Динаміка обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас

Розглянуто теоретичний опис механіки обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас (СТЗЦМ). На основі загальних рівнянь динаміки твердого тіла побудовані рівняння поступального та обертального руху СТЗЦМ. Проаналізовано розв'язки цих рівнянь поблизу точки перевороту. Розраховано критичн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы машиностроения
Дата:	2015
Автор:	Шигорін, П.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2015
Теми:	Динамика и прочность машин
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99211
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Динаміка обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас / П.П. Шигорін // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 3. — С. 60-65. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859653042261983232
author	Шигорін, П.П.
author_facet	Шигорін, П.П.
citation_txt	Динаміка обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас / П.П. Шигорін // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 3. — С. 60-65. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы машиностроения
description	Розглянуто теоретичний опис механіки обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас (СТЗЦМ). На основі загальних рівнянь динаміки твердого тіла побудовані рівняння поступального та обертального руху СТЗЦМ. Проаналізовано розв'язки цих рівнянь поблизу точки перевороту. Розраховано критичну частоту обертання, за якої тіло перевертається зі стійкого стану в нестійкий. В работе рассмотрено теоретическое описание механики вращения сферического тела со смещённым центром масс (СТСЦМ). На основании общих уравнений динамики твердого тела были сконструированы уравнения поступательного и вращательного движения (СТСЦМ). Проанализировано решения этих уравнений вблизи точки переворачивания. Также рассчитано критическую частоту вращения, когда тело переворачивается из устойчивого состояния в неустойчивое. In the article has been considered the theoretical description of the rotational mechanics for the spherical body with displaced center of mass (SBDCM). In terms of the general equations for dynamics of a rigid body the equations of translational and rotational motion for SBDCM was constructed. The solution of these equations near turning-over point has been analyzed. The critical rotation frequency, when body turning from stable state to unstable was calculated too.
first_indexed	2025-12-07T13:36:18Z
format	Article
fulltext	ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 3 60 П. П. Шигорін, канд. фіз.-мат. наук Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки, м. Луцьк, e-mail: pashyh@gmail.com Ключові слова: сферичне тіло, динаміка, обертальний рух, стійкий стан. УДК 531.383, 62-752.4 ДИНАМІКА ОБЕРТАННЯ СФЕРИЧНОГО ТІЛА ЗІ ЗМІЩЕНИМ ЦЕНТРОМ МАС Розглянуто теоретичний опис механіки обертання сферичного тіла зі змі- щеним центром мас (СТЗЦМ). На основі загальних рівнянь динаміки твер- дого тіла побудовані рівняння поступального та обертального руху СТЗЦМ. Проаналізовано розв'язки цих рівнянь поблизу точки перевороту. Розраховано критичну частоту обертання, за якої тіло перевертається зі стійкого стану в нестійкий. Вступ Процес обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас є аналогічним до процесу обер- тання так званої дзиґи «Tippe Top», або дзиґи Томсона, що має властивість перевертатися у процесі обертання [1]. Як відомо [2], динаміка «звичайної» дзиґи характеризується такими особливостями: напрямок обертання постійно зберігається; у процесі обертання точка на дзизі, яка дотикається поверхні є не- змінною; відстань від центру тяжіння дзиґи до точки опори також є незмінною. На перший погляд здається, що ці три властивості повинні виконуватися для будь-якої дзиґи (яка не містить внутріш- нього джерела енергії). Проте нерівномірний розподіл маси по тілу дзиґи може привести до іншого характеру обертання, зокрема після початку обертання дзиґа перевертається і починає обертатися, дотикаючись до поверхні іншою точкою, причому центр мас підіймається вгору. Саме таку власти- вість має так звана дзиґа Томсона. Фізика «Tippe Top» надзвичайно складна і на цей момент вивчена частково, лише для вузько- го класу дзиґ. Вважається [3], що перевертання дзиґи пов'язане з виникненням прецесії під дією мо- менту сил тертя дзиґи по поверхні. Дана робота присвячена побудові на основі перших принципів рівнянь механіки СТЗЦМ. Ви- сновки, одержані на основі аналізу цих рівнянь, можуть бути використані для опису загальних влас- тивостей руху дзиґи типу «Tippe Top». Теоретична модель Перед тим як проводити побудову рі- внянь механіки СТЗЦМ, нагадаємо метод опису динаміки твердого тіла на основі кутів Ейлера. Для опису орієнтації твердого тіла у просторі розглядають три кути Ейлера (θ, ϕ, ψ). Ці кути визначають орієнтацію сис- теми ),,( ~ 321 ))) =K відносно фіксованої системи відліку ),,( zyx ))) =K (див. рис. 1). Тут x ) , y ) , z ) – одиничні вектори вздовж відповідних осей. Зауважимо, що площина 21 )) і площина yx )) перетинаються вздовж лінії вузлів. Кут θ –– кут між осями 3 ) та z ) . Він змінюється у ме- жах [0, π]. Кут ϕ –– кут між лінією вузлів та віссю x ) , він змінюється у межах [0, 2π]. Тре- тій кут ψ є кутом між лінією вузлів та віссю 1 ) , він також змінюється в межах [0, 2π].  П. П. Шигорін, 2015 Рис. 1. Кути Ейлера ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 3 61 Запровадимо матрицю перетворень ко- ординат R від системи відліку K до системи K ~           =           z y x R 3 2 1 ) ) ) ) ) ) . (1) Ця матриця виражається через кути Ей- лера таким чином [3]:           θψθψθ ϕθ−ψϕθ+ψϕ−ψϕθ+ψϕ ϕθψϕθ−ψϕ−ψϕθ−ψϕ = coscossinsinsin cossincoscoscossinsinsincoscoscossin sinsincossincossincossinsincoscoscos R . (2) Компоненти кутової швидкості ωωωω відно- сно системи відліку K ~ можна виразити через кути Ейлера 321ω ))) 321 ω+ω+ω= , (3) де      ψ+θϕ=ω ψθ−ψθϕ=ω ψθ+ψθϕ=ω .cos ,sincossin ,cossinsin 3 2 1 && && && Перейдемо до опису динаміки СТЗЦМ. Розглянемо модель сферичного тіла масою m та раді- усом R, яке знаходиться на горизонтальній площині в полі земного тяжіння (див. рис. 2). Геометрич- ний центр тіла знаходиться в точці S, центр мас – у точці O. Позначимо відстань між геометричним центром та центром мас через a. Позначимо вісь симетрії тіла через Oz (система відліку K ~ ). Вертикальна вісь системи OZ (система відліку K). Ці осі визначають площину Π , яка здійснює пре- цесію навколо осі OZ із кутовою швидкістю ΩΩΩΩ(t) = (0, 0, Ω), ϕ=Ω & (ϕ – кут Ейлера). Відстань від центру мас (точки O) до площини позначимо через h. Ця відстань буде функцією кута Ейлера θ. З рис. 2 випливає, що H = h(θ) = R – acosθ. Позначимо точку дотику тіла до поверхні через P. Тоді радіус-вектор цієї точки в системі від- ліку K буде мати координати XP = (XP, 0, ZP), де ).(,sin θ−= θ =θ= hZ d dh aX PP (4) У системі відліку K ~ (Oxyz) дзиґа обертається навколо осі Oz із кутовою швидкістю ψ& . На основі формули (3) знаходимо, що в системі відліку K ~ zxΩ )) θΩ+θΩ−= cossin . (5) Тоді кутова швидкість СТЗЦМ ωωωω буде визначатись як zyxω ))&) n+θ+θΩ−= sin , (6) де ψ+θΩ= &cosn . Вираз для кутового моменту нашого тіла знайдемо зі співвідношення L = Iωωωω. Оскільки осі Oy та Ox є головними осями, то на основі (6) вектор кутового моменту визнача- ється формулою Рис. 2. Модель СТЗЦМ ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 3 62 zyxL ))&) CnAA +θ+θΩ−= sin , (7) де (A, A, C) –– головні моменти інерції тензора інерції тіла I. На основі співвідношень (1) та (2) знаходимо вирази для компонент векторів фізичних вели- чин (6) та (7) в нерухомій системі відліку K ( ) ( ).cossin,,sin)cos( ,cossin,,sin)cos( 2 2 θ+θΩθθθΩ−= θ+θΩθθθΩ−= CnAAACn nn & & L ω (8) Рівняння руху в динаміці СТЗЦМ Еволюція в часі вектора кутового моменту визначається рівнянням Ейлера M L = dt d , де i i i FrM ×=∑ − вектор головного моменту зовнішніх сил. У нашому випадкові в рухомій системі відліку рівняння Ейлера має вигляд )( TP dt d FNXLΩ L +×=×+ , (9) де N = (0, 0, N) – нормальна реакція опори в точці P, FT = (FX, FY, 0) – сила тертя в точці P. Зауважи- мо, що ми розглядаємо випадок, коли тіло під час руху постійно дотикається до поверхні. Як показа- но у роботі [4], основним джерелом перевертання дзиґи є тертя ковзання, тому тертям кочення буде- мо нехтувати і враховувати лише силу тертя ковзання. Для сили тертя ковзання виберемо модель Ку- лона, згідно з якою FT = µN, µ – коефіцієнт тертя ковзання. Оскільки точка P лежить у площині Π, то для компонент вектора XP = (XP, 0, ZP) виконуються співвідношення (4). Запишемо рівняння руху для кутового моменту (9) покомпонентно із урахуванням виразів для векторів сил та співвідношень (5)         θ= θ = θ−θ−=Ω+ θ=Ω− .sin ,)(sin ,)( YY Z XX Y YY X FaF d dh dt dL FhNaL dt dL FhL dt dL (10) Розглядаючи перше та третє співвідношення цієї системи, можна помітити, що комбінація J d dh LhL PXZ ≡⋅−= θ −θ XL)( (11) є інтегралом руху, тобто J = const. Цей інтеграл руху буде відігравати важливу роль при аналізі динаміки СТЗЦМ. Перепишемо систему рівнянь (10) із урахуванням (8)      θ= θ−θ−θθΩ−Ω−=θ θ−+θθΩ−=θΩ .sin ,)(sinsin)cos( ,)cos()cos2(sin Y X Y FanC FhNaACnA FRaACnA & && && (12) Система диференціальних рівнянь описує обертальний рух СТЗЦМ. Доповнимо ці співвідно- шення рівняннями для поступального руху центра мас СТЗЦМ (точки O). Нехай uO = (uOX, uOY, uOZ) – вектор швидкості центра мас в системі відліку K. Другий закон Ньютона для руху центра мас має вигляд ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 3 63 ( ) gFNuΩu mm TOO ++=×+& . У проекціях на осі системи координат K це рівняння зводиться до системи      −= =Ω+ =Ω− . ,)( ,)( mgNum Fuum Fuum OZ YOXOY XOYOX & & & (13) Оскільки dt dh uOZ = , то ( ) ( ) ( )θθ+θθ=θθ=θ−== sincossincos 2 2 2 2 2 &&&&& aa dt d aR dt d dt hd u OZ . Тоді із третього рівняння (13) знаходимо вираз для модуля сили реакції опори ( )( )θθ+θθ+= sincos 2 &&&agmN . (14) Із цього співвідношення випливає, що сила реакції опори є співмірною із силою тяжіння у ви- падку, коли gaga <<θ<<θ &&& , 2 . Набір рівнянь (12), (13) та (14) описує динаміку дзиґи Томсона у моделі сферичного тіла зі зміщеним центром мас. Аналіз динаміки СТЗЦМ Для проведення аналізу динаміки СТЗЦМ на основі системи рівнянь, одержаних вище, запро- вадимо нову динамічну змінну ξ = Cn – AΩcosθ. У термінах ξ компоненти вектора кутового моменту L та інтеграл руху (11) набудуть вигляду )(sin,cos,sin 2 θ+θξ−=Ω+θξ=θξ= hLaJALL ZZX . (15) Для аналізу динаміки розглянемо такі параметри моделі: R = 1,5 см, a = 0,5 см, m = 25 г, g = 980 см/с2 , A/C = 0,85, µ = 0,1, та початкові умови 000 =Ω=θ& , 00 ≠n , 00 =u , 1,0~0θ рад. Для таких початкових умов одержимо 00000 cos CnACn =θΩ−=ξ , та )cos( 00 aRJ −θξ= . Перепишемо рівняння руху для кутового моменту (10) у термінах ξ із урахуванням (15). Оде- ржимо Ω+θθξ−θξ=θθξ+θξ= &&&&&&& ALL ZX sincos,cossin . Звідси      θ=Ω+θθξ−θξ θ−θ−=θξΩ+ θ=Ω−θθξ+θξ .sinsincos ,)(sinsin ,)(cossin Y XY YY FaA FhNaL FhL &&& & && Аналогічно для рівнянь (12) одержуємо Y FhJU )(),,(sin θ+θθξ=θξ && , (16) X FhJV Ah A )(sin),,( )( 1 θ−θθξ θ −=θ&& , (17) ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 3 64 де ми запровадили позначення ( ) θξ− θ −θξ− =θξ cos )( cos ),,( h aRJ JU , ( )( ) ).(cos),,( θ+ξ−θξ−=θξ AmgahaRJJV Рівняння (16) та (17) еквівалентні до системи рівнянь (12) і описують обертальну динаміку СТЗЦМ. За математичною структурою – це нелінійні диференціальні рівняння зі змінними коефіцієн- тами. Аналітичними методами розв’язати ці рівняння не вдається. Для розв’язання такого типу рів- нянь слід використовувати чисельні методи. Проаналізуємо рівняння (16) та (17) в наближеному вигляді. Зокрема, розглянемо динаміку СТЗЦМ у точці перегину змінної θ, що відповідає моменту перевороту тіла. У цьому випадкові друга похідна функції дорівнює нулю, тобто 0=θ&& . Врахуємо також, що якщо 0sin ≠θ , то другий член у рівнянні (17) є набагато меншим у порівнянні із першим, і ним можна знехтувати. Тоді із (17) випли- ває, що 0),,( =θξ JV . У явному вигляді це співвідношення приводить до такого рівняння: ( )( ) 0)(cos =θ+ξ−θξ− AmgahaRJ . (18) Його розв’язок має вигляд ( )( ) ( )aR aaRaRAmgJJ −θ θ−−θ+± =ξ± cos2 coscos4 2 . Таким чином, поблизу точки перегину змінної θ та коли sinθ ≠ 0, величина ξ буде знаходитися на кривій ξ+ або ξ–. Чисельний аналіз співвідношення (18) показує, що параметр ξ еволюціонує від початкового значення ξ0 = Cn0 таким чином, що у початкові моменти часу спостерігаються флуктуа- ції навколо ξ–, які зі збільшенням кута θ затухають. Лише поблизу стану θ = π знову збільшується ам- плітуда цих флуктуацій. У границі 1 2 << J aAmgR та Ra << , ми одержимо aR J −θ ≈ξ+ cos , J AmgaR −≈ξ− . Нарешті, знайдемо мінімальну частоту обертання СТЗЦМ, за якої може відбутися перевер- тання. Скористаємося виразом для інтеграла руху (11), який запишемо у вигляді J = Cn(Rcosθ – a) + AΩRsin 2θ = const. Розглянемо цей вираз у двох випадках θ = 0 та θ = π (перевернутий стан). Маємо J = Cn0(R – a) та J = Cnπ(–R – a). Звідси одержуємо π + − = n aR aR n0 . Значення nπ можна визначити з умови стабільності обертання дзиґи Томсона [5]       +       −+ =π R a C A R a C mga n 1 1 . Таким чином, одержуємо вираз для критичної частоти, за якої відбувається перевертання aR aR R a C A R a C mga n aR aR n + −       +       −+ = + − = π 1 1 0 . Для розглянутої у роботі моделі одержуємо значення критичної частоти ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 3 65 срадcn /13822 13 13 3 1 1 85,0 3 1 10015,0025,0 5 2 005,08,9025,0 1 2 0 ≈≈ + −       +       −+⋅ ⋅⋅ = − . Висновки У даній роботі побудовано систему рівнянь динаміки обертального та поступального руху для моделі сферичного тіла зі зміщеним центром мас. Одержані рівняння мають вигляд системи неліній- них диференціальних рівнянь. Проведено теоретичний аналіз рівнянь для випадку, коли стан системи відповідає моменту перевертання тіла зі стійкого у нестійкий стан, у якому центр мас системи піді- ймається вгору. Показано, що параметр ξ, який визначає залежність частоти обертання тіла від кута нахилу, еволюціонує від початкового значення ξ0 = Сn0 таким чином, що у початкові моменти часу спостерігаються флуктуації навколо ξ–, які зі збільшенням кута θ затухають. Поблизу стану θ = π зно- ву збільшується амплітуда цих флуктуацій. Також було розраховано критичне значення частоти обе- ртання СТЗЦМ, за якої може відбутися її перевертання. Для подальшого аналізу динаміки СТЗЦМ слід застосувати методи чисельного інтегрування нелінійних диференціальних рівнянь до одержаних у роботі рівнянь руху. Література 1. Сивухин, Д. В. Общий курс физики : в 5 т. Изд. 5-е, стереотип. / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит, 2006. – Т. I. Механика. – 560 с. – ISBN 5-9221-0715-1. 2. Алешкевич, В. А. Лекции по механике твердого тела / В. А. Алешкевич, Л. Г. Деденко, В. А. Караваев. – М.: МГУ, 1997. – 98 с. 3. Karapetyan, A. V. Qualiative investigation of the dynamics of a top on a plane with friction / A. V. Karapetyan // J. Appl. Math. Mech. – 1991. –Vol. 55. – P. 563–565. 4. Rauch-Wojciechowski S. Mathematical Analysis of the Tippe Top / S. Rauch-Wojciechowski, M. Skoldstam, and T. Glad // Regul. Chaotic Dyn. – 2005. – Vol. 10 – P. 333–362. 5. Ebenfeld, S. New Analysis of the Tippe Top: Asymptotic States and Liapunov Stability / S. Ebenfeld, F. Scheck // Annals of Physics. – 1995. – Vol. 243. – P. 195–217. Надійшла до редакції 12.09.15
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99211
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0131-2928
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T13:36:18Z
publishDate	2015
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
record_format	dspace
spelling	Шигорін, П.П. 2016-04-24T16:12:15Z 2016-04-24T16:12:15Z 2015 Динаміка обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас / П.П. Шигорін // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 3. — С. 60-65. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99211 531.383, 62-752.4 Розглянуто теоретичний опис механіки обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас (СТЗЦМ). На основі загальних рівнянь динаміки твердого тіла побудовані рівняння поступального та обертального руху СТЗЦМ. Проаналізовано розв'язки цих рівнянь поблизу точки перевороту. Розраховано критичну частоту обертання, за якої тіло перевертається зі стійкого стану в нестійкий. В работе рассмотрено теоретическое описание механики вращения сферического тела со смещённым центром масс (СТСЦМ). На основании общих уравнений динамики твердого тела были сконструированы уравнения поступательного и вращательного движения (СТСЦМ). Проанализировано решения этих уравнений вблизи точки переворачивания. Также рассчитано критическую частоту вращения, когда тело переворачивается из устойчивого состояния в неустойчивое. In the article has been considered the theoretical description of the rotational mechanics for the spherical body with displaced center of mass (SBDCM). In terms of the general equations for dynamics of a rigid body the equations of translational and rotational motion for SBDCM was constructed. The solution of these equations near turning-over point has been analyzed. The critical rotation frequency, when body turning from stable state to unstable was calculated too. uk Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Динамика и прочность машин Динаміка обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас Rotational dynamics for the spherical body with displaced center of mass Article published earlier
spellingShingle	Динаміка обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас Шигорін, П.П. Динамика и прочность машин
title	Динаміка обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас
title_alt	Rotational dynamics for the spherical body with displaced center of mass
title_full	Динаміка обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас
title_fullStr	Динаміка обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас
title_full_unstemmed	Динаміка обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас
title_short	Динаміка обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас
title_sort	динаміка обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас
topic	Динамика и прочность машин
topic_facet	Динамика и прочность машин
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99211
work_keys_str_mv	AT šigorínpp dinamíkaobertannâsferičnogotílazízmíŝenimcentrommas AT šigorínpp rotationaldynamicsforthesphericalbodywithdisplacedcenterofmass

Динаміка обертання сферичного тіла зі зміщеним центром мас

Репозитарії

Схожі ресурси