Моделирование зарождения трещин сдвига в теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий
Построена математическая модель зарождения трещин в изотропном теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий, при поперечном сдвиге. Полагается, что по мере повышения интенсивности внешнего нагружения в перфорированном теле происходит зарождение трещин. Решение задачи о равновесии перф...
Saved in:
| Published in: | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99130 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование зарождения трещин сдвига в теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий / Ф.Ф. Гасанов // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 29-37. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860220518698844160 |
|---|---|
| author | Гасанов, Ф.Ф. |
| author_facet | Гасанов, Ф.Ф. |
| citation_txt | Моделирование зарождения трещин сдвига в теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий / Ф.Ф. Гасанов // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 29-37. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы машиностроения |
| description | Построена математическая модель зарождения трещин в изотропном теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий, при поперечном сдвиге. Полагается, что по мере повышения интенсивности внешнего нагружения в перфорированном теле происходит зарождение трещин. Решение задачи о равновесии перфорированного тела при поперечном сдвиге с зонами предразрушения сводится к решению двух бесконечных алгебраических систем и двух нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Коши. Из решения этих уравнений находятся усилия в зонах зарождения трещин. Условие появления трещины формулируется с учетом критерия предельного сдвига связей материала.
Побудована математична модель зародження тріщин в ізотропному тілі, ослабленому періодичною системою круглих отворів, при поперечному зсуві. Вважається, що у міру підвищення інтенсивності зовнішнього навантаження у перфорованому тілі відбувається зародження тріщин. Розв’язок задачі про рівновагу перфорованого тіла при поперечному зсуві з зонами передруйнування зводиться до розв’язання двох нескінченних алгебраїчних систем і двох нелінійних сингулярних інтегральних рівнянь з ядром типу Коші. З розв’язку цих рівнянь знаходяться зусилля в зоні зародження тріщин. Умова появи тріщини формулюється з урахуванням критерію граничного зсуву зв’язків матеріалів.
A mathematical model of crack nucleation in an isotropic body, weakened by periodic system of circular holes, at the transverse shear was constructed. It is assumed that as the intensity of the external load is increase, in the perforated body cracks nuclear. Solution of the problem of the equilibrium of the perforated body at transverse shear with prefracture zones is reduced to the solution of two infinitely algebraic systems and two non-linear singular integral equations with Cauchy kernel. From solutions of these equations are found forces in the zones. The criterion of crack nucleation is formulated with the criterion of limit shear of material bonds
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:17:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 29
УДК 539.375
Ф. Ф. Гасанов, канд. техн. наук
Азербайджанский технический университет (г. Баку, e-mail: hff74@mail.ru)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАРОЖДЕНИЯ ТРЕЩИН СДВИГА
В ТЕЛЕ, ОСЛАБЛЕННОМ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ
СИСТЕМОЙ КРУГЛЫХ ОТВЕРСТИЙ
Построена математическая модель зарождения трещин в изотропном теле, ослаблен-
ном периодической системой круглых отверстий, при поперечном сдвиге. Полагается,
что по мере повышения интенсивности внешнего нагружения в перфорированном теле
происходит зарождение трещин. Решение задачи о равновесии перфорированного тела
при поперечном сдвиге с зонами предразрушения сводится к решению двух бесконечных
алгебраических систем и двух нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром
типа Коши. Из решения этих уравнений находятся усилия в зонах зарождения трещин.
Условие появления трещины формулируется с учетом критерия предельного сдвига свя-
зей материала.
Побудована математична модель зародження тріщин в ізотропному тілі, ослабленому
періодичною системою круглих отворів, при поперечному зсуві. Вважається, що у міру
підвищення інтенсивності зовнішнього навантаження у перфорованому тілі відбува-
ється зародження тріщин. Розв’язок задачі про рівновагу перфорованого тіла при по-
перечному зсуві з зонами передруйнування зводиться до розв’язання двох нескінченних
алгебраїчних систем і двох нелінійних сингулярних інтегральних рівнянь з ядром типу
Коші. З розв’язку цих рівнянь знаходяться зусилля в зоні зародження тріщин. Умова по-
яви тріщини формулюється з урахуванням критерію граничного зсуву зв’язків матеріа-
лів.
Введение
В настоящее время во многих отраслях техники применяются технические средства
в виде перфорированных элементов. В этой связи большое значение приобретает разработка
методов расчета на прочность перфорированных элементов машин и конструкций. Исследо-
вание этих вопросов важно в связи с развитием энергетики, химической промышленности и
других отраслей техники, а также широким использованием материалов, с периодической
структурой.
Постановка задачи
Рассматривается изотропная упругая среда, ослабленная периодической системой
круговых отверстий, имеющих радиусы λ (λ < 1) и центры в точках Pm = mω
(m = 0, ±1, ±2, …), ω = 2. Принято, что контуры круговых отверстий свободны от внешних
нагрузок. В плоскости имеет место поперечный сдвиг усилиями
∞τxy .
По мере повышения интенсивности внешних нагрузок в перфорированном теле во-
круг отверстий образуются зоны повышенных напряжений, расположение которых носит
периодический характер. В зонах повышенных напряжений могут возникать поверхностные
трещины. Задача о зарождении трещины является важной задачей механики разрушения.
Постановка этой задачи существенно расширяет первоначальную концепцию Гриффитса,
согласно которой в материале всегда имеется большое количество мельчайших трещин. Об-
разование трещины под нагрузкой соответствует данным фрактографических наблюдений.
При возрастании
∞τxy на поверхности отверстий возникают зоны предразрушения, которые
моделируются областями с ослабленными межчастичными связями в материале. Взаи-
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 30
модействие берегов этих областей моделируется путем введения между берегами связей с
заданной диаграммой деформирования. Физическая природа таких связей и размеры зон
предразрушения зависят от вида материала. Так как указанные зоны (прослойки материала)
малы по сравнению с остальной частью тела, их можно мысленно удалить, заменив разреза-
ми, поверхности которых взаимодействуют между собой по некоторому закону, соответст-
вующему действию удаленного материала.
Принято, что из контуров круговых отверстий исходят симметричные прямолиней-
ные зоны предразрушения, направленные коллинеарно осям абсцисс и ординат неравной
длины (рис. 1). В исследуемом случае возникновение зародышевых трещин в перфориро-
ванном теле представляет собой процесс перехода области предразрушения в область разо-
рванных связей между поверхностями материала. При этом размер зоны предразрушения
заранее неизвестен и должен быть определен в процессе решения задачи. При действии
внешней нагрузки на перфорированное тело в связях, соединяющих берега зон предразру-
шения, возникают касательные усилия qx(x) и qy(x) соответственно. Эти напряжения заранее
неизвестны и подлежат определению в процессе решения краевой задачи механики разру-
шения.
В силу симметрии граничных условий и геометрии области D, занятой материалом,
напряжения являются периодическими функциями с основным периодом ω.
Граничные условия задачи имеют вид
на контурах круговых отверстий
0=τ−σ θrr i (1)
на берегах зон предразрушения
коллинеарных оси абсцисс )(xiqi xxyy −=τ−σ (2)
коллинеарных оси ординат )(уiqi yxyx −=τ−σ
Основные соотношения поставленной задачи необходимо дополнить соотношения-
ми, связывающими сдвиг берегов зон предразрушения и усилия в связях. Без потери общно-
сти эти уравнения представим в виде
u
+
(x, 0) – u
–
(x, 0) = C(x, qx(x))qx(x), (3)
υ+
(x, 0) – υ–
(x, 0) = C(y, qy(y))qy(y),
где функции C(x, qx(x)) и C(y, qy(y)) представляют собой эффективные податливости связей;
(u
+
– u
–
)– сдвиг берегов зон предразрушения коллинеарных оси абсцисс; (υ+
– υ–
) – сдвиг
берегов зон предразрушения, коллинеарных оси ординат.
Для определения предельной величины внешней нагрузки, при которой происходит
трещинообразование, постановку задачи необходимо дополнить условием (критерием) по-
явления трещины (предельного сдвига межчастичных связей в материале). В качестве такого
условия примем [1] критерий критического сдвига берегов зоны предразрушения
λ
ℓ
ℓ1
O
y
x
Рис. 1. Расчетная схема задачи о зарождении трещин в перфорированном теле
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 31
u
+
(x, 0) – u
–
(x, 0) = δcr, (4)
υ+
(x, 0) – υ–
(x, 0) = δcr,
где δcr – характеристика сопротивления материала трещинообразованию.
На основании формул Колосова–Мусхелишвили [2] и граничных условий на конту-
рах круговых отверстий (1) и берегах зон предразрушения (2) задача сводится к отысканию
двух аналитических в области D функций Φ(z) и Ψ(z) из краевых условий
[ ] 0)()()()( 2 =τΨ+τΦ′τ−τΦ+τΦ θi
e , (5)
)()()()()( tiqttttt x−=Ψ+Φ′+Φ+Φ , (6)
)()()()()( 111111 tiqttttt y−=Ψ+Φ′+Φ+Φ ,
где τ = λe
iθ
+ mω; m = 0, ±1, ±2, …; t и t1 – аффиксы точек берегов зон предразрушения, кол-
линеарных по осям абсцисс и ординат, соответственно.
Решение краевой задачи
Решение краевой задачи (5)–(6) будем искать в виде
Φ(z) = Φ1(z) + Φ2(z) + Φ3(z), (7)
Ψ(z) = Ψ1(z) + Ψ2(z) + Ψ3(z),
( )∑
∞
=
+
+
∞
+
ρλ
α+τ=Φ
0
)2(22
221
!12
)(
)(
k
kk
kxy
k
z
iiz , (8)
( ) ( )∑∑
∞
=
++
+
∞
=
+
+
∞
+
λ
α−
+
ρλ
β+τ=Ψ
0
)12(22
22
0
)2(22
221
!12
)(
!12
)(
)(
k
kk
k
k
kk
kxy
k
zS
i
k
z
iiz ,
dtzttgz
L
)(ctg)(
2
1
)(
1
2 −
ω
π
ω
=Φ ∫ ,
dtzttg
z
z
L
)(sin)(
2
)( 2
22
1
−
ω
π
ω
π
−=Ψ −
∫ , (9)
11113 )()(
2
)(
2
dtzitctgtg
i
z
L
−
ω
π
ω
=Φ ∫ ,
11
2
11113
2
)(sin)2()(ctg2)(
2
)( dtzitiztzittg
i
z
L
∫
−
ω
π
+
ω
π
+−
ω
π
ω
−=Ψ ,
где
2
2
2
3
1
sin)(
ω
π
−
ω
π
ω
π
=ρ −
zz ,
( )∑
−−
−
=
m mmm
m
PP
z
Pz
P
zS
12
')(
2
. Штрих у суммы озна-
чает, что при суммировании исключается индекс m = 0, интегралы в (9) берутся по линии
L = {[–l, –λ] + [λ, l]} и L2 = {[–l1, –λ] + [λ, l1]},
g(x), g1(y) – искомые функции, характеризующие сдвиг берегов зон предразрушения.
[ ])0,()0,(
1
2
)( xuxu
dx
di
xg
−+ −
κ+
µ
−= на L,
[ ]),0(),0(
κ1
µ2
)(1 yy
dy
d
yg
−+ υ−υ
+
= на L1.
Здесь κ = 3 – 4ν для плоской деформации, κ = (3 – ν)/(1 + ν) – для плоского напряженного
состояния; ν – коэффициент Пуассона материала; µ – модуль сдвига материала.
Из условий антисимметричности относительно координатных осей находим, что
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 32
Imα2k = 0; Imβ2k = 0, k = 1, 2, …
Из условия постоянства главного вектора всех сил, действующих на дугу, соеди-
няющую две конгруэнтные точки в D, следует
2
2
2
0
24
λβ
π
=α .
Неизвестные функции g(x) и g1(y) и постоянные α2k и β2k необходимо определить из
краевых условий (5)–(6).
Таким образом, комплексные представления (7)–(9) определяют класс задач с перио-
дическим распределением напряжений. На основании выполнения условий периодичности
система граничных условий (5) вырождается в одно функциональное уравнение, например,
на контуре L0,0 (τ = λe
iθ
), а система граничных условий (6) – краевыми условиями на конту-
рах L1 и L2.
Для составления уравнений относительно неизвестных коэффициентов α2k и β2k пре-
образуем краевое условие (5) следующим образом:
[ ] )()()()()()()()( 212111
2
11 θϕ+θϕ+θ+θ=τΨ+τΦ′τ−τΦ+τΦ θ
iiffe
i , (10)
[ ])()()()()()( 22
2
2221 τΨ+τΦ′τ+τΦ−τΦ−=θ+θ θi
eiff , (11)
[ ])()()()()()( 33
2
3321 τΨ+τΦ′τ+τΦ−τΦ−=θϕ+θϕ θi
ei .
Относительно функций f1(θ) + if2(θ) и ϕ1(θ) + iϕ2(θ) будем считать, что они разлага-
ются на контуре |τ| = λ в ряды Фурье. На основании антисимметрии эти ряды имеют вид
0Re,)()( 2
2
221 ==θ+θ ∑
∞
−∞=
θ
k
k
ik
k AeAiff , (12)
[ ] ),,2,1,0(,)()(
2
1 2
2
0
212 K±±=θθ+θ
π
= θ−
π
∫ kdeiffA
ik
k
0Re,)()( 2
2
221 ==θϕ+θϕ ∑
∞
−∞=
θ
k
k
ik
k BeBi ,
[ ] ),2,1,0(,)()(
2
1 2
2
0
212 K±±=θθϕ+θϕ
π
= θ−
π
∫ kdeiB
ik
k .
Подставив сюда соотношения (11) и поменяв порядок интегрирования, после вычис-
ления интегралов с помощью теории вычетов, находим
( )
( ) ( )
( )
[ ],)()(2)(
2
)(
,)()()(,)()(
2
,ctg)(),,2,1(),(
!2
)(
),,3,2(),(
!32
)(
!2
12
)(
),(
2
)(),()(,)()(
2
1
111
)2(
2
12
1110112112
)2(
2
2
)22(
22
)2(
2
2
)2(
2
2022
2
1
ititititit
itititdtittg
i
B
ttkt
k
tf
kt
k
t
k
k
tf
ttfttfdttftgA
L
kk
k
k
k
k
k
k
k
k
k
L
k
δ′−δ+δ
λ
−=ϕ
δ−δ=ϕϕ
ω
−=
ω
π
=γ=γ
λ
=
=γ
−
λ
+γ
−λ
−=
γ
λ
−=γ=
ω
−=
∫
∫
−
−
−
K
K
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 33
( )
( ) ( )
[ ]
( )
( ).ctg)(),,2,1(,)(
!2
)(
),,3,2(,)()(
!22
2
)(
!2
21
)(
111
)2(
2
12
1
)12(
11
)22(
22
1
)2(
2
12
ititkit
k
it
kitititk
k
it
k
k
it
k
k
k
kk
k
k
k
k
ω
π
=δ=δ
λ
−=ϕ
=δ−δ
−
λ
+δ
λ−
=ϕ
−
−−
−
K
K
Теперь для решения краевой задачи (10) применим метод степенных рядов. Подста-
вив в левую часть краевого условия (10) вместо Φ1(τ), )(1 τΦ , )(1 τΦ′ и Ψ1(τ)их разложения в
ряды Лорана в окрестности нулевой точки, а в правую часть (10) – вместо f1(θ) + if2(θ) и
ϕ1(θ) + iϕ2(θ) ряды Фурье (12) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
exp(iθ) в обеих частях краевого условия (10), получим две бесконечные системы алгебраиче-
ских уравнений относительно коэффициентов α2k, β2k. После некоторых преобразований по-
лучим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно α2k.
),2,1,0(,
0
22,22 K=+α=α ∑
∞
=
++ jbiAi
j
jkkjj , (13)
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
).,2,1(),,2,1(,12,1
2
,0,0
,
2!2!12!12!12
!122!122
2!22!22
!422
2!12!12
!222
,
2
12
8
3
,12
,,,
1
2,
24
1
),,2,1,0(,,2,
,
2!32!2
!322
2
12
,
2
2
1
2
1
422
2
11
,0,,0
0
,4422
24
11
422
2
2
222
1
,
1
44
242
12
20,0
222
,,
222222
1
2
2
2
2220022
0
22422
422
2
22
22
10
22
2242
42
2
20
KK
K
==π=
λ
+
λ
===
+
+++
λ++++
+
+
++
λ++
+
++
++
−=γ
λ+
+λ=γ
λγ+=
===λ
π
−=
±±=+=τ−=′τ+=′
+
λ++
−
λ′+
−=
λ
−′=
++
++
∞
=
+++
+
++++
++
++
++
++
∞
=
+
+
+
++
−−
∗
−−
∗
∞
=
∞∞
∞
=
∗
+−++
++
++
+
+
+∗
+
∗
+−+
+
+
∑
∑
∑
∑
kjK
K
Kgg
bbb
b
iikj
ggikkj
kj
gkj
kj
gkj
gi
g
jA
MAMA
m
gK
kBAMiMAiMM
A
kj
gkj
K
gAj
Ab
A
g
Mb
kj
kj
kjjk
i
kjikj
i
ikkj
kj
kj
kj
kj
kj
i
i
i
i
kj
kjkj
kkkk
m
jj
kkkxyxy
k
kkj
kj
kj
j
k
j
jj
kk
k
k
Для определения коэффициентов β2k получены уравнения
α
λ
+′−=β ∑
∞
=
++
+
+
0
2222
22
1
02
2
2
1
k
kk
k
k i
g
A
K
i , (14)
( )
( )
( ) ( )
∗
−−
∞
=
+++
++
++
++ −α
++
λ++
+α+=β ∑ 22
0
22422
2
422
2242
2!12!22
!322
32 j
k
kkj
kj
kj
jj Ai
kj
gkj
iji .
Для определения искомой функции g(x) мы располагаем граничным условием на ли-
нии L1. Требуя, чтобы функции (7)–(9) удовлетворяли граничному условию на берегах зоны
предразрушения L1, получим после некоторых преобразований сингулярное интегральное
уравнение относительно g(x)
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 34
( ) )()(ctg)(
1
1
xiqxHdtxttg x
L
−=+−
ω
π
ω ∫ , (15)
).()()(),()()(,)()()()()( 3131 xxxxxxxxxxxxH ssssss Ψ+Ψ=ΨΦ+Φ=ΦΨ+Φ′+Φ+Φ=
Аналогично, удовлетворяя граничному условию на линии L2, после некоторых пре-
образований получаем еще одно сингулярное интегральное уравнение относительно иско-
мой функции g1(y)
( ) ( ) )()(sh)( 2
12
2
yiqyNdtytyttg y
L
−=+
−
ω
π
−
ω
π
− −
∫ , (16)
где )()()()()( 0000 iyiyiyiyiyyN Ψ+Φ′+Φ+Φ= , )()()( 210 zzz Φ+Φ=Φ , )()()( 210 zzz Ψ+Ψ=Ψ .
Сингулярные интегральные уравнения (15), (16) а также системы (13), (14) являются
основными разрешающими уравнениями задачи, позволяющими определить функции g(x),
g1(y) и коэффициенты α2k, β2k.
Методика численного решения и анализ
Воспользовавшись разложением функций z
ω
π
ctg , z
ω
π
sh 2− в основной полосе пе-
риодов, а также замену переменных, сингулярные интегральные уравнения после некоторых
преобразований приведем к стандартному виду. Используя квадратурные формулы [3, 4],
сводим основные разрешающие уравнения (13), (14), (15), (16) к совокупности двух беско-
нечных систем линейных алгебраических уравнений и к двум конечным алгебраическим
системам относительно приближенных значений )(0
kk gp η= (k = 1, 2, …, M), 0
vR
(v = 1, 2, …, M) искомых функций в узловых точках.
В правую часть полученных конечных систем входят неизвестные значения напря-
жений qx(ηm) и qy(ηm) в узловых точках, принадлежащих зонам предразрушения. Используя
полученное решение, уравнения (3) можно представить в виде
[ ]
[ ] ).()())(,(
1
2
),()())(,(
1
2
1 ygyqyqyC
dy
d
xgxqxqxC
dx
di
yy
xx
=
κ+
µ
=
κ+
µ
−
(17)
Эти уравнения служат для определения усилий в связях. Для построения недостаю-
щих уравнений потребуем выполнения условий (17) в узловых точках. При этом используем
метод конечных разностей. В результате получим еще две системы из М уравнений каждая
для определения приближенных значений qx(ηm) и qy(ηm) (m = 1, 2, …, M). Так как в перфо-
рированном теле напряжения ограничены, то решение сингулярных интегральных уравне-
ний следовало бы искать в классе всюду ограниченных функций. Таким образом, к системам
(13)–(17) следует добавить условия ограниченности напряжений у вершин зон предразру-
шения.
Для численной реализации изложенного способа были выполнены расчеты. Каждая
из бесконечных систем урезалась до пяти уравнений. В численных расчетах полагалось
M = 30, что соответствует разбиению интервала интегрирования на 30 чебышевских узлов.
Так как размеры зон предразрушения l и l1 неизвестны, разрешающая алгебраическая сис-
тема уравнений (13)–(17) задачи является нелинейной даже при линейных связях. Для ее
решения используется метод последовательных приближений [4], суть которого состоит в
следующем. Решаем объединенную алгебраическую систему при некоторых определенных
значениях l
*
и l1
*
относительно остальных неизвестных. Остальные неизвестные входят в
разрешающую систему линейным образом. Значения l
*
, l1
*
и соответствующие значения ос-
тальных неизвестных не будут, вообще говоря, удовлетворять условиям ограниченности на-
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 35
пряжений у вершин зон предразрушения (последним добавленным уравнениям к системе
(14)–(18)). Поэтому подбирая значения параметров l и l1, будем многократно повторять вы-
числения до тех пор, пока условия ограниченности напряжений не будут удовлетворяться с
заданной точностью.
В каждом приближении решалась объединенная алгебраическая система методом
Гаусса. В случае нелинейного закона деформирования связей для определения усилий в зо-
нах предразрушения использовался также итерационный алгоритм, подобный методу упру-
гих решений [5]. Считается, что закон деформирования межчастичных связей в зоне пред-
разрушения линейный при u
+
– u
–
≤ u*. Первый шаг итерационного процесса счета состоит в
решении системы уравнений для линейно-упругих связей. Следующие итерации выполня-
ются только в случае, если на части зоны предразрушения имеет место неравенство
u
+
– u
–
> u*. Для таких итераций решается система уравнений в каждом приближении для
квазиупругих связей с изменяющейся вдоль берегов зоны предразрушения и зависящей от
величины усилий в связях эффективной податливости, которая вычислена на предыдущем
шаге расчета. Расчет эффективной податливости проводится подобно определению секуще-
го модуля в методе переменных параметров упругости [6]. Процесс последовательных при-
ближений заканчивается, когда усилия вдоль зоны предразрушения, полученные на двух
последовательных итерациях, практически не различаются. Нелинейная часть кривой де-
формирования связей аппроксимировалась билинейной зависимостью, восходящий участок
которой соответствовал деформированию связей (0 < u
+
– u
–
≤ u*) с их максимальным усили-
ем связей. При u
+
– u
–
> u* закон деформирования описывался нелинейной зависимостью,
определяемой точками (u*, τ*) и (δc, τc), причем при τc ≥ τ* имело место возрастающая линей-
ная зависимость (линейное упрочнение, соответствующее упругопластической деформации
связей).
В результате численного расчета найдена зависимость длины зоны предразрушения,
усилия в связях и сдвиг противоположных берегов зоны предразрушения от параметра на-
гружения
∞τxy .
4
2
3
1
a
0,4
0,3
0,2
0,1
∗
∞ ττxy
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Рис. 2. Зависимости относительной длины зоны предразрушения
от безразмерного значения интенсивности внешнего нагружения:
1 – λ =0,2; 2 – λ =0,3; 1 – 3 =0,4; 4 – λ =0,5
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 36
На рис. 2 представлены графики зависимости относительной длины зоны предраз-
рушения a = (l – λ)/λ от безразмерного значения интенсивности нагружения ∗
∞ ττxy для раз-
личных значений радиуса отверстий (кривые 1–4). На рис. 3 приведена зависимость усилий
в связях
∞τxyxq от относительного размера а для различных значений радиуса отверстий:
λ = 0,2÷0,5 (кривые 1–4).
Для определения предельно равновесного состояния зоны предразрушения, при ко-
тором происходит трещинообразование, используем условие (4).
При этом условиями, определяющими предельную внешнею нагрузку, при которой в
точке x = ±λ или y = ±λ происходит предельный сдвиг межчастичных связей материала, яв-
ляются следующие:
C(λ, qx(λ))qx(λ) = δcr, C(λ, qy(λ))qy(λ) = δcr. (18)
Решение объединенной алгебраической системы (13)–(18) позволяет определить
критическое значение внешней нагрузки, размеры зон предразрушения и усилия в связях в
состоянии предельного равновесия, при котором в теле, ослабленном периодической систе-
мой круглых отверстий, появляется трещина сдвига.
Выводы
Анализ предельно равновесного состояния перфорированного тела, при котором
происходит трещинообразование, сводится к параметрическому исследованию разрешаю-
щей алгебраической системы (13)–(17) и критерия появления трещины (18) при различных
законах деформирования межчастичных связей материала, упругих постоянных материалов
и геометрических характеристиках перфорированного тела. Непосредственно из решения
полученных алгебраических систем определяются усилия в связях и сдвиг берегов зон пред-
разрушения. Полученные соотношения позволяют исследовать трещинообразование в изо-
тропном теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий, при поперечном
сдвиге.
4
3
2
1
a
3,5
2,5
1,5
0,5
0 0,05 0,10 0,15
∞τxyxq
Рис. 3. Зависимости распределения усилий в связях
от относительного размера зоны предразрушения:
1 – λ =0,2; 2 – λ =0,3; 1 – 3 =0,4; 4 – λ =0,5
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 37
Литература
1. Мирсалимов В. М. К решению задач механики контактного разрушения о зарождении и развитии
трещины со связями между берегами во втулке фрикционной пары / В. М. Мирсалимов // Прикл.
математика и механика. – 2007. – Т. 71, вып. 1. – С. 132–151.
2. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости /
Н. И. Мусхелишвили. – М.: Наука. 1966. – 707 с.
3. Панасюк В. В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках / В. В. Панасюк,
М. П. Саврук, А. П. Дацышин. – Киев: Наук. думка, 1976. – 444 с.
4. Мирсалимов В. М. Неодномерные упругопластические задачи / В. М. Мирсалимов. – М.: Наука,
1987. – 256 с.
5. Ильюшин А. А. Пластичность / А. А. Ильюшин. – М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1948. – 376 с.
6. Биргер И. А. Общие алгоритмы решения задач теорий упругости, пластичности и ползучести /
И. А. Биргер // Успехи механики деформируемых сред. – М.: Наука, 1975. – С. 51–73.
Поступила в редакцию
12.05.13
УДК 621.125
Н. Г. Шульженко*
, д-р техн. наук
Н. Н. Гришин**
, канд. техн. наук
И. А. Пальков**
*
Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины,
(г. Харьков, е-mail: shulzh@ipmach.kharkov.ua)
**
ОАО «Турбоатом», (г. Харьков, е-mail: palkoff@inbox.ru )
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЗАМКОВОГО
СОЕДИНЕНИЯ РАБОЧИХ ЛОПАТОК ТУРБИНЫ
Выполнен анализ напряженного состояния хвостового соединения замковой группы ло-
паток с диском 1-й ступени цилиндра среднего давления паровой турбины. Определены
области возможного появления усталостных трещин в хвостовом соединении при экс-
плуатации турбины.
Виконано аналіз напруженого стану хвостового з'єднання замкової групи лопаток з ди-
ском 1-го ступеня циліндра середнього тиску парової турбіни. Визначені області мож-
ливої появи втомних тріщин в хвостовому з'єднанні при експлуатації турбіни.
Введение
При создании и эксплуатации турбоагрегатов большой мощности более 300 МВт
важным является обеспечение их эксплуатационной надежности. Это связано, в первую оче-
редь, с работоспособностью наиболее ответственных деталей и узлов паровых турбин. Наи-
более напряженным элементом мощных турбин является ротор и, в частности, хвостовое
соединение замковой группы рабочих лопаток с диском.
Ранее, при проектировании турбин меньшей мощности, приближенность результатов
расчета замковых соединений и экспериментального анализа их напряженно-
деформированного состояния учитывалась назначением завышенного запаса прочности.
Значительное увеличение нагрузок, действующих на рассматриваемое соединение мощных
турбин, и все усложняющиеся условия их работы привели к значительному повышению на-
пряженности соединений. Поскольку требования по надежности энергетического оборудо-
вания возрастают, то важную роль играет уточненная оценка прочности элементов турбин
по новым методикам.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99130 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0131-2928 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:17:40Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гасанов, Ф.Ф. 2016-04-23T10:48:56Z 2016-04-23T10:48:56Z 2013 Моделирование зарождения трещин сдвига в теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий / Ф.Ф. Гасанов // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 29-37. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99130 539.375 Построена математическая модель зарождения трещин в изотропном теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий, при поперечном сдвиге. Полагается, что по мере повышения интенсивности внешнего нагружения в перфорированном теле происходит зарождение трещин. Решение задачи о равновесии перфорированного тела при поперечном сдвиге с зонами предразрушения сводится к решению двух бесконечных алгебраических систем и двух нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Коши. Из решения этих уравнений находятся усилия в зонах зарождения трещин. Условие появления трещины формулируется с учетом критерия предельного сдвига связей материала. Побудована математична модель зародження тріщин в ізотропному тілі, ослабленому періодичною системою круглих отворів, при поперечному зсуві. Вважається, що у міру підвищення інтенсивності зовнішнього навантаження у перфорованому тілі відбувається зародження тріщин. Розв’язок задачі про рівновагу перфорованого тіла при поперечному зсуві з зонами передруйнування зводиться до розв’язання двох нескінченних алгебраїчних систем і двох нелінійних сингулярних інтегральних рівнянь з ядром типу Коші. З розв’язку цих рівнянь знаходяться зусилля в зоні зародження тріщин. Умова появи тріщини формулюється з урахуванням критерію граничного зсуву зв’язків матеріалів. A mathematical model of crack nucleation in an isotropic body, weakened by periodic system of circular holes, at the transverse shear was constructed. It is assumed that as the intensity of the external load is increase, in the perforated body cracks nuclear. Solution of the problem of the equilibrium of the perforated body at transverse shear with prefracture zones is reduced to the solution of two infinitely algebraic systems and two non-linear singular integral equations with Cauchy kernel. From solutions of these equations are found forces in the zones. The criterion of crack nucleation is formulated with the criterion of limit shear of material bonds ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Динамика и прочность машин Моделирование зарождения трещин сдвига в теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий Modeling of shear crack nucleation in a body, weakening by periodic system of circular holes Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование зарождения трещин сдвига в теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий Гасанов, Ф.Ф. Динамика и прочность машин |
| title | Моделирование зарождения трещин сдвига в теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий |
| title_alt | Modeling of shear crack nucleation in a body, weakening by periodic system of circular holes |
| title_full | Моделирование зарождения трещин сдвига в теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий |
| title_fullStr | Моделирование зарождения трещин сдвига в теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий |
| title_full_unstemmed | Моделирование зарождения трещин сдвига в теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий |
| title_short | Моделирование зарождения трещин сдвига в теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий |
| title_sort | моделирование зарождения трещин сдвига в теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий |
| topic | Динамика и прочность машин |
| topic_facet | Динамика и прочность машин |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99130 |
| work_keys_str_mv | AT gasanovff modelirovaniezaroždeniâtreŝinsdvigavteleoslablennomperiodičeskoisistemoikruglyhotverstii AT gasanovff modelingofshearcracknucleationinabodyweakeningbyperiodicsystemofcircularholes |