розміщених як в одній площині, так і довільним чином. Досліджуються властивості побудованих математичних моделей, а також перспективи їхнього використання для розвідки корисних копалин. Викладено метод побудови операторів інтерлінації функцій трьох змінних, що узагальнює відомий метод Зламала – наближення функцій двох змінних кусково-поліноміальними функціями на трикутниках розбиття. Предложен метод моделирования пространственного распределения полезных ископаемых при помощи сплайн-интерлинации функций на системе наклонных скважин, размещенных как в одной плоскости, так и произвольным образом. Исследуются свойства построенных математических моделей, а также перспективы их использования для разведки полезных ископаемых. Изложен метод построения операторов интерлинации функций трех переменных, что обобщает известный метод Зламала приближения функций двух переменных кусочно-полиномиальными функциями на треугольниках разбиения. The construction methods of three variables spline-interlineation functions formulae in the inclined boreholes system, placed both in the same plane and in an arbitrary way. The properties of the constructed mathematical models, as well as the prospects of their use for the exploration of mineral resources are explored. Describtion a method for constructing operators of three variables functions interlineation, which generalizes a well-known Zlamal method - functions of two variables approximation by the piecewise-polynomial (in particular, the piecewisequadratic) functions on partitioning triangles. 2013 Article Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами сплайн-інтерлінації функцій / О.О. Литвин, Н.І. Штепа, C.І. Кулик, О.С. Чорна // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 61-67. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99111 519.6 uk Проблемы машиностроения application/pdf Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Прикладная математика Прикладная математика |
| spellingShingle |
Прикладная математика Прикладная математика Литвин, О.О. Штепа, Н.І. Кулик, C.І. Чорна, О.С. Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами сплайн-інтерлінації функцій Проблемы машиностроения |
| description |
Запропонований метод моделювання просторового розподілу корисних копалин за допомогою сплайн-інтерлінації на системі похилих свердловин, розміщених як в одній площині, так і довільним чином. Досліджуються властивості побудованих математичних моделей, а також перспективи їхнього використання для розвідки корисних копалин. Викладено метод побудови операторів інтерлінації функцій трьох змінних, що узагальнює відомий метод Зламала – наближення функцій двох змінних кусково-поліноміальними функціями на трикутниках розбиття. |
| format |
Article |
| author |
Литвин, О.О. Штепа, Н.І. Кулик, C.І. Чорна, О.С. |
| author_facet |
Литвин, О.О. Штепа, Н.І. Кулик, C.І. Чорна, О.С. |
| author_sort |
Литвин, О.О. |
| title |
Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами сплайн-інтерлінації функцій |
| title_short |
Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами сплайн-інтерлінації функцій |
| title_full |
Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами сплайн-інтерлінації функцій |
| title_fullStr |
Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами сплайн-інтерлінації функцій |
| title_full_unstemmed |
Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами сплайн-інтерлінації функцій |
| title_sort |
математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами сплайн-інтерлінації функцій |
| publisher |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Прикладная математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99111 |
| citation_txt |
Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами сплайн-інтерлінації функцій / О.О. Литвин, Н.І. Штепа, C.І. Кулик, О.С. Чорна // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 61-67. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Проблемы машиностроения |
| work_keys_str_mv |
AT litvinoo matematičnemodelûvannârozpodílukorisnihkopalinmížsistemoûneregulârnorozmíŝenihpohilihsverdlovinmetodamisplainínterlínacíífunkcíi AT štepaní matematičnemodelûvannârozpodílukorisnihkopalinmížsistemoûneregulârnorozmíŝenihpohilihsverdlovinmetodamisplainínterlínacíífunkcíi AT kulikcí matematičnemodelûvannârozpodílukorisnihkopalinmížsistemoûneregulârnorozmíŝenihpohilihsverdlovinmetodamisplainínterlínacíífunkcíi AT čornaos matematičnemodelûvannârozpodílukorisnihkopalinmížsistemoûneregulârnorozmíŝenihpohilihsverdlovinmetodamisplainínterlínacíífunkcíi AT litvinoo mathematicalmineralsdistributingmodelbymeansofsplineinterlineationfunctionsmethodsonairregularlocatedinclinedboreholessystem AT štepaní mathematicalmineralsdistributingmodelbymeansofsplineinterlineationfunctionsmethodsonairregularlocatedinclinedboreholessystem AT kulikcí mathematicalmineralsdistributingmodelbymeansofsplineinterlineationfunctionsmethodsonairregularlocatedinclinedboreholessystem AT čornaos mathematicalmineralsdistributingmodelbymeansofsplineinterlineationfunctionsmethodsonairregularlocatedinclinedboreholessystem |
| first_indexed |
2025-12-01T01:50:53Z |
| last_indexed |
2025-12-01T01:50:53Z |
| _version_ |
1850268822915776512 |
| fulltext |
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 1 61
применяется расчет нормативных значений разбаланса в задачах прогнозирования. Актуаль-
ность уменьшения потерь и повышения точности учета расходов газа определяет необходи-
мость продолжения исследований причин разбаланса газа, дальнейшего развития моделей с
повышением точности нормирования погрешности расчета баланса газа.
Литература
1. Ільченко Б. С. Аналіз та прогнозування похибки розрахунку балансу газу в системі магістральних
газопроводів / Б. С. Ільченко, О. О. Прищепо, І. О. Прищепо // Ресурсоенергозбереження у ринко-
вих відносинах: Матеріали XIII міжнарод. конф., 12–16 червня 2006 р. – Київ: ПВП «Задруга»,
2006 – С. 135–146.
2. Определение предельных допустимых объемов погрешности сведения баланса газа в системе ма-
гистральных газопроводов ДК «Укртрансгаз» / И. С. Ивасютяк, А. В. Свечников, И. А. Прищепо,
В. В. Инкулис // Совершенствование турбоустановок методами математического и физического
моделирования: Харьков: Сб. докл. междунар. науч.-техн. конф. 19–22 сент. 2006 г., [Электронный
ресурс]: Сб. докл. – Электрон. дан. – Харьков: Ин-т пробл. машиностроения НАН Украины,
10.06.09. –1 электрон. опт. диск (СD-ROM). Систем. требования: ПК от 486 DX 66 МГц; Windows
95, MS Word 6.0.
3. Исследование погрешности сведения баланса газа в системе магистральных газопроводов /
Б. С. Ильченко, А. А. Прищепо, И. С. Ивасютяк и др. // Пробл. машиностроения. – 2010. – Т. 13,
№ 1. – С. 76–79.
4. Афифи А. Статистический аналіз / А. Афифи, С. Эйзен. – М.: Мир, 1982. – 488 с.
Поступила в редакцию
06.01.13
УДК 519.6
О. О. Литвин*, канд. фіз.-мат. наук
Н. І. Штепа*, канд. фіз.-мат. наук
C. І. Кулик**, канд. фіз.-мат. наук
О. С. Чорна*
* Українська інженерно-педагогічна академія
(м. Харків, e-mail: loo71@bk.ru)
** Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут»
(e-mail: academ_mail@ukr.net)
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РОЗПОДІЛУ КОРИСНИХ
КОПАЛИН МІЖ СИСТЕМОЮ НЕРЕГУЛЯРНО РОЗМІЩЕНИХ
ПОХИЛИХ СВЕРДЛОВИН МЕТОДАМИ СПЛАЙН-ІНТЕРЛІНАЦІЇ
ФУНКЦІЙ
Запропонований метод моделювання просторового розподілу корисних копалин за допо-
могою сплайн-інтерлінації на системі похилих свердловин, розміщених як в одній площи-
ні, так і довільним чином. Досліджуються властивості побудованих математичних
моделей, а також перспективи їхнього використання для розвідки корисних копалин.
Викладено метод побудови операторів інтерлінації функцій трьох змінних, що узагаль-
нює відомий метод Зламала – наближення функцій двох змінних кусково-
поліноміальними функціями на трикутниках розбиття.
Предложен метод моделирования пространственного распределения полезных иско-
паемых при помощи сплайн-интерлинации функций на системе наклонных скважин, раз-
мещенных как в одной плоскости, так и произвольным образом. Исследуются свойства
построенных математических моделей, а также перспективы их использования для ра-
зведки полезных ископаемых. Изложен метод построения операторов интерлинации
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 1 62
функций трех переменных, что обобщает известный метод Зламала приближения фун-
кций двух переменных кусочно-полиномиальными функциями на треугольниках разбие-
ния.
Вступ
Однією з важливих галузей машинобудування є галузь, що забезпечує видобуток ву-
гілля, нафти, газу тощо. Важливою складовою розвідки корисних копалин та розумної екс-
плуатації розвіданих родовищ є конструювання науково обґрунтованих комплексів, що
включають в себе, зокрема, буріння свердловин і аналіз на основі результатів свердловинно-
го буріння запасів корисних копалин родовищ.
В останні десятиліття для підвищення ефективності бурових робіт використовується
буріння похилих свердловин [1].
Слід зазначити, що методика дослідження запасів родовищ та прийняття відповідних
рекомендацій на основі даних з кернів свердловинного буріння досить детально досліджена
в монографії Литвина О. М., Штепи Н. І., Литвина О. О. [2] (див. бібліографію до неї). Але
випадок отримання даних з кернів похилих свердловин в указаній монографії та відповідних
джерелах в ній не досліджувались. Тому актуальною є задача побудови та дослідження про-
сторових математичних моделей з використанням даних з кернів свердловин як вертикаль-
них, так і похилих. Це твердження ґрунтується на тому, що без математичного опису, який
включає геометричні характеристики похилих свердловин, неможливе ефективне конструю-
вання всього машинобудівного комплексу в цілому.
Дана робота є продовженням досліджень роботи авторів [13] і присвячена побудові
та дослідженню просторових математичних моделей розподілу корисних копалин між похи-
лими, взагалі кажучи, свердловинами з використанням сплайн-інтерлінації функцій від
трьох змінних.
1. Загальна постановка задачі
Будемо вважати похилою свердловиною множину точок такого вигляду
Γk = {(x, y, z) : x = Xk(z), y = Yk(z), –H ≤ z ≤ 0}, k = 1, 2, …, M, де Xk(z), Yk(z) – не є сталими.
Позначимо через f(x, y, z) функцію розподілу корисних копалин в точці з координа-
тами (x, y, z), які вважатимемо відомими лише в точках вказаної системи свердловин. Тобто
вважаємо відомими функції
fk(z) = f(Xk(z), Yk(z), z), –H ≤ z ≤ 0, k = 1, 2, …, M,
де функції fk(z) вважаються отриманими унаслідок аналізу вмісту кернів свердловин у кож-
ній точці на глибині z.
Вважаємо також, що діаметр кожної похилої свердловини дорівнює нулю.
2. Алгоритм побудови операторів сплайн-інтерлінації
Алгоритм викладемо по кроках.
Крок 1. Виконуємо тріангуляцію поверхні: введемо позначення μ = (μ1, μ2, μ3),
Tμ = Tμ(z) – трикутник на глибині z з вершинами
Pk(Xk(z), Yk(z)), k = μ1, μ2, μ3, μ1, μ2, μ3 ∈ {1, 2, …, M},
тобто )}(),(:),,{()( zTyxzyxzT μμ ∈= є криволінійною призмою.
Крок 2. Будуємо для кожного трикутника Tμ(z) оператор інтерлінації Oμ(x, y, z) у ви-
гляді
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
ϕ
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
ϕ
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
ϕ
=
μμμ
μμ
μ
μμμ
μμ
μ
μμμ
μμ
μμ )(
),,(
)(
)(
),,(
)(
)(
),,(
)(),,(
321
21
3
321
31
2
321
32
1
,,
,
,,
,
,,
,
z
zyx
zf
z
zyx
zf
z
zyx
zfzyxO ,
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 1 63
( )
).),(),((
1)()(
1)()(
1)(
)(
,
1)()(
1)()(
1
),,(
1132
33
22
11
321 ,,,
,
zzYzX
zYzX
zYzX
zYzX
z
zYzX
zYzX
yx
zyx
qq
ppqp
μμμμ
μμ
μμ
μμ
μμμ ϕ==Δ
=ϕ
Введемо до розгляду оператор
U
μ
μμμμ =⊂−×∈= )()(],0,[)(),,(),,,(),,( zTDzTHzTzyxzyxfOzyxFOM .
Нехай Q – кількість криволінійних трикутних призм, відповідних вибраній тріангу-
ляції.
Теорема 1. Оператор Oμ(x, y, z) має такі властивості:
а) він є оператором інтерлінації функцій трьох змінних f(x, y, z) на системі похилих
свердловин Γk, k = 1, 2, …, M, тобто
OMf(Xp(z), Yp(z), z) = f(Xp(z), Yp(z), z) = fp(z), –H ≤ z ≤ 0, p = 1, 2, …, M;
б) кожній неперервній функції f(x, y, z) ∈ C(D) цей оператор ставить у відповідність
теж неперервну функцію OMf(x, y, z) ∈ C(D):
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−×∈⇒⊂⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−×∈
μ
μμ
μ
μ UU ]0,[),,(,]0,[),,( HTCzyxfODzTHTCzyxf M .
Доведення. Інтерлінаційні властивості «а» випливають з такої властивості детермі-
нантів: детермінант з двома однаковими рядками дорівнює нулю. Тому якщо p ∈ {μ1, μ2, μ3},
то
}.,,{],0,[,),(
),(
)(
)),(),((
)(
)(
)),(),((
)(
)(
)),(),((
)()),(),(()),(),((
321
,,
,
,,
,
,,
,
213
21
3
312
31
2
321
32
1
μμμ∈−∈∈
=
Δ
ϕ
+
Δ
ϕ
+
+
Δ
ϕ
==
μ
μμμ
μμ
μ
μμμ
μμ
μ
μμμ
μμ
μμ
pHzTyx
zf
z
zzYzX
zf
z
zzYzX
zf
z
zzYzX
zfzzYzXOzzYzXfO
p
pppp
pp
ppppM
Тут враховано, що
.0)),(),((,0)),(),((,1)),(),((
,0)),(),((,0)),(),((,1)),(),((
,0)),(),((,0)),(),((,1)),(),((
222111213321
333111312231
333222321132
,,,
,,,
,,,
=ϕ=ϕ=ϕ
=ϕ=ϕ=ϕ
=ϕ=ϕ=ϕ
μμμμμμμμμμμμ
μμμμμμμμμμμμ
μμμμμμμμμμμμ
zzYzXzzYzXzzYzX
zzYzXzzYzXzzYzX
zzYzXzzYzXzzYzX
Іншими словами, оператор OMf(x, y, z) є оператором кусково-лінійної інтерполяції за
змінними x, y ∀z ∈ [–H, 0].
Для доведення того, що OMf(x, y, z) ∈ C(D), досить зазначити, що функції
Op,q,r f(x, y, z) та Op,q,r' f(x, y, z) на спільній криволінійній, взагалі кажучи, грані призм зі сверд-
ловинами Γq та Γp мають однакові сліди, тобто функція F(x, y, z) = OMf(x, y, z) при переході
від тригранної призми з ребрами Γp(z), Γq(z), Γr(z) до тригранної призми з ребрами Γp(z),
Γq(z), Γr' (z) зберігає неперервність. Те, що у випадку неперервних слідів fp(z) ∈ C[–H, 0],
p = 1, 2, …, M функції Oμ(x, y, z) теж будуть неперервними, випливає з формули для опера-
торів Oμf(x, y, z) і відомої властивості неперервних функцій: сума неперервних функцій є не-
перервною функцією.
Теорема 1 доведена.
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 1 64
3. Математичне моделювання розподілу корисних
копалин методом сплайн-інтерлінації функцій
Введемо і дослідимо також оператори сплайн-
інтерлінації функцій трьох змінних на системі похилих
свердловин Γk(z) = {(x, y, z) : x = Xk(z), y = Yl = const, –
H ≤ z ≤ 0}, які нерегулярно розміщені на поверхні z = 0,
використовуючи кусково-квадратичні наближення за
змінними x, y у кожній з трикутних призм.
Введемо M допоміжних функцій hk(t) ∈ C[0, 1],
k = 1, 2, …, M, з властивостями hk(0) = 0, hk(1) = 1,
k = 1, 2, …, M та оператори
].0,[,),,(
,
)(
),,(
)(
)(
),,(
)(
)(
),,(
)(),,(),,(
~
,,
,
,,
,
,,
,
21
21
33
21
31
22
21
32
11
HzDTzyx
z
zyx
hzf
z
zyx
hzf
z
zyx
hzfzyxfOzyxfOM
−∈⊂∈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
ϕ
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
ϕ
+
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
ϕ
==
μ
μμμ
μμ
μμ
μμμ
μμ
μμ
μμμ
μμ
μμμ
Теорема 2. Оператор ),,(
~
zyxfOM має такі властивості:
а) він є оператором інтерлінації функцій трьох змінних на всій системі похилих све-
рдловин Γk(z):
OMf(Xk(z), Yk(z), z) = fk(z), –H ≤ z ≤ 0, k = 1, 2, …, M;
б) f(x, y, z) ∈ C(D) ⇒ OMf(x, y, z) ∈ C(D).
Доведення теореми 2 виконується аналогічно доведенню теореми 1 з урахуванням
властивостей функцій ϕp,q(x, y, z) та hk(t).
Зауваження. Зокрема, якщо hk(t) = t, ∀k = 1, 2, …, M то ),,(),,(
~
zyxfOzyxfO MM = .
Якщо hk(t) = t2, ∀k = 1, 2, …, M, то ),,(
~
zyxfOM – оператор інтерлінації функцій трьох змін-
них з кусково-квадратичними допоміжними функціями.
Викладемо метод побудови операторів інтерлінації функцій трьох змінних, що уза-
гальнює відомий метод Зламала – наближення функцій двох змінних кусково-
поліноміальними (зокрема, кусково-квадратичними) функціями на трикутниках розбиття.
Нехай p(x, y, z) – довільний поліном другого степеня від двох змінних x, y з коефіціє-
нтами, що залежать від третьої змінної z:
p(x, y, z) = α1(z) + α2(z)x + α3(z)y + α4(z)x2 + α5(z)xy + α6(z)y2
і Γk(z) = {(x, y, z) : x = Xk(z), y = Yk(z), –H ≤ z ≤ 0} – свердловини, які є ребрами трикутної при-
зми T(z), а Qi(z), 1 ≤ i ≤ 3 – свердловини, що проходять через середини граней трикутної при-
зми паралельно ребрам призми (рис. 1).
Можна довести, що для довільних функцій ai(z), bi(z), 1 ≤ i ≤ 3, існує єдиний поліном
p(x, y, z) другого степеня наведеного вище вигляду, такий, що
.;;31],0,[
)(,
2
)()(,
2
)()()(
;3,2,1],0,[),()),(),(()(
1414
1,
11
YYXXiHz
zfzzYzYzXzXpQp
kHzzfzzYzXpp
kk
kkkk
i
kkkk
==≤≤−∈∀
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++
=
=−∈∀==Γ
+
++
Тому якщо функція f(x, y, z) неперервна на T(z), то існує єдиний поліном p(x, y, z) за
змінними x, y, який має такі інтерлінаційні властивості:
p(Γk) = fk(z) ∀z ∈ [–H, 0], 1 ≤ i ≤ 3, (1)
Рис. 1. Вигляд зверху тригранної
призми T(z) при фіксованому z
з свердловинами на ребрах
і посередині граней
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 1 65
31],0,[)(
~
)()( ≤≤−∈∀== jHzzfQpQf jjj (2)
Таким чином, цей поліном p(x, y, z) за змінними x, y збігається з наближуваною фун-
кцією f(x, y, z) у всіх точках шести похилих свердловин. Тому він може бути використаний
для наближення функції f(x, y, z) в довільній точці вказаної трикутної призми з криволіній-
ними ребрами.
Узагальненням відповідного твердження Зламала на випадок наближення функцій
трьох змінних є така теорема.
Теорема 3. Нехай задано довільне розбиття області D×[–H, 0], D ⊂ R2, на трикутні
області – призми з криволінійними, взагалі кажучи, ребрами
U
N
i
i HDHT
1
]0,[]0,[
=
−×=−× .
Позначимо через )}({max
0
zhh kzH ≤≤−
= найбільшу довжину сторін трикутників Ti(z) ⊂ D і
θ – найменший з кутів трикутників Ti. Тоді якщо f ∈ C3(D×[–H, 0]) і s(x, y, z)– єдина кусково-
поліноміальна функція (за змінними x, y), що інтерлінує f(x, y, z) в сенсі (1), (2), то
` ]0,[3|:|sup
sin
:0
)(
0
2
)(1
2
HzfDhKsfK
GLDW −∈∀
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ =α
θ
≤−>∃
∞
α .
для довільної тріангуляції з кутом, що задовольняє умову θ ≥ θ0 > 0, де константа K не зале-
жить від f(x, y, z) і геометрії області D.
Тут
( ) ( )
( ) ( ) .),,(),,(),,(),,(
),,(),,(
22
2
1
2
∫∫
∫∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
∂
∂
+
+−=−
D
D
GW
dxdyzyxszyxf
y
zyxszyxf
x
dxdyzyxszyxfsf
Доведення цієї теореми повторює доведення відповідної теореми Зламала для різних
фіксованих значень z за умови, що функція f(x, y, z) неперервно залежить від змінної я і має
∀z ∈ [–H, 0] обмежені частинні похідні третього порядку за змінними x, y.
Теорема 3 доведена.
Зазначимо, що, крім того, цей метод допускає також узагальнення на випадок, коли
між ребрами трикутної призми розміщені по дві і більше похилих свердловин. У цьому ви-
падку отримаємо кусково-поліноміальну (за змінними x, y) інтерлінацію функцій трьох
змінних більш загального типу.
Аналогічні кусково-поліноміальні (за змінними x, y) формули інтерлінації можна по-
будувати також для розбиття множини точок на поверхні Землі на чотирикутники, тобто для
розбиття приповерхневого шару земної кори на чотиригранні призми. Наприклад, для дові-
льних чотирьох точок Pk(xk(z), yk(z)), k = 1, 2, 3, 4, що є вершинами випуклого чотирикутника
G1234 = P1P2P3P4, оператор інтерлінації функції трьох змінних f(x, y, z) на системі чотирьох
похилих свердловин Γk(z) = {(x, y, z) : x = Xk(z), y = Yk(z), –H ≤ z ≤ 0}, k = 1, 2, 3, 4 може бути
записаний у вигляді
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 1 66
.
1)()(
1)()(
1
),,(],0,[,),(
,
)),(),(()),(),((
),,(),,()(
)),(),(()),(),((
),,(),,()(
)),(),(()),(),((
),,(),,()(
)),(),(()),(),((
),,(),,()(),,(
,1234
44234412
2312
4
33143312
1412
3
11342214
3414
2
11341123
3423
11234
zYzX
zYzX
yx
zyxHzGyx
zzYzXzzYzX
zyxzyxz
zzYzXzzYzX
zyxzyxz
zzYzXzzYzX
zyxzyxz
zzYzXzzYzX
zyxzyxzzyxfO
qq
ppqp =ϕ−∈∈
ϕϕ
ϕϕ
γ+
+
ϕϕ
ϕϕ
γ+
ϕϕ
ϕϕ
γ+
+
ϕϕ
ϕϕ
γ=
Теорема 4. Оператор O1234f(x, y, z) є оператором інтерлінації функції трьох змінних
f(x, y, z) з квадратичними за змінними x, y при фіксованому z допоміжними функціями і має
властивості
O1234f(Xk(z), Yk(z), z) = γk(z), z ∈ [–H, 0], k = 1, 2, 3, 4.
Доведення. Перш за все, зазначимо, що функції
1)()(
1)()(
1
),,(,
zYzX
zYzX
yx
zyx
qq
ppqp =ϕ лі-
нійно залежать від змінних x, y. При цьому
ϕp,q(Xp(z), Yp(z), z) = 0, ϕp,q(Xq(z), Yq(z), z) = 0,
оскільки детермінант з двома однаковими рядками дорівнює нулю. Таким чином, функції
ϕp,q(x, y, z) дорівнюють нулю на лінії, що з’єднує точки Pp(Xp(z), Yp(z), z), Pq(Xq(z), Yq(z), z).
Тобто добуток двох таких функцій ϕp,q(x, y, z)ϕp,r(x, y, z), r ≠ q, є поліномом другого степеня
(функцією, квадратичною за змінними x, y), який дорівнює нулю у трьох точках – вершинах
двох сторін чотирикутника PpPq та PpPr p, q, r ∈ {1, 2, 3, 4} і не дорівнює нулю у четвертій
точці Ps(Xs(z), Ys(z), z), s ≠ p, q, r. Це означає, що допоміжна квадратична функція
)),(),(()),(),((
),,(),,(
),,(
zzYzXzzYzX
zyxzyx
zyx
ssqrsspq
prpq
s ϕϕ
ϕϕ
=ψ
має такі властивості:
.0)),(),((;0)),(),((
;0)),(),((;1)),(),((
=ψ=ψ
=ψ=ψ
zzYzXzzYzX
zzYzXzzYzX
rrsqqs
ppssss
З використанням цих властивостей інтерлінаційні властивості O1234f(Xk(z),
Yk(z), z) = γk(z), z ∈ [–H, 0], k = 1, 2, 3, 4 доводяться безпосередньою перевіркою.
Теорема 4 доведена.
Висновки
Таким чином, оператор ),,(
~
zyxfOM є оператором інтерлінації функцій трьох змін-
них на системі похилих свердловин Γk(z). Кожній неперервній функції f(x, y, z) ∈ C(D) цей
оператор ставить у відповідність теж неперервну функцію OMf(x, y, z) ∈ C(D).
Автори планують створити програмне забезпечення для запропонованих методів та
алгоритмів побудови математичних моделей розподілу корисних копалин в корі планети на
основі даних з кернів похилих свердловин, а також розробити і дослідити оператори глоба-
льної інтерлінації на системі похилих свердловин.
Література
1. Калинин А. Г. Бурение наклонных скважин: Справочник / А. Г. Калинин, Н. А. Григорян,
Б. З. Султанов. – М.: Недра, 1990. – 348 с.
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 1 67
2. Литвин О. М. Математичне моделювання розподілу корисних копалин методами інтерлінації та
інтерфлетації функцій / О. М. Литвин, Н. І. Штепа, О. О. Литвин. – К.: Наук. думка, 2011. – 228 с.
3. Burrough P. A. Principles of geographical information systems / P. A. Burrough, R. A. McDonnell. –
Oxford University Press, 2006. – 333 p.
4. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе Пер. с англ. /
Р. Варга. – М.: Мир, 1974. – 126 с.
5. Литвин О. М. Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою інтерлінації
функцій трьох змінних/ О. М. Литвин, Н. І. Штепа // Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXV)
: Пр. міжнарод. симпозіуму, Крим, смт. Кацивелі, 24–29 вер. 2009. Т .2. Київ. – 2009. – С. 20–24.
6. Литвин О. Н. Интерполирование функцій / О. Н. Литвин: Учеб. пособие. – Киев: УМК ВО. 1988. –
31 с.
7. Литвин О. М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / О. М. Литвин. – Харків: Основа,
2002. – 544 с.
8. Литвин О. М. Методи обчислень. Додаткові розділи / О. М. Литвин. – К.: Наук. думка, 2005. –
331 с.
9. Математичне моделювання розподілу корисних копалин між похилими свердловинами методом
поліноміальної сплайн-інтерлінації функції / О. М. Литвин, О. О. Литвин, Н. І. Штепа, О. С. Чорна
// Інформатика та системні науки ІСН-2011 : Матеріали ІІ всеукраїн. наук.-практ. конф. 17–19 бер.
2011 / За ред. д. ф-м. н., проф. Ємця О. О. – Полтава: РВВ ПУЄТ, 2011. – 355 с.
10. Математична модель просторового розподілу корисних копалин кори землі за допомогою даних
з кернів свердловин та інформації про розподіл на поверхні / О. М. Литвин, О. О. Литвин,
Н. І. Штепа, О. С. Чорна // Інформатика та системні науки ІСН-2012 : Матеріали ІІІ всеукр. наук.-
практ. конф. 1–3 бер. 2012 / За ред. проф. д. ф-м. н., Ємця О. О. – Полтава: РВВ ПУЄТ, 2012. –
179–181 с.
11. Математичне моделювання розподілу корисних копалин між похилими свердловинами методом
поліноміальної інтерлінації функції / О. М. Литвин, О. О. Литвин, Н. І. Штепа, О. С. Чорна // Пи-
тання оптимізації обчислень (ПОО-XXXVII) : Праці міжнародної молодіжної математичної школи
– К.: Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, 2011. – С 94.
Надійшла до редакції
12.12.12
|