Математическое моделирование динамики элементов конструкций энергетических машин при взаимодействии с жидкостью
Предложен метод расчета динамических характеристик оболочек вращения с жидкостью, подверженных действию кратковременных импульсных нагрузок. Метод основан на сведении задачи об определении давления жидкости на оболочку к системе сингулярных интегральных уравнений. Связанная задача теории упругости р...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99119 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математическое моделирование динамики элементов конструкций энергетических машин при взаимодействии с жидкостью / В.И. Гнитько, У.Е. Oгородник, Е.А. Стрельникова // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 34-42. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859982043027341312 |
|---|---|
| author | Гнитько, В.И. Огородник, У.Е. Стрельникова, Е.А. |
| author_facet | Гнитько, В.И. Огородник, У.Е. Стрельникова, Е.А. |
| citation_txt | Математическое моделирование динамики элементов конструкций энергетических машин при взаимодействии с жидкостью / В.И. Гнитько, У.Е. Oгородник, Е.А. Стрельникова // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 34-42. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы машиностроения |
| description | Предложен метод расчета динамических характеристик оболочек вращения с жидкостью, подверженных действию кратковременных импульсных нагрузок. Метод основан на сведении задачи об определении давления жидкости на оболочку к системе сингулярных интегральных уравнений. Связанная задача теории упругости решается с помощью сочетания методов конечных и граничных элементов. Дифференциальные уравнения нестационарной задачи решаются численно методом Рунге–Кутта 4-го и 5-го порядка.
Запропоновано метод розрахунку динамічних характеристик оболонок обертання з рідиною, що зазнають дії короткочасних імпульсних навантажень. Метод ґрунтується на зведенні задачі з визначення тиску рідини на оболонку до системи сингулярних інтегральних рівнянь. Зв’язана задача теорії пружності розв’язується за допомогою поєднання методів скінченних та граничних елементів. Диференціальні рівняння нестаціонарної задачі розв’язуються чисельно методом Рунге–Кутта 4-го та 5-го порядку.
The method of evaluating the dynamical characteristics of fluid-filled shells of revolution subjected to short-time impulse loads is proposed. The method relies on determining the fluid pressure from the system of singular integral equations. The coupled problem of the theory of elasticity is solved by using combination of finite and boundary element methods. Differential equations of transient problem are solved numerically by Runge-Kutta method of 4th and 5th order.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:26:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 2 34
Из (11) видно влияние на коэффициенты упругости ся и сp не только параметров
ЭМВ, но и задающего напряжения Ua.
Выводы
Таким образом, получены аналитические выражения коэффициентов демпфирования
и упругости в ЭМВС с РМ. Использование полученных формул способствует более точному
проектированию ЭМВ.
Литература
1. Вибрации в технике: В 4-х т. / Под ред Э. Э. Лавендела. – М.: Машиностроение, 1981. – Т. 4. –
510 с.
2. Божко А. Е. Оценка и анализ параметров жесткости в электромагнитных вибрационных стендах /
А. Е. Божко, К. Б. Мягкохлеб // Пробл. машиностроения. – 2003. – Т. 6, № 3. – С. 53–57.
3. Божко А. Е. Динамико-энергетические связи колебательных систем / А. Е. Божко, Н. М. Голуб. –
Киев: Наук. думка, 1980.– 188 с.
4. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высш. шк., 1978.– 528 с.
Поступила в редакцию
23.05.2013
УДК 539.3
В. И. Гнитько, канд. техн. наук
У. Е. Oгородник
Е. А. Стрельникова, д-р. техн. наук
Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины
(г. Харьков, е-mail: gnit@ipmach.kharkov.ua)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ МАШИН
ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С ЖИДКОСТЬЮ
Предложен метод расчета динамических характеристик оболочек вращения с жидко-
стью, подверженных действию кратковременных импульсных нагрузок. Метод основан
на сведении задачи об определении давления жидкости на оболочку к системе сингуляр-
ных интегральных уравнений. Связанная задача теории упругости решается с помощью
сочетания методов конечных и граничных элементов. Дифференциальные уравнения не-
стационарной задачи решаются численно методом Рунге–Кутта 4-го и 5-го порядка.
Запропоновано метод розрахунку динамічних характеристик оболонок обертання з рі-
диною, що зазнають дії короткочасних імпульсних навантажень. Метод ґрунтується
на зведенні задачі з визначення тиску рідини на оболонку до системи сингулярних інтег-
ральних рівнянь. Зв’язана задача теорії пружності розв’язується за допомогою поєд-
нання методів скінченних та граничних елементів. Диференціальні рівняння нестаціо-
нарної задачі розв’язуються чисельно методом Рунге–Кутта 4-го та 5-го порядку.
1. Введение
Динамический анализ напряженно-деформированного состояния оболочечных кон-
струкций часто выполняется при помощи конечноэлементных программ [1–6]. Но трехмер-
ный анализ с учетом взаимодействия жидкости и конструкции является сложной и чрезвы-
чайно трудоёмкой задачей. Поэтому для проведения исследования прочности и устойчиво-
сти оболочек при импульсных и сейсмических нагрузках принимаются упрощенные гипоте-
зы. Предполагается, например, что жидкость состоит из двух частей: движущейся вместе с
емкостью как жесткое целое и части, движущейся со своей собственной частотой. Опреде-
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 2 35
ление границ этих частей жидкости производится эмпирически. Не учитывается также упру-
гость стенок резервуара. Отсутствуют работы, в которых бы учитывалась геометрическая
нелинейность материала и нелинейный характер поведения жидкости. Следует отметить,
что в большинстве работ рассматриваются цилиндрические оболочки; для численного моде-
лирования применяется метод конечных элементов.
В данной работе описываются исследования авторов, посвященных динамике оболо-
чечных конструкций, заполненных жидкостью. Здесь рассмотрен вопрос о свободных и вы-
нужденных колебаниях оболочки вращения с произвольным меридианом. Для решения за-
дачи используются одномерные методы конечных и граничных элементов. Это позволяет
существенно сократить время расчета, что приводит к качественно новым возможностям
при моделировании динамического поведения конструкций.
2. Постановка задачи
Рассматривается связанная динамическая задача для оболочки вращения, частично
заполненной жидкостью, подверженной кратковременному импульсному нагружению.
Предположим, что жидкость идеальная, несжимаемая, а ее течение (индуцированное
движением тела) является безвихревым. Обозначив компоненты скорости через Vx, Vy, Vz,
условие несжимаемости сплошной среды получим из следующего равенства:
0div =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
z
V
y
V
x
V
V zyx
. (1)
Поскольку поток безвихревой, то существует потенциал скоростей φ
z
V
y
V
x
V
zyx
∂
φ∂
=
∂
φ∂
=
∂
φ∂
= ,, ,
удовлетворяющий вследствие (1) гармоническому уравнению
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂
φ∂
zyx
.
Матричное уравнение движения оболочки, частично заполненной жидкостью, запи-
шем в виде
)()( tQtP +=+ UMLU && , (2)
где L, М – матрицы жесткости и масс; U = (u1, u2, u3) – вектор-функция перемещений; Q(t) –
вектор внешней нагрузки, P(t) – гидродинамическое давление жидкости. Давление жидкости
находим из интеграла Коши–Лагранжа, который в линейном приближении имеет вид
ll
P
gz
t
P
ρ
+−
∂
φ∂
−=
ρ
0
, (3)
где φ – потенциал скоростей; ρl – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения, z
– координата точки жидкости, отсчитываемая в вертикальном направлении.
Обозначим смоченную поверхность оболочки через S1, а свободную поверхность –
S0. Пусть декартова система координат 0xyz связана с оболочкой, свободная поверхность
жидкости S0 совпадает с плоскостью x0y в состоянии покоя. Считаем, что резервуар с жид-
костью подвергается динамическому воздействию. На смоченной поверхности упругой обо-
лочки требуется выполнение условия непротекания, на свободной поверхности задаются
динамическое и кинематическое граничные условия. Динамическим граничным условием
является равенство давления на свободной поверхности атмосферному, а кинематическое
условие заключается в том, что частицы жидкости, первоначально находившиеся на свобод-
ной поверхности, остаются на ней во все время последующего движения.
Таким образом, приходим к следующей краевой задаче:
Qgz
l
=+φρ++
&&&UMLU ,
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 2 36
001
,0;,;, SPgSP
n
SP
t
w
n
∈=ζ+φ∈ζ=
∂
φ∂
∈
∂
∂
=
∂
φ∂ &&
для определения неизвестных функций U и φ.
3. Метод разложения по собственным формам в связанных динамических задачах
Будем искать собственные формы колебаний оболочки в жидкости в следующем ви-
де:
∑
=
=
m
k
kk zyxutctzyxU
1
),,()(),,,( , (4)
где функции uk(x, y, z) – собственные формы колебаний оболочки в вакууме; ck(t) – неизвест-
ные коэффициенты.
Потенциал скоростей φ представим в виде суммы двух потенциалов φ = φ1 + φ2.
Для определения φ1 сформулируем следующую краевую задачу:
0
1
1
1
1
2
,0;,;0 SP
t
SP
t
w
n
∈=
∂
φ∂
∈
∂
∂
=
∂
φ∂
=φ∇ . (5)
Здесь )(),,(),,,(
1
tczyxwtzyxw k
m
k
k∑
=
= , функции wk(x, y, z) являются нормальными компонен-
тами собственных форм колебаний пустой оболочки.
Отметим, что из соотношения (3) и второго из уравнений (5) следует, что
)(),,(),,,(
1
11
tczyxtzyx
m
k
kk∑
=
φ=φ & . (6)
Для определения функций φ1k имеем следующие краевые задачи:
011
1
1
2
,0;,;0 SPSPw
n
kk
k
k ∈=φ∈=
∂
φ∂
=φ∇ . (7)
Потенциал φ2 ищем в виде
∑
=
φ=φ
n
k
kk zyxtdtzyx
1
22
),,()(),,,( ,
где функции φ2k – собственные формы колебаний жидкости в жестком сосуде. Определим
эти собственные формы. Предварительно рассмотрим задачу
.,0;,;,0;0
001
2
SPgSP
n
SP
n
∈=ζ+φ∈ζ=
∂
φ∂
∈=
∂
φ∂
=φ∇
&& (8)
Последнее из уравнений (8) представляет собой динамическое условие на свободной
поверхности. Дифференцируя это уравнение по t, приходим к уравнению для потенциала
скоростей жидкости в жестком сосуде
0
,0 SP
n
g ∈=
∂
φ∂
+φ
&& . (9)
Решение этой задачи ищем в форме
),,(),,,( zyxetzyx
ti
ψ=φ
κ
.
Потенциал ψ, описывающий свободные гармонические колебания жидкости (9), яв-
ляется решением следующей краевой задачи:
0
2
1
2
,;,0;0 SP
gn
SP
n
∈ψ
κ
=
∂
ψ∂
∈=
∂
ψ∂
=ψ∇ . (10)
Ее решение определяет ряд собственных чисел κk и соответствующих им собствен-
ных функций φ2k. Решив задачу (10), будем искать φ2 в виде
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 2 37
),,()(),,,(
1
2
zyxtdtzyx k
n
k
k ψ=φ ∑
=
. (11)
Таким образом, получены представления для потенциалов φ1 и φ2
),,()(),,,(),(),,(),,,(
2
1
2
1
11
zyxtdtzyxtczyxtzyx k
n
k
k
m
k
kk ϕ=φϕ=φ ∑∑
==
& .
Тогда, поскольку φ = φ1 + φ2, получим
1
21
2
2
1
22
,,0 SP
t
w
nnn
∈
∂
∂
=
∂
φ∂
+
∂
φ∂
=
∂
φ∂
=φ∇+φ∇=φ∇ .
Следовательно, удовлетворяется уравнение Лапласа и граничное условие непротека-
ния.
На свободной поверхности должно выполняться условие
00
,0;, SPgSP
n
∈=ζ+φ∈ζ=
∂
φ∂ && .
Дифференцируя последнее равенство по t, приходим к уравнению
0
,0 SP
n
g ∈=
∂
φ∂
+φ
&& . (12)
Подставляя 0
11
=φ=φ
&&& в уравнение (12), получим с учетом (16)
0
),,(
)(
),,(
)(),,()(
2
1
1
1
2
1
=
∂
φ∂
+
∂
φ∂
+ϕ ∑∑∑
===
n
zyx
tdg
n
zyx
tcgzyxtd k
n
k
k
k
m
k
kk
n
k
k
&&& .
Используя соотношения, которым удовлетворяют функции φ2k
02
2
2
, SP
gn
k
kk
∈φ
κ
=
∂
φ∂
,
приходим к дифференциальным уравнениям
[ ] 0
),,(
)(),,()()(
1
1
2
1
2
=
∂
φ∂
+φκ+ ∑∑
==
n
zyx
tcgzyxtdtd k
m
k
kk
n
k
kkk
&&& . (13)
Умножим уравнение (13) скалярно на функцию φ2l. В силу ортогональности системы
собственных форм колебаний жидкости в жестком сосуде получим следующие соотноше-
ния:
( )
nl
n
tc
g
tdtd l
k
m
k
k
ll
lll ..,2,1,0,)(
,
)()(
2
1
122
2
==
φ
∂
φ∂
φφ
+κ+ ∑
=
&&& . (14)
После определения функций φ1k и φ2k подставляем их в уравнение (2) и получаем
дифференциальное уравнение
QgzdcucMucL
n
i
ii
m
k
kkl
m
k
kk
m
k
kk +
+φ+φρ−=
+
∑∑∑∑
==== 1
2
1
1
11
&&&& . (15)
Пусть ωk, uk – собственные частоты и формы свободных колебаний оболочки в ва-
кууме. Имеют место следующие соотношения:
kjjkkkk uuuu δ=ω= ),(,
2
MML . (16)
Умножив скалярно уравнение (14) на uj и принимая во внимание условия нормиров-
ки (16), получим следующую систему n + m дифференциальных уравнений второго порядка:
mjuQuzguductctc jjji
n
i
ijk
m
k
kLjjj ,1),,(),(),(),()()(
2
1
1
1
2
==+φ+φρ+ω+ ∑∑
==
&&&&&
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 2 38
( )
nl
n
tc
g
tdtd l
k
m
k
k
ll
lll ..,2,1,0,)(
,
)()(
2
1
122
2
==
φ
∂
φ∂
φφ
+κ+ ∑
=
&&& . (17)
Таким образом, схема решения связанной динамической задачи для оболочки вра-
щения состоит из следующих этапов.
1. Определение частот и форм свободных колебаний оболочки в вакууме методом
конечных элементов.
2. Определение частот и форм колебаний жидкости в жесткой оболочке под действи-
ем силы тяжести с использованием метода граничных элементов.
3. Определение частот и форм колебаний упругой оболочки без учета действия силы
тяжести с использованием метода граничных элементов.
4. Решение системы дифференциальных уравнений второго порядка (17) с использо-
ванием метода Рунге–Кутта 4-го и 5-го порядка.
4. Системы граничных интегральных уравнений
Далее будем использовать цилиндрическую систему координат. Представим неиз-
вестные функции в виде рядов Фурье по окружной координате
αθφ=φαθ= cos),(,cos),( zrzrww . (18)
Чтобы решить связанную задачу гидроупругости, необходимо определить потенциа-
лы φ1 и φ2. Эти задачи сведены к решению систем сингулярных интегральных уравнений.
Определение потенциала φ1 осуществляется так же, как и в [8, 9] и приводит к следующей
системе интегральных уравнений:
;,)(),()(),()()(),()(
; ,)(),()(),()()(),()()(2
0010
0
00
1010
0
000
SPdzrPPzwdPPqdzrzzz
SPdzrPPzwdPPqdzrzzzz
R
R
∈ΓΦ=ρρΦρ−ΓΘϕ
∈ΓΦ=ρρΦρ−ΓΘϕ+πϕ
∫∫∫
∫∫∫
ΓΓ
ΓΓ
(19)
где
( )
).(
4
),(
,)()()(
2
14
),(
0
0
2
0
2
0
2
0
k
ba
PP
nk
ba
zz
nkk
ba
zzrr
rba
zz zr
α
ααα
+
=Φ
−
−
+
−
−
−+−
+
=Θ
F
EFE
(20)
Здесь введены такие обозначения:
( ) ( )
( ) .
2
,
sin1
2cos
1)(
,sin12cos411)(
2
2/
0
22
2/
0
222
ba
b
k
k
d
k
dkk
+
=
θ−
θαθ
−=
θθ−αθα−−=
∫
∫
π
α
α
π
α
α
F
E
При α = 0 эти выражения представляют собой стандартные эллиптические интегра-
лы первого и второго рода.
Чтобы определить потенциал φ2, необходимо построить функции φ2k. Обозначим
1
2kφ
значения φ2k на смоченной поверхности S1 и
0
2kφ значения φ2k на свободной поверхности S0.
Используя прямую формулировку метода граничных элементов для решения краевой задачи
(7), запишем следующую систему сингулярных интегральных уравнений:
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 2 39
.0
1
2
1
0
111
2
01
001
0
0
2
2
0
21
1
2
0
0
20
0
2
2
1
1
2
1
2
=φ
κ
+πϕ−
∂
∂
φ−
=
∂
∂
φ+φ
κ
−
∂
∂
φ+πφ
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
S
kk
S
k
S
k
S
k
S
kk
dS
rg
dS
rn
dS
rz
dS
rg
dS
rn
(21)
Предполагая, что αθφ=φ cos),( zr , получаем для каждой гармоники (18) соотноше-
ния вида
.),()(
),(
1
,)(),()(
),(
1
0
00
0
01
0
0
1
∫∫∫
∫∫∫
ρρΦρφ=
φ
ΓΘφ=
∂
∂
φ
R
S
rS
dPPdS
PPr
dzrzzzdS
PPrn
Здесь ядра Θ(z, z0) и Φ(P, P0) определены в (20).
Для численного решения систем, описанных уравнениями (19)–(21), использовался
метод граничных элементов с постоянной аппроксимацией неизвестной плотности на эле-
ментах [7, 8].
5. Численные результаты
Полное решение динамической задачи требует рассмотрения частот и форм колеба-
ний жидкости в жесткой оболочке. В качестве примеров здесь рассмотрены коническая и
цилиндрическая оболочки (рис. 1, 3). Аналитические значения частот для конической обо-
лочки определены по следующей формуле [11]:
)(th
00
2
H
R
g
λλ=κ , (22)
где RHHRzzRyyRxx /,/,/,/ ==== ; R – радиус свободной поверхности; H – уровень
заполнения оболочки; λ0 – корни уравнения 0)( =λ′
α
I ; в котором )(rI
α
функции Бесселя
первого рода.
При численном решении было использовано n
граничных элементов на меридиане оболочки и m
Рис. 1. Жесткая коническая оболочка,
частично заполненная жидкостью
Таблица 1. Сходимость значений собственных
частот при сгущении сетки
α = 0 α = 1
n + m
1 2 1 2
10 + 10 3,54 6,93 1,39 5,15
20 + 20 3,50 6,78 1,38 5,05
30 + 30 3,48 6,74 1,37 5,02
40 + 40 3,47 6,71 1,37 5,01
[11] 3,46 6,70 1,36 4,97
Рис. 2. Первая и вторая формы колебаний свободной
поверхности конической оболочки при αααα = 0 и αααα = 1
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 2 40
граничных элементов на свободной поверхности жидкости. В табл. 1 показаны численные
значения двух первых частот κ
2
R/g для α = 0 и α = 1 при разных n и m. Здесь также пред-
ставлены аналитические значения, вычисленные по формуле (22).
На рис. 2 даны формы собственных колебаний жидкости на свободной поверхности.
Анализ численных результатов показал, что удовлетворительная точность достигнута при
20+20 граничных элементах.
Рассмотрим жесткий круговой цилиндр радиуса R = 1 м и глубиной заполняющей
его жидкости H (рис. 3) и определим собственные частоты и формы колебаний жидкости в
жесткой цилиндрической оболочке.
В табл. 2 приведены результаты расчетов первых трех собственных чисел κ
2
при
H0 = 0,7 м для α = 0 и α = 1, определенных по предложенной методике и вычисленных по
формуле [9].
На рис. 4 представлены собственные
формы колебаний на свободной поверхности
цилиндрической оболочки при α = 0.
Далее приведены примеры расчета
вынужденных колебаний полусферической и
конической оболочек с жидкостью. Рассмот-
рена полусфера (рис.6) под действием им-
пульсной нагрузки Q(r, ϑ, z, t) = P(r, ϑ, z)Θ(t),
P = const. Импульс принимался в форме
>
≤
=Θ
1
1
,0
,1
)(
Tt
Tt
t ,
Рис. 3. Жесткая цилиндрическая оболочка,
частично заполненная жидкостью
Рис. 4. Собственные формы колебаний жид-
кости в жесткой цилиндрической оболочке
Рис. 5. Зависимость осевого перемещения от времени
Таблица 2. Собственные частоты
жесткой цилиндрической оболочки
α метод n = 1 n = 2 n = 3
МГЭ 3,800 7,029 10,206
α = 0
[11] 3,796 7,015 10,173
МГЭ 1,583 5,334 8,558
α = 1
[11] 1,581 5,325 8,536
МГЭ 2,975 6,717 9,997
α = 2
[11] 2,970 6,704 9,969
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 2 41
где T1 = 0,002 с. На рис. 7 показана зависимость осевого перемещения от времени. В [8, 10]
проведено сравнение результатов авторов и данных, полученных с помощью программного
комплекса ANSYS.
Схема оболочки и зависимости радиальных перемещений точек 1,2 от времени пока-
заны на рис. 6.
Рассмотрена также упругая цилиндрическая оболочка с плоским дном, частично за-
полненная жидкостью под действием импульсной нагрузки. Геометрия оболочки резервуара
показана на рис.3, параметры резервуара следующие: радиус R = 1 м, толщина h = 0,01 м,
длина L = 2 м, модуль упругости E = 2⋅10
5
МПа, коэффициент Пуассона ν = 0,3, плотность
материала ρ = 7800 кг/м
3
, плотность жидкости ρl = 1000 кг/м
3
. Уровень заполняющей жидко-
сти обозначен через H (Н = 0,8 м). Граничные условия ur = uz = uθ = 0 при z = 0 и r = R.
Распределенное давление дейст-
вует на цилиндрическую поверхность
резервуара по закону
)/exp(),(cos),,(
0
τ−ϕ= tzrkqtzrq ,
где q0 = 0,1 МПа, τ = 14,2⋅10
–6
с. Время
действия импульса tn = 5⋅10
–3
с.
Для иллюстрации расчетов ради-
альное перемещение вычислено в трех
точках, которые показаны на рис. 3; точ-
ка 1 (узел 91) расположена на смоченной
части стенки, точка 2 (узел 121) принад-
лежит границе свободной поверхности
жидкости, точка 3 (узел 69) находится
вблизи основания. На рис. 7–9 представ-
лены радиальные перемещения, вычис-
ленные предложенным методом (сплош-
ная линия) и с помощью конечноэле-
ментного комплекса (штриховая линия).
Иллюстрации демонстрируют хо-
рошее согласование результатов, полу-
ченных различными методами, что сви-
детельствует о надежности предложенно-
го алгоритма.
6. Выводы
Разработан эффективный числен-
ный метод анализа динамического пове-
дения произвольных оболочек вращения,
частично заполненных жидкостью, при
Рис. 6. Схема оболочки и зависимость радиальных перемещений от времени
Рис. 7. Изменение во времени радиального
перемещения в точке 1
Рис. 8. Изменение во времени
радиального перемещения в точке 2
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 2 42
импульсном нагружении. Потенциал ско-
ростей представлен в виде суммы двух
слагаемых, соответствующих задачам оп-
ределения частот и форм свободных коле-
баний жидкости в жесткой оболочке и уп-
ругой оболочки с жидкостью без учета
гравитационной составляющей. Интегри-
рование по объему жидкости сведено к
интегрированию вдоль меридиана оболоч-
ки и радиуса свободной поверхности жид-
кости, т.е. является одномерным. В этом
заключается основное преимущество на-
шего метода, основанного на комбинации
метода граничных интегральных уравне-
ний, метода конечных элементов и разло-
жения в ряды Фурье. Проведены численные исследования динамики цилиндрического ре-
зервуара, заполненного несжимаемой жидкостью.
Литература
1. Мокеев В. В. Исследование динамики конструкций с жидкостью и газом с помощью метода конеч-
ных элементов / В. В. Мокеев // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1998. – № 6. – С. 166–174.
2. Слепян Л. И. Метод граничных интегральных уравнений в гидроупругости / Л. И. Слепян,
С. В. Сорокин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1989. – № 4. – С. 166–177.
3. Shkenev S. The dynamics of an elastic and elastoplastic shell filled with an ideal liquid / S. Shkenev //
Proc. Of IV All-Union Conf. on the Theory of Shells and Plates. – Moscow: Nauka, 1964. – P. 997–1007.
4. Celebi M. S. Fully Non-linear 3-D Numerical Wave Tank Simulation / M. S Celebi, M. H. Kim,
R. F. Beck // J. Ship Research. – 1998. – Vol. 42, № 1. – Р. 33-–45.
5. Selmane A. Vibration analysis of anisotropic open cylindrical shells subjected to a flowing fluid / A. Sel-
mane, A. A. Lakis // J. Fluids Struct. – 1997. – Vol. 11. – P. 111–134.
6. Zhang Y. L. A finite element method for modelling the vibration of initially tensioned thin-walled
orthotropic cylindrical tubes conveying fluid / Y. L. Zhang, D. G. Gorman, J. M. Reese // J. Sound Vib. –
2001. – Vol. 245. – № 1. – P. 93–112.
7. Brebbia С. А. Boundary element techniques / С. А. Brebbia . – New York: Springer-Verlag, Inc, 1984. –
464 p.
8. Strelnikova E. Free and forced vibrations of the shells of revolution interacting with the liquid / E. Strel-
nikova, E. Yeseleva, V. Gnitko, V. Naumenko // Proc. of XXXII Conference Boundary elements and
other mesh reduction methods WITPress, Transaction on Modeling and Simulation. – 2010. – Р. 203–
211.
9. Луковский И. А. Введение в нелинейную динамику жестких оболочек с полостями, заполенными
жидкостью / И. А. Луковский // Киев: Наук. думка, 1990. – 296 с.
10. Ventsel E. Free vibrations of shells of revolution filled with a fluid / E. Ventsel, V. Naumenko, E. Strel-
nikova, E. Yeseleva // Eng. analysis with boundary elements. – 2010. – Vol. 34. – Р. 856–862.
Поступила в редакцию
15.02.13
Рис. 9. Изменение во времени
радиального перемещения в точке 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99119 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0131-2928 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:26:35Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гнитько, В.И. Огородник, У.Е. Стрельникова, Е.А. 2016-04-23T08:28:22Z 2016-04-23T08:28:22Z 2013 Математическое моделирование динамики элементов конструкций энергетических машин при взаимодействии с жидкостью / В.И. Гнитько, У.Е. Oгородник, Е.А. Стрельникова // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 34-42. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99119 539.3 Предложен метод расчета динамических характеристик оболочек вращения с жидкостью, подверженных действию кратковременных импульсных нагрузок. Метод основан на сведении задачи об определении давления жидкости на оболочку к системе сингулярных интегральных уравнений. Связанная задача теории упругости решается с помощью сочетания методов конечных и граничных элементов. Дифференциальные уравнения нестационарной задачи решаются численно методом Рунге–Кутта 4-го и 5-го порядка. Запропоновано метод розрахунку динамічних характеристик оболонок обертання з рідиною, що зазнають дії короткочасних імпульсних навантажень. Метод ґрунтується на зведенні задачі з визначення тиску рідини на оболонку до системи сингулярних інтегральних рівнянь. Зв’язана задача теорії пружності розв’язується за допомогою поєднання методів скінченних та граничних елементів. Диференціальні рівняння нестаціонарної задачі розв’язуються чисельно методом Рунге–Кутта 4-го та 5-го порядку. The method of evaluating the dynamical characteristics of fluid-filled shells of revolution subjected to short-time impulse loads is proposed. The method relies on determining the fluid pressure from the system of singular integral equations. The coupled problem of the theory of elasticity is solved by using combination of finite and boundary element methods. Differential equations of transient problem are solved numerically by Runge-Kutta method of 4th and 5th order. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Динамика и прочность машин Математическое моделирование динамики элементов конструкций энергетических машин при взаимодействии с жидкостью Mathematical modelling of fluidstructure interaction for energy machine units Article published earlier |
| spellingShingle | Математическое моделирование динамики элементов конструкций энергетических машин при взаимодействии с жидкостью Гнитько, В.И. Огородник, У.Е. Стрельникова, Е.А. Динамика и прочность машин |
| title | Математическое моделирование динамики элементов конструкций энергетических машин при взаимодействии с жидкостью |
| title_alt | Mathematical modelling of fluidstructure interaction for energy machine units |
| title_full | Математическое моделирование динамики элементов конструкций энергетических машин при взаимодействии с жидкостью |
| title_fullStr | Математическое моделирование динамики элементов конструкций энергетических машин при взаимодействии с жидкостью |
| title_full_unstemmed | Математическое моделирование динамики элементов конструкций энергетических машин при взаимодействии с жидкостью |
| title_short | Математическое моделирование динамики элементов конструкций энергетических машин при взаимодействии с жидкостью |
| title_sort | математическое моделирование динамики элементов конструкций энергетических машин при взаимодействии с жидкостью |
| topic | Динамика и прочность машин |
| topic_facet | Динамика и прочность машин |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99119 |
| work_keys_str_mv | AT gnitʹkovi matematičeskoemodelirovaniedinamikiélementovkonstrukciiénergetičeskihmašinprivzaimodeistviisžidkostʹû AT ogorodnikue matematičeskoemodelirovaniedinamikiélementovkonstrukciiénergetičeskihmašinprivzaimodeistviisžidkostʹû AT strelʹnikovaea matematičeskoemodelirovaniedinamikiélementovkonstrukciiénergetičeskihmašinprivzaimodeistviisžidkostʹû AT gnitʹkovi mathematicalmodellingoffluidstructureinteractionforenergymachineunits AT ogorodnikue mathematicalmodellingoffluidstructureinteractionforenergymachineunits AT strelʹnikovaea mathematicalmodellingoffluidstructureinteractionforenergymachineunits |