Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами глобальної інтерлінації функцій

Запропонований метод моделювання тривимірного розподілу корисних копалин методами глобальної інтерлінації на системі похилих свердловин, розміщених як в одній площині, так і довільним чином. Метод дозволяє відновлювати 3D розподіл корисних копалин між похилими свердловинами за допомогою інформації п...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы машиностроения
Date:	2013
Main Authors:	Литвин, О.О., Штепа, Н.І., Кулик, C.І., Чорна, О.С.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2013
Subjects:	Прикладная математика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99157
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами глобальної інтерлінації функцій / О.О. Литвин, Н.І. Штепа, C.І. Кулик, О.С. Чорна // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 39-48. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860168434880348160
author	Литвин, О.О. Штепа, Н.І. Кулик, C.І. Чорна, О.С.
author_facet	Литвин, О.О. Штепа, Н.І. Кулик, C.І. Чорна, О.С.
citation_txt	Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами глобальної інтерлінації функцій / О.О. Литвин, Н.І. Штепа, C.І. Кулик, О.С. Чорна // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 39-48. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы машиностроения
description	Запропонований метод моделювання тривимірного розподілу корисних копалин методами глобальної інтерлінації на системі похилих свердловин, розміщених як в одній площині, так і довільним чином. Метод дозволяє відновлювати 3D розподіл корисних копалин між похилими свердловинами за допомогою інформації про розподіл в кернах свердловин. Предложен метод моделирования трехмерного распределения полезных ископаемых методами глобальной интерлинации на системе наклонных скважин, размещенных как в одной плоскости, так и произвольным образом. Метод позволяет восстанавливать 3D распределение полезных ископаемых между скважинами при помощи информации про распределение в кернах скважин. Building methods of three-demensional minerals distribution model on the base of minerals distribution at the every value of given system of inclined boreholes information and three variable functions interlineations methods are proposed in the article.
first_indexed	2025-12-07T17:57:24Z
format	Article
fulltext	ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 4 39 Работа выполнена при поддержке Государственного фонда фундаментальных иссле- дований, проект № Ф54.1/025. Литература 1. Слесаренко А. П. Структурно-разностный подход к математическому моделированию высокоско- ростных тепловых процессов с нестационарным теплообменом на поверхности конструктивных элементов / А. П. Слесаренко, Ю. О. Кобринович // Пробл. машиностроения. – 2011. – Т. 14, № 3. – С. 66–75. 2. Кобринович Ю. О. Построение структурно-разностных моделей высокоскоростных тепловых про- цессов с осциллирующим теплообменом / Ю. О. Кобринович // Вісн. Харків. нац. ун-ту. Сер. Нові рішення в сучасних технологіях. – Харків: НТУ «ХПІ», 2012. – № 68 (974). – С. 205–209. 3. Слесаренко А. П. Структурно-разностные модели, точно учитывающие осциллирующий во време- ни нестационарный теплообмен на поверхности конструктивных элементов / А. П. Слесаренко, Ю. О. Кобринович // Доп. НАН України. – 2012. – № 1. – С. 82–88. 4. Слесаренко А. П. Структурно-разностные модели тепловых процессов в областях сложной формы с высокоинтенсивным нестационарным теплообменом на границе / А. П. Слесаренко, Ю. О. Коб- ринович // Математичне моделювання та математична фізика: Тез. доп. конф., присвяченої 210-річниці від дня народження М. Остроградського, м. Кременчук, 21–24 вер. 2011 р. – Кремен- чук, 2011. – С. 51–52. 5. Слесаренко А. П. Визуальные исследования результатов моделирования высокоскоростных тепло- вых процессов на согласованных дисплеях / А. П. Слесаренко, Ю. О. Кобринович // Вісн. Харків. ун-ту. Сер. Нові рішення в сучасних технологіях. – Харків: НТУ «ХПІ», 2013. – № 16 (989) – С. 193–201. 6. Слесаренко А. П. S-функции в обратных задачах дифференциальной геометрии и управлении об- разования форм / А. П. Слесаренко // Восточ.- Европ. журн. передовых технологий. – 2012. – № 1/4 (55). – С. 4–10. 7. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. – М: Наука, 1977. – 455 с. Поступила в редакцию 03.09.13 УДК 519.6 О. О. Литвин, канд. фіз.-мат. наук Н. І. Штепа, канд. фіз.-мат. наук C. І. Кулик*, канд. фіз.-мат. наук О. С. Чорна * Українська інженерно-педагогічна академія (м. Харків, e-mail: loo71@bk.ru) ** Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут» (м. Харків, e-mail: academ_mail@ukr.net) МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РОЗПОДІЛУ КОРИСНИХ КОПАЛИН МІЖ СИСТЕМОЮ НЕРЕГУЛЯРНО РОЗМІЩЕНИХ ПОХИЛИХ СВЕРДЛОВИН МЕТОДАМИ ГЛОБАЛЬНОЇ ІНТЕРЛІНАЦІЇ ФУНКЦІЙ Запропонований метод моделювання тривимірного розподілу корисних копалин мето- дами глобальної інтерлінації на системі похилих свердловин, розміщених як в одній пло- щині, так і довільним чином. Метод дозволяє відновлювати 3D розподіл корисних копа- лин між похилими свердловинами за допомогою інформації про розподіл в кернах сверд- ловин. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 4 40 Предложен метод моделирования трехмерного распределения полезных ископаемых методами глобальной интерлинации на системе наклонных скважин, размещенных как в одной плоскости, так и произвольным образом. Метод позволяет восстанавливать 3D распределение полезных ископаемых между скважинами при помощи информации про распределение в кернах скважин. Вступ У попередніх роботах авторів [1–4] досліджувались поліноміальні та кусково- поліноміальні інтерлінаційні формули, тобто формули, в яких використовувались допоміжні поліноміальні функції або кусково-лінійні, кусково-квадратичні тощо для моделювання роз- поділу корисних копалин між похилими свердловинами, нерегулярно розміщеними у облас- ті дослідження. Математичні моделі розподілу корисних копалин, побудовані з використан- ням кусково-поліноміальних формул, дозволяють у просторі між похилими свердловинами отримувати тим точніші наближення, чим меншими є максимальні віддалі між похилими свердловинами у кожній трикутній призмі на глибині z . Але з точки зору збереження ними глобальної гладкості, яку має наближувана функція, такого типу моделі, через їх локаль- ність, є недостатньо інформативними. Отже, для отримання інформації про глобальні влас- тивості досліджуваного розподілу (про належність функції, яка описує розподіл корисної копалини до того або іншого класу гладкості) потрібно проводити додаткові дослідження. У багатьох областях для відновлення неперервних поверхонь використовуються екс- периментальні дані, нерегулярно розміщені у просторі. Однією з загальних інтерполяційних формул, узагальнення яких можна використовувати для інтерлінації функцій трьох змінних у випадку нерегулярно розподілених прямих-свердловин, є двовимірна глобальна інтерпо- ляційна формула Доналда Шепарда. Зауважимо, що незважаючи на те, що задачі двовимірної інтерполяції досліджуються вже давно, приклади інтерполяційних функцій, які придатні для нерегулярно розміщених даних, поодинокі. У випадку, коли дані точки вже формують регулярну прямокутну сітку (xi, yj), i = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, N, найбільш важливими інтерполяційними формулами для прямокутної сітки є [5] – представлення відповідної поверхні у вигляді гіперболічного параболоїда для кожних чотирьох заданих точок за допомогою білінійної інтерполяції за змінними x, y у вказаних точках };;:),{(),( , ),( 11, 11 1,1 11 1 1, 1 1 1 ,1 1 1 1 1 ,1,1 ++ ++ ++ ++ + + + + + + + + + + ≤≤≤≤=Π∈ − − − − + − − − − + + − − − − + − − − − == jjiiji jj j ii i ji jj j ii i ji jj j ii i ji jj j ii i ji yyyxxxyxyx yy yy xx xxz yy yy xx xxz yy yy xx xxz yy yy xx xxzyxSz – представлення відповідної поверхні у вигляді полінома в околі n2 (n = 2, 3, 4, …) точок з використанням ньютонівських розділених різниць; – представлення відповідної поверхні за допомогою бікубічних сплайн-інтерполяційних формул ∑∑ = = == M i N j jiji yBxBCyxSU 1 1 ,3,3 )()(),( , де невідомі Сi,j знаходяться з умов NqMpzyxS qpqp ≤≤≤≤= 1;1,),( ,3,3 , Bi(x) – базисні кубічні сплайни [6] ( ) =++++ 4321 ,,,,, iiiii xxxxxxB ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 4 41 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <<⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−+ −−− − + +−−+−−+−−+ − − + +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− − − − +−−+ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − − − +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − − ≤< − − + +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− −−− − +−−+ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − − − +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − − ≤< − − + +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− −−− − + +−−+− ≤< − − ≤ = 4 433 2 34 3 43 3 4 43 3 323 3 313 2 302 13 23 3 23 23 3 32 3 32 32 2 2312 2 3 21 3 21 21 1 12 01 01 1 32 3 23 3 2 2 2 32 3 32 3 3 32 2 212 2 3 21 3 21 21 1 12 01 01 1 21 2 12 3 1 1 2 21 2 21 3 2 21 1 101 12 01 1 10 01 3 01 0 ,0 ,, 32 2226 322 3232 ,, 6 322 3232 ,, 6 32 26 ,, 6 ,,0 Xx XxXXxXXXXXx XX y XxXXyXxXXyXxXXyy XX XX XXXXXX XX yXXXXy XXXX XX yXXXXXXy XxXy XX Xx XxXXXXXx XX yXxXXy XXXX XX yXXXXXXy XxXy XX Xx XxXXXXXx XX y XxXXyXXy XxX XX Xxy Xx де ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ., 2 431024 1303 32 431002 1413 1 y XXXXXX XXXXyy XXXXXX XXXXy −−+− −− = −−+− −− = У випадку довільних нерегулярно розміщених вузлів ці формули недоцільно для ма- тематичних моделей розподілу використовувати на практиці. Тому нижче зупинимось на узагальнених глобальних формулах. 1. Узагальнена глобальна формула Шепарда Узагальнену глобальну формулу Шепарда для системи ліній (Xk(z), Yl(x), z), –H ≤ z ≤ 0, k = 1, 2, …, M, l = 1, 2, …, N, можна подати так: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∈∈=−+− ∈∈∀≠−+− ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −+− ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −+− = ∑∑ ∑∑ = = λ− λ = = λ .},{1,},,{1,,0)()(якщо ,),(),( },{1,},,{1,0)()(якщо , )()( )()(),(),( ),,;( 22 22 0 0 22 22 0 0 ,, NjMizYyzXx zzYzXf NlMkzYyzXx zYyzXx zYyzXxzzYzXf zyxfS ji ji lk M i N j ji lk M k N lk NM KK KK l Теорема 1. Оператор SM,N,λ(f; x, y, z) має властивості а) )(),,;()(),,( 3 ,, 3 RCzyxfSRCzyxf NM ∈⇒∈ λ , ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 4 42 б) .,,2,1,,,2,1),),(),(()),(),(;(,, NjMizzYzXfzzYzXfS jijiNM KK ===λ Доведення. Введемо позначення ( ) ( )22 , )()(),,( zYyzXxzyxd lklk −+−= . Очевидно, що )),(),((),,(,),,(0),,( 3 , zzYzXzyxRzyxzyxd lklk ≠∈∀> і .,,2,1,,,2,1,0)),(),((, NlMkzzYzXd lklk KK === Тоді оператор ),,;(,, zyxfS NM λ можна записати у вигляді ( ) ( ) ( ) ( )⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−+− ==∀≠ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ==∀= ∀≠ = ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = λ = = λ = = λ− = = λ− λ ,0якщо),),(),(( ,1,,1,0),(якщо, ),,( ),,()),(),(( ,,1,,1,0),,(якщо),),(),(( ,,0),,(якщо, ),,( ),,()),(),(( ),,;( 22 , 0 0 ,, 0 0 ,, , , 0 0 , 0 0 , ,, lklk lkM k N l ji M k N l lklk lklk lkM k N l lk M k N l lklk NM YyXxzzYzXf NlMkyxd zyx zyxzzYzXf NlMkzyxdzzYzXf lkzyxd zyxd zyxdzzYzXf zyxfS l l (1) де ( )∏ ∏ ≠= ≠= λ λ = M kii N ljj jilk zyxdzyx ,1 ,1 ,,, .),,(),,(l Очевидно, що ( ) ( )∏ ∏ ∏ ∏ ≠= ≠= λ ≠= ≠= λ λ ≠∀= >∀>= M kii N ljj lkqpqpji kkji M kii N ljj lkjilklk zzYzXzzYzXzzYzXd zzyzxdjizzYzXdzzYzX ,1 ,1 , , ,1 ,1 ,,, .)),(),(()),(),((0)),(),(( 0)),(),((,якщо,0)),(),(()),(),((l Це дає змогу стверджувати, що ,),,(0),,( 0 3 0 ,,∑∑ = = λ ∈∀> M i N j ji Rzyxzyxl оскільки сума невід’ємних функцій може дорівнювати нулю лише в точці, у якій всі доданки дорівнюють нулю. Згідно з наведеними вище властивостями всі невідомі функції ),,(,, zyxlk λl не можуть дорівнювати нулю одночасно. Таким чином, у формулі ∑∑ ∑∑ = = λ = = λ M i N j ji M k N l lklk zyx zyxzzYzXf 0 0 ,, 0 0 ,, ),,( ),,()),(),(( l l знаменник є додатною функцією, і тому )(),,;( 3 ,, RCzyxfS NM ∈λ . Твердження а) теореми 1 доведено. Для доведення твердження б) запишемо таку послідовність рівностей: ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 4 43 .,,2,1,,,2,1),),(),(( )),(),(()),(),(( )),(),(( )),(),(( )),(),(( )),(),(()),(),(( )),(),(;( ,, ,,,, 0 0 ,,,, 0 0 ,, 0 0 ,, 0 0 ,, ,, NqMpzzYzXf zzYzXzzYzXf zzYzX zzYzXf zzYzX zzYzXzzYzXf zzYzXfS qp qlpk qplkqqppqp M i N j qplkqjpi M k N l qlpklk M i N j qpji M k N l qplklk qpNM KK l l l l === = δδ δδ = δδ δδ = == λ = = λ = = = = λ = = λ λ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ Таким чином, твердження б) теореми 1 теж доведено. Теорема 1 доведена. Диференціюванням ),,;(,, zyxfS NM λ по x або по y можна впевнитись, що для того, щоб )(),,;( 31 ,, RCzyxfS NM ∈λ , якщо )(),,( 31 RCzyxf ∈ , необхідно, щоб показник степеня λ задовольняв співвідношення λ > 1. Крім того, якщо λ = 2, то { },,,2,1,,,2,1),),(),((),,(,0),,;(grad ,, NlMkzzYzXzyxzyxfS lkNM KK ==∈∀=λ оскільки в цьому випадку функція ( ) ( )( ) ( )( )( )∏ ∏ ∏∏ ≠= ≠= ≠=≠= −+−== M kii M kii N ljj ji N ljj jilk zYyzXxzyxdzyx ,1 ,1 ,1 22 ,1 2 ,2,, ),,(),,(l має градієнт, який дорівнює нулю в усіх точках lqkpzzYzX qp ≠≠ ,),),(),(( . З геометричної точки зору це означає, що при λ = 2 для заданого z поверхня ),,;(,, zyxfSU NM λ= в околі вузлів NqMpzzYzX qp ,,2,1,,,2,1),),(),(( KK == , має горизон- тальні дотичні площини [7]. Зупинимось на недоліках формули, зваженої за допомогою обернених відстаней до вузлів, якою є формула Шепарда. Запишемо формулу Шепарда для випадку довільного розміщення прямих MkzzYzX lk ,,2,1),),(),(( K= . Введемо позначення ( ) ( )22 )()(),,( zYyzXxzyxd kkk −+−= . Очевидно, що )),(),((),,(,),,(0),,( 3 zzYzXzyxRzyxzyxd lkk ≠∈∀> і MkzzYzXd lkk ,,2,1),),(),(( K= . Тоді оператор інтерлінації ),,;(, zyxfSM λ можна подати так: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−+−∀ =∀≠ = ∑ ∑ = λ− = λ− λ .0)()()),(),(( ,,2,10,,якщо, ),,( ),,()),(),(( ,,; 22 0 0 , zYyzXxzzYzXf Mkzyxd zyxd zyxdzzYzXf zyxfS iiii kM i i M k klk M K Недолік 1. Якщо кількість M заданих точок є великою, то кількість арифметичних операцій Q для обчислення ),,;(, zyxfSU M λ= у одній точці пропорційна M : Q = cM (c – ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 4 44 деяка стала). Це означає, що в такому випадку метод може бути неефективним або непрак- тичним. Недолік 2. Рівність нулю градієнта у кожній точці Dk при фіксованому z є небажани- ми обмеженнями на наближувану функцію. Недолік 3. Обчислювальна похибка (похибка заокруглення) стає істотною в околі точок )),(),(( zzYzXD lkk . Далі вважаємо, що функція u = f(x, y, z) описує просторовий розподіл щільності якої- небудь корисної копалини (сіль, вугілля, руда, нафта, газ тощо), а також, що нам задано M похилих свердловин Γk, k = 1, 2, …, M та M функцій MkzzYzXfz lkk ,,2,1),),(),(()( K==γ змінної z, які отримані за допомогою аналізу вмісту кернів свердловинного буріння у точках з координатами MkzzYzX lk ,,2,1),),(),(( K= . Іншими словами, у даній праці припускається, що кожній похилій свердловині ста- виться у відповідність не одне число, а одна функція – характеристика розподілу щільності корисних копалин конкретного типу залежно від глибини z. При цьому зазначена одна функція може бути розривною функцією змінної z – гли- бини. Нижче вважаємо їх неперервними. Введемо до розгляду математичну модель просторового розподілу якої-небудь кори- сної копалини у вигляді ( ) .),,(),,( , ),,( ),,()( ),,};({ ,1 , 1 , 1 , , ∏ ∑ ∑ ≠= λ λ = λ = λ λ = γ =γ M kjj jk M k k M k kk pM zyxdzyxL zyxL zyxLz zyxS Теорема 2. Справедливі такі співвідношення. Якщо ,,,2,1),0,[)( MkHCzk K=−∈γ то )(),,};({ 3 , RCzyxS pM ∈γλ ; ( ) ).0,[,,,2,1,)),(),(};({, HzMkzzzYzXS kkkpM −∈∀=γ=γλ K Доведення. Використовуючи позначення ∑ = λ λ λ = M k k p p zyxL zyxL zyxh 1 , , , ),,( ),,( ),,( і враховуючи властивості допоміжних функцій ),(),,(,0),,( 3 ,, RCzyxLzyxL pp ∈≥ λλ ,,,2,1,,)),(),((,,,2,1,0),,( ,,, MpkzzYzXhMpzyxh pkkkpp KK =δ==≥ λλ можна дійти висновку, що ∑ = λλ ∈γ⇒> M k pMk RCzyxSzyxL 1 3 ,, )(),,};({0),,( , оскільки чисель- ники ),,(, zyxLp λ у формулі для ),,(, zyxhp λ є неперервними функціями )(),,( 3 , RCzyxLp ∈λ . Для доведення другого твердження теореми 2 запишемо таку послідовність рівно- стей: ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 4 45 .,,2,1),( )( )),(),(( )),(),(()( )),(),(( )),(),(()( )),(),(};({ , , 1 ,, , 1 , 1 , 1 , , Mpz z zzYzXL zzYzXLz zzYzXL zzYzXLz zzYzXS p pp ppp M i ppipi ppk M k pkk M i ppi M k ppkk pppM K=γ= δ δγ = δ δγ = = γ =γ ∑ ∑ ∑ ∑ = λ λ = = λ = λ λ Таким чином, теорема 2 доведена. 2. Математичне моделювання розподілу корисних копалин методом узагальнень глобальної інтерполяційної формули Литвина Розглянемо для довільної MkzzzYzXfRCf kkk ,,2,1),()),(),((),( 3 K=γ=∈ , інтерлі- наційні оператори [8] ( ) ( ) ( ) ( ) .)()()()(;)()(),,( , ),,( ),,(),,( ,...,3,2,1),,,()(),,;( 22 , 22 ,1 , ,1 ,1 , ,, 1 ,,, zYzYzXzXdyzYxzXzyxd d zyxd d zyxdzyx MzyxzzyxfO kikikiiii M kii ki M kii iM kii ki i kM M k kMkM −+−=−+−= == =≥λγ= ∏ ∏ ∏ ∑ ≠= λ ≠= λ ≠= λ λ λ = λλ l l які для випадку Mkz kk ,,2,1,const)( K==γ=γ , є інтерполяційними операторами на нерегу- лярній сітці вузлів, запропонованими О. М. Литвином в 1990 р. [9] Теорема 3. Для кожної )(),,( 3RCzyxf ∈ виконуються співвідношення .,,2,1),()),(),(;( )(),,;( , 3 , MpzzzYzXfO RCzyxfO pppM M K=γ= ∈ λ λ Доведення. Дослідимо властивості допоміжних функцій ),,(,, zyxkM λl . Перш за все зазначимо, що знаменники ∏ ≠= M kii kid ,1 , λ у формулах для ),,(,, zyxkM λl – сталі величини і 0,},,...,1{,0, >λ≠∈∀>λ kiMkid ki , а чисельник – невід’ємна функція 0),,( ,1 ≥∏ ≠= λ M kii i zyxd . Тому 0;,,2,10),,(,, >λ=∀≥λ MkzyxkM Kl . Крім того, ,,,2,1, , )),(),(( )),(),(( )),(),(( , ,1 , ,1 , ,1 , ,1 ,1 , ,, Mpk d d d zzYzXd d zzYzXd zzYzX pkM kii ki M kii pi M kii ki M kii ppiM kii ki ppi ppkM K l = δ==== ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ≠= λ ≠= λ ≠= λ ≠= λ ≠= λ λ λ оскільки ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 4 46 { }⎩ ⎨ ⎧ ≠∈= = = ∏ ∏ ≠= λ ≠= λ .,,..,2,1,якщо,0 ,,1 ,1 , ,1 , kpMpip kp d d M kii ki M kii pi Отже, ,,)),(),(( ,,, kzzYzX pkppkM δ=λl Враховуючи це, можна записати таку послідо- вність рівностей: .,,2,1),()()),(),(()()),(),(;( 1 , 1 ,,, MpzzzzYzXzzzYzXfO p M k pkk M k ppkMkppM Kl =γ=δγ=γ= ∑∑ == λλ Теорема 3 доведена. Враховуючи, що знаменники у формулі для ),,(,, zyxkM λl – сталі числа, можна дійти висновку, що ),,(,, zyxkM λl – поліном степеня (M – 1)2r за змінними x, y, якщо λ = 2r, r = 1, 2, … [10]. Зауважимо, що базисні функції ),,(,, zyxkM λl є також функціями координат точок )),(),(;,,(),,(:,,2,1),),(),(( ,,,, zzYzXzyxzyxMkzzYzXD kMkMkkk λλ == llK і залежать, приро- дно, від розміщення цих координат MkzzYzXD kkk ,,2,1),),(),(( K= . Приклади показують, що поведінка ),,;(, zyxfOM λ , що використовує допоміжні фу- нкції вигляду ∏ ∏ ≠= λ ≠= λ λ = M kii ki M kii i kM d zyxd zyx ,1 , ,1 ,, ),,( ),,(l може спричинити великі коливання між точками MkzzYzXD kkk ,,2,1),),(),(( K= і, крім того, ∞→λ ),,(,, zyxkMl оскільки чисельник в них – необмежена величина при ∞→+ 22 yx . Це твердження є наслідком того, що оператори ),,;(, zyxfOM λ є очевидними узагальненнями поліноміальних інтерполяційних операторів Лагранжа від двох змінних на випадок нерегулярно розміщених вузлів. За теоремами Вейє- рштрасса, на замкнутому інтервалі [a, b] кожну неперервну функцію можна наблизити із заданою точністю ε > 0 алгебраїчним поліномом деякого степеня n = n(ε). Проте інтерполя- ційні оператори Лагранжа, як відомо [1], збігаються не для кожної неперервної функції при довільних вузлах інтерполяції. Наприклад, доведено, що інтерполяційний поліном Лагранжа з рівномірно розміщеними на інтервалі [–1, 1] вузлами інтерполяції для функції f(x) = \|x\| не збігається до цієї функції. Тому нижче розглянемо ще інші формули для ),,(,, zyxkM λl . Теорема 4. Якщо у формулі для ),,;(, zyxfOM λ замінити ),,(,, zyxkM λl на ),,(,, zyxL kM λ з раціональними допоміжними функціями , ),,( ),,( ),,( 1 ,1 ,, ,, ,, ∑ ∏ = ≠= λ λ λ = M p M kpp kM kM kM zyx zyx zyxL l l і якщо λ/2 ∈ N, то ),,;(, zyxfOM λ є додатним оператором інтерлінації MkzzzYzXfO kppM ,,2,1),()),(),(;(, K=γ=λ . Доведення. Перш за все, зауважимо, що при λ/2 ∈ N чисельник у формулі для допо- міжних функцій ),,(,, zyxkM λl є поліномом степеня (M – 1)λ за змінними x, y. Враховуючи, що знаменники у формулі для ),,(,, zyxkM λl – сталі числа, можна зробити висновок, що ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 4 47 ),,(,, zyxkM λl – поліном степеня (M – 1)λ за змінними x, y, тобто ),,;(, zyxfOM λ є раціональ- ним дробом, якщо λ/2 ∈ N. Щоб довести, що ці раціональні вирази створюють базис, запишемо таку послідов- ність рівностей: ⎩ ⎨ ⎧ =≠ = == ∑ = λ λ λ Mqkq kq zzYzX zzYzX zzYzXL M p qqpM qqkM qqkM ,,2,1,,0 ,1 )),(),(( )),(),(( )),(),(( 1 ,, ,, ,, K l l . Отже, при такому виборі ),,(,, zyxL kM λ виконуються співвідношення .,,2,1,,),,( ,,, MkzyxL pkkM Kδ=λ Повторюючи доведення теореми 3, отримуємо .,,2,1),()),(),(;(, MpzzzYzXfO qqqM K=γ=λ Теорема 4 доведена. Зауваження 1. Якщо λ – раціональне число: λ = m/n, то функції ),,(,, zyxkM λl можуть набувати дійсних значень лише за умови m ∈ Z, n = 2k – 1, k, = 1, 2, … оскільки вираз ( )( ) ( )( ))()()()()()( zYzYzYyzXzXzXx ikiiki −−+−− може бути як додатним, так і від’ємним. Зауваження 2. Таким чином, оператор ),,(,, zyxL kM λ буде додатним оператором для довільного λ ≥ 1, оскільки для будь-якого λ ≥ 1 виконуватимуться умови 1),,(0 ,, ≤≤ λ zyxL kM . Теорема 5. Якщо у формулі для ),,;(, zyxfOM λ покласти ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) , )()()()( )()()()()()(),,( ,1 22,, ∏ ≠= λ −+− −−+−− = M kii ikik ikiiki kM zYzYzXzX zYzYzYyzXzXzXxzyxl (2) то оператор ),,;(, zyxfOM λ теж буде оператором інтерлінації, якщо λ > 0, λ = 2q, q ∈ N, MkzzzYzXfO kkkM ,,2,1),()),(),(;(, K=γ=λ . Доведення виконується аналогічно доведенню теореми 4 на підставі використання таких рівностей: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ⎩ ⎨ ⎧ =≠ = = = −+− −−+−− = ∏ ∏ ≠= λ ≠= λ λ .,,2,1,,0 ,1 )()()()( )()()()()()()()( )),(),(( ,1 22 ,1 ,, Mpkp kp zYzYzXzX zYzYzYzYzXzXzXzX zzYzX M kii ikik M kii ikipikip ppkM K l Зауваження 3. Відмітимо, що допоміжні функції (2) є базисними поліномами міні- мального степеня, але як всі поліноміальні базисні інтерполянти мають великі відхилення між свердловинами, тоді як базисні функції з теореми 5 задовольняють умови 1),,(0 ,, ≤≤ λ zyxL kM . Висновок Таким чином, оператор OMf(x, y, z) є оператором інтерлінації функцій трьох змінних, який дозволяє відновлювати розподіл корисних копалин між похилими свердловинами Γk(z), k = 1, 2, …,M з використанням інформації про розподіл у свердловинах Γk(z), k = 1, 2, …,M. Кожній неперервній функції f(x, y, z) ∈ C(D) цей оператор ставить у відповідність теж непе- рервну функцію OMf(x, y, z) ∈ C(D). ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2013, Т. 16, № 4 48 Автори планують створити програмне забезпечення для запропонованих методів та алгоритмів побудови математичних моделей розподілу корисних копалин в корі планети на основі даних з кернів похилих свердловин. Література 1. Математичне моделювання розподілу корисних копалин між похилими свердловинами методом поліноміальної сплайн-інтерлінації функції / О. М. Литвин, О. О. Литвин, Н. І. Штепа, О. С. Чорна // Інформатика та системні науки: Матеріали ІІ Всеукраїн. наук.-практ. конф. ІСН-2011 17–19 бе- резня 2011. – Полтава: РВВ ПУЄТ, 2011. – 355 с. 2. Математична модель просторового розподілу корисних копалин кори землі за допомогою даних з кернів свердловин та інформації про розподіл на поверхні / О. М. Литвин, О. О. Литвин, Н. І. Штепа, О. С. Чорна // Інформатика та системні науки: Матеріали ІІІ Всеукраїн. наук.-практ. конф. ІСН-2012 1–3 березня 2012. – Полтава: РВВ ПУЄТ, 2012. – 179–181 с. 3. Математичне моделювання розподілу корисних копалин між похилими свердловинами методом поліноміальної інтерлінації функції / О. М. Литвин, О. О. Литвин, Н. І. Штепа, О. С. Чорна // Пи- тання оптимізації обчислень (ПОО-XXXVII): Пр. міжнарод. молодіжн. мат. шк. – К.: Інститут кі- бернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, 2011. – С. 94. 4. Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами сплайн-інтерлінації функцій / О. М. Литвин, Н. І. Штепа, C. І. Кулик, О. С. Чорна // Пробл. машинобудування. – 2013. – Т. 16, № 1. – С. 61–63. 5. Литвин О. Н. Интерполирование функций: Учеб. пособие / О. Н. Литвин. – Киев: УМК ВО. 1988. – 31 с. 6. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения / Н. П. Корнейчук. – М.: Наука, 1984. – 352 с. 7. Литвин О. М. Математичне моделювання розподілу корисних копалин методами інтерлінації та інтерфлетації функцій / О. М. Литвин, Н. І. Штепа, О. О. Литвин. – К.: Наук. думка, 2011. – 228 с. 8. Литвин О. М. Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою інтерлінації функцій трьох змінних / О. М. Литвин, Н. І. Штепа // Питання оптимізації обчислень (ПОО- XXXV): Пр. між народ. симпозіуму, Крим, смт. Кацивелі, 24–29 вересня 2009. – Т. 2. Київ. – 2009. – С. 20–24. 9. Литвин О. М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / О. М. Литвин. – Х.: Основа, 2002. – 544 с. 10. Литвин О. М. Методи обчислень. Додаткові розділи / О. М. Литвин. – К.: Наук. думка, 2005. – 331 с. Надійшла до редакції 12.11.13
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99157
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0131-2928
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T17:57:24Z
publishDate	2013
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
record_format	dspace
spelling	Литвин, О.О. Штепа, Н.І. Кулик, C.І. Чорна, О.С. 2016-04-23T15:21:37Z 2016-04-23T15:21:37Z 2013 Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами глобальної інтерлінації функцій / О.О. Литвин, Н.І. Штепа, C.І. Кулик, О.С. Чорна // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 39-48. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99157 519.6 Запропонований метод моделювання тривимірного розподілу корисних копалин методами глобальної інтерлінації на системі похилих свердловин, розміщених як в одній площині, так і довільним чином. Метод дозволяє відновлювати 3D розподіл корисних копалин між похилими свердловинами за допомогою інформації про розподіл в кернах свердловин. Предложен метод моделирования трехмерного распределения полезных ископаемых методами глобальной интерлинации на системе наклонных скважин, размещенных как в одной плоскости, так и произвольным образом. Метод позволяет восстанавливать 3D распределение полезных ископаемых между скважинами при помощи информации про распределение в кернах скважин. Building methods of three-demensional minerals distribution model on the base of minerals distribution at the every value of given system of inclined boreholes information and three variable functions interlineations methods are proposed in the article. uk Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Прикладная математика Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами глобальної інтерлінації функцій Article published earlier
spellingShingle	Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами глобальної інтерлінації функцій Литвин, О.О. Штепа, Н.І. Кулик, C.І. Чорна, О.С. Прикладная математика
title	Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами глобальної інтерлінації функцій
title_full	Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами глобальної інтерлінації функцій
title_fullStr	Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами глобальної інтерлінації функцій
title_full_unstemmed	Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами глобальної інтерлінації функцій
title_short	Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами глобальної інтерлінації функцій
title_sort	математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами глобальної інтерлінації функцій
topic	Прикладная математика
topic_facet	Прикладная математика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99157
work_keys_str_mv	AT litvinoo matematičnemodelûvannârozpodílukorisnihkopalinmížsistemoûneregulârnorozmíŝenihpohilihsverdlovinmetodamiglobalʹnoíínterlínacíífunkcíi AT štepaní matematičnemodelûvannârozpodílukorisnihkopalinmížsistemoûneregulârnorozmíŝenihpohilihsverdlovinmetodamiglobalʹnoíínterlínacíífunkcíi AT kulikcí matematičnemodelûvannârozpodílukorisnihkopalinmížsistemoûneregulârnorozmíŝenihpohilihsverdlovinmetodamiglobalʹnoíínterlínacíífunkcíi AT čornaos matematičnemodelûvannârozpodílukorisnihkopalinmížsistemoûneregulârnorozmíŝenihpohilihsverdlovinmetodamiglobalʹnoíínterlínacíífunkcíi

Математичне моделювання розподілу корисних копалин між системою нерегулярно розміщених похилих свердловин методами глобальної інтерлінації функцій

Institution

Similar Items