Метод расчета нестационарного образования жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в ступенях влажнопаровых турбин
Поставлена и решена задача о нестационарном зарождении жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в проточной части турбомашин. Для ее решения развита классическая теория конденсации Зельдовича–Френкеля для случая зависимых от времени внешних условий. Для характеристики уровня н...
Saved in:
| Published in: | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99240 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод расчета нестационарного образования жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в ступенях влажнопаровых турбин / А.Л. Шубенко, В.Н. Голощапов, Н.Ю. Бабак, И.В. Решитько // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 4/2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99240 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Шубенко, А.Л. Голощапов, В.Н. Бабак, Н.Ю. Решитько, И.В. 2016-04-25T13:41:55Z 2016-04-25T13:41:55Z 2015 Метод расчета нестационарного образования жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в ступенях влажнопаровых турбин / А.Л. Шубенко, В.Н. Голощапов, Н.Ю. Бабак, И.В. Решитько // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 4/2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99240 621.165 Поставлена и решена задача о нестационарном зарождении жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в проточной части турбомашин. Для ее решения развита классическая теория конденсации Зельдовича–Френкеля для случая зависимых от времени внешних условий. Для характеристики уровня нестационарности введен коэффициент нестационарности, связывающий время релаксации к стационарному распределению и скорость изменения барьера зарождения.Разработан численно-аналитический метод расчета конденсации, который реализован в виде пакета прикладных программ. Метод последовательно учитывает нестационарность процесса конденсации. В его основе лежит универсальная система уравнений, которая позволяет производить расчеты установившихся и нестационарных течений с конденсацией при произвольном значении коэффициента конденсации. Данная система является обобщением на случай нестационарного зарождения известной системы «моментных уравнений». Проведены численные исследования на модели, которые показали высокую эффективность и точность метода в широком диапазоне скоростей расширения. Выполнено сравнение с существующими «стационарными» методами и эталонным численным решением. Совпадение результатов можно считать удовлетворительным. Поставлена і реалізована задача про нестаціонарне зародження рідкої фази в потоках переохолодженної пари, які швидко розширюються в проточній частині турбомашин. Для її розв’язання розвинена класична теорія конденсації Зельдовича–Френкеля для випадку залежних від часу зовнішніх умов. Розроблено та реалізовано у вигляді пакета прикладних програм чисельно-аналітичний метод розрахунку конденсації, що послідовно враховує нестаціонарність процесу. Виведена система рівнянь є узагальненням на випадок нестаціонарного зародження відомої системи «моментних рівнянь». Проведені чисельні дослідження на моделі показали високу ефективність і точність методу в широкому діапазоні швидкостей розширення. The problem of the unsteady nucleation of the liquid phase in rapidly expanding flows of supercooled steam in the turbomachinery flow path was raised and solved. In order to solve it, the Zel’dovich–Frenkel classical theory of condensation for the case of time-dependent external conditions was elaborated. To characterize the level of unsteadiness, an unsteadiness factor was introduced linking the relaxation time with the steady-state distribution and rate of change of the nucleation barrier. A numerical and analytical method of calculating the condensation was developed, which is implemented in the form of the application program package. The method accommodates consistently the unsteadiness of the condensation process. It is based on a universal system of equations, which enables calculating the steady-state and unsteady flows with condensation under an arbitrary value of the coefficient of condensation. This system is a generalization for the case of the unsteady nucleation of the known system of “moment equations”. The numerical model studies were conducted which showed high efficiency and accuracy of the method over a wide range of expansion rates. A comparison to the existing “steady-state” methods and reference numerical solution was performed. The agreement of the results can be said to be satisfactory. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Энергетическое машиностроение Метод расчета нестационарного образования жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в ступенях влажнопаровых турбин Method of calculation of unsteady formation of the liquid phase in rapidly expanding flows of supercooled steam in the stages of wet steam turbines Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Метод расчета нестационарного образования жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в ступенях влажнопаровых турбин |
| spellingShingle |
Метод расчета нестационарного образования жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в ступенях влажнопаровых турбин Шубенко, А.Л. Голощапов, В.Н. Бабак, Н.Ю. Решитько, И.В. Энергетическое машиностроение |
| title_short |
Метод расчета нестационарного образования жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в ступенях влажнопаровых турбин |
| title_full |
Метод расчета нестационарного образования жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в ступенях влажнопаровых турбин |
| title_fullStr |
Метод расчета нестационарного образования жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в ступенях влажнопаровых турбин |
| title_full_unstemmed |
Метод расчета нестационарного образования жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в ступенях влажнопаровых турбин |
| title_sort |
метод расчета нестационарного образования жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в ступенях влажнопаровых турбин |
| author |
Шубенко, А.Л. Голощапов, В.Н. Бабак, Н.Ю. Решитько, И.В. |
| author_facet |
Шубенко, А.Л. Голощапов, В.Н. Бабак, Н.Ю. Решитько, И.В. |
| topic |
Энергетическое машиностроение |
| topic_facet |
Энергетическое машиностроение |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы машиностроения |
| publisher |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Method of calculation of unsteady formation of the liquid phase in rapidly expanding flows of supercooled steam in the stages of wet steam turbines |
| description |
Поставлена и решена задача о нестационарном зарождении жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в проточной части турбомашин. Для ее решения развита классическая теория конденсации Зельдовича–Френкеля для случая зависимых от времени внешних условий. Для характеристики уровня нестационарности введен коэффициент нестационарности, связывающий время релаксации к стационарному распределению и скорость изменения барьера зарождения.Разработан численно-аналитический метод расчета конденсации, который реализован в виде пакета прикладных программ. Метод последовательно учитывает нестационарность процесса конденсации. В его основе лежит универсальная система уравнений, которая позволяет производить расчеты установившихся и нестационарных течений с конденсацией при произвольном значении коэффициента конденсации. Данная система является обобщением на случай нестационарного зарождения известной системы «моментных уравнений». Проведены численные исследования на модели, которые показали высокую эффективность и точность метода в широком диапазоне скоростей расширения. Выполнено сравнение с существующими «стационарными» методами и эталонным численным решением. Совпадение результатов можно считать удовлетворительным.
Поставлена і реалізована задача про нестаціонарне зародження рідкої фази в потоках переохолодженної пари, які швидко розширюються в проточній частині турбомашин. Для її розв’язання розвинена класична теорія конденсації Зельдовича–Френкеля для випадку залежних від часу зовнішніх умов. Розроблено та реалізовано у вигляді пакета прикладних програм чисельно-аналітичний метод розрахунку конденсації, що послідовно враховує нестаціонарність процесу. Виведена система рівнянь є узагальненням на випадок нестаціонарного зародження відомої системи «моментних рівнянь». Проведені чисельні дослідження на моделі показали високу ефективність і точність методу в широкому діапазоні швидкостей розширення.
The problem of the unsteady nucleation of the liquid phase in rapidly expanding flows of supercooled steam in the turbomachinery flow path was raised and solved. In order to solve it, the Zel’dovich–Frenkel classical theory of condensation for the case of time-dependent external conditions was elaborated. To characterize the level of unsteadiness, an unsteadiness factor was introduced linking the relaxation time with the steady-state distribution and rate of change of the nucleation barrier. A numerical and analytical method of calculating the condensation was developed, which is implemented in the form of the application program package. The method accommodates consistently the unsteadiness of the condensation process. It is based on a universal system of equations, which enables calculating the steady-state and unsteady flows with condensation under an arbitrary value of the coefficient of condensation. This system is a generalization for the case of the unsteady nucleation of the known system of “moment equations”. The numerical model studies were conducted which showed high efficiency and accuracy of the method over a wide range of expansion rates. A comparison to the existing “steady-state” methods and reference numerical solution was performed. The agreement of the results can be said to be satisfactory.
|
| issn |
0131-2928 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99240 |
| citation_txt |
Метод расчета нестационарного образования жидкой фазы в быстрорасширяющихся потоках переохлажденного пара в ступенях влажнопаровых турбин / А.Л. Шубенко, В.Н. Голощапов, Н.Ю. Бабак, И.В. Решитько // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 4/2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT šubenkoal metodrasčetanestacionarnogoobrazovaniâžidkoifazyvbystrorasširâûŝihsâpotokahpereohlaždennogoparavstupenâhvlažnoparovyhturbin AT goloŝapovvn metodrasčetanestacionarnogoobrazovaniâžidkoifazyvbystrorasširâûŝihsâpotokahpereohlaždennogoparavstupenâhvlažnoparovyhturbin AT babaknû metodrasčetanestacionarnogoobrazovaniâžidkoifazyvbystrorasširâûŝihsâpotokahpereohlaždennogoparavstupenâhvlažnoparovyhturbin AT rešitʹkoiv metodrasčetanestacionarnogoobrazovaniâžidkoifazyvbystrorasširâûŝihsâpotokahpereohlaždennogoparavstupenâhvlažnoparovyhturbin AT šubenkoal methodofcalculationofunsteadyformationoftheliquidphaseinrapidlyexpandingflowsofsupercooledsteaminthestagesofwetsteamturbines AT goloŝapovvn methodofcalculationofunsteadyformationoftheliquidphaseinrapidlyexpandingflowsofsupercooledsteaminthestagesofwetsteamturbines AT babaknû methodofcalculationofunsteadyformationoftheliquidphaseinrapidlyexpandingflowsofsupercooledsteaminthestagesofwetsteamturbines AT rešitʹkoiv methodofcalculationofunsteadyformationoftheliquidphaseinrapidlyexpandingflowsofsupercooledsteaminthestagesofwetsteamturbines |
| first_indexed |
2025-11-26T00:08:17Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:08:17Z |
| _version_ |
1850591908144873472 |
| fulltext |
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ МАШИНОСТРОЕНИЕ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 3
1 А. Л. Шубенко,
чл.-кор. НАН Украины
1 В. Н. Голощапов,
канд. техн. наук
1 Н. Ю. Бабак, канд. техн. наук
2 И. В. Решитько
1 Институт проблем машино-
строения им. А. Н. Подгорного
НАН Украины, г. Харьков,
e-mail: shuben@ipmach.kharkov.ua
2 ПАО «Турбоатом»,
г. Харьков, e-mail:
reshitko.irina@gmail.com
Ключові слова: вологість, ступінь,
математична модель, метод,
переохолоджений пар, конденсація.
УДК 621.165
МЕТОД РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ ЖИДКОЙ ФАЗЫ
В БЫСТРОРАСШИРЯЮЩИХСЯ ПОТОКАХ
ПЕРЕОХЛАЖДЕННОГО ПАРА В
СТУПЕНЯХ ВЛАЖНОПАРОВЫХ ТУРБИН
Поставлена і реалізована задача про нестаціонарне зародження
рідкої фази в потоках переохолодженної пари, які швидко розши-
рюються в проточній частині турбомашин. Для її розв’язання роз-
винена класична теорія конденсації Зельдовича–Френкеля для випа-
дку залежних від часу зовнішніх умов. Розроблено та реалізовано у
вигляді пакета прикладних програм чисельно-аналітичний метод
розрахунку конденсації, що послідовно враховує нестаціонарність
процесу. Виведена система рівнянь є узагальненням на випадок не-
стаціонарного зародження відомої системи «моментних рівнянь».
Проведені чисельні дослідження на моделі показали високу ефекти-
вність і точність методу в широкому діапазоні швидкостей роз-
ширення.
Введение
Экономика и производство развитых стран базируется на все расширяющемся потреблении
электроэнергии как наиболее совершенного вида энергии. Ее производство увеличивается с каждым
годом, преимущественно на электростанциях, использующих тепловую энергию как органических
топлив (уголь, природный газ, мазут, сопутствующие горючие газы, сланцы), так и ядерного топлива.
Основным видом привода электрогенератора на ТЭС и АЭС являются паровые турбины, которые от
назначения имеют некоторые отличия. Так, в мощных паровых турбинах ТЭС в области влажного
пара (кроме режима пуска) работают части низкого давления, в которых влага в паре формируется
при температуре ниже температуры насыщения.
Турбины АЭС в настоящее время работают с водо-водяными реакторами, из парогенераторов
которых в них поступает сухой насыщенный пар (степень влажности на входе в проточную часть не
превышает 0,5%), то есть практически ступени цилиндров высокого давления, большая часть ступе-
ней части среднего и часть низкого давления работают в области влажного пара.
Исходя из условия снижения эрозионного износа последних ступеней части низкого давления
конечная влажность процесса расширения пара в них не должна превышать 12–14%.
Проблема изучения процессов, связанных с влажным паром, возникла с момента появления
паровых турбин, которые в основном работали на влажном паре с расширением до глубокого вакуу-
ма и расчет их производился в предположении, что процессы протекают в условиях термодинамиче-
ского равновесия. В процессе дальнейшего развития турбостроения было обнаружено несоответствие
между расчетами и результатами опытов.
На первом этапе развития теории турбомашин для уточнения расчетов проточной части вво-
дились поправки на влажность пара. Так, английский инженер К. Бауман предложил поправку, счи-
тая, что каждый процент влажности пара приводит к снижению КПД ступени на 1% [1] (эта поправка
находит применение и по сей день в оценочных расчетах).
Интенсивный качественный скачок в теории влажнопаровых турбин произошел в последние
несколько десятилетий прошлого века. В СССР эти исследования активно начались в конце 50-х –
начале 60-х годов в различных организациях. При этом развивались как экспериментальные методы
исследования, так и расчетные модели. Первые наиболее полные обобщения основ теории влажнопа-
ровых турбин и новых расчетных методов были сделаны в фундаментальных трудах Г. Дьярмати
(1962 г.) [2], И. И. Кириллова и Р. М. Яблоника (1968 г.) [3], М. Е. Дейча и Г. А. Филиппова (1968 г.)
© А. Л. Шубенко, В. Н. Голощапов, Н. Ю. Бабак, И. В. Решитько, 2015
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ МАШИНОСТРОЕНИЕ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 4
[4]. Следует отметить, что в этих работах впервые в турбостроении была использована классическая
теория кинетики неравновесных фазовых превращений, что явилось серьезным шагом на пути разви-
тия расчетных методов исследования процессов влагообразования в паровых турбинах.
Серьезное внимание уделялось также вопросам моделирования процессов, связанных с обра-
зованием крупнодисперсной влаги, ее трансформацией и взаимодействием с элементами проточной
части.
Эти вопросы активно продолжают обсуждаться в литературе [5, 6], что имеет большое значе-
ние для усовершенствования противоэрозионных мероприятий. Данным проблемам посвящены и не-
которые публикации авторов [7–9].
В последние годы получили значительное развитие расчетные методы определения характе-
ристик течения как идеального, так и вязкого сжимаемого рабочего тела в трехмерной постановке [10
и др.]. Но в них не учитываются условия конденсации пара и дальнейшей трансформации образовав-
шейся влаги.
Поэтому на современном этапе развития турбостроения актуальными становятся задачи, свя-
занные с обобщением новых знаний в теории зарождения влаги с учетом трехмерного течения пара в
ступенях турбины, нестационарности процесса зарождения новой фазы, обмена энергии при росте
сконденсированных частиц.
Для решения названных задач необходимо получить систему уравнений, обладающих уни-
версальностью и учитывающих неизотермические эффекты.
В представленной работе рассмотрены вопросы неравновесной гомогенной конденсации при
расширении переохлажденного пара в проточной части турбины.
Отметим, что данные исследования представляют особый интерес. Это связано с тем, что за-
рождение капель в значительной мере определяет характер дальнейшего течения рабочего тела. Его
детальное исследование и описание необходимо как для создания соответствующих расчетных газо-
динамических схем, так и для изучения сложных физических явлений, связанных с возникновением
«конденсационной турбулентности», интенсификацией нестационарных процессов, а также даль-
нейшей трансформацией капель жидкости и их влиянием на рабочие процессы в турбине.
В литературе активно рассматривается вопрос об альтернативных возможностях образования
влаги в проточной части, в частности о гетерогенном зарождении, при котором центрами конденса-
ции служат частицы различных примесей, выпадающих из пара до зоны Вильсона. Не обсуждая здесь
отдельно проблему образования примесей, заметим, что их распределение в проточной части будет
весьма неравномерным, а влияние вдали от твердых поверхностей менее существенным. Поэтому
можно предположить, что в сложных пространственных течениях с высокими градиентами расшире-
ния определяющая роль гомогенной конденсации сохраняется; исключение составляют некоторые
специальные случаи (аномальное повышение концентрации примесей, ионов или добавки поверхно-
стно-активных веществ).
Эти вопросы, как показано в монографии А. А. Тарелина и В. П. Склярова [11], требуют от-
дельного внимательного изучения.
Применение классической теории зарождения новой фазы для анализа процессов
влагообразования в проточной части
Будем рассматривать, как уже отмечалось, флуктуационое (спонтанное) зарождение капель
жидкости, существенно связанное с неравновесным характером фазового перехода, который при бы-
стрых расширениях переохлажденного пара определяется конечностью скорости конденсации по
сравнению со скоростью изменения параметров рабочего тела.
Теория зарождения новой фазы тесно связана с основными представлениями статистической
физики и использует фундаментальные результаты Гиббса и Энштейна. В современном виде она бы-
ла разработана Зельдовичем [12], который получил
N
f
g
DNj
g
j
t
f
∂
∂
==
∂
∂
+
∂
∂ ,0 . (1)
Выражение (1) имеет вид уравнения Фоккера–Планка и представляет собой основное уравне-
ние кинетики зарождения новой фазы, где g – число молекул в зародышевой капле («размер»); j(g, t)
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ МАШИНОСТРОЕНИЕ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 5
– поток зародышей в пространстве размеров; D(g) – коэффициент диффузии; f(g, t) и N(g, t) – соответ-
ственно кинетическая и равновесная функции распределения.
При не зависящих от времени внешних условиях в системе устанавливается стационарное
распределение капель по размерам
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
= ∗ggNf erfc
2
1
СТ ,
где ∫=
∞
−
z
x dxz
2
e
π
2)erfc( – дополнительный интеграл вероятности;
21
2
2
Б2
1Δ
−
∗ ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∂
∂
⋅−=
g
W
ТK
– ширина
околокритической области.
Скорость нуклеации ICT, т. е. число устойчивых зародышей, образовавшихся в системе в еди-
ницу времени, определяется как не зависящее от размера стационарное значение потока
21
2
2
Б*
СТСТ 2
1
π2
1
πΔ
−
∗
∗
∗∗
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∂
∂
⋅−
∂
∂
⋅===
g
W
ТK
N
g
gNDIj & , (2)
где g& – макроскопическая (не учитывающая флуктуаций) скорость изменения размера зародыша,
которая может быть определена через коэффициент диффузии D в соответствии с известным соот-
ношением Энштейна
g
g
W
ТK
D
&=
∂
∂
−
Б
.
Микроскопическое рассмотрение требуется при определении предэкспоненциального множи-
теля в выражении для равновесной функции распределения. Эта задача должна решаться для кон-
кретной системы на основе законов статистической физики. Применительно к переохлажденному
пару она была рассмотрена Френкелем [13], который получил, что предэкспоненциальный множи-
тель равен числу молекул пара N1 в системе.
Для определения скорости зарождения ICT с использованием общего выражения (2) необхо-
димо конкретизировать входящие в него величины применительно к конденсации переохлажденного
пара. В результате имеем выражение для стационарной скорости зарождения (формула Зельдовича–
Френкеля)
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ πσ
−σ
ρ′
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ∗
2
Б
1
21
Б
21
СТ 3
4exp12 r
ТК
Nm
ТК
p
π
WαI Мk , (3)
где p – давление пара; ρ' – плотность жидкости; σ – коэффициент поверхностного натяжения; mM –
масса молекулы; r* – радиус критического зародыша; αk – коэффициент конденсации.
Работами Зельдовича–Френкеля было завершено создание так называемой «классической тео-
рии зародышеобразования».
Анализ показывает, что из всех использованных при этом предположений чаще всего нару-
шается предположение о стационарности процесса зарождения, в частности, при расширении пере-
охлажденного пара в проточной части турбомашины.
В дальнейшем будем рассматривать уточнения кинетических аспектов зарождения, связанных
с отмеченной выше ситуацией, когда неприменимо стационарное приближение при решении уравне-
ния (1). К ним следует также отнести и более детальное рассмотрение процессов тепло- и массообме-
на между отдельным зародышем и паром. Последний вопрос, связанный с многопараметричностью
процесса зарождения, существенен при анализе неизометрической конденсации пара и будет рас-
смотрен ниже.
Развитие классической теории применительно к рабочим процессам в ступенях
влажнопаровых турбин
Рассмотрим далее вопросы развития классической теории для случая нестационарного зарож-
дения новой фазы при быстрых расширениях переохлажденного пара. Излагаемый материал условно
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ МАШИНОСТРОЕНИЕ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 6
разделен на две части. В первой рассмотрена задача об определении нестационарной скорости зарож-
дения при изотермической и неизотермической нуклеации. Полученные результаты являются осно-
вой для разработки во второй части раздела метода расчета эволюции функции распределения при
росте и переиспарении образовавшихся зародышевых капель, удобного для использования в сложных
пространственных газодинамических расчетных схемах, а также в задачах синтеза оптимальной про-
точной части.
В соответствии с изложенным выше процесс нестационарного зарождения новой фазы будем
описывать в рамках уравнения Зельдовича (1). Нестационарность задачи связана с зависимостью от
времени внешних условий и, следовательно, коэффициентов уравнения (1).
В элементах проточной части турбомашин процесс конденсации происходит в поле быстро
меняющихся термодинамических параметров. Это сказывается, прежде всего, на изменении величи-
ны активационного барьера W*/KБT. Тогда для характеристики уровня нестационарности введем не-
которую величину, связывающую время релаксации к стационарному распределению τрел и скорость
изменения барьера зарождения ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ ∗
TK
W
t Б
, – коэффициент нестационарности n
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−= ∗
TK
W
t
n
Б
релτ . (4)
Выполненные с использованием (4) оценки показали, что для скоростей охлаждения и пара-
метров пара, характерных для турбомашин, нестационарные эффекты могут оказаться существенны-
ми (n ≥ 1). Отметим, что часто в литературе обратное время релаксации 1
релτ− сравнивали не со скоро-
стью изменения величины активационного барьера, а со скоростью охлаждения. Это приводило к не-
обоснованному заключению о возможной роли нестационарности лишь при очень высоких скоростях
охлаждения.
Таким образом, для описания начального этапа конденсации при расширении пара в проточ-
ной части необходимо решение задачи об определении скорости зарождения I при нестационарных
внешних условиях с учетом выделения тепла при росте зародышей. Правильность полученного ре-
шения должна подтверждаться его переходом в стационарное при n→0. Решение этой задачи как для
однопараметрической (изотермической), так и неизотермической нуклеации рассмотрено нами в бо-
лее ранних работах [14, 15]. Здесь кратко напомним его основные результаты.
Имеем для скорости нуклеации с учетом коэффициента нестационарности n
( )
n
r
rr
TK
WenII
−
∗
∗∗
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
+= 0
Б
12
25
СТ 61Г , (5)
где для изотермического зарождения
( )( ) ( ) ,χlnβα/
3
π4 12
мБ
4 ⋅⋅′⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= −
∗ SVTKqrn k (6)
а для неизотермического
χlnβλαπ
3
4
1
Б
М2
М
Б
4
*
3 −
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
′
′⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= S
K
CV
TK
qrn k . (7)
В (5)–(7) Γ – гамма функция; r0 – начальный размер; q и C'M – теплота фазового перехода и
теплоемкость жидкости в расчете на молекулу; V 'M– молекулярный объем;
TKm
p
БMπ2
β = – частота
соударения с единичной поверхностью; ( ) ( )
dt
Nd
CNCNt
qV
dt
dr
t
T ′
⋅
′′+
⋅−−=
∂
∂
−=
ν М1
1ln1lnχ – скорость
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ МАШИНОСТРОЕНИЕ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 7
охлаждения; S – степень пересыщения; λ – характеристика интенсивности теплообмена между заро-
дышем и паром.
Легко убедиться, что при n→0 I→ICT, определяемое по формуле (3).
Собственно процесс образования зародышевых капель является лишь начальным этапом фа-
зового перехода I рода. «Наблюдаемыми» эффекты присутствия новой фазы (а именно они и пред-
ставляют для нас основной интерес) становятся лишь после значительного увеличения размеров об-
разовавшихся зародышей. Для таких зародышей справедливы макроскопические уравнения роста, и
изменение полного числа молекул, перешедших в новую фазу N ', может быть описано следующим
образом:
( ) ')'('
0
1 dttgttI
dt
dN
dt
Nd
&∫ −=−=
′ ∞
, (8)
где I(t – t') – скорость зарождения, которую в общем случае следует определить из уравнения Зельдо-
вича (1); g(t') – число молекул в зародышевой капле, которая образовалась в момент времени (t – t') и
наблюдается в момент времени t.
Существующие в литературе способы приближенного аналитического исследования уравне-
ний типа (8), совместно с уравнением роста капель, несмотря на их главное преимущество, состоящее
в получении замкнутых аналитических выражений для полного числа образовавшихся зародышей, не
нашли универсального применения. Это связано с использованием ряда серьезных допущений при их
реализации, о которых упоминалось выше.
Альтернатива аналитическому описанию состоит в отказе от всех предложений, кроме ис-
пользованных при выводе уравнений (1), (8), и дальнейшем численном решении этих уравнений на
ЭВМ. Такая процедура реализована нами для получения «точного» решения, используемого затем
для контроля полученных в работе результатов и сравнения с результатами других авторов. Однако в
связи с громоздкостью численного решения уравнения в частных производных (1) совместно с инте-
гральным соотношением (8) применение метода в задачах, характерных для турбомашин, где конден-
сация является лишь частью весьма сложных газодинамических процессов (включающих многомер-
ность течения, его нестационарность, турбулентность и т.п.) либо в задачах синтеза оптимальной
проточной части представляется весьма затруднительным. Иными словами, в реальных расчетных
схемах увеличение «размерности» задачи за счет добавления дополнительной координаты rk крайне
нежелательно. Выход из такой ситуации состоит в том, чтобы вместо эволюции функции распределе-
ния рассматривать эволюцию нескольких начальных ее моментов
kk
r
v
kv drrfr )(
*
⋅∫=Ω
∞
.
Подобный «промежуточный», между аналитическим и численным, метод получил достаточно
широкое распространение. В этом методе при сохранении первых двух предположений аналитиче-
ских подходов о возможности использования стационарного выражения для скорости зарождения и о
независимости скорости роста капель от их размера интегральное уравнение (8) сводится к системе
дифференциальных уравнений для моментов функции распределения
)3,2,1(,1 =νΩν=Ω −νν kr&& , (9)
CTI=Ω& .
Система (9) активно применяется для исследования конденсации в самых различных ситуаци-
ях [4, 16 и др.].
Вместе с тем отказ от предположения о стационарности процесса зарождения требует отказа
и от прямого использования системы (9).
Таким образом, задача создания достаточно точного и простого метода расчета процесса кон-
денсации, учитывающего особенности зарождения новой фазы при быстрых расширениях пара в
проточной части и удобного для включения в газодинамические расчетные схемы и в задачи синтеза
оптимальных конструкций влажнопаровых турбин, остается весьма актуальной.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ МАШИНОСТРОЕНИЕ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 8
Заметим при этом, что при проведении численных исследований удобно построить общую
систему уравнений, позволяющую единообразно производить расчеты для произвольных значений
коэффициента λ. Для этапа зарождения влаги система уравнений в окончательном виде представля-
ется следующим образом:
,,δ3
,δ2,3
001
2
1223
JJr
Jrr
k
kk
=Ω−Ω=Ω
+Ω=ΩΩ=Ω
∞
∞∞
&&&
&&&&
(10)
где ( )
n
e
TK
Wn
S
IJ
−
−
∗
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅+Γ
μ
= 12
25
Б
ст 61
ln
; ∗
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
μ
μ−−
⋅
′
⋅
−μ
μ
=δ r
n
1)exp(12ln
1exp
;
[ ])exp(1м μ−−′βα=∞ Vr kk& ; ( ) ( ) χβμ′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
= −
∗
12-
м()Б
4 α/
3
4
kVTKqrn ; ;ln
2
Бм
Б
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
′
+λ
λ
=μ
TK
q
C
K
S
n' – показатель нестационарности, определяемый по адиабатному расширению.
Для этапа переконденсации аналогичная система уравнений имеет вид
.
8
9,
9
8,μβ
4
3
,3,2,1exp1βνα
2/1
0
2
2/1
201
2
0м0
1ν
2ν
1мν
α
μ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Ω
Ω
⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ΩΩ=ΩΩ′=Ω
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
Ω
Ω
⋅−Ω′=Ω
−
∗
−
−∗
−ν
RRrV
νrV
k
k
&&
&
(11)
Численные исследования
Для проведения сравнительного анализа различных методов описания конденсации необхо-
димо получить «эталонное» решение, точность которого соответствовала бы точности исходных
уравнений [17]. Для этого в общем случае необходимо совместно решить нестационарное уравнение
Зельдовича (1), интегральное соотношение типа (8) с учетом температурного уравнения и уравнения
роста капель Кнудсена–Ленгмюра [17]
( )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
′
−=
T
T
P
TP
gDg g1)(& ,
где D(g) = βg = αk⋅4πrk
2β; Pg(T ') – давление насыщения над поверхностью капли при температуре T '.
При численной реализации этой задачи вместо уравнения (1) рассматривается его дискретный
аналог [13]
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−=
∂
∂
−
−
−−+
g
g
g
g
ggggg
g
N
f
N
f
NDjjj
t
f
1
1
111, . (12)
Система (12) описывает изменение кинетической функции распределения с учетом только
процессов конденсации и испарения одной молекулы. При непосредственной замене первых разно-
стей первыми производными из (12) следует система уравнений (1).
Граничные условия имеют вид f(g1) = N(g1), f(g0) = 0, где постоянные g1, g0 выбирались так,
чтобы для всего рассматриваемого временного интервала выполнялось условие g1 + Δ < g* < g0 – Δ.
В интегральном соотношении (8) скорость зарождения I определялась как поток при g = g0 и
аппроксимировалась ступенчатой функцией. Временной шаг подбирался таким образом, чтобы об-
щее число групп капель к моменту прекращения их зарождения оказывалось порядка 102–103. Это
обеспечивало достаточную точность результатов. В общем случае интервал времени не связан с ма-
лым шагом Δτ, требуемым для решения системы конечно-разностных уравнений (12), который выби-
рался из условия Δ≤
τ
τΔ 005,0
,рел min
.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ МАШИНОСТРОЕНИЕ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 9
Для проведения сравнительного анализа рассмотрен наиболее простой случай изотермическо-
го зарождения при однородном расширении с постоянной скоростью Q
V = V0(1 + Qt),
благодаря чему уравнение для скорости охлаждения имеет
вид
( )
dt
Nd
CNCNT
q
V
VQk
v
′
⋅
′′+
⋅−⋅−=χ
м1
0 11 .
Легко убедиться, что величина Q соответствует
часто используемому в литературе параметру
( )P
dt
dP ln−=& .
Контроль правильности численного решения про-
водился путем проверки его нечувствительности к:
− точке совпадения кинетической и равновесной функций
распределения (параметр g1);
− начальному размеру зародыша g0;
− моменту начала зарождения t0;
− интервалу времени при аппроксимации интеграла (8);
− к уменьшению вдвое временного шага при решении
системы (12).
Дополнительный контроль состоял также в уста-
новлении стационарной скорости зарождения ICT при оста-
новке расширения и проверке незначительности влияния
на окончательные результаты учета поглощения пара ма-
лыми зародышами g < g0.
При сравнительном описании процесса конденса-
ции с помощью предложенного метода решение конечно-
разностных уравнений (12) и интегрального соотношения
(8) заменялось решением системы уравнений (10) для эта-
па зарождения и (11) для этапа переконденсации. Стыков-
ка указанных систем осуществлялась по условию сниже-
ния скорости зарождения до заданной величины, соответ-
ствующей числу капель, уже не оказывающих заметного
влияния на ход процесса.
Стационарное описание было проведено на основе
двух моделей, известных в литературе [17]. В первом слу-
чае рассматривалась система уравнений для моментов
функции распределения, полученная в предположении о
независимости скорости роста капли от ее радиуса; во вто-
ром – начальный размер образующихся зародышей пред-
полагался равным критическому, а рост задавался уравне-
нием
.1lnexp1βα *
м
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−′=
k
kk r
rSVr&
Дальнейшее описание процесса соответствовало
рассмотренной выше схеме численного эксперимента, од-
нако в интегральном уравнении скорость зарождения І за-
менялась стационарным значением ICT. Этот метод был
назван «стационарным интегральным», в отличие от «не-
t⋅αk⋅108, с3,5 4
0
2,5
5,0
7,5
ICT⋅10–22 м–3⋅с–1
2
4
3
1
а)
t⋅αk⋅108, с25 30
0
0,5
1,0
1,5
ICT⋅10–27 м–3⋅с–1
3
4
2
1
б)
5
0
1,0
2,0
3,0
10
ICT⋅10–28 м–3⋅с–1
t⋅αk⋅108, с
2
3
1
4
в)
Рис. 1. Зависимость IСТ от времени,
определенная на основе различных
методов:
а) – Q/αk = 1⋅105 c –1; б) – Q/αk = 2,5⋅106 c –1;
в) – Q/αk = 1⋅107 c –1
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ МАШИНОСТРОЕНИЕ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 10
стационарного интегрального», соответствующего численному эксперименту [17].
На базе представленной методики был разработан алгоритм, а в среде программирования
Fortran G 95 для работы под операционной системой MS Windows – программные средства для ПК.
На рис. 1 представлены результаты описания начального этапа процесса конденсации в виде
зависимости от времени величины ICT, вычисленной в соответствии с параметрами процесса, полу-
ченными при расчетах по различным методам (использование ICT связано лишь с наглядностью срав-
нения различных методов описания процесса конденсации).
На рис. 1 кривая 1 соответствует численному эксперименту, 2 – предлагаемому методу, 3 –
стационарному расчету по методу моментных уравнений, а 4 – «стационарному интегральному» ме-
тоду.
Как видно из рис. 1, результаты расчета по предлагаемому методу практически не отличаются
от «точных» в широком диапазоне скоростей расширения. Кривые 3 на рис. 1 соответствуют расчету
для стационарного состояния по системе уравнений моментов [16]. Пренебрежение «тормозящим»
влиянием критического размера и отличием реальной величины скорости зарождения
от стационарного значения IСТ приводит к завышенной скорости конденсации и, как следствие, к
преждевременному снижению пересыщения. Отличие уменьшается лишь при достаточно медленных
расширениях (рис. 1, а), когда значения п малы, а характерный радиус зародышей, оказывающих
наибольшее влияние на конденсацию, существенно превышает критический.
На рис. 2 представлены результаты сравнения численного эксперимента с расчетами по пред-
лагаемому методу для этапов зарождения и переконденсации в виде зависимостей температуры и
моментов функции распределения от времени, моменты определены в расчете на молекулу двухфаз-
ной смеси. Параметры, приводящие моменты к безразмерному виду, имеют следующие значения:
а0 = 3,3⋅10–7, а1 = 3,2⋅10–15 м, а2 = 3,3⋅10–23 м2, а3 = 3,2⋅10–31 м3 (рис 2, а), а0 = 3,3⋅10–5, а1 = 5⋅10–14 м,
а2 = 1⋅10–22 м2, а3 = 3,6⋅10–31 м3 (рис. 2, б).
Из сравнения следует, что предложенный метод позволяет весьма точно определять газоди-
намические параметры Т и Ω3. Точность определения остальных моментов несколько ниже, однако
во много раз превышает достигаемую в экспериментах.
На рис. 2 сплошная линия – численный эксперимент; , , , , – расчет по предложенному
методу.
Результаты описания процесса конденсации при расширении с периодической во времени
скоростью представлены на рис. 3. Скорость расширения задавалась выражением
Q = Q '(1 + Asin{ω(t – t0)}).
а) б)
Рис. 2. Зависимость температуры и безразмерных моментов от времени для этапа переконденсации:
а) – а0 = 3,3⋅10–7, а1 = 3,2⋅10–15 м, а2 = 3,3⋅10–23 м2, а3 = 3,2⋅10–31 м3;
б) – а0 = 3,3⋅10–5, а1 = 5⋅10–14 м, а2 = 1⋅10–22 м2, а3 = 3,6⋅10–31 м3
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ МАШИНОСТРОЕНИЕ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 11
Коэффициенты aν на рис. 3 имеют следующие значения:
а0 = 3,3⋅10–5, а1 = 5⋅10–14 м, а3 = 4,7⋅10–31 м3.
Как видно, предлагаемый метод хорошо «следит»
за изменениями параметров течения, что и определяет его
перспективы при использовании для расчетов процесса
конденсации в условиях нестационарных течений.
На рис. 3 сплошные линии – численный экспери-
мент; точки – расчет по предлагаемому методу.
Для оценки возможностей метода были также вы-
полнены расчеты процесса конденсации в прямых соплах
и проведено сравнение с результатами физического экс-
перимента. В качестве примера на рис. 4 показано срав-
нение расчета с опытами [18] (сплошные линии на рис. 4
– результаты эксперимента, точки – расчет по предлагае-
мому методу). Расчеты проведены по универсальной сис-
теме уравнений (10), (11). Совпадение результатов можно
считать удовлетворительным. Рис. 4 подтверждает еще
один полученный вывод о слабом влиянии αk (при усло-
вии αk >> 0,01, т. е. в существенно неизотермической си-
туации) на процесс конденсации – результаты расчетов
для αk = 1 и αk = 0,15 практически не отличаются.
Выводы
1. Получено аналитическое решение для скорости
образования зародышевых капель, справедливое практи-
чески при произвольном уровне нестационарности; при слабой нестационарности из него следует
известное выражение Зельдовича–Френкеля.
Полученное решение справедливо как при сильном теплообмене зародыша с паром (изомет-
рическая нуклеация), так и при слабом (существенно неизотермическая нуклеация). Скорость неизо-
термического зарождения не зависит от коэффициента конденсации, что имеет важное значение для
однозначной интерпретации результатов экспериментов.
2. Разработанный численно-аналитический метод описания процесса конденсации, основан-
ный на последовательном рассмотрении нестационарности зарождения, является практически точ-
ным (в рамках основных предположений классической теории зарождения) как на этапе зарождения,
так и на этапе переконденсации.
Предложенная универсальная система уравнений позволяет производить расчеты установив-
шихся и нестационарных
течений с конденсацией
при произвольных значе-
ниях коэффициента кон-
денсации.
3. Простота метода
позволяет значительно
ускорить расчеты по срав-
нению с численным экс-
периментом (время счета
сокращается более чем на
порядок). Это обстоятель-
ство определяет широкие
возможности метода для
использования его в зада-
чах синтеза оптимальной
Рис. 3. Зависимость температуры и
безразмерных моментов от времени
для этапа переконденсации при
периодической скорости расширения
Q = Q '(1 + Asin{ω(t – t0)})
Рис. 4. Сравнение результатов расчетов с экспериментом на прямом сопле
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ МАШИНОСТРОЕНИЕ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 12
проточной части влажнопаровой турбины либо в прямых исследовательских задачах, где конденса-
ция является лишь частью сложных газодинамических процессов.
Литература
1. Baumann, K. Some recent developments in large steam turbine practice / K. Baumann // J. Inst. Elect. Engrs. –
1921. – Vol. 59. – P. 565–623.
2. Garmathy, G. Grundlagen einer Theorie der Naßdampfturbine / G. Garmathy. – Zürich, 1962. — 196 s.
3. Кириллов, И. И. Основы теории влажнопаровых турбин / И. И. Кириллов, Р. М. Яблоник. – Л.: Машино-
строение, 1968. – 264 с.
4. Дейч, М. Е. Газодинамика двухфазных сред / М. Е. Дейч, Г. А. Филиппов. – М.: Энергия, 1968. – 424 с.
5. Numerical Simulation of Water Droplets Deposition on the Last-Stage Stationary Blade of Steam Turbine / Danmei
Xie, Xinggang Yu, Wangfan Li and etc. // Energy and Power Eng. – 2010. – № 2. – Р. 248–253.
6. Mathematical Modelling, Dynamic and Mass-Transfer Calculation of Gas-Drop Mixture in the Mass-Transfer Ap-
paratus Multistage Channels / B. Ismailov, K. Ismailov, A. Urmatova, T. Koyshieva // Appl. Math. Sci. – 2014. –
Vol. 18, № 92. – P. 4561–4570.
7. Шубенко, А. Л. Каплеударная эрозия лопаточных аппаратов паровых турбин. Прогнозирование и методы
защиты / А. Л. Шубенко, А. Э. Ковальский // Вестн. НТУ «ХПИ». Энергетические и теплотехнические про-
цессы и оборудование. – 2012. – № 7. – С. 76–87.
8. Шубенко, А. Л. Дискретный подход к описанию крупнодисперсной вдаги при определении механических
потерь в последней ступени ЦНД влажнопаровых турбин / А. Л. Шубенко, И. С. Стрельников // Вісн. НТУ
«ХПІ». Енергетичні та теплотехнічні процеси й устаткування. – 2014. – № 3. – С. 21–28.
9. Влияние крупнодисперсной влаги на рабочие процессы влажнопаровых ступеней турбин / А. Л. Шубенко,
В. Н. Голощапов, И. С. Стрельников, И. В. Решитько // Энергосбережение. Энергетика. Энергоаудит. – 2014.
– № 11 (130). – С. 28–39.
10. Русанов, А. В. Математическое моделирование нестационарных газодинамических процессов в проточных
частях турбомашин / А. В. Русанов, С. В. Ершов. – Харьков.: ИПМаш НАН Украины, 2008. – 275 с.
11. Тарелин, А. А. Паровые турбины: электрофизические явления и неравновесные процессы / А. А. Тарелин,
В. П. Скляров. – СПб: Энерготех, 2012. – 292 с.
12. Зельдович, Я. Б. К теории образования новой фазы. Кавитация / Я. Б. Зельдович // Журн. эксперимент. и тео-
рет. физики. – 1942. – Т. 12, № 11–12. – С. 525–534.
13. Френкель, Я. И. Кинетическая теория жидкостей / Я. И. Френкель. – Л.: Наука, 1975. – 598 с.
14. Шубенко, А. Л. Нестационарное неизотермическое зарождение жидкой среды при конденсации / А. Л. Шу-
бенко, В. А. Шнейдман // Докл. АН УССР. Физ.-мат. и техн. науки. – 1988. – № 1. – С. 69–72.
15. Шубенко, А. Л. Моделирование процесса зарождения новой фазы при расширении переохлажденного пара в
проточной части турбомашин / А. Л. Шубенко // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. – 1990. – Т. 36,
№ 6. – С. 90–97.
16. Салтанов, Г. А. Неравновесные и нестационарные процессы в газодинамике однофазных и двухфазных сред
/ Г. А. Салтанов. – М.: Наука, 1979. – 286 с.
17. Шубенко, А. Л. Математическое моделирование процессов течения влажного пара и оценка их воздействия
на характеристики проточных частей турбин: Дис. … д-ра техн. наук / Шубенко Александр Леонидович. –
Харьков, 1994. – 265 с.
18. Barschdorff, D. Flow and Drop Size Investigations of Wet Steam and Sub- and Supersonic Velocity with the Theory
of Homogeneous Condensation / D. Barschdorff, G. Hausmann, A. Ludwig // Proc. 3-rd. Sci. Conf. Steam Turbines
of Great output. – Gdansk, 1974. – № 70–72. – Р. 241–257.
Поступила в редакцию 10.11.15
|