Зарождение трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле
Дается математическое описание расчетной модели зарождения трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле. При нагружении изотропной среды силовой нагрузкой в материале среды возникают зоны предразрушения, которые моделируются как зоны, где ослаблены межчастичные связи материала. Использ...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99220 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Зарождение трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле / Р.У. Оруджева // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 4/1. — С. 52-58. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859611665364942848 |
|---|---|
| author | Оруджева, Р.У. |
| author_facet | Оруджева, Р.У. |
| citation_txt | Зарождение трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле / Р.У. Оруджева // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 4/1. — С. 52-58. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы машиностроения |
| description | Дается математическое описание расчетной модели зарождения трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле. При нагружении изотропной среды силовой нагрузкой в материале среды возникают зоны предразрушения, которые моделируются как зоны, где ослаблены межчастичные связи материала. Используется модель зоны предразрушения со связями между берегами. Трещинообразование принимается как процесс перехода зоны предразрушения в зону разорванных связей между поверхностями материала изотропной среды. Взаимодействие между берегами зоны предразрушения моделируется связями между берегами зоны предразрушения, закон деформирования которых принят заданным. Размер зоны предразрушения заранее неизвестен и определяется в процессе решения задачи. Задача о равновесии зоны предразрушения (зоны ослабленных межчастичных связей материала) в изотропной среде под действием неоднородного напряженного поля сводится к решению системы двух интегродифференциальных уравнений. Интегральные уравнения затем сводятся к системе нелинейных алгебраических уравнений, которая решается методом последовательных приближений. Непосредственно из решения полученных алгебраических систем определяются усилия в связях и раскрытие берегов зоны предразрушения. Сформулирован критерий зарождения трещины. Найдены усилия в связях между берегами зоны предразрушения, размер зоны предразрушения, предельные внешние нагрузки, при которой происходит появление трещины в среде. Анализ предельно-равновесного состояния изотропной среды, при котором появляется трещина, сводится к параметрическому исследованию полученных алгебраических систем и критерия появления трещины при различных законах деформирования связей, упругих постоянных материала и геометрических характеристиках среды.
Дається математичний опис розрахункової моделі зародження тріщини в ізотропному середовищі в неоднорідному напруженому полі. Використовується модель зони передруйнування зі зв’язками між берегами. Задача про рівновагу зони передруйнування (зони ослаблених міжчасткових зв’язків матеріалу) в ізотропному середовищі під дією неоднорідного напруженого поля зводиться до розв’язання системи двох інтегродиференційних рівнянь. Інтегральні рівняння потім зводяться до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь, яка розв’язується методом послідовних наближень. Сформульовано критерій зародження тріщини. Знайдено зусилля в зв’язках між берегами зони передруйнування, її розмір, граничні зовнішні навантаження, за яких в середовищі виникає тріщина.
We give a mathematical description of a calculation model for cracking in an isotropic medium under influence of non-uniform stress field. When the isotropic medium is loading by traction load in the material of medium was appear a prefracture zone which is modeled as a zone of weakened interparticle bonds of the material. A model
of the pre-fracture zone with bonds between the faces is used. Cracking is assumed as the transition from the pre-fracture zone to zone of the broken bonds between the surfaces of the isotropic medium material. The
interaction between the faces of prefracture zone is modeled by bonds between the faces of prefracture zone with given deformation law. Size of the prefracture zone is unknown in advance and determined in the process of
problem solving. The equilibrium problem of the prefracture zone (zone of weakened interparticle bonds of material) in an isotropic medium under the influence of non-uniform stress field is reduced to solving a system of
two integro-differential equations. Then the integral equations are reduced to a system of nonlinear algebraic equations which is solved by method of successive approximations. Directly from the solution of algebraic
systems the tractions in the bonds and disclosure of prefracture zone faces are determined. Criterion of the crack initiation is formulated. The tractions in the bonds between the prefracture zone faces, the size of the prefracture
zone and the limit external load, at which in the medium a crack is occurrence, are found. Analysis of limit-equilibrium state of the isotropic medium, at which a crack is occurrence, is reduced to the parametric
studies of obtained algebraic systems and the criterion of crack appearance with the various laws of bonds deformation, elastic constants of the material and geometric characteristics of the medium.
|
| first_indexed | 2025-11-28T13:13:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/1 52
9. Козюрин, С. В. Динамика и прочность рабочих колес со сдвоенными листовыми лопатками осевых вентиля-
торов главного проветривания: Aвтореф дис. … д-ра техн. наук /Козюрин Сергей Владимирович, – Новоси-
бирск, 2004. – 125 с.
10. Мелехина, О. В. Проектирование и анализ нового шахтного вентилятора инструментом ANSYS Workbench
[Электронный ресурс] / О. В. Мелехина, Г. С. Новаковский. – Режим доступа: или URb: http://www.mining-
media.ru/ru/article/newtech/118-proektirovanie-i-analiz-novogo-shakhtnogo-ventilyatora-instrumentom-ansys-
workbench. – 17.05.2011 г.
11. Temperature, density, specific heat, thermal conductivity, expansion coefficient, kinematic viscosity and Prandtl's
number for temperatures ranging –150–400 °C [Электронный ресурс] – Режим доступа: или URb:
http://www.engineeringtoolbox.com/air-properties-d_156.html.
12. Кубо, Р. Термодинамика / Р. Кубо. – М.: Мир, 1970. – 304 с.
13. Биргер, И. А. Прочность и устойчивость: В 2-х т. / И. А. Биргер, Я. Г. Пановко. – М.: Машиностроение, 1988.
– Т. 1 – 831 с.
14. Серенсен, С. Динамическая прочность в машиностроении / С. Серенсен, И. Тетельбаум. – Л.: Гос. науч.-
техн. изд. машиностроит. лит., 1940. – 376 с.
15. Бабаков, И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. – М.: Дрофа, 2004. – 591 с.
16. Колесников, К. С. Вибрации в технике. Колебания машин, конструкций и их элементов / К. С. Колесников. –
М.: Машиностроение, 1978. – 544 с.
Поступила в редакцию 25.10.15
Р. У. Оруджева,
канд. физ.-мат. наук
Азербайджанский
аграрный университет
Азербайджан, г. Баку,
e-mail: brrustam@mail.ru
Ключові слова: ізотропне
середовище в неоднорідному
напруженому полі, зона пере-
друйнування зі зв’язками між
берегами, сила зчеплення,
зародження тріщини.
УДК 539.375
ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ИЗОТРОПНОЙ
СРЕДЕ В НЕОДНОРОДНОМ НАПРЯЖЕННОМ
ПОЛЕ
Дається математичний опис розрахункової моделі зародження тріщини в
ізотропному середовищі в неоднорідному напруженому полі. Використовуєть-
ся модель зони передруйнування зі зв’язками між берегами. Задача про рівно-
вагу зони передруйнування (зони ослаблених міжчасткових зв’язків матеріалу)
в ізотропному середовищі під дією неоднорідного напруженого поля зводиться
до розв’язання системи двох інтегродиференційних рівнянь. Інтегральні рів-
няння потім зводяться до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь, яка
розв’язується методом послідовних наближень. Сформульовано критерій за-
родження тріщини. Знайдено зусилля в зв’язках між берегами зони передруй-
нування, її розмір, граничні зовнішні навантаження, за яких в середовищі вини-
кає тріщина.
Введение
Разрушение реальных материалов является сложным процессом и для различных материалов
протекает по-разному в зависимости от особенностей структуры материала, его химического состава,
вида напряжения и прочих факторов. В настоящее время известно несколько механизмов трещинооб-
разования [1–4]. Для практики исследования вопросов зарождения трещины в материалах и конст-
рукциях имеет важное значение.
Постановка задачи
Рассмотрим однородную изотропную среду. На бесконечности действуют напряжения, яв-
ляющиеся полиноминальными функциями декартовых координат х и у. По мере нагружения среды
силовой нагрузкой в ней будут возникать зона предразрушения, которую моделируем как область
ослабленных межчастичных связей материала. Трещинообразование в среде под действием силовой
нагрузки исследуется с помощью модели зоны предразрушения со связями между берегами [3]. Раз-
меры зоны предразрушения заранее неизвестны и зависят от вида материала. Принято, что между
берегами зоны предразрушения имеются связи (силы сцепления между частицами материала среды),
Р. У. Оруджева, 2015
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/1 53
физическая природа которых также определяется ти-
пом материала. Межчастичные связи моделируют
взаимодействие между берегами зоны предразрушения
и имеют заданную диаграмму деформирования. Будем
считать, что закон деформирования межчастичных свя-
зей задан. Отметим, что в общем случае он является
нелинейным. Законы деформирования связей рассмат-
ривались в работах [5–8] для различных материалов.
Зона предразрушения мала по сравнению с ос-
тальной частью изотропной среды и её можно мыслен-
но заменить разрезами, поверхности которых взаимо-
действуют по некоторому закону, соответствующему
действию удаленного материала среды, где он дефор-
мируется за пределом упругости. Зона предразрушения считается ориентированной в направлении
максимальных растягивающих напряжений, возникающих в среде под действием силовой нагрузки.
Пусть ось х системы координат Оху совмещена с линией зоны предразрушения (a ≤ x ≤ b)
(рис. 1). Взаимодействие между берегами зоны предразрушения (связи между берегами) сдерживает
зарождение трещины. Требуется найти напряженно-деформированное состояние изотропной среды и
определить предельную нагрузку, при которой произойдет трещинообразование. При действии сило-
вой нагрузки на изотропную среду в связях, соединяющих берега зоны предразрушения, будут воз-
никать усилия q(x) = qy(x) + iqxy(x). Величина напряжений qy, qxy, как и размер зоны предразрушения,
заранее неизвестны и определяются в процессе решения задачи механики разрушения о зарождении
трещины.
Граничное условие рассматриваемой задачи будет иметь вид
σy + iτxy = q(x) при y = 0, a ≤ x ≤ b. (1)
Здесь напряжения являются полиноминальными функциями декартовых координат x и y на беско-
нечности.
В постановку рассматриваемой задачи механики разрушения о зарождении трещины в изо-
тропной среде входит соотношение, связывающее усилия в связях и раскрытие берегов зоны пред-
разрушения
)]()()[,()()( 1111 xiqxqxiuuivv
xyy
−σΠ=−−− −+−+
, (2)
где функция Π(x, σ) рассматривается как зависящая от натяжения связей их эффективная податли-
вость;
22
xyy qq +=σ – модуль вектора усилий в соответствующих связях; )( 11
−+ − vv – нормальная,
)( 11
−+ − iuu – касательная составляющие раскрытия берегов зоны предразрушения.
Для определения значения внешней нагрузки, при которой происходит зарождении трещины,
необходимо условие (критерий) появления трещины (разрыва межчастичных связей материала). В
качестве такого условия можно взять критерий критического раскрытия берегов зоны предразруше-
ния
ciuuivv δ=−−− −+−+
)()( 1111 , (3)
где δc – характеристика сопротивления материала изотропной среды трещинообразованию.
Метод решения задачи
С помощью принципа суперпозиции напряженное состояние в среде с зоной предразрушения
со связями между берегами представим в виде суммы двух напряженных состояний
101010
,,
xyxyxyyyyxxx
τ+τ=τσ+σ=σσ+σ=σ , (4)
где
0
xσ ,
0
y
σ ,
0
xy
τ – компоненты тензора напряжений в сплошной среде (без зоны предразрушения),
при действии на бесконечности напряжений, являющихся полиномиальными функциями декартовых
Рис. 1. Расчетная схема задачи
о зарождении трещины
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/1 54
координат x и y;
1
xσ ,
1
y
σ ,
1
xy
τ – компоненты тензора напряжений в среде с зоной предразрушения с
исчезающими на бесконечности напряжениями.
Для компонент напряжений
0
xσ ,
0
y
σ ,
0
xy
τ имеем
[ ]
....)(
,...)(
,)()()()(2
,,)()(2
2
2
1
100
2
2
1
100
000
000
00
00
m
mmm
m
mmm
xyxy
yx
BzBzBzBz
AzAzAzAz
zzzzzi
iyxzzz
++++=Ψ
++++=Φ
Φ′−+Ω+Φ=τ+σ−σ
+=Φ+Φ=σ+σ
−−
−−
(5)
Функции (5) в зависимости от значений коэффициентов Aj и Bj (j = 0, 1, 2, …, m) определяют
напряженное состояние в изотропной среде без зоны предразрушения.
С учетом формул (4) краевое условие (1) запишем в виде
( ) .,0,
0011
bxayiiqqi
xyyxyyxyy
≤≤=τ−σ−−=τ−σ (6)
Напряжения
1
xσ ,
1
y
σ ,
1
xy
τ и перемещения u1, v1 выразим через две кусочно-аналитические
функции комплексного переменного Φ(z) и Ω (z) [9]
( )
,)()()()(2
,)()()()(
11
11
zzzzz
x
ivu
zzzzzi
xyy
Φ′−−Ω−Φκ=
∂
+∂
µ
Φ′−+Ω+Φ=τ−σ
(7)
где µ – модуль сдвига материала; κ = (3 – ν)/(1 + ν) для плоско-напряженного состояния, κ = 3 – 4ν
для плоской деформации; ν – коэффициент Пуассона материала среды.
На основании краевого условия (6) приходим [9] к задаче линейного сопряжения с разрывны-
ми коэффициентами
[ ] [ ]
[ ] [ ] ,0)()()()(
),(2)()()()(
=Ω−Φ−Ω−Φ
=Ω+Φ+Ω+Φ
−+
−+
tttt
tftttt
(8)
где t – аффикс точек контура зоны предразрушения; ( )00
)(
xyyxyy
iiqqtf τ−σ−−= на bta ≤≤ .
Напряжения в изотропной среде должны быть ограниченными, поэтому и решение краевой
задачи (8) должно быть найдено в классе всюду ограниченных функций. Запишем его в виде
∫ −−−π
=Ω=Φ
b
a
ztbtat
dttf
i
xT
zz
)())((
)(
2
)(
)()( . (9)
При z → ∞ ( )zOzbzazxT /1))(()( +=−−= . Корень под знаком интеграла представляет со-
бой значение ветви соответствующей функции, выделяемой приведенным условием на верхнем бере-
гу зоны предразрушения. Из условия разрешимости краевой задачи (8) имеем два соотношения
0
)(
)(
,0
)(
)(
== ∫∫ ++
b
a
b
a
dt
tT
ttf
dt
tT
tf
. (10)
С помощью соотношений (10) определяем неизвестные величины a и b, характеризующие
размер зоны предразрушения.
Неизвестные напряжения qy(x) и qxy(x) находятся из дополнительного соотношения (2). Ис-
пользуя полученное решение задачи , определяем раскрытие между противоположными берегами
зоны предразрушения. С помощью второго соотношения (7) и граничных значений комплексных по-
тенциалов на отрезке y = 0, a ≤ x ≤ b, получаем
( ) ( ) )()(
1
2
1111 xxvv
x
iiuu
x
−+−+−+ Φ−Φ=
−
∂
∂
+−
∂
∂
κ+
µ
.
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/1 55
Используя формулы Сохоцкого–Племеля [9], с учетом формулы (9) находим
∫ −−−π
−−
=Φ−Φ −+
b
a
dt
xtbtat
tf
i
bxax
xx
)())((
)())((
)()( .
Для определения усилий в связях получаем нелинейное сингулярное интегродифференциаль-
ное уравнение
[ ])()(),(
)())((
)())((
2
1
xiqxqx
dx
d
dt
xtbtat
tfbxax
xyy
b
a
+σΠ=
−−−π
−−
µ
κ+
− ∫ . (11)
Отделяя в (11) действительные и мнимые части, имеем систему нелинейных сингулярных ин-
тегродифференциальных уравнений относительно qy(x) и qxy(x)
[ ])(),(
1
2
)(
)())((
)(
))((
1
xqx
dx
d
xfdt
xttbat
tq
xbax
y
b
a
y
y
σΠ
κ+
µ
=
+
−−−
−−
π
− ∫ . (12)
[ ])(),(
1
2
)(
)())((
)(
))((
1
xqx
dx
d
xfdt
xttbat
tq
xbax
xy
b
a
xy
xy
σΠ
κ+
µ
=
+
−−−
−−
π
− ∫ . (13)
Здесь ∫ −−−
σ
−=
b
a
y
y
dt
xttbat
xf
)())((
)(
0
, ∫ −−−
τ
−=
b
a
xy
xy
dt
xttbat
xf
)())((
)(
0
.
Перейдем к алгебраизации интегродифференциальных уравнений (12), (13) с дополнитель-
ными условиями (10). Сделав замену переменных
η
−
+
+
=τ
−
+
+
=
22
,
22
abba
x
abba
t ,
приводим все интервалы интегрирования в уравнениях (12), (13) и в дополнительных условиях (10) к
одному интервалу [–1, 1].
Левые части интегродифференциальныхо уравнений (12), (13) соответственно принимают вид
.)(
)(1
)(
1
1
,)(
)(1
)(
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
η+
η−ττ−
ττ
η−
π
−
η+
η−ττ−
ττ
η−
π
−
∫
∫
−
−
xy
xy
y
y
f
dq
f
dq
(14)
Производную, входящую в правую часть уравнений (12), (13), заменяем для произвольного
внутреннего узла конечно-разностной аппроксимацией
[ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
,
2
)()(,)()(,
)(),(
,
2
)()(,)()(,
)(),(
111111
111111
x
xqxxСxqxxС
xqx
dx
d
x
xqxxСxqxxС
xqx
dx
d
ixyiiixyii
ixy
iyiiiyii
iy
∆
σ−σ
=σΠ
∆
σ−σ
=σΠ
−−−+++
−−−+++
(15)
учитывая при этом граничные условия при 10 ±=η : 0)()( == bqaq
yy
; 0)()( == bqaq
xyxy
,
соответствующие условиям 0)0,()0,( =− −+
avav ; 0)0,()0,( =− −+
bvbv ; 0)0,()0,( =− −+
auau ;
0)0,()0,( =− −+
bubu . Используя квадратурную формулу
∑∑∫
−
==−
θθ
θ
=τ
η−ττ−
τ
π
1
01
1
1
2
sincos
sin
1
)(1
)(
2
1
M
m
k
M
k
k
mg
M
d
g
,
),,2,1(,
2
12
,cos,cos Mm
M
m
mmm K=π
−
=θθ=ηθ=τ ,
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/1 56
заменяем конечными суммами интегралы в (14) и конечноразностными аппроксимациями (15)
производные в правых частях уравнений (12) и (13). Приведенные выше формулы дают возможность
каждое интегродифференциальное уравнение заменить системой алгебраических уравнений
относительно приближенных значений искомой функции в узловых точках. В результате получаем
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
).,,2,1(
(,)(,
)(4
)1(
1
1
sincos
2
,(,)(,
)(4
)1(
1
1
sincos
2
1,111,11
,
2
1
01
,
1,111,11
,
2
1
01
,
Mm
qxxСqxxС
ab
M
fkkq
M
qxxСqxxС
ab
M
fkkq
M
mxymmmxymm
mxym
M
k
mk
M
v
vxy
mymmmymm
mym
M
k
mk
M
v
vy
K=
σ−σ
µ−
κ+
−=
=η−
π
+
θθ
σ−σ
µ−
κ+
−=
=η−
π
+
θθ
−−−+++
−
==
−−−+++
−
==
∑∑
∑∑
(16)
Принимая во внимание, что
2
ctgsincos2
1
0
vm
M
k
mv
kk
θθ
=θθ∑
−
=
m
,
алгебраические системы (16) приводим к виду
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ],)(,)(,
)(4
)1(
1
1
,)(,)(,
)(4
)1(
1
1
1,111,11
1
,
2
,
1,111,11
1
,
2
,
−−−+++
=
−−−+++
=
σ−σ
µ−
κ+
=η−
π
−
σ−σ
µ−
κ+
=η−
π
−
∑
∑
mxymmmxymm
M
v
mxymvxymv
mymmmymm
M
v
mymvymv
qxxСqxxС
ab
M
fqA
qxxСqxxС
ab
M
fqA
где )(, vyvy qq τ= ; )(, vyvxy qq τ= ; )(, mymy ff τ= ; )(, mxymxy ff τ= ; 11 )()(2 ++ η−++=
mm
abbax ;
2
ctg
1 vm
mv
M
A
θθ
−=
m
, верхний знак берется, если число vm − нечетно и нижний, если оно четно.
Для алгебраизации уравнений для определения параметров а и b (условий разрешимости
краевой задачи) используем замену переменных и квадратурную формулу Гаусса. В результате усло-
вия разрешимости задачи находим в виде
для интегрального уравнения (12)
∑∑∑∑
=ν=ν=ν=ν
τστ−=τττσ−=τ
M
vyv
M
vyv
M
vy
M
vy
qq
1
0
11
0
1
)()(,)()( ;
для интегрального уравнения (13)
.)()(,)()(
1
0
11
0
1
∑∑∑∑
=ν=ν=ν=ν
τττ−=ττττ−=τ
M
vxyv
M
vxyv
M
vxy
M
vxy
qq
В итоге вместо каждого сингулярного интегродифференциального уравнения с соответст-
вующими дополнительными уравнениями получаем M + 2 алгебраических уравнений для определе-
ния напряжений qy(x) и qxy(x) в узловых точках и размеров зоны предразрушения.
На основе полученного решения условие появления трещины в изотропной среде запишется в
виде
( ) cxxx δ=σσΠ ∗∗∗ )()(, ,
где ∗x – точка, в которой имеет место разрыв связей на берегах зоны предразрушения.
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/1 57
Поскольку размер зоны предразру-
шения является заранее неизвестной величи-
ной, полученные системы уравнений оказы-
ваются нелинейными даже при линейно-
упругих связях. Для их решения использовал-
ся в случае линейного закона деформирова-
ния связей метод последовательных прибли-
жений [10]. В случае нелинейного закона для
определения усилий в зоне предразрушения
также использовался алгоритм, подобный ме-
тоду упругих решений [11]. Закон деформи-
рования межчастичных связей полагался ли-
нейным при *VV ≤ . При *)( VxV > выполня-
ются последующие итерации и для них реша-
ется система уравнений в каждом приближе-
нии, причем эффективная податливость свя-
зей переменна вдоль зоны предразрушения и
зависит от величины модуля вектора усилий в
связях, полученного на предыдущем шаге
расчета. Эффективной податливость определяется подобно секущему модулю в методе переменных
параметров упругости [12]. Процесс последовательных приближений заканчивается, когда получен-
ные на двух последовательных шагах усилия в зоне предразрушения, мало отличаются. Алгебраиче-
ская система в каждом приближении решалась численно методом Гаусса с выбором главного элемента.
Совместное решение полученных уравнений и условия (3) позволяет при заданных характе-
ристиках связей определить критическую величину внешней нагрузки и размер зоны предразрушения
для состояния предельного равновесия, при которых происходит появление трещины. Выбирая мно-
гочлены (5) определенного вида, получим решение практических важных задач. Полагая в формулах
(5)
,0,
4
3
,0,0
,0,
4
,0,0
3210
3210
====
====
B
I
M
BBB
A
I
M
AAA
где I – момент инерции площади сечения полосы, можно увидеть, что в этом случае функции Φ0(z) и
Ω0(z) дают решение задачи о чистом изгибе моментами М бесконечной полосы (балки) без полосы
предразрушения.
При
I
qc
B
c
L
I
q
BB
I
q
B
I
qc
A
c
L
I
q
AA
I
q
A
12
,
5
11
3
8
,0,
24
7
,
12
,
5
2
8
,0,
24
3
3
2
2
210
3
3
2
2
210
=
−===
−=
+===
функции (5) дают решение задачи об изгибе балки длиной 2L без зоны предразрушения, когда балка
нагружена равномерным давлением интенсивностью q. В этом случае принято, что балка свободно
расположена на двух опорах, а опорные реакции определяются как касательные усилия, приложен-
ные к торцам балки. Если же
,0,
4
)2(
,
8
,0 3210 =
−
−=−== A
I
dLQ
A
I
iQ
AA
Рис. 2. Зависимость длины зоны предразрушения
от безразмерной нагрузки при чистом изгибе
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/1 58
,
2
,
4
)2(3
,
8
5
,0
2
32
10
I
iQс
B
I
dLQ
B
I
iQ
BB
−=
−
−=
==
то функции (5) дают решение задачи об изги-
бе жестко защемленной консольной балки без
зоны предразрушения под действием посто-
янной поперечной силы Q, приложенной на ее
свободном конце.
На рис. 2 представлена зависимость
длины зоны предразрушения от безразмерной
нагрузки Mизг/MS при чистом изгибе. В расче-
тах принималось ν = 0,3; M = 30. На рис. 3 по-
казана зависимость безразмерной предельной
нагрузки
cS
c
Ech
M
M
δσ
=
1
2
3
3
изг от относитель-
ной длины зоны предразрушения (b – a)/c, где
σS – предел текучести материала среды на рас-
тяжение, MS = σSh
2
/4.
Заключение
Анализ предельно-равновесного со-
стояния изотропной среды, при котором по-
является трещина, сводится к параметрическому исследованию полученных алгебраических систем и
критерия появления трещины при различных законах деформирования связей, упругих постоянных
материала и геометрических характеристиках среды. Непосредственно из решения полученных ал-
гебраических систем определяются усилия в связях и раскрытие берегов зоны предразрушения.
Литература
1. Левин, В. А. Избранные нелинейные задачи механики разрушения / В. А. Левин, Е. М. Морозов,
Ю. Г. Матвиенко. – М.: Физматлит. 2004. – 408 с.
2. Мирсалимов, В. М. Зарождение дефекта типа трещины во втулке контактной пары / В. М. Мирсалимов //
Мат. моделирование. – 2005. – T. 17, № 2. – C. 35–45.
3. Мирсалимов, В. М. К решению задачи механики контактного разрушения о зарождении и развитии трещины
со связями между берегами во втулке фрикционной пары / В. М. Мирсалимов // Прикл. математика и меха-
ника. – 2007. – T. 71, Вып. 1. – C. 132–151.
4. Панасюк, В. В. Механика квазихрупкого разрушения материалов / В. В. Панасюк. – Киев: Наукова думка,
1991. – 416 с.
5. Гольдштейн, Р. В. Моделирование трещиностойкости композиционных материалов / Р. В. Гольдштейн,
М. Н. Перельмутер // Вычисл. механика сплош. сред. – 2009. – T. 2, № 2. – C. 22–39.
6. Cox, B. N. Concepts for bridged cracks fracture and fatigue / B. N. Cox, D. B. Marshall // Acta Met. Mater. – 1994.
– Vol. 42, № 2. – P. 341–363.
7. Ji, H. Adhesion via connector molecules: The many-stitch problem / H. Ji, P. G. de Genes // Macromolecules. –
1993. – Vol. 26. – P. 520–525.
8. The special issue: Cohesive models // Eng. Fract. Mech. – 2003. – Vol. 70, № 14. – P. 1741–1987.
9. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили.
– М.: Наука, 1966. – 707 с.
10. Мирсалимов, В. М. Неодномерные упругопластические задачи / В. М. Мирсалимов – М.: Наука, 1987. –
256 с.
11. Ильюшин, А. А. Пластичность / А. А. Ильюшин – М.: Логос, 2003. – 376 с.
12. Биргер, И. А. Общие алгоритмы решения задач теорий упругости, пластичности и ползучести / И. А. Биргер.
Успехи механики деформируемых сред. – М.: Наука, 1975. – С. 51–73.
Поступила в редакцию 24.09.15
Рис. 3. Зависимость безразмерной предельной нагрузки
от относительной длины зоны предразрушения.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99220 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0131-2928 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T13:13:21Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Оруджева, Р.У. 2016-04-24T18:33:13Z 2016-04-24T18:33:13Z 2015 Зарождение трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле / Р.У. Оруджева // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 4/1. — С. 52-58. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99220 539.375 Дается математическое описание расчетной модели зарождения трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле. При нагружении изотропной среды силовой нагрузкой в материале среды возникают зоны предразрушения, которые моделируются как зоны, где ослаблены межчастичные связи материала. Используется модель зоны предразрушения со связями между берегами. Трещинообразование принимается как процесс перехода зоны предразрушения в зону разорванных связей между поверхностями материала изотропной среды. Взаимодействие между берегами зоны предразрушения моделируется связями между берегами зоны предразрушения, закон деформирования которых принят заданным. Размер зоны предразрушения заранее неизвестен и определяется в процессе решения задачи. Задача о равновесии зоны предразрушения (зоны ослабленных межчастичных связей материала) в изотропной среде под действием неоднородного напряженного поля сводится к решению системы двух интегродифференциальных уравнений. Интегральные уравнения затем сводятся к системе нелинейных алгебраических уравнений, которая решается методом последовательных приближений. Непосредственно из решения полученных алгебраических систем определяются усилия в связях и раскрытие берегов зоны предразрушения. Сформулирован критерий зарождения трещины. Найдены усилия в связях между берегами зоны предразрушения, размер зоны предразрушения, предельные внешние нагрузки, при которой происходит появление трещины в среде. Анализ предельно-равновесного состояния изотропной среды, при котором появляется трещина, сводится к параметрическому исследованию полученных алгебраических систем и критерия появления трещины при различных законах деформирования связей, упругих постоянных материала и геометрических характеристиках среды. Дається математичний опис розрахункової моделі зародження тріщини в ізотропному середовищі в неоднорідному напруженому полі. Використовується модель зони передруйнування зі зв’язками між берегами. Задача про рівновагу зони передруйнування (зони ослаблених міжчасткових зв’язків матеріалу) в ізотропному середовищі під дією неоднорідного напруженого поля зводиться до розв’язання системи двох інтегродиференційних рівнянь. Інтегральні рівняння потім зводяться до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь, яка розв’язується методом послідовних наближень. Сформульовано критерій зародження тріщини. Знайдено зусилля в зв’язках між берегами зони передруйнування, її розмір, граничні зовнішні навантаження, за яких в середовищі виникає тріщина. We give a mathematical description of a calculation model for cracking in an isotropic medium under influence of non-uniform stress field. When the isotropic medium is loading by traction load in the material of medium was appear a prefracture zone which is modeled as a zone of weakened interparticle bonds of the material. A model of the pre-fracture zone with bonds between the faces is used. Cracking is assumed as the transition from the pre-fracture zone to zone of the broken bonds between the surfaces of the isotropic medium material. The interaction between the faces of prefracture zone is modeled by bonds between the faces of prefracture zone with given deformation law. Size of the prefracture zone is unknown in advance and determined in the process of problem solving. The equilibrium problem of the prefracture zone (zone of weakened interparticle bonds of material) in an isotropic medium under the influence of non-uniform stress field is reduced to solving a system of two integro-differential equations. Then the integral equations are reduced to a system of nonlinear algebraic equations which is solved by method of successive approximations. Directly from the solution of algebraic systems the tractions in the bonds and disclosure of prefracture zone faces are determined. Criterion of the crack initiation is formulated. The tractions in the bonds between the prefracture zone faces, the size of the prefracture zone and the limit external load, at which in the medium a crack is occurrence, are found. Analysis of limit-equilibrium state of the isotropic medium, at which a crack is occurrence, is reduced to the parametric studies of obtained algebraic systems and the criterion of crack appearance with the various laws of bonds deformation, elastic constants of the material and geometric characteristics of the medium. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Динамика и прочность машин Зарождение трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле Crack nucleation in an isotropic medium under non-uniform stress field Article published earlier |
| spellingShingle | Зарождение трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле Оруджева, Р.У. Динамика и прочность машин |
| title | Зарождение трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле |
| title_alt | Crack nucleation in an isotropic medium under non-uniform stress field |
| title_full | Зарождение трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле |
| title_fullStr | Зарождение трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле |
| title_full_unstemmed | Зарождение трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле |
| title_short | Зарождение трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле |
| title_sort | зарождение трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле |
| topic | Динамика и прочность машин |
| topic_facet | Динамика и прочность машин |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99220 |
| work_keys_str_mv | AT orudževaru zaroždenietreŝinyvizotropnoisredevneodnorodnomnaprâžennompole AT orudževaru cracknucleationinanisotropicmediumundernonuniformstressfield |