Метод побудови операторів із заданими проекціями вздовж перетинних прямих, які інтерполюють f(x, y) в точках перетину цих прямих
Предложен метод построения операторов приближения функции f(x, y), который интерполирует f(x, y) в точках пересечения прямыхΓk, k = 1, 2, …, M и имеет проекции вдоль этих прямых, совпадающих с проекциями от f(x, y) вдоль этих прямых. Метод построения операторов интерполяции функций двух переменных с...
Saved in:
| Published in: | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99134 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод побудови операторів із заданими проекціями вздовж перетинних прямих, які інтерполюють f(x, y) в точках перетину цих прямих / О.О. Литвин, Є.Л. Хурдей // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 60-67. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860245718163259392 |
|---|---|
| author | Литвин, О.О. Хурдей, Є.Л. |
| author_facet | Литвин, О.О. Хурдей, Є.Л. |
| citation_txt | Метод побудови операторів із заданими проекціями вздовж перетинних прямих, які інтерполюють f(x, y) в точках перетину цих прямих / О.О. Литвин, Є.Л. Хурдей // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 60-67. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы машиностроения |
| description | Предложен метод построения операторов приближения функции f(x, y), который интерполирует f(x, y) в точках пересечения прямыхΓk, k = 1, 2, …, M и имеет проекции вдоль этих прямых, совпадающих с проекциями от f(x, y) вдоль этих прямых. Метод построения операторов интерполяции функций двух переменных с заданными проекциями исследуется для случая пересекающихся прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке. Рассмотрены примеры построения интерполяционных операторов с заданными проекциями вдоль M = 3, 4 пересекающихся прямых.
Запропоновано метод побудови операторів наближення функції f(x, y), який інтерполює f(x, y) в точках перетину прямих Γk, k = 1, 2, …, M і має проекції вздовж цих прямих, які збігаються з проекціями від f(x, y) вздовж цих прямих. Метод побудови операторів інтерполяції функцій двох змінних із заданими проекціями досліджується для випадку перетинних прямих, ніякі три з яких не перетинаються в одній точці. Розглянуто приклади побудови інтерполяційних операторів із заданими проекціями вздовж M = 3, 4 перетинних прямих.
In this article was proposed a method for constructing approximation operator function f(x, y) that interpolates f(x, y) the points of intersection of lines Gk, k = 1, 2, …, M and the projection is along these lines that match the projections of along these lines. Method of constructing operators interpolation functions of 2 variables with given projections investigated for the case of lines that intersect and no three intersect at one point. Were considered examples.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:35:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМКАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 60
ций для геометрического моделирования объектов сложной формы / А. А. Лисняк, С. И. Гоменюк
// Радіоелектроніка. Інформатика. Управління. – 2009. – № 2. – С. 76–81.
3. Адамов А. ADEM: подготовка к третьему тысячелетию / А. Адамов // САПР и графика. – 2000. –
№ 12. – С. 56–60.
4. Ермилов В. Концептуальные геометрические модели / В. Ермилов, В. Харин, М. Шалак // Depart-
ment of Computer Aided Design. Izhevsk State Technical University. – Izhevsk, Russia, 2004. – С. 34–
37.
5. Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения / В. Л. Рвачев. – Киев: Наук. думка,
1982. – 552 с.
6. Максименко-Шейко К. В. R-функции в математическом моделировании геометрических объектов
и физических полей / К. В. Максименко-Шейко. – Харьков: ИПМаш НАН Украины, 2009. – 306 с.
7. R-функции и обратная задача аналитической геометрии в трехмерном пространстве /
К. В. Максименко-Шейко, А. М. Мацевитый, А. В. Толок, Т. И. Шейко // Информационные техно-
логии. – 2007. – №10. – C. 23–32.
8. Maksimenko-Sheiko K. V. R-functions in mathematical modeling of geometric objects with symmetry /
K. V. Maksimenko-Sheiko, T. I. Sheiko // Cybernetics and Systems Analysis. – 2008. – Vol. 44 (6). –
P. 855–862.
9. Maksimenko-Sheiko K. V. Automation of constructing equations of geometric objects in the method of R-
functions / K. V. Maksimenko-Sheyko, A. M. Matsevityi, T. I. Sheiko // Cybernetics and Systems Analy-
sis. – 2006. – Vol. 42 (2). – P. 284–290.
Поступила в редакцию
05.06.13
УДК 519.6
О. О. Литвин, канд. фіз.-мат. наук
Є. Л. Хурдей
Українська інженерно-педагогічна академія
(м. Харків, e-mail: academ@kharkov.ua)
МЕТОД ПОБУДОВИ ОПЕРАТОРІВ ІЗ ЗАДАНИМИ ПРОЕКЦІЯМИ
ВЗДОВЖ ПЕРЕТИННИХ ПРЯМИХ, ЯКІ ІНТЕРПОЛЮЮТЬ F(X, Y)
В ТОЧКАХ ПЕРЕТИНУ ЦИХ ПРЯМИХ
Запропоновано метод побудови операторів наближення функції f(x, y), який інтерполює
f(x, y) в точках перетину прямих Γk, k = 1, 2, …, M і має проекції вздовж цих прямих, які
збігаються з проекціями від f(x, y) вздовж цих прямих. Метод побудови операторів ін-
терполяції функцій двох змінних із заданими проекціями досліджується для випадку пе-
ретинних прямих, ніякі три з яких не перетинаються в одній точці. Розглянуто прикла-
ди побудови інтерполяційних операторів із заданими проекціями вздовж M = 3, 4 пере-
тинних прямих.
Предложен метод построения операторов приближения функции f(x, y), который ин-
терполирует f(x, y) в точках пересечения прямыхΓk, k = 1, 2, …, M и имеет проекции
вдоль этих прямых, совпадающих с проекциями от f(x, y) вдоль этих прямых. Метод по-
строения операторов интерполяции функций двух переменных с заданными проекциями
исследуется для случая пересекающихся прямых, никакие три из которых не пересека-
ются в одной точке. Рассмотрены примеры построения интерполяционных операторов с
заданными проекциями вдоль M = 3, 4 пересекающихся прямых.
Вступ
В роботах О. М. Литвина і О. О. Литвина наведено формулювання загального методу
для побудови операторів наближення функцій двох змінних, які одночасно інтерполюють ці
функції і мають задані проекції, а також наведено конкретні приклади для випадку, коли си-
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМКАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 61
стема прямих, вздовж якої знаходяться проекції, є системою взаємно перпендикулярних
прямих, паралельних осям координат. Метод дозволяє будувати наближені розв'язки 2D за-
дачі комп'ютерної томографії за умови, що невідомі значення функції в точках інтерполяції
знаходяться з умови мінімуму деякого функціонала. В даній статті метод побудови операто-
рів інтерполяції функцій двох змінних із заданими проекціями досліджується для випадку
перетинних прямих, ніякі три з яких не перетинаються в одній точці.
В працях [1–9] дається аналітичний огляд відомих методів розв’язання плоскої та
просторової задач комп’ютерної томографії. В працях [10–15] сформульована і доведена те-
орема про метод побудови операторів поліноміальної інтерполяції із заданими проекціями
вздовж заданої системи прямих. В [10] викладено загальний метод наближеного розв’язання
плоскої задачі радонівської комп’ютерної томографії (РКТ) за допомогою операторів інтер-
лінації функцій двох змінних. Чисельна реалізація цього методу реалізована в дисертаційній
роботі О. О. Литвина [10] для випадку інтерлінації на системі взаємно перпендикулярних
прямих, паралельних осям координат, вздовж яких проекції вважаються відомими. В класи-
чній задачі інтерполювання вважаються відомими множина точок (вузли інтерполяції) та
значень наближуваної функції (яка може бути і невідома). Відомі формули для інтерполя-
ційних поліномів Лагранжа степеня та їх аналоги в теорії сплайн-інтерполяції є добре ви-
вченими з точки зору їх наближуючих властивостей. Водночас на практиці виникають ситу-
ації, коли, крім значень, відомими є також інтеграли від функції вздовж заданого відрізка,
якому належать вузли інтерполяції. Такі інтеграли (проекції) виникають, зокрема, в комп'ю-
терній томографії і є основою для методів розв'язання плоскої задачі комп'ютерної томогра-
фії (КТ), тобто дозволяють наближено відновити функцію двох змінних, яка є щільністю або
коефіцієнтом поглинання проникаючого опромінення досліджуваного тіла у заданій площи-
ні. Зазначимо, що в ком'ютерній томографії відсутні такі алгоритми відновлення внутрі-
шньої структури тіла, які можна назвати оптимальними, як, наприклад, оптимальні квадра-
турні формули Гаусса, оптимальні вузли інтерполяції тощо. Тому актуальною є побудова і
дослідження операторів інтерполяції з відомими проекціями, які, на думку авторів цієї стат-
ті, можуть привести до побудови операторів 2D КТ з оптимальним вибором прямих, вздовж
яких знаходяться проекції.
1. Постановка проблеми
В даній роботі розв'язується задача: для M (M ≥ 2) перетинних прямих, серед яких
немає паралельних, тобто кожна пряма перетинається з усіма іншими (M – 1) прямими, при-
чому в одній точці не перетинаються більше ніж дві прямі, побудувати оператор Lf(x, y) з
властивостями
1. Lf(xkl, ykl) = f(xkl, ykl), k, l = 1, 2, …, M, k ≠ l,
2. k
ГГ
adsyxfdsyxLf
kk
== ∫∫ ),(),( , k = 1, 2, …, M,
де }0),(:),{( 21 =γ−ω+ω=ω= kkkkk yxyxyxГ , lkГГyx lkklklkk ≠∩==ω+ω ,),(,12
2
2
1 ; числа ak
будемо називати проекціями, як це прийнято в комп'ютерній томографії. Припустимо, що
suppf(x, y) = D [0, 1]
2
і (xkl, ykl) ∈ D ∀k, l = 1, 2, …, M, k ≠ l.
2. Аналіз літератури
Сформулюємо деякі відомі теореми (теореми 1–4), твердження яких будуть викорис-
тані далі в теоремі 5. Нехай оператор OM({Jk}; U, x, y) інтерлінує функцію f на вибраній
системі прямих Γk, k = 1, 2, …, M, тобто задовольняє такі умови:
kkkkkkkM ГyxtftytxfyxfyxUfO ∈=== ),(),())(),((),(),;};({ ,
де tk – деякий параметр на прямій Γk,
pj
riijuU
,1
,1
][ =
=
= – деяка матриця, або
rijuU
,1
][
=
= – деякий
вектор невідомих сталих.
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМКАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 62
Теорема 1 [10]. Існують такі оператори Jk = Jk(ak; U; tk) ≈ fk(tk), k = 1, 2, …M та
OM({fk}; U, x, y), що для оператора OM({Jk}; U, x, y) виконуються дві рівності
MpadsyxUJO p
Г
kM
p
K,2,1,),,};({ ==∫ (1)
lkMlkuyxUJO klklklkM ≠== ;,2,1,,),,};({ K (2)
незалежно від вибору матриці.
Доведення цієї теореми істотно використовує два типи операторів: перший O1f(x, y),
який є оператором інтерлінації функції f(x, y) на заданій системі перетинних прямих, і опе-
ратори другого типу Jkf, які є операторами інтерполяції у точках перетину прямої Γk з інши-
ми прямими і мають задану проекцію вздовж прямої Γk. В наведеній нижче теоремі 2 дано
явний вигляд оператора OM({Jk}; U, x, y) для випадку, коли система прямих Γk є взаємно пе-
рпендикулярною.
Хай NjdxyxfyMidyyxfx jjjiii KK ,2,1,),(,;,2,1,),(,
1
0
)1(
1
0
)2( ==γ==γ ∫∫ – задані чис-
ла, 1,0,,2,1,,2,1,1,0 1100 ======<< ++ nmji yxyxNjMiyx KK .
Теорема 2. [10]. Оператор ),}; ;({:),(
(2)(1)
U;x,yOyxO jimnmn γγ=
( )
( ) ,)()()()(
)()(),(
1 11 1
)1()1(
1 1
)2()2(
∑∑∑ ∑
∑ ∑
= == =
= =
−
ψγ−+γ+
+
φγ−+γ=
m
i
n
j
ijji
n
j
m
i
ijijjj
m
i
n
j
jiijiimn
UyHxhxUyH
yUxhyxO
де функції ψi(x) ϕj(y) такі, що ψi(xp) = δi,p, i, p = 0, 1, …, m;
( ) ( ) nqjdyydxxy jiqjqj ,0,;0,)(
1
0
1
0
, ==φ=ψδ=φ ∫∫ (базисні інтерполяційні поліноми або сплайни
hi, Hj задовольняють умови hi(xp) = δi,p, i, p = 0, 1, …, m Hj(yq) = δi,p, j, q = 0, 1, …, n),
має такі властивості:
∫∫∫∫ =γ==γ=
==∈∀=
1
0
)1(
1
0
1
0
)2(
1
0
),(),(,),(),(
,,2,1,,2,1,),(
dxyxfdxyxOdyyxfdyyxO
nmkRUUyxO
mnkkkmn
kkkmn
lll
lll
KlK
Для побудови цього оператора використовується формула інтерлінації на системі
взаємно перпендикулярних прямих
,),()()(),()(),()(),(
1 111
∑∑∑∑
= ===
−+=
m
i
n
j
jiji
n
j
jj
m
i
iimn yxfyHxhyxfyHyxfxhyxO
з властивостями Omn(xk, y) = f(xk, y), Omn(x, yl) = f(x, yl), k = 1, 2, …, m; l = 1, 2, …, n.
Нижче викладемо деякі аспекти чисельної реалізації вказаної теореми 1 для випадку
M перетинних прямих, жодні три з яких не перетинаються в одній точці і серед яких нема
паралельних.
Для розв'язання поставленої задачі будемо використовувати оператор ),( yxfOM ін-
терлінації [14,15] функції f(x, y) на системі прямих Γk, k = 1, 2, …, M,
ϕ−ω
∆
τ
−ϕ+ω
∆
τ
−ϕ
ω
ω
= ∑ ∏
ℜ∈
≠
=
)(),(),(),(),(
)(
),(
),(
),(
,
1
klkk
kl
klklll
kl
klklk
lk
M
lki
i kli
i
M Ayxlyxyxkyx
A
yx
yxfO (3)
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМКАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 63
з властивостями
MkyxyxfO
k
k
kM K,2,1,),(),( =ϕ=
ΓΓ
, (4)
де Γk : ωk(x, y) = xωk1 + yωk2 – γk = 0, k = 1, 2, …, M – сім'я перетинних прямих, жодні три з
яких не перетинаються в одній точці,
Akl = (xkl, ykl), (k, l) ∈ ℜ = {(k, l) | Γk∩Γl = Akl; k ≠ l}, k, l, = 1, 2, …, M
точки перетину прямих Γk та Γl.
).,(),,(
,,2,1,;),()(
|),(|),(
,,2,1,;,0
1221
21
21
kkkkkk
kllklk
ГГk
lk
ll
kk
kl
MlklkAA
yxfyx
Mlklk
kk
ω−ω=τωω=ν
=≠ϕ=ϕ
=ϕ
=≠≠∆−=
ωω
ωω
=∆
K
K
Для побудови операторів Jk(ak, U; tk) будемо використовувати такі твердження.
Теорема 3 [10]. Поліном Lrg(x) степеня r
2
, що інтерполює функцію g(x) у точках
0 < x1 < … < xr < 1
Lrg(xp) = g(xp), p = 1, 2, …, n
і має задане значення інтеграла
dxgdxxgadxxgLr ∫∫∫ ===
1
0
1
0
1
0
)()( ,
можна написати у вигляді
( )
( ) .)(,)(
,
)(
)(
)()()()(
1
2
,1
,
1
1
0
1
0
,,
2
2
2
∏∏
∑ ∫
∫
=≠=
=
−=
−
−
=
−−+=
r
j
jr
r
kjj jk
j
kr
r
k
r
r
krkrkr
xxxw
xx
xx
x
dxxw
xw
dxxxaxgaxgL
l
ll
Теорема 4 [10]. Хай система вузлів 0 ≤ x1 ≤ … ≤ xr ≤ 1 задовольняє умову
∫ ≠ω
1
0
0)( dxxr , де ( )∏
=
−=ω
r
j
jr xxx
1
)( . Тоді оператор
∑
∫
∫∫∫
=
ω
ω
−
−+=
r
k
r
r
krkrkr
dxx
x
dxxlxldxxgxgdxxgxgL
1
1
0
1
0
,,
1
0
1
0 )(
)(
)()()()()();(
кожній неперервній функції g(x) ∈ C(I), I = [0, 1] ставить у відповідність поліном найменшо-
го степеня r з властивостями
.,1,0,);(
,2,1),();(
,)();(
1
0
1
0
rsxxxL
rpxgxgL
dxxgdxxgL
ss
r
ppr
r
K
K
==
==
= ∫∫
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМКАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 64
Основні твердження статті
Теорема 5. Якщо у введеному вище операторі ),;};({),( yxUOyxfO kMM φ= замість
функцій-слідів ϕk(tk), k = 1, 2, …, M підставити оператори одновимірної інтерполяції
LM–1(ϕk, tk) з властивостями LM–1(ϕk, tki) = uki, i = 1, 2, …, M – 1, де tki – значення параметра tk
(tk = x або tk = y), якому на прямій Γk відповідає точка (xki, yki)
та k
Г
kkkM adttL
k
=ϕ∫ − ),(1 , то
отримаємо оператор OM({LM–1(ϕk, tk)}; {U}; x, y) з властивостями
.,,2,1,),};{)};,(({
),};{)};,(({
1
1
MjadsyxUtLO
uyxUtLO
j
Г
kkMM
ijijijkkMM
j
K==ϕ
=ϕ
∫ −
−
Доведення:
З властивостей (4) випливає, що MldttdsyxUO
ll Г
lll
Г
kM ,,2,1,)(),;};({ K=ϕ=ϕ ∫∫ . То-
му якщо замість ϕl(tl) підставимо оператор Jl(U; al; tl) з властивостями l
Г
llll adttaUJ
l
=∫ ),;( , то
отримаємо, що MladsyxUtaUJO
ll Г
l
Г
kkkm ,,2,1,),;)};,;(({ K== ∫∫ .
Оскільки оператори Jl(U; al; tl) інтерполюють значення ukl при tl = tkl, то виконуються
також інтерполяційні властивості jiMjiuyxUtaUJO ijijijkkkm ≠== ,,,2,1,,),;)};,;(({ K .
Теорема 5 доведена.
Отже, побудова потрібного оператора може бути виконана за такими кроками:
Крок 1. Використовуємо оператор ),( yxfOM
інтерлінації функцій f(x, y) на системі
M (M ≥ 3) перетинних прямих, ніякі три з яких не перетинаються в одній точці та між ними
немає паралельних, тобто оператор ),( yxfOM з властивостями
MkyxyxfyxfO
kk
k
kM K,2,1,),(),(),( =ϕ==
ΓΓΓ
.
Крок 2. Замінюємо сліди ϕk(x, y) функції f(x, y) як функції однієї змінної (x або y, або
tk) операторами інтерполяції із заданими проекціями. В результаті отримаємо шуканий опе-
ратор.
Розглянемо приклади
Приклад 1. Нехай M = 3 і задано три прямі
Γk : ωk(x, y) = 0, k = 1, 2, 3
,
5
5,034
,
65
7,18
,
2
1
321
−+
=ω
−+
=ω
−+
=ω
yxyxyx
які перетинаються в точках A12(0,1; 0,9), A13(0,5; 0,5),
A23(0,2; 0,1) (рис. 1).
ωk(Akl) =ωl(Akl) =0, k ≠ l, k, l = 1, 2, 3,
,,
4
35,0
)(
,,
8
7,1
)( ),,1()(
3
21
+
=ϕ
−
=ϕ−=ϕ
y
y
fy
y
y
fyyyfy
22 )()()(,)( kskpkps
kpks
kp
kps yyyyywr
yy
yy
yl −−=
−
−
= .
Рис 1. Графіки трьох прямих,
вздовж яких знаходяться проекції,
і три точки інтерполяції
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМКАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 65
Використаємо формулу для побудови оператора, який в точках перетину цих прямих
набуває значення, що збігаються із значеннями наближуваної функції, і має інтеграли
вздовж цих прямих, які збігаються з проекціями вздовж цих прямих від наближуваної функ-
ції f(x, y)
( ) .
)(
)(
)()(),()(
1
1
0
1
0
∑
∫
∫
=
−−ϕ+=ϕ
r
k
kps
kps
kpskpsrrkrkrrrr
dyywr
ywr
dyylylayxayL
Підставляємо ці формули у (3)
ϕ−ω
∆
τ
−ϕ+ω
∆
τ
−ϕ
ω
ω
= ∑ ∏
ℜ∈
≠
=
)()()(
)(
)(
),(
),(
,
1
klkkk
lk
l
kllll
kl
klkk
lk
M
lki
i kli
i ALxALxkAL
A
x
yxLf
Ця формула має шукані властивості
.|),(|),(
;|)(|)(
1
0
1
0
∫ ∫=
=
dxyxfdxyxLf
AfALf
kk
kk
ГГ
ГklГkl
Приклад 2. Нехай M = 4 і задано чотири прямі Γk : ωk(x, y) = 0, k = 1, 2, 3, 4
37
46
,
65
58
,
74
275
,
25
4
2
4321
+−−
=ω
+−−
=ω
+−
=ω−
+
=ω
yxyxyxyx
,
які перетинаються в точках ,
47
32
,
47
26
,
47
27
,
47
19
,
25
4
,
25
16
,
5
3
,
5
1
,
2
1
,
10
3
2423141312
AAAAA
47
26
,
47
27
34A (рис 2.).
.)()(
,4,3,2,1,4,3,2,1,)(
,,)(
,4,1, , ),()(
4
1
2
,
1
1
2
∏
∏
≠
=
≠
=
−=
==
−
−
=
ω
ω−γ
=ϕ
=≠ω=ω
ks
s
ksk
M
kps
s kpks
kp
kp
i
ii
i
kllklk
yyywr
pk
yy
yy
yl
y
y
fy
lklkAA
Використаємо формулу для побудови опера-
тора, який в точках перетину цих прямих набуває зна-
чення, що збігається із значеннями наближуваної фу-
нкції і має інтеграли вздовж цих прямих, які збігають-
ся з проекціями вздовж цих прямих від наближуваної
функції f(x, y)
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
Рис 2. Графіки прямих ΓΓΓΓk k = 1, 2, 3, 4
та точки їх перетину
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМКАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 66
( ) ;
)(
)(
)()(),()(
1
1
0
1
0
∑
∫
∫
=
−−ϕ+=ϕ
r
k
k
k
kpkprrkrkrrrr
dyywr
ywr
dyylylayxayL
Підставляємо ці формули у (3)
.)(),(),(
)(
),(
),(
),(
,
1
ϕ−
ω
∆
τ
−ϕ+
ω
∆
τ
−ϕ
ω
ω
= ∑ ∏
ℜ∈
≠
=
klkkk
lk
l
kllll
kl
k
klkk
lk
M
lki
i kli
i ALyxALyxAL
A
yx
yxLf (5)
Формула (10) і є шуканою формулою з властивостями
.4,3,2,1,|),(|),(
;,4,3,2,1),()(
1
0
1
0
===
≠==
∫ ∫ kkdxyxfdxyxLf
lkkAfALf
kk ГГ
klkl
Висновки
В даній статті запропоновано метод побудови операторів наближення функції f(x, y),
який інтерполює f(x, y) в точках перетину прямих Γk k = 1, 2, …, M і має проекції вздовж цих
прямих, які збігаються з проекціями від f(x, y) вздовж цих прямих. Розглянуто приклади по-
будови інтерполяційних операторів із заданими проекціями вздовж M = 3, 4 перетинних
прямих.
Автори планують використати ці результати для розробки методу розв'язання плос-
кої задачі РКТ, в якій значення f(xkl, ykl) є невідомими, а відомі лише проекції ∫
kГ
dsyxf ),( ,
k = 1, 2, …, M.
Література
1. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии: Пер. с англ./ Ф. Наттерер. –
М.: Мир, 1990. – 279 с.
2. Троицкий И. Н. Статистическая теория томографии / И. Н. Троицкий. – М.: Радио и связь, 1989. –
240 с.
3. Радон И. Об определении функций по их интегралам вдоль некоторых многообразий / И. Радон //
Хелгасон Р. Преобразование Радона. – М.: Мир, 1983. – 135 с.
4. Хелгасон С. Преобразование Радона: Пер с англ. / С. Хелгасон. – М.: Мир, 1983. – 152 с.
5. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям. Основы реконструктивной томографии /
Г. Хермен. – М.: Мир, 1983. – 352 с.
6. Терещенко С. А. Методы вычислительной томографии / С. А. Терещенко. – М.: Физматгиз, 2004. –
320 с.
7. Федоров Г. А. Вычислительная эмиссионная томография / Г. А. Федоров, С. А. Терещенко. – М.:
Энергоатомиздат, 1990. – 184 с.
8. Тихонов А. Н. Математические задачи компьютерной томографи / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин,
А. А. Тимонов. – М.: Наука, 1987. – 160 с.
9. Попов Д. А. Восстановление характеристических функций в двумерной радоновской томографии /
Д. А. Попов // Усп. мат. наук. – 1998. – Т. 53, вып. 1 (319). – С. 115–198.
10. Литвин О. О. Математичне моделювання в малоракурсній комп’ютерній томографії на основі ін-
терлінації та мішаної апроксимації функцій: Автореф. дис. … канд. фіз. – мат. наук. – К: 2009. –
20 с.
11. Литвин О. М. Оператори інтерполювання із заданими значеннями інтеграла / О. М. Литвин,
О. О. Литвин // Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних досліджен-
нях: Тези доп. Всеукраїн. наук. конф., Львів, 5–7 жовтня 1995 р. – Львів, 1995. – С. 113.
12. Литвин О. М. Про один підхід до розв’язання плоскої задачі рентгенівської комп’ютерної томо-
графії / О. М. Литвин, О. О. Литвин // Нелинейные краевые задачи математической физики и их
приложения: Сб. науч. тр. Ин-та математики НАН Украины, Киев, 1996. – С. 170–173.
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМКАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 3 67
13. Литвин О. М. Метод розв’язання плоскої задачі рентгенівської комп’ютерної томографії /
О. М. Литвин, О. О. Литвин // Доп. НАН України. – 1998. – № 12. – С. 29–33.
14. Литвин О. М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / О. М. Литвин. – Х.: Основа, 2002. –
544 с.
15. Литвин О. М. Методи обчислень. Додаткові розділи / О. М. Литвин. – К.: Наук. думка, 2005. –
332 с.
Надійшла до редакції
21.06.13
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99134 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0131-2928 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:35:49Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.О. Хурдей, Є.Л. 2016-04-23T10:57:14Z 2016-04-23T10:57:14Z 2013 Метод побудови операторів із заданими проекціями вздовж перетинних прямих, які інтерполюють f(x, y) в точках перетину цих прямих / О.О. Литвин, Є.Л. Хурдей // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 60-67. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99134 519.6 Предложен метод построения операторов приближения функции f(x, y), который интерполирует f(x, y) в точках пересечения прямыхΓk, k = 1, 2, …, M и имеет проекции вдоль этих прямых, совпадающих с проекциями от f(x, y) вдоль этих прямых. Метод построения операторов интерполяции функций двух переменных с заданными проекциями исследуется для случая пересекающихся прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке. Рассмотрены примеры построения интерполяционных операторов с заданными проекциями вдоль M = 3, 4 пересекающихся прямых. Запропоновано метод побудови операторів наближення функції f(x, y), який інтерполює f(x, y) в точках перетину прямих Γk, k = 1, 2, …, M і має проекції вздовж цих прямих, які збігаються з проекціями від f(x, y) вздовж цих прямих. Метод побудови операторів інтерполяції функцій двох змінних із заданими проекціями досліджується для випадку перетинних прямих, ніякі три з яких не перетинаються в одній точці. Розглянуто приклади побудови інтерполяційних операторів із заданими проекціями вздовж M = 3, 4 перетинних прямих. In this article was proposed a method for constructing approximation operator function f(x, y) that interpolates f(x, y) the points of intersection of lines Gk, k = 1, 2, …, M and the projection is along these lines that match the projections of along these lines. Method of constructing operators interpolation functions of 2 variables with given projections investigated for the case of lines that intersect and no three intersect at one point. Were considered examples. uk Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Прикладная математика Метод побудови операторів із заданими проекціями вздовж перетинних прямих, які інтерполюють f(x, y) в точках перетину цих прямих Method of creation of operators with the given projections along being crossed straight lines to interpolate f(x, y) in cross points of these straight lines Article published earlier |
| spellingShingle | Метод побудови операторів із заданими проекціями вздовж перетинних прямих, які інтерполюють f(x, y) в точках перетину цих прямих Литвин, О.О. Хурдей, Є.Л. Прикладная математика |
| title | Метод побудови операторів із заданими проекціями вздовж перетинних прямих, які інтерполюють f(x, y) в точках перетину цих прямих |
| title_alt | Method of creation of operators with the given projections along being crossed straight lines to interpolate f(x, y) in cross points of these straight lines |
| title_full | Метод побудови операторів із заданими проекціями вздовж перетинних прямих, які інтерполюють f(x, y) в точках перетину цих прямих |
| title_fullStr | Метод побудови операторів із заданими проекціями вздовж перетинних прямих, які інтерполюють f(x, y) в точках перетину цих прямих |
| title_full_unstemmed | Метод побудови операторів із заданими проекціями вздовж перетинних прямих, які інтерполюють f(x, y) в точках перетину цих прямих |
| title_short | Метод побудови операторів із заданими проекціями вздовж перетинних прямих, які інтерполюють f(x, y) в точках перетину цих прямих |
| title_sort | метод побудови операторів із заданими проекціями вздовж перетинних прямих, які інтерполюють f(x, y) в точках перетину цих прямих |
| topic | Прикладная математика |
| topic_facet | Прикладная математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99134 |
| work_keys_str_mv | AT litvinoo metodpobudovioperatorívízzadanimiproekcíâmivzdovžperetinnihprâmihâkíínterpolûûtʹfxyvtočkahperetinucihprâmih AT hurdeiêl metodpobudovioperatorívízzadanimiproekcíâmivzdovžperetinnihprâmihâkíínterpolûûtʹfxyvtočkahperetinucihprâmih AT litvinoo methodofcreationofoperatorswiththegivenprojectionsalongbeingcrossedstraightlinestointerpolatefxyincrosspointsofthesestraightlines AT hurdeiêl methodofcreationofoperatorswiththegivenprojectionsalongbeingcrossedstraightlinestointerpolatefxyincrosspointsofthesestraightlines |